Exercice 1 (8 points) Commun à tous les élèves

On considère la fonction définie sur ℝ − {−1} par :

𝑓(𝑥) =𝑥!

𝑥 + 1

1) a) Calculer 𝑓!(𝑥). b) Etudier le signe de 𝑓!(𝑥) et en déduire le tableau de variation de f.

2) Déterminer le nombre de solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 8 sur ℝ − {−1}  , et un encadrement de chaque solution à 10!!.

Exercice 2 (4 points) Commun à tous les élèves

Exercice 3 ( 5 points) Commun à tous les élèves

BAC BLANC n°1

TS1 et TS2 Le mercredi 14 décembre 2016 Durée : 4h00

CALCULATRICE : autorisée þ interdite £ Pas de sortie autorisée avant la fin

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Un cube ABCDEFGH a pour côté 6 cm. A tout réel 𝑥 positif ou nul, on associe le point M de la demi-droite [AB) tel que BM = 𝑥, M n’appartenant pas au segment [AB].

1) Démontrer que les droites (HM) et (BG) sont sécantes en un point P.

2) a) Par des considérations géométriques, conjecturer le comportement du point P et de la distance BP, lorsque la distance 𝑥 tend vers l’infini. b) On pose 𝑓 la fonction qui a tout réel 𝑥 ≥ 0 associe la longueur BP. Démontrer que : 𝑓(𝑥) = 6√2 !

!!!.

Démontrer alors vos conjectures.

ABCD est un tétraèdre régulier, S est le pied de la hauteur issue de A relativement à la base BCD et I est le milieu de [𝐵𝐶].

1) Démontrer que les droites (AS) et (BC) sont orthogonales.

2) En déduire que la droite (BC) est orthogonale au plan (AIS).

3) En déduire que les points A, I, S et D sont coplanaires et que les points I, S, D sont alignés.

Exercice 4 (7 points) Commun à tous les élèves

Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑓! la fonction définie sur ℝ! par : 𝑓!(𝑥) = 𝑥! + 2𝑛𝑥 − 1 et 𝒞! sa courbe représentative.

1) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, l’équation 𝑓!(𝑥) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0  ; 1]. On la note 𝑎!.

2) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies ou fausses Si elle sont fausses corriger l’affirmation. Une réponse non justifiée ne rapportera aucun point. En revanche vous pouvez admettre le résultat d’une question pour répondre à la suivante.

a) 𝒞!!! est au-dessus de 𝒞!. b) La suite (𝑎!) est croissante c) La suite (𝑎!) converge d) lim!→!! 2𝑛𝑎! = 0

e) lim!→!! 𝑎! = 0

Exercice 5 (6 points) Commun à tous les élèves Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, on pose 𝑢! =

!!!+ !

!!+⋯+ !

!!.

1) Donner un minorant simple de cette suite. 2) Déterminer le sens de variation de la suite (𝑢!). 3) Démontrer que, pour tout entier 𝑛 ≥ 1,      𝑢! ≤ 2− !

!.

4) a) Justifier que la suite (𝑢!) converge. b) Que peut-on dire de la limite de la suite (𝑢!) ?

Exercice 6 (10 points) Pour les élèves ayant suivi la spécialité mathématiques

On considère la suite (𝑢!) d’entiers naturels définie par : 𝑢! = 1 et, pour tout entier naturel n, 𝑢!!! = 10𝑢! + 21.

1) a) Calculer 𝑢!, 𝑢! et 𝑢!. b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 3𝑢! = 10!!! − 7. c) En déduire, que pour tout entier naturel n, l’écriture décimale de 𝑢!.

On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (𝑢!) par certains entiers.

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 𝑢! n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. 3) a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3𝑢! ≡ 4 − (−1)!      (𝑚𝑜𝑑  11).

b) En déduire que, pour 𝑛 ≥ 0, 𝑢! n’est pas divisible par 11. 4) On considère l’algorithme ci-contre :

a) Déterminer à la main, les trois premières valeurs contenues dans la variable r lorsque l’on fait tourner cet algorithme. Justifier à l’aide d’un tableau rempli pas à pas.

b) Soit le reste dans la division euclidienne de par 17. Montrer que pour tout n de ℕ, 𝑟!!! ≡ 10𝑟! + 4      (𝑚𝑜𝑑  17).

c) L’algorithme affiche la valeur 8. Interpréter ce résultat.

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Exercice 6 (10 points) Pour les élèves n’ayant pas suivi la spécialité mathématiques On s’intéresse à l’évolution de de la population de limicole (espèce d’oiseau échassier) séjournant sur l’île de Ré à partir de 2010. On a relevé les populations suivantes :

Partie I : Modèle à évolution constante : Des scientifiques étudiant proposent, d’après les données relevées, de modéliser l’évolution de la population de limicole par une diminution annuelle de 10%.

1) Définir une suite (𝑝!) correspondant à cette modélisation. 2) On considère l’algorithme ci-contre :

Valeur de P 250 … Valeur de N 0 … Test P ≥ S Vrai …

3) a) On entre 1 pour valeur de S. Justifier que l’algorithme produit bien un affichage, le donner sans justifier, et interpréter ce résultat pour la situation étudiée b) Que se passerait-il si l’on entrait 0 comme valeur de S ?

Partie II. Modèle avec réintroduction d’animaux :

Au début de l’année 2014, des scientifiques mettent en place des mesures de protection des oiseaux, ce qui a pour effet de limiter la diminution des effectifs à 6% par an. Par ailleurs la région décide de réintroduire 20 nouveaux oiseaux de cette espèce le 1er janvier de chaque année à partir de 2015.

1) Définir par récurrence une suite (𝑞!) qui permette le calcul de cette population pour toute année (2014 + 𝑛), tant que l’évolution reste la même.

2) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, le comportement asymptotique de la population de limicole. 3) On pose (𝑣!) la suite définie pour tout 𝑛 par 𝑣! = 𝑞! −

!"""!

. a) Démontrer que la suite (𝑣!) est géométrique et préciser sa raison. b) Déterminer la limite de la suite (𝑣!), en déduire celle de (𝑞!).

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a) On saisit la valeur 100 pour S. Pour cette valeur de S, en suivant pas à pas l’algorithme ci-contre, recopier et compléter le tableau ci-dessus en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

b) Quel est le nombre affiché en sortie ? L’interpréter pour la situation étudiée (expliquer).

Année Effectif 2010 250 2011 225 2012 202 2013 182 2014 164