BAC Mathematiques 2008 S (1)

8/7/2019 BAC Mathematiques 2008 S (1)

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Baccalaurat S Pondichry 16 avril 2008

EXERCICE 1 4 pointsCommun tous les candidats

1. Soit f la fonction dfinie sur [1 ; +[ par f(x) = xex1 et soit H la fonction

dfinie sur [1 ; +[ par H(x)=x

1f(t) dt.

a. Justifier que fet H sont bien dfinies sur [1 ; +[b. Quelle relation existe-t-il entre H et f?

c. Soit C la courbereprsentative de fdansun repreorthonormalO,

,

du plan. Interprter en termes daire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombreH(3).

a. Montrer que pour tout rel x>

0,x

ex1 =x

ex

1ex.

b. En dduire que3

1f(x) dx= 3ln

1 1

e3

ln

1 1

e

3

1ln

1ex

dx.

c. Montrer que si 1 x 3, alors ln

1 1

e

ln(1ex) ln

1 1

e3

.

d. En dduire un encadrement de3

1ln

1ex dxpuis de

31

f(x) dx.

EXERCICE 2 5 pointsCandidats nayant pas suivi lenseignementde spcialit

Cet exercice contient une restitution organise de connaissances.

Partie AOn suppose connus les rsultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA, zB et zC trois pointsA, B et C.

Alors

zB zCzA zC= C BC A et arg

zB zCzA zC

=

C A,C B

(2).

2. Soit zun nombre complexe et soit un rel :z= ei si et seulement si |z| = 1 et arg(z)= +2k, o kest un entier relatif.

Dmonstration de cours : dmontrer que la rotation r dangle et de centre daf-fixe est la transformation du plan qui tout point M daffixe zassocie le point M

daffixe z tel quez= ei(z).

Partie BDans un repre orthonorrnal direct du plan complexe

O,

u ,

v

dunit graphique

2 cm, on considre les points A, B, C et Ddaffixes respectives

zA=

3 i, zB= 1 i

3, zC=

3+ i et zD=1+ i

3.

1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombrescomplexes zA, zB, zC et zD.


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Baccalaurat S

b. Comment construire la rgle et au compas les points A, B, C et Ddans

le repreO,

u ,

v

?

c. Quelle est la nature du quadrilatre ABCD?

2. On considre la rotation r de centre B et dangle 3

. Soient E et F les points

du plan dfinis par : E= r(A) et F= r(C).a. Comment construire la rgle et au compas les points F et E dans le

repre prcdent ?

b. Donner lcriture complexe de r.

c. Dterminer laffixe du point E.

EXERCICE 2 5 pointsCandidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Partie AOn suppose connu le rsultat suivant :Une application fdu plan muni dun repre orthonormal direct dans lui-mme estune similitude directe si et seulement si fadmet une criture complexe de la formez = az+b, o aC et bC.

Dmonstration de cours: onse place dans leplancomplexe.Dmontrer que si A,B,A

et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B, alors ilexiste une unique similitude directe transformant Aen A et B en B.

Partie BDans le plan complexe muni dun repreorthonomal direct

O,

u ,

v

on considre

les points A, B, C, D daffixes respectives

zA=

3 i, zB= 1 i

3, zC=

3+ i et zD=1+ i

3.

1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nomlres com-plexes zA, zB, zC et zD.

b. Construire la rgle et au compas les points A, B, C et D (on prendrapour unit graphique 2 cm).

c. Dterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer

le quotientzB

zA. En dduire la nature du quadrilatre ABCD.

2. On considre la similitude directe g dont lcriture complexe est z = ei 3 z+2.a. Dterminer les lments caractristiques de g.

b. Construire la rgle et au compas les images respectives E, F et J par gdes points A, C et O.

c. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J? Le dmontrer.

EXERCICE 3 4 pointsCommun tous les candidats

On considre un ttradre ABCD.On note I, J, K, L, M, N lesmilieux respectifs des artes[AB], [C D], [BC], [AD], [AC] et[BD].On dsigne par G lisobarycentre despoints A, B, C et D. A

B

C

DPondichry 2 16 avril2008


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1. Montrer que les droites (I J), (K L) et (M N) sont concourantes en G.

Dans la suite de lexercice, on suppose que AB=C D, BC= AD et AC=BD.(On dit que le ttradre ABCDest quifacial, car ses faces sont isomtriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatre IK JL? Prciser galement la naturedes quadrilatres I M J N et K N L M .

b. Endduireque(I J) e t (K L) sont orthogonales. On admettra que, de mme,les droites (I J) et (M N) sont orthogonales et les droites (K L) et (M N)sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (MK N).

b. Quelle est la valeur du produit scalaireI J MK ? En dduire que (I J) est

orthogonale la droite (AB). Montrer de mme que (I J) est orthogonale la droite (C D).

c. Montrer que Gappartient aux plans mdiateurs de [AB] et [C D].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dini-tiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.

Comment dmontrerait-on que G est le centre de la sphre circonscriteau ttradre ABCD?

EXERCICE 4 7 pointsCommun tous les candidatsOn cherche modliser de deux faons diffrentes lvolution du nombre, exprim en

millions, de foyers franais possdant un tlviseur cran plat, en fonction de lan-

ne.

Les parties A et B sont indpendantes

Partie A : un modle discretSoit un le nombre, exprim en millions, de foyers possdant un tlviseur cranplat lanne n.On pose n= 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n 0,

un+1 =1

10un(20un) .

1. Soit f la fonction dfinie sur [0; 20] par

f(x)= 110

x(20 x).

a. tudier les variations de fsur [0; 20].

b. En dduire que pour tout x [0 ; 20], f(x) [0 ; 10].c. On donne en annexe la courbe reprsentative C de la fonction f dansun repre orthonormal.Reprsenter, sur laxe des abscisses, laidede ce graphique, lescinq pre-miers termes de la suite (un)n0.

2. Montrer par rcurrence que pour tout nN, 0unun+1 10.3. Montrer que la suite (un)n0 est convergente et dterminer sa limite.

Partie B : un modle continuSoit g(x) le nombre, exprim en millions, de tels foyers lanne x.On pose x= 0en2005, g(0)= 1 et g est une solution, qui nesannule pas sur [0 ; +[,de lquation diffrentielle

Pondichry 3 16 avril2008


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(E) ; y = 120

y(10y)

1. On considre une fonction yqui ne sannule pas sur [0 ; +[etonpose z= 1y

.

a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution delquation diffrentielle :

(E1) : z =1

2z+ 1

20.

b. Rsoudre lquation (E1) et en dduire les solutions de lquation (E).

2. Montrer que g est dfinie sur [0 ; +[ par g(x)= 109e

12 x+1

.

3. tudier les variations de g sur [0 ; +[.4. Calculer la limite de g en + et interprter le rsultat.5. En quelle anne le nombre de foyers possdant un tel quipement dpassera-

t-il 5 millions?



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ANNEXE

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

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-2

-1

0

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