Annexe Pfe Metz

Auteur : Metz Marie- Laure, INSA STRASBOURG, Génie Civil

Tuteurs ICAT :

M. Waltisperger : Gérant BET ICAT

M. Yousfi : ingénieur

Tuteur INSA : M. Zink

Comparaison BAEL/EC2 et modélisation PS92/ EC8 appliquées à un

établissement hospitalier

Annexes

PROJET DE FIN D’ETUDE

EHPAD de Masevaux : BAEL/EC2 PS92/EC8 –

ANNEXES

2

Sommaire

PROJET DE FIN D’ETUDE ............................................................................................................... 1

Comparaison BAEL/EC2 et modélisation PS92/ EC8 appliquées à un établissement hospitalier ........... 1

Annexes ........................................................................................................................................ 1

Liste des figures ...........................................................................................................................10

Annexe 1 : Charges et matériaux ...............................................................................................13

Annexe 1.1 Charges ..................................................................................................................13

Annexe 1.1.1 Charges de neige NV 65 2009 ........................................................................13

Annexe 1.2 Matériaux ...............................................................................................................14

Annexe 1.3 Limites des pivots A, B, C ........................................................................................14

Annexe 2 : Récapitulatif des dispositions minimales parasismiques PS92 et EC8 ...........................15

Annexe 3 : Poutre isostatique ........................................................................................................18

Annexe 3.1 Dispositions ............................................................................................................19

3.1.5 Section rectangulaire : dispositions constructives–EC2 ....................................................19

3.1.5 Section rectangulaire : dispositions constructives–BAEL ..................................................20

Annexe 3.2 Note de calcul d’une poutre en flexion simple .............................................................21

1.1 Données et matériaux – EC2 ...............................................................................................21

1.1.1 Matériaux – EC2 ..........................................................................................................21

1.1.2 Charges – EC2 ............................................................................................................21

1.1.3 Dimensions – EC2 ........................................................................................................21

1.1.4 Repérage –EC2 R-1 P1 ...............................................................................................21

1.1 Données et matériaux – BAEL .............................................................................................22

1.1.1 Matériaux- BAEL ..........................................................................................................22

1.1.2 Charges – BAEL ..........................................................................................................22

1.1.3 Dimensions – BAEL ......................................................................................................22

1.2 Calcul des effets des actions – EC2 .....................................................................................23

1.2 Calcul des effets des actions – BAEL ...................................................................................24

1.3. Flexion à mi-travée – EC2 ..................................................................................................25

1.3.1 Calcul des armatures aux ELU – EC2 ............................................................................25


ANNEXES

3

1.3.1.1 Calcul de l’enrobage (clause 4.4.1) – EC2 ...................................................................25

1.3. Flexion a mi-travée – BAEL ................................................................................................26

1.3.1 Calcul des armatures – BAEL........................................................................................26

1.4 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme rectangulaire simplifié et le

diagramme élasto-plastique parfait - EC2 ..................................................................................27

Tableau 1.4 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié – EC2 ..................27


diagramme élasto-plastique parfait – BAEL ................................................................................28

1.5 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme parabole rectangle et le diagramme

élasto-plastique parfait – EC2 ...................................................................................................29

Tableau 1.5 Détermination des armatures – diagramme parabole rectangle –EC2 ........................29


élasto-plastique parfait – BAEL .................................................................................................30

1.6 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme bilinéaire et le diagramme élasto-

plastique parfait – EC2..............................................................................................................31


diagramme à palier incliné - EC2 ..............................................................................................32


à palier incliné – EC2 ................................................................................................................33

1.9 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme bilinéaire et le diagramme à palier

incliné – EC2 ............................................................................................................................34

2. Comparaison des résultats obtenus pour les trois diagrammes....................................................35

3. Vérification ELS- EC2 ...............................................................................................................36

3.1 Vérification des contraintes –EC2 .......................................................................................36

3. Vérification ELS – BAEL ...........................................................................................................37

3.1 Vérification des contraintes – BAEL.....................................................................................37

3.1.1 Vérification de la contrainte : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

horizontal – EC2 ...................................................................................................................38

3.1.2 Vérification de la contrainte : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier

horizontal – EC2 ...................................................................................................................39

3.1.3 Vérification des contraintes : diagramme bilinéaire + diagramme à palier horizontal –EC2.40

3.1.4 Vérification des contraintes : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier incliné

–EC2 ...................................................................................................................................40

3.1.5 Vérification des contraintes : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier incliné –

EC2 .....................................................................................................................................40

3.2 Vérification de la flèche – EC2 ............................................................................................41


ANNEXES

4

3.2.1 Cas de dispense de calcul de la flèche –EC2 .................................................................41

3.2 Vérification de la flèche –BAEL ............................................................................................42

3.2.1 Dispense de la flèche -BAEL .........................................................................................42

3.3 Calcul de la flèche – EC2 ..................................................................................................45

3.3.1 Calcul pour L=5.70m et As=9.80cm²- EC2 .....................................................................45

3.3.1 Calcul de la flèche –BAEL .............................................................................................46

3.3.2 Calcul pour L=8m et As=27.5 cm² (point caractéristique) ................................................47

4. Effort tranchant – EC2 .............................................................................................................48

4.1 Dimensionnement des armatures transversales –EC2 ..........................................................48

4. Effort tranchant - BAEL .............................................................................................................49

4.1 Vérification des contraintes - BAEL ......................................................................................49

4.2 Dimensionnement des armatures transversales -BAEL ........................................................49

4.2 Les armatures longitudinales à prolonger sur appui - EC2 .....................................................50

4.4 Armatures longitudinales à prolonger sur appui - BAEL .......................................................51

4.3 Bielle d’about - BAEL .........................................................................................................51

5. Synthèse et comparaisons ........................................................................................................52

Annexe 4. Poutres continues .........................................................................................................53

Annexe 4.1 Portées effectives ...................................................................................................53

Annexe 4.2 Détail de la F3M ......................................................................................................53

Annexe 4.3 Poutre continue : Analyse plastique – EC2 ................................................................54

Annexe 4.4 Note de calcul poutre continue à 2 travées ...............................................................57

1.1 Données et Matériaux – EC2 ...............................................................................................57

1.2 Méthodes d’analyse ............................................................................................................57

1.1 Données et Matériaux – BAEL .............................................................................................58

1.2 Méthodes d’analyse – BAEL ..............................................................................................58

1.3 Détermination des portées effectives – EC2 .........................................................................59

1.4 Analyse élastique linéaire – EC2 ..........................................................................................59

1.4.1 Moment fléchissant sous la charge permanente g=46.87 kN/m .......................................59

1.3 Méthode forfaitaire – BAEL .................................................................................................60

1.3.1 Appui 1 .......................................................................................................................60

1.4.2 Moment fléchissant sous la charge permanente q appliquée sur la travée 2 .....................67

1.2 Méthode de Caquot- BAEL .................................................................................................68

1.2.1 Domaine d’application – BAEL ......................................................................................68


ANNEXES

5

1.2.2 Moment sur appuis .......................................................................................................68

1.2.3 Travée 1 ......................................................................................................................70

1.5 Analyse élastique avec redistribution limitée des moments- EC2 ............................................71

1.5.1 Les différents cas de charges – EC2 ............................................................................71

1.2.5 Travée 2 .....................................................................................................................72

1.6 Analyse plastique ................................................................................................................76

1.3.1 Théorème Statique .......................................................................................................76

1.6.1.1 Mécanisme n°1 : rotule au niveau de la première travée ...............................................76

1.7 Théorème cinématique – EC2 .............................................................................................82

1.71 Mécanisme 1 : rotule au niveau de la travée 1 – EC2 ......................................................83

1.7.2 Mécanisme 2 : rotule au niveau de la travée 2 ...............................................................83

1.7.3 Détermination du ferraillage longitudinal.........................................................................84

1.8 Comparaison des différentes méthodes EC2 ........................................................................85

2. Effort tranchant – EC2 .............................................................................................................86

2.1 Vérification - EC2 ................................................................................................................86

2.2 Dimensionnement des armatures transversales- EC2 ..........................................................86

2.1 Armatures transversales – BAEL .........................................................................................87

3. Comparaison des différentes méthodes EC2 et BAEL : armatures longitudinales ........................88

4. Comparaison des différentes méthodes EC2 et BAEL : effort tranchant ......................................89

Annexe 5. Flèche ..........................................................................................................................90

Annexe 5.1 Vérification de la flèche ...........................................................................................90

Annexe 5.1.1 : Dispense de calcul de la flèche .......................................................................90

Annexe 6. Dalles ..........................................................................................................................91

Annexe 6.1 – Dispositions minimales ..........................................................................................91

Annexe 6.2 : Note de calcul dalle calculée en « poutre » .............................................................92

1.1. Données –Ec2 ..................................................................................................................92

1.2. Définition de la portée clause 5.3.2.2 ...............................................................................92

1.1. Données –BAEL ...............................................................................................................93

1.3 Calcul du moment fléchissant – EC2 ................................................................................94

1.4 Calcul des armatures en flexion –EC2 ..............................................................................94

1.4.1 Armatures inférieures dans le sens de la petite portée ..............................................94

1.4.2 Armatures inférieures dans le sens de la grande portée ............................................94

1.3 Calcul du moment fléchissant – BAEL ..................................................................................95


ANNEXES

6

1.4 Calcul des armatures en flexion –EC2 ..............................................................................95

1.4.1 Armatures inférieures dans le sens de la petite portée ..............................................95

1.4.2 Armatures inférieures dans le sens de la grande portée – BAEL ...............................95

1.6 Sections maximales ............................................................................................................96

1.7 Choix des diamètres et des écartements ..............................................................................96

2. Vérification de l’effort tranchant – EC2 .......................................................................................96

2.1 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis ......................................................96

2. Vérification de l’effort tranchant – BAEL ................................................................................97

2.1 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis ................................................97

2.2 Armatures transversales – EC 2 .......................................................................................98

3. ELS- EC2 ...............................................................................................................................98

3.1 Béton en compression ......................................................................................................98

3.2 Acier en traction ...............................................................................................................98

2.2 Armatures transversales – BAEL .......................................................................................99

3. ELS- EC2 ...............................................................................................................................99

3.1 Béton en compression ......................................................................................................99

3.3 Calcul de la flèche de la travée – EC2 ............................................................................. 100

3.3 Calcul de la flèche de la travée – BAEL........................................................................... 101

Annexe 6.3 : Dalle portant dans deux directions et articulée sur les quatre bords –EC2 ............... 102

Annexe 6.3 : Dalle portant dans deux directions et articulée sur les quatre bords- BAEL ............. 103

1.1 Armatures de flexion ......................................................................................................... 103

1.2 Armatures transversales – EC2 ......................................................................................... 104

1.2 Armatures transversales – BAEL ....................................................................................... 105

Annexe 3.4.2 Détermination des moments pour le calcul d’une dalle articulée sur les quatre cotés

.......................................................................................................................................... 106

Annexe 7.1. Note de calcul poutre-voile ................................................................................... 107

1.1. Données – EC2 .............................................................................................................. 107

1.2 Tirant principal – EC2 .................................................................................................... 107

1.2.1 Efforts de traction ..................................................................................................... 107

BAEL Annexe E.5 : Méthode de calcul et disposition d’armatures des parois fléchies (murs, cloisons

ou voiles formant poutre) ............................................................................................................ 108

1.1 Données- BAEL .............................................................................................................. 108

1.2.2 Aciers principaux inférieurs –EC2 ............................................................................ 109

1.3 Bielles primaires – EC2 ................................................................................................... 109


ANNEXES

7

1.3.1 Efforts de compression dans la bielle horizontale ................................................... 109

1.3.2 Efforts de compression dans la bielle inclinée primaire ........................................... 109

1.3.3 Vérification des contraintes dans le nœud d’appui .................................................. 109

1.2 Epaisseur minimale BAEL ............................................................................................. 110

1.3 Armatures – BAEL .......................................................................................................... 110

1.3.1Armatures principales- BAEL .................................................................................... 110

1.3.4 Vérification des contraintes dans la bielle d’appui (clause 6.5.2.2) .......................... 111

1.3.5 Armatures secondaires verticales – EC2 .................................................................. 111

1.3.2 Armatures réparties verticales et horizontales- BAEL .............................................. 112

1.4 Tirant secondaire – EC2 .................................................................................................. 113

1.4.1 Effort de traction (clause 6.5.3.3) .............................................................................. 113

1.3.3 Armatures secondaires horizontales ........................................................................ 113

Annexe 8. Poteaux ..................................................................................................................... 117

Annexe 8.1 Calcul de l’élancement critique ............................................................................... 117

Annexe 8.2 Méthode générale ................................................................................................. 118

Annexe 8.3 Méthode d’analyse 2 : analyse de la rigidité nominale (clause5.8.6) – EC2 ................ 122

Annexe 8.4 Méthode d’analyse 3 : estimation de la courbure – EC2 .......................................... 127

Annexe 8.5 Dispositions constructives –EC2 ............................................................................ 130

Annexe 8.6 Dispositions constructives –BAEL ............................................................................ 131

Annexe 8.7 Note de calcul du poteau ....................................................................................... 132

1.1 Géométrie – EC2 .............................................................................................................. 132

1.2 Matériaux – EC2 ............................................................................................................... 132

1.3 Effets des actions – EC2 ................................................................................................... 133

1.4 Armatures longitudinales – EC2 ......................................................................................... 133

1.5 Armatures transversales – EC2 ......................................................................................... 134

1.6 Instabilité élastique et flambement – EC2 ........................................................................... 137

1.7 Imperfections géométriques – EC2 .................................................................................... 137

1.8 Coefficient de fluage effectif – EC2 .................................................................................... 138

1.9 Critères pour effets du second ordre – EC2 ........................................................................ 138

1.9.1 Méthodes d’analyse des effets du second ordre – EC2 ................................................. 139

1.9.1.4 Rigidité nominale correspondante ............................................................................. 147

2. Calcul poteau BAEL .............................................................................................................. 154

2.1 Effort sollicitant – BAEL ..................................................................................................... 154


ANNEXES

8

3. Synthèse et comparaison ....................................................................................................... 155

Annexe 9. Semelle isolée ............................................................................................................ 156

Annexe 9.1 Semelle isolée n°44 ............................................................................................... 156

Annexe 3.7.3 Vérification du poinçonnement EC2 : ............................................................... 156

Annexe 9.2 Note de calcul semelle isolée ................................................................................ 157

1.1 Données – EC2 ................................................................................................................ 157

1.2 Dimensions- EC2 .............................................................................................................. 157

1.3 Moment – EC2 ................................................................................................................. 157

1.1 Données – BAEL ............................................................................................................ 158

1.2 Dimensions- BAEL ........................................................................................................... 158

1.4 Modélisation bielle tirants- EC2 .......................................................................................... 159

1.4.1 Calcul des armatures – EC2 ........................................................................................ 159

1.3 Armatures- BAEL .............................................................................................................. 160

1.3.1 Calcul des armatures – BAEL...................................................................................... 160

1.4 Vérification de non-poinçonnement (clause6.4)- EC2 .......................................................... 161

1.4. Vérification du non poinçonnement- BAEL ......................................................................... 162

1.4.1 Charge poinçonnante- BAEL ....................................................................................... 162

1.4.2 Vérification – BAEL .................................................................................................... 162

1.5. Ancrage des barres – BAEL ............................................................................................. 164

1.5 Arrêt des barres- EC2 ....................................................................................................... 166

1.5.1 Conclusion – EC2 ....................................................................................................... 166

1.6 Semelle de poteaux fondée au rocher (clause9.8.4) ............................................................ 167

1.6. Effort tranchant – EC2 ...................................................................................................... 168

1.6.1 Effort tranchant de calcul Vu- EC2 ............................................................................... 168

1.6.2 Vu2 : effort tranchant de référence – EC2 .................................................................... 168

1.6.3 Vérification – EC2 ....................................................................................................... 168

1.7 Comparaison des résultats pour la semelle – EC2 & BAEL ................................................. 169

10. Action sismique .................................................................................................................... 170

Annexe 10.1 Poussée des terres .............................................................................................. 170

Annexe 10.2 Poussée dynamique des terres - PS92 .................................................................. 170

Annexe 10.3 Poussée dynamique des terres - EC8 .................................................................... 171

Annexe 10.4 Risque sismique – EC8 ......................................................................................... 172

Annexe 11. Vérifications sismiques .............................................................................................. 173


ANNEXES

9

Annexe 10.2 Vérification des contraintes .............................................................................. 173

Annexe 10.3 : Vérification des voiles ........................................................................................ 177

Annexe 10.4 : Dimensionnement des semelles ........................................................................ 178

Annexe 10.5 : Vérification poteaux et vérification des diaphragmes horizontaux ......................... 181

Annexe 10.5.1 Vérification des poteaux ................................................................................ 181

Annexe 10.5.2 Comparaison flexion composée ...................................................................... 189

1. Les different cas : ........................................................................................................... 189

2. Prise en compte des imperfections géométriques et des effets du second ordre – EC2 ........ 189

1. Section rectangulaire -BAEL ............................................................................................. 190

2. Section en Té - BAEL ....................................................................................................... 192

3. Section partiellement tendue- EC2 .................................................................................... 193

4. Section entièrement tendue- EC2 ..................................................................................... 196

5. Section entièrement comprimée- EC2 .............................................................................. 197

Annexe 10.6 vérification des poutres........................................................................................ 198

Annexe 10.6.1: partie 1 ....................................................................................................... 198

Annexe 10.7 Vérification des poutres-voiles .............................................................................. 203

Annexe 10.8 Vérification des dalles .......................................................................................... 205


ANNEXES

10

Liste des figures

Figure 1.1.1.1 Carte neige 2009 ....................................................................................................13

Tableau 1.1.1.2 Tableau charges de neige 2009 ............................................................................13

Tableau 1.3 Limites des pivots A, B, C ...........................................................................................14

Tableau 2. Dispositions minimales PS92 & EC8 ...............................................................................17 Tableau 1.2 Moments et efforts tranchant- EC2 ..............................................................................23

Tableau 1.2 Moments et efforts tranchant- BAEL ............................................................................24

Tableau 2.6 Détermination des armatures – digramme bilinéaire- EC2 ............................................31 Tableau 1.7 détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

incliné – EC2 ...............................................................................................................................32

Tableau 1.7 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

incliné – EC2 ................................................................................................................................33 Tableau 1.9 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

incliné – EC2 ................................................................................................................................34

Tableau 2. Comparaison des résultats – poutre isostatique – EC2 et BAEL .......................................35

Tableau 3.1.1Vérification de la contrainte : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

horizontal – EC2 ...........................................................................................................................39

Tableau 3.1.2 Vérification de la contrainte: diagramme parabole rectangle + diagramme à palier

horizontal – EC2 ...........................................................................................................................39 Tableau 3.1.3 Vérification des contraintes : diagramme bilinéaire + diagramme à palier horizontal –

EC2 .............................................................................................................................................40

Tableau 3.1.4 Vérification des contraintes: diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

incliné –EC2 .................................................................................................................................40

Tableau 3.1.5 Vérification des contraintes : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier

incliné –EC2 .................................................................................................................................40 Tableau 4.2.1.1 Determination du coefficient K ..............................................................................43 Figure 3.2.1.1 : Courbe l/d=f(𝝆) .....................................................................................................44

Tableau 3.3.1 Calcul de la flèche EC2 ...........................................................................................45

Tableau 3.3.1 Calcul de la flèche – BAEL ......................................................................................46

Tableau 5.1 Comparaison BAEL /EC2 ...........................................................................................52

Figure 4.1 Portées effectives ........................................................................................................53

Figure 4.2.1 Moment poutre continue – F3M .................................................................................53

Figure 4.3.1 Rotule en travée 1 .....................................................................................................54


Figure 4.3.3 Rotule en travée 1 ....................................................................................................55


Figure 1. Localisation de la poutre continue ...................................................................................57

Figure 1.4.1.1 Moments Robot sous g ............................................................................................61

Tableau 1.4.1.2 Moments fléchissant sous g ..................................................................................63 Figure 1.4.1.4 Moments avec q en travée 1 ....................................................................................65

Tableau 1.4.1.4 Moments avec q en travée 1 ...............................................................................67

Figure 1.4.2.3 Moment sous q en travée 2 ....................................................................................67

Figure 1.4.3 Détermination des moments maximaux et des sections d’armatures .............................69


ANNEXES

11

Figure 1.5.1.1 Moments avec la method de l’analyse linéaire .........................................................71

Figure 1.5.1.2 Moments avec redistribution 𝜹 = 𝟎.𝟕 .......................................................................73 Figure 1.52.1 Comparaisons des moments avec les méthodes de l’analyse élastique avec et sans

redistribution des moments ...........................................................................................................74

Figure 1.5.2.3 Courbes des moments .............................................................................................75

Figure 1.6.1.1 Mécanisme 1 ..........................................................................................................76

Figure 1.6.1.2 Mécanisme 2 ..........................................................................................................78

Figure 1.6.1.3.1 Ferraillage en travée ............................................................................................79

Tableau 1.6.1.3.2 Ferraillage sur appui ..........................................................................................79

Figure 1.6.1.4 Mécanisme 1 vérification de la ductilité ....................................................................81

Tableau 1.6.1.5 mécanisme 2 vérification de la ductilité ..................................................................82

Figure 1.7.1 mécanisme 1 ............................................................................................................83

Figure 1.7.2 Mécanisme 2 ............................................................................................................83

Figure 1.7.3.1 Détermination du ferraillage longitudinal en travée ....................................................84

Figure 1.7.3.2 Détermination du ferraillage longitudinal en travée ...................................................84

Figure 1.8 Comparaison des méthodes EC2 ..................................................................................85

Tableau 3. Comparaison des résultats : armatures longitudinales....................................................88

Tableau 4. Comparaison des résultats – armatures transversales ...................................................89

Tableau 3.3 Calcul de la flèche ................................................................................................... 101

Figure 7.1 Localisation de la poutre- voile ................................................................................... 107

Tableau 1.4 Synthèse des résultats EC2 & BAEL ........................................................................... 116

Figure 8.2 Méthode générale ....................................................................................................... 118 Figure 8.3 Schéma de calcul de l’analyse de la rigidité nominale ................................................... 122

Figure 8.4 Méthode de l’estimation de la courbure ........................................................................ 127

Figure 1.9.4.1 Diagramme d’interaction N-M [3] ........................................................................... 151

Tableau 3. Comparaison des résultats du poteau au BAEL & EC2 .................................................. 155 Tableau 1.4 Vérification du poinçonnement ................................................................................. 165

Tableau 4.3.4 Accélération maximales agr ................................................................................... 172

Annexe 10.1 Déformations en fonctions des directions du séisme .................................................. 173

Figure 4.5.3.1 Déformation pour X*1 +0.33*Y+0.33*Z ................................................................... 173

Figure 4.5.3.2 Déformation pour X*0.33+1*Y+0.33*Z .................................................................... 173

Tableau 4.5.4.1 Contraintes dans les poteaux et les poutres partie 1 et 2 ...................................... 176

Tableau 4.5.4.2 Vérification des contraintes de cisaillement .......................................................... 176

Tableau 4.5.5 Contraintes dans les voiles et dalles partie 1 .......................................................... 177

Figure 10.4.1 Semelles EC8 ......................................................................................................... 179

Figure 10.4.2 Semelle DTU 13.12 ............................................................................................... 180 Tableau 10.5.1.1 Poteau 97 ........................................................................................................ 181

Tableau 10.5.1.2 Poteau 184 ...................................................................................................... 182

Tableau 10.5.1.4 Poteau 102 ...................................................................................................... 184 Tableau 10.5.1.5 Poteau 101 ...................................................................................................... 184

Tableau 10.5.1.6 Poteau 95 ........................................................................................................ 185

Tableau 10.5.1.7 Poteau 144 ...................................................................................................... 186

Figure 10.5.1.6 Interactions N/M Poteau 133 ............................................................................... 186 Figure 10.5.1.8 Vérification Poteau 144........................................................................................ 186

Tableau 10.5.1.9 Vérification Poteau 1094 .................................................................................. 187


ANNEXES

12

Tableau 10.5.1.10 Vérification Poteau 1361 ................................................................................. 187

Tableau 10.5.1.11 Vérification Poteau 1366 ................................................................................. 188

Tableau 10.6.1.1 Vérification Poutre 338 ..................................................................................... 198




Tableau 10.6.1.4 Vérification Poutre 48 ....................................................................................... 202

Tableau 10.7.1 Efforts réduits dans les poutre- voiles - partie 1 ..................................................... 203

Tableau 10.7.2 Efforts réduits dans les poutre- voiles - partie 2 .................................................... 204

Tableau 10.7.3 Efforts réduits dans les voiles - partie 2 ................................................................ 204

Tableau 10.8 Vérification des dalles - partie 1 .............................................................................. 206


ANNEXES

13

Annexe 1 : Charges et matériaux

Annexe 1.1 Charges

Annexe 1.1.1 Charges de neige NV 65 2009

Figure 1.1.1.1 Carte neige 2009

Tableau 1.1.1.2 Tableau charges de neige 2009


ANNEXES

14

Annexe 1.2 Matériaux

La classe structurale est définie dans le tableau 4.3N et s’étend de S1 à S6. Elle est déterminée en

fonction de la classe d’exposition, de la durée du projet, de la classe de résistance du béton, ainsi que

de la qualité de mise en œuvre.

Annexe 1.3 Limites des pivots A, B, C

Tableau 1.3 Limites des pivots A, B, C


ANNEXES

15

Annexe 2 : Récapitulatif des dispositions minimales parasismiques

PS92 et EC8


ANNEXES

16

Eléments PS92 (clause 11.3) EC8

Poutres

Dimensions : a,b >25 cm

Section >625 cm²

Ame poutre >15cm

Zone critique : 1.5*d

Armatures longitudinales :0.0028<ρ<0.025

En zone critique : armatures comprimée =

armatures tendues /2

Armatures d’effort tranchant :

Zone critique d>6mm

stmax=min{24ϴT ;8ϴL ;0.25*

d}

Zone courante : stmax=0.5*d

Dimensions : b<min{bc+hw1 ;2bc

2}

Zone critique Icr=hw En zone comprimée :

armatures tendues/2 – placées en complément des armatures comprimées nécessaires

En zone tendue : ρ min=0.5*fctm/fyk=0.0026

Zone critque : armatures de confinement dbw>6mm stmax=min{hw/4 ;24*

3dbw ;225 ;

8*dbl4}

Poteaux

Dimensions : a,b >25 cm

Section >625 cm²

Icrit = max{d ;distance point d’inflexion –

extrémité /3 ;45 cm}

Armatures longitudinales : 1%<ρ0<5%

Armatures transversales : d>8mm

Zone critique

stmax=min{8*ϴL ;0.25*a ;15cm}

Zone courante

stmax=min{15*ϴL ;0.5*a ;30cm}

Dimension>1/10*distance point d’inflexion – extrémité

Effort normal réduit <0.65 Armatures longitudinales

1%<ρ<4% Zone critique : Icr=max{hc

5 ;lcl

6/6 ;0.45}

Si lc/hc<3 : tout le poteau – zone critique En zone critique :

ωwd= volume armatures de confinement/volume noyau

béton * fyd/fcd >0.08 d>6mm

s=min{b0/2 ;175 ;8*dbl} Distance entre deux barres

longitudinales maintenues par des armatures de confinement ou des

épingles <200mm

1 hw: Hauteur de la poutre

2 bc: Plus grande dimensions de section transversale du poteau perpendiculaire à l’axe longitudinal de

la poutre

3 dbw :ϴt

4 dbl : ϴL

5 hc : plus grande dimension du poteau

6 lcl : longeur libre du poteau


ANNEXES

17

Voiles

Epaisseur minimale 15 cm

Largeur : 4*épaisseur

Zone critique : base des voiles sur une

hauteur d’un étage

CV : extrémité de chaque mur + au droit de

chaque ouverture et intersection de murs –

continus sur toute la hauteur de l’étage

CH des planchers sont continus

CL : aciers FeE500 et ancrés de 50

diamètres

Zone courante :

CV : 4HA10+ cadres HA6

stmax=10cm

CL : 2HA10

Zone critique :

Du niveau le plus bas et sur une

hauteur d’étage

CV : 4HA12 ligaturées avec

armatures transversales HA6

stmax=10cm

Epaisseur : bw>max{15cm ;hs7/20}

Murs sismiques primaires : effort normal réduit <0.4 Zone critique hcr=max{Iw ;Hw/6} Pour les chainages : cf PS92

Dalles

Armatures longitudinales : 0.0028<ρ<0.025

En zone critique : armatures comprimée =

armatures tendues /2

Armatures d’effort tranchant :

d>6mm

stmax=min{24ϴT ;8ϴL ;0.25*d}

chainage périphérique continu >3cm²

chainage au croisement de chaque élément

de contreventement avec le plancher

>1.5cm²

Cf PS92

Tableau 2. Dispositions minimales PS92 & EC8

7 hs : hauteur libre de l’étage


ANNEXES

18

Annexe 3 : Poutre isostatique


ANNEXES

19

Annexe 3.1 Dispositions

3.1.5.1 Armatures longitudinales- EC2

La section minimale d’armatures longitudinales est donnée par :

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.26 ∗𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘∗ 𝑏𝑡 ∗ 𝑑

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0013 ∗ 𝑏𝑡 ∗ 𝑑

La section maximale d’armatures longitudinales est donnée par :

𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.04 ∗ 𝐴𝑐

3.15.2 Armatures transversales –EC2

Taux minimal d’armatures :

𝜌𝑤𝑚𝑖𝑛 =0.08 ∗ 𝑓𝑐𝑘0.5

𝑓𝑦𝑘

Espacement maximal des armatures transversales :

𝑠𝑙𝑚𝑎𝑥 = 0.75 ∗ 𝑑 ∗ 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼

Espacement maximal des armatures longitudinales :

𝑠𝑏𝑚𝑎𝑥 = 0.6 ∗ 𝑑 ∗ (1 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼)

3.1.5 Section rectangulaire : dispositions constructives–EC2


ANNEXES

20

3.1.5.1 Armatures longitudinales- BAEL

Section minimale :

𝐴𝑠 > 4𝑐𝑚²de mètre de longueur de paroi mesurée perpendiculairement à la direction des armatures ;

𝐴𝑠 > 0.2% ∗ 𝐴𝑐 : en zone de recouvrement

5% > 𝐴𝑠 > 0.2% ∗ 𝐴𝑐 : hors zone de recouvrement

Espacement :

La distance maximale de deux armatures voisines sur une même face est de :

- Longueur du plus petit cote +10cm ;

- 40cm ;

3.1.5.2 Armatures transversales –BAEL

Les armatures transversales doivent :

- Etre continues sur le contour de l’élément ;

- Embrassent toutes les armatures longitudinales de diamètre supérieur à 20mm ;

L’espacement maximal des armatures transversales dans le BAEL est de :

- 15 fois le diamètre des barres longitudinales ;

- 40cm ;

- la plus petite dimension de l’élément +10cm ;

3.1.5 Section rectangulaire : dispositions constructives–BAEL


ANNEXES

21

Annexe 3.2 Note de calcul d’une poutre en flexion simple

1.1 Données et matériaux – EC2

1.1.1 Matériaux – EC2

Béton classe C25 fck=25 Mpa (tableau 3.1)

Armature haute adhérence type B fyk =500 MPa

Environnement XC3 : béton à utiliser à l’intérieur des bâtiments où le taux d’humidité de l’air ambiant

est moyen ou élevé (tableau 4.1)

1.1.2 Charges – EC2

Chargement : Charge permanente +PP : g= 38.225 kN/m

Charge d’exploitation : q=7.6 kN/m

Bâtiment catégorie A : habitation et résidentiel (chambre et salle d’hôpitaux)

Coefficient de combinaison : ψ0 = 0.7

Coefficient de charge fréquente ψ1=0.5

Coefficient de charge quasi permanente ψ2=0.3

1.1.3 Dimensions – EC2

𝑏𝑤 = 0.30𝑚

= 0.67𝑚

𝐿 = 5.50𝑚 → 𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐿𝑖𝑛 + 𝑎1 + 𝑎2 = 5.70𝑚

𝑑 = 0.60𝑚

1.1.4 Repérage –EC2 R-1 P1


ANNEXES

22

1.1 Données et matériaux – BAEL

1.1.1 Matériaux- BAEL

Béton classe B25 fcj=25 Mpa

Armature haute adhérence FeE500 fed =500 MPa

1.1.2 Charges – BAEL

Chargement : Charge permanente +PP : g= 38.225 kN/m

Charge d’exploitation : q=7.6 kN/m

1.1.3 Dimensions – BAEL

b=0.30m

h=0.67m

L=5.50m

d= 0.9*d=0.603m


ANNEXES

23

1.2 Calcul des effets des actions – EC2

Combinaison fondamentale ELU :

1.35 𝐺𝑘𝑗, 𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗, 𝑖𝑛𝑓 + 𝛾𝑞1 ∗ 𝑄𝑘1 + ∑𝛾𝑞𝑖 ∗ 𝑄𝑘𝑖 ∗ 𝜓𝑜𝑖

1.35 ∗ 38.225 + 1.5 ∗ 7.6 = 𝟔𝟑. 𝟎𝟏 𝒌𝑵𝒎

Combinaison caractéristique ELS :

𝐺𝑘𝑗, 𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗, 𝑖𝑛𝑓 + 𝑄𝑘1 + ∑ 𝑄𝑘𝑖 ∗ 𝜓𝑜𝑖

38.225 + 7.6 = 𝟒𝟓. 𝟖𝟑 𝒌𝑵/𝒎

Combinaison quasi permanente ELS :

𝐺𝑘𝑗, 𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗, 𝑖𝑛𝑓 + 𝜓21 ∗ 𝑄𝑘1 + ∑ 𝑄𝑘𝑖 ∗ 𝜓2𝑖

38.225 + 0.3 ∗ 7.6 = 𝟒𝟎.𝟓𝟏 𝒌𝑵/𝒎

Moment à mi-travée kNm Effort tranchant maximal kN

Combinaison fondamentale

ELU 256 179

Combinaison

caractéristique ELS 186 130

Combinaison quasi-

permanente ELS 164.5 115

Tableau 1.2 Moments et efforts tranchant- EC2


ANNEXES

24

1.2 Calcul des effets des actions – BAEL

Combinaison fondamentale ELU :

1.35 𝐺𝑘𝑗, 𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗, 𝑖𝑛𝑓 + 𝛾𝑞1 ∗ 𝑄𝑘1 + ∑𝛾𝑞𝑖 ∗ 𝑄𝑘𝑖 ∗ 𝜓𝑜𝑖

𝟏. 𝟑𝟓 ∗ 𝟑𝟖. 𝟐𝟐𝟓 + 𝟏.𝟓 ∗ 𝟕.𝟔 = 𝟔𝟑. 𝟎𝟏 𝒌𝑵𝒎

Combinaison caractéristique ELS :

𝐺𝑘𝑗, 𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗, 𝑖𝑛𝑓 + 𝑄𝑘1 + ∑ 𝑄𝑘𝑖 ∗ 𝜓𝑜𝑖

𝟑𝟖. 𝟐𝟐𝟓 + 𝟕. 𝟔 = 𝟒𝟓. 𝟖𝟑 𝒌𝑵/𝒎

Tableau 1.2 Moments et efforts tranchant- BAEL

Moment à mi-travée kNm Effort tranchant maximal kN

Combinaison fondamentale

ELU 238.26 173.28

Combinaison caractéristique

ELS 173.29 126.03


ANNEXES

25

1.3. Flexion à mi-travée – EC2

1.3.1 Calcul des armatures aux ELU – EC2

1.3.1.1 Calcul de l’enrobage (clause 4.4.1) – EC2

𝑐 𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐 𝑑𝑒𝑣

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 ( 𝑐𝑚𝑖𝑛𝑏 ; 𝑐𝑚𝑖𝑛𝑑𝑢𝑟 + ∆ 𝑐𝑑𝑢𝑟𝛾 − ∆𝑐𝑑𝑢𝑟, 𝑠𝑡 − ∆𝑐𝑑𝑢𝑟𝑎𝑑𝑑)

𝐷’𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙’𝑎𝑛𝑛𝑒𝑥𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 :

∆𝑐𝑑𝑢𝑟, 𝑠𝑡 = 0

∆ 𝑐𝑑𝑢𝑟𝛾 = 0

∆𝑐𝑑𝑢𝑟𝑎𝑑𝑑 = 0

Classe structurale S4:

Durée d’utlisitation du projet : 100 ans

Classe de résistance :C25

Elément assimilable a une dalle : néant

Maitrise particulière de la qualité de la production de béton : néant

XC3 et S4 cmindur = 25mm

𝒄𝒎𝒊𝒏 = 𝑚𝑎𝑥 (20𝑚𝑚 ; 25𝑚𝑚 ; 10𝑚𝑚) = 𝟐𝟓𝒎𝒎

∆𝒄𝒅𝒆𝒗 = 𝟏𝟎𝒎𝒎 (𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒 4.4.1.3)

𝒄𝒏𝒐𝒎 = 10 + 25 = 𝟑𝟓𝒎𝒎


ANNEXES

26

1.3. Flexion a mi-travée – BAEL

1.3.1 Calcul des armatures – BAEL

1.3.1.1 Calcul de l’enrobage –BAEL

L’enrobage est généralement pris égal à d1=0.9*h


ANNEXES

27

1.4 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme

rectangulaire simplifié et le diagramme élasto-plastique parfait - EC2

𝑓𝑐𝑑 = 𝛼𝑐𝑐 ∗𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐= 1 ∗

25

1.5= 16.67 𝑀𝑃𝑎 𝑒𝑡 𝜇 =

𝑀𝑒𝑑

𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝛼 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2𝜇 0.5 𝑒𝑡 휀𝑠 = 0.35 ∗1 − 𝛼

𝛼

𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠=

500

1.15= 435 𝑀𝑝𝑎

휀𝑠1 = 1.77‰ > 휀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠= 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝜍𝑠1 = 𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑠 =𝑀𝑒𝑑

1 − 0.4𝛼 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑑

Moment ELU Mu (kNm) 256

Hauteur utile d (m) 0.645

Résistance de calcul fcd (Mpa) 16.67

Largeur b (m) 0.30

Moment réduit μ 0.123

α 0.165

Hauteur comprimée αd m 0.106

Déformation maximale du béton εc ‰ 3.5

Déformation de l’armature εs ‰ 1.77

Taux de travail σs = fyd (MPa) 435

Section d’armatures (cm²) 9.77

Tableau 1.4 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié – EC2


ANNEXES

28


rectangulaire simplifié et le diagramme élasto-plastique parfait – BAEL

𝑚𝑢 =𝑀𝑑𝐸𝐿𝑈

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 238.23 ∗

103

0.30 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.154

𝛼𝑢 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝑚𝑢 0.5 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 0.1347 0.5 = 0.2101

𝑎𝑢 = 0.8 ∗ 𝛼𝑢 = 0.8 ∗ 0.2101 = 0.1681

𝐴𝑠 = 𝑎𝑢 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑 ∗𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠= 0.1681 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.17

434.8∗ 104 = 9.91 𝑐𝑚2


ANNEXES

29

1.5 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme parabole

rectangle et le diagramme élasto-plastique parfait – EC2

Calcul du moment réduit :

𝜇𝑢 =𝑀𝑒𝑑

𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑< 0.3717 𝑝𝑖𝑣𝑜𝒕 𝑩

Coefficient représentant la hauteur de béton comprimé : y=αud

𝛼𝑢 = 1.20 ∗ 1 − 1 − 2.06 𝜇𝑢 0.5

𝑧𝑢 = 𝑑 ∗ 1 − 0.416 ∗ 𝛼𝑢


𝑧𝑢 ∗ 𝜍𝑠




Largeur b (m) 0.30


α 0.163

zu 0.601


Tableau 1.5 Détermination des armatures – diagramme parabole rectangle –EC2


ANNEXES

30


rectangle et le diagramme élasto-plastique parfait – BAEL

𝐶𝑃 = 38.225 𝑘𝑁/𝑚

𝐶𝐸 = 7.6 𝑘𝑁/𝑚

𝑓𝑏𝑢 = 0.85 ∗25

1.5= 14.17 𝑀𝑃𝑎

𝑀𝑑𝐸𝐿𝑈 = 1.35 ∗ 38.225 + 1.5 ∗ 7.6 ∗5.52

8= 238.26 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑢 =𝑀𝑑𝐸𝐿𝑈

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 238.23 ∗

103

0.30 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.154 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝛼𝑢 = 1 − 1 −7 + 100 ∗ 𝑚𝑢

57

0.5

= 0.2208

𝑎𝑢 =16 ∗ 𝛼𝑢 − 1

15= 0.1689

𝐴𝑠 = 𝑎𝑢 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑 ∗𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠= 0.1689 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗ 14.

17

434. 8 ∗ 104 = 9.96 𝑐𝑚2


ANNEXES

31

1.6 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme bilinéaire

et le diagramme élasto-plastique parfait – EC2



𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑

Coefficient représentant la hauteur de béton comprimé : y=αud

𝛼𝑢 = 1/7 ∗ (9 − 3 ∗ 27 − 56 ∗ 𝜇𝑢) 0.5

𝑧𝑢 = 𝑑 ∗ 1 −7

18∗ 𝛼𝑢






Largeur b (m) 0.30


α 0.176

zu 0.600


Tableau 2.6 Détermination des armatures – digramme bilinéaire- EC2


ANNEXES

32


rectangulaire simplifié et le diagramme à palier incliné - EC2

𝑓𝑐𝑑 = 𝛼𝑐𝑐 ∗𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐= 1 ∗

25

1.5= 16.67 𝑀𝑃𝑎

𝜇 =𝑀𝑒𝑑

𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑= 𝜆 ∗ 𝛼𝑢 ∗ 1 −

𝜆

2∗ 𝛼𝑢 , 𝜆 = 08

𝑧𝑢 = 𝑑 ∗ 1 −𝜆

2∗ 𝛼𝑢

휀𝑠 = 0.35 ∗1 − 𝛼

𝛼

𝜍𝑠 휀𝑠 = 434.8 + 34.78 ∗휀𝑠 − 2.17

47.83

𝐴𝑠 =𝑀𝐸𝐷

𝑧𝑢 ∗ 𝜍𝑠 휀𝑠




Largeur b (m) 0.30


α 0.165

zu 0.602


Taux de travail σs = fyd (MPa) 434.51


Tableau 1.7 détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier incliné – EC2


ANNEXES

33


rectangle et le diagramme à palier incliné – EC2



𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑< 0.3717 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐵

𝛼𝑢 = 1.20 ∗ 1 − 1 − 2.06 𝜇𝑢 0.5

𝑧𝑢 = 𝑑 ∗ 1 − 0.416 ∗ 𝛼𝑢

휀𝑠1 = 0.35 ∗1 − 𝛼

𝛼

휀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

435

200000= 0.002174 < 휀𝑠1

𝜍𝑠 휀𝑠 = 434.8 + 34.78 ∗휀𝑠 − 2.17

47.83






Largeur b (m) 0.30


α 0.163

zu 0.601




Tableau 1.7 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier incliné – EC2


ANNEXES

34

1.9 Calcul de la section théorique minimale avec le diagramme bilinéaire et

le diagramme à palier incliné – EC2



𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑< 0.3717 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐵

𝛼𝑢 =1

7∗ (9 − 3 ∗ 27 − 56 ∗ 𝜇𝑢

0.5)

휀𝑠1 = 0.35 ∗1 − 𝛼𝑢

𝛼𝑢

휀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

435

200000= 0.002174 < 휀𝑠1

𝜍𝑠 휀𝑠 = 434.8 + 34.78 ∗휀𝑠 − 2.17

47.83

𝑧𝑢 = 𝑑 ∗ (1 −7

18∗ 𝛼𝑢)






Largeur b (m) 0.30


α 0.176

zu 0.601




Tableau 1.9 Détermination des armatures – diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier incliné – EC2


ANNEXES

35

2. Comparaison des résultats obtenus pour les trois diagrammes

EC2

Diagramme

acier A palier horizontal A palier incliné

Diagramme

béton

Rect.

simplifié

Parabole

rectangle Bilinéaire

Rect

simplifié

Parabole

rectangle Bilinéaire

MED (kNm) 256 256 256 256 256 256

d (m) 0.645 0.645 0.645 0.645 0.645 0.645

fcd (Mpa) 16.67 16.67 16.67 16.67 16.67 16.67

b (m) 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30

Moment

réduit μu 0.123 0.123 0.123 0.123 0.123 0.123

Hauteur

comprimée

zu=αd m

- 0.601 0.600 0.602 0.601 0.601

Section

d’armatures

cm²

9.77 9.79 9.80 9.79 9.80 9.83

Tableau 2. Comparaison des résultats – poutre isostatique – EC2 et BAEL

Remarque : les résultats obtenus dans les 5 cas sont très proches.


ANNEXES

36

3. Vérification ELS- EC2

3.1 Vérification des contraintes –EC2

Il y a limitation de la compression du béton si :

- classe d’environnement XD, XF,XS : 0.6 fck

- en cas de précontrainte

Remarque :

XD : corrosion induite par les chlorures

XF : attaque gel/dégel

XS : corrosion induite par les chlorures présents dans l’eau de mer


ANNEXES

37

3. Vérification ELS – BAEL

3.1 Vérification des contraintes – BAEL

𝑎𝑛 =𝐴𝑠

𝑏 ∗ 𝑑∗ 15 = 9.96 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603∗ 15 = 0.0055 ∗ 15 = 0.0825

𝑎𝑛 = 𝛼²/2/(1 − 𝛼 ) 𝛼 = 0.332

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 = 0.146

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏 = 0.072

𝝇𝒃 =𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑏= 173.28 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 0.146∗ 10−6 = 𝟏𝟎. 𝟖𝟖 𝑴𝑷𝒂 < 𝜍𝑏𝑙𝑖𝑚 = 15 𝑀𝑃𝑎

𝝇𝒔 = 15 ∗𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑠= 15 ∗ 173.28 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 0.072∗ 10−6 = 𝟑𝟑𝟏 𝑴𝑷𝒂 < 𝜍𝑠𝑙𝑖𝑚 = 434.8 𝑀𝑃𝑎


ANNEXES

38

Dans notre cas, il n’y a pas de limitation de la compression du béton.

3.1.1 Vérification de la contrainte : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

horizontal – EC2

En section fissurée :

La position de l’axe neutre est donnée par :

𝑏𝑥²

2− 𝛼 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑑 − 𝑥 = 0

L’inertie fissurée est donnée par :

𝐼𝑖𝑖 = 𝑏 ∗𝑥3

3+ 𝛼 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑑 − 𝑥 3

Or

𝛼 =𝐸𝑠

𝐸𝑐𝑚1 + 𝜑𝑒𝑓𝑓

Clause 5.19 avec :

Ecm = 31 GPa Es=200 GPa

𝜑𝑒𝑓𝑓 = 𝜑∞ ∗𝑀𝑜𝐸𝑝𝑞

𝑀0𝐸𝑐𝑎𝑟

M0Ecar : moment ELS combinaison caractéristique

MoEpq : moment ELS combinaison quasi permanente

𝜑 = 2 𝑒𝑡 𝜑𝑒𝑓𝑓 = 2 ∗164

186= 1.76

𝛼 =200

31 + 1 + 1.76 = 𝟏𝟕.𝟖𝟓𝟖

𝜍𝑐 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 ∗𝑥

𝐼𝑖𝑖< 𝜍𝑐

𝜍𝑠 = 𝛼 ∗ 𝑀𝑠𝑒𝑟 ∗𝑑 − 𝑥

𝐼𝑖𝑖< 𝜍𝑠


ANNEXES

39

Position de l’axe neutre x(m) 0.222

Inertie fissurée If (m^4) 0.00422

Moment sous charge caractéristique

Mcar (kNm) 186

Contrainte armatures σs (MPa) 332.98 < 𝜍𝑠 = 𝑘𝑠 ∗ 𝑓𝑦𝑘 = 0.8 ∗ 500 = 400 𝑀𝑃𝑎

Contrainte béton σc (MPa) 9.8 < 𝑓𝑐𝑑 = 16.67 𝑀𝑃𝑎

Tableau 3.1.1Vérification de la contrainte : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier horizontal – EC2

3.1.2 Vérification de la contrainte : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier

horizontal – EC2

Position de l’axe neutre y(m) 0.222



Mcar (kNm) 186



Tableau 3.1.2 Vérification de la contrainte: diagramme parabole rectangle + diagramme à palier horizontal – EC2


ANNEXES

40

3.1.3 Vérification des contraintes : diagramme bilinéaire + diagramme à palier horizontal –EC2




Mcar (kNm) 186



Tableau 3.1.3 Vérification des contraintes : diagramme bilinéaire + diagramme à palier horizontal –EC2

3.1.4 Vérification des contraintes : diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier

incliné –EC2




Mcar (kNm) 186



Tableau 3.1.4 Vérification des contraintes: diagramme rectangulaire simplifié + diagramme à palier incliné –EC2

3.1.5 Vérification des contraintes : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier incliné

–EC2




Mcar (kNm) 186


Contrainte béton σc (MPa) 9.8 < 𝑓𝑐𝒅 = 𝟏𝟔.𝟔𝟕 𝑴𝑷𝒂

Tableau 3.1.5 Vérification des contraintes : diagramme parabole rectangle + diagramme à palier incliné –EC2


ANNEXES

41

3.2 Vérification de la flèche – EC2

3.2.1 Cas de dispense de calcul de la flèche –EC2

Clause 7.4.2 :

« Il n’est généralement pas nécessaire de calculer les déformations de manière explicite, des règles

simples telles que la limitation du rapport hauteur/ portée – pouvent être formulées et suffisent pour

éviter des problèmes de la flèche en situation normale. »

Remarque : Les limites de flèche ne sont utilisables que pour les bâtiments de types logements,

bâtiments publics et usines.

𝒍

𝒅= 𝑲 ∗ 𝟏𝟏 + 𝟏. 𝟓 ∗ 𝒇𝒄𝒌 𝟎.𝟓 ∗

𝝆𝟎

𝝆+ 𝟑. 𝟐 ∗ 𝒇𝒄𝒌 𝟎.𝟓 ∗

𝝆𝟎

𝝆− 𝟏

𝟑𝟐 𝒔𝒊 𝝆 < 𝜌𝟎

𝒍

𝒅= 𝑲 ∗ 𝟏𝟏 + 𝟏.𝟓 ∗ 𝒇𝒄𝒌 𝟎.𝟓 ∗

𝝆𝟎

𝝆 − 𝝆’+

𝟏

𝟏𝟐∗ 𝒇𝒄𝒌 𝟎.𝟓 ∗

𝝆’

𝝆𝟎 𝟎.𝟓

𝒔𝒊 𝝆 > 𝜌𝟎


ANNEXES

42

3.2 Vérification de la flèche –BAEL

3.2.1 Dispense de la flèche -BAEL

Le BAEL ne prévoit pas de cas de dispense de calcul de la flèche.


ANNEXES

43

Avec

𝜌0 = 𝑓𝑐𝑘 0.5 ∗ 10−3

On retiendra la valeur de K=1

Il faut tout d’abord calculer ρ et ρ0.

𝜌 =𝐴𝑠

𝑏 ∗ =

9.80

0.67 ∗ 0.3= 0.00488

𝜌0 = 25 0.5 ∗ 10−3 = 0.005

cas de dispense de calcul de la flèche

si ρ< ou = ρ0

d= 0.65 m hauteur utile de la poutre

h= 0.67 m

l= 5.70 m

b0 = 0.30 m largeur de la poutre

As = 9.80 cm² section d'armatures à mi-travée

l/d valeur réelle 8.84 valeur limite du rapport l/d

K= 1.00 coefficient qui tient compte des systèmes

structuraux

fck = 25.00 MPa

ρ0= 0.0050 pourcentage d'armature de référence

ρ= 0.0049 pourcentage d'armatures de traction

nécessaire à mi-travée

l/d valeur limite calculée 18.76

calcul de la flèche non

Remarque 1: nous remarquons que le rapport l/d calculé est inférieur à la valeur limite, donc il n’y a

pas besoin de faire une vérification de la flèche.

Remarque 2 : cas général On peut tracer la courbe l/d limite pour une poutre de 0.3*0.67 en fonction

de ρ et en fixant ρo=0.005, afin de déterminer la valeur limite pour être dispensé du calcul de flèche.

Pour K=1 et fck =25 MPa

Tableau 4.2.1.1 Determination du coefficient K


ANNEXES

44

- Courbe l/d limite calculée grâce aux formules 7.16a et 7.16b ;

- Courbe l/d réelle : calculée en déterminant la section d’armature nécessaire en flexion pour

une longueur l donnée ;

Figure 3.2.1.1 : Courbe l/d=f(𝝆)

Remarque : pour ρ<0.0142 soit l/d=12.40, il n’y a pas besoin de faire de calcul de flèche.

Ce point caractéristique correspondant à L=8.0m et As=27.5 cm².

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-0.01 1.1E-16 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

l/d

ρ

l/d =f(ρ) pour une poutre 0.3*0.67 avec ρ=0.005 et ρ'=0

valeur …


ANNEXES

45

3.3 Calcul de la flèche – EC2

3.3.1 Calcul pour L=5.70m et As=9.80cm²- EC2

Données h= 0.67 m

b= 0.3 m

n= 17.8

As= 0.00098 m²

d= 0.645 m

g 38.23 kN/m

q 7.6 kN/m

Ms 186.1270875 kNm

l= 5.7 m

Eceff= 9987 MPa

fctm= 2.6 MPa

β= 0.5

caractéristique de la section non fissurée As’ = b*h+nAs 0.2184 m²

y’=(b*h²/2+n*As*d)/As’ 0.3598 m

y=h-y’ 0.3102 m

I=b*h^3/3+n*(As*d²)-As’y’² 0.0163 m4

y''=Mser /(Eceff*I) 0.0011

caractéristique de la section fissurée Δ 0.0071

y1= 0.2218

y2= -0.3381

If = by^3/3+ nAs *(d-y)^2 0.0042 m4

y'=Mser/(Eceff*If) 0.0044

flèche totale

Mcr= fctm*I/(y) 136.66732 kNm

ζ =1- β*(Mcr/Ms) 0.63287

f= ζ*y''+(1- ζ)*y' 0.00322 m

flèche limite

L/500 0.0114 m Tableau 3.3.1 Calcul de la flèche EC2


ANNEXES

46

3.3.1 Calcul de la flèche –BAEL

Tableau 3.3.1 Calcul de la flèche – BAEL

ft28 2.60 MPa

bo= 0.30 m

b= 0.30 m

As= 0.00098 m² an= 0.075968992

h= 0.67 m α= 0.321157275

d= 0.65 m ms= 0.067836327

ρ= 0.00506

n= 17.86

d1= 0.04 m

L= 5.70 m

g= 38.23 kN/m²

q= 7.60 kN/m²

Mels= 155.241281 kNm

λv= 0.02*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 2.05 σs= 275.039751 MPa

μgv= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) 0.44

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.01 m4

Ifv= 1.1*l0/(1+λv*μv) 0.01

fgv= M*L²/(10*Ev*Ifv) 0.0090 m

Mels= 155.241281 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 5.13 σs= 275.039751 MPa

μgi= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) 0.44

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.01 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fgi= M*L²/(10*Ev*Ifi) 0.00513 m

Miels= 151.180031 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 5.13 σsi= 267.844466 MPa

μji= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) 0.43

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.01 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fji= M*L²/(10*Ev*Ifi) 0.00492 m

Mels= 186.106781 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 5.13 σs= 329.723913 MPa

μpi= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) 0.51

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.01 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fpi= M*L²/(10*Ev*Ifi) 0.00680 m

Δft =fgv-fji+fpi-fgi 0.00572 m L/500 0.0114 m si L<5m

L/1000+0.05 0.0107 m si L>m

moment : charges permanentes

contrainte : charges permanentes

flèche admissible fadm

moment : charges permanentes avant

cloisons

contraintes : charges permanentes avant

cloisons

moment : charges permanentes et

d'exploitation

CALCUL FLECHE BAEL

flèche instantanée due aux charges permanentes à la

pose des cloisons

flèche instantanée due à l’ensemble des charges

permanentes et d’exploitation

Δft flèche totale

contraintes : charges permanentes +

exploitation

Données

flèche de longue durée due à l’ensemble des charges

permanentes


permanentes




ANNEXES

47

3.3.2 Calcul pour L=8m et As=27.5 cm² (point caractéristique)

Données

h= 0.67 m

b= 0.3 m

n= 17.8

As= 0.0027 m²

d= 0.645 m

g 38.23 kN/m

q 7.6 kN/m

Ms 366.64 kNm

l= 8 m

Eceff= 9987 MPa

fctm= 2.6 MPa

β= 0.5

caractéristique de la section non fissurée As’ = b*h+nAs 0.2491 m²

y’=(b*h²/2+n*As*d)/As’ 0.3948 m

y=h-y’ 0.2752 m

I=b*h^3/3+n*(As*d²)-As’y’² 0.0312 m4

y''=Mser /(Eceff*I) 0.0012

caractéristique de la section fissurée Δ 0.0209

y1= 0.3218

y2= -0.6422

If = by^3/3+ nAs *(d-y)^2 0.0084 m4

y'=Mser/(Eceff*If) 0.0044

flèche totale

Mcr= fctm*I/(y) 294.88773 kNm

ζ =1- β*(Mcr/Ms) 0.59785

f= ζ*y''+(1- ζ)*y' 0.00310 m

flèche limite

L/500 0.0160 m


ANNEXES

48

4. Effort tranchant – EC2

Remarque : contrairement aux BAEL, on ne compare pas les contraintes ηdu et ηulim mais les efforts

Vrd et Vrdmax.

𝑽𝒓𝒅 𝒎𝒂𝒙 = 𝜶𝒄𝒘 ∗ 𝒃𝒘 ∗ 𝒛 ∗ 𝒗𝟏 ∗𝒇𝒄𝒅

𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝜽 + 𝒕𝒂𝒏𝜽

𝛼𝑐𝑤 = 1 𝑑’𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙’𝑎𝑛𝑛𝑒𝑥𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒

𝑣1 = 0.6 ∗ 1 −𝑓𝑐𝑘

250 = 0.6 ∗ 1 −

25

250 = 0.54

𝑧 = 0.9 ∗ 𝑑 = 0.9 ∗ 0.645 = 0.58

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2.5 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 0.4

𝑉𝑟𝑑 = 179 𝑘𝑁 < 𝑉𝑟𝑑 max = 1 ∗ 0.3 ∗ 0.58 ∗ 0.54 ∗16.67

2.5 + 0.4= 540.43 𝑘𝑁

Cette valeur est supérieure à l’effort tranchant maximal, la valeur de cotanθ=2.5 est donc validée.

4.1 Dimensionnement des armatures transversales –EC2

En toute section, il faut

𝐴𝑠𝑤

𝑠>

𝑉𝐸𝐷

0.9 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝟐. 𝟖𝟒 𝒄𝒎²/𝒎𝒍

Choix : 1HA8 st = 15.2 cm

Dispositions minimales d’armatures transversales :

Densité minimale d’armatures 0.08 ∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5

𝑓𝑦𝑘= 0.08 ∗

250.5

500= 0.0008 soit 8cm²/m². Pour une poutre de

0.3*0.67, il faut donc au minimum 1.61cm².

Espacement longitudinal maxi entre cours s< 0.75d= 0.435m


ANNEXES

49

4. Effort tranchant - BAEL

4.1 Vérification des contraintes - BAEL

𝑉𝑑𝑢 = 1.35 ∗ 𝐺 + 1.5 ∗ 𝑄 ∗𝐿

2= 1.35 ∗ 38.225 + 1.5 ∗ 7.6 ∗

5.5

2= 173 𝑘𝑁

Vérification de la contrainte de cisaillement

𝝉𝒅𝒖 =𝑽𝒅𝒖

𝒃𝟎 ∗ 𝒅=

0.173

0.30 ∗ 0.603= 𝟎. 𝟗𝟗 𝑴𝑷𝒂 < 𝜏𝑙𝑖𝑚 = 0.2 ∗

𝒇𝒄𝒋

𝜸𝒃= 𝟑.𝟑𝟑 𝑴𝒑𝒂

4.2 Dimensionnement des armatures transversales -BAEL

𝑨𝒕

𝒔𝒕= 𝝉𝒅𝒖 ∗ 𝒃𝟎 ∗

𝜸𝟏

𝟎. 𝟗 ∗ 𝒇𝒆 = 𝟐. 𝟕 𝒄𝒎²/𝒎𝒍

Choix 1 HA8 st = 18.4cm


ANNEXES

50

4.2 Les armatures longitudinales à prolonger sur appui - EC2

L’effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales :

∆𝐹𝑑 =𝑀 𝑥 + 𝑎1 − 𝑀 𝑥

𝑧=

𝑉𝑒𝑑𝑎1

𝑧= 0.5 𝑉𝑒𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃

Sur appui d’extrémité, on aura donc à ancrer :𝐹𝑒 = 0.5 ∗ 179 ∗ 2.5 = 223.75𝑘𝑁, ce qui correspond à

une section minimale de

𝐹𝑒

5001.15

∗ 104 =223.75

5001.15

= 𝟓. 𝟏𝟒 𝒄𝒎𝟐


ANNEXES

51

4.4 Armatures longitudinales à prolonger sur appui - BAEL

𝐴𝑠 > 𝑉𝑑𝑢 ∗𝛾1

𝑓𝑒= 173.26 ∗ 103 ∗

1.15

500 ∗ 106= 𝟑. 𝟗𝟖 𝒄𝒎𝟐

4.3 Bielle d’about - BAEL

0.15 ∗ 𝑀0𝐸𝐿𝑈 = 0.15 ∗ 238.23 = 35.74 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑢 =𝑴𝒅𝑬𝑳𝑼

𝒃 ∗ 𝒅𝟐 ∗ 𝒇𝒃𝒖= 35.74 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.023 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2

𝛼𝑢 = 0.07

𝑎𝑢 =5

3∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 − 8 ∗ 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2= 0.023

𝐴𝑠 = 𝑎𝑢 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 ∗𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠= 0.023 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.17

434.8= 𝟏. 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐


ANNEXES

52

5. Synthèse et comparaisons

EC2 BAEL

Arm

atu

res lo

ng

itu

din

ale

s

Types de

diagramme

Rect.

simplifié +

élasto

plastique

parfait

parabole

rectangle

+ élasto

plastique

parfait

bilinéaire

+ élasto

plastique

parfait

parabole

rectangle

+ élasto-

plastique

parfait

rectangulaire

simplifié +

élasto

plastique

parfait

Mu (kNm) 256 256 256 238.26 238.26

d (m) 0.645 0.645 0.645 0.603 0.603

fcd ou fbu (Mpa) 16.67 16.67 16.67 14.17 14.17

μu ou mu 0.123 0.123 0.123 0.154 0.154

αu 0.165 0.163 0.176 0.2208 0.2101

au 0.106 0.1689 0.1681

zu=αd 0.600 0.601 - - -

As ( cm²) 9.77 9.79 9.80 9.96 9.91

Co

ntr

ain

tes

σs (MPa) 333 333 333 331 331

σbc ou σc ( MPa) 9.81 9.81 9.81 10.88 10.88

Eff

ort

tra

nch

an

t

τdu MPa - 0.958

At/st (cm²/m) 2.39 2.77

Armatures à

prolonger (cm²) 5.14 3.98

Bielle d’about

(cm²) 3.55

Flè

ch

e

Flèche en m 3.2mm<11mm 4.8mm<5.5mm

Tableau 5.1 Comparaison BAEL /EC2


ANNEXES

53

Annexe 4. Poutres continues

Annexe 4.1 Portées effectives

𝑎 = min(𝑡

2;

2)

Annexe 4.2 Détail de la F3M

- Moment sur appui :

𝑏𝑖 𝑚𝑖 − 1 + 𝑐𝑖 + 𝑎𝑖 + 1 𝑚𝑖 + 𝑏𝑖 + 1𝑚𝑖 + 1 = 𝜑𝑖 + 1 – 𝜑’𝑖

𝑙1 ∗ 𝑚𝑜 + 2 ∗ 𝑙1 + 𝑙2 ∗ 𝑚1 + 𝑙2 ∗ 𝑚2 = 6 𝐸𝐼 ∗ 𝜑2 – 𝜑’1 𝜑’𝑖 =𝑝𝑙3

24 ∗ 𝐸𝐼

𝑙1 ∗ 𝑚𝑜 + 2 ∗ 𝑙1 + 𝑙2 ∗ 𝑚1 + 𝑙2 ∗ 𝑚2 = 6 𝐸𝐼 ∗ 𝜑2 – 𝜑’1 ∗ 𝜑’𝑖 =𝑝𝑙3

24 ∗ 𝐸𝐼

Avec : 𝜑’𝑖 − 1 = −𝑝𝑙3

24∗𝐸𝐼

𝑚0 = 𝑚2 = 0

D’où le moment sur appui 1 :

𝑚11 = −6

2∗ 𝑝 ∗

𝑙13 + 𝑙23

24𝑙1 + 𝑙2

Leff

Ln

h

t

Figure 4.1 Portées effectives

m11

m1 m2

Figure 4.2.1 Moment poutre continue – F3M


ANNEXES

54

𝑚1(𝑥) = 𝑀01(𝑥) + 𝑚(𝑥)

Avec : 𝑀01(𝑥) = 𝑝 ∗ 𝑥 ∗ (𝑙1 − 𝑥)

𝑚 𝑥 = 𝑚11 ∗𝑥

𝑙1

𝑉 𝑥 = 𝑀’ 𝑥

𝑞 ∗𝑙1

2−

𝑚11

𝑙1− 𝑞𝑥 = 0

𝑥 =𝑙1

2−

𝑚11

𝑞 ∗ 𝑙1

Annexe 4.3 Poutre continue : Analyse plastique – EC2

Il existe deux approches pour l’analyse limite :

- le théorème statique ;

- le théorème cinématique ;

a) Théorème statique

A tout état de contrainte admissible vérifiant les conditions de plasticité, correspond un facteur de

charge λ tel que λ< λult. Pour le dimensionnement des structures, on a intérêt à prendre la méthode

statique qui fournit une borne inférieure de la charge ultime, ce qui nous place en sécurité. Le

dimensionnement s’effectue en considérant des moments plastiques égaux en travée et sur appui.

La condition d’équilibre 𝑑²𝑀/𝑑𝑥² = −𝑞 entraine que le diagramme des moments fléchissants soit une

parabole du deuxième degré : 𝑀(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. pour que les moments aux appuis d’extrémité

soient nuls.

Cas 1 : Rotule en travée 1

𝑀(0) = 0

𝑀(𝑘𝑙1) = 𝑀𝑝𝑙1 (𝑟𝑜𝑡𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒)

𝑑 𝑀 𝑘𝑙1

𝑑𝑥= 0

𝑀(𝑙1) = −𝑀𝑝𝑙

𝑐 = 0

𝑏 = 2 ∗ 𝑀𝑝𝑙 ∗𝑘

𝑙1∗ 1−2𝑘

𝑎 = −

𝑀𝑝𝑙𝑙12

1 − 2𝑘

kl

Figure 4.3.1 Rotule en travée 1


ANNEXES

55

−𝑘2

1 − 2𝑘+

2𝑘2

1 − 2𝑘= 1 𝑘 = −1 + 20.5

D’après la condition d’équilibre on a :

𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 = −𝑞𝑢𝑙𝑡 = 2 ∗ 𝑎

𝑀𝑝𝑙 =1

2∗ 1.35𝑔 + 1.5𝑞 ∗ 𝑙12 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5

Cas 2 : Rotule en travée 2

𝑀(0) = −𝑀𝑝𝑙

𝑀(𝑘𝑙2) = 𝑀𝑝𝑙

𝑑 𝑀 𝑘𝑙2

𝑑𝑥= 0

𝑀(𝑙2) = 0

𝑀𝑝𝑙 = 𝑞𝑢𝑙𝑡/2 ∗ 𝑙2² ∗ (−3 + 2 ∗ 2^0.5)

Vérification de la ductilité

Clause 5.6.2(1)

b) Théorème cinématique

A un mécanisme de ruine, ou tous les éléments non plastifiés sont supposés rigides, correspond un

facteur de charge λ tel que λ> λult. La méthode cinématique fournit une borne supérieure de la charge

ultime, c'est-à-dire un résultat qui ne place pas du coté de la sécurité. Le dimensionnement s’effectue

en considérant qu’à l’état limite ultime la structure se transforme en un mécanisme constitué de

parties rigides et des rotules plastiques.

La notion de cinématique admissible implique que le mécanisme soit compatible avec les liaisons

géométriques et fasse produire aux charges appliquées un travail positif. Selon le principe des travaux

virtuels, le travail des forces extérieures Wext doit être égal au travail intérieur Wint effectué dans les

rotules plastiques.

Cas 1 : Moment en travée 1 : Rotule en travée 1

𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑝𝑙 ∗ 𝜃 ∗ 1 +𝑘

1−𝑘 + 𝜃 ∗

𝑘

1−𝑘 = 0.5 ∗ 𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙12 ∗ 𝑘 ∗ 𝜃

𝑞𝑢𝑙𝑡 = 2 ∗𝑀𝑝𝑙

𝑙2 ∗ 1

𝑘+

2

1−𝑘

Position exacte de la rotule :

kl


𝛳 ∗ (1 +𝑘

1 − 𝑘)

kl

ϴ



ANNEXES

56

𝑑𝑞𝑢𝑙𝑡

𝑑𝑘= 2 ∗

𝑀𝑝𝑙

𝑙12∗ −

1

𝑘2+

2

1 − 𝑘 2 = 0

𝑘 = −1 + 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 0.5 ∗ 1.35𝑔 + 1.5𝑞 ∗ 𝑙12 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5

Cas 2 : moment en travée 2 : rotule en travée 2

𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑝𝑙 ∗ ( 𝜃 + 𝜃 ∗ 1 +𝑘

1−𝑘 ) = 1/2 ∗ 𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙2² ∗ 𝑘 ∗ 𝜃 = 𝑊𝑒𝑥𝑡


𝑙2 ∗ 2

𝑘+

1

1−𝑘



𝑑𝑘= 2 ∗ 𝑀𝑝𝑙 ∗ −

2

𝑘2+

1

1 − 𝑘 2 = 0

𝑘 = 2 − 20.5

𝑀𝑝𝑙 = ½ ∗ 1.35𝑔 + 1.5𝑞 ∗ 𝑙22 ∗ −3 + 2 ∗ 20.5

Moment sur appui

Maxi des moments en travée

kl

𝛳 ∗ 1 +𝑘

1 − 𝑘

ϴ



ANNEXES

57

Annexe 4.4 Note de calcul poutre continue à 2 travées

1.1 Données et Matériaux – EC2 𝑏𝑤 = 0.30𝑚

= 0.67𝑚

𝑑 = 0.635𝑚

𝐿1 = 4.0𝑚

𝐿2 = 4.5𝑚

Béton

𝐶25/30 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐=

25

1.15= 16.67 𝑀𝑃𝑎

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

𝜆 = 0.8

𝜂 = 1.0

Acier

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑’é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠=

500

1.15= 434.8 𝑀𝑃𝑎

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑜 − 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡

1.2 Méthodes d’analyse

𝑔 = 46.87𝑘𝑁/𝑚, 𝑞 = 19.2 𝑘𝑁/𝑚

Classe d’environnement XC3

Il existe plusieurs types d’analyse possibles :

- analyse élastique linéaire ;

- analyse élastique avec redistribution limitée des moments ;

- analyse plastique;

Figure 1. Localisation de la poutre continue


ANNEXES

58

1.1 Données et Matériaux – BAEL

𝑏0 = 0.30𝑚

= 0.67𝑚

𝑑 = 0.60𝑚

𝐿1 = 3.7𝑚

𝐿2 = 4.20𝑚

Béton

𝐵25 𝑓𝑐28 = 25 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑏𝑢 =0.8 ∗ 𝑓𝑐28

𝛾𝑏=

25 ∗ 0.8

1.15= 14.17 𝑀𝑃𝑎

Acier

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑’é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑒 = 500 𝑀𝑃𝑎

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑓𝑒𝑑 =𝑓𝑒𝑑

𝛾𝑠=

500

1.15= 434.8 𝑀𝑃𝑎

1.2 Méthodes d’analyse – BAEL

𝑔 = 46.87 𝑘𝑁/𝑚

𝑞 = 19.2 𝑘𝑁/𝑚

Il existe plusieurs types d’analyse possibles :

- méthode forfaitaire ;

- méthode de Caquot;


ANNEXES

59

1.3 Détermination des portées effectives – EC2

Clauses 5.3.2.2(1)

𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐿𝑖𝑛 + 𝑎1 + 𝑎2

𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑎1 = 𝑎1 = min

2 ;𝑡

2

𝑡 : 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙’𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖

: 𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒

𝑇𝑟𝑎𝑣é𝑒 1 𝑙1𝑒𝑓𝑓 = 3.7 + 0.15 + 0.15 = 4.0𝑚

𝑇𝑟𝑎𝑣é𝑒 2 𝑙2𝑒𝑓𝑓 = 4.2 + 0.15 + 0.15 = 4.5𝑚

1.4 Analyse élastique linéaire – EC2

Clause 5.4 : fondée sur la théorie de l’élasticité

Utilisable aussi bien en ELS qu’aux ELU

- utilisée pour déterminer les sections : on suppose les sections non fissurées et la relation

contrainte/ déformation linéaire ;

- les moments sur appuis sont déterminés par l’application du théorème des trois moments

avec prise en compte des moments d’inertie différents d’une travée à une autre ;

𝐼 =𝑏3

12= 0.3 ∗

0.67 3

12= 0.0075 𝑚4

1.4.1 Moment fléchissant sous la charge permanente g=46.87 kN/m

1.4.1.1 Moment sur appui

F3M : Pour rétablir la continuité des moments sur appui, mi doit vérifier :

𝑏𝑖 𝑚𝑖 − 1 + (𝑐𝑖 + 𝑎𝑖 + 1)𝑚𝑖 + 𝑏𝑖 + 1𝑚𝑖 + 1 = 𝜑𝑖 + 1 – 𝜑’𝑖

𝑎𝑖 =∫ 1 −

𝑥𝑙𝑖

2

𝑑𝑥

𝐸𝐼; 𝑏𝑖 = ∫ 1 −

𝑥

𝑙𝑖

2

∗𝑥

𝑙𝑖∗𝑑𝑥

𝐸𝐼; 𝑐𝑖 =

∫ 𝑥𝑙𝑖

2

𝑑𝑥

𝐸𝐼


ANNEXES

60

1.3 Méthode forfaitaire – BAEL

𝑓𝑏𝑢 = 0.85 ∗25

1.5= 14.16 𝑀𝑃𝑎

1.3.1 Appui 1

1.3.1.1 Détermination de la section d’armatures

𝑀𝐴1 𝐸𝑙𝑢 > 0.6 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢𝑥 𝐸𝐿𝑈

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞 ∗𝐿2

8= 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗

𝐿2

8= 203 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 = 1 ∗ 𝑔 + 1 ∗ 𝑞 ∗𝐿2

8= 46.87 + 19.2 ∗

𝐿2

8= 145.7 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐴1 𝐸𝑙𝑢 > 0.6 ∗ 203 = 𝟏𝟐𝟏.𝟖 𝒌𝑵𝒎

𝑀𝐴1 𝐸𝑙𝑠 > 0.6 ∗ 132.14 = 𝟖𝟕.𝟒𝟐 𝒌𝑵𝒎

𝑚𝑢 =𝑀𝐴1𝐸𝑙𝑢

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 121 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.16 ∗ 106= 0.078 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝑜𝑟 𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 ∗ 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2 𝛼𝑢 = 0.139

𝑎𝑢 =5

3∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 − 8 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2= 0.082


𝜍𝑠= 0.082 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.16

435= 𝟒. 𝟖𝟑 𝒄𝒎𝟐

1.3.1.2 Vérification des contraintes

𝑎𝑛 = 𝑛 ∗𝐴𝑠

𝑏𝑜 ∗ 𝑑= 15 ∗ 4.83 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603= 0.0400 =

𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼 𝛼 = 0.245

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 = 0.1125

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏 = 0.0365

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝐴1𝐸𝑙𝑠

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 79.28 ∗

103

0.1196 ∗ 0.3 ∗ 0.6352∗ 10−6 = 𝟓. 𝟒𝟖 𝑴𝑷𝒂


ANNEXES

61

𝐶𝑜𝑚𝑚𝑒 𝐼 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑖 = 2𝑏𝑖 = 𝑐𝑖 =𝑙𝑖

3𝐸𝐼

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑒𝑠, 𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑖 = 0 à 𝑖 = 2.

𝑙1 ∗ 𝑚𝑜 + 2 ∗ (𝑙1 + 𝑙2) ∗ 𝑚1 + 𝑙2 ∗ 𝑚2 = 6 𝐸𝐼 ∗ ( 𝜑2 – 𝜑’1)

𝑂𝑟 𝑚0 = 𝑚2 = 0 𝑑’𝑜ù ∶

2(𝑙1 + 𝑙2) ∗ 𝑚1 = 6 ∗ 𝐸𝐼 ∗ ( 𝜑2 – 𝜑’1) (𝐸𝑄1)

Cas de charges uniformément réparties par travées entières :

𝑀 𝑥 =𝑝𝑥

2∗ 𝑙 − 𝑥

𝑦’’ =𝑀 𝑥

𝐸𝐼=

𝑝

𝐸𝐼∗𝑥

2∗ 𝑙 − 𝑥 =

𝑃

𝐸𝐼∗

𝑙𝑥

2−

𝑥2

2

𝑦’ 𝑥 =𝑃

𝐸𝐼∗

𝑙𝑥2

4−

𝑥3

6 + 𝜑

𝑦’(𝑥 = 0) = 𝜑

𝜑’𝑖 =𝑝𝑙3

24 ∗ 𝐸𝐼

𝜑’𝑖 − 1 = −𝑝𝑙3

24 ∗ 𝐸𝐼

(EQ1)

2 𝑙1 + 𝑙2 ∗ 𝑚1 = 6 ∗ 𝐸𝐼

∗ −𝑝𝑙13

24 ∗ 𝐸𝐼−

𝑝𝑙23

24 ∗ 𝐸𝐼

𝑚1 = −6

2∗ 𝑝 ∗

𝑙13 + 𝑙23

24𝑙1 + 𝑙2

𝑚1 = −6

2∗ 46.87 ∗

43 + 4.53

244 + 4.5

= −106.92 𝑘𝑁𝑚

Figure 1.4.1.1 Moments Robot sous g


ANNEXES

62

𝜍𝑠 =𝑀𝐴1𝐸𝑙𝑠

𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2∗ 𝑛 = 87.42 ∗ 103 ∗

15

0.0365 ∗ 0.3 ∗ 0.6032∗ 10−6 = 𝟑𝟐𝟗. 𝟒 𝑴𝑷𝒂


𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 87.42 ∗

103

0.1125 ∗ 0.3 ∗ 0.6032∗ 10−6 = 𝟕. 𝟏𝟐 𝑴𝑷𝒂

1.3.1.3 Travée 1

- Détermination de la section d’armatures

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞 ∗𝑙12

8= 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗

3.72

8= 157.56 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 = 1 ∗ 𝑔 + 1 ∗ 𝑞 ∗𝑙12

8= 46.87 + 19.2 ∗

3.72

8= 113 𝑘𝑁𝑚

𝛼 =𝑞

𝑞 + 𝑔=

19.2

46.87 + 19.2= 0.29

𝑀𝑡𝐸𝐿𝑢 >1.2 + 0.3 ∗ 𝛼

2∗ 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 > 1 + 0.3𝛼 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 −

𝑀𝑒 + 𝑀𝑤

2

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 >1.2 + 0.3 ∗ 0.29

2∗ 158 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 > 1 + 0.3 ∗ 0.29 ∗ 158 −

0 + 139.84

2

𝑀𝑡 > 𝟏𝟎𝟏 𝒌𝑵𝒎 et 𝑀𝑡 > 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝑵𝒎

𝑀𝑡 > 𝟏𝟎𝟐 𝒌𝑵𝒎

𝑚𝑢 =𝑀𝑡

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 102 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.16 ∗ 106= 0.066

𝑜𝑟 𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 ∗ 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2 → 𝛼𝑢 = 0.126

𝑎𝑢 =5

3∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 − 8 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2= 0.0996


𝜍𝑠= 0.0996 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.16

434.8= 𝟓.𝟖𝟕 𝒄𝒎𝟐

E.1.2.3.2 Vérification des contraintes ELS

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 >1.2 + 0.3 ∗ 𝛼

2∗ 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 1 + 0.3𝛼 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 −

𝑀𝑒 + 𝑀𝑤

2

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 >1.2 + 0.3 ∗ 0.29

2∗ 113 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 1 + 0.3 ∗ 0.29 ∗ 113 −

0 + 79.28

2


ANNEXES

63

1.4.1.2 Moments en travées

Remarque : le moment maximal ne se situe pas toujours a mi-travée.

𝑀(𝑥) = 𝑀0(𝑥) + 𝑚(𝑥)

- travée 1 :

𝑚 𝑥 = 106.92 ∗𝑥

𝑙1

𝑀0(𝑥) = 𝑝 ∗ 𝑥 ∗ (𝑙1 − 𝑥)

𝑀 𝑥 = 𝑝 ∗ 𝑥 ∗ 𝑙1 − 𝑥 − 106.92 ∗𝑥

𝑙1

𝑉 𝑥 = 𝑀’ 𝑥 = 𝑞 ∗𝑙1

2−

106.92

𝑙1− 𝑞𝑥 = 0

𝑥 =𝑙1

2−

106.92

𝑞 ∗ 𝑙1=

4

2−

106.92

46.87 ∗ 4= 1.43 𝑚

𝑀 𝑥 = 1.43 = 46.87 ∗ 1.43 ∗4

2− 46.87 ∗

1.432

2− 106.92 ∗

1.43

4= 47.90 𝑘𝑁𝑚

- travée 2 :

𝑉 𝑥 = 𝑀’ 𝑥 =𝑞 ∗ 𝑙2

2−

106.92

𝑙2− 𝑞 ∗ 𝑥

𝑥 =𝑙2

2−

106.92

𝑙2− 𝑞 ∗ 𝑥 =

4.5

2−

106.92

46.87 ∗ 4.5= 1.743 𝑚

𝑀 𝑥 = 46.87 ∗ 1.743 ∗4.5 − 1.743

2− 106.92 ∗

1.743

4.5= 71.20 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 72.7 𝑘𝑁𝑚 et 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 83.191 𝑘𝑁𝑚


𝑏𝑜 ∗ 𝑑= 15 ∗ 5.87 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603= 0.049 =

𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼 𝛼 = 0.267

Tableau 1.4.1.2 Moments fléchissant sous g

Travée 1 Appui 1 Travée 2

x(m) 1.43 4 5.743

Moment fléchissant (kNm) 47.90 -106.92 71.20


ANNEXES

64

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 = 0.121

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏 = 0.044

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝑡1𝐸𝑙𝑠

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 83 ∗

103

0.1158 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟔.𝟒 𝑴𝑷𝒂

𝜍𝑠 =𝑀𝑡1𝐸𝑙𝑠

𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2∗ 𝑛 = 83 ∗ 103 ∗

15

0.044 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟐𝟓𝟗 𝑴𝑷𝒂

1.3.1.2 Travée 2

- Détermination de la section d’armatures

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞 ∗𝑙22

8= 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗

4.22

8= 203𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 = 1 ∗ 𝑔 + 1 ∗ 𝑞 ∗𝑙2

8= 46.87 + 19.2 ∗

4.22

8= 145𝑘𝑁𝑚

𝛼 =𝑞

𝑞 + 𝑔=

19.2

46.87 + 19.2= 0.29

𝑀𝑡𝐸𝐿𝑢 >1.2 + 0.3 ∗ 𝛼

2∗ 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 > 1 + 0.3𝛼 ∗ 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑢 −

𝑀𝑒 + 𝑀𝑤

2

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 >1.2 + 0.3 ∗ 0.29

2∗ 203 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑢 > 1 + 0.3 ∗ 0.29 ∗ 203 −

0 + 139.84

2

𝑀𝑡 > 𝟏𝟑𝟎.𝟔𝟒 𝒌𝑵𝒎 et 𝑀𝑡 > 𝟏𝟓𝟎.𝟕 𝒌𝑵𝒎

𝑀𝑡 > 𝟏𝟓𝟎.𝟕 𝒌𝑵𝒎

𝑚𝑢 =𝑀𝑡

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 150.7 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.16 ∗ 106= 0.098

𝑜𝑟 𝛼𝑢 = 1 − 1 −7 + 100 ∗ 𝑚𝑢

57

0.5

= 0.16


ANNEXES

65

1.4.1.4 Moment fléchissant sous la charge permanente q = 19.2 kNm appliquée sur la première

travée

- Moment sur appui

2 ∗ (𝑙1 + 𝑙2) ∗ 𝑚1 = 6 ∗ 𝐸𝐼 ∗ ( 𝜑2 – 𝜑’1)

𝑚1 = −

6𝐸𝐼2

𝑙1 + 𝑙2∗ 𝑞 ∗

𝑙13

24𝐸𝐼

𝑚1 = −6

2∗ 19.2 ∗

43

244 + 4.5

= −18.07 𝑘𝑁𝑚

A.2.2 Moment en travée

𝑀0 𝑥 = 𝑞 ∗ 𝑥 ∗𝑙1 − 𝑥

2

𝑚 𝑥 = −𝑚1 ∗𝑥

𝑙1

𝑀’ 𝑥 = 𝑉 𝑥 = 𝑞 ∗𝑙1

2−

𝑚1

𝑙1− 𝑞 ∗ 𝑥 = 0

𝑥 =𝑙1

2−

18.07

𝑞 ∗ 𝑙1=

4

2−

18.07

19.2 ∗ 4= 1.76𝑚

𝑀(𝑥 = 1.76) = 29.90 𝑘𝑁𝑚

- Vérification avec Robot

Figure 1.4.1.4 Moments avec q en travée 1


ANNEXES

66

𝑎𝑢 =16 ∗ 𝛼𝑢 − 1

15= 0.104


𝜍𝑠= 0.104 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.16

434.8= 𝟔. 𝟏 𝒄𝒎𝟐

- Vérification des contraintes ELS

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 >1.2 + 0.3 ∗ 𝛼

2∗ 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 1 + 0.3𝛼 𝑀𝑜𝐸𝑙𝑠 −

𝑀𝑒 + 𝑀𝑤

2

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 >1.2 + 0.3 ∗ 0.29

2∗ 145 𝑒𝑡 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 1 + 0.3 ∗ 0.29 ∗ 145 −

0 + 79.28

2

𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 93.3𝑘𝑁𝑚 et 𝑀𝑡𝐸𝑙𝑠 > 118 𝑘𝑁𝑚


𝑏𝑜 ∗ 𝑑= 15 ∗ 6.1 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603= 0.0505 =

𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼 𝛼 = 0.271

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 = 0.123

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏 = 0.046

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝑡2𝐸𝑙𝑠

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 118 ∗

103

0.123 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟖.𝟖 𝑴𝑷𝒂


𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2∗ 𝑛 = 118 ∗ 103 ∗

15

0.046 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟑𝟓𝟑 𝑴𝑷𝒂


ANNEXES

67


X(m) 1.76 2 -

Moment fléchissant

(kNm)

29.90 -18.07 -

Tableau 1.4.1.4 Moments avec q en travée 1

1.4.2 Moment fléchissant sous la charge permanente q appliquée sur la travée 2

1.4.2.1 Moment sur appui

2 ∗ (𝑙1 + 𝑙2) ∗ 𝑚1 = 6 ∗ 𝐸𝐼 ∗ ( 𝜑2 – 𝜑’1)

𝜑’1 = 0

𝑚1 = −6

2∗

𝑞𝑙23

24𝑙1 + 𝑙2

= −6

2∗ 19.2 ∗

4.53

2 ∗ 24 ∗ 4 + 4.5

𝑚1 = −25.73 𝑘𝑁𝑚

1.4.2.2 Moment en travée

𝑚 𝑥 = −𝑚1 ∗𝑥

𝑙2

𝑀0 𝑥 = 𝑞 ∗ 𝑥 ∗𝑙2 − 𝑥

2

𝑀’ 𝑥 = 𝑉 𝑥 =𝑞𝑙2

2−

𝑚1

𝑙2− 𝑞 ∗ 𝑥 = 0

𝑥 =𝑙2

2−

25.73

𝑙2 ∗ 𝑞=

4.5

2−

25.73

4.5 ∗ 19.2= 1.95 𝑚

𝑀 𝑥 = 1.95 = 19.2 ∗ 1.95 ∗4.5 − 1.95

2− 25.73 ∗

1.95

4.5= 36.58 𝑘𝑁𝑚

1.4.2.3 Vérification sous Robot

Figure 1.4.2.3 Moment sous q en travée 2


ANNEXES

68

1.2 Méthode de Caquot- BAEL

1.2.1 Domaine d’application – BAEL

Voir article B.6.2.220

La méthode s’applique essentiellement aux planchers de constructions industrielles. Elle peut

également s’appliquer à des planchers à charges d’exploitation modérée, notamment lorsque l’une

des conditions complémentaire du domaine d’application n’est pas remplie.

1.2.2 Moment sur appuis

Les moments aux nus des appuis, considérés comme section à vérifier sont calculés en ne tenant

compte que des charges de travées voisine de gauche (w) et de droite (e).

- On détache de chaque coté des appuis des travées fictives de longueur l’w à gauche et l’e à

droite égales à la portée libre l de la travée si elle est simplement posée sur l’autre appui et à

0.8l si elle continue au-delà de l’autre appui.

- Une charge uniformément répartie par unité de longueur pw sur la travée de gauche et pe sur

la travée de droite donne un moment d’appui égal en valeur absolue à :

𝒑𝒘 ∗ 𝒍’𝒘𝟑 + 𝒑𝒆 ∗ 𝒍’𝒆𝟑

𝟖. 𝟓 ∗ 𝒍’𝒆 + 𝒍’𝒘

𝑝𝑤 = 𝑝𝑒 = 46.87 ∗ 1.35 + 1.5 ∗ 19.2 = 92.07 𝑘𝑁/𝑚

𝑴𝒂𝟏 𝑬𝑳𝑼 =92.07 ∗ 3.7² + 92.07 ∗ 4.2²

3.7 + 4.2 ∗ 8.5= 𝟏𝟕𝟏 𝒌𝑵𝒎

𝑴𝒂𝟏 𝑬𝑳𝑺 =66.07 ∗ 3.7 + 66.07 ∗ 4.23

8.5 ∗ 4 + 4.5 = 𝟏𝟐𝟐.𝟕 𝒌𝑵𝒎

𝑚𝑢 =𝑀𝑎1

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 171 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.11 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝛼𝑢 = 1 − 1 −7 + 100 ∗ 𝑚𝑢

57

0.5

= 0.17

𝑎𝑢 =16 ∗ 𝛼𝑢 − 1

15= 0.115

𝑨𝒔 = 𝑎𝑢 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 ∗𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠= 0.115 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.17

434.8∗ 104 = 𝟔. 𝟕𝟖 𝒄𝒎𝟐


ANNEXES

69


x(m) - 4 5.95

Moment fléchissant

(kNm)

- -25.73 36.58


Moment du a g (kNm) 47.50 -106.92 71.20

Travées chargées 1 1+2 2

Moment du a q (kNm) 29.90 -18.07-25.73 36.58

MED (kNm) 108.9 -210.042 150.99

μu =

𝑀𝐸𝐷

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑

xu= 1.25 ∗ 𝑑 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝑦𝑢 0.5 m

As=

𝑀𝐸𝐷

𝑓𝑦𝑘 ∗ 𝑑 ∗ 1 − 0.4𝑥𝑢

cm²

Figure 1.4.3 Détermination des moments maximaux et des sections d’armatures


h(m) 0.67 0.67 0.67

b(m) 0.30 0.30 0.30

d(m) 0.635 0.635 0.635

MED(kNm) 108.90 210.04 150.99

μu 0.053 0.104 0.075

xu 0.043 0.0874 0.062

As (cm²) 4.02 7.88 5.57


ANNEXES

70

1.2.3 Travée 1

𝑀0 = 92.07 ∗3.72

8= 158 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑡1 > 𝑀0 −𝑀𝑤 + 𝑀𝑒

2= 158 −

0 + 171

2= 72.5 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑢 =𝑀𝑡1

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 72.5 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.046 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 ∗ 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2 𝛼𝑢 = 0.103

𝑎𝑢 =5

3∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 − 8 ∗ 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2= 0.048


𝜍𝑠= 0.048 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.17

434.8∗ 104 = 𝟐. 𝟖𝟑 𝒄𝒎𝟐

Vérification ELS

𝑀𝑡1𝐸𝐿𝑆 > 𝑀𝑜𝐸𝐿𝑆 −𝑀𝑒𝐸𝐿𝑆

2= 113.1 −

122.7

2= 51.8 𝑘𝑁𝑚

𝑎𝑛 = 15 ∗𝐴𝑠

𝑏0 ∗ 𝑑= 15 ∗ 2.83 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603= 0.0234

𝛼 = 0.194

𝑚𝑏 = 0.091

𝑚𝑠 = 0.022

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝑡1𝐸𝐿𝑆

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 51.8 ∗

103

0.091 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟓.𝟐𝟐 𝑴𝑷𝒂


𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2∗ 𝑛 = 51.8 ∗ 103 ∗

15

0.022 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟑𝟐𝟑. 𝟖 𝑴𝑷𝒂


ANNEXES

71

1.5 Analyse élastique avec redistribution limitée des moments- EC2

La redistribution des moments provenant de l’analyse élastique peut être effectuée (voir clause 5.5).

Cette méthode peut être utilisée dans les cas de :

- poutres ou dalles continues ;

- sollicitée principalement en flexion ;

- dont le rapport entre portées adjacentes est compris entre 0.5 et 2 ;

Dans ce cas, on peut prendre le facteur de distribution δ :

𝛿 > 0.44 + 1.25 ∗ 0.6 +0.0014

휀𝑐𝑢2 ∗

𝑥𝑢

𝑑𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑓𝑐𝑘 < 50 𝑀𝑝𝑎

avec

- xu : profondeur de l’axe neutre correspondant au moment après redistribution (clause3.1.7(3))

- d : hauteur utile de la section

- εcu2 : voir tableau 3.1

1.5.1 Les différents cas de charges – EC2

1.5.1.1 Efforts en analyse linéaire

Dans la suite des calculs, l’abscisse du moment maximal dans chaque travée dépendant des

moments sur appuis, est fixé afin de faciliter la comparaison des méthodes.

Nous prendrons 1.80 m pour la travée 1, l’appui 1 et 6.10 pour la travée 2.

M 01 M A1 M 12

Distance x (m) 1.80 2 6.10

Cas 0 g*1.35 partout 59.89 -144.34 92.09

Cas 1 q*1.5 seul 44.83 -27.105 -12.65

Cas 2 q*1.5 seul -17.37 -38.6 45.56

Cas 1 104.68 -171.445 82.83

Cas 2 42.52 -182.94 141.71

Figure 1.5.1.1 Moments avec la method de l’analyse linéaire


ANNEXES

72

1.2.5 Travée 2

𝑀0 = 92.07 ∗4.22

8= 203 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑡2 > 𝑀0 −𝑀𝑤 + 𝑀𝑒

2= 203 −

0 + 171

2= 118 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑢 =𝑀𝑡1

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 118 ∗

103

0.3 ∗ 0.6032 ∗ 14.17 ∗ 106= 0.0763 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝐴

𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 ∗ 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2 𝛼𝑢 = 0.137

𝑎𝑢 =5

3∗ 𝛼𝑢2 ∗

3 − 8 ∗ 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2= 0.0799


𝜍𝑠= 0.0799 ∗ 0.3 ∗ 0.603 ∗

14.17

434.8∗ 104 = 𝟒. 𝟕𝟏 𝒄𝒎𝟐

Vérification ELS

𝑀𝑡1𝐸𝐿𝑆 > 𝑀𝑜𝐸𝐿𝑆 −𝑀𝑒𝐸𝐿𝑆

2= 146 −

122.7

2= 84.65

𝑎𝑛 = 15 ∗𝐴𝑠

𝑏0 ∗ 𝑑= 15 ∗ 4.71 ∗

10−4

0.3 ∗ 0.603= 0.04

𝛼 = 0.246

𝑚𝑏 = 0.113

𝑚𝑠 = 0.0369

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝑡1

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 84.65 ∗

103

0.113 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟔. 𝟖𝟕 𝑴𝑷𝒂


𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2∗ 𝑛 = 84.65 ∗ 103 ∗

15

0.0369 ∗ 0.3 ∗ 0.6032= 𝟑𝟏𝟓. 𝟓 𝑴𝑷𝒂


ANNEXES

73

1.5.1.2 Efforts résultant de l’analyse linéaire avec redistribution

δ dépend de x. Nous prendrons les xu calculés en analyse élastique.

Sur appui 1 : 𝑥𝑢 = 0.09 ; 휀𝑐𝑢2 = 0.35% ; 𝑑 = 0.603

𝛿 > 0.44 + 1.25 ∗ 0.6 +0.0014

휀𝑐𝑢2 ∗

𝑥𝑢

𝑑

𝛿 > 0.44 + 1.25 ∗ 0.6 +0.0014

0.35100

∗0.09

0.603= 0.627

Si l’on utilise des armatures de classe B, dans tout les cas δ sera supérieur à 0.7.

𝑀’1 = 0.7 ∗ 182.94 = 128.06 𝑘𝑁𝑚

𝜇𝑢 = 𝑀’1

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑=

128.06

0.30 ∗ 0.6352 ∗ 16.67 ∗ 103= 0.063

𝑥𝑢 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 𝜇𝑢 0.5 = 0.082

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥𝑢

𝑑=

0.082

0.635= 0.129 𝑒𝑡 𝛿 > 0.44 + 1.25 ∗ (0.6 +

0.0014

0.35100

) ∗ 0.129 = 0.5

Comme δ doit être supérieur à 0.7 pour les aciers de classe B, alors nous prendrons δ = 0.7. Ceci

nous donne les tableaux suivant pour les moments sur appuis et en travée redistribués.

Remarque : on note une diminution des moments sur appuis dans les cas 1 et 2.

Figure 1.5.1.2 Moments avec redistribution 𝜹 = 𝟎. 𝟕

MA1 (kNm) MA1 non redistribué (kNm)

Cas 1 1.5 q seul -18.97

Cas 2 1.5 q seul -27.02

Cas 0 1.35g partout -101.04

Cas 1 -120.01 -171.445

Cas 2 -128.06 -182.94


ANNEXES

74

M01 (kNm) Moment M01 non

redistribué (kNm) M12 (kNm)

Moment M12 non

redistribué (kNm)

Cas 1 1.5q seul 48.48 -13.279

Cas 2 1.5q seul -12.16 59.97

Cas 01.35g partout 79.82 112.30

Cas 1 128.3 104.68 99.02 82.83

Cas 2 67.66 42.52 172.27 141.71

Remarque : on note une augmentation des moments en travée.

1.5.2.2 Ferraillage longitudinal


h(m) 0.67 0.67 0.67

b(m) 0.30 0.30 0.30

d(m) 0.635 0.635 0.635

MED(kNm) 128.30 128.08 172.27

μu 0.063 0.063 0.085

xu 0.077 0.077 0.11

As (cm²) 4.8 4.8 6.45

As moments non redistribués (cm²) 4.02 7.88 5.77

Remarque : l’analyse élastique avec redistribution limitée des moments permet de réduire la

section des armatures longitudinales de 10.45%

Figure 1.52.1 Comparaisons des moments avec les méthodes de l’analyse élastique avec et sans redistribution des moments


ANNEXES

75

moments non redistribués

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x (m)

mo

men

ts (

kN

m)

moments cas 1

moments cas 2

moments redistribués

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x (m)

mo

men

ts (

kN

m)

moments redistribués

cas 1 1.35g+1.5q

1.5.2.3 Courbes des moments

Figure 1.5.2.3 Courbes des moments


ANNEXES

76

1.6 Analyse plastique

Cette méthode ne peut être utilisée qu’aux ELU. (Clause 5.6)

Il existe deux approches pour l’analyse limite :

- le théorème statique ;

- le théorème cinématique ;

1.3.1 Théorème Statique

A tout état de contrainte admissible vérifiant les conditions de plasticité, correspond un facteur

de charge λ tel que λ< λult. Pour le dimensionnement des structures, on a intérêt à prendre la

méthode statique qui fournit une borne inférieure de la charge ultime, ce qui nous place en sécurité.

Le dimensionnement s’effectue en considérant des moments plastiques égaux en travée et

sur appui. La condition d’équilibre d²M/dx²=-q conduit à un diagramme des moments fléchissants qui

est de la forme parabole du deuxième degré : M(x) = ax²+bx+c. Les conditions de bords exigent en

plus que les moments aux appuis d’extrémité soient nuls. Les trois inconnues a,b,c et le coefficient

d’abscisse k de la position de la rotule en travée donnent quatre inconnues qui nécessitent quatre

équations.

1.6.1.1 Mécanisme n°1 : rotule au niveau de la première travée

Figure 1.6.1.1 Mécanisme 1

Le système de quatre équations est :

𝑀(0) = 0

𝑀(𝑘𝑙1) = 𝑀𝑝𝑙1 (𝑟𝑜𝑡𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒)

𝑑 𝑀 𝑘𝑙1

𝑑𝑥= 0

𝑀(𝑙1) = −𝑀𝑝𝑙

𝑀(0) = 0 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑐 = 0 𝑐 = 0

𝑀(𝑘𝑙1) = 𝑀𝑝𝑙 𝑎(𝑘𝑙1)² + 𝑏(𝑘𝑙1) = 𝑀𝑝𝑙 𝑎(𝑘𝑙1)² + 𝑏(𝑘𝑙1) = 𝑀𝑝𝑙


ANNEXES

77

𝑑(𝑀(𝑘𝑙1))/𝑑𝑥 = 0 2𝑎 ∗ (𝑘𝑙1) + 𝑏 = 0 𝑏 = −2𝑎 ∗ (𝑘𝑙1)

𝑀(𝑙1) = −𝑀𝑝𝑙 𝑎 ∗ 𝑙1² + 𝑏 ∗ 𝑙1 = −𝑀𝑝𝑙 𝑎𝑙1² ∗ (1 − 2𝑘) = −𝑀𝑝𝑙

𝑐 = 0

𝑏 = 2 ∗ 𝑀𝑝𝑙 ∗𝑘

𝑙1 ∗ 1 − 2𝑘

𝑎 = −

𝑀𝑝𝑙𝑙12

1 − 2𝑘

−𝑘2

1 − 2𝑘+

2𝑘2

1 − 2𝑘= 1 𝑘 = −1 + 20.5

D’après la condition d’équilibre on a : 𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 = −𝑞𝑢𝑙𝑡 = 2 ∗ 𝑎

𝑎 = −𝑞𝑢𝑙𝑡

2= −

𝑀𝑝𝑙𝑙12

1 − 2𝑘

𝑎 = −

𝑀𝑝𝑙𝑙12

1 − 2 −1 + 20.5

𝑎 = −𝑀𝑝𝑙

𝑙12 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5

d’où : 𝑀𝑝𝑙 =1

2∗ 1.35𝑔 + 1.5𝑞 ∗ 𝑙12 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5 = 0.5 ∗ 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗ 42 ∗

3 − 2 ∗ 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 𝟏𝟐𝟔.𝟔𝟖 𝒌𝑵𝒎


ANNEXES

78

1.6.1.2 Mécanisme n°2 : rotule au niveau de la deuxième travée

Figure 1.6.1.2 Mécanisme 2

𝑀(0) = −𝑀𝑝𝑙 𝑐 = −𝑀𝑝𝑙 𝑐 = −𝑀𝑝𝑙

𝑀(𝑘𝑙2) = 𝑀𝑝𝑙 𝑎 ∗ (𝑘𝑙2)² + 𝑏(𝑘𝑙2) + 𝑐 = 𝑀𝑝𝑙 𝑎 ∗ (𝑘𝑙2)² + 𝑏 ∗ (𝑘𝑙2) = 2 ∗ 𝑀𝑝𝑙

𝑑 𝑀 𝑘𝑙2

𝑑𝑥= 0 2 ∗ 𝑎 ∗ (𝑘𝑙2) + 𝑏 = 0 𝑏 = −2𝑎 ∗ (𝑘𝑙2)

𝑀(𝑙2) = 0 𝑎 ∗ (𝑙2)² + 𝑏 ∗ 𝑙2 + 𝑐 = 0 𝑎 ∗ 𝑙2² ∗ (𝑙2 − 2𝑘) = 𝑀𝑝𝑙

𝑐 = −𝑀𝑝𝑙

𝑘2

1−2𝑘+

2𝑘2

1−2𝑘= 2 𝑘 = 2 − 20.5

𝑏 = −2𝑘 ∗𝑀𝑝𝑙

𝑙2 ∗ 1 − 2𝑘

𝑎 =𝑀𝑝𝑙

𝑙22 ∗ 1 − 2𝑘

D’après les conditions d’équilibre

𝑎 = −𝑞𝑢𝑙𝑡

2=

𝑀𝑝𝑙

𝑙22 ∗ −3 + 2 ∗ 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 𝑞𝑢𝑙𝑡/2 ∗ 𝑙2² ∗ (−3 + 2 ∗ 2^0.5) = 0.5 ∗ (1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2) ∗ 4.5² ∗ (−3 + 2 ∗ 2^0.5))

𝑀𝑝𝑙 = 𝟏𝟓𝟗.𝟗𝟓 𝒌𝑵𝒎


ANNEXES

79

1.6.1.3 Détermination du ferraillage

Figure 1.6.1.3.1 Ferraillage en travée

Travée 1 Travée 2

Largeur b (m) 0.3 0.3

Hauteur de la poutre h(m) 0.67 0.67

Position des aciers tendus d(m) 0.635 0.635

MED (kNm) 126.68 159.95

μu 0.063 0.079

Position de l’axe neutre xu (m) 0.081 0.103

As (cm²) 4.75 6.04

Nous savons que pour l’analyse plastique le moment en travée et sur appui sont égaux. Donc on

prend le maximum des moments en travée 1 et 2.

Le moment sur l’appui 1 𝑀𝐴1 = 159.95 𝑘𝑀𝑚.

Tableau 1.6.1.3.2 Ferraillage sur appui

Appui 1

Hauteur de la poutre h(m) 0.67

Largeur de la poutre b(m) 0.30

Hauteur utile d(m) 0.635

MED(kNm) 159.95

μu 0.079

Position de l’axe neutre xu 0.1032

As (cm²) 6.04


ANNEXES

80

Il faut à présent vérifier la ductilité des différentes sections en contrôlant leur capacité de rotation.

(Clause 5.6.2(1))

Remarque : on peut effectuer une analyse plastique sans vérifier directement la capacité de rotation

des sections lorsque les trois conditions sont remplies :

- xu/d< 0.25 pour les classes de bétons < C50/60 ;

- l’acier est de classe B ;

- le rapport entre les moments sur appui et en travées est compris entre 0.5 et 2.

Travée 1 Travée 2 Appui 1

Position de l’axe neutre xu(m) 0.05 0.07 0.07

xu/d 0.083 0.116 0.116

Vérification de la ductilité d’une section

Lorsque l’un des critères de la clause 5.6.2(1) n’est pas rempli, il convient de vérifier la

ductilité des différentes sections, en contrôlant leur capacité de rotation (clause 5.6.3). Dans les

régions ou se forment les rotules plastiques, il est nécessaire que le rapport xu/d ne dépasse pas

0.45 pour les bétons de classe de résistance inférieure à C50/60. Pour le calcul de la rotation

plastique θs, on suppose :

- qu’une zone de longueur 1.2 fois la hauteur de la section supporte des déformations

plastiques ;

- que la section se comporte comme une rotule plastique dès que :

휀𝑠 =𝑓𝑦

𝛾𝑠 ∗ 𝐸𝑠= 500 ∗

106

1.15 ∗ 200 000 ∗ 106= 2.17 ∗ 10−3

- que la courbure est constante sur la longueur 1.2h ;

- qu’on obtient une valeur approchée de la rotation plastique θs

𝜃𝑠 =∫ 𝑟

𝑑𝑥=

∫ 휀𝑠𝑦

𝑑 − 𝑥𝑢 𝑑𝑥= 𝟏.𝟐 ∗ 𝒉 ∗

𝜺𝒔𝒚

𝒅 − 𝒙𝒖


ANNEXES

81

1.6.1.4 Mécanisme n°1

𝑥 = 0𝑚

𝑀 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥 = −𝑏

𝑎= 2𝑘𝑙 = 2 ∗ −1 + 20.5 ∗ 4 = 𝟑. 𝟑𝟏𝟒 𝒎

Rotule en travée 1 Rotule sur appui 1

Moment nul 0 m 6.13 m

Extremum de moment 1.80 m 4 m

λ=(x moment nul-x maximal)/d 2.98 3.53

k λ=( λ/3)^0.5 0.996 1.08

θ pl (mrad) 12.95 13.5

θs (mrad) 3.155 3.273

Vérification OK OK

Figure 1.6.1.4 Mécanisme 1 vérification de la ductilité

8 Valeur obtenue graphiquement figure 5.6N


Position de l’axe neutre

xu (m) 0.05 0.07 0.07

xu/d 0.083 0.116 0.116

θpl pour λ=3 8 13 12.5 12.5

As (cm²) 5.01 6.40 6.40


ANNEXES

82

1.6.1.5 Mécanisme n°2

𝑀 𝑥 = 0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ∆= (2 ∗ 𝑀𝑝𝑙 ∗ (𝑘 − 1)/𝑙2/(1 − 2 ∗ 𝑘)))²

𝑥 = (2𝑘 − 1) ∗ 𝑙2 = 0.686 𝑚

𝑥 = 𝑙2 = 4 𝑚

Rotule sur appui 1 Rotule en travée 2

Moment nul 0.686 m 4 m

Extremum de moment 0 m 2.10 m

λ=(x moment nul-x maximal)/d 1.137 3.15

k λ=( λ/3)^0.5 0.615 1.025

θ pl (mrad) 13.5 13.5

θs (mrad) 3.273 3.273

Vérification OK OK

Tableau 1.6.1.5 mécanisme 2 vérification de la ductilité

1.7 Théorème cinématique – EC2

A un mécanisme de ruine, dans lequel les éléments non plastifiés sont supposés rigides,

correspond un facteur de charge λ tel que λ> λult.

La méthode cinématique fournit une borne supérieure de la charge ultime, c'est-à-dire un

résultat qui ne place pas du coté de la sécurité. Le dimensionnement s’effectue en considérant qu’à

l’état limite ultime la structure se transforme en un mécanisme constitué de parties rigides et des

rotules plastiques.

La notion de cinématique admissible implique que le mécanisme soit compatible avec les

liaisons géométriques et fasse produire aux charges appliquées un travail positif. Selon le principe des

travaux virtuels, le travail des forces extérieures Wext doit être égal au travail intérieur Wint effectué

dans les rotules plastiques.


ANNEXES

83

1.71 Mécanisme 1 : rotule au niveau de la travée 1 – EC2

Figure 1.7.1 mécanisme 1

𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑝𝑙 ∗ (𝜃 ∗ (1 +𝑘

1 − 𝑘) + 𝜃 ∗ (

𝑘

1 − 𝑘)) = 0.5 ∗ 𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙1² ∗ 𝑘 ∗ 𝜃


𝑙2∗

1

𝑘+

2

1 − 𝑘

Position exacte de la rotule


𝑑𝑘= 2 ∗

𝑀𝑝𝑙

𝑙12∗ −

1

𝑘2+

2

1 − 𝑘 2 = 0

𝑘 = −1 + 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 0.5 ∗ 1.35𝑔 + 1.5𝑞 ∗ 𝑙12 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5 = 0.5 ∗ 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗ 42 ∗ 3 − 2 ∗ 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 𝟏𝟐𝟔. 𝟑𝟖 𝒌𝑵𝒎

Remarque : cette valeur est identique à celle trouvée avec le théorème statique.

1.7.2 Mécanisme 2 : rotule au niveau de la travée 2

Figure 1.7.2 Mécanisme 2

𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑝𝑙 ∗ ( 𝜃 + 𝜃 ∗ 1 +𝑘

1 − 𝑘 ) = 1/2 ∗ 𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙2² ∗ 𝑘 ∗ 𝜃 = 𝑊𝑒𝑥𝑡


𝑙2∗

2

𝑘+

1

1 − 𝑘



𝑑𝑘= 2 ∗ 𝑀𝑝𝑙 ∗ −

2

𝑘2+

1

1 − 𝑘 2 = 0

𝑘 = 2 − 20.5


ANNEXES

84

𝑀𝑝𝑙 = ½ ∗ 𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙22 ∗ −3 + 2 ∗ 20.5 = 0.5 ∗ 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗ 4.52 ∗ −3 + 2 ∗ 20.5

𝑀𝑝𝑙 = 𝟏𝟓𝟗.𝟗𝟓 𝒌𝑵𝒎

1.7.3 Détermination du ferraillage longitudinal

Travée 1 Travée 2

Largeur b (m) 0.3 0.3

Hauteur de la poutre h(m) 0.67 0.67

Position des aciers tendus d(m) 0.635 0.635

MED (kNm) 126.68 159.95

μu 0.063 0.080

Position de l’axe neutre xu (m) 0.081 0.108

As (cm²) 4.75 6.05

Figure 1.7.3.1 Détermination du ferraillage longitudinal en travée

Figure 1.7.3.2 Détermination du ferraillage longitudinal en travée

Appui 1

Hauteur de la poutre h(m) 0.67

Largeur de la poutre b(m) 0.30

Hauteur utile d(m) 0.635

MED(kNm) 159.95

μu 0.09

Position de l’axe neutre xu 0.07

As (cm²) 6.05


ANNEXES

85

1.8 Comparaison des différentes méthodes EC2


Analyse élastique

linéaire

As cm² 4.02 5.57 7.88

Gain % - - -

Analyse élastique

linéaire avec

redistribution

As cm² 4.8 6.45 4.8

Gain % - - 40.1

Analyse plastique

As cm² 4.75 6.05 6.05

Gain % - - 25.06

Figure 1.8 Comparaison des méthodes EC2

Remarque:

- les méthodes de redistribution et plastiques sont plus économiques

- les gains des aciers sur appui sont plus importants avec la méthode de redistribution qu’avec

la méthode plastique.

- On retiendra l’avantage de la méthode d’analyse élastique linéaire avec redistribution

limitée des moments.


ANNEXES

86

2. Effort tranchant – EC2

2.1 Vérification - EC2

Remarque : contrairement aux BAEL, on ne compare pas les contraintes ηdu et ηulim mais les efforts

Vrd et Vrdmax.

𝜏𝑢𝑙𝑖𝑚 0.2 ∗𝑓𝑐𝑗

𝛾𝑏 ; 5𝑀𝑃𝑎 dépend de :

- la classe de résistance du béton uniquement ;

Vrdmax dépend de :

- la classe de résistance du béton ;

- des dimensions de la poutre ;

𝑽𝒓𝒅 𝒎𝒂𝒙 = 𝜶𝒄𝒘 ∗ 𝒃𝒘 ∗ 𝒛 ∗ 𝒗𝟏 ∗𝒇𝒄𝒅

𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏𝜽 + 𝒕𝒂𝒏𝜽

𝛼𝑐𝑤 = 1 𝑑’𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙’𝑎𝑛𝑛𝑒𝑥𝑒 𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒

𝑣1 = 0.6 ∗ 1 −𝑓𝑐𝑘

250 = 0.6 ∗ 1 −

25

250 = 0.54

𝑧 = 0.9 ∗ 𝑑 = 0.9 ∗ 0.635 = 0.57

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2.5 → 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 0.4

𝑉𝑟𝑑max = 1 ∗ 0.3 ∗ 0.57 ∗ 0.54 ∗16.67 ∗ 103

2.5 + 0.4= 530 𝑘𝑁

Cette valeur est supérieure à l’effort tranchant maximal, la valeur de cotanθ=2.5 est donc validée.

2.2 Dimensionnement des armatures transversales- EC2

𝑉𝑟𝑑𝑠 =𝐴𝑠𝑤

𝑠∗ 0.9 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑤𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃 .

207.17 ∗ 103 =𝐴𝑠𝑤

𝑠∗ 0.9 ∗ 0.645 ∗ 435 ∗ 106 ∗ 2.5

𝐴𝑠𝑤

𝑠 > 3.28𝑐𝑚2/𝑚𝑙

𝑪𝒉𝒐𝒊𝒙 ∶ 𝑯𝑨𝟖 𝒔𝒕 = 𝟏𝟏. 𝟓 𝒎


ANNEXES

87

2.1 Armatures transversales – BAEL

𝑽𝒅𝒖𝟏 = 1.35 ∗ 𝐺 + 1.5 ∗ 𝑄 ∗𝐿2

2= 1.35 ∗ 46.87 + 1.5 ∗ 19.2 ∗

4.2

2= 193.4𝑘𝑁

Vérification de la contrainte de cisaillement

𝝉𝒅𝒖𝟏 =𝑉𝑑𝑢2

𝑏𝑜 ∗ 𝑑= 193.4 ∗ (

10−3

0.3 ∗ 0.603) = 1.07 𝑀𝑃𝑎 < 𝝉𝒖𝒍𝒊𝒎 = 3.33 𝑀𝑃𝑎

𝑠𝑡 < 𝑚𝑖𝑛𝑖 0.9 ∗ 𝑑 ; 40 𝑐𝑚 = 𝑚𝑖𝑛𝑖 54𝑐𝑚 ; 40𝑐𝑚 = 40 𝑐𝑚

𝐴𝑡

𝑠𝑡> 𝜏𝑑𝑢1 ∗ 𝑏𝑜 ∗

𝛾𝑠

0.9 ∗ 𝑓𝑒

𝑪𝒉𝒐𝒊𝒙 : 𝟏𝑯𝑨𝟖 𝒔𝒕 = 𝟏𝟓.𝟏 𝒄𝒎

Dispositions minimales d’armatures transversales :

Densité minimale d’armatures :

0.08 ∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5

𝑓𝑦𝑘= 0.08 ∗

250.5

500= 0.0008 soit 8cm²/ml.

Pour une poutre de 0.3*0.67, il faut donc au minimum 1.61cm².

Espacement longitudinal maxi entre cours 𝑠 < 0.75𝑑 = 0.435𝑚

Espacement transversal maxi entre cours 𝑠 < 𝑖𝑛𝑓(0.75𝑑 ; 600𝑚𝑚) = 0.48


ANNEXES

88

3. Comparaison des différentes méthodes EC2 et BAEL : armatures

longitudinales

Tableau 3. Comparaison des résultats : armatures longitudinales


Analyse élastique

linéaire

As(cm²) 4.02

(5.1cm²)

5.57

(5.57cm²)

7.88

(7.88cm²)

Gain

(%)

-31.52%

(+0%)

+8.69%

(+25.8%)

+63.15%

(-40.6%)

Analyse élastique

linéaire avec

redistribution

As

(cm²)

4.8

(5.1cm²)

6.45

(6.45cm²)

4.8

(5.1cm²)

Gain

(%)

-18.23%

(+13.2%)

+5.74%

(-14.11%)

-0.62%

(-9.9%)

Analyse plastique

As

(cm²)

4.75

(5.1cm²)

6.05

(6.05cm²)

6.05

(6.05cm²)

Gain

(%)

-19.09%

(-13.12%)

-0.82%

(-19.44%)

+25.26%

(+7.8%)

BA

EL

Méthode forfaitaire9

As

(cm²)

5.87

(5.87cm²)

6.1

(7.51cm²)

4.83

(5.61cm²)

Caquot

As

(cm²)

2.83

(5.1cm²)

4.71

(5.42cm²)

6.78

(8.14cm²)

Gain

(%)

+107.42 %

(15.10%)

+29.51%

(+38.6%)

-28.8%

(-31.08%)

9 La méthode forfaitaire a été choisie comme référence pour la comparaison des résultats.


ANNEXES

89

4. Comparaison des différentes méthodes EC2 et BAEL : effort

tranchant

Tableau 4. Comparaison des résultats – armatures transversales

Eurocode 2 BAEL

Vérification

contraintes Τdu (MPa) - 1.14<3.33

effort tranchant Vrd (kN) 173.28<540.43 -

Sans

disposition

parasismique

Sections At 1HA8 1HA8

Espacement (cm) 11.5 15.2

Avec

dispositions

parasismiques

As transversales cm² Zone courante 1HA8

Zone critique 2HA8 Zone courante 1HA8

Zone critique 2HA8

Espacement st (m) Zone courante 11.4

Zone critique 10

Zone courante 9.6

Zone critique 10.1


ANNEXES

90

Annexe 5. Flèche

Annexe 5.1 Vérification de la flèche

Annexe 5.1.1 : Dispense de calcul de la flèche

𝑙

𝑑= 𝐾 ∗ 11 + 1.5 ∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5 ∗

𝜌0

𝜌+ 3.2 ∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5 ∗

𝜌0

𝜌− 1

32 𝑠𝑖 𝜌 < 𝜌0

𝑙

𝑑= 𝐾 ∗ 11 + 1.5 ∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5 ∗

𝜌0

𝜌 − 𝜌’+

1

12∗ 𝑓𝑐𝑘 0.5 ∗

𝜌’

𝜌0

0.5

𝑠𝑖 𝜌 > 𝜌0

Avec : L/d : valeur limite du rapport portée / hauteur

K : coefficient qui tient compte des différents systèmes structuraux

𝜌0: Pourcentage d’armatures de référence 𝜌0 = 𝑓𝑐𝑘 ∗ 10−3

𝝆 : Pourcentage d’armatures de traction nécessaire à mi-portée

𝝆 ‘ : Pourcentage d’armatures de compression nécessaire à mi-portée


ANNEXES

91

Annexe 6. Dalles

Annexe 6.1 – Dispositions minimales

6.1.1 Dispositions minimales - EC2 -9.3.11

- Armatures de flexion : 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑖 = 𝑀𝑎𝑥 0.26 ∗𝑓𝑐𝑒𝑓𝑓

𝑓𝑦𝑘∗ 𝑏𝑡 ∗ 𝑑 ; 0.0013 ∗ 𝑏𝑡 ∗ 𝑑 ;

- 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 ∗20

100 ;

- Espacement sens petite portée : 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑙𝑎𝑏𝑠 𝑥 = {2 ∗ ; 25𝑐𝑚} ;

- Espacement sens grande portée : 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑙𝑎𝑏𝑠 𝑦 = {3 ∗ ; 40 𝑐𝑚} ;

Arrêt des barres : dalles sur appuis simple : la moitié de la section d’aciers en travée est prolongée et

ancrée sur appuis.

Décalage de la courbe des moments est égal à d ;

Armatures d’effort tranchant : dalle dont h>200mm

6.1.1 Dispositions minimales – BAEL

𝜌𝑜 𝑚𝑖𝑛 = 0.0006

𝜌𝑥 > 𝜌0 ∗3 −

𝑙𝑥𝑙𝑦

2 𝑒𝑡 𝜌𝑦 > 𝜌0


ANNEXES

92

Annexe 6.2 : Note de calcul dalle calculée en « poutre »

1.1. Données –Ec2 Dimensions : 9.5*3.8 = 0.27𝑚 𝑑1 = 0.04𝑚 𝑑 = 0.23𝑚 𝑏é𝑡𝑜𝑛 𝐶25/30 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑆500 𝑓𝑦𝑘 = 500𝑀𝑃𝑎 Charges permanentes 𝑔 = 8.7 𝑘𝑁/𝑚² Charges d’exploitation 𝑞 = 2.0 𝑘𝑁/𝑚² Repose sur des voiles de 0.20m

1.2. Définition de la portée clause 5.3.2.2

La portée de calcul n’est pas la portée entre nus d’appuis comme dans le BAEL, mais :

leff= ln+a1+a2 ln : portée entre nus d’appuis 𝑎2 = 𝑎1 = 𝑚𝑖𝑛(/2 ; 𝑡/2) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑡 : é𝑝𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙’𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖 𝑎2 = 𝑎1 = 𝑚𝑖𝑛(/2 ; 𝑡/2) = 𝑚𝑖𝑛 (0.27/2 ; 0.20/2) = 0.10𝑚 lx=3.8 m ly=9.5 m Les portées efficaces sont donc égales à :

- 𝑙𝑥𝑒𝑓𝑓 = 3.8 + 0.10 + 0.10 = 4.0 𝑚 - 𝑙𝑦𝑒𝑓𝑓 = 9.5 + 0.10 + 0.10 = 9.7 𝑚

Le rapport des portées vaut : 𝑙𝑦𝑒𝑓𝑓

𝑙𝑥1𝑒𝑓𝑓=

9.7

4= 2.4 > 2

La dalle est considérée comme portant dans une seule direction.


ANNEXES

93

1.1. Données –BAEL Dimensions : 9.5*3.8 = 0.27𝑚 𝑑1 = 0.04𝑚 𝑑 = 0.23𝑚 𝑏é𝑡𝑜𝑛 𝐵25 𝑓𝑐28 = 25𝑀𝑃𝑎 𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑆500 𝑓𝑒 = 500𝑀𝑃𝑎

Charges permanentes 𝑔 = 8.7 𝑘𝑁/𝑚² Charges d’exploitation 𝑞 = 2.0 𝑘𝑁/𝑚² Repose sur des voiles de 0.20m


ANNEXES

94

1.3 Calcul du moment fléchissant – EC2

𝑴𝑬𝑫 𝒙 = 𝟏. 𝟑𝟓 ∗ 𝟖.𝟕 + 𝟏.𝟓 ∗ 𝟐 ∗𝟒.𝟎𝟐

𝟖= 𝟑𝟎. 𝟎𝟕 𝒌𝑵𝒎

𝑴𝑬𝑫𝒚 = 𝟏. 𝟑𝟓 ∗ 𝟖. 𝟕 + 𝟏. 𝟑𝟓 ∗ 𝟐 ∗𝟗. 𝟕𝟐

𝟖= 𝟏𝟕𝟑.𝟒 𝒌𝑵𝒎

1.4 Calcul des armatures en flexion –EC2

1.4.1 Armatures inférieures dans le sens de la petite portée

- diagramme à branche incliné + diagramme rectangulaire simplifié

𝛆𝐛 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑

Pour les aciers de type B, 𝛆𝐮𝐤 = 𝟓%, 𝛆𝐮𝐝 = 𝟎. 𝟗 ∗ 𝛆𝐮𝐤 = 𝟒𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝛆𝐬

𝛍𝐮 =𝐌𝐄𝐃

𝐛 ∗ 𝐝𝟐 ∗ 𝐟𝐜𝐝= 𝟎. 𝟎𝟑𝟒

𝜶𝒖 = 𝟏. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏 − 𝟏 − 𝟐 ∗ 𝜇𝑢 0.5 = 0.0432

𝛆𝐛 =𝟒𝟓

𝟏𝟎𝟎𝟎∗

𝛂

𝟏 − 𝛂

𝛔𝐬 = 𝟒𝟑𝟓 + 𝟕𝟐𝟖 ∗ 𝛆𝐬 − 𝟐.𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 휀𝑠 = 45 ∗ 10−3

𝛔𝐬 = 𝟒𝟔𝟔 𝐌𝐏𝐚


1 − 0.4𝛼𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝜍𝑠= 2.95 𝑐𝑚² /𝑚

On prendra comme valeur 3.14 cm²/m (voir valeur minimale)

1.4.2 Armatures inférieures dans le sens de la grande portée 𝑀𝐸𝑑𝑦 = 0.2 ∗ 30.07 = 6.014 𝑘𝑁𝑚

𝜇 =𝑀𝐸𝐷

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑=

6.014

1 ∗ 0.24² ∗ 16.7 ∗ 103= 0.00625

Diagramme rectangulaire simplifié :

𝛼𝑢 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝜇𝑢 0.5 = 0.0078


1 − 0.4𝛼𝑢 ∗ 𝑑 ∗ 𝜍𝑠= 0.58 𝑐𝑚²/𝑚


ANNEXES

95

1.3 Calcul du moment fléchissant – BAEL

𝑀𝐸𝐷 𝑥 = 1.35 ∗ 8.7 + 1.5 ∗ 2 ∗3.82

8= 26.62 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐸𝐷𝑦 = 1.35 ∗ 8.7 + 1.35 ∗ 2 ∗9.52

8= 166.4 𝑘𝑁𝑚

1.4 Calcul des armatures en flexion –EC2

1.4.1 Armatures inférieures dans le sens de la petite portée

𝑚𝑢 =𝑀𝐸𝐷𝑥

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢=

26.62

1 ∗ 0.242 ∗ 14.7 ∗ 103= 0.031

𝛼𝑢 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝑚𝑢 0.5 = 0.0399

𝑎𝑢 = 0.8 ∗ 𝛼𝑢 = 0.0319

𝐴𝑠𝑥 = 𝑎𝑢 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 ∗𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠= 0.0319 ∗ 1 ∗ 0.24 ∗ 14.7 ∗

106

435106= 2.59 𝑐𝑚²/𝑚

1.4.2 Armatures inférieures dans le sens de la grande portée – BAEL

Les armatures disposées suivant les deux directions perpendiculaires sont telles que le rapport de la

section armant la direction la moins sollicitée à celle armant la direction orthogonale (la plus sollicitée)

est au moins égale à :

- 1/3 si les charges appliquées comprennent des efforts concentrés ; - ¼ dans le cas contraire ;

𝐴𝑠𝑦 =𝐴𝑠𝑥

4=

2.59

4= 0.65

𝑐𝑚2

𝑚


ANNEXES

96

1.5 Sections minimales – EC2

- armatures inférieures dans le sens de la petite portée

Asmin = max As; 0.26 ∗ b ∗ d ∗fctm

fyk; 0.0013 ∗ b ∗ d

As = kc ∗ k ∗ fctef ∗Act

σs= 0.4 ∗ 1 ∗ 2.6 ∗ 106 ∗ 100 ∗

27

2 ∗

10−4

500∗106 = 2.81cm²/m

Asmin = max(2.81; 0.26 ∗ 1 ∗ 0.24 ∗ 2.6 ∗106

435 ∗ 106= 3.73; 0.0013 ∗ 1 ∗ 0.24 = 3.14cm2/m

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.0013 ∗ 1 ∗ 0.24 = 3.12 𝑐𝑚²/𝑚

Asmin = 3.14cm²/m

- Armatures supérieures Clause 9.3.1.2 : sur un appui d’extrémité, le moment à équilibrer peut être réduit jusqu’à 15% du moment maximal de la travée adjacente.

𝟎. 𝟏𝟓 ∗ 𝟑. 𝟑𝟔 = 𝟎. 𝟓 𝐜𝐦²/𝐦

1.6 Sections maximales

0.04 ∗ Ac = 0.04 ∗ 100 ∗ 27 = 108 cm²/m

1.7 Choix des diamètres et des écartements Les écartements maximaux doivent respecter : min 3 ∗ h; 40cm = min 81; 40 = 40cm pour les armatures parallèles aux petits cotés

min 3.5 ∗ h; 45cm = min 94.5cl; 45cm = 45cm pour les armatures parallèles aux grands cotés

2. Vérification de l’effort tranchant – EC2

2.1 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis

- Appui de rive :

Ved = 29.5 kN Il faut donc ancrer en rive :

Ved ∗ z ∗ cotanθ

fywd ∗ 2 ∗ d=

Ved ∗ a1

fywd ∗ z=

29.5 ∗ 103

0.9 ∗ 435 ∗ 106= 0.75cm²/m


ANNEXES

97

2. Vérification de l’effort tranchant – BAEL

2.1 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis Appui de rive 𝑉𝐸𝐷 = (1.35 ∗ 8.7 + 1.5 ∗ 2) ∗ 4/2 = 29.5 𝑘𝑁

𝐴𝑠 > 𝑉𝑑𝑢 ∗𝛾1

𝑓𝑒= 29.5 ∗

1.15

500 ∗ 103= 0.68

𝑐𝑚2

𝑚𝑙


ANNEXES

98

2.2 Armatures transversales – EC 2 L’effort tranchant limite dispensant de la présence d’armatures transversales est :

Vrd, ct = crdc ∗ k ∗ 100 ∗ ρ ∗ fck 13 ∗ b ∗ d

vrdc =Vrdct

b ∗ d

crdc = 0.12

𝑘 = 1 + √(200/270) = 1.86 ⋍ 2

ρ =Asl

b ∗ d=

0.75

100 ∗ 24= 3.125 ∗ 10−4

vrdc = 0.12 ∗ 2 ∗ 100 ∗ 3.125 ∗ 10−4 ∗ 25 0.33 = 0.22 MPa

νmin =0.34

γc∗ fck0.5 =

0.34

1.5∗ 250.5 = 1.13MPa

𝜈𝑚𝑖𝑛 > 𝑉𝑟𝑑𝑐 il n’est donc pas nécessaire d’avoir des armatures transversales

3. ELS- EC2

3.1 Béton en compression

σc < 0.6 ∗ 𝑓𝑐𝑘 = 15 𝑀𝑃𝑎

3.2 Acier en traction

𝑓𝑠 < 0.8 ∗ 𝑓𝑦𝑘 = 0.8 ∗ 500 = 400 𝑀𝑃𝑎


ANNEXES

99


Aucune armature d’effort tranchant n’est nécessaire si les conditions suivantes sont vérifiées :

- La pièce concernée est bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur ;

- La contrainte tangentielle est au plus égale à 0.07*fcj/γb

𝜏𝑢 =𝑉𝐸𝐷

𝑏 ∗ 𝑑2= 29.5 ∗

103

1 ∗ 0.242= 0.51 𝑀𝑃𝑎

0.07 ∗𝑓𝑐𝑗

𝛾𝑏= 0.07 ∗ 25 ∗

106

1.5= 1.16 𝑀𝑃𝑎

Il n’y a pas besoin d’armer au tranchant !

3. ELS- EC2

3.1 Béton en compression

𝑎𝑛 = 𝐴𝑠 ∗𝑛

𝑏0 ∗ 𝑑= 2.59 ∗ 10−4 ∗

15

1 ∗ 0.24= 0.016 =

𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼

𝛼 = 0.1635

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 = 0.077

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏 = 0.015

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑚𝑏 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 19.35 ∗

103

0.077 ∗ 1 ∗ 0.24= 4.36 𝑀𝑃𝑎 < 𝜍𝑏𝑐

𝜍𝑠 =𝑛 ∗ 𝑀𝑠𝑒𝑟

𝑚𝑠 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑2= 19.35 ∗

103

1 ∗ 0.242 ∗ 0.0115= 29.21 𝑀𝑃𝑎 < 𝜍𝑠


ANNEXES

100

3.3 Calcul de la flèche de la travée – EC2 Dispense de calcul de la flèche :

cas de dispense de calcul de la fléche

si ρ< ou = ρ0


h= 0.27 m

l= 4.00 m


As = 2.59 cm² section d'armatures à mi-travée



structuraux

fck = 25.00 MPa





vérification ok

si ρ> ρ0


l= 4.00 m


As = 2.59 cm² section d'armatures à mi -travée



structuraux

fck = 25.00 MPa


ρ'= 0.00 pourcentage d'armatures de compression

nécessaire à mi-portée




vérification ok


ANNEXES

101

3.3 Calcul de la flèche de la travée – BAEL

Tableau 3.3 Calcul de la flèche

La flèche est inférieure à la flèche admissible !

ft28 2.60 MPa

bo= 1.00 m

b= 1.00 m

As= 0.00026 m² an= 0.0161875

h= 0.27 m α= 0.164469731

d= 0.24 m ms= 0.015300049

ρ= 0.00108

n= 15.00

d1= 0.03 m

L= 3.80 m

g= 8.70 kN/m²

q= 2.00 kN/m²

Mels= 15.7035 kNm

λv= 0.02*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 9.64 σs= 267.283666 MPa

μgv= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) -0.21

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.00 m4

Ifv= 1.1*l0/(1+λv*μv) 0.00

fgv= M*L²/(10*Ev*Ifv) -0.0012 m

Mels= 15.7035 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 24.09 σs= 267.283666 MPa

μgi= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) -0.21

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.00 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fgi= M*L²/(10*Ev*Ifi) -0.00157 m

Miels= 13.8985 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 24.09 σsi= 236.561406 MPa

μji= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) -0.26

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.00 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fji= M*L²/(10*Ev*Ifi) -0.00175 m

Mels= 19.3135 kNm

λi= 0.05*ft28/((2+3*b0/b)* ρ) 24.09 σs= 328.728187 MPa

μpi= 1-1.75*ft28/(4*ρ* σs+ft28) -0.13

I0 = b0*h^3/12+n*As*(h/2-d1)² 0.00 m4

Ifi= 1.1*l0/(1+λi*μi) 0.00

fpi= M*L²/(10*Ev*Ifi) -0.00102 m

Δft =fgv-fji+fpi-fgi 0.00110 m L/500 0.0076 m si L<5m

L/1000+0.05 0.0088 m si L>m

flèche instantanée due aux charges permanentes à la

pose des cloisons


permanentes et d’exploitation

Δft flèche totale

contraintes : charges permanentes +

exploitation

Données

flèche de longue durée due à l’ensemble des charges

permanentes


permanentes





flèche admissible fadm

moment : charges permanentes avant

cloisons

contraintes : charges permanentes avant

cloisons

moment : charges permanentes et

d'exploitation


ANNEXES

102

Annexe 6.3 : Dalle portant dans deux directions et articulée sur les quatre

bords –EC2

Dimensions : 6.4m*6m

= 0.15𝑚

𝑑1 = 0.035𝑚

𝑑 = 0.12𝑚

Matériaux 𝑏é𝑡𝑜𝑛 𝐶25/30 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎

𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑆500 𝑓𝑦𝑘 = 500𝑀𝑃𝑎

Charges permanentes 𝑔 = 4.75 𝑘𝑁/𝑚²

Charges d’exploitation 𝑞 = 2.5 𝑘𝑁/𝑚²

Repose sur des voiles de 0.20m

1.1 Armatures de flexion

D’après Robot

𝑀𝑥𝑥 = −6.24 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑦𝑦 = −5.53 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀𝑥𝑦 = −4.95 𝑘𝑁𝑚/𝑚

Les moments principaux sont égaux à :

𝑀1 = 11.19 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝑀2 = 10.48 𝑘𝑁𝑚/𝑚

𝐴𝑠𝑥 = 2.30 𝑐𝑚²/𝑚

𝐴𝑠𝑦 = 2.14 𝑐𝑚²/𝑚

6.4m

6m


ANNEXES

103

Annexe 6.3 : Dalle portant dans deux directions et articulée sur les quatre

bords- BAEL

Dimensions : 6.4m*6m

= 0.15𝑚

𝑑1 = 0.03𝑚

𝑑 = 0.12𝑚

Matériaux 𝑏é𝑡𝑜𝑛 𝐶25/30 𝑓𝑐𝑘 = 25𝑀𝑃𝑎

𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑆500 𝑓𝑦𝑘 = 500𝑀𝑃𝑎

Charges permanentes 𝑔 = 4.75 𝑘𝑁/𝑚²

Charges d’exploitation 𝑞 = 2.5 𝑘𝑁/𝑚²

Repose sur des voiles de 0.20m

1.1 Armatures de flexion

𝑙𝑥/𝑙𝑦 = 6.4/6 = 0.94 𝜇𝑥 = 0.041 𝑒𝑡 𝜇𝑦 = 0.887

𝑀𝑥 = 0.041 ∗ 1.35 ∗ 4.75 + 1.5 ∗ 2.5 ∗ 6.42 = 17.06 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑦 = 𝜇𝑦 ∗ 𝑀𝑥 = 0.887 ∗ 17.06 = 15.13 𝑘𝑁𝑚

𝑚𝑢𝑥 =𝑀𝑢

𝑏2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 17.06 ∗

103

0.12² ∗ 14.7 ∗ 106= 0.08

𝑚𝑢𝑦 =𝑀𝑢

𝑏2 ∗ 𝑓𝑏𝑢= 15.13 ∗

103

0.122 ∗ 14.7 ∗ 106= 0.0714

𝛼𝑢𝑥 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝑚𝑢𝑥 0.5 = 0.1

𝛼𝑢𝑦 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝑚𝑢𝑥 0.5 = 0.093

𝐴𝑠𝑥 =𝑀𝑥

1 − 0.4 ∗ 𝛼𝑢𝑥 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑑= 3.40 𝑐𝑚²/𝑚

𝐴𝑦𝑥 =𝑀𝑦

1 − 0.4 ∗ 𝛼𝑢𝑥 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑦𝑑= 3.01 𝑐𝑚²/𝑚

6.4m

6m


ANNEXES

104

1.2 Armatures transversales – EC2

L’effort tranchant limite dispensant de la présence d’armatures transversales est :

𝐕𝐫𝐝, 𝐜𝐭 = 𝐜𝐫𝐝𝐜 ∗ 𝐤 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝛒 ∗ 𝐟𝐜𝐤 𝟏𝟑 ∗ 𝐛 ∗ 𝐝

𝐯𝐫𝐝𝐜 =𝐕𝐫𝐝𝐜𝐭

𝐛 ∗ 𝐝

crdc = 0.12

𝒌 = 𝟏 + √(𝟐𝟎𝟎/𝟐𝟕𝟎) = 𝟏. 𝟖𝟔 ⋍ 𝟐

𝜌 =𝐴𝑠𝑙

𝑏 ∗ 𝑑=

2.30

100 ∗ 12= 0.00192

𝐯𝐫𝐝𝐜 = 𝟎.𝟏𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟗𝟐 ∗ 𝟐𝟓 𝟎.𝟑𝟑 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟐 𝐌𝐏𝐚

𝛎𝐦𝐢𝐧 =𝟎. 𝟑𝟒

𝛄𝐜∗ 𝐟𝐜𝐤𝟎.𝟓 =

𝟎. 𝟑𝟒

𝟏. 𝟓∗ 𝟐𝟓𝟎.𝟓 = 𝟏.𝟏𝟑𝐌𝐏𝐚

𝜈𝑚𝑖𝑛 > 𝑉𝑟𝑑𝑐 il n’est donc pas nécessaire d’avoir des armatures d’âmes


ANNEXES

105


Aucune armature d’effort tranchant n’est nécessaire si les conditions suivantes sont vérifiées :

- - la pièce concernée est bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur ;

- La contrainte tangentielle est au plus égale à 0.07*fcj/γb ;

𝜏𝑢 =𝑉𝐸𝐷

𝑏 ∗ 𝑑2= 32.52 ∗

103

1 ∗ 0.122= 2.25 𝑀𝑃𝑎

0.07 ∗𝑓𝑐𝑗

𝛾𝑏= 0.07 ∗ 25 ∗

106

1.5= 1.16 𝑀𝑃𝑎

Il faut donc armer à l’effort tranchant :

𝐴𝑠

𝑠𝑡> 𝜏𝑢 ∗ 𝑏0 ∗

𝛾1

0.9 ∗ 𝑓𝑒= 2.25 ∗ 106 ∗ 1 ∗

1.5

0.9 ∗ 500 ∗ 106= 0.00575


ANNEXES

106

Annexe 3.4.2 Détermination des moments pour le calcul d’une dalle articulée sur les quatre

cotés

- Détermination des moments de flexion :

𝑀𝑥𝑥 = 16 ∗Ω

Π4∗

𝑚𝑎

2

+ 𝜈 ∗ 𝑛𝑏

2

∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑚 ∗ 𝛱 ∗𝑥𝑎 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 ∗ 𝛱 ∗

𝑦𝑏

𝑚 ∗ 𝑛 ∗ 𝑚2

𝑎2 +𝑛2

𝑏2 2

∞

𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑠

∞

𝑚

𝑀𝑦𝑦 = 16 ∗Ω

Π4∗

𝜈 ∗ 𝑚𝑎

2

+ 𝑛𝑏

2

∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑚 ∗ 𝛱 ∗𝑥𝑎 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 ∗ 𝛱 ∗

𝑦𝑏

𝑚 ∗ 𝑛 ∗ 𝑚2

𝑎2 +𝑛2

𝑏2 2

∞


∞

𝑚

Le moment au centre de la plaque :𝑥 =𝑎

2𝑒𝑡 𝑦 =

𝑏

2

- Détermination des moments de torsion :

𝑀𝑥𝑦 = − 1 − 𝜈 ∗ 16 ∗Ω

Π4∗ (

cos 𝑚 ∗ 𝜋 ∗𝑥𝑎 ∗ cos 𝑛 ∗ 𝜋 ∗

𝑦𝑏

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑚𝑎

2

+ 𝑛𝑏

2

2 )

∞


∞

𝑚

- Détermination des moments principaux

𝑀1 =1

sin 𝜃1 − 𝜃2 ∗ cos 𝜃1 − 𝜃2 ∗ (−𝑀𝑥 ∗ sin(𝜃2 ∗

cos 𝜃1 + 𝜃2

2+ 𝑀𝑦 ∗ cos 𝜃2 ∗ 𝑠𝑖𝑛

𝜃1 + 𝜃2

2

+ 𝑀𝑥𝑦 ∗ (cos(𝜃1 + 𝜃2

2+ 𝜃2)

𝑀1 =1

sin −𝜋/2 ∗ cos −𝜋/4 ∗ (−𝑀𝑥 ∗ sin(−

𝜋

4) + 𝑀𝑦 ∗ cos 0 + 𝑀𝑥𝑦 ∗ (cos(

𝜋

4+

𝜋

2)

𝑀1 =1

−1 ∗√22

∗ (−𝑀𝑥 ∗√2

2+ 𝑀𝑥𝑦 ∗ (cos(−

√2

2)

𝑴𝟏 = 𝑴𝒙𝒙 + 𝑴𝒙𝒚

𝑀2 =1

𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 ∗ (𝑀𝑥 ∗ sin(𝜃1 ∗

𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2

2− 𝑀𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 ∗ 𝑠𝑖𝑛

𝜃1 + 𝜃2

2

− 𝑀𝑥𝑦 ∗ (cos(𝜃1 + 𝜃2

2+ 𝜃1)

𝑀2 =1

𝑠𝑖𝑛 −𝜋/2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 −𝜋/4 ∗ (𝑀𝑥 ∗ sin(0) − 𝑀𝑦 ∗ 𝑐𝑜𝑠 0 ∗ 𝑠𝑖𝑛

𝜋

4 − 𝑀𝑥𝑦 ∗ (cos

𝜋

4 )

𝑀2 =1

−1 ∗√22

∗ (−𝑀𝑦 ∗√2

2− 𝑀𝑥𝑦 ∗

√2

2)

𝑴𝟐 = 𝑴𝒚𝒚 + 𝑴𝒙𝒚


ANNEXES

107

Annexe 7. Poutre- voiles

Annexe 7.1. Note de calcul poutre-voile

1.1. Données – EC2

- matériaux

𝐵é𝑡𝑜𝑛 : 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 𝐴𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎

- charges

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 : 𝑔 = 139.96 𝑘𝑁/𝑚 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠 𝑑’𝑒𝑥𝑝𝑙𝑜𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑞 = 23.8 𝑘𝑁/𝑚

𝑃𝑜𝑟𝑡é𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑥𝑒 : 𝐿 = 5.50𝑚 𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = 3.70𝑚 < 𝐿 = 5.50𝑚 𝐵𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑍 = 0.6 ∗ 𝐿 = 0.6 ∗ 5.50 = 3.30𝑚

tan 𝜃 =𝑍

𝐿 − 𝑎∗ 4 =

3.30

5.50 − 0.30∗ 4 = 2.5

2 < 𝑡𝑎𝑛(𝜃) < 3

1.2 Tirant principal – EC2

1.2.1 Efforts de traction

𝑻 =𝑹𝒂

𝒕𝒂𝒏 𝜽

𝑨𝒗𝒆𝒄 :

𝑅𝑎 = 𝑝𝐸𝑑 ∗𝐿 + 𝑎

2= 225.51 ∗ 103 ∗

5.5 + 0.30

2= 𝟔𝟓𝟑. 𝟗𝟖 𝒌𝑵

𝑝𝐸𝑑 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞 = 𝟐𝟐𝟓. 𝟓𝟏 𝒌𝑵/𝒎

𝑻 =𝑹𝒂

𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 653.98 ∗

103

2.5= 𝟐𝟔𝟏. 𝟔 𝒌𝑵

Figure 7.1 Localisation de la poutre- voile


ANNEXES

108

BAEL Annexe E.5 : Méthode de calcul et disposition d’armatures

des parois fléchies (murs, cloisons ou voiles formant poutre)

1.1 Données- BAEL

𝑙𝑡 : 𝑝𝑜𝑟𝑡é𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑥𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖𝑠 ; 𝑙𝑡 = 5.5𝑚

𝑙0 : 𝑝𝑜𝑟𝑡é𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑛𝑢𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖𝑠 ; 𝑙0 = 5.35𝑚

𝑙 : 𝑝𝑜𝑟𝑡é𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙, 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑒 é𝑔𝑎𝑙𝑒 à 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑡 𝑒𝑡 1.15∗ 𝑙0 ;

𝑙 = 5.5𝑚

: 𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖 = 3.70𝑚

𝑏𝑜 : é𝑝𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖 ;

𝑧 : 𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑖𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠 à 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒

𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 ;

𝑝 : 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑑’𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑒 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑎𝑢𝑥 𝐸𝐿𝑈 ; 1.35 ∗ 139.86 + 1.5 ∗ 23.8 = 𝟐𝟐𝟓.𝟓𝟏𝟏𝑘𝑁/𝑚

𝑀𝑜, 𝑢 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒

𝑀𝑜, 𝑢 =𝑝𝑙2

8 = 225.51 ∗

5.52

8= 𝟖𝟓𝟐.𝟕𝟏 𝒌𝑵𝒎

𝑉0, 𝑢 : 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑟é𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑉0, 𝑢 =𝑝𝑙

2= 𝟔𝟐𝟎. 𝟏𝟔 𝒌𝑵

𝜏0, 𝑢 : 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 :

𝜏0, 𝑢 = 𝑉0𝑢

𝑏0 ∗ 𝑠𝑖 < 𝑙

𝜏0, 𝑢 = 𝑉0𝑢

𝑏0 ∗ 𝑙𝑠𝑖 𝑙 <


ANNEXES

109

1.2.2 Aciers principaux inférieurs –EC2

𝐴𝑠 =𝑇

𝑓𝑦𝑘𝛾𝑠

=261.6 ∗ 103

500 ∗106

1.15

= 𝟔. 𝟎𝟐 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒉𝒐𝒊𝒙 𝟒 𝒍𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝑯𝑨𝟏𝟎

1.3 Bielles primaires – EC2

1.3.1 Efforts de compression dans la bielle horizontale

𝐶 = 𝑇 = 261.6 𝑘𝑁

1.3.2 Efforts de compression dans la bielle inclinée primaire

𝐶1 =𝑅𝑎𝑑

𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

261.6

𝑠𝑖𝑛 68.2 = 281.75 𝑘𝑁

1.3.3 Vérification des contraintes dans le nœud d’appui Nœud en compression-traction avec un tirant ancré dans une direction :

𝜍𝑟𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0.85 ∗ 𝜈’ ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐∗ 𝛼𝑐𝑐 =

25

1.5∗ 1 = 16.67 𝑀𝑝𝑎

𝛼𝑐𝑐 = 1 𝛾𝑐 = 1.5

𝜈’ = 1 −𝑓𝑐𝑘

500= 1 −

25

250= 0.9

𝝇𝒓𝒅𝒎𝒂𝒙 = 0.85 ∗ 𝜈’ ∗ 𝑓𝑐𝑑 = 0.85 ∗ 0.9 ∗ 16.67 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟓 𝑴𝑷𝒂

𝝇𝒄𝟏 = 𝐶1

𝑏 ∗ 𝑎 = 281.75 ∗

103

0.3 ∗ 0.3= 𝟑. 𝟏𝟑 𝑴𝑷𝒂 < 12.75 𝑀𝑃𝑎

𝝇𝒓𝒅 =𝑭𝒄𝒅𝟐

𝑺𝟐

𝑨𝒗𝒆𝒄 :

𝐹𝑐𝑑2 = 𝐶1 = 281.75 𝑘𝑁

𝑆2 = 𝑏’ ∗ 𝑎’2 + 𝑏 ‘’ ∗ 𝑎’’2 = 0.2 ∗ 0.327 + 0.30 ∗ 0.323 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟐𝟑𝒎²

𝑎’2 = 𝑎2 − 𝑎’’2 = 0.65 − 0.323 = 0.327𝑚 𝑎2 = 𝑎𝑠𝑖𝑛(𝜃) + 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 0.3 ∗ 𝑠𝑖𝑛(68.2) + 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠(68.2) = 0.65𝑚


ANNEXES

110

1.2 Epaisseur minimale BAEL L’épaisseur bo de la paroi fléchie doit être au moins égale à la plus grande des deux valeurs :

- 3.75 ∗ 𝑝 ∗𝑙

𝑓𝑐28∗= 3.75 ∗ 225.51 ∗ 103 ∗

7.40

25∗106∗3.70= 0.0677𝑚

- 𝑙3 ∗ 𝑝

300∗𝑓𝑐28∗

0.5

= 3.703 ∗ 225.511 ∗103

300∗25∗106∗3.70

0.5

= 0.144𝑚

Remarque : l’épaisseur de la paroi doit être suffisante pour assurer aisément le logement et l’enrobage des armatures. Cette condition conduit souvent à adopter une épaisseur supérieure aux valeurs minimales.

1.3 Armatures – BAEL Les parois fléchies sont munies :

- d’un système d’armatures principales ; - d’un système d’armatures réparties constituées de cadres verticaux, éventuellement complété

par des étriers et par des armatures horizontales disposées sur les deux faces de la paroi complétées éventuellement par des armatures intérieures ;

1.3.1Armatures principales- BAEL

𝑙=

3.70

5.5= 0.673

La section des armatures principales inférieures :

𝑨 = 𝑴𝒐, 𝒖

𝒛 ∗𝒇𝒆𝜸𝒔

- 𝑀𝑜, 𝑢 = 852.71 𝑘𝑁𝑚 ;

- 𝑧 = 0.2 ∗ 𝑙 + 2 ∗ = 2.42 𝑚 𝑠𝑖 0.5 < /𝑙 < 1 ;

- 𝑧 = 0.6 ∗ 𝑙 𝑠𝑖 > 𝑙 ;

𝑎’’2 =𝑎

𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

0.30

𝑠𝑖𝑛 68.2 = 0.323𝑚’ = 0.20𝑚

𝑏’’ = 0.30𝑚

𝝇𝒓𝒅 =𝑭𝒄𝒅𝟐

𝑺𝟐= 𝟐𝟖𝟏. 𝟕𝟓 ∗

𝟏𝟎𝟑

𝟎.𝟏𝟔𝟐𝟑= 𝟏. 𝟕𝟓𝟒 𝑴𝑷𝒂


ANNEXES

111

1.3.4 Vérification des contraintes dans la bielle d’appui (clause 6.5.2.2) 𝜍𝑟𝑑𝑚𝑎𝑥 = 0.6 ∗ 𝜈’ ∗ 𝑓𝑐𝑑 = 9 𝑀𝑃𝑎

La largueur maximale de l’appui de la bielle est estimée en considérant la demi –bielle à l’appui :

𝑏 = 𝑏’ =𝐿+𝑎

2∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 2.69𝑚

La section moyenne :

𝑆 =𝑒𝑏’ + 𝑆2

2=

0.2 ∗ 2.69 + 0.1623

2= 0.35𝑚2

𝜍𝑐2 =𝐹𝑐𝑑2

𝑆=

𝐶1

𝑆=

281.75

0.35= 0.564 𝑀𝑃𝑎 < 𝜍𝑟𝑑𝑚𝑎𝑥

1.3.5 Armatures secondaires verticales – EC2

𝐴𝑡 = 𝑇 ∗𝑐𝑜𝑠 𝜃


= 53.42 ∗ 103 ∗𝑐𝑜𝑠 68.2

500 ∗106

1.15

= 0.456 𝑐𝑚2

Sur une longueur de 0.8 ∗ 𝑍/𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 0.8 ∗ 3.25/𝑡𝑎𝑛68.2 = 1.04𝑚

Soit : 𝐴𝑡/𝑚 = 0.438𝑐𝑚²/𝑚 (sans les suspentes)

𝐴𝑠, 𝑑𝑏𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥[0.001 ∗ 𝐴𝑐; 1.5𝑐𝑚²/𝑚] = 𝑚𝑎𝑥[2𝑐𝑚²/𝑚 ; 1.5𝑐𝑚²/𝑚] = 𝟐𝒄𝒎²/𝒎(𝒄𝒍𝒂𝒖𝒔𝒆𝟗.𝟕) 𝑺𝒐𝒊𝒕 𝑨𝒗 = 𝟐. 𝟎𝟖𝒄𝒎² Suspente pour le plancher Rez : Les charges à suspendre la totalité du plancher du rez correspondant à un effort P’ dans les tirants verticaux du modèle bielle-tirant.

𝑷𝒖’ = 𝟏. 𝟑𝟓 ∗ 𝒈’ + 𝟏. 𝟓 ∗ 𝒒’ = 𝟓𝟏.𝟑𝟔 𝒌𝑵/𝒎 Avec 𝑔’ = 8.2 ∗ 3.65 + 24.5 ∗ (0.2 ∗ 3.03) = 29.93 𝑘𝑁/𝑚

𝑞’ = 7.3 𝑘𝑁/𝑚

𝐴𝑠

𝑚=

𝑝𝑢’


= 51.36 ∗103

500 ∗106

1.15

=1.18𝑐𝑚2

𝑚

𝑨 = 𝑴𝒐𝒖

𝒛 ∗𝒇𝒆𝜸𝒔

= 852.71 ∗ 103

2.42 ∗ 500 ∗106

1.15

= 𝟖. 𝟏𝟎 𝒄𝒎𝟐

Ces armatures sont disposées sur une hauteur de l’ordre de la plus petite dimension 0.15*h ou 0.15*l au dessus de la face inférieure de la poutre.

0.15 ∗ = 0.15 ∗ 3.70 = 0.555𝑚


ANNEXES

112

1.3.2 Armatures réparties verticales et horizontales- BAEL

1.3.2.1 Armatures verticales – BAEL Ce sont des cadres entourant les armatures principales inférieurs et supérieures. Ils sont complétés éventuellement par des étriers.

- Cas des parois chargées en tête Av : section d’un cours d’armatures verticales ; sv : espacement de deux cours successifs ;

ρv : pourcentage des armatures verticales 𝜌𝑣 =𝐴𝑣

𝑏0∗𝑠𝑣 ;

ηo ,u : contrainte tangente conventionnelle correspondant à l’effort tranchant ultime de référence

𝑉0, 𝑢 =𝑝𝑙

2 ;

𝜏0, 𝑢 = 𝑉𝑜𝑢

𝑏0∗= 620.16 ∗

103

0.20∗3.30= 0.94 𝑀𝑃𝑎

On vérifie la condition :

𝝆𝒗 =𝑨𝒗

𝒃𝟎 ∗ 𝒔𝒗> ¾ ∗

𝝉𝟎, 𝒖

𝒇𝒆𝜸𝒔

= 0.0016

𝐴𝑣

𝑠𝑣= 3.2 𝑐𝑚²/𝑚

Armatures verticales totales :

𝐴𝑠𝑣/𝑚 = 𝐴𝑠 + 𝐴𝑡 = 2 + 1.18 = 3.18𝑐𝑚²/𝑚


ANNEXES

113

1.4 Tirant secondaire – EC2

1.4.1 Effort de traction (clause 6.5.3.3) En considérant une demi-bielle à l’appui, placée dans une zone de discontinuité partielle :

𝑻 =𝑭

𝟒∗𝒃’ − 𝒂’

𝒃’ = 𝟐𝟖𝟏.𝟕𝟓 ∗

𝟏𝟎𝟑

𝟒∗𝟐.𝟔𝟗 − 𝟎. 𝟔𝟓

𝟐. 𝟔𝟗 = 𝟓𝟑. 𝟒𝟐 𝒌𝑵

𝑎’ = 𝑎2 = 0.65𝑚 𝐹 = 𝐶1 = 281.75 𝑘𝑁

𝐻′

2=

𝑍

𝑠𝑖𝑛 𝑐 =

3.25

𝑠𝑖𝑛 68.2 = 3.50𝑚 = ’

𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 : 𝑏’ =𝐿 + 𝑎

2∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =

5.5 + 0.3

2∗ 𝑠𝑖𝑛 68.2 = 2.69 𝑚 < ’

𝐸𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑟é𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 0.8 ∗ ’ = 2.80𝑚

1.3.3 Armatures secondaires horizontales

𝜌𝑣 =3

4∗ 0.838 ∗

106

500 ∗106

1.15

= 0.00114

Remarque : le pourcentage ρv minimal est fixé à 0.8

𝑓𝑒=

0.8

500= 0.0016

𝑹𝒆𝒕𝒆𝒏𝒖 𝝆𝒗 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔 =𝑨𝒗

𝒃𝒐 ∗ 𝒔𝒗

𝑺𝒗 = 𝟎.𝟐𝟎𝒎 𝑨𝒗 = 𝟑. 𝟐𝒄𝒎²/𝒎 𝒄𝒉𝒐𝒊𝒙 𝟒 𝒍𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝑯𝑨𝟖

Les charges doivent être transmises à la partie supérieure de la zone réputée active des parois. Si pi est l’intensité de la charge à suspendre, la section d’armatures à prévoir par unité de longueur en supplément de celle du paragraphe ci-dessus est :

𝑨𝒗𝒊 =𝒑𝒊

𝒇𝒆𝜸𝒔

Si h<l : la totalité des armatures de section Avi est arrêtée à la partie supérieure de la paroi ; Si h>l : la moitié des armatures de section Avi est arrêtée à la hauteur l, et l’autre moitié prolongée jusqu’à 1.5l ;


ANNEXES

114

1.3.2.2 Armatures horizontales – BAEL Ces armatures sont disposées entre les armatures principales inférieures et les armatures supérieures (dans le cas de travée continue) ou de la face supérieure de la paroi (dans le cas d’une travée unique).

- réseau inférieur : constitué d’armatures horizontales réparties sur une hauteur égale à 0.40h, c'est-à-dire entre les niveaux 0.15*h et 0.55h ;

- réseau supérieur : constitué d’armatures horizontales réparties dans la zone réputée active

de la partie supérieur de la paroi, c'est-à-dire entre les niveaux 0.55*h et 0.90h (travées continues) et 0.55h et h (travée unique) ;

Remarque 1 : les armatures de deux réseaux s’étendent sur toute la longueur de la travée sauf éventuellement pour une partie du réseau inférieur lorsque le pourcentage ρh dépasse la valeur limite. Remarque 2 : sur les appuis de rive toutes les armatures sont ancrées totalement, de préférence par des boucles ou crochets disposés à plat.


ANNEXES

115

- Réseau inférieur :

𝝆𝒉 = 𝟎. 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟔𝟎 + 𝟏𝟓 ∗ 𝝉𝟎, 𝒖

𝒇𝒄𝟐𝟖 ∗

𝝉𝟎, 𝒖

𝒇𝒆𝜸𝒔

𝜌 = 0.50 ∗ 0.60 + 15 ∗0.94

25 ∗

0.94

5001.5

= 𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔

𝐴𝑠

𝑠1= 3.28 𝑐𝑚²/𝑚

Remarque : 𝜌𝑚𝑖𝑛𝑖 = 0.5 ∗ 𝜏0,𝑢𝑓𝑒

𝛾𝑠

= 0.5 ∗0.94500

1.5

= 0.00141

Pour les valeurs de 𝝆𝒉 < 0.75 ∗ 𝜏0,𝑢𝑓𝑒

𝛾𝑠

= 0.00145 : les armatures d’étendent sur toute la longueur de la

travée.

Remarque : Pour les valeurs de 𝝆𝒉 > 0.75 ∗ 𝜏0,𝑢𝑓𝑒

𝛾𝑠

= 0.00145 : une partie des armatures correspondant

à un pourcentage au moins égal à 𝟎. 𝟕𝟓 ∗ 𝜏0,𝑢𝑓𝑒

𝛾𝑠

s’étend sur toute la longueur de la travée.

- Réseau supérieur :

𝝆𝒉’ = 𝟎. 𝟑𝟎 ∗ 𝟎. 𝟔𝟎 + 𝟏𝟓 ∗ 𝝉𝟎,𝒖

𝒇𝒄𝟐𝟖 ∗ 𝝉𝟎,

𝒖𝒇𝒆

𝜸𝒔

𝜌 = 0.30 ∗ 0.60 + 15 ∗0.94

25 ∗

0.94

5001.5

= 𝟗. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒

𝐴𝑠

𝑠2 = 1.97 𝑐𝑚²/𝑚

𝑅𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 : 𝜌𝑚𝑖𝑛𝑖 = 0.30 ∗ 𝜏0,𝑢

𝑓𝑒𝛾𝑠

= 0.30 ∗0.94

5001.5

= 8.46 ∗ 10^ − 4

𝑨𝒉’ = 𝟏. 𝟕𝒄𝒎²/𝒎


ANNEXES

116

1.4 Comparaison

Tableau 1.4 Synthèse des résultats EC2 & BAEL

EC2 BAEL

Gain ou augmentation

Armatures principales inférieures

6.02cm² 8.10 cm² -26 %

Réseau inférieur 3.2cm²/m

3.2cm²/m 0%

Réseau supérieur 1.97cm²/m +62%

Armatures verticales 3.18 cm²/m 3.28cm²/m +3%


ANNEXES

117

Annexe 8. Poteaux

Annexe 8.1 Calcul de l’élancement critique

i= rayon de giration 𝑖 = 𝐼𝑐

𝐴𝑐

𝐼𝑐 ∶ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒 ;

𝐴𝑐: 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒 ;

𝐴 =1

1 + 0.2 ∗ 𝜑𝑟𝑒𝑓= 0.7 𝑠𝑖 𝜑𝑟𝑒𝑓 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

𝜑𝑒𝑓 = 𝜑 ∞, 𝑡0 ∗𝑀𝑜𝑒𝑞𝑝

𝑀𝑜𝑒𝑑

𝐵 = √1 + 2 ∗ 𝜔 = 0.7 𝑠𝑖 𝜔 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

𝜔 = 𝐴𝑠 ∗𝑓𝑦𝑑

𝑎𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝐶 = 1.7 − 𝑟𝑚 = 0.7 𝑠𝑖 𝑟𝑚 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢

rm=1 : élément non contreventé

rm=1 : élément contreventé avec moment du premier ordre dus aux imperfections

𝑟𝑚 =𝑀01

𝑀02 : dans les autres cas

M01 et M02 : moment du premier ordre aux extrémités de l’élément ;

𝑛 =𝑁𝐸𝐷

𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑

Si λ> λlim : il faut prendre en compte les effets du second ordre.


ANNEXES

118

Annexe 8.2 Méthode générale

Remarque : les lettres correspondantes aux paragraphes de cette méthode sont représentées sur le

schéma ci-dessus.

Déformations relative du béton

et de l’acier Calcul de déplacements par

intégration des déformations

relatives

Loi contraintes – déformations

pour l’acier et le béton

Combinaisons d’actions

Imperfections géométriques

Sollicitations de calcul

Excentricité externe

Calcul des contraintes

Efforts internes

Excentricité interne

Equilibre ?

Vérifier résistance des sections

A

B

C

E

F

G

Figure 8.2 Méthode générale


ANNEXES

119

Excentricité à prendre en compte

𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝛥𝑒0

e0 : excentricité résultant des calculs de Rdm

𝑒𝑜 = 𝑒 + 𝐻𝑒𝑑 ∗ 𝑙/𝑁𝑒𝑑

ei : imperfections dues aux imperfections géométriques

𝜃𝑖 = 𝜃0 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼𝑚

𝜃0 = 1/200

𝛼 = 2/(𝑙)^0.5

𝛼𝑚 = (0.5 ∗ (1 + 1/𝑚))^0.5

𝑒𝑖 = 𝜃𝑖 ∗ 𝑙0/2

Δe0 ; supplément d’excentricité

𝛥𝑒0 = 𝑚𝑎𝑥 (20𝑚𝑚 ; /30)

A. Déformations relatives

Pour l’acier : 휀𝑠1 = 𝑓𝑦𝑑/𝐸𝑠

Pour le béton 휀𝑐 = 휀𝑐1 ∗ (1 + 𝜑𝑒𝑓)

휀𝑐1 = 2.1/100 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎

𝜑𝑒𝑓 = 𝜑(∞, 𝑡𝑜) ∗ 𝑀𝑜𝐸𝑞𝑝/𝑀𝑜𝑒𝑑

𝜑(∞, 𝑡𝑜) = 2

MoEqp : moment de service du 1er ordre sous combinaisons quasi-permanente ;

Moed : moment ultime du 1er

ordre tenant compte des imperfections géométriques ;

A. Contraintes

Contraintes dans l’acier

𝑥𝑢 = 𝑑 ∗ 휀𝑐/(휀𝑐 ∗ 휀𝑠1)

휀𝑠2 = 휀𝑐 ∗ (𝑥𝑢 − 𝑑’)/𝑥𝑢

Si εs2>εyd ζs2=fyd


ANNEXES

120

B. Efforts internes

C.1Effort normal interne Ni

Béton comprimé :

𝑘 = 1.05 ∗ 𝐸𝑐𝑚 ∗ 휀𝑐1 ∗ 1 + 𝜑𝑒𝑓

𝛾𝐶𝐸 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝑎 =1

𝑘 − 2∗ 휀𝑐1 ∗

1 + 𝜑𝑒𝑓

휀𝑐

𝐹𝑐 = 𝜓 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑥𝑢 ∗ 𝑓𝑐𝑑

Acier comprimé :

𝐹𝑠2 = 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠2

Acier tendu :

−𝐹𝑠1 = −𝐴𝑠1 ∗ 𝜍𝑠1

Effort normal interne :

𝑁𝑖 = 𝐹𝑐 + 𝐹𝑠2 − 𝐹𝑠1

C.2 Moment fléchissant interne Mi

Béton comprimé :

𝑀𝑐 = 𝐹𝑐 ∗ (/2 − 𝛿𝐺 ∗ 𝑥𝑢)

Acier tendu :

𝑀𝑠1 = 𝐹𝑠1 ∗ 𝑑 −

2

Acier comprimé :

𝑀𝑠2 = 𝐹𝑠2 ∗

2− 𝑑’

Moment Interne :

𝑀𝑖 = 𝑀𝑐 + 𝑀𝑠2 + 𝑀𝑠1


ANNEXES

121

D. Excentricité interne

𝐸𝑖𝑛𝑡 =𝑀𝑖

𝑁𝑖

E. Sollicitations de calcul

Effort normal externe

𝑁𝑒𝑥𝑡 = 1.35 ∗ 𝑁𝑔 + 1.5 ∗ 𝑁𝑞

F. Excentricité externe

𝑒𝑒𝑥𝑡 = 𝑒1 + 𝑓

1

𝑟=

휀𝑐 + 휀𝑠

𝑑

𝑓 =𝑙02

𝜋2∗

1

𝑟

G. Vérification de l’équilibre

𝑁𝑖 > 𝑁𝑒𝑥𝑡 et 𝑒𝑖𝑛𝑡 > 𝑒𝑒𝑥𝑡


ANNEXES

122

Annexe 8.3 Méthode d’analyse 2 : analyse de la rigidité nominale

(clause5.8.6) – EC2

Remarque : cette méthode est autorisée par l’annexe nationale, ce n’est pas le cas pour certains

pays.

Figure 8.3 Schéma de calcul de l’analyse de la rigidité nominale

Excentricité à prendre en

compte e1, ei, ∆e0

𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ (𝑒1 + 𝑒𝑖 + ∆𝑒0)

Sollicitation du 1er ordre ELU

𝑁𝑠𝑒𝑟 = 𝑁𝑔 + 𝑁𝑞

𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔𝑜 = 𝑁𝑒𝑑(𝑒1 + 𝑒𝑖 + ∆𝑒0)

𝑒𝑜𝑠𝑒𝑟 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔𝑜/𝑁𝑠𝑒𝑟

Sollicitation du 1er ordre ELS

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 + 𝑛𝑒𝑑 ∗ ∆𝑒0

µ =𝑀𝑑

𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝜈 =𝑁𝑒𝑑

𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑’𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑤𝑡𝑜𝑡

𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝑤𝑡𝑜𝑡 ∗ ∗ 𝑏 ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

𝐸𝐼 = 𝑘𝑐 ∗ 𝐸𝑐𝑑 ∗ 𝐼𝑐 + 𝑘𝑠 ∗ 𝐸𝑠 ∗ 𝐼𝑠

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 1𝑒𝑟 𝑒𝑡 2𝑛𝑑 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝐸𝐿𝑈

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀𝑜𝑒𝑑 ∗ (1 +𝛽

𝑁𝑏𝑁𝑒𝑑

− 1)

𝑒𝑜 =𝑀𝑒𝑑

𝑁𝑒𝑑 𝑒𝑡 𝑒𝐴 = 𝑒𝑜 + (𝑑 −

2)

𝑀𝑒𝑑𝐴 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒𝐴

Sollicitations du 2nd ordre – méthode de

la rigidité nominale

Moment de calcul par rapport aux aciers :

µ =𝑀𝑒𝑑

𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑑 𝑒𝑡 𝜈 =

𝑁𝑑


𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝑤𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

Calcul des armatures :

Diagramme d’interaction :

Vérification

Si As1=As2>Asprov : alors vérification au

flambement

Si As1=As2<Asprov alors arret des calculs

A

B

C

D

E

F


ANNEXES

123

A. Excentricité à prendre en compte

e1 =e0

ei=lo/400 poteau isolé d’une structure contreventée (clause …)

Δe0 ; supplément d’excentricité (section symétrique)

Δe0=max (20mm ; h/30)

B. Sollicitations du 1er

ordre corrigées ELU

𝑁𝑒𝑑 = 𝛴𝛾𝑖 ∗ 𝑁𝑖

𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ (𝑒1 + 𝑒𝑖)

𝑒0 = 𝑒1 + 𝑒𝑖

C. Sollicitation du 1er

corrigées ELS

𝑁𝑠𝑒𝑟 = 𝑁𝑔 + 𝑁𝑞

𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔𝑜 = 𝑀𝑔 + 𝑀𝑞

𝑒𝑜𝑠𝑒𝑟 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔𝑜

𝑁𝑠𝑒𝑟

D. sollicitations du 2rd ordre par méthode de la rigidité

Rigidité nominale

- D.1 Section d’armatures initiale

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 + 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝛥𝑒0

𝑁𝑑 = 𝑁𝑒𝑑

𝜇 = 𝑀𝑑/(𝑏 ∗ ² ∗ 𝑓𝑐𝑑)

𝜈 = 𝑁𝑒𝑑/(𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑)

Diagramme d’interaction

ωtot

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

- D.2 Rigidité nominale correspondante

𝐸𝐼 = 𝐾𝑐 ∗ 𝐸𝑐𝑑 ∗ 𝐼𝑐 + 𝐾𝑠 ∗ 𝐸𝑠 ∗ 𝐼𝑠


ANNEXES

124

Avec :

𝐸𝑐𝑑 =𝐸𝑐𝑚

𝛾𝑐𝐸 𝛾𝑐𝐸 = 1.2

Ic : moment d’inertie de la section de béton

Es: module d’élasticité de l^' acier

Is : inertie de la section d'armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton seul

Ks : coefficient tenant compte de la contribution des armatures

Kc : coefficient tenant compte de la fissuration et du fluage.

𝑆𝑖 0.002 < 𝜌 < 0.01 𝑐𝑙𝑎𝑢𝑠𝑒 5.8.7.2

𝐾𝑠 = 1 𝐾𝑐 =𝑘1∗𝑘2

1+𝜑𝑟𝑒𝑓

𝑘1 = 𝑓𝑐𝑘

20

𝑘2 = 𝑚𝑖𝑛 𝑛 ∗ 0.30 ; 0.20

𝑆𝑖 𝜌 > 0.01

𝐾𝑠 = 0

𝐾𝑐 =0.3

1 + 0.5 ∗ 𝜑𝑟𝑒𝑓

- D.3 Moment de calcul 1er

et 2nd

ordre ELU

𝑀𝐸𝐷 = 𝑀0𝐸𝐷 ∗ (1 +𝛽

𝑁𝐵𝑁𝐸𝐷

− 1)

𝑀0𝐸𝐷 ∶ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑢 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒

𝑁𝐸𝐷: 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐸𝐿𝑈

𝑁𝐵 = 𝜋2 ∗𝐸𝐼

𝑙𝑜2

- D.4 Moment de calcul par rapport aux aciers

𝑒𝑜 = 𝑀𝑒𝑑/𝑁𝑒𝑑

𝑒𝐴 = 𝑒0 + (𝑑 − /2)


ANNEXES

125


E. Calcul des armatures

- E.1 Moment réduit agissant

𝜇𝐵𝐶 = 𝜆 ∗

𝑑∗ 1 −

𝜆

2∗

𝑑

𝜇𝑐𝑢 =𝑀𝑒𝑑𝐴

𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢

𝑆𝑖 𝜇𝑐𝑢 > 𝜇𝐵𝐶 ; 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚é𝑒

- E.2 Armatures

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑


𝜇 =𝑀𝑑

𝑏∗2∗𝑓𝑐𝑑

𝜈 =𝑁𝑑


𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑’𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

𝜔𝑡𝑜𝑡

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

Si As1=As2>Asprov : vérification au flambement

F. Vérification au flambement

𝜆 =𝑙0

𝑖< 𝜆𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗

𝐶

√𝑛

Si λ> λlim : il faut prendre en compte le flambement.

G. Sollicitations du 2nd

ordre par la méthode de la rigidité

- G.1 Sollicitations du 1er

ordre corrigées ELU

𝑁𝑒𝑑 = 𝛴𝛾𝑖 ∗ 𝑁𝑖

𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ (𝑒1 + 𝑒𝑖)


ANNEXES

126

𝑒0 = 𝑒1 + 𝑒𝑖

- G.2 Rigidité nominale correspondante

𝐸𝐼 = 𝐾𝑐 ∗ 𝐸𝑐𝑑 ∗ 𝐼𝑐 + 𝐾𝑠 ∗ 𝐸𝑠 ∗ 𝐼𝑠

- G.3 Moment de calcul 1er

et 2nd

ordre ELU

𝑀𝐸𝐷 = 𝑀0𝐸𝐷 ∗ (1 +𝛽

𝑁𝐵𝑁𝐸𝐷

− 1)

- G.4 Moment de calcul par rapport aux aciers


H. calcul de la section d’armatures

- H.1 Moment réduit agissant


𝑑∗ 1 −

𝜆

2∗

𝑑


𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢

Si μcu> μBC ; section entièrement comprimée

- H.2 Armatures

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑


𝜇 =𝑀𝑑


𝜈 =𝑁𝑑


Diagramme d’interaction

ωtot

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 1/2 ∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑/𝑓𝑦𝑑

𝑆𝑖 𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 < 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 : 𝑎𝑟𝑟ê𝑡 𝑑𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙


ANNEXES

127

Annexe 8.4 Méthode d’analyse 3 : estimation de la courbure – EC2

𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝑒2 + ∆𝑒0

Excentricité à prendre en compte

𝑀𝑜𝑒𝑑 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒1

Sollicitation du 1er ordre

e1= e0+ei+∆e0

1

𝑟= 𝑘𝑟 ∗ 𝑘𝛾 ∗

1

𝑟𝑜

1

𝑟𝑜=

휀𝑦𝑑

0.45 ∗ 𝑑

Courbure :

𝑒2 =𝑙02

𝑐∗

1

𝑟

𝑀𝑜𝑒𝑑 = 𝑚𝑒𝑑𝑔𝑜

𝑀2 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒2

Moment ultime de calcul total

Moment corrigé : 𝑀𝑒𝑑 = 𝑀𝑜𝑒𝑑 + 𝑀2

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀𝑑 𝑒𝑡 𝑁𝑒 = 𝑁𝑒𝑑

µ =𝑀𝑑

𝑏 ∗ 2 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝜈 =𝑛𝑑


𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝑤𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

Détermination des armatures

A

B

C

D

E

Figure 8.4 Méthode de l’estimation de la courbure


ANNEXES

128

A. Excentricité à prendre en compte

𝑒𝑡𝑜𝑡 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝑒2 + 𝛥𝑒0

e0 : excentricité résultant du calcul de RDM

ei : excentricité due aux imperfections géométriques

𝜃𝑖 = 𝜃0 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼𝑚

𝜃0 = 1/200

𝛼 = 2/(𝑙)^0.5

𝛼𝑚 = (0.5 ∗ (1 + 1/𝑚))^0.5

𝑒𝑖 = 𝜃𝑖 ∗ 𝑙0/2

Δe0=max (20mm ; h/30)

B. Sollicitations du 1er

ordre

𝑒1 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝛥𝑒0

𝑀𝑜𝑒𝑑 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒1

C. Courbure

1

𝑟= 𝐾𝑟 ∗ 𝐾𝜑 ∗

1

𝑟𝑜

Avec :

1

𝑟𝑜=

휀𝑦𝑑

0.45 ∗ 𝑑

𝐾𝑟 = min 𝑛𝑢 − 𝑛

𝑛𝑢 − 𝑛𝑏𝑎𝑙 ; 1);

𝐾𝜑 = max 1 + 𝛽 ∗ 𝜑𝑟𝑒𝑓; 1


ANNEXES

129

D. Moment ultime de calcul total

- D.1 Excentricité du second ordre ELU

𝑒2 =𝑙02

𝑐∗

1

𝑟

- D.2 Moment corrigé

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀𝑜𝑒𝑑 + 𝑀2

𝑀𝑜𝑒𝑑 = 𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜

𝑀2 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒2

E. Détermination des armatures

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀𝑑


𝜇 =𝑀𝑑


𝜈 =𝑁𝑑


𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑’𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

𝜔𝑡𝑜𝑡

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 =1

2∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗

𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

𝑆𝑖 𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 < 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 : 𝑎𝑟𝑟ê𝑡 𝑑𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙

𝑆𝑖 𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 > 𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣 : 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑢 𝑓𝑙𝑎𝑚𝑏𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

F. Vérification au flambement

𝜆 =𝑙0

𝑖< 𝜆𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗

𝐶

√𝑛

Si λ> λlim : il faut prendre en compte le flambement retour étape A.

Si λ< λlim : stop.


ANNEXES

130

Annexe 8.5 Dispositions constructives –EC2

Section extrême

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 < 𝐴𝑠 < 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.10 ∗𝑁𝐸𝐷

𝑓𝑦𝑑< 0.2 ∗

𝐴𝑐

1000

𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.04𝐴𝑐 𝑠𝑖 𝑜𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑢𝑣𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.08𝐴𝑐 𝑠𝑖 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑢𝑣𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

Diamètres armatures

𝜃 > 𝜃𝑚𝑖𝑛 = 8𝑚𝑚

Armatures transversales : maintenir les armatures près des bords, cadres général, cadres, étriers ou

épingles.

𝜃𝑡 > max(6𝑚𝑚,𝜃𝑙

4)

Espacement :

En zone courante :

𝑠𝑐𝑙𝑡𝑚𝑎𝑥 = min 20 ∗ 𝜃𝑙𝑚𝑖𝑛, 𝑏, 400𝑚𝑚

b : plus petite dimension de la section transversale

En zone de recouvrement :

𝑓𝑏𝑑 = 2.25 ∗ 𝜂1 ∗ 𝜂2 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑑

𝑙𝑏, 𝑟𝑞𝑑 =𝜃

4∗𝜍𝑠𝑑

𝑓𝑏𝑑

𝜍𝑠𝑑 =𝐹𝑠

𝐴𝑠𝑝𝑟𝑜𝑣

Longueur de recouvrement :

𝑙0 = max 𝛼4 ∗ 𝛼6 ∗ 𝑙𝑏𝑟𝑞𝑑; 15 ∗ 𝜃; 200𝑚𝑚

𝛼1 = 1 𝛼6 = 𝜌1

25


ANNEXES

131

Espacement des armatures transversales :

𝑠𝑐𝑙𝑡 < 0.6 ∗ 𝑠𝑐𝑙𝑡𝑚𝑎𝑥

Annexe 8.6 Dispositions constructives –BAEL

Coffrage :

𝐴𝑐 >𝑁𝐸𝐷

𝑓𝑐𝑑 +𝐴𝑠𝐴𝑐

∗ 𝜍𝑠

𝜍𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 𝑠𝑖 휀𝑐2 >𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠

𝜍𝑠 = 𝐸𝑠 ∗ 휀𝑐2 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

Espacement :

Distance maximale de deux armatures voisines <

- Longueur petit coté +10cm ;

- 40cm ;

Section extrême

Asmini=0.2%Ac

Asmax=5% en zone de recouvrement

Armatures transversales :

Diamètre armatures transversales>1/3* diamètre armatures longitudinales

Espacement des armatures transversales :

Espacement <

- 15*diamètre des barres longitudinales ;

- 40cm ;


ANNEXES

132

Annexe 8.7 Note de calcul du poteau

1.1 Géométrie – EC2

𝐿𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 : 𝑏 = 0.30𝑚

𝐸𝑝𝑎𝑖𝑠𝑠𝑒𝑢𝑟 = 0.30𝑚

𝐻𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑙 = 3.00𝑚

𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 0 =2𝐴𝑐

𝑢= 2 ∗ 0.3 ∗

0.3

4 ∗ 0.3= 𝟎. 𝟎𝟗𝒎𝟐

𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐴𝑐 = 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢

𝑢 = 𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢

𝐵â𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐴 : 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑠𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑑’ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑢𝑥

𝜓0 = 0.7

𝜓1 = 0.5

𝜓2 = 0.3

1.2 Matériaux – EC2

Béton C25/30 fck=25 MPa résistance caractéristique à la compression

Module d’élasticité Ecm=31 000 MPa

Coefficient de fluage : Annexe B 𝝋(𝒕, 𝒕𝒐) = 𝜑 ∗ 𝛽𝑐(𝑡, 𝑡0) coefficient de fluage

Avec 𝜷 𝒕𝟎 =1

0.1+𝑡0.20 =1

0.1+1000.2 = 0.383 (B5) facteur tenant compte de l’influence de l’age

du béton au moment du chargement sur le coefficient de fluage conventionnel


ANNEXES

133

𝜷 𝒇𝒄𝒎 =16.8

𝑓𝑐𝑘 0.5 =16.8

330.5 = 2.924 (B4) facteur tenant compte de l’influence de la

résistance du béton sur le coefficient de fluage conventionnel

𝑜 = 0.15𝑚

𝑅𝐻 = 50%

𝝋𝑹𝑯 = 1 +1−

𝑅𝐻

100

0.1∗013

= 1.94 (B3a) facteur tenant compte de l’influence de l’humidité relative sur le

coefficient de fluage conventionnel

𝝋𝟎 = 𝜑𝑅𝐻 ∗ 𝛽 𝑓𝑐𝑚 ∗ 𝛽 𝑡0 = 1.94 ∗ 2.924 ∗ 0.383 = 2.17 Coefficient de fluage conventionnel

Armatures fyk =500 MPa limite d’élasticité caractéristique

Module d’élasticité Es=200 GPa

1.3 Effets des actions – EC2

𝐺𝑘 = 620.6 𝑘𝑁

𝑄𝑘 = 176.85 𝑘𝑁

Effort normal de calcul

𝑵𝒆𝒅 = 1.35 ∗ 620.6 + 1.5 ∗ 176.85 = 1103 𝑘𝑁

Effort normal issu de la combinaison quasi permanente

𝑵𝒆𝒒𝒑 = 𝐺𝑘𝑗𝑠𝑢𝑝 + 𝐺𝑘𝑗𝑖𝑛𝑓 + 𝜓21 𝑄𝑘1 + ∑ 𝜓2𝑖 𝑄𝑘𝑖 = 620.6 + 0.3 ∗ 176.85 = 673.655 𝑘𝑁

1.4 Armatures longitudinales – EC2

𝑁𝑒𝑑 = 1103 + 𝑃𝑃 = 1103 + 25 ∗ 0.3 ∗ 0.3 ∗ 3 ∗ 1.35 = 1.112 𝑀𝑁

o Le béton équilibre :

𝑭𝒄 = 𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑 = 0.3 ∗ 0.3 ∗ 16.67 = 1.503 𝑘𝑁

o Les aciers équilibrent :


ANNEXES

134

𝑭𝒔 = 𝑁𝑒𝑑 − 𝐹𝑐 = 390.88 𝑘𝑁

D’où leur section :

𝑨𝒔 =𝑭𝒔

𝝇𝒔=

390.88

434.8 ∗ 103= 8.899 𝑐𝑚2

Sections extrêmes :

𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 < 𝐴𝑠 < 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥

𝜃𝑚𝑖𝑛 > 8𝑚𝑚

𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑’𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = max 0.1 ∗𝑁𝑒𝑑

𝑓𝑦𝑑 ; 0.002 𝐴𝑐

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 0.10 ∗ 1103 ∗103

434.8 ∗ 106 ; 0.002 ∗ 0.3 ∗ 0.3

𝑨𝒔𝒎𝒊𝒏 = 𝟐.𝟓𝟑𝟔 𝒄𝒎²

𝑆𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑑’𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟 𝑨𝒔𝒎𝒂𝒙 = 0.04𝐴𝑐 = 0.04 ∗ 0.3 ∗ 0.3 = 𝟑𝟔𝒄𝒎²

𝑹𝒆𝒕𝒆𝒏𝒖 : 𝟗. 𝟒𝟐𝒄𝒎² 𝟑𝑯𝑨𝟐𝟎

1.5 Armatures transversales – EC2

𝜃𝑏𝑎𝑟𝑟𝑒 > 𝑚𝑎𝑥 6𝑚𝑚 ;𝜃𝑙𝑜𝑛𝑔

4 = 𝑚𝑎𝑥 6𝑚𝑚 ;

14

4𝑚𝑚 = 𝟔𝒎𝒎

espacement en zone courante :

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 : 𝑠𝑐𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛 20 ∗ 𝜃𝑙𝑜𝑛𝑔 ; 𝑎 ; 400𝑚𝑚

𝐴𝑣𝑒𝑐 𝑎 : 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢

𝑠𝑐𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛(20 ∗ 20 ; 300; 400𝑚𝑚)

𝑠𝑐𝑙𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑖𝑛(280 ; 300; 400𝑚𝑚)

𝒔𝒄𝒍𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒎

𝑹𝒆𝒕𝒆𝒏𝒖 𝟏 𝒄𝒂𝒅𝒓𝒆 𝑯𝑨𝟖 𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝟎.𝟑𝟎𝒎


ANNEXES

135

Zone de recouvrement :

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section.

Contrainte d’adhérence ultime :

𝒇𝒃𝒄 = 𝟐. 𝟐𝟓 ∗ 𝜼𝟏 ∗ 𝜼𝟐 ∗ 𝒇𝒄𝒕𝒅

η1 :

0.7 : conditions d’adhérence médiocre

1.00 : bonne condition d’adhérence

η2 :

1 si θ< 32mm

(132- θ)/100 si θ> 32mm

θ =20mm donc η2=1

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0.3 ∗ 𝑓𝑐𝑘23 = 0.3 ∗ 25

23 = 2.56 𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑐𝑡𝑘0.05 = 0.7 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 1.8 𝑀𝑃𝑎

𝒇𝒄𝒕𝒅 = 𝛼𝑐𝑡 ∗𝑓𝑐𝑡𝑘0.05

𝛾𝑠= 1 ∗

1.8

1.5= 𝟏. 𝟐 𝑴𝑷𝒂

𝒇𝒃𝒄 = 2.25 ∗ 𝜂1 ∗ 𝜂2 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 2.25 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1.2 = 𝟐. 𝟕 𝑴𝑷𝒂

Longueur d’ancrage requise :

Asreq : section d’armature calculée 𝑨𝒔𝒓𝒆𝒒 = 𝟖. 𝟖𝟗 𝒄𝒎²

Asprov : section d’armature réelle 𝑨𝒔𝒑𝒓𝒐𝒗 = 𝟗. 𝟒𝟐 𝒄𝒎²

𝝇𝒔𝒅 =𝑭𝒔

𝑨𝒑𝒓𝒐𝒗 : contrainte de calcul à l’origine du recouvrement

𝝇𝒔𝒅 =𝑭𝒔

𝑨𝒑𝒓𝒐𝒗= 𝟑𝟗𝟎.𝟖𝟖 ∗

𝟏𝟎𝟑

𝟗. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒∗ 𝟏𝟎−𝟔

𝝇𝒔𝒅 = 𝟒𝟏𝟒.𝟗𝟓 𝑴𝑷𝒂

𝑳𝒃𝒓𝒒𝒅 =𝜃

4∗𝜍𝑠𝑑

𝑓𝑏𝑑=

𝜃

4∗

414.95

2.7= 38.42 ∗ 𝜃


ANNEXES

136

Longueur de recouvrement requise :

𝒍𝟎 = 𝒎𝒂𝒙(𝜶𝟒 ∗ 𝜶𝟔 ∗ 𝒍𝒃𝒓𝒒𝒅 ; 𝟏𝟓 ∗ 𝜽 ; 𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎)

Armatures sans soudure α4=1

𝜶𝟔 = 𝜌1

25

0.5

= 100

25

0.5

= 𝟐

ρ1=100% ; toutes les armatures sont en recouvrement dans la même section

𝒍𝟎 = 𝒎𝒂𝒙(𝜶𝟒 ∗ 𝜶𝟔 ∗ 𝒍𝒃𝒓𝒒𝒅 ; 𝟏𝟓 ∗ 𝜽 ; 𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎) = 𝒎𝒂𝒙(𝟏 ∗ 𝟐 ∗ 𝟑𝟖. 𝟒𝟐 𝜽 ; 𝟏𝟓 ∗ 𝜽 ; 𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎)

𝒍𝟎 = 𝒎𝒂𝒙(𝟕𝟔. 𝟖𝟒 ∗ 𝜽 ; 𝟏𝟓 ∗ 𝜽 ; 𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎) = 𝒎𝒂𝒙(𝟏𝟓𝟑𝟔𝒎𝒎 ; 𝟑𝟎𝟎𝒎𝒎 ; 𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎) = 𝟏𝟓𝟑𝟔𝒎𝒎

Nappes aux extrémités des recouvrements :

Recouvrement de θ20 :

𝒔𝒄𝒍, 𝒕 = 𝑙𝑜 ∗ 3/2 = 1.536 ∗ 3/2 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟔𝒄𝒎

Distance entre les groupes de trois nappes :

𝒍𝒐 − 𝟒 ∗ 𝒔𝒄𝒍, 𝒕 − 𝟒 ∗ 𝜽 = 1.536 − 4 ∗ 0.256 − 4 ∗ 0.020 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟐𝒎

Vérification : 𝑠𝑐𝑙, 𝑡 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟔𝒎 > 0.6 ∗ 𝑠𝑐𝑙𝑡𝑚𝑎𝑥 = 0.6 ∗ 0.300 = 𝟎. 𝟏𝟖𝒎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙è𝑚𝑒

On choisira 𝒔𝒄𝒍, 𝒕 = 𝟎. 𝟏𝟕𝒎

Distance entre les groupes de trois nappes :

𝒍𝒐 − 𝟒 ∗ 𝒔𝒄𝒍, 𝒕 − 𝟒 ∗ 𝜽 = 1.536 − 4 ∗ 0.17 − 4 ∗ 0.020 = 𝟎. 𝟕𝟕𝟔𝒎


ANNEXES

137

1.6 Instabilité élastique et flambement – EC2

Force critique de flambement 𝑭𝒄 = 𝜋2 ∗𝐸𝐼

𝑙𝑓2

Elancement du poteau 𝜆 = 𝑙𝑓/𝑖

avec i :rayon de giration

𝒊 = (𝐼/𝐵)^0.5 = 𝐵 ∗ 12^0.5 = 1.04

Longueur de flambement –structure contreventée

𝑙0 = 0.5 ∗ 𝑙 ∗ ( 1 +𝑘1

0.45 + 𝑘1 ∗ 1 +

𝑘2

0.45 + 𝑘2 )

avec k1 et k2 : raideurs des liaisons aux extrémités du poteau

On considère que les éléments qui s’opposent à la rotation du poteau sont les dalles de 6.1 m de

largeur et de 0.20m d’épaisseur et la dalle isostatique de portée 5.2m. Par application de la clause

5.8.3.2(4), la raideur du poteau adjacent s’ajoute à la raideur propre du poteau considéré. Le

commentaire (5) recommande de prendre en compte l’influence de la fissuration sur les éléments

s’opposant à la rotation du poteau, l’inertie fissurée étant prise égale à 1/1.5 fois l’inertie brute. Les

coefficients k1 et k2 sont égaux à

𝑘1 = 𝑘2 = (2 ∗ 3 ∗ 6.1 ∗ 0.2^3/(12 ∗ 5.2 ∗ 1.5))^ − 1 ∗ (2 ∗ 0.34

12 ∗ 3) = 0.1438

𝒍𝒐 = 0.5 ∗ 𝑙 ∗ ( 1 +0.1438

0.45 + 0.1438 ∗ 1 +

0.1438

0.45 + 0.1438

0.5

) = 0.621 ∗ 𝑙 = 𝟐. 𝟑𝟐𝒎

1.7 Imperfections géométriques – EC2

Clause 5.2

θ0=1/200 (valeur de base)

Inclinaison

𝜽𝒊 = 𝜽𝟎 ∗ 𝜶𝒉 ∗ 𝜶𝒎

Avec αh : coefficient de réduction relatif à la hauteur

αm : coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments


ANNEXES

138

𝜃𝑖 = 𝜃0 ∗ 𝛼 ∗ 𝛼𝑚 =1

200∗

2

𝑙 0.5∗ 0.5 ∗ 1 +

1

𝑚

0.5

=1

200∗

2

30.5= 0.00577

𝑬𝒙𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒕é : 𝒆𝒊 = 𝜃𝑖 ∗𝑙0

2= 0.00577 ∗

2.32

2= 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟗𝒎

Remarque1 : dans le cas d’un poteau isolé dans une structure contreventée, on peut prendre

ei=l0/400=2.23/400=0.0058m

Remarque2 : l’annexe nationale 5.2.(1) impose une excentricité minimale de 20mm.

Moed : moment de premier ordre

𝑴𝒐𝒆𝒅 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒𝑖 = 1103 ∗ 0.02 = 𝟐𝟐.𝟎𝟔 𝒌𝑵𝒎

1.8 Coefficient de fluage effectif – EC2

Seule la partie quasi-permanente des charges est susceptible de générer du fluage, le coefficient de

fluage effectif est donné par la clause 5.8.4.

𝝋𝒆𝒇 = 𝝋(∞, 𝒕𝒐) ∗ 𝑴𝒐𝒒𝒑/𝑴𝒐𝒆𝒅

Avec :

Moeqp : moment fléchissant du premier ordre(ELS) dans le cas d’une combinaison quasi-

permanente ;

Moed : moment fléchissant du premier ordre dans le cas de la combinaison de charge de

calcul (ELU) ;

𝑀𝑜𝑒𝑑 = 22.06 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑜𝑞𝑝 = 𝑀𝑒𝑞𝑝 + 𝑁𝑒𝑞𝑝 ∗ 𝑒𝑖 = 0 + 673.655 ∗ 0.02 = 13.47 𝑘𝑁𝑚

𝝋𝒆𝒇 = 2 ∗ 13.47/22.06 = 𝟏. 𝟐𝟐

1.9 Critères pour effets du second ordre – EC2

Clause 5.8.3.1 : les effets du second ordre peuvent être négligés si l’élancement du poteau est

inférieur à un élancement limite dont la valeur est donnée par :

𝝀 < 𝜆 𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶/(𝜂)^0.5

𝐴𝑣𝑒𝑐 :


ANNEXES

139

𝜆 = 2.23 ∗ 12 0.5

0.3= 𝟐𝟓. 𝟕𝟓𝒎

𝐴 =1

1 + 0.2 𝜑𝑒𝑓=

1

1 + 0.2 ∗ 1.22= 𝟎. 𝟖𝟎𝟒

𝐵 = 1 + 2 ∗ 𝜔 0.5

𝐶 = 1.7 − 𝑟𝑚

𝜂 =𝑁𝑒𝑑

𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑=

1103

0.32 ∗ 16.67 ∗ 103= 𝟎.𝟕𝟑𝟓

𝜔 = 𝐴𝑠𝑑 ∗𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑= 3.08 ∗ 10−4 ∗

434.8

0.32 ∗ 16.67= 𝟎. 𝟎𝟖𝟗

𝑟𝑚 =𝑀01

𝑀02= 1

𝐴 = 0.804

𝐵 = 1 + 2 ∗ 0.089 0.5 = 𝟏.𝟎𝟖𝟓

𝐶 = 0.7

𝝀 = 𝟐𝟏.𝟒𝟕𝟕 > 𝝀 𝒍𝒊𝒎 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗𝐶

𝜂 0.5= 20 ∗ 0.804 ∗ 1.085 ∗

0.7

0.735 0.5= 𝟏𝟒. 𝟐𝟕

Remarque : Les effets du second ordre ne peuvent donc pas être négligés.

1.9.1 Méthodes d’analyse des effets du second ordre – EC2

Clause 5.8.5 : il existe trois méthodes d’analyse des effets du second ordre :

- méthode générale basée sur une analyse non linéaire au second ordre ;

- analyse au second ordre basée sur une évaluation de la raideur du poteau ;

- méthode basée sur une évaluation de la courbure ;

1.9.1.1 Méthode générale – EC2

Clause 5.8.6 : la méthode générale prend en compte :

- les non linéarités géométriques ou effets du second ordre, c'est-à-dire les sollicitations créent

par les déformations ;

- les lois de comportement exactes des matériaux ;


ANNEXES

140

- le fluage du béton sous forme d’une affinité de rapport (1+ θef) appliqué au diagramme

contrainte-déformation du béton ;

Domaine d’application

- poteaux chargés de manière excentrée et élancement élevé ;

- λ> λlim ;

- poteaux de section constante ;

- ligne moyenne symétrique par rapport à la section médiane ;

- poteaux articulés en leurs deux extrémités ou en console ;

- poteaux soumis à un effort normal constant ;

- poteau soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur maximal se

produit dans la section àl0/2 du sommet ;


ANNEXES

141

Hypothèses de calcul

- on suppose que le flambement est plan ;

- le plan de flambement est celui ou les raideurs de liaisons en tête et en pieds sont les plus

faibles ;

- la déformée est une sinusoïdale sur la hauteur du poteau ;

𝑦(𝑥) = 𝛿 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥/) y(x) : flèche du poteau

1/𝑟 = 𝑦(/2) r : courbure

𝛿 = 1/𝑟 ∗ ²/𝜋²

- Excentricité à prendre en compte

La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant une excentricité corrigée du premier ordre égale

à :

𝑒1 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝛥𝑒𝑜

- e0 : excentricité résultant des calculs RDM

- ei : excentricité résultant des imperfections géométriques

- Δeo : supplément d’excentricité pour une section symétrique

- e0 : excentricité résultant des calculs RDM

𝑁𝑒𝑑 = 1103 𝑘𝑁

𝑒𝑜 = 𝑒 +𝐻𝑒𝑑

𝑁𝑒𝑑 = 0𝑚

Dans notre cas : Hed=0 : pas d’effort horizontal

e=0 : la force axiale est centrée

- ei : excentricité résultant des imperfections géométriques

𝑒𝑖 = 𝜃𝑖 ∗𝑙0

2= 0.00577 ∗

2.32

2= 0.00669𝑚 𝑣𝑜𝑖𝑟 7.


ANNEXES

142

- Δeo : supplément d’excentricité pour une section symétrique

𝛥𝑒𝑜 = 𝑚𝑎𝑥 (20𝑚𝑚 ; /30) = 300/30 = 20𝑚𝑚

𝑒1 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝛥𝑒𝑜 = 0 + 0.00669 + 0.020 = 0.0267𝑚

- Dispense de la vérification de l’état de stabilité de forme

𝜆 = 21.477𝑚 > 𝜆 𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶/(𝜂)^0.5 = 20 ∗ 0.804 ∗ 1.085 ∗ 1.7/(0.735)^0.5

= 14.27𝑚 (𝑣𝑜𝑖𝑟 9.

1.9.1.2 Méthode de l’équilibre

- Première itération

Pour l’acier : 휀𝑠1 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

434.8

200000 = 0.002174

Pour le béton θef=1.22 (voir 8.)

휀𝑐 = 휀𝑐1 ∗ (1 + 𝜑𝑒𝑓)

Avec

- εc1 : déformation relative en compression du béton au pic de contrainte fc

εc1 = 2.1/1000

휀𝑐 = 휀𝑐1 ∗ (1 + 𝜑𝑒𝑓) = 2.1/1000 ∗ (1 + 1.22) = 0.00466 : déformation relative en compression du

béton

- Contraintes des aciers comprimés

𝑥𝑢 = 𝑑 ∗휀𝑐

휀𝑐 + 휀𝑠1= 0.25 ∗

0.00466

0.00466 + 0.0021= 0.1723 ;

휀𝑠1 = 휀𝑐 ∗𝑥𝑢 − 𝑑’

𝑥𝑢= 0.00466 ∗

0.1723 − 0.05

0.1723= 0.0033 ;


ANNEXES

143

- Effort normal interne

o Béton comprimé :

𝑘 = 1.05 ∗ 𝐸𝑐𝑚 ∗ 휀𝑐1 ∗ 1 + 𝜑𝑒𝑓

𝛾𝑐𝑒 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝑘 = 1.05 ∗ 31 000 ∗ 106 ∗ 0.0021 ∗ 1 + 1.22

1.2 ∗ 16.67 ∗ 106= 7.586

𝑎 =1

𝑘 − 2∗ 휀𝑐1 ∗

1 + 𝜑𝑒𝑓

휀𝑐 =

1

7.586 − 2∗ 0.0021 ∗

1 + 1.22

0.00466= 0.1791

𝜓 = 𝑘/(𝑘 − 2) ∗ (1 − 𝑎𝑙𝑜𝑔 1 +1

𝑎 −

1

𝑘 − 2∗

휀𝑐

휀𝑐1 ∗ 1 + 𝜑𝑒𝑓 ) ∗ [1/2 − 𝑎 + 𝑎²𝑙𝑜𝑔(1 + 1/𝑎)]

𝜓 = 7.586/(7.586 − 2) ∗ (1 − 0.1791 ∗ 𝑙𝑜𝑔 1 +1

0.1791 −

1

7.586 − 2∗

0.00466

0.0021 ∗ 1 + 1.22 ) ∗ [1/2

− 0.1791 + 0.1791²𝑙𝑜𝑔(1 + 1/0.1791)]

𝜓 = 1.075

𝐹𝑐 = 𝜓 ∗ 𝑥𝑢 ∗ 𝑓𝑐𝑑 = 1.075 ∗ 0.1723 ∗ 16.67 ∗ 103 = 3087.66 𝑘𝑁

o Aciers comprimés :

𝐹𝑠2 = 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠 = 4.5 ∗ 10−4 ∗ 434.8 ∗ 10^3 = 195.66𝑘𝑁

o Aciers tendus :

−𝐹𝑠1 = −𝐴𝑠1 ∗ 𝜍𝑠 = 4.5 ∗ 434.8 ∗ 103 = 195.66𝑘𝑁

o Effort normal interne :

𝑁𝑖 = 𝐹𝑐 + 𝐹𝑠2 − 𝐹𝑠1 = 3087.66 + 195.66 − 195.66 = 3087.66 𝑘𝑁

o Effort normal externe :

𝑁𝑒𝑥𝑡 = 1.35 ∗ 𝐺 + 1.5 ∗ 𝑄 = 1103 𝑘𝑁

Ni> Next

- Moment fléchissant interne

o Béton comprimé :

𝛿𝐺 = 1 − 𝑘/(𝜓 ∗ (𝑘 − 2)) ∗ [1/2 − 𝑎 + 𝑎² ∗ 𝑙𝑜𝑔(1 + 1/𝑎)] + 1/( 𝜓 ∗ (𝑘 − 2) ∗ 휀𝑐/(휀𝑐1 ∗ 1 + 𝜑𝑟𝑒𝑓 )

∗ ((6𝑎² − 3𝑎 + 2)/6 − 𝑎²𝑙𝑜𝑔(1 + 1/𝑎))

𝑘 = 7.586

𝑎 = 0.1791

𝜓 = 1.075


ANNEXES

144

𝛿𝐺 = 1 −7.586

1.075 ∗ 7.586 − 2 ∗

1

2− 0.1791 + 0.17912 ∗ 𝑙𝑜𝑔 1 +

1

0.1791 +

1

1.075 ∗ 7.586 − 2

∗ 6 ∗ 0.17912 − 3 ∗ 0.1791 + 2

6− 0.17912𝑙𝑜𝑔 1 +

1

0.1791 = .6077

𝑀𝑐 = 𝐹𝑐 ∗

2− 𝛿𝐺 ∗ 𝑥𝑢 = 3087.66 ∗

0.3

2− 0.6077 ∗ 0.1723 = 139.85 𝑘𝑁𝑚

o Aciers comprimés :

𝑀𝑠2 = 𝐹𝑠2 ∗

2− 𝑑’ = 66.96 ∗

0.3

2− 0.05 = 6.696 𝑘𝑁𝑚

o Aciers tendus :

𝑀𝑠1 = 𝐹𝑠1 ∗ 𝑑 −

2 = 66.96 ∗ 0.25 −

0.30

2 = 6.696 𝑘𝑁𝑚

o Moment interne total :

𝑀𝑖 = 𝑀𝑐 + 𝑀𝑠2 + 𝑀𝑠1 = 139.85 + 6.696 + 6.696 = 153.24 𝑘𝑁𝑚

- Excentricité interne

𝑒𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑖/𝑁𝑖 = 153.24/3087.66 = 0.0496𝑚

- Excentricité externe

- Flèche ultime correspondant à la déformée en demi –onde de sinusoïde :

1

𝑟=

휀𝑐 + 휀𝑠1

𝑑=

0.00466 + 0.0021

0.25= 0.0268 𝑚 − 1

𝑓 =𝑙02

𝜋2∗

1

𝑟=

1.832

𝜋2∗ 0.0268 = 0.00909𝑚


ANNEXES

145

- Excentricité externe en pied de poteau

𝑒𝑒𝑥𝑡 = 𝑒1 + 𝑓 = 𝑒0 + 𝑒𝑖 + 𝛥𝑒𝑜 = 0 + 0.00669 + 0.020 + 0.00909 = 0.03578𝑚

- Conclusion

L’équilibre est assuré si :

- Ni> Next 3221.58 𝑘𝑁 > 1103 𝑘𝑁 ok

- eint>eext 0.0496 𝑚 > 0.03578 𝑚 ok

La stabilité au flambement est assurée !

1.9.1.3 Méthode basée sur une rigidité nominale – EC2

- Principe de la méthode

La méthode consiste à :

- Déterminer la rigidité nominale du poteau en flexion tenant compte des effets de la fissuration,

des non linéarités des matériaux et du fluage ;

- Déduire une force critique de flambement

- Utiliser un facteur d’amplification pour déterminer le moment total (1+second ordre)

- ETAPE 1 : Section initiale des armatures

On choisit arbitrairement une section d’armatures que l’on sera amené à vérifier.

As1=9.42cm²

- ETAPE 2 : Elancement

lo=2.32 m voir 6.1

Pour le poteau de section rectangulaire 0.3*0.3, on a : λ=26.79m

- ETAPE 3 : Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme

Voir 9. Critère du second ordre


ANNEXES

146

𝜆 = 26.79𝑚 > 𝜆 𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶/(𝜂)^0.5 = 14.27𝑚

Remarque : Les effets du second ordre ne peuvent donc pas être négligés.

- ETAPE 4 : Sollicitation du premier ordre en pied de poteau :

Sollicitations de calculs

∑𝛾𝑖𝑁𝑖 = 𝑁𝑒𝑑 = 1103 𝑘𝑁

∑𝛾𝑖𝑀𝑗𝐺𝑜 = 𝑃 ∗ 𝑒𝑜 = 0 (𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑑’𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒)

𝑒1 = ∑ 𝛾𝑖𝑀𝑗𝐺𝑜/∑𝛾𝑖𝑁𝑖 = 0 𝑚

- Sollicitations ultimes corrigés des imperfections géométriques

Voir partie 7.

ei=0.02m

Les sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul :

Ned =1103 kN Ned =1103 kN Ned=1103 kN

Medgo=Ned(ei+e1) Medgo=1103*(0+0.02) Medgo=22.06 kNm

eo=ei+e1 eo=0+0.02 eo=0.02m

ELS

Nser=Ng+Nq Ner =797.45 kN Nser=797.45 kN

Msergo = Mg+Mq Msergo=Nser*eoser=797.45*0 Msergo=0 kNm

e0ser= Msergo / Nser eoser= 0/797.45 eoser=0 m

- ETAPE 5 : Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité nominale


ANNEXES

147

- Section d’armatures initiale

Pour une section symétrique, il convient de prendre en compte le supplément d’excentricité Δeo=max

(20mm ; h/30)= max(20mm ;300/30)=max (20mm ;10mm)=20 mm

Abaque d’interaction :

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑𝑔𝑜 + 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝛥𝑒𝑜 = 22.06 + 1103 ∗ 20 ∗ 10^ − 3 = 44.12 𝑘𝑁𝑚

𝜇 = 𝑀𝑑/(𝑏 ∗ ² ∗ 𝑓𝑐𝑑) = 44.12 ∗ 10^3/(0.3 ∗ 0.30² ∗ 16.67 ∗ 10^6) = 0.098

𝑁𝑑 = 𝑁𝑒𝑑 = 1103 𝑘𝑁

𝜐 =𝑁𝑑

𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑= 1103 ∗

103

0.3 ∗ 0.3 ∗ 16.67 ∗ 106= 0.735

Diagramme d’interaction: pourcentage d’armatures

𝜇 = 0.098

𝜐 = 0.735

𝜔𝑡𝑜𝑡 = 0.014

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 1/2 ∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑/𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 0.5 ∗ 0.014 ∗ 0.3 ∗ 0.3 ∗ 16.67/434.8 = 0.242 𝑐𝑚²

𝐴𝑠 = 9.42𝑐𝑚² > 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 0.482𝑐𝑚². 𝐿𝑎 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é𝑒.

1.9.1.4 Rigidité nominale correspondante

𝑬𝑰 = 𝑲𝒄𝑬𝒄𝒅𝑰𝒄 + 𝑲𝒔𝑬𝒔𝑰𝒔

KcEcdIc : coefficient qui correspond à la raideur du béton

KsEsIs : coefficient qui correspond à la contribution de l’acier


ANNEXES

148

On distingue deux cas :

- 0.002 < ρ < 0.01 ;

- 0.01 < ρ ;

Dans notre cas : ρ=0.000268 donc on se situe dans le premier cas.

𝐾𝑐 = 𝑘1 ∗𝑘2

1 + 𝜑𝑒𝑓= 1.118 ∗ 0.

116

1 + 1.22= 0.0584

Avec

𝑘1 = 𝑓𝑐𝑘

20

0.5

= 25

20

0.5

= 1.118

𝑘2 =𝑁𝑒𝑑

𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑∗

𝜆

170=

1103

0.32 ∗ 16.67 ∗ 103∗

26.78

170= 0.116

𝐸𝑐𝑑 =𝐸𝑐𝑚

𝛾𝑐𝑒=

31000

1.2= 25833 𝑀𝑃𝑎 : 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑢 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒 𝑑’é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑑𝑢 𝑏é𝑡𝑜𝑛

𝐼𝑐 = 0.3 ∗0.33

12= 6.75 ∗ 10−4𝑚4 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑’𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑢 𝑏é𝑡𝑜𝑛

Ks=1 d’après l’annexe nationale : coefficient tenant compte de la contribution des armatures

𝐼𝑠 =2

2∗ 𝐴𝑠 ∗

2− 𝑐 = 9.42 ∗ 10−4 ∗ 0.30 − 0.03 2 = 6.87 ∗ 10−5𝑚4

𝐸𝐼 = 𝐾𝑐𝐸𝑐𝑑𝐼𝑐 + 𝐾𝑠𝐸𝑠𝐼𝑠 = 0.0584 ∗ 25833 ∗ 6.75 ∗ 10−4 + 1 ∗ 200000 ∗ 6.87 ∗ 10−5 = 14.76 𝑀𝑁𝑚2

Cette valeur est à comparer avec la raideur brute

𝐸𝑐𝑚𝐼𝑐 = 31000 ∗ 6.75 ∗ 10−4 = 20.93 𝑀𝑁𝑚2

- ETAPE 6 : moment de calcul total (premier et second ordre) à l’ELU

La force critique de flambement correspondant à la raideur nominale a pour valeur :

𝑁𝑏 = 𝜋² ∗ 𝐸𝐼/𝑙𝑓² = 𝜋² ∗ 1.37/2.32² = 2.51 𝑀𝑁

Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre :


ANNEXES

149

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀0𝑒𝑑 ∗ 1 +𝛽


− 1

Avec β = π²/c0= π²/8=1.23

- c0=

o 8 : moment du premier ordre constant

o 9.6 : moment du premier ordre parabolique

o 12 : moment du premier ordre triangulaire symétrique

- Ned : effort normal agissant à l’ELU Ned=1103 kN

- Moed : moment du premier ordre Moed= 22.06 kNm

- Nb : charge de flambement Nb=2.51 MN

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀0𝑒𝑑 ∗ 1 +𝛽


− 1 = 0.02206 ∗ 1 +1.23

2.511.103

− 1 = 0.0119 𝑀𝑁𝑚

Le moment total donné par cette méthode a pour valeur : Med= 11.9 kNm

Moment de calcul ELU par rapport aux aciers tendus :

eo=Med/Ned eo=11.9/1103=0.0108m

eA=e0+(d-h/2) eA= 0.0108+(0.25-0.30/2)=0.1108m

MedA=Ned*eA MedA=1103*0.1108=122.21 kNm

- ETAPE 7 Calcul des armatures

Moment réduit de référence ELU :

λ=0.8

𝜇𝑏𝑐 = 𝜆 ∗

𝑑∗ 1 −

𝜆

2∗

𝑑 = 0.8 ∗

0.30

0.25∗ 1 −

0.8

2∗

0.3

0.25 = 0.4992

Moment réduit agissant ELU :


ANNEXES

150


𝑏 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢= 122.21 ∗

103

0.3 ∗ 0.252 ∗ 16.67 ∗ 106= 0.391

Conclusion : μcu< μbc : section entièrement comprimée

La section étant entièrement comprimée, on utilisera le diagramme d’interaction.


ANNEXES

151

Figure 1.9.4.1 Diagramme d’interaction N-M [3]


ANNEXES

152

Armatures

𝑀𝑑 = 𝑀𝑒𝑑 = 11.9 𝑘𝑁𝑚

𝜇𝑐𝑢 = 𝑀𝑑/(𝑏 ∗ ² ∗ 𝑓𝑐𝑑) = 11.9 ∗ 10^3/(0.25 ∗ 0.3² ∗ 16.67 ∗ 10^6) = 0.032

𝑁𝑒𝑑 = 𝑁𝑑 = 1103 𝑘𝑁

𝜐 = 𝑁𝑑/(𝑏 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑑) = 1103/(0.3 ∗ 0.3 ∗ 16.67) = 0.735

𝑃𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒 𝑑’𝑎𝑟𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝜔𝑡𝑜𝑡 = 0.0040

Section d’armatures

∑𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = ½ ∗ 𝜔𝑡𝑜𝑡 ∗ 𝑏 ∗ ∗𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = ½ ∗ 0.0040 ∗ 0.25 ∗ 0.3 ∗16.67

434.8

𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 0.046 𝑐𝑚²

𝐴𝑠 = 9.42𝑐𝑚2 > 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 = 0.096𝑐𝑚2 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟é𝑒

Remarque : Si As1=As2> Asprov alors il faut effectuer une vérification de l’élancement pour la section

d’armatures que l’on vient de trouver et qui devient la nouvelle section réelle.

1.9.1.3 Evaluation de la courbure du poteau – EC2

- Principe de la méthode

Clause 5.8.8 : cette méthode est basée sur une courbure nominale.

Cette méthode consiste à estimer une courbure maximale et à en déduire un moment nominal du

second ordre. La courbure maximale est obtenue par une interpolation entre deux situations :

- courbure nulle ou la section équilibre un effort normal maximal ;

- courbure de référence (/r0) ou la section équilibre le moment résistant maximal ;


ANNEXES

153

Courbure maximale

La courbure maximale est donnée par :

1


1

𝑟0

- 𝐾𝑟 =𝑛𝑢−𝑛

𝑛𝑢−𝑛𝑏𝑎𝑙 : 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙’𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 ;

- 𝑛 =𝑁𝑒𝑑

𝐴𝑐

𝑓𝑐𝑑= 1103 ∗

103

0.3∗0.3∗16.67∗106 = 0.735 : 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 ;

- 𝜔 = 𝐴𝑠 ∗𝑓𝑦𝑑

𝐴𝑐∗𝑓𝑐𝑑= 3.08 ∗ 10−4 ∗

434.8

0.3∗0.3∗16.67= 0.0893 ;

- 𝑛𝑢 = (1 + 𝜔) = 1.0893 ;

- 𝑛𝑏𝑎𝑙 = 0.4 : 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑟é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 ;

- 𝐾𝑟 =𝑛𝑢−𝑛

𝑛𝑢−𝑛𝑏𝑎𝑙=

1.0893−0.735

1.0893−0.4= 0.514

- 𝐾𝜑 = 1 + 𝛽𝜑𝑒𝑓

- 𝜑𝑒𝑓 : 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑎𝑔𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓 𝜑𝑒𝑓 = 1.22 𝑣𝑜𝑖𝑟 8.

- 𝜆 = 26.79 𝑚 : é𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

- 𝛽 = 0.35 +𝑓𝑐𝑘

200−

𝜆

150= 0.35 +

25

200−

26.79

150= 0.2964

- 𝐾𝜑 = 1 + 𝛽𝜑𝑒𝑓 = 1 + 0.2964 ∗ 1.22 = 1.36

- 휀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠=

434.8

200000 = 0.002174

1

𝑟0=

휀𝑦𝑑

0.45 ∗ 𝑑=

0.002174

0.45 ∗ 0.25= 0.0193

1


1

𝑟0= 0.514 ∗ 1.36 ∗ 0.0193 = 0.0135

- Moment du second ordre

Le moment du second ordre est déduit directement de la courbure à l’aide de la relation flèche-

déplacement.

𝑀2 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 𝑒2

𝐴𝑣𝑒𝑐


ANNEXES

154

- 𝑁𝑒𝑑 : 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑔𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑁𝑒𝑑 = 1103 𝑘𝑁

- 𝑒2 : 𝑑é𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒2 =1

𝑟∗

𝑙02

𝑐

- 𝑙𝑜 : 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑒 : 2.32 𝑚

- 𝑐 : 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑢𝑟𝑒𝑠 ; 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐 = 𝜋²

- 𝑒2 = 0.0135 ∗2.322

𝜋2 = 0.0074

- 𝑀2 = 1103 ∗ 0.0074 = 8.12 𝑘𝑁𝑚

𝐿𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑢𝑟𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙) 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 :

𝑀𝑒𝑑 = 𝑀0𝑒𝑑 + 𝑀2 = 22.06 + 8.12 = 30.18 𝑘𝑁𝑚

2. Calcul poteau BAEL

2.1 Effort sollicitant – BAEL

𝑁𝑑𝑢 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞

𝑁𝑑𝑢 < 𝑁𝑢 =𝛼 ∗

𝐵𝑟 ∗ 𝑓𝑐0.9 ∗ 𝛾𝑏

+ 𝐴 ∗𝑓𝑒𝛾𝑠

𝛽

Lf=3.00m

𝑖 = /√12

𝑖 = 3/√12=0.866

𝜆 =3

0.866= 3.46𝑚

𝛽 = 1

𝛼 =0.85

1+0.8∗ 𝜆

35

2 =0.843

𝐵𝑟 = 27 ∗ 27 = 729𝑐𝑚²

𝐴 > 0.08 ∗ 𝑏 + = 4.8𝑐𝑚2

𝐴 > 0.002 ∗ 𝑏 ∗ = 1.8 𝑐𝑚2


ANNEXES

155

𝑁𝑑𝑢 = 1103 ∗ 10^3 < 𝑁𝑢 =0.843 ∗

(729 ∗ 10−4 ∗ 25 ∗ 106

0.9 ∗ 1.5+ 𝐴 ∗

500 ∗ 106

1.151

)

𝐴 = 9.56𝑐𝑚²

3. Synthèse et comparaison

Nous pouvons à présent comparer les trois méthodes :

- méthode générale ;

- méthode basée sur la raideur nominale ;

- méthode basée sur la courbure maximale ;

Tableau 3. Comparaison des résultats du poteau au BAEL & EC2

Méthode As

EC8

Méthode générale 9.42cm²

Méthode basée sur la raideur nominale

9.42 cm²

Méthode basée sur la courbure maximale

9.42 cm²

BAEL

9.56 cm²

Remarque : on remarque que les valeurs sont relativement proches. Cependant, la méthode générale

du fait des différentes itérations est beaucoup plus longue à appliquer que les deux autres méthodes.


ANNEXES

156

Annexe 9. Semelle isolée

Annexe 9.1 Semelle isolée n°44

Annexe 3.7.3 Vérification du poinçonnement EC2 :

Pour0 < 𝑎 < 2𝑑, il faut vérifier (voir annexe 3.7.3)

𝑉𝐸𝐷 < 𝑉𝑟𝑑

Avec :

𝛽 =𝑎

2 ∗ 𝑑

𝐴 = 𝜋 ∗ 2 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 +𝜃

2

2

𝑢 = 𝜋 ∗ 4 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 + 𝜃

𝑉𝑟𝑑𝑟𝑒𝑑 = 𝑁𝐸𝐷 ∗ (1 −𝐴

𝑏 ∗ 𝑐′)

𝑉𝐸𝐷 =𝑉𝑒𝑑𝑟𝑒𝑑

𝑢 ∗ 𝑑< 𝑉𝑟𝑑

𝑉𝑟𝑑 = max(𝐶𝑟𝑑𝑐 ∗ 𝑘 ∗ 100 ∗ 𝑝𝑙 ∗ 𝑓𝑐𝑘 13 ∗ 2 ∗

𝑑

𝑎;0.035

𝛾𝑐∗ 𝑘

32 ∗ 𝑓𝑐𝑘0.5 ∗ 2 ∗

𝑑

𝑎

Avec :

𝑝𝑙𝑥 =𝐴𝑠𝑥

𝑐′ ∗ 𝑑; 𝑝𝑙𝑦 =

𝐴𝑠𝑦

𝑐′ ∗ 𝑑; 𝐶𝑟𝑑𝑐 =

0.18

𝛾𝑐

𝑘 = min 2; 1 +200

𝑑


ANNEXES

157

Annexe 9.2 Note de calcul semelle isolée

1.1 Données – EC2 Charge permanente g= 842.4kN

Charge d’exploitation q=201.6 kN

Ned = 1.35*842.4+1.5*201.6= 1439.64 kN

Poteau circulaire θ= 0.30m (valeur fixée)

b’=1.00m a priori

c’=1.00m a priori

Béton de propreté cnom=30mm

𝑑 = − (3/2 ∗ 𝜃 + 30)

= 0.40𝑚 (𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑓𝑖𝑥é𝑒)

1.2 Dimensions- EC2 𝑆 = 𝑁𝑒𝑑/𝜍 = 1439.44 ∗ 10^3/(1.5 ∗ 10^6) = 0.96𝑚²

𝑏’ = 1.0𝑚

𝑐’ = 1.0𝑚

1.3 Moment – EC2

Le moment situé dans une section à 0.35*b de l’axe du poteau :

𝑴𝒆𝒅 = 𝑵𝒆𝒅/(𝟐 ∗ 𝒃’) ∗ 𝒃’

𝟐− 𝟎. 𝟑𝟓𝒃

𝟐

𝑴𝒆𝒅 = 1439.64 ∗103

2 ∗ 1.0∗

1.0

2− 0.35 ∗ 0.30

2

= 𝟏𝟏𝟐. 𝟑 𝒌𝑵𝒎


ANNEXES

158

1.1 Données – BAEL

Dimension du poteau : θ=0.30m

Matériaux fe=500MPa et fc28=25 MPa

Charges : g=842.4 kN et q=201.6 kN

q0 : poids propre de la semelle et des terres qui la surmontent g0=9.8 kN

𝑁𝑠𝑒𝑟 = 1 ∗ 𝑔 + 1 ∗ 𝑞 = 1 ∗ 842.4 + 1 ∗ 201.6 = 1044 𝑘𝑁

𝑃𝑢 = 1.35 ∗ 𝑔 + 1.5 ∗ 𝑞 = 1.35 ∗ 842.4 + 1.5 ∗ 201.6 = 1439.44 𝑘𝑁

Contrainte admissible du sol : qELU=1.5 MPa

Remarque :

On assimile le poteau circulaire à un poteau carré de même aire.

𝛱 ∗ 𝑟² = 0.07𝑚²

0.070.5 = 0.265 𝑚 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑎𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑟é 𝑑𝑒 0.27𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑡é.

- Cas d’une semelle sous point d’appui isolé

𝑑01 =𝑏’ − 𝑏

2=

1 − 0.27

2= 0.365𝑚

𝑑01

2< 𝑑 < 2 ∗ 𝑑01 0.183𝑚 < 𝑑 < 0.73𝑚

Dans notre cas d est fixé à 0.40m condition vérifiée

1.2 Dimensions- BAEL

- Aire approchée de la surface portante

𝒂’ ∗ 𝒃’ >𝑵𝒖 + 𝟏.𝟑𝟓 ∗ 𝒈𝒐

𝝇𝒒

𝑎’ ∗ 𝑏’ >1439.44 ∗ 103 + 1.35 ∗ 9.8 ∗ 103

1.5 ∗ 106= 0.96𝑚2

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑖𝑠𝑖𝑡 𝒂’ = 𝒃’ = 𝟏. 𝟎𝒎


ANNEXES

159

1.4 Modélisation bielle tirants- EC2

1.4.1 Calcul des armatures – EC2

Le calcul des aciers est effectué par la méthode des moments [EC2, § 9,8,2,2 (3)] avec un porte-à-

faux majoré de 0,15 fois la largeur du poteau (Fig.9 .13 de l’EC2-1-1).

La charge de calcul EdN doit déjà être majorée des coefficients de sécurité en combinaison

caractéristique de l’ELU.

- Moment :

𝑴𝒆𝒅 = 𝑵𝒆𝒅/(𝟐 ∗ 𝒃’) ∗ 𝒃′

𝟐− 𝟎. 𝟑𝟓𝒃

𝟐

𝑴𝒆𝒅 = 1439.64 ∗103

2 ∗ 1∗

1

2− 0.35 ∗ 0.30

2

= 𝟏𝟏𝟐. 𝟑 𝒌𝑵𝒎

- Moment réduit :

𝝁 =𝑴𝒆𝒅

𝒄’ ∗ 𝒅𝟐 ∗ 𝒇𝒄𝒅

𝐴𝑣𝑒𝑐

𝑑 = − 3

2∗ 𝜃 + 30

𝑆𝑖 𝜃 = 12𝑚𝑚 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑 = 400 − 3

2∗ 12 + 30 = 352 𝑚𝑚 = 0.352𝑚

𝝁 = 112.3 ∗103

1 ∗ 0.3522 ∗ 16.67 ∗ 106= 𝟎. 𝟎𝟓𝟒


ANNEXES

160

1.3 Armatures- BAEL

2 méthodes de calcul

- méthode de bielle dans le cas de charges centrées ;

- méthode des moments dans les autres cas ;

Semelles sous poteau :

Hypothèses :

- pour appliquer la méthode des bielles, il faut que la base de la semelle soit homothétique de

la section de la base du poteau.

- La méthode est moment ne s’applique que si la condition d’homothétie n’est pas vérifiée.

1.3.1 Calcul des armatures – BAEL

La formule établie pour les aciers principaux de flexion s’applique pour les deux sens.

𝐹 = 𝑃𝑢 ∗𝑑02

4 ∗ 𝑑2= 1439.44 ∗ 103 ∗

0.365

4 ∗ 0.35= 375.3 𝑘𝑁

𝐴 =𝐹

𝑓𝑒𝑑=

375.3 ∗ 103

434.8 ∗ 106= 𝟖. 𝟔𝟑 𝒄𝒎𝟐 𝒄𝒉𝒐𝒊𝒙 : 𝟖𝑯𝑨𝟏𝟒


ANNEXES

161

- Bras de levier :

𝜶𝒖 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 𝜇 0.5 = 1.25 ∗ 1 − 1 − 2 ∗ 0.054 0.5 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟗

𝒛𝒖 = 𝑑 ∗ 1 − 0.4 ∗ 𝛼𝑢 = 0.352 ∗ 1 − 0.4 ∗ 0.069 = 𝟎. 𝟑𝟒𝟐

𝑨𝒔 =𝑀𝑒𝑑

𝑧𝑢 ∗𝑓𝑦𝑘𝛾𝑠

= 112.3 ∗103

0.342 ∗ 500 ∗106

1.15

= 𝟕. 𝟓𝟓 𝒄𝒎𝟐

1.4 Vérification de non-poinçonnement (clause6.4)- EC2

Le cisaillement limite le poinçonnement le long du contour de contrôle situé à une distance a

du nu du poteau et au plus égale à 2d.

0 < 𝑎 < 2𝑑 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑎/(2 ∗ 𝑑) = 𝛽

θ : diamètre du poteau

IL faut limiter 2d à (b’-θ)/2=0.35m

𝐴 = 𝜋 ∗ 2 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 +𝜃

2

2

𝑢 = 𝜋 ∗ 4 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 + 𝜃

𝑉𝑒𝑑 < 𝑉𝑟𝑑

𝑉𝑒𝑑, 𝑟𝑒𝑑 = 𝑁𝑒𝑑 ∗ 1 −𝐴

𝑏’ ∗ 𝑐’

𝑉𝑒𝑑 = 𝑉𝑒𝑑,𝑟𝑒𝑑

𝑢𝑑< 𝑉𝑟𝑑

𝑽𝒓𝒅 = 𝒎𝒂𝒙 𝑪𝒓𝒅 ∗ 𝒌 ∗ 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒑𝒍 ∗ 𝒇𝒄𝒌 𝟏𝟑 ;

𝟎. 𝟑𝟎𝟑𝟓

𝜸𝒄∗ 𝒌

𝟑𝟐 ∗ 𝒇𝒄𝒌𝟎.𝟓 ∗ 𝟐 ∗

𝒅

𝒂

Avec :

- Semelle carrée :

𝜌𝑙𝑥 = 𝜌𝑙𝑦 = 𝜌𝑙 =𝐴

𝑐’ ∗ 𝑑= 7.55 ∗

10−4

1 ∗ 0.352= 0.00214

- 𝐶𝑟𝑑, 𝑐 =0.18

𝛾𝑐= 0.12

- 𝑘 = 𝑚𝑖𝑛 2 ; 1 +200

𝑑 = 𝑚𝑖𝑛 2 ; 1 +

200

352 = 1.57


ANNEXES

162

1.4. Vérification du non poinçonnement- BAEL

Dans le cas de semelles sur sol donnant lieu à des contraintes de calcul du sol élevées, on doit

justifier le comportement de la semelle au poinçonnement.

1.4.1 Charge poinçonnante- BAEL

La charge poinçonnante est égale à la résultante des contraintes sur le sol agissant de

l’extérieur du tronc de pyramide de poinçonnement

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑒 : 𝑃𝑢 = 1439.44𝑘𝑁

𝜍𝑠𝑜𝑙 =𝑃𝑢 + 1.35 ∗ 𝑔0

𝑎’ ∗ 𝑏’

𝑃𝑢 = 𝑃𝑢’ + 𝜍𝑠𝑜𝑙 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑏2

𝑃𝑢’ = 𝑃𝑢 − 𝑃𝑢 + 1.35𝑔0 ∗ 𝑎2 ∗𝑏2

𝑎’ ∗ 𝑏’

𝒂𝟐 = 𝑎 + 2 ∗ = 0.27 + 2 ∗ 0.40 = 1.07𝑚

𝒃𝟐 = 𝑏 + 2 ∗ = 0.27 + 2 ∗ 0.40 = 1.07𝑚

𝑷𝒖’ = 1439.44 − 1439.44 + 1.35 ∗ 9.8 ∗ 1.07 ∗1.07

1 ∗ 1= −𝟐𝟐𝟑.𝟕 𝒌𝑵

1.4.2 Vérification – BAEL

La condition de non-poinçonnement s’écrit :

𝑷𝒖’ < 0.045 ∗ 𝑢𝑐 ∗ ’ ∗𝒇𝒄𝒋

𝜸𝒃

Avec :

- Pu’ : charge poinçonnante

- 𝑢𝑐 = 2 ∗ (𝑎1 + 𝑏1) : périmètre de la surface d’impact au niveau du feuillet moyen de la semelle

𝒂𝟏 = 𝑎 + = 0.27 + 0.40 = 0.67𝑚

𝒃𝟏 = 𝑏 + = 0.27 + 0.40 = 0.67𝑚

- (1 − 𝐴/(𝑏’𝑐’) ∗ 1/𝑢𝑑 ∗ 𝑎/(2𝑑)

< 𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑟𝑑, 𝑐 ∗ 𝑘 ∗ 100 ∗ 𝑝𝑙 ∗ 𝑓𝑐𝑘 13 ; 0.035 ∗ 𝑘

32 ∗ 𝑓𝑐𝑘0.5


ANNEXES

163

1439.64 ∗ 103 ∗ 1 −𝐴

12 ∗ 4.04 ∗

𝑎

𝑢= 5817.36 ∗ 1 −

𝐴

12 ∗

𝑎

𝑢

0.12 ∗ 1.57 ∗ 100 ∗ 0.000214 ∗ 25 ∗ 106 13 = 15.29

0.035 ∗ 1.5432 ∗ 25 ∗ 106 0.5 = 334.44

𝟓𝟖𝟏𝟕.𝟑𝟔 ∗ 𝟏 −𝑨

𝟏² ∗

𝒂

𝒖< 334.44

Avec :

- 𝐴 = 𝜋 ∗ 2 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 +𝜃

2

2

= 𝜋 ∗ 2 ∗ 0.352 ∗ 𝛽 +0.30

2

2

= 𝜋 ∗ 0.704 ∗ 𝛽 + 0.15 2

- 𝑢 = 𝜋 ∗ 4 ∗ 𝑑 ∗ 𝛽 + 𝜃 = 𝜋 ∗ 4 ∗ 0.352 ∗ 𝛽 + 0.30 = 4.423 ∗ 𝛽 + 0.942

5817.36 ∗ 1 − 𝜋 ∗ 0.704 ∗ 𝛽 + 0.15 2

12 ∗

𝑎

4.423 ∗ 𝛽 + 0.942< 334.44

5817.36 ∗

1 − 𝜋 ∗ 0.704 ∗

𝑎. 0704

+ 0.15 2

12

∗𝑎

4.423 ∗𝑎

0.704+ 0.942

< 334.44

5817.36 ∗ 1 − 𝜋 ∗ 𝑎 + 0.15 2

12 ∗

𝑎

6.283 ∗ 𝑎 + 0.942< 334.44

On renomme le membre de gauche G. Il faut vérifier cette condition pour 0<a<0.35

𝒖𝒄 = 2 ∗ (𝑎1 + 𝑏1) = 2 ∗ (0.70 + 0.70) = 2.68𝑚

- h’ : épaisseur de la semelle dans la section S à h/2 du u du poteau (hypothèse h=h’)

- fcj =1.10*fc28

𝑷𝒖’ < 0.045 ∗ 𝑢𝑐 ∗ ’ ∗𝒇𝒄𝒋

𝜸𝒃= 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 ∗ 𝟐. 𝟔𝟖 ∗ 𝟎. 𝟒𝟎 ∗∗ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟐𝟓 ∗

𝟏𝟎𝟔

𝟏. 𝟓= 𝟖𝟖𝟒.𝟒 𝒌𝑵

Vérification: absence de poinçonnement


ANNEXES

164

1.5. Ancrage des barres – BAEL

L’effort de traction à ancrer :

𝑭𝒔 = 𝑹 ×𝒛𝒆

𝒛𝒊

Avec :

- R est la résultante de la pression du sol sur la distance x

- ze est le bras de levier des forces externes, c.-à-d. la distance entre R et l’effort vertical N

- N est l’effort vertical correspondant à la pression totale du sol entre les sections A et B

- zi est le bras de levier des forces internes, c.-à-d. la distance entre les armatures et l’effort

horizontal Fc

- Fc est l’effort de compression correspondant à l’effort de traction maximal Fs,max

𝑧𝑒 = 0.5 ∗ 𝑏’ − 0.35𝑏 −𝑥

2 ;

𝑅 = 𝑁𝑒𝑑 ∗𝑥

𝑏’ ;

𝑃𝐹𝑆 : 𝐹𝑠 ∗ 𝑧𝑖 − 𝑅 ∗ 𝑧𝑒 = 0

𝐹𝑠 = 𝑁𝑒𝑑 ∗𝑥

2 ∗ 𝑏’ ∗ 𝑧𝑖∗ 𝑏’ − 0.7 ∗ 𝑏 − 𝑥 ;


ANNEXES

165

vérification du poinçonnement EC2

a G limite Vérification

0 0 334.44 ok

0.01 53.240223 334.44 ok

0.02 99.085062 334.44 ok

0.03 138.67062 334.44 ok

0.04 172.89374 334.44 ok

0.05 202.47182 334.44 ok

0.06 227.98557 334.44 ok

0.07 249.91009 334.44 ok

0.08 268.63781 334.44 ok

0.09 284.49575 334.44 ok

0.1 297.75859 334.44 ok

0.11 308.65873 334.44 ok

0.12 317.39414 334.44 ok

0.13 324.1345 334.44 ok

0.14 329.02609 334.44 ok

0.15 332.19566 334.44 ok

0.16 333.75361 334.44 ok

0.17 333.79655 334.44 ok

0.18 332.40936 334.44 ok

0.19 329.66694 334.44 ok

0.2 325.63563 334.44 ok

0.21 320.37439 334.44 ok

0.22 313.93581 334.44 ok

0.23 306.36694 334.44 ok

0.24 297.71001 334.44 ok

0.25 288.00302 334.44 ok

0.26 277.28026 334.44 ok

0.27 265.57277 334.44 ok

0.28 252.90867 334.44 ok

0.29 239.31356 334.44 ok

0.3 224.81074 334.44 ok

0.31 209.4215 334.44 ok

0.32 193.16529 334.44 ok

0.33 176.05997 334.44 ok

0.34 158.12193 334.44 ok

0.35 139.36624 334.44 ok

Tableau 1.4 Vérification du poinçonnement


ANNEXES

166

1.5 Arrêt des barres- EC2

Contrainte limite d’adhérence :

𝜏𝑠𝑢 = 0.6 ∗ 𝜓𝑠² ∗ 𝑓𝑡28 = 0.6 ∗ 1.5² ∗ 2.1 = 𝟐.𝟖𝟒 𝑴𝑷𝒂

- Contrainte d’adhérence

𝑔 = 4 ∗ 𝐴 ∗𝑓𝑒𝑑

𝑏’ = 4 ∗ 8.63 ∗ 10.−4 ∗ 434.8 ∗

106

1= 𝟏.𝟓 𝑴𝑷𝒂

D’où la contrainte d’adhérence:

𝝉𝒔 =𝒈

𝒎 ∗ 𝝅 ∗ 𝜽=

𝟏. 𝟓

𝟖 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟒= 𝟒.𝟐𝟔 𝑴𝑷𝒂

1.5.1 Conclusion – EC2

𝜏𝑠𝑙𝑖𝑚 = 0.8 ∗ 𝜏𝑠𝑢 = 0.8 ∗ 2.84 = 2.27 𝑀𝑃𝑎: 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑢𝑖 𝑖𝑠𝑜𝑙é

4.26 𝑀𝑃𝑎 > 𝜏𝑠 > 𝜏𝑠𝑙𝑖𝑚 = 2.27 𝑀𝑃𝑎

Remarque toutes les barres doivent être munies de crochets d’extrémité

𝐹𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝑒𝑑 ∗1

2 ∗ 𝑏’ ∗ 𝑧𝑖∗

𝑏’ − 0.7 ∗ 𝑏

4

2

𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 =𝑏’ − 0.7 ∗ 𝑏

2 ;

𝐹𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝑒𝑑 ∗1

8 ∗ 𝑏’ ∗ 𝑧𝑖∗ 𝑏’ − 0.7 ∗ 𝑏 2𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑧𝑖 = 0.9𝑑 ;

𝐹𝑠𝑚𝑎𝑥 = 1439.64 ∗1

8 ∗ 1 ∗ 0.3168∗ 1 − 0.7 ∗ 0.30 2𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑧𝑖 = 0.9𝑑 = 0.3168 ;

𝑭𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟓𝟒. 𝟓𝟏 𝒌𝑵

𝒍𝒃𝒅 >𝒃′ − 𝟎. 𝟕 ∗ 𝒃

𝟒


ANNEXES

167

1.6 Semelle de poteaux fondée au rocher (clause9.8.4)

Il convient de prévoir des armatures transversales pour résister aux efforts d’éclatement dans la

semelle lorsque la pression du sol aux ELU est supérieure à q2 = 5 MPa d’après l’annexe nationale.

P=F/S = 1439.64/(1.0 *1.0)= 1.44 MPa <5MPa


ANNEXES

168

1.6. Effort tranchant – EC2

1.6.1 Effort tranchant de calcul Vu- EC2

Dans la section S2 à h/2 du nu du poteau de largeur a+d :

𝑉𝑢 = 𝜍𝑠𝑜𝑙 ∗ 𝑎’ ∗ 𝑑0 −𝑑

2

𝜍𝑠𝑜𝑙 =𝑃𝑢 + 1.35 ∗ 𝑔0

𝑎’ ∗ 𝑏’=

1439 + 1.35 ∗ 9.8

1 ∗ 1= 1.45 𝑀𝑃𝑎

𝑑0 =1.0 − 0.30

2= 0.35𝑚

𝑑 = 0.35𝑚

𝑎’ = 1.0𝑚

𝑉𝑢 = 𝜍𝑠𝑜𝑙 ∗ 𝑎’ ∗ 𝑑0 −𝑑

2 = 1.45 ∗ 106 ∗ 1.0 ∗ 0.35 −

0.35

2 = 253 𝑘𝑁

1.6.2 Vu2 : effort tranchant de référence – EC2

𝑉𝑢2 = 0.2 ∗𝑓𝑐𝑗

2 ∗ 𝛾𝑏∗ 𝑎2 ∗ 𝑑2

𝑑2 : 𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑆2 𝑑2 = 𝑑 = 0.35𝑚

𝑎2 = 1.07𝑚

𝑉𝑢2 = 0.2 ∗ 1.07 ∗ 25 ∗ 10^6/(2 ∗ 1.5) ∗ 0.35 = 624 𝑘𝑁

1.6.3 Vérification – EC2

Les armatures d’effort tranchant ne sont pas nécessaires si Vu< Vu2.


ANNEXES

169

1.7 Comparaison des résultats pour la semelle – EC2 & BAEL

EC2 BAEL Gain ou

augmentation

Dimensions 1.00*1.00 1.00*1.00 -

Armatures selon x 7.5 cm² 8.63 cm² +13 %

Armatures selon y 7.5 cm² 8.63 cm² +13 %

Poinçonnement Non Non

Armatures transversales

Non Non


ANNEXES

170

10. Action sismique

Annexe 10.1 Poussée des terres

Le tout-venant du Rhin possède les caractéristiques suivantes :

Angle de frottement θ=30°

Poids volumique γ=20 kN/m3

ka γ=kaq=0.33

Surcharge q=50kN/m (qui prend en compte les éventuelles passages de véhicules….)

Pour le sol :

0.00m-5m : tout venant du Rhin : graviers et sables

Les diagrammes de poussées de terres et de poussées dues aux surcharges sont définis comme

suit pour une hauteur de voile de 4.24m de la manière suivante :

Poussée de terres :

𝑃𝛾 =1

2∗ 𝑘𝑎𝛾 ∗ 𝛾 ∗ 𝐿2 = 0.5 ∗ 0.33 ∗ 20 ∗ 4.242 = 59.33𝑘𝑁/𝑚

Poussée due à la surcharge

𝑃𝑞 = 𝑘𝑎𝑞 ∗ 𝑞 ∗ 𝐿 = 0.33 ∗ 50 ∗ 4.24 = 69.96𝑘𝑁/𝑚

La résultante de ces poussées est appliquée au 2/3 de la hauteur du voile (2/3*4.24=2.83m)

𝐹 = 59.33 ∗4.24

2+ 69.96 ∗ 4.24 = 422.41 𝑘𝑁

Annexe 10.2 Poussée dynamique des terres - PS92

La poussée active dynamique globale due à une surcharge qui s’exerce sur la paroi est prise égale à :

𝑷𝒂𝒅 = 𝑯 ∗𝒒

𝒄𝒐𝒔𝜷 ∗ 𝟏 − +𝝇𝒗 ∗ 𝑲𝒂𝒅

Avec :

Kad : coefficient de poussée dynamique active et s’exprime par :


ANNEXES

171

𝐾𝑎𝑑 =𝑐𝑜𝑠2 𝜑 − 𝜃

𝑐𝑜𝑠2 𝜃 ∗ 1 + sin 𝜑 ∗

𝑠𝑖𝑛 𝜑 − 𝛽 − 𝜃

cos 𝜃 ∗ cos 𝛽

−2

poids volumique du sol humide non déjaugé γ=20kN/m3

θ : angle de frottement interne du sol soutenu θ=30°

H : hauteur de la paroi H=4.24m

β : angle du terre-plein avec l’horizontal β= 0

ζh : coefficient sismique horizontal (pourcentage de g)

ζv : coefficient sismique vertical (pourcentage de g)

𝜃 = 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛(𝜍/(1 + − 𝜍𝑣) : Angle apparent avec la verticale de la résultante des forces des masses

appliquées au remblai contenu par le mur sous excitation sismique.

Remarque : la poussée dynamique globale s’exerce à mi hauteur de la paroi.

ζh et ζv sont donnés dans le tableau 9 coefficient sismique

Annexe 10.3 Poussée dynamique des terres - EC8

La force totale de calcul agissant sur l'ouvrage de soutènement du côté du terrain est donnée par :

𝑬𝒅 = 𝟎. 𝟓 ∗ 𝜸 ∗ (𝟏 + −𝒌𝒗) ∗ 𝑲 ∗ 𝑯² + 𝑬𝒘𝒔 + 𝑬𝒘𝒅

Avec:

H est la hauteur du mur H=4.24m;

E ws est la poussée statique de l'eau Ews=0 drainage périphérique;

E wd est la pression hydrodynamique (définie ci-dessous) ;

γ* est le poids volumique du sol γ*=20kN/m3;

K est le coefficient de poussée des terres (statique + dynamique) ;

k h est le coefficient sismique horizontal kh=α*S/r

k v est le coefficient sismique vertical kv=0.5*kh si avg/ag>0.6

kv=0.33*kh sinon

Le coefficient de poussée des terres peut être calculé à partir de la formule de Mononobe et

Okabe.


ANNEXES

172

Pour les états actifs (poussée) :

Avec

θ'd est la valeur de calcul de l'angle de frottement du sol, soit

θ'd = tan-1(tanΦ’/ γ Φ’)=tan-1(tan30°)/(20*30))=0.055 ;

ψ et β sont les angles d'inclinaison de la face arrière du mur et de la surface du remblai par

rapport à l'horizontale ;

ψ=90° β=0° ;

δd est la valeur de calcul de l'angle de frottement entre le sol et le mur, soit :

δd=tan-1(tanδ/ γ Φ’)=tan-1(tanδ/(20*30))

tan θ=kh/(1+kv)

Annexe 10.4 Risque sismique – EC8

Tableau 4.3.4 Accélération maximales agr

Zone agr (m/s²)

1 Très faible -

2 Faible 0.7

3 Modérée 1.1

4 Moyenne 1.6

5 Forte 3


ANNEXES

173

Annexe 11. Vérifications sismiques Annexe 10.1 Déformations en fonctions des directions du séisme

Figure 4.5.3.1 Déformation pour X*1 +0.33*Y+0.33*Z

Figure 4.5.3.2 Déformation pour X*0.33+1*Y+0.33*Z

Annexe 10.2 Vérification des contraintes

Partie 1 : rectangulaire – vérification de la contrainte normale

Partie 1 PS92 EC8 Comparaisons

Type N° σELU+

[MPa]

σELA+

[MPa]

σELU+

[MPa]

σELA+

[MPa]

Ecart %

ELU+

Ecart %

ELA+

poutre 42 1.17 0.97 0.65 0.75 44.44 22.68

poutre 43 1.40 2.65 0.88 2.14 37.14 19.25

poutre 47 2.06 1.79 1.52 1.38 26.21 22.91

Poutre 48 3.29 2.68 3.50 2.94 6.38 9.70


ANNEXES

174

Poteau 92 8.30 8.47 7.40 7.42 10.84 12.40

Poteau 97 9.20 8.97 9.41 9.35 2.28 4.24

Poteau 101 13.59 11.10 12.88 10.35 5.22 6.76

Poutre 104 0.12 0.22 0.02 0.17 83.33 22.73

Poutre 105 -0.11 0.03 0.71 0.72

Poutre 107 -0.10 0.42 -0.18 0.48 80.00 14.29

Poutre 110 -0.03 0.01 -0.04 -0.01 33.33

poutre 112 0.30 0.27 0.35 0.33 16.67 22.22

Poteau 120 11.24 10.48 10.75 10.24 4.36 2.29

Poteau 121 0.91 0.76 0.93 0.78 2.20 2.63

Poteau 122 3.96 3.07 3.64 2.84 8.08 7.49

Poteau 184 7.25 8.71 7.73 8.41 6.62 3.44

Poutre 200 1.31 1.49 1.23 1.37 6.11 8.05

Poutre 206 0.86 1.19 0.82 1.05 4.65 11.76

Poutre 207 1.52 1.48 1.71 1.58 12.50 6.76

Poutre 208 1.45 1.25 1.46 1.22 0.69 2.40

Poutre 209 0.03 0.07 0.04 0.07 33.33 0.00

Poutre 210 0.02 0.07 0.02 0.06 0.00 14.29


ANNEXES

175

Poutre 338 1.46 1.91 0.81 1.26 44.52 34.03

Poutre 339 1.36 2.47 1.04 1.76 23.53 28.74

Poutre 340 0.88 1.10 0.77 1.01 12.50 8.18

Partie2 PS92

Type N° σELU+

[MPa]

σELA+

[MPa]

Poteau 1374 1.93 1.93

Poteau 92 2.02 1.93

Poutre 133 6.19 4.79

Poutre 134 -0.06 -0.03

Poutre 135 -0.04 0.02

Poutre 143 -0.06 -0.03

Poteau 144 5.30 4.85

Poutre 202 0.73 0.80

Poutre 209 0.63 0.83

Poutre 354 0.44 0.75

Poutre 355 1.60 1.59

Poutre 438 0.43 0.42

Poutre 439 0.64 0.65

Poutre 440 0.51 0.48

Poutre 441 1.02 0.89


ANNEXES

176

Poteau 1374 9.49 7.95

Poteau 1442 6.07 5.45

Poutre 1444 2.49 2.70

Poutre 1445 -0.56 0.64

Poteau 1542 11.84 10.60

Tableau 4.5.4.1 Contraintes dans les poteaux et les poutres partie 1 et 2

Tableau 4.5.4.2 Vérification des contraintes de cisaillement

Partie 1 PS92 EC8 Comparaisons

Type N° τ ELU+

[MPa]

τ ELA+

[MPa]

τ ELU+

[MPa]

τ ELA+

[MPa]

Ecart

% ELU

Ecart

% ELA

Poteau 92 0.06 0.13 0.04 0.1 33.33 23.08

Poteau 95 0.13 0.14 0.08 0.09 38.46 35.71

Poteau 97 -0.05 0.06 -0.07 0.05 40.00 16.67

Poteau 101 0.04 0.04 0.04 0.05 0.00 25.00

Poteau 102 0.11 0.11 0.14 0.14 27.27 27.27

Poteau 120 0 0 0 0 0.00 0.00

Poteau 121 0 0 0 0 0.00 0.00

Poteau 122 0 0 0 0 0.00 0.00

Poteau 184 0.01 0.07 0.04 0.05


ANNEXES

177

Annexe 10.3 : Vérification des voiles

Partie 1 et partie 2 : contraintes normales dans les voiles

Partie 1

PS92 EC8 PS92 EC8

Contraintes normales Contraintes de cisaillement

Type N°

ζmax10

ELU+

[ MPa]

ζmax

ELA+

[ MPa]

ζmax

ELU+

[MPa]

ζmax

ELA+

[MPa]

ηmax

ELU+

[ MPa]

ηmax

ELA+

[MPa]

ηmax

ELU+

[MPa]

ηmax

ELA+

[MPa]

Voile

BA 74 -2.53 -1.08 -3.4 -1.66 0.02 0.05 0.04 0.03

Voile

BA 76 -0.97 -0.63 -1.95 -1.33 0 0 0.60 0.36

Voile

BA 118 -1.04 -1.05 -1.89 -1.35 0 0.03 0.05 0.06

Voile

BA 148 -1.67 -0.96 -2.11 -1.43 0 0.1 0.01 0.02

Voile

brique 71 -0.63 -0.39 -1.55 0.09 0.04 0.21 0.13

Tableau 4.5.5 Contraintes dans les voiles et dalles partie 1

10 Valeur négative : contrainte de compression ; Valeur positif : contrainte de traction


ANNEXES

178

Annexe 10.4 : Dimensionnement des semelles


ANNEXES

179

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]b'[m]

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]

As

[cm²]

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]

As

[cm²]

28 63 33 223 0.60 92 46 309 0.94 160 77 268 0.79 33.07

31 0 0 312 0.60 0 0 429 1.25 0 0 408 1.04 1.04

32 0 0 27 0.60 0 0 37 0.11 0 0 30 0.07 0.07

33 0 0 105 0.60 0 0 145 0.42 0 0 113 0.28 0.28

35 108 50 501 0.75 149 71 688 2.91 170 135 596 2.22 50.00

36 -129 72 338 0.60 -129 100 464 1.39 -19 106 436 1.14 72.14

37 -27 192 310 0.60 -26 266 425 1.47 28 260 400 1.21 192.21

38 235 41 1245 1.15 323 58 1709 13.23 351 87 1468 9.89 40.53

39 -20 337 960 1.05 -19 465 1321 9.38 54 414 1131 6.96 336.71

40 -44 -219 908 0.95 -43 -211 1247 7.29 -21 -136 1022 5.15 5.15

41 53 -56 446 0.70 73 -52 612 2.29 81 -37 494 1.62 1.62

43 -44 -108 873 0.95 -44 -75 1201 7.01 -20 -76 1025 5.17 5.17

44 -10 402 1612 1.30 -3 557 2218 20.65 188 482 1932 15.43 401.95

45 225 14 971 1.00 314 21 1334 8.60 423 23 1152 6.66 14.23

46 5 261 919 1.00 42 360 1263 8.23 55 335 1143 6.45 260.75

47 1 -105 211 0.60 1 -104 289 0.84 8 -60 254 0.64 0.64

48 13 273 818 0.95 17 377 1122 6.90 40 479 1093 6.04 273.45

49 -2 -330 872 0.95 -2 -304 1196 6.97 11 -167 1072 5.41 5.41

50 53 144 738 0.90 73 202 1011 5.56 82 213 1152 5.50 143.58

51 -32 393 456 0.80 -32 559 626 3.82 32 343 503 2.39 393.31

52 30 408 495 0.80 41 580 680 4.07 70 357 570 2.65 407.51

53 71 350 500 0.80 100 497 689 3.87 115 308 538 2.44 349.82

54 29 178 915 1.00 42 255 1259 8.04 79 160 998 5.46 177.83

55 161 310 656 0.85 224 440 905 5.01 215 273 684 3.17 309.92

56 85 -25 694 0.85 126 15 953 4.78 86 -16 756 3.27 3.27

57 107 -34 288 0.60 147 -30 396 1.23 132 2 343 0.93 0.93

58 0 438 808 1.00 0 603 1109 7.90 8 602 1109 6.85 437.81

59 -19 0 307 0.60 -18 0 421 1.23 112 3 331 0.88 0.88

61 120 11 583 0.80 171 49 799 3.72 341 478 1226 5.25 10.85

62 -5 -42 254 0.60 2 -30 348 1.01 187 243 827 2.20 2.20

63 -84 314 534 0.80 -63 437 732 3.88 130 521 789 3.74 314.34

66 -55 -85 595 0.80 -46 -82 818 3.73 131 70 927 3.71 3.71

67 3 1 62 0.60 4 1 87 0.25 16 6 62 0.16 0.63

68 7 1 155 0.60 10 2 216 0.63 21 9 151 0.38 1.10

69 4 2 32 0.60 6 3 45 0.13 11 6 33 0.09 2.08

70 56 242 355 0.70 80 345 488 2.23 370 391 506 2.07 241.83

71 23 146 614 0.80 33 216 843 3.96 335 510 1060 4.68 145.52

72 -7 248 333 0.65 -3 356 458 1.93 313 376 447 1.69 247.71

73 42 -59 842 0.95 57 19 1157 6.75 474 489 1389 7.49 7.49

74 115 211 388 0.70 160 303 533 2.28 572 478 685 2.90 210.58

358 16 39 182 0.60 26 55 255 0.76 65 103 181 0.53 39.17

387 -64 152 629 0.80 -64 208 863 4.04 -15 237 942 3.85 151.59

742 1 -62 183 0.60 2 -46 251 0.73 4 97 495 1.28 1.28

1003 0 15 205 0.60 0 23 280 0.82 8 67 236 0.62 15.40

1486 381 76 966 1.05 541 109 1327 9.61 335 161 1164 7.01 76.24

8101 14 7 70 0.60 20 10 98 0.29 36 23 68 0.19 7.01

8102 52 133 519 0.75 71 184 714 3.05 153 189 593 2.23 132.81

EC8

Vérifications des semelles

n°

ELS ELU ELA As

[cm²]

Figure 10.4.1 Semelles EC8


ANNEXES

180

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]b'[m]

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]

As

[cm²]

FX

[kN]

FY

[kN]

FZ

[kN]

As

[cm²]

63 22 199 0.550 91 30 274 6.30 157 64 241 4.81 91.370 0 326 0.700 0 0 449 10.32 0 0 417 8.34 8.340 0 26 0.600 0 0 36 0.82 0 0 29 0.57 0.570 0 114 0.600 0 0 158 3.62 0 0 121 2.41 2.41

138 14 459 0.800 191 24 629 14.46 211 117 562 11.23 190.91-122 60 360 0.750 -122 83 494 11.36 70 99 477 9.55 9.55-28 198 301 0.650 -26 274 412 9.48 54 276 412 8.23 8.23312 39 1260 1.350 429 56 1730 39.77 424 99 1406 28.12 429.1786 362 1015 1.200 118 499 1398 32.13 190 419 1116 22.32 118.44-41 -198 946 1.150 -40 -187 1300 29.88 -6 -104 1001 20.03 20.0374 -61 376 0.750 102 -56 516 11.85 104 -40 400 8.01 101.99-48 -190 1000 1.200 -46 -177 1375 31.61 -22 -147 1081 21.63 21.63

-134 412 1650 1.550 -128 570 2270 52.18 99 486 1882 37.65 37.6571 7 830 1.100 98 10 1140 26.21 268 16 927 18.54 97.91-12 280 1050 1.250 31 385 1442 33.15 -15 357 1238 24.75 31.060 -122 221 0.600 0 -122 302 6.95 4 -6 329 6.58 6.58

25 275 860 1.100 35 379 1179 27.10 49 481 1150 23.01 34.520 -303 852 1.100 0 -290 1167 26.83 9 -99 1029 20.59 20.59

63 259 792 1.100 86 366 1085 24.93 130 391 1210 24.20 85.86151 389 544 0.900 209 553 746 17.16 256 202 553 11.05 208.72

7 395 428 0.800 9 563 588 13.51 95 204 452 9.04 9.04-7 370 624 0.950 -4 526 857 19.70 96 192 620 12.40 12.40-12 343 768 1.050 -7 493 1056 24.28 46 160 772 15.45 15.4578 336 648 1.000 108 479 891 20.49 167 169 642 12.83 107.9356 55 733 1.050 100 111 1007 23.15 0 -19 757 15.15 99.61172 -34 342 0.700 237 -30 470 10.80 196 0 399 7.97 237.26

0 374 689 1.000 0 516 946 21.74 7 507 950 18.99 18.99-17 0 307 0.700 -15 0 421 9.68 139 5 294 5.89 5.8991 52 537 0.900 129 92 735 16.90 333 545 1244 24.88 129.284 0 223 0.600 16 19 305 7.01 263 320 923 18.46 18.46

-92 267 660 1.000 -71 371 907 20.84 160 456 954 19.09 19.09-63 -129 521 0.900 -50 -127 716 16.45 168 65 839 16.78 16.784 1 76 0.600 5 1 106 2.45 12 4 64 1.27 5.277 0 175 0.600 11 0 244 5.61 23 4 156 3.12 10.752 2 39 0.600 3 3 54 1.24 6 5 40 0.79 3.27

67 200 375 0.750 97 286 515 11.83 427 291 511 10.21 97.109 110 535 0.900 13 166 735 16.89 328 418 976 19.51 19.510 171 269 0.650 1 246 370 8.51 240 229 362 7.24 7.24

23 -57 790 1.050 32 8 1085 24.95 375 478 1375 27.49 32.06213 276 368 0.750 295 393 506 11.62 760 467 654 13.08 295.2711 42 149 0.600 23 59 209 4.80 73 91 127 2.54 22.80-65 209 581 0.900 -65 286 798 18.34 -2 312 864 17.29 17.290 -182 217 0.600 0 -171 296 6.81 0 132 600 12.00 12.000 14 147 0.600 0 20 201 4.61 1 66 163 3.26 3.26

432 -36 1016 1.200 615 -29 1395 32.07 231 72 1153 23.07 614.7510 10 57 0.600 14 15 80 1.84 30 30 50 1.00 14.2642 145 510 0.850 59 201 702 16.13 144 209 575 11.50 58.64

Vérifications des semelles

ELS ELU ELA As

[cm²]

BAEL

Figure 10.4.2 Semelle DTU 13.12


ANNEXES

181

Annexe 10.5 : Vérification poteaux et vérification des diaphragmes

horizontaux

Annexe 10.5.1 Vérification des poteaux

Poteau 97 : 30*30 Longueur du poteau 3.30 m, poteau birotulé

Efforts

PS 92 EC8 ECARTS

N(kN) M(kNm) V [kN] N(kN) M(kNm) V[kN] N(kN) M (kNm)

ELA 551 11.60 0.11 527 14.81 2.94 4.35 -27.8

ELU 564 10.01 -2.88 531 13.60 -4.02 -5.85 -35.87

D.

horizontaux11

580 16.3 3.8

Tableau 10.5.1.1 Poteau 97

Armatures longitudinales:

PS92 et EC8 : ELA :As1=As2=4.5 cm²

PS92 et EC8 : ELU : As1=As2=4.5 cm²

Statique : descente de charge : As1=As2=4.5 cm²

D.H : As1=As2=4.5 cm²


PS92 : ELA et ELU: zone critique 1HA8 st=7.5 cm / zone courante : 1HA8 st=15.0 cm

EC8 : ELA et ELU: zone critique 1HA8 : 6.3 cm / zone courante : 1HA8 st = 12.5 cm

DH : zone critique 1HA8 st=6.5 cm/ zone courante : 1HA8 st=12.5cm

Statique : descente de charge : zone critique : 1HA8 st=7.5cm / zone courante 1HA8 st=15cm.

vérification en parasismique ok

11 D. horizontaux : diaphragmes horizontaux


ANNEXES

182

Poteau 184 : 25*25, longueur du poteau 4.24 m

Poteau

184

Efforts

PS 92 EC8

N (kN) M (kN) V(kN) N (kN) M (kN) V(kN)

G 257 -0.81 -0.28 247.52 -1.62 -0.64

Q 30.71 -0.24 -0.09 28.15 -0.48 -0.21

E 110.43 -5.30 2.85 64.12 -3.31 1.82

ELU+ 397 -1.89 -0.28 378 -1.61 -0.66

ELA+ 368 -4.49 2.89 332 4.51 2.04

ELA- 147.8 -6.10 -3.46 184.5 -6.29 -3.51

D.de charges 587 0 0

D.H 365 4.96 2.65



ELA+ : PS92 & EC8 : As1=As2=3.1cm²

ELU+ : PS92 & EC8 : As1=As2=3.1cm²

Descente de charge : 8.0 cm²

D.H : As1=As2=3.1cm²


ELA&ELU : PS92&EC8 : 1HA8 st=10cm

Vérification en parasismique ok


ANNEXES

183

Poteau 120 : 30*30

Poteau

120

Efforts

PS 92 EC8

N (kN) M (kNm) V(kN) N (kN) M (kNm) V(kN)

D. de charges 1266 0

ELA 416 0 408 0 0.01

ELU 429 0 0

D.H 448.8 0 0


Longueur du poteau 4.24 m, Poteau : quille « birotulée »


ELA / EC8: As1=As2=4.5cm²

ELU : As1=As2=4.5cm²

Descente de charge : As1=As2=4.5cm²

D.H. : As1=As2=4.5cm²





ANNEXES

184

Poteau 102 : 20*20

Poteau

102

Efforts

PS 92 EC8


D. de charges 987 0

ELU 688 3.40 62.8 -7.57 -3.38

ELA 155 2.24 102 5.89 -2.60

D.H. 112.2 6.5 3.38



PS92 /EC8 : Aciers théoriques en compression avec flexion : As1=As2=2.0cm²




Poteau 101 : Diamètre 30

Poteau

101

Efforts

PS 92 EC8


ELU 688 3.4 684 6.50 -2.37

ELA 542 7.74 565 6.9 -0.84

D.H. 621 7.59 1.10



PS92 & EC8 : ELA & ELA : As1 =As2= 3.4 cm²

Descente de charge : As1=As2=5.3 cm²

D.H : As1 =As2= 3.4 cm²


ANNEXES

185



Vérification en parasismique : ok

Poteau 95 : 20*25

Poteau 95

Efforts

PS 92 EC8


ELU 680.16 0.56 643 -3.22 2.61

ELA 551 6.02 529 4.01 3.10

D.H 582 4.41 4.03



PS92 & EC8 : ELA: As1=As2=2.5 cm²

PS92&EC8 : ELU : As1=As2=4.1 cm²

D.H : As1=As2=2.5 cm²




Annexe 4.5.7.2 : partie 2

Poteau 133 : 20*20

Poteau

133

Efforts

PS 92

N (kN) M (kNm) V(kN)

ELU 27.14 4.84 -1.39

ELA 46.20 4.52 -0.87



ANNEXES

186


PS92: ELA: As1=As2=2.0 cm²

PS92: ELU : As1=As2=2.0 cm²

D.H : As1=As2=2.0 cm²

Interaction N/M ok


ELA&ELU : PS92:


Poteau 144 : 30*30

Poteau

144

Efforts

PS 92


ELU 391.03 4.86 2.65

ELA 333.75 5.73 3.30



PS92: ELA: As1=As2=4.5cm²

PS92: ELU : As1=As2=4.5cm²


Interaction N/M ELU&ELA ok


ELA&ELU : PS92: 1HA8 st=10cm


Figure 10.5.1.6 Interactions N/M Poteau 133

Figure 10.5.1.8 Vérification Poteau 144


ANNEXES

187

Poteau 1094: 20*20

Poteau

1094

Efforts

PS 92


ELU 300.57 8.88 6.01

ELA 279.32 9.53 6.34

Tableau 10.5.1.9 Vérification Poteau 1094





Interaction N/M ok




Poteau 1361 : diam 30

Poteau

91361

Efforts

PS 92


ELU 459.8 -3.59 2.62

ELA 415 3.17 2.81






ANNEXES

188


Interaction N/M ok




Poteau 1366 : diam 30 L=3.30

Poteau

1366

Efforts

PS 92

N (kN) M (kNm) VkN)

ELU 578.52 11.08 7.96

ELA 510.75 10.80 7.44






Interaction N/M ok





ANNEXES

189

Annexe 10.5.2 Comparaison flexion composée

1. Les different cas :

X: profondeur de l’axe neutre

𝑆𝑖 𝑥 < 0: 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖è𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑢𝑒

𝑆𝑖 𝑑′ < 𝑥 < 𝑑:

Section avec deux nappes d’aciers tendus,

Section partiellement tendue

𝑆𝑖 𝑑 < 𝑥 < ∶

Section avec deux nappes d’aciers comprimés

Section partiellement tendue

𝑆𝑖 𝑥 >

Section entièrement comprimée

2. Prise en compte des imperfections géométriques et des effets du second ordre – EC2

Lo : longueur efficace

h : hauteur de la section droite

l : longueur libre de la pièce

i : rayon de giration de la section non fissurée

Calcul des imperfections géométriques avec la méthode de l’inclinaison globale.


ANNEXES

190

1. Section rectangulaire -BAEL

1.1 Calcul des armatures -BAEL

𝑚𝑢 =𝑀𝐸𝐿𝑈

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢

Pivot A 1:

𝑚𝑢 =5

4∗ 𝛼𝑢 ∗

3 ∗ 𝛼𝑢2 − 12 ∗ 𝛼𝑢 + 4

1 − 𝛼𝑢 2

αu

𝑎𝑢 =5

3∗𝛼𝑢2 ∗ 3 − 8 ∗ 𝛼𝑢

1 − 𝛼𝑢 2

Pivot A2 :

𝛼𝑢 = 1 − 1 −7 + 100 ∗ 𝑚𝑢

57

𝑎𝑢 =16 ∗ 𝛼𝑢 − 1

15

Pivot B :

𝛼𝑢 =119

99∗ (1 − 1 − 6 ∗

99

172∗ 𝑚𝑢)

𝑎𝑢 =17

21∗ 𝛼𝑢


ANNEXES

191

Section droite avec armatures symétriques

𝑀𝐸𝐷𝑔0 = 𝑀𝐸𝐷 + 𝑁𝐸𝐷 ∗ ∆𝑒𝑜

∆𝑒𝑜 = max(20𝑚𝑚;

30)

1er ordre :

𝑀𝐸𝐷1𝑔𝑜 𝑥 = 𝑁𝐸𝐷 ∗ 𝑒 + 𝐻𝐸𝐷 ∗ 𝑥

En pied de poteau x=l

𝑒1 =𝑀𝐸𝐷1𝑔𝑜 𝑙

𝑁𝐸𝐷= 𝑒 + 𝐻𝐸𝐷 ∗

𝑙

𝑁𝐸𝐷

2nd ordre :

𝑀𝐸𝐷2𝑔𝑜 𝑥 = 𝑁𝐸𝐷 ∗ 𝑦

En pied de poteau x=l

𝑒2 =𝑀𝐸𝐷2𝑔𝑜 𝑙

𝑁𝐸𝐷

Elément isolé

𝜆 =𝑙𝑜

𝑖< 𝜆𝑙𝑖𝑚 = 20 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗

𝐶

𝜂

Avec

𝐴 =1

1 + 0.2 ∗ 𝜑𝑒𝑓

𝐵 = √1 − 2 ∗ 𝜔

𝐶 = 1.7 − 𝑟𝑚

𝜂 =𝑁𝐸𝐷

𝐴𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝜑𝑒𝑓 = 𝜑 ∞, 𝑡0 ∗𝑀𝑜𝑒𝑞𝑝

𝑀𝑜𝑒𝑑

𝜔 = 𝐴𝑠 ∗𝑓𝑦𝑑

𝑎𝑐 ∗ 𝑓𝑐𝑑

𝐴𝑠 =𝑁𝑢 − 𝑎𝑢 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠


ANNEXES

192

1.2 Vérification des contraintes - BAEL

𝑎𝑛 =𝑛 ∗ 𝐴𝑠 + 𝑁𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑

𝑎𝑛 =𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼

α

𝑚𝑏 =𝛼

2∗ (1 −

𝛼

3)

𝑚𝑠 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑏

𝜍𝑠 = 𝑛 ∗𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑠

2. Section en Té - BAEL

2.1 Calcul des armatures -BAEL

𝑚𝑢𝑇 =𝑀𝐸𝐿𝑈

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑏𝑢

𝑚𝑢𝑇𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡 =𝑏

𝑏0∗0

𝑑∗ (1 −

0

2 ∗ 𝑑)

→ 𝛼𝑢

𝑆𝑖 𝛼𝑢 < 1.25 ∗ 0/𝑑

𝑎𝑢𝑇 =𝑏

𝑏0∗ 0.8 ∗ 𝛼𝑢

𝑚𝑢𝑇 =𝑏

𝑏0∗ 0.8 ∗ 𝛼𝑢 ∗ (1 − 0.4 ∗ 𝛼𝑢)

𝑆𝑖 𝛼𝑢 = 1.25 ∗ 0/𝑑

𝑎𝑢𝑇 =𝑏

𝑏0∗0

𝑑

𝑚𝑢𝑇 =𝑏

𝑏0∗0

𝑑∗ (1 −

0

2 ∗ 𝑑)

𝑆𝑖 𝛼𝑢 > 1.25 ∗ 0/𝑑


ANNEXES

193

𝑟𝑚 =𝑀01

𝑀02 dans les autres cas

M01 et M02 : moment du premier ordre aux extrémités de l’élément

Si la structure répond aux critères :

- Structure géométrique

- Déformations dus au cisaillement négligeables

- Elément de contreventement fixé rigidement à leur base

- Rigidité des éléments constante sur la hauteur de l’élément

𝐹𝑣𝐸𝐷 < 𝑘1 ∗𝑛𝑠

𝑛𝑠 + 1.6∗ 𝐸𝑐𝑑 ∗

𝐼𝑐

𝐿2

𝐹𝑣𝐸𝐷 ∶ 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒

𝑛𝑠 ∶ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′é𝑡𝑎𝑔𝑒𝑠

𝐿: 𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑏â𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡

𝐸𝑐𝑑: 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒 𝑑′é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑑𝑢 𝑏é𝑡𝑜𝑛

𝐼𝑐: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑′ 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒𝑑𝑒 𝑙′é𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

𝑘1 = 0.31

3. Section partiellement tendue- EC2

ELS :

𝑒𝑜𝑠𝑒𝑟 =𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔𝑜

𝑁𝑠𝑒𝑟

𝑁𝑠𝑒𝑟 > 0 ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 = 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑙𝑖𝑚 =1

2∗ 𝑏𝑤 ∗ ∗ 𝜍𝑐 ∗ 𝑑 −

3

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 ∶ moment de service par rapport aux aciers tendus

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 < 0.333 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑² ∗ 𝜍𝑐

ELU

𝑒𝑜 = (𝛾𝑖 ∗ 𝑀𝑗𝑔𝑜)/ 𝛾𝑖 ∗ 𝑁𝑖 + 𝑒𝑖 + Δ𝑒0

𝛾𝑖 ∗ 𝑁𝑖 = 𝑒1


ANNEXES

194

𝑎𝑢𝑇 = 0.8 ∗ 𝛼𝑢 +𝑏 − 𝑏0

𝑏0∗0

𝑑

𝑚𝑢𝑇 = 0.8 ∗ 𝛼𝑢 ∗ 1 − 0.4 ∗ 𝛼𝑢 +𝑏−𝑏0

𝑏0∗

0

𝑑∗ 1 − 0 ∗ 2 ∗ 𝑑

Dans tous les cas :

𝐴𝑠 =𝑁𝐸𝐿𝑈 + 𝑎𝑢𝑇 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑏𝑢

𝜍𝑠

2.2 Vérification des contraintes ELS-BAEL

𝑎𝑛𝑇 =𝑁𝐸𝐿𝑆 + 𝑛 ∗ 𝐴𝑠

𝑏0 ∗ 𝑑

𝑎𝑛𝑇 =𝛼2

2 ∗ 1 − 𝛼 +

𝑏 − 𝑏0

𝑏0∗0

𝑑∗

2 ∗ 𝛼 −0𝑑

2 ∗ 1 − 𝛼

α

𝑚𝑏𝑇 =𝛼

2∗ 1 −

𝛼

3 +

𝑏 − 𝑏0

𝑏0∗0

𝑑∗ 1 −

0

2 ∗ 𝑑∗ 1 +

1 −23∗0𝑑

𝛼

𝑚𝑠𝑇 =𝛼

1 − 𝛼∗ 𝑚𝑏𝑇

𝜍𝑏𝑐 =𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑏𝑇

𝜍𝑠 = 𝑛 ∗𝑀𝐸𝐿𝑆

𝑏0 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑚𝑠𝑇


ANNEXES

195

𝐹𝑐𝑢 > 𝑏𝑤 ∗ ∗ 𝑓𝑐𝑢

𝑧𝑢 = 𝑑 −𝜆

2∗

𝑀𝐵𝐶 = 𝐹𝑐 ∗ 𝑧𝑐 = 𝜆 ∗

𝑑∗ 1 −

𝜆

2∗

𝑑 ∗ 𝑏𝑥 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢


𝑑∗ 1 −

𝜆

2∗

𝑑

𝜇𝑐𝑢 =𝑀𝐸𝐷𝐴

𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢< 𝜇𝐵𝐶 = 𝜆 ∗

𝑑∗ (1 −

2∗𝜆

𝑑)

Calcul des armatures

Si une nappe au moins est tendue ;

𝑀𝐴 = 𝑁 ∗ 𝑒𝐴 = 𝐹𝑠2 ∗ 𝑧𝑠 + 𝐹𝑐 ∗ 𝑧𝑐

𝑁 = 𝐹𝑐 + 𝐹𝑠2 − 𝐹𝑠1

𝑀𝐴 = 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠2 ∗ 𝑧𝑠 + 𝐹𝑐 ∗ 𝑧𝑐

𝑁 = 𝐹𝑐 + 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠2 − 𝐴𝑠1 ∗ 𝜍𝑠1

𝐹𝑐 + 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠2 − 𝐴𝑠1 +𝑁

𝜍𝑠1 ∗ 𝜍𝑠1 = 0

Méthode de calcul :

Calcul des moments MA

En déduire par le calcul en flexion simple les sections As1 et As2

En flexion composées :

As2= As2

As1= As1-N/σs1

7.3.1 Section rectangulaire –EC2

𝑀𝐴 = 𝑀𝑔0 + 𝑁 ∗ 𝑑 −

2

Si la compression des aciers tendus n’est pas limitée

𝜇𝑙𝑢 = 𝜇𝑙𝑠 (voir tableau)

Nécessité d’aciers comprimés

- Absence de limitation de la contrainte

𝑀𝐸𝐷𝐴 < 𝑀𝑙𝑢 → 𝐴𝑠2 = 0


ANNEXES

196

- Limitation de la contrainte d’aciers tendus

𝑀𝑠𝑒𝑟𝐴 < 𝑀𝑅𝐶 → 𝐴𝑠2 = 0

Si As2 existe, la méthode de calcul ci-dessus s’applique.

ELU

𝑀𝐵0 = 0.48 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑓𝑐𝑢 + 𝐴𝑠2 ∗ 𝑓𝑦𝑑 ∗ 𝑑 − 𝑑′

ELS

Classe d’exposition XD,XF,XS

𝑀𝑠𝑒𝑟𝑙𝑖𝑚 = 0.333 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑2 ∗ 𝜍𝑐 + 𝐴𝑠2 ∗ 𝜍𝑠2 ∗ 𝑑 − 𝑑′

Avec :

𝜍𝑠2 = 𝛼𝑒 ∗ 𝜍𝑐 ∗∗ 𝑑 − 𝑑′

Vérification

𝐴𝑠2𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙é < 𝐴𝑠2

4. Section entièrement tendue- EC2

N>0

C : entre les armatures

4.1. Calcul des armatures –EC2

𝐴𝑠1 = 𝑁 ∗𝑒𝐴2

𝑒𝐴1 + 𝑒𝐴2 ∗ 𝜍𝑠1

𝐴𝑠2 = 𝑁 ∗𝑒𝐴1

𝑒𝑎1 + 𝑒𝑎2 ∗ 𝜍𝑠2

ELU

Pivot A : 𝜍𝑠1 = 𝜍𝑠2 = 𝑓𝑦𝑑 ∶ 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝜍𝑠1 = 𝜍𝑠2 = 𝜍𝑠(휀𝑢𝑑) ∶ 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛é

ELS

𝜍𝑠1 = 𝜍𝑠2 = 𝜍𝑠

Vérification des contraintes ELS


ANNEXES

197

𝜍𝑠1 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 ∗𝑒𝐴2

𝑒𝑎1 + 𝑒𝑎2 ∗ 𝐴𝑠1

𝜍𝑠2 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 ∗𝑒𝐴1

𝑒𝑎1 + 𝑒𝑎2 ∗ 𝐴𝑠2

𝜍𝑠 = max 𝜍𝑠1; 𝜍𝑠2 < 𝜍𝑠

5. Section entièrement comprimée- EC2

ELU : calcul des armatures

Pivot C : compliqué, utilisation d’abaque d’interaction

ELS : dimensionnement

𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔 = 𝑁𝑠𝑒𝑟 ∗ 𝑔

𝐴𝑐 = 𝐴𝑐 + 𝛼𝑒 ∗ (𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2)

Ich : moment d’inertie

Contrainte maximale du béton :

𝜍𝑐𝑚𝑎𝑥 =𝑁𝑠𝑒𝑟

𝐴𝑐+ 𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔 ∗

𝑣′

𝐼𝑐< 𝜍𝑐

Méthode de calcul :

On fixe aléatoirement As1 et As2

Il faut vérifier que

–𝐼𝑐

𝑎𝑐 ∗ 𝑣′= −𝜌 ∗ 𝑣 < 𝑒𝑔 =

𝑀𝑠𝑒𝑟𝑔

𝑁𝑠𝑒𝑟

< 𝜌 ∗ 𝑣′ =𝐼𝑐

𝐴𝑐 ∗ 𝑣

𝜍0𝑚𝑎𝑥 < 𝜍𝑐 = 𝑘1 ∗ 𝑓𝑐𝑘

Section extrêmes

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 < 𝐴𝑠 < 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.1 ∗𝑁𝐸𝐷

𝑓𝑦𝑑< 0.002 ∗ 𝐴𝑐

𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.04 ∗ 𝐴𝑐 𝑜𝑟𝑠 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑢𝑣𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 ;

𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.08 ∗ 𝐴𝑐 𝑧𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑢𝑣𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 ;


ANNEXES

198

Annexe 10.6 vérification des poutres

Annexe 10.6.1: partie 1

Poutre 338 : 20*60 cm

Poutre 338 Charges Fx Fy Fz Mx My Mz

PS92

ELU+ -22.46 0.06 23.41 0 -13.60 0

ELU- -40.16 -0.18 14.98 0 -21.6 0

ELA+ 14.57 0.1 24.94 0 -5.15 0

ELA- -55.97 -0.16 -11.18 0 -22.06 0

EC8

ELU+ -27.32 0.06 15.02 0 -10.3 0

ELU- -47.72 -0.11 9.99 0 -15.6 0

ELA+ -3.63 0.04 13.57 0.02 -4.97 0

ELA- -56.7 -0.09 7.12 0.02 -16.7 0

D.H -62.37 0 9.26 0 -18.37 0

Ecarts

ELU+ 21.64 0.00 35.84 0.00 24.26 0.00

ELU- 18.82 38.89 33.31 1.00 27.78 0.00

ELA+ 124.91 60.00 45.59 2.00 3.50 0.00

ELA- 1.30 43.75 163.69 3.00 24.30 0.00

Tableau 10.6.1.1 Vérification Poutre 338

La combinaison la plus défavorable pour la flexion (My max) est l’ACC- et pour l’effort tranchant (Fz

max) est l’ELU+.

- Armatures longitudinales :

EC8 & PS92 : ELU, ELA, D.H : As=3.1 cm²

- Armatures transversales :

PS92 : zone critique : 1HA8 st=13.2cm / zone courante : 1HA8 st=22.8cm

EC8 : zone critique : 1HA8 st=13.7cm /zone courante : 1HA8 st=22.8 cm

Poutre 340 : 20*60 cm


ANNEXES

199


PS92

ELU+ 16.86 0 -6.09 0 8.84 0

ELU- 11.55 0 -9.01 0 4.73 0

ELA+ 26.82 0 5.86 0 13.50 0

ELA- -3.58 0 -8.91 0 -4.01 0

EC8

ELU+ -27 0.05 14.45 0 -9.43 0

ELU- -48.33 -0.10 9.62 0 -14.62 0

ELA+ 1.04 0 13.51 0.02 5.04 0

ELA- -62.26 -0.09 -6.82 0 -15.70 0

D.H 68 0 8.9 0 17.27 0


La combinaison la plus défavorable pour la flexion (My max) est l’ACC+ et pour l’effort tranchant (Fz

max) est l’ACC-.

- Armatures longitudinales

PS92 & EC8 : As2= 3.2 cm²

- Armatures transversales

PS92 & EC8: As = 1 HA8 st = 13.7 cm zone critique st= 22.8 cm en zone courante

vérification ok

Poutre 339 : 20*60 cm


ANNEXES

200


PS92

ELU+ -17.16 0.09 -9.47 0 -10.36 0

ELU- -30.64 0.06 -14.22 0 -16.22 0

ELA+ 30.64 0.12 7.23 0 6.81 0

ELA- -19.9 -0.07 -19.9 0 -27.8 0

EC8

ELU+ -22.10 0.11 8.75 0 -8.90 0

ELU- -38.02 0.07 -11.15 0 -13.3 0

ELA+ 11.78 0.12 7.95 0.02 2.37 0

ELA- -59.7 0.03 -13.96 -0.02 -20.94 0

D.H -65.7 0 18.2 0 23.03 0



max) est l’ACC-.


PS92 & EC8 : As2= 3.2 cm²


PS92 & EC8: 1 HA8 st = 13.7 cm zone critique / 1HA8 st= 22.8 cm zone courante

vérification ok

Poutre 104 : 20*60 cm


ANNEXES

201


PS92

ELU+ 14.97 -0.16 13.02 0 0 0

ELU- -11.68 -0.27 -12.54 0 0 0

ELA+ 26.44 0.17 12.98 0.27 0 0

ELA- -15.48 -0.42 -11.75 -0.38 0 0

EC8

ELU+ -13.22 -0.05 7.66 0.70 -0.39 0

ELU- -19.51 -0.09 -8.71 0.46 -1.53 0

ELA+ -9.02 0.04 6.53 0.76 1.77 0

ELA- -18.38 -0.15 -7.80 0.21 -2.99 0

D.H -20.3 -0.16 -10.14 0.23 -3.3 0



max) est l’ELU-.


PS92&EC8 : As2= 3.2 cm²

- Armatures transversales

PS92& EC8 1 HA8 st = 8.7 cm en zone critique / 1HA8 st= 17.5 cm en zone courante

vérification ok

Poutre 48 : 20*40 cm


ANNEXES

202


PS92

ELU+ 10.0 -0.19 30.09 0.30 -10.77 0

ELU- -10.27 -0.34 -30.11 0.17 -18.20 0

ELA+ 35.8 0.08 32.61 0.76 -7.52 0

ELA- -22.92 -0.47 -23.53 -0.42 -14.03 0

EC8

ELU+ -6.49 0 30.63 0.32 -11.49 0

ELU- -12.34 0 18.09 0.19 -19.46 0

ELA+ 29.12 0.11 33.10 0.58 -9.29 0

ELA- -21.32 -0.06 -25.06 -0.17 -15.53 0

D.H -23.33 -0.06 -32.6 -0.187 -17.09 0


La combinaison la plus défavorable pour la flexion (My max) est l’ELU- et pour l’effort tranchant (Fz

max) est l’ELU-.

- Armatures longitudinales :

Armatures de flexion : PS92 As=2.4 cm² / EC8 et D.H : As = 2.0 cm²

- Armatures transversales :

PS92 : As = 1 HA8 st = 8.7 cm en zone critique st= 17.5 cm en zone courante

EC8 et DH : 1HA8 zone critique st=9.0cm zone critique st=18cm

vérification ok


ANNEXES

203

Annexe 10.7 Vérification des poutres-voiles

Tableau 10.7.1 Efforts réduits dans les poutre- voiles - partie 1

Partie 1 Longueur [m] Epaisseur

[m] N[kN] M[kNm] T[kN]

Poutre voile 38

PS92/ACC- 8.0 0.20 -465 -130 -723

PS92 /ACC+ 8.0 0.20 190 893 595

PS92 /ELU+ 8.0 0.20 -250 723 503

EC8 / ACC- 8.0 0.20 -434 -106 -790

EC8/ELU+ 8.0 0.20 -240 767 548

EC8/ACC+ 8.0 0.20 97 1036 661

Poutre voile 140

PS92/ACC- 8.0 0.20 -293 -349 -387

PS92 /ACC+ 8.0 0.20 152 682 421

PS92 /ELU+ 8.0 0.20 -155 506 -119

EC8/ACC- 8.0 0.20 -237 -221 -321

EC8/ELU+ 8.0 0.20 112 546 -101

EC8/ACC+ 8.0 0.20 194 554 317


ANNEXES

204

Tableau 10.7.2 Efforts réduits dans les poutre- voiles - partie 2

Tableau 10.7.3 Efforts réduits dans les voiles - partie 2

Partie 2 Longueur [m] Epaisseur [m] N [kN] M[kNm] T [kN]

Poutre voile 655

PS92/ACC- 4.45 0.20 -494.25 666 -261

PS92 /ACC+ 4.45 0.20 -236 1374 255

PS92 /ELU+ 4.45 0.20 -341 1527 275

Poutre voile 161

PS92/ACC- 4.45 0.20 -271 -210 -149

PS92 /ACC+ 4.45 0.20 -116 199 190

PS92 /ELU+ 4.45 0.20 -182 210 199.57

Voile BA 1482

PS92/ACC- 9.41 0.20 -3368 -1631 -818

PS92 /ACC+ 9.41 0.20 -1673 2355 644.20

PS92 /ELU+ 9.41 0.20 -2434 1227 -371

Voile BA 1485

PS92/ACC- 13.7 0.20 -350 873 -495

PS92 /ACC+ 13.7 0.20 -156 5094 189

PS92 /ELU+ 13.7 0.20 -239 4426 -140


ANNEXES

205

Annexe 10.8 Vérification des dalles

Dalle n° PS92 EC8

M [kNm] N [kN]12 As [cm²] M [kNm] N [kN]13 As

[cm²]

21

ELU+ 67.66 216 6.7 59 225 6.7

ACC+ 57.29 231 6.7 34 241 6.7

Descente statique

8.24

22

ELU+ 102.20 137 7.7 73 119 6.7

ACC+ 67.12 133 6.7 63 117 6.7

Descente statique

13.91

DH 69 128 6.7

23

ELU+ 39.9 88 6.7 38 161 6.7

ACC+ 35 99.7 6.7 52 189 6.7

Descente statique

13.91

53

ELU+ 42.8 112.6 6.7 53 190 6.7

ACC+ 32.64 97.36 6.7 46 176 6.7

Descente de charge

8.24

20

ELU+ 67 154 8.7 53 113 6.7

ACC+ 58.31 189 53 151 6.7

Descente statique

13.91

157

ELU+ 29.14 -145 6.7 34 88.4 6.7

ACC+ 24.41 179 30 122 6.7

Descente statique

13.8

58

ELU+ 37.12 58 6.7 35 -70 6.7

12 N positif : traction ; N négatif : compression

13 N positif : traction ; N négatif : compression


ANNEXES

206

ACC+ 35.46 80.20 6.7 32 51 6.7

Descente statique

6.7

6.7

54

ELU+ 14.40 102.98 6.7 18.66 -65 6.7

ACC+ 10.80 120.60 6.7 19 46 6.7

Descente statique

6.7

57

ELU+ 47.50 16.80 6.7 44 -50 6.7

ACC+ 43.36 82.7 35 46 6.7

Descente statique

6.7

55

ELU+ 24.60 63.02 6.7 18.66 9 6.7

ACC+ 24.44 102.41 17 46 6.7

Descente statique

6.7

60

ELU+ 23.55 68.74 6.7 20 156 6.7

ACC+ 20.47 77.4 17 93 6.7

Descente statique

6.7

159

ELU+ 26.76 104.9 6.7 21.1 121 6.7

ACC+ 24.82 189 21.4 205 6.7

Descente statique

13.91

52

ELU+ 24.72 55.23 6.7 30 61 6.7

ACC+ 20.91 125.8 25.5 77 6.7

Descente statique

6.7

61

ELU+ -13.30 47.25 6.7 16.4 49 6.7

ACC+ -9.41 69.32 13.06 45 6.7

Descente statique

6.7

Tableau 10.8 Vérification des dalles - partie 1


ANNEXES

207

Annexe 11 Tableaux des comparaisons BAEL- Eurocode 2 pour

l’ensemble de la structure

Documents

Annexe Pfe Metz