Applicazionifisico/biologiche delleequazioni alle derivateparziali

C. Anedda, L. Cadeddu, F. Cuccu

Gruppo di Analisi Matematica Dipartimento di Matematica e InformaticaIntroduzione

In diversi fenomeni delle scienze applicate le grandezze che si desidera studiare dipendono generalmente da variabili spaziali e temporali.In particolare studiare la dipendenza dal tempo di queste grandezze (temperatura di un materiale, densita, crescita o decrescita di una popolazione, ampiezza di un’onda, ecc.) edi particolare importanza nelle applicazioni, per poterne prevedere lo sviluppo ed eventualmente controllarlo. In altri casi una grandezza puo essere considerata dipendente da unafunzione o da un insieme. In tutti questi contesti i relativi modelli matematici sono costituiti da equazioni alle derivate parziali, associate ad opportune condizioni al contorno.

Ottimizzazione delle risorse alimentari

Figura 1: Crescita delle popolazioni

Dal punto di vista biologico si considera Ω ⊂ R2, un dominio liscio e limitato,che rappresenta la regione occupata da una popolazione che si diffonde a untasso D, e cresce o decresce localmente al tasso g(x). Si suppone che il bordo∂Ω sia diviso in due parti, Γ e ∂Ω\Γ, che esista una popolazione ostile fuori daΓ e non ci sia flusso di individui attraverso ∂Ω\Γ. Se φ(x, t) rappresenta ladensita della popolazione, il suo comportamento e descritto dall’equazionelogistica

∂φ

∂t= D∆φ + g(x)φ− κφ2 in Ω× R+,

φ = 0 su Γ× R+,∂φ

∂ν= 0 su (∂Ω\Γ)× R+,

dove ∆φ denota il laplaciano spaziale di φ(x, t), κ e la capacita e ν lanormale esterna a ∂Ω.Il corrispondente problema agli autovalori e:

∆u + λg(x)u = 0 in Ω, u = 0 su Γ,∂u

∂ν= 0 su ∂Ω\Γ. (1)

Se λg e l’autovalore principale di (1), si ha la persistenza della popolazione se esolo se λg <

1D

. I problemi affrontati sono massimizzare e minimizzare λg perg(x) che varia in un opportuno insieme. In alcune situazioni la ricerca delminimizzatore di λg porta a una perdita di simmetria, ad esempio nel caso dellacorona circolare, nella quale il dominio migliore (cioe minimizzante) non enecessariamente simmetrico!In termini pratici, affinche la popolazione sopravviva, la disposizione delle risorse(cibo) in maniera radialmente simmetrica non e quella ottimale. Tuttavia, non sihanno ancora informazioni su quale possa essere quella ottimale.

Figura 2: Corona circolare e disposizione delle risorse

Le frequenze di vibrazione di una membrana composita

Le frequenze naturali di vibrazione di una membrana composita Ω di densita(variabile) ρ

0 < λ1(ρ) ≤ λ2(ρ) ≤ . . .sono gli autovalori del problema di Dirichlet (∆ denota l’operatore laplaciano)

−∆u = λρu in Ω,

u = 0 su ∂Ω.

Esistono formule “esplicite” per questi autovalori, in particolare per i primi dueabbiamo

λ1(ρ) = minu∈W 1,2

0 (Ω)u 6=0

∫Ω |∇u|

2 dx∫Ω ρu

2 dx, λ2(ρ) = min

u∈W 1,20 (Ω)

<ρu,u1>=0u 6=0

∫Ω |∇u|

2 dx∫Ω ρu

2 dx,

dove W 1,20 (Ω) e un opportuno spazio di Hilbert e u1 realizza il minimo nella

prima relazione. Nel caso in cui la membrana sia costituita da due materiali condifferenti densita α e β (α < β) la funzione ρ assumera soltanto questi duevalori. In questo caso per individuare univocamente ρ e necessario e sufficientespecificare il sottoinsieme E di Ω in cui si trova il materiale di densita α.Immaginando di avere a disposizione una quantita prefissata dei due materiali cisi chiede come distribuirli nella membrana in modo da rendere minimo oppuremassimo il primo autovalore. Naturalmente questo si puo ripetere per ognunodegli autovalori. Si dimostra che questi minimi esistono in corrispondenza ditutti gli autovalori mentre il massimo esiste almeno per il primo. Nel caso in cuila membrana sia un disco valgono i fatti illustrati nelle prime tre figure (rosso =densita α, blu = densita β).

Conservazione della simmetria

Disco: minimizzatore di λ1 Disco: massimizzatore di λ1

Rottura della simmetria (rappresentazioni non esatte)

Disco: minimizzatore di λ2 Anello: minimizzatore di λ1 (congettura)

Bibliografia

[1] C. Anedda and F. Cuccu.Symmetry breaking in the minimization of the second eigenvalue for composite membranes.Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 145(1):1–11, 2015.

[2] C. Anedda and F. Cuccu.Steiner symmetry in the minimization of the first eigenvalue in problems involving the p-laplacian.Proc. Amer. Math. Soc., 144(8):3431–3440, 2016.

[3] L. Cadeddu, G. Porru, and M.A. Farina.Optimization of the principal eigenvalue under mixed boundary conditions.Electronic Journal of Differential Equations, 154:1–17, 2014.

[4] L. Cadeddu and G. Porru.Symmetry breaking in problems involving semilinear equations.Discrete and Continuous Dynamical Systems, Supplement 2011:219–228, 2011.

17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica