BAEP1_-_flambement

ENPC Béton armé et précontraint 1

Application – Instabilités élastique : calcul d’un poteau au flambement 1/11

Application BAEP 1

Instabilités élastiques Calcul d’un poteau au flambement

On considère un poteau carré de 60 cm de côté en béton C50. Les efforts à l’ELU qui s’appliquent sur ce poteau sont N = 3,2MN et M = 1,0 MN.m, constant sur la hauteur. On considère le ferraillage pratique déterminé précédemment (Ai = As = 14,73cm²). En tête et en pied, le poteau est relié à des poutres isostatiques en béton C30 de 50cm par 70cm de hauteur et de portée 8,1m. On considère une hauteur totale de 8,3m, soit une hauteur de flambement égale à 7,80m (distance prise entre dessus de dalle et dessous de poutre).

Hypothèses complémentaires :

- On utilisera la branche horizontale du diagramme contraintes-déformations de l’acier. - Les aciers sont positionnés à 6 cm du bord de la section (c=6cm). - Les charges sous combinaison quasi-perm. sont Nqp = 2,14MN et Mqp = 0,67 MN.m. - On considère un coefficient de fluage = 2. - On considère que le poteau du niveau supérieur peut flamber, que celui-ci a une

hauteur totale de 3,9m et une section carrée de 50cm de côté. On considère qu'il n'y a pas de niveau sous celui étudié.

1) Déterminer les dispositions de détail du poteau (ferraillage min, ferraillage max,...) 2) Déterminer la longueur de flambement du poteau. 3) Déterminer le moment de premier ordre du poteau. 4) Déterminer (si nécessaire) le moment de second ordre dans le poteau avec la méthode

basée sur l’évaluation de la raideur. 5) Déterminer le moment de second ordre avec la méthode de la courbure nominale ? 6) A partir des diagrammes d’interaction proposés page suivante, déterminer le

ferraillage optimal du poteau.

8,1m 8,1m

8,3m

Poteau : 60cmx60cm

Poutres : 50cmx70cm ht



-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

-4-3

-2-1

01

23

45

67

89

1011

1213

1415

16

S =

15c

m²

S =

20c

m²

S =

25c

m²

S =

30c

m²

S =

35c

m²

S =

40c

m²

S_m

in

S

S

60 c

m

60 c

m

6 cm

6 cm



1) Détermination des dispositions de détail du poteau. - On vérifie le rapport largeur/hauteur de la section : la section étant carrée, ce rapport est égal à 1. On vérifie donc bien qu'il est inférieur à 4.

- Le ferraillage minimal du poteau est défini par :

c

yd

EDs A

f

NA .002,0;

.10,0maxmin,

Ainsi, 2min, 36,736,0002,0;

435

20,310,0max cmAs

.

- Le ferraillage maximal est égal à 4% de la section de béton soit 144 cm². - L'espacement maximal entre les cadres d'effort tranchant est défini par :

mmas longt 400;;.20minmax, (où a est la plus petite dimension du poteau). Cet

espacement devra être calculé une fois le ferraillage pratique défini.



2) Détermination de la longueur de flambement l0.

avec poteauxpoutres L

EI

Mk

(l’indice 1 désigne le pied du poteau et l’indice 2 désigne la

tête).

1

1

2,1,

33.

droitepoutregauchepoutreiiii

poutrespoutres L

EI

L

EILIE

MM

Béton C30 => E = 33 000 MPa I = Ifissurée = Ibrute/1,5 = 9,5.10-3 m4. L = 8,1m

On en déduit : mMNradMM poutrespoutres

./00431,02,1,

Pour les poteaux : en pied : béton C50 => E = 37 000 MPa I = 0,0108m4 ; L = 7,8m On en déduit : k1 = 0,221 en tête :

sup1, poteaupoteaupoteaux L

EI

L

EI

L

EI

Le poteau du niveau supérieur peut flamber. Il est en C50, sa section est carrée de 50cm de côté, on a donc Ipoteau sup = 0,0052m4, sa hauteur libre est de 3,9m.

On a donc mMNL

EI

poteaux

.56,10033,4923,512,

.

On en déduit k2 = 0,433 On en déduit l0 = 5,49m, soit l0 = 0,704.L



3) Détermination des imperfections géométriques et du moment du premier ordre.

MEd,1 = MEd + N.e1 e1 = max(i.l0/2 ; 0,02m). i = 0.h.m 0 = valeur de base = 1/200

h facteur de réduction lié à la hauteur : lh 2 et 2/3 h 1 => h = 0,716.

m facteur de réduction lié au nombre de barres. On considère ici m = 1 et donc

11

1.5,0

mm .

On en déduit i = 0,00358 et donc e1 = max(0,0098 ; 0,02) = 0,02 m On obtient alors le moment du premier ordre MEd,1 = 1,064 MN.m

4) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la raideur On commence par vérifier si l’on peut négliger ou non les effets du second ordre.

Les effets du second ordre peuvent être ignorés si 20 . .A B C

n

désigne l’élancement du poteau et est défini par = l0/i (i est le rayon de giration ; i I B , B étant la section du poteau).

On a ainsi 12i h pour un poteau rectangulaire, soit i = 0,173 dans notre cas.

On trouve ainsi l’élancement du poteau : = 31,7.

1

1 0,2. eff

A

où eff = .M0qp/M0Ed. M0qp = Mqp+Nqp*e1 = 0,713 MN.m. On en déduit

donc eff = 1,34. On trouve donc A = 0,789.

1 2B où sd yd c cdA f A f . On trouve donc B = 1,102

1,7 mC r où rm = M01/M02 (M01 et M02 moments du premier ordre aux extrémités avec

02 01M M ). On trouve donc C = 0,7

Ed c cdn N A f . On trouve donc n = 0,267

On en déduit 7,316,23..20

n

CBA

On ne peut donc pas négliger les effets du second ordre.



Calcul du moment du second ordre par la méthode basée sur la rigidité nominale.

,2 ,1 11Ed Ed

B Ed

M MN N

2

0c

et c0 dépend de la distribution de moment. Ici, le moment est constant sur la hauteur

du poteau, on a donc c0 = 8.

2

20

B

EIN

l

et EI = KcEcdIc + KsEsIs

< 0,01, on a donc :

1 2

1ceff

k kK

avec 1 20 1,58ckk f et 2 0, 2

170Ed

c cd

Nk

A f

soit k2 = 0,050.

On rappelle eff = .M0qp/M0Ed. On a donc Kc = 0,034

cmcd

cE

EE

avec cE = 1,2. Le poteau est en béton C50 => Ecm = 37 000 MPa.

On a donc Ecd = 30 800 Mpa. Ic = inertie de la section de béton = b.h3/12 = 0,0108 m4. Ks = 1 Es = 200 000 MPa Is = inertie des sections d’acier = 2 . 14,73.10-4 . 0,242 = 1,70.10-4 m4. On en déduit EI = 45,12 MN.m2. On en déduit donc NB = 14,79 MN et MEd,2 = 1,426 MN.m.



5) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la courbure

nominale

,2 ,1 2.Ed Ed EdM M N e avec 20

2

1 le

r c

où c dépend de la distribution de la courbure totale.

On prendra ici une distribution constante soit c = 8 pour être sécuritaire.

0

1 1.rK K

r r désigne la courbure.

Kr est un facteur de correction dépendant de l’effort normal. 1ur

u bal

n nK

n n

0,267Ed c cdn N A f

1 1,107un

0,4baln

On en déduit Kr = 1,188. On prend donc Kr = 1.

1 . effK avec 389,015020035,0 ckf et eff = 1,34.

On en déduit K = 1,521.

3

0

18,93.10

0,45.yd

r d

On trouve donc 0136,01

r. On rappelle que l0 = 5,49m et donc e2 = 0,0512 m

Ainsi, on trouve MEd,2 = 1,228 MN.m



6) Détermination du moment du second ordre par la méthode de la courbure

nominale On place les deux points trouvés précédemment sur les diagrammes d’interaction :

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

S = 15cm²

S = 20cm²

S = 25cm²

S = 30cm²

S = 35cm²

S = 40cm²

S_min

On trouve ainsi qu’il faut une section d'environ 35 cm² pour équilibrer le moment du second ordre calculé par la méthode de la raideur nominale et qu’il faut environ 25 cm² pour équilibrer le moment du second ordre calculé par la méthode de la courbure nominale. Les deux méthodes étant « enveloppe », il suffit de satisfaire l’une des deux. On choisit donc de mettre une section de 26 cm² dans le poteau au lieu des 14,73 cm² calculés à la flexion composée. En refaisant le calcul du moment second ordre par la méthode de la raideur nominale en considérant une section d’acier de 27,5 cm² par face, on trouve un moment de second ordre de 1,206 MN.m qui peut alors être équilibré par le poteau. On trouve page suivante un exemple de feuille de calcul qui vérifie un poteau au flambement par les deux méthodes forfaitaire et par la méthode générale. On remarque que par la méthode générale, on trouve un moment de second ordre de 1,161 MN.m.



7) Détermination du ferraillage du poteau.

Pour obtenir une section de 27,5cm², on peut disposer 4 HA32 par face, soit 32cm². On fait un ferraillage symétrique sur les 4 faces du poteau pour simplifier la mise en œuvre sur chantier, soit un total de 12 barres HA32 et une section totale 96,48 cm². qui est bien inférieur au ferraillage maximal de 144 cm². L'espacement maximal des cadres st,max est de 400mm. Toutefois, il convient de réduire cet espacement à 0,6.st,max = 240mm sur une distance égale à la plus grande dimension du poteau en tête et en pied. Enfin, le diamètre des armatures transversales ne doit pas être plus petit que 6mm ou au quart du diamètre maximal des barres longitudinales, soit ici des HA32. Les armatures transversales sont donc en HA8. Les armatures transversales sont constituées d'un cadre et de 4 épingles car les barres comprimées doivent être tenues si elles sont situées à plus de 150mm d'une barre tenue, ce qui est notre cas. On obtient donc le plan de ferraillage ci-dessous, correspondant à un ratio de 260,4 kg/m3, ce qui est relativement élevé.

Projet :Poteau : n1 n2 Date : 4 4 32

OK

h1 0.60 mh2 0.60 m

H totale 7.80 mfck 50 MPafyk 500 MPa

classe Benrobage 0.030 m

Volume béton 2.81 m3

Nb L PoidsHA 32 12 9.10 m 689.4 kgHA 8 21 2.26 m 18.7 kgHA 8 42 0.70 m 11.5 kgHA 8 42 0.70 m 11.5 kg

731.2 kg

Nb L PoidsHA 32 12 10.40 m 787.9 kgHA 8 21 2.26 m 18.7 kgHA 8 42 0.70 m 11.5 kgHA 8 42 0.70 m 11.5 kg 260.4 kg/m3

829.7 kg 295.5 kg/m3Attention, ratio élevé : vérifier la faisabilité du ferraillage !

Total Armatures poteau

Epingles sens 1

Ratio poteaurecouvrement simple

Epingles sens 2

recouvrement doubleEpingles sens 2

Total Armatures poteau

Recouvrement simple

Cadres

Recouvrement doubleAciers longitudinaux

Epingles sens 1

Aciers longitudinauxCadres

Rappel ferraillage choisiRécapitulatif

BAEP 1

Nomenclatures

Poteau

Exercice Flambement poteau12/11/2010



Exemple de feuille de calcul La résistance au flambement n’est pas assurée et ce quelle que soit la méthode utilisée.

Projet : Poteau :Date :

section rectangulaire section circulaire Pour le calcul de la longueur efficace

1. Géométrie du poteau à vérifier 3. Effortssection rectangulaire Début Fin

b 0.60 m Armatures Section position NELU 3.20 MN 3.20 MN

h 0.60 m Ai 14.73 cm² 6 cm My,ELU 1.00 MN.m 1.00 MN.m

L 7.8 m As 14.73 cm² 6 cm Mz,ELU

2. Matériaux Nqp 2.14 MN 2.14 MN

Béton C50 c1 2.45 ‰ φ(∞,t0) imposé 2 My,qp 0.67 MN 0.67 MN

fck 50 MPa cu1 3.50 ‰ ciment N Mz,qp

Eb 37000 MPa c2 2.00 ‰ RH 70 %fcm 58 MPa cu2 3.50 ‰ t0,T 21 jours Courbe M

fctm 4.1 MPa n 2.00 h0 300 mm

fctk,0,05 2.9 MPa cu3 3.50 ‰ φ(∞,t0) retenu 2.00

Acier Classe B Es 200000 MPa uk 5.0 %fyk 500 MPa k 1.08 ud 4.5 %

4. Calcul de la longueur Efficace EC2 § 5.8.3.2Poteau sup participe au Poteau inf participe au

L0 Calculée (θ/M)poutres_sup 0.00429 flambement ? OUI flambement ? NON

(θ/M)poutres_inf 0.00429 béton C50 béton C50

(EI/L)poteaux sup 100.64 Eb 37000 MPa Eb 37000 MPa

(EI/L)poteaux inf 51.23 section rectangulaire section rectangulaire

L0 retenue 5.49 m k1 0.432 bsup 0.50 m binf 0.60 m

k2 0.220 hsup 0.50 m hinf 0.60 m

Lsup 3.90 m Linf 7.80 m

béton C30 béton C30 béton C30 béton C30E11 33000 MPa E12 33000 MPa E21 33000 MPa E22 33000 MPa

b11 0.50 m b12 0.50 m b21 0.50 m b22 0.50 m

h11 0.70 m h12 0.70 m h21 0.70 m h22 0.70 mL11 8.10 m L12 8.10 m L21 8.10 m L22 8.10 m

6. Imperfections géométriques EC2 § 5.2 7. Conditions pour négliger les effets du second ordre EC2 § 5.8.3.1

θ0 0.005 rad θi 0.00358 rad I 0.0108 m4 φeff 1.340

αh 0.716 ei 0.020 m S 0.360 m² A 0.789αm 1.000 ∆M1 0.064 MN.m i 0.173 m ω 0.107

EFFETS DU PREMIER ORDRE M0Ed,1 1.064 MN.m λ 31.7 B 1.102

M0Ed,2 1.064 MN.m C 0.700

cf. §5.8.7.3(3) et §5.8.8.2(2) M0Ed,e 1.064 MN.m On ne peut pas négliger n 0.267

les effets du second ordre λlim 23.6

8. Méthode basée sur la rigidité nominale EC2 § 5.8.7

k1 1.58 Ks 1 9. Méthode basée sur la courbure nominale EC2 § 5.8.8

k2 0.050 Es 200000 MPa

Kc 0.034 Is 0.000170 m4 β 0.389 1/r0 0.0089 m-1

Ecd 30833 MPa c 8.000 1/r 0.0136 m-1

Ic 0.0108 m4 EI 45.12 MN.m² Kr 1.000 e2 0.0512 m

Nb 14.79 MN β 1.23 Kφ 1.521 M2 0.164 MN.m

Med 1.426 MN.m Section insuffisante Med 1.228 MN.m Section insuffisante

10. Méthode générale : analyse non-linéaire au second ordre 11. Vérification sur un diagramme d'interaction

MEd 0.000 MN.m Section insuffisante

constant

Travée inf droite

Eléments contreventés

Travée sup gauche Travée sup droite Travée inf gauche

VERIFICATION AU FLAMBEMENT D'UN POTEAU EN FLEXION NON DEVIEE SUIVANT L'EUROCODE 2

Diagramme d'interaction

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

M_int

M_ext

Calculer

b

h

Ai

As

position

position

position

Atot

Φ

L

Linf

Lsup

b21 ; h21 ; L21

b11 ; h11 ; L11

b22 ; h22 ; L22

b12 ; h12 ; L12



La résistance au flambement est assurée et ce quelle que soit la méthode utilisée.

Projet : Poteau :Date :

section rectangulaire section circulaire Pour le calcul de la longueur efficace

1. Géométrie du poteau à vérifier 3. Effortssection rectangulaire Début Fin

b 0.60 m Armatures Section position NELU 3.20 MN 3.20 MN

h 0.60 m Ai 27.50 cm² 6 cm My,ELU 1.00 MN.m 1.00 MN.m

L 7.8 m As 27.50 cm² 6 cm Mz,ELU

2. Matériaux Nqp 2.14 MN 2.14 MN

Béton C50 c1 2.45 ‰ φ(∞,t0) imposé 2 My,qp 0.67 MN 0.67 MN

fck 50 MPa cu1 3.50 ‰ ciment N Mz,qp

Eb 37000 MPa c2 2.00 ‰ RH 70 %fcm 58 MPa cu2 3.50 ‰ t0,T 21 jours Courbe M

fctm 4.1 MPa n 2.00 h0 300 mm

fctk,0,05 2.9 MPa cu3 3.50 ‰ φ(∞,t0) retenu 2.00

Acier Classe B Es 200000 MPa uk 5.0 %fyk 500 MPa k 1.08 ud 4.5 %

4. Calcul de la longueur Efficace EC2 § 5.8.3.2Poteau sup participe au Poteau inf participe au

L0 Calculée (θ/M)poutres_sup 0.00429 flambement ? OUI flambement ? NON

(θ/M)poutres_inf 0.00429 béton C50 béton C50

(EI/L)poteaux sup 100.64 Eb 37000 MPa Eb 37000 MPa

(EI/L)poteaux inf 51.23 section rectangulaire section rectangulaire

L0 retenue 5.49 m k1 0.432 bsup 0.50 m binf 0.60 m

k2 0.220 hsup 0.50 m hinf 0.60 m

Lsup 3.90 m Linf 7.80 m

béton C30 béton C30 béton C30 béton C30E11 33000 MPa E12 33000 MPa E21 33000 MPa E22 33000 MPa

b11 0.50 m b12 0.50 m b21 0.50 m b22 0.50 m

h11 0.70 m h12 0.70 m h21 0.70 m h22 0.70 mL11 8.10 m L12 8.10 m L21 8.10 m L22 8.10 m

6. Imperfections géométriques EC2 § 5.2 7. Conditions pour négliger les effets du second ordre EC2 § 5.8.3.1

θ0 0.005 rad θi 0.00358 rad I 0.0108 m4 φeff 1.340

αh 0.716 ei 0.020 m S 0.360 m² A 0.789αm 1.000 ∆M1 0.064 MN.m i 0.173 m ω 0.199

EFFETS DU PREMIER ORDRE M0Ed,1 1.064 MN.m λ 31.7 B 1.183

M0Ed,2 1.064 MN.m C 0.700

cf. §5.8.7.3(3) et §5.8.8.2(2) M0Ed,e 1.064 MN.m On ne peut pas négliger n 0.267

les effets du second ordre λlim 25.3

8. Méthode basée sur la rigidité nominale EC2 § 5.8.7

k1 1.58 Ks 0 9. Méthode basée sur la courbure nominale EC2 § 5.8.8

k2 0.050 Es 200000 MPa

Kc 0.300 Is 0.000317 m4 β 0.389 1/r0 0.0089 m-1

Ecd 30833 MPa c 8.000 1/r 0.0136 m-1

Ic 0.0108 m4 EI 99.90 MN.m² Kr 1.000 e2 0.0512 m

Nb 32.76 MN β 1.23 Kφ 1.521 M2 0.164 MN.m

Med 1.206 MN.m OK ! Med 1.228 MN.m OK !

10. Méthode générale : analyse non-linéaire au second ordre 11. Vérification sur un diagramme d'interaction

MEd 1.161 MN.m OK !

constant

Travée inf droite

Eléments contreventés

Travée sup gauche Travée sup droite Travée inf gauche

VERIFICATION AU FLAMBEMENT D'UN POTEAU EN FLEXION NON DEVIEE SUIVANT L'EUROCODE 2

Diagramme d'interaction

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

M_int

M_ext

Calculer

b

h

Ai

As

position

position

position

Atot

Φ

L

Linf

Lsup

b21 ; h21 ; L21

b11 ; h11 ; L11

b22 ; h22 ; L22

b12 ; h12 ; L12

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