Bourguet4

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Chapitre

7 Modeles POD-Galerkin

d’ecoulements transsoniques,

tridimensionnels et turbulents

Aperçu1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1532 Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoulement trans-

sonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.1 Phénomène de tremblement en régime transsonique . . . . . . . . . . . . . . . 1552.2 Analyse modale par POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.3 Modèle réduit POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3 Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible autour d’une aile1623.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2 Numerical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.3 Three-dimensional transition in the flow around a wing . . . . . . . . . . . . . 1643.4 Low-order modelling for compressible flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.6 Analyse des intermittences de l’instabilité secondaire . . . . . . . . . . . . . . . 1723.7 Robustesse de la base POD vis-à-vis des évènements rares . . . . . . . . . . . . 175

4 Modèle réduit d’écoulements turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.1 Modèles POD-Galerkin d’écoulements turbulents dans la littérature . . . . . . 1764.2 Ecoulement turbulent modélisé par une approche statistique . . . . . . . . . . . 178

5 Pertinence de l’approche POD-Galerkin pour la modélisation d’écoule-ments réalistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1 Introduction

Dans ce chapitre trois écoulements instationnaires sont étudiés afin d’examiner la pertinence de laméthode de modélisation de dimension réduite POD-Galerkin dans des configurations physiques réa-listes, proches des applications visées, dans le contexte de la conception optimale de forme notamment.Qu’advient-il de l’efficacité de la méthode proposée en termes de représentation et de prédiction des va-riables d’état lorsque l’écoulement d’intérêt est moins régulier que celui considéré au chapitre précédent ?Cette question est ici envisagée pour des écoulements de complexité croissante.

Dans un premier temps, l’écoulement transsonique bidimensionnel, autour d’un profil d’aile, soumis auphénomène de tremblement est étudié. Cette configuration physique est proche de celle présentée dans lechapitre précédent mais pour le couple nombre de Mach/nombre de Reynolds ici considéré, l’écoulementprésente une interaction entre l’instabilité de von Kármán précédemment décrite et l’oscillation périodiquedes régions supersoniques localisées de part et d’autre du profil. Ainsi, deux fréquences prédominantesapparaissent dans l’écoulement conduisant à des dynamiques temporelles plus complexes et donc a prioriplus difficiles à capturer par un nombre limité de modes. L’analyse modale du tremblement en régime

153

Chapitre 7. Modèles POD-Galerkin d’écoulements transsoniques, tridimensionnels et turbulents

transsonique ainsi que la modélisation de dimension réduite fondée sur cette analyse ont fait l’objet d’unarticle publié dans le cadre de cette thèse (Bourguet et al., 2007a) et présenté dans l’annexe C. Le nombrede Reynolds modéré considéré dans cette étude permet une identification claire des instationnarités liéesà l’instabilité de von Kármán et au tremblement, ce qui n’apparaît pas nécessairement aisé à grandsnombres de Reynolds, les fréquences propres des deux phénomènes pouvant alors être proches. Bien queplus “riche” que l’écoulement de référence présenté au chapitre 6, l’écoulement considéré au § 2 conserveun caractère périodique marqué lié à l’éloignement des fréquences des deux sources d’instationnarité.

La seconde configuration correspond à l’écoulement compressible transitionnel et tridimensionnel au-tour d’une aile à forte incidence, également pour un nombre de Reynolds modéré. Les simulations numé-riques directes considérées sont issues comme précédemment du code ICARE/IMFT compressible présentéau chapitre 3. Dans cette étude, l’accent est mis sur le caractère plus erratique des phénomènes physiquesinstationnaires mis en jeu. L’instationnarité est liée à l’instabilité de von Kármán qui donne lieu à unlâcher de tourbillons qui acquièrent une structure tridimensionnelle sous l’effet de l’instabilité secondaire.Il apparaît que cette ondulation des tourbillons le long de l’envergure de l’aile n’est pas strictement pério-dique et que des intermittences spatiales et temporelles de ce mode d’instabilité peuvent être observéesdans le sillage. L’étude de ce phénomène et la possibilité de le modéliser via l’approche POD-Galerkinsont rapportées dans un article soumis pour publication présenté au § 3.

Enfin, le cas de la simulation de dimension réduite d’écoulements turbulents modélisés par des ap-proches statistiques est abordé au § 4. Cette étape constitue le lien avec les méthodes “haute-fidélité”développées dans le cadre de cette thèse et présentées au chapitre 4. En effet, dans le contexte d’unemodélisation hiérarchique d’écoulements aérodynamiques réalistes, il semble important d’envisager le casoù les données HF disponibles pour construire un ROM ne sont pas issues de simulations directes mais ontdéjà fait l’objet d’une modélisation de la turbulence. Différentes approches rapportées dans la littératuresont évoquées et une application directe de la modélisation POD-Galerkin à la simulation de l’écoulementturbulent quasi-incompressible autour d’un profil d’aile à forte incidence est proposée.

L’étude de ces différents écoulements est menée selon deux axes principaux. Dans un premier temps, lacapacité de la décomposition aux valeurs propres à décrire efficacement ces configurations avec un nombrede modes raisonnable est examinée. Dans le cas où l’écoulement considéré admet une représentation defaible dimension, une analyse critique de la pertinence de la base POD peut être envisagée, notammentvis-à-vis d’évènements rares ou chaotiques inclus dans la base de données à représenter. Dans certains cas,la POD peut par ailleurs conduire à une identification efficace des différentes sources d’instationnaritéautorisant ainsi un “découplage” dans l’étude des divers mécanismes d’instabilité mis en jeu. Suite à cetteanalyse, des modèles réduits de ces différents écoulements sont construits et leur efficacité évaluée. Dansce chapitre, les capacités prédictives des POD ROM développés sont examinées pour les configurationsd’écoulement dont sont issues les réalisations utilisées pour construire les bases POD. La robustesse desmodèles réduits POD-Galerkin vis-à-vis d’une variation d’un paramètre de l’écoulement est abordée auchapitre 8.

2 Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoule-ment transsonique

L’écoulement autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle est instationnaire enrégime transsonique comme cela a déjà été évoqué au chapitre précédent, où un écoulement gouverné parl’instabilité de von Kármán a été étudié. Pour certains couples de nombres de Mach et de Reynolds, uneseconde instationnarité apparaît et se superpose au lâcher tourbillonnaire de von Kármán. Ce phénomène,lié à l’oscillation des régions supersoniques de part et d’autre du profil, est appelé tremblement ou buffetet peut conduire en pratique à une mise en vibration des surfaces portantes1. Cette instationnarité peutnotamment induire une fatigue accrue des structures et diminuer leur manœuvrabilité. Il s’agit donc d’unphénomène à atténuer, notamment via l’optimisation de forme ; il est donc important de parvenir à lesimuler efficacement. L’analyse du tremblement, de son interaction avec l’instabilité de von Kármán et samodélisation d’ordre faible constituent les objectifs de cette section. Le phénomène de tremblement esten premier lieu décrit quantitativement sur la base de simulations directes issues du code ICARE/IMFT.Par la suite, une analyse modale est proposée grâce à la décomposition aux valeurs propres. Enfin, un

1Ce phénomène aéro-élastique qui met en jeu un mouvement de la surface portante est connu sous le nom de buffeting.

154

2. Interaction tremblement/instabilité de von Kármán en écoulement transsonique

modèle réduit POD-Galerkin est dérivé et évalué.

2.1 Phénomène de tremblement en régime transsonique

Le phénomène de tremblement autour de surfaces portantes en régime transsonique a fait l’objet denombreuses études expérimentales à grands nombres de Reynolds autour de profils d’aile comme cela adéjà été évoqué au chapitre 2 (McDevitt et al., 1976; Seegmiller et al., 1978; Raghunathan et al., 1998).D’une manière générale, ce phénomène est associé à une oscillation des ondes de choc présentes à l’extradosou de part et d’autre d’un profil d’aile en régime transsonique. L’oscillation des régions supersoniquesest souvent liée à l’apparition de décollements instationnaires de la couche limite qui peuvent donnerlieu à des échappements tourbillonnaires (§ 4 du chapitre 2). Pour des nombres de Reynolds modérés,des études numériques antérieures ont montré, pour le cas de l’aile à incidence nulle (Bouhadji & Braza,2003a,b), une dissociation nette des fréquences fondamentales de ces deux instationnarités, l’instabilitéde von Kármán présentant une fréquence plus élevée d’au moins un ordre de grandeur.

Pour des nombres de Mach et Reynolds égaux respectivement à 0.8 et 104, l’écoulement étudié danscette section est soumis à un tremblement pleinement développé ainsi qu’à un lâcher tourbillonnaire liéau décollement des couches limites en aval des régions supersoniques, comme dans le cas où ces régionssont stationnaires. L’oscillation de plus basse fréquence des zones de sur-vitesse est illustrée sur la figure7.1 par des iso-contours de nombre de Mach local à quatre instants successifs sur une demie-période detremblement.

Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00(a)

Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00(b)

Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00(c)

Mach: 0.40 0.48 0.55 0.62 0.70 0.78 0.85 0.93 1.00(d)

Fig. 7.1 – Champs instantanés de nombre de Mach à quatre instants successifs sur une demie-périodede tremblement. Ecoulement autour d’un profil d’aile de type NACA0012 à incidence nulle, M = 0.8 etRe = 104.

L’interaction des deux instationnarités se traduit par une évolution fortement instationnaire du co-efficient de pression pariétale comme illustré sur la figure 7.2. De plus, il apparaît clairement sur cette

155


figure que les points situés dans les régions en amont des poches supersoniques ne sont pas affectés parl’instabilité de von Kármán se développant en aval. Les fréquences propres à chaque phénomène insta-tionnaire sont identifiables sur ces courbes ; la superposition des deux est notable au niveau des pointssitués près du bord de fuite.

Temps (s)

Cp

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

ABCD

B D

A C

Fig. 7.2 – Coefficient de pression instantanée aux points A, B, C et D au cours de deux périodes detremblement.

La fréquence adimensionnelle du mode de tremblement est Fbuffet = 0.082 et celle de l’instabilité devon Kármán St = 1.65. Dans le cas précédemment étudié (Re = 0.5 × 104, M = 0.85) la fréquencefondamentale était St = 1.30. Vis-à-vis des efforts aérodynamiques s’exerçant sur le profil d’aile, letremblement conduit à une oscillation de plus basse fréquence et d’amplitude nettement supérieure parrapport à l’instabilité de von Kármán. Les coefficients aérodynamiques instantanés sont présentés au §2.3 pour l’évaluation de la précision du modèle réduit développé (figure 7.9).

2.2 Analyse modale par PODAfin de définir un modèle d’ordre réduit de cet écoulement, une base POD est construite à partir de

clichés successifs issus du code de simulation directe ICARE/IMFT compressible. Par analogie à l’étudemenée dans le cas où l’écoulement était gouverné par la seule instabilité de von Kármán, une centainede réalisations sont stockées par période de Strouhal sur une période de tremblement. Ainsi Nt = 2200clichés successifs sont considérés avec un pas de temps de collecte égal à ∆t = 1.9 × 10−5s. La PODvectorielle est adoptée comme dans le cas précédent et le produit scalaire consistant utilisé est ici fondésur la définition locale de la variance statistique (6.42).

Les contributions relatives de chaque mode POD à la capture de l’information statistique contenuedans la base de données sont représentées sur la figure 7.3, ainsi que l’information cumulée associée auxbases POD tronquées. Une comparaison des spectres obtenus pour la présente configuration et celle oùseule l’instabilité de von Kármán apparaît montre une forte modification de la pente spectrale et donc dunombre de modes à retenir pour capturer une même quantité d’information. En particulier, l’informationcapturée par la deuxième paire de modes augmente significativement dans le cas présent : 18.5% contre2% dans le cas précédent. Ce comportement traduit, au niveau de la base POD, la plus grande richesse del’écoulement étudié dans cette section. La complexité accrue de la dynamique de l’écoulement apparaîtsur la matrice des corrélations temporelles représentées sur la figure 7.4, à comparer avec la figure 6.5dans le cas sans tremblement.

Pour cette configuration d’écoulement, les Npod = 16 premiers modes POD permettent de retenir99.9% de l’information statistique de la base de données et 34 modes sont nécessaires pour retenir 99.99%comme dans le cas de la seule instabilité de von Kármán. Les huit premiers modes POD associés à lavitesse longitudinale et à la pression sont représentés sur les figures 7.5 et 7.6, respectivement. Parmiles premières paires de modes, il semble que la POD conduise à une identification efficace des deux dy-namiques prédominantes. En effet, les premières et troisièmes paires sont associées à des oscillations depart et d’autre du profil alors que la deuxième paire présente une allure similaire à celle obtenue dansle cas de l’instabilité de von Kármán seule. Certains modes apparaissent ainsi associés au phénomène detremblement et d’autres à l’échappement tourbillonnaire de von Kármán. Les modes d’indices plus élevésprésentent des topologies plus complexes liées au couplage entre les deux instationnarités. Par ailleurs,les modes POD représentent les corrélations spatiales des quantités physiques mises en jeu. Il apparaît

156


Mode

Info

rmat

ion

rela

tive

Info

rmat

ion

rela

tive

cum

ulé

e(%

)

5 10 15 20 25 30

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

50

60

70

80

90

100

Inf. rel. - tremblement

Inf. cumul. - tremblement

Inf. rel. - von Karman

Inf. cumul. - von Karman

Base PODtronquée

16 modes - 99.9%

Fig. 7.3 – Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique de la basede données (axe de gauche - traits pleins) et information statistique cumulée de la base POD tronquée enfonction du nombre de modes retenus (axe de droite - traits pointillés) dans le cas où seule l’instabilité devon Kármán apparaît (4) et lorsque se superpose à cette instabilité le phénomène de tremblement ().

Temps (s)

Tem

ps(s

)

0 0.01 0.02 0.03 0.040

0.01

0.02

0.03

0.04

Corrélation1.00.80.60.30.1

-0.1-0.3-0.6-0.8-1.0

Fig. 7.4 – Matrice des corrélations temporelles normalisées.

ainsi sur le premier mode POD associé à la pression (figures 7.6) que l’oscillation lente des régions su-personiques induit un mouvement d’oscillation du sillage à cette même fréquence. Ce phénomène esteffectivement observé près du bord de fuite comme le traduit l’évolution du coefficient de pression (figure7.2).

L’identification des deux mécanismes physiques par les modes POD spatiaux se traduit au niveau descoefficients temporels associés dans la décomposition aux valeurs propres. Les premiers coefficients issusde la projection des clichés sur les modes POD sont représentés sur la figure 7.7. La fréquence propre de lapremière paire de modes correspond à la fréquence du tremblement alors que les dynamiques temporelles

157


Mode 1 - u1 Mode 2 - u1




Fig. 7.5 – Premiers modes POD associés à la composante longitudinale de la vitesse. Les lignes pointilléesreprésentent les valeurs négatives.

des troisièmes et quatrièmes modes sont associées à l’instabilité de von Kármán. Le couplage entre lesdeux phénomènes est illustré par la quatrième paire de coefficients temporels qui oscillent à la fréquencedu lâcher tourbillonnaire tout en étant modulés par le phénomène de plus basse fréquence.

Dans ce contexte où les deux sources d’instationnarité présentent des fréquences fondamentales re-lativement éloignées, la POD permet de découpler les deux phénomènes d’un point de vue spatial etdu point de vue de leurs dynamiques temporelles. De plus, bien que le nombre de modes à prendre encompte dans la base tronquée soit plus élevé que dans le cas précédent une représentation d’ordre faiblesatisfaisante peut-être obtenue. Dans la section suivante, le modèle d’ordre réduit POD-Galerkin associéà cet écoulement est examiné.

158


Mode 1 - p Mode 2 - p

Mode 4 - pMode 3 - p

Mode 6 - pMode 5 - p

Mode 7 - p Mode 8 - p

Fig. 7.6 – Premiers modes POD associés à la pression. Les lignes pointillées représentent les valeursnégatives.

2.3 Modèle réduit POD-Galerkin

Un système d’équations différentielles ordinaires à 16 degrés de liberté est obtenu par la méthodologiePOD-Galerkin précédemment décrite. Les coefficients temporels de la décomposition aux valeurs propresprédits par le modèle réduit calibré2 sont présentés sur la figure 7.73. Le modèle réduit non calibré divergeau-delà d’un horizon d’intégration correspondant à cinq périodes de l’instabilité de von Kármán, en raisonde l’instabilité structurale (Rempfer, 2000; Noack et al., 2003) évoquée précédemment. Le modèle réduitcalibré conduit à une prédiction fiable des dynamiques associées aux modes POD sur l’horizon temporelde la base de données qui correspond ici à environ 20 périodes de l’instabilité de von Kármán. Aucunedérive en amplitude significative n’est observée sur les premiers modes. Une légère atténuation peut êtrenotée à la fin de l’horizon d’intégration sur la quatrième paire.

2La calibration de Floquet (portant sur le vecteur d’état) est ici mise en œuvre.3Sur cette figure et dans la suite de l’étude, les coefficients temporels sont présentés normalisés ; par définition 〈a2

i 〉 = λi.

159


Temps (s)

a1/la

mbd

a1^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a2/la

mbd

a2^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a5/la

mbd

a5^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a6/la

mbd

a6^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a7/la

mb

da7

^1/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400-2

-1

0

1

2

Temps (s)

a8/la

mb

da8

^1/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400-2

-1

0

1

2

Temps (s)

a4/la

mb

da4

^1/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a3/la

mb

da3

^1/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 7.7 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD en fonction du temps : prédictionpar le ROM (lignes rouges) et référence ().

Les erreurs de représentation et de prédiction des variables physiques du modèle “haute-fidélité” sontprésentées sur la figure 7.8. Comme au chapitre précédent, l’erreur porte sur les fluctuations temporellesdes variables autour d’un champ moyen de référence supposé connu. L’erreur de représentation des clichéssur la base POD tronquée est environ égale à 3% en moyenne (figure 7.8, ligne pointillée), en accord avecle critère de troncature fixé à 99.9% puisque

√0.0001 ≈ 3.2%. L’erreur liée à la prédiction des coefficients

temporels par le ROM apparaît plus importante que pour l’écoulement précédent (≈ 8.5% au maximum)mais reste relativement proche de l’erreur de représentation.

Afin d’illustrer la précision du ROM, les coefficients aérodynamiques instationnaires issus de la si-mulation directe et du modèle réduit sont représentés sur la figure 7.9. Les évolutions temporelles descoefficients de traînée et de portance traduisent l’interaction du tremblement avec l’échappement tour-billonnaire. Ces efforts aérodynamiques sont rigoureusement prédits par le modèle réduit. En particulier,le comportement relativement irrégulier du coefficient de traînée est capturé précisément par le ROM.

La capacité du modèle réduit à prédire les coefficients temporels de la POD au-delà de l’horizon des

160


Temps (s)

Erre

urre

lativ

ein

stan

tané

e(%

)

0 0.01 0.02 0.03 0.042

3

4

5

6

7

8

9

10PODROM - Floquet

Fig. 7.8 – Erreur relative instantanée de prédiction des variables d’état par le ROM calibré et erreurd’approximation liée à la troncature de la base POD en fonction du temps.

Temps (s)

Coe

ffici

entd

etra

înée

0 0.01 0.02 0.03 0.04

0.0745

0.075

0.0755

0.076

Navier-StokesPODROM

(a)

Temps (s)

Coe

ffici

entd

epo

rtanc

e

0 0.01 0.02 0.03-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Navier-StokesPODROM

(b)

Fig. 7.9 – Coefficients de (a) traînée et (b) portance obtenus par l’approche “haute-fidélité”, après filtragePOD et par le modèle réduit, en fonction du temps.

réalisations stockées dans la base de données est évaluée (figure 7.10). La prédiction des dynamiquesassociées aux modes les plus énergétiques est stable sur la période suivante de tremblement (environ 20périodes supplémentaires de l’échappement tourbillonnaire). Une certaine dérive en amplitude apparaîtpour les modes d’indices supérieurs au-delà de ce nouvel horizon.

Temps (s)

a1/la

mbd

a1^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

a3/la

mbd

a3^1

/2

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 7.10 – Coefficients temporels associés aux premier et troisième modes POD en fonction du temps :prédiction par le ROM calibré (calibration du vecteur d’état) (lignes rouges) et référence ().

Dans cette section, la méthode POD-Galerkin a été mise en œuvre pour l’analyse physique et lamodélisation de dimension réduite d’un écoulement transsonique soumis au phénomène de tremblement.Plus précisément, il a été montré que la POD pouvait conduire à une identification efficace des différents

161


mécanismes gouvernant l’instationnarité de l’écoulement et qu’un modèle réduit de dimension raisonnable(16 modes) pouvait assurer une prédiction rigoureuse de l’interaction complexe entre l’instabilité de vonKármán et le tremblement. Les principaux résultats présentés dans cette section ont été rapportés dansl’article (Bourguet et al., 2007a) présenté dans l’annexe C.

En tenant compte de la différence d’ordre de grandeur des fréquences fondamentales associées auxdeux phénomènes physiques mis en jeu, l’écoulement considéré semble présenter un comportement quasi-périodique certes plus complexe que dans le cas d’un simple échappement tourbillonnaire, mais exemptd’évènements rares ou chaotiques. Dans la section suivante, le cas d’un écoulement tridimensionnel autourd’une aile à forte incidence présentant un caractère moins régulier est examiné.

3 Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible au-tour d’une aile

L’étude rapportée dans cette section fait l’objet d’un article, rédigé en langue anglaise, soumis pourpublication. Il est retranscrit dans sa version originale et des compléments à l’analyse proposée sontprésentés au § 3.6.

162

3. Modèle réduit de l’écoulement transitionnel compressible autour d’une aile

Capturing transition features around a wing

by reduced-order modelling based on

compressible Navier-Stokes equations

R. Bourguet, M. Braza, A. Sévrain and A. Bouhadji

Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, Allée du Pr. C. Soula, 31400 Toulouse, France

The three-dimensional transition in the flow around a NACA0012 wing of constant spanwise section atMach number 0.3, Reynolds number 800 and incidence 20o is investigated by direct numerical simulationand low-order modelling. The interaction between the von Kármán and the secondary instabilities isanalysed. Irregular events modulating the spanwise undulation are highlighted and quantified. Thesetransition features, including local “intermittencies” in the secondary instability pattern are efficientlycaptured by a reduced-order model derived by means of Galerkin projection of the compressible flowNavier-Stokes equations onto a truncated proper orthogonal decomposition basis.

3.1 Introduction

In the context of complex aerodynamic flow prediction, the investigation of the transition to turbulenceis a challenging issue, especially for design purposes. To this end, the Direct Numerical Simulation (DNS)is a powerful approach for physical analysis of fundamental mechanisms of the flow transition that appearat low Reynolds number (Re) and that persist at high-Re regimes. However, this approach demands aconsiderable number of degrees of freedom to capture the flow physics. This is also the case for the LargeEddy Simulation (LES), as well as for hybrid (statistical-LES) turbulence modelling, to achieve predictionat high Re. Therefore, “physics-driven” Reduced-Order Models (ROMs) are needed. The transition toturbulence around wings at high Re was analysed by a great deal of works (e.g. Arnal, 1992), whereasit is less studied at low and moderate Re. Pulliam & Vastano (1993) have investigated the period-doubling mechanism in two-dimensional flows around a NACA0012 airfoil. In the incompressible case,Hoarau et al. (2003) studied the onset of the three-dimensional transition in the wake of a wing at highincidence. The transition induced by compressibility effects in the high-transonic regime around a winghas been examined by Bouhadji & Braza (2003a) in two dimensions and Bourdet et al. (2003) in threedimensions. These studies quantified the predominant wavelengths concerning the von Kármán, shear-layer and secondary instabilities, and the last analysed the nature of the secondary instability by a globaloscillator model. These works reported the high complexity of the flow transition in the incompressible andin the high-transonic regimes. Therefore, in the present study, three-dimensional transition phenomenaare examined at the onset of compressibility effects as well as the ability of ROM in estimating themappropriately.

During the two past decades, ROMs of low-Re periodic and transient wall flows have been developedby means of Proper Orthogonal Decomposition (POD)-Galerkin approach (e.g. Deane et al., 1991; Noacket al., 2003). Recent studies have proven the efficiency of such ROMs for the prediction of quasi-periodicand more chaotic three-dimensional flows on the basis of DNS (Ma & Karniadakis, 2002) or LES (Coupletet al., 2005) for example, and for turbulent flow analysis (Noack et al., 2008). However, the majority ofROMs focus on the incompressible Navier-Stokes equations and only few studies deal with compressibleflows. Assuming isentropic conditions, Rowley et al. (2004) developed ROMs for compressible cavity flows.The difficulties induced by coupling thermodynamic and kinematic state variables in the compressibleNavier-Stokes equations can be solved by considering an appropriate state formulation (Vigo et al.,1998; Bourguet et al., 2007a, in two dimensions). In the present study, this formulation is extendedto the three-dimensional case and a consistent inner product is suggested for POD. The efficiency ofthis ROM is examined in respect of capturing main three-dimensional transition features predicted byDNS, especially irregularities that appear in space-time evolution of flow quantities. Section 3.2 brieflydescribes the numerical method. Section 3.3 focuses on DNS results. Section 3.4 presents the ROM andresults regarding its reliability.

163


3.2 Numerical method

The complete, time-dependent Navier-Stokes equations have been solved in three dimensions under aconservative form, in a general non orthogonal curvilinear coordinate system. The ICARE/IMFT softwarefor compressible flows around bodies has been employed. The Roe upwind scheme (Roe, 1981) has beenused to discretise the convection and pressure terms because of their hyperbolic character. The MUSCLapproach by Van Leer (1979) has been employed in order to increase the spatial accuracy from first tosecond order. The diffusion terms have been discretised by second-order-accurate central differences andthe temporal terms by an explicit, second-order-accurate, four-stage Runge-Kutta scheme. The computa-tional domain is a C-type grid (369× 89× 101) of 4 chord-lengths (c) in the spanwise direction, 6 c fromthe leading edge to the upstream outer boundary and 10 c from the trailing edge to the downstream outerboundary. The perfect gas equation is used as well as Sutherland’s law to define the dynamic viscosity.

The boundary conditions are no-slip and constant temperature on the wing, the upstream Mach num-ber M = 0.3, Reynolds number Re = 800 and flow temperature T∞ = 300 K. Freestream conditions havebeen imposed at the outer boundaries, except for the outlet boundary where a first-order extrapolationhas been used for the unknown variables. The side boundary conditions are Neumann type. Detailed gridconvergence and time-step studies have been performed previously in two and three dimensions to ensurethe validity of the numerical software, as well as numerical tests concerning the computational domainsize (Bouhadji, 1998; Bouhadji & Braza, 2003a). Moreover, the flow has been slightly perturbed by a ran-dom field of small magnitude (10−4u∞) introduced as freestream boundary condition for the transversevelocity component to shorten the transient phase towards appearance of the secondary instability. Thistechnique had been carefully verified in previous studies concerning similar flow configurations (Brazaet al., 2001; Hoarau et al., 2003) where it was shown that the small perturbation magnitude has no effecton the final instability development beyond the transient phase.

3.3 Three-dimensional transition in the flow around a wing

The flow around a NACA0012 wing at 20o of incidence in the above mentioned conditions exhibitsa strong unsteady character induced by the interaction between two instability modes, the von Kármánand the secondary instabilities. The von Kármán instability induces a quasi-periodic alternating lea-ding/trailing edge vortex shedding illustrated in figure 7.11(a). The Strouhal number associated withthe fundamental frequency of this instability has been evaluated on more than forty vortex sheddingevents of the established three-dimensional flow and is found equal to 0.55. This is in good agreementwith incompressible flow simulations (Hoarau et al., 2003). The secondary instability appears as a largespanwise wavelength undulation of the von Kármán vortex rows, accompanied by “braid”-like structuresof streamwise vorticity. This is illustrated in figure 7.11(b) by the iso-surface of Q criterion (Hunt et al.,1988). The spanwise wavelength of the secondary instability is found in the range λ3/c ∈ [0.74, 0.83] whichis comparable with experimental (Williamson, 1996a) and numerical (Braza et al., 2001) studies arounda circular cylinder at an equivalent Re. However, figure 7.11(b) shows spanwise events that modify thesecondary instability pattern, as described in the following.

The present aerodynamic lift (Cl) and drag (Cd) coefficients are close to those reported in Hoarauet al. (2003). The time-averaged coefficients are Cl = 0.90 and Cd = 0.45 in two dimensions, Cl = 0.85 andCd = 0.43 in three dimensions. As in case of previous DNS, a reduction of the time-averaged values andamplitudes of the lift and drag coefficients is observed between two- and three-dimensional simulations.The present results show that the main features of the flow configuration of interest are rather similar tolower Mach number flows. However, compressibility effects arise in the present case. In the accelerationregion on the upper side of the wing, the Mach number equals 0.45 and the relative density variations inthe field are higher than 20% of the upstream density.

Figure 7.11(b) shows chaotic states in the spanwise evolution of the vortex filaments. These consist ofirregular appearance of “rarefied” spanwise regions, where one spanwise-periodic event is missing and anirregular vortex structure appears instead, breaking the continuous undulation of the von Kármán vortexrows (see sketch in figure 7.11(b)). The present study aims at tracking these events and at quantifyingtheir impact in the flow transition. Figure 7.11(c) shows iso-surfaces of Mach number, also indicatingan irregular spanwise undulation and wavelength dispersion. The above mentioned irregularities can beobserved in the recirculation region at the upper side of the wing as illustrated in figure 7.12(a). In fi-gures 7.12(b) and 7.12(c), instantaneous spanwise velocity profiles in the recirculation region are plotted.

164


Fig. 7.11 – Instantaneous (a) iso-contours of ω3 vorticity component at x3/c = 2, (b) iso-surface of Qcriterion (Q = 0.3) coloured by iso-contours of ω1, (c) iso-surfaces of Mach number (M = 0.21/0.32/0.39,blue/yellow/red).

Space/frequency analysis is carried out on these signals to quantify the wavelength variation along thespan. Hilbert transform is used to ensure the amplitude demodulation and the Burg algorithm is appliedafterwards for Auto-Regressive (AR) power spectral density estimation (Marple, 1987). The predomi-nant wavenumber is presented in figures 7.12(b) and 7.12(c) as a function of x3/c. A strong wavelength(phase) modulation occurs along the span, as well as a large variation of the velocity amplitude. In theregion where the phase modulation appears, there is a significant increase of the wavenumber of thevelocity signal related with irregular structure appearance. Figure 7.12(d) shows the temporal evolutionof the spatial power spectrum of u3 along a spanwise axis within the recirculation region. A significantvariation of the predominant wavelength occurs, as a function of time. This is closely associated withthe occurrence of phase and amplitude irregularities as illustrated in figure 7.12(c). This phenomenonthat appears randomly along the span in time and space, is called here “intermittency”, referring to theregular pattern of the secondary instability. It is known that irregularities appear in bluff body wakes asvortex dislocation patterns that consist of a junction of two adjacent von Kármán vortex rows (William-son, 1996a; Braza et al., 2001). Moreover, in the incompressible case, Scarano et al. (2007) depicted a“losange-like” modulation of the spanwise vortices by using tomographic particle image velocimetry. Thepresently observed intermittencies could be induced by the onset of compressibility effects. The origin ofthese irregular events could be investigated by using elliptic stability theory (Waleffe, 1990), on a singleundulated vortex row excited by small spanwise perturbations that could depend on Mach number. Thiskind of study is beyond the objectives of the present work that focuses on elaboration of a low-ordermodel, able to capture the onset of compressibility, the secondary instability and the above mentionedintermittent irregularities.

165


Fig. 7.12 – u3 (x1/c = 0.71, x2/c = 0.16) (a) as a function of time in 50 location points along the span ;as a function of x3/c at t = 0.1 s, (b) ; t = 0.74 s, (c) (plain lines, bottom axis). Predominant wavenumberof u3 spectrum superimposed in (b) and (c) (squares, upper axis). (d) Spatial power spectrum densityof u3 along spanwise axis (x1/c = 0.71, x2/c = 0.16) as a function of time. Dashed line : sketch of thepredominant wavenumber evolution. The monitoring starts after approximately 20 von Kármán vortexshedding events.

166


3.4 Low-order modelling for compressible flowsThe ROM is constructed by performing a Galerkin projection of the compressible Navier-Stokes

equations onto a truncated POD basis. This needs an appropriate formulation of the flow quantities, aswell as a suitable, dimensionally consistent, inner product for POD basis extraction, as explicited in thefollowing. This method was previously used to derive ROM in the high-transonic regime (Bourguet et al.,2007a). The ROM approach relies on the assumption that the flow physics can be described by a reducednumber of degrees of freedom. The present flow is governed by two main instabilities and shows a strongquasi-periodic character induced by the von Kármán vortex shedding. Therefore this flow is, a priori, agood candidate for low-order representation. However, the flow transition is characterised by irregularevents, that are challenging to capture by the low-dimensional approach.

Proper Orthogonal Decomposition

In the context of model reduction, the POD is often used to extract the most energetic modes that areable to reconstruct the predominant flow structures. Assuming time-space separation, the POD consistsin expanding the vector of state variables v as a linear combination of specific deterministic spatialeigenfunctions (Berkooz et al., 1993) :

v = v(x) + v(x, t) = v(x) +∞∑i=1

ai(t)Φi(x) ≈ v(x) +Npod∑i=1

ai(t)Φi(x). (7.1)

v and v are the mean and fluctuating state vectors. Npod is the number of retained POD modes. ai aretime-dependent functions and Φi orthonormal spatial modes. These are the successive solutions of thefollowing optimisation problem :

Φi+1 = arg maxΨ∈L2(Ω)d

⟨(v −Πiv,Ψ)2

⟩subject to (Ψ,Ψ) = 1, (7.2)

where 〈 · 〉 denotes time-averaging operator. Ω ⊂ Rd−2 is the spatial domain and d is the number ofstate variables (d = 5 in the three-dimensional case). Πi is the orthogonal projector onto the subspacespanned by the ith first modes. (·, ·) denotes the spatial inner product. In the fully compressible case, thekinematic variables are associated with two thermodynamic quantities. A dimensionally consistent innerproduct is reached by a normalisation of each state variable contribution as follows :

(vI ,vII

)=

d∑i=1

1σ2i

∫Ω

vIi vIIi dx with σ2

i=1Ts

∫Ω

∫ t0+Ts

t0

v2i dtdx. (7.3)

vI and vII are two given states. σ2i is the space-averaged variance of the ith variable and Ts is the time

interval of the snapshot series. POD modes are determined by means of “snapshot-POD” technique (Siro-vich, 1987). The time-dependent evolution of the flow transition in two and three dimensions is studied byconsidering two different series of flow fields containing each 400 snapshots. These data sets correspondto four periods of the established von Kármán vortex shedding. The relative energy or statistical contentof each POD mode is measured by the relative magnitude of the corresponding eigenvalue (ζi) of thecorrelation matrix. This is shown in figure 7.13, as well as the cumulative energy conveyed by the PODbasis, defined by INpod =

∑Npodi=1 ζi/

∑Nti=1 ζi, where Nt is the number of snapshots. Most of the dynamic

system energy is represented by the first POD modes in both two- and three-dimensional cases. However,figure 7.13 shows that the three-dimensional flow that involves complex instability interactions comparedwith the two-dimensional one, requires more POD modes for the same INpod (representation quality).INpod = 99% is chosen as a truncation criterion in the three-dimensional case and thus 28 modes areretained. For the two-dimensional flow, a 8-dimensional POD basis is considered.

POD-Galerkin model

The compressible Navier-Stokes equations are expressed as quadratic fluxes by means of the followingstate formulation : v = [1/ρ u1 u2 u3 p]

t as reported in Vigo et al. (1998). ρ is the density, ui are velocitycomponents, p is the pressure. Selected three-dimensional spatial POD modes are shown in figure 7.14.Although they do not correspond to coherent structures, the three-dimensional POD modes efficiently

167


Fig. 7.13 – (a) Relative energy of each POD mode, (b) relative energy of the truncated POD basis as afunction of mode number, concerning the two- and three-dimensional snapshot series.

identify the von Kármán and the secondary instabilities, in the present case. The first pair combinationin the flow-field reconstruction yields the alternating vortex pattern. However, this vortex pattern ishighly modulated in the three-dimensional case. This modulation is captured by the higher-order modesas shown in figure 7.14. For example, modes 3 and 4 are related to the reconstruction of the secondaryinstability. These modes clearly exhibit a local modification of their spanwise pattern where intermittencyof the secondary instability occurs, as discussed in section 3.3 (see sketch in figure 7.14). Higher-ordermodes present less organised patterns and can be associated with more chaotic phenomena related withthe interaction between the two instability modes. The time-histories of selected POD coefficients areshown in figure 7.15. As expected, the first POD coefficients are close to periodic while higher-order onesare not. The coefficients associated with the secondary instability (modes 3 and 4) are approximatelyperiodic at half frequency compared to the von Kármán instability. The higher-order coefficients displaysignificant amplitude and frequency modulations.

The Galerkin projection of the Navier-Stokes equations onto the truncated POD basis yields thefollowing quadratic polynomial ODE system, for i = 1, . . . , Npod :ai = (Ci + Cs

i ) +Npod∑j=1

(Lij + Ls

ij

)aj +

Npod∑j,k=1

Qijkajak = fi (Cs,Ls,a)

ai(t0) = (v(·, t0)− v,Φi) .(7.4)

The constant coefficients are computed as follows : Ci = (F α11 −Aα11,Φi), Lij = (F α1(j+1) + F α(j+1)1 −

Aα1(j+1)−Aα

(j+1)1,Φi) and Qijk = (F α(j+1)(k+1)−Aα(j+1)(k+1),Φi). Greek sub- and superscripts are used

to specify implicit summations. In the three-dimensional case :

Aijk =

Φ?uij Φ?(1/ρ)k,i − Φ?(1/ρ)j Φ?uik,i

Φ?uij Φ?u1k,i + Φ?(1/ρ)j Φ?pk,iδ1i



γΦ?pj Φ?uik,i + Φ?uij Φ?pk,i

, Fijk =

0

Φ?(1/ρ)j τ?1ik,iΦ?(1/ρ)j τ?2ik,iΦ?(1/ρ)j τ?3ik,i

γµPr

(Φ?pj Φ?(1/ρ)k ),ii + (γ − 1)Φ?uαj,i τ?αik

, (7.5)

where τ?ijk = µ(Φ?uik,j + Φ?ujk,i − 2/3Φ?uαk,α δij) and Φ? = [v Φ1 . . . ΦNpod ]. µ is the fluid viscosity. In theROM, this is assumed constant to allow evaluation of all the ODE coefficients, once for all. γ = 1.4is the polytropic coefficient and Pr = 0.72, Prandtl number. δij is Kronecker symbol. ·,i denotes spacederivative in direction i. ROM integration is ensured by a fourth-order-accurate Runge-Kutta scheme. Asreported in Noack et al. (2003), dynamical systems issued from POD-Galerkin methodology are subjectto structural instabilities. To ensure ROM accuracy, different approaches have been envisaged in thelitterature and especially calibration procedures. A linearised calibration method is adopted here in asimilar way to Couplet et al. (2005) in the incompressible case. The calibration coefficients Cs and Ls

168


Fig. 7.14 – Selected POD modes, concerning the kinematic and thermodynamic quantities. Light/darkgrey : positive/negative valued iso-surfaces.

Fig. 7.15 – Time-history of selected POD coefficients issued from : snapshot projection onto POD modes(circles), ROM integration (plain lines), over four periods of the von Kármán vortex shedding (snapshottemporal horizon).

169


Fig. 7.16 – Relative L2 prediction errors of : (a) POD time-dependent coefficients for each mode, (b)state vector fluctuations as a function of time, over the time interval of the snapshot series. In (b), bothPOD basis truncation and ROM errors are plotted.

are found by minimising the following function :

J (Cs,Ls, θ) = θE (Cs,Ls)

E(0Npod ,0N2

pod

) + (1− θ)‖Cs‖2Npod

+ ‖Ls‖2N2pod

‖C‖2Npod+ ‖L‖2N2

pod

, (7.6)

where the norms are defined by ‖C‖2Npod= C2

α and ‖L‖2N2

pod= L2

αβ . The linearised prediction error

is : E(Cs,Ls) =∑Npodi=1

∫ t0+Tst0

(ai(t) − ai(t0) − ∫ tt0fi(Cs,Ls,apod)dt′)2dt, where apod are the reference

POD coefficients. The blending coefficient 0 < θ < 1 is chosen to control the weight of the calibrationcoefficients compared to those issued from Galerkin projection. This coefficient can also be regardedas a regularisation parameter in Tikhonov’s regularisation framework (Tikhonov & Arsenin, 1977). Acalibration cost lower than 30% is considered in the three-dimensional case. As shown in figure 7.15, thecalibrated ROM achieves prediction of the POD time-dependent coefficients that provide a satisfactoryflow reconstruction even in case of non-periodic evolutions, as detailed at the end of the present section.

The relative L2 prediction error of the temporal coefficients remains small even for the higher ordermodes (figure 7.16(a)). The accuracy of the ROM is confirmed by the low values of the state vector pre-diction error over the entire spatial domain (figure 7.16(b)). Moreover, the difference between ROM andPOD errors is very small. This means that the major part of the ROM error with respect to “high-fidelity”results is induced by the POD basis truncation in both two- and three-dimensional cases. The aerody-namic coefficients versus time estimated by the ROM present a good comparison with those predictedby DNS (figure 7.17). This is an interesting aspect concerning the use of ROM in design procedures.Instantaneous flow fields issued from DNS and ROM are compared at the final ROM integration time(last snapshot) in figure 7.18. The pressure coefficient is accurately estimated by the present low-orderapproach (figure 7.18(a)). Moreover, the spanwise pattern including irregularities of the secondary insta-bility is well captured (figure 7.18(b-d)).

3.5 ConclusionThe three-dimensional transition in the flow around a NACA0012 wing of constant spanwise section, at

low Mach number and high incidence has been investigated. The appearance of preferential wavenumbersdue to the von Kármán and secondary instabilities has been analysed. Intermittent modulations of thesecondary instability have been identified and quantified. The transition process including these irregularevents has been captured by an appropriate low-order model derived from the compressible Navier-Stokesequations by means of POD-Galerkin approach. The present ROM provides an accurate simulation ofboth kinematic and thermodynamic quantities.

170


Fig. 7.17 – Unsteady aerodynamic (a) lift and (b) drag coefficients issued from DNS, truncated PODbasis representation and ROM, as functions of time.

Fig. 7.18 – Instantaneous iso-contours at final ROM integration time (t = 0.0695 s) : (a) the pressurecoefficient at x3/c = 2, (b) the transverse velocity component at x1/c = 1.5 ((x3, x2) plane). Red dashedline in (a) : location of plane (x3, x2) in (b). DNS : plain iso-lines and iso-colour contours. ROM : dashediso-lines. Instantaneous iso-surfaces of ω3 = −1/1 in black/grey and ω2 = −0.5/0.5 in yellow/red in thewake, at final ROM integration time (t = 0.0695 s) : (c) DNS, (d) ROM.

171


3.6 Analyse des intermittences de l’instabilité secondaire

Cette section propose un complément à l’analyse des irrégularités spatio-temporelles de l’instabilitésecondaire. Il est rappelé que cette instabilité correspond à l’ondulation transversale des tourbillons devon Kármán. En premier lieu, quelques résultats supplémentaires représentatifs de la tridimensionnalitéde l’écoulement considéré sont présentés puis la stratégie de traitement des signaux mise en œuvre dansl’article est brièvement décrite.

Diagrammes spatio-temporels

Les évolutions spatio-temporelles des variables d’état le long de deux lignes transversales situéesdans la zone de recirculation (x1/c = 0.71, x2/c = 0.16) à l’extrados de l’aile et dans le sillage proche(x1/c = 1.18, x2/c = 0.04) sont représentées sur la figure 7.19. Ces différents diagrammes montrentqu’après une phase de croissance, l’instabilité secondaire pleinement développée donne lieu à un sillagefortement tridimensionnel. Au cours de la première phase d’établissement (pour t < 0.15s environ),l’ondulation transversale des tourbillons de von Kármán est régulière. Par la suite, l’instabilité secondaireperd son caractère strictement périodique et des irrégularités marquées apparaissent. Ce phénomène aété décrit précédemment d’un point de vue quantitatif par une analyse “fréquentielle” à la fois spatialeet temporelle de signaux provenant de la région du sillage proche. Les techniques utilisées pour effectuercette étude sont présentées ci-dessous.

Transformée de Hilbert

Afin d’examiner la régularité de l’instabilité secondaire, des signaux instantanés le long de l’enverguredu profil tels que ceux présentés sur les figures 7.12(b) et (c) sont considérés. Une étude quantitative del’évolution de la phase spatiale et de l’amplitude de ces signaux peut être envisagée grâce à la transforméede Hilbert qui s’avère particulièrement adaptée à l’analyse des signaux à bande étroite. La transforméede Hilbert d’un signal s dépendant d’une variable x s’écrit :

s (x) =∫ ∞−∞

s (ζ)h (x− ζ) dζ avec h (x) =1πx. (7.7)

Du point de vue spectral, si S et S désignent les transformées de Fourier de s et s respectivement, ils’ensuit :

S (κ) =

−iS (κ) si κ > 00 si κ = 0iS (κ) si κ < 0.

(7.8)

La transformée de Hilbert conduit ainsi à un déphasage de −π/2 des fréquences positives et π/2 desfréquences négatives. En considérant le signal complexe z formé à partir du signal et de sa transforméetel que

z (x) = s (x) + is (x) = A (x) eiφ(x), (7.9)

l’enveloppe “instantanée”4 du signal correspond au module A(x) et la phase instantanée à l’argument φ(x).Cette transformation permet donc d’accéder aux modulations d’amplitude et de phase du signal. Pourplus de détails concernant la transformée de Hilbert, le lecteur pourra se référer à l’ouvrage de Papoulis(1962), par exemple. Dans la présente étude, cette technique est appliquée directement pour déterminer lavariation spatiale de la fréquence de l’instabilité secondaire le long de l’envergure. Sur la figure 7.20 sontreprésentés les amplitudes et les angles de phase instantanés obtenus par la transformée de Hilbert dessignaux de vitesse transversale tracés sur les figures 7.12(b) et (c). Le premier signal, quasi-périodique,permet une validation de la méthode qui restitue une légère variation d’amplitude observée au-delà dex3/c = 2.5 alors que la phase croît linéairement de telle sorte que φ(x3/c) ≈ ωx3/c+ω0. Le second signalprésente une forte modulation d’amplitude et de phase. Dans ce cas, le fait que la phase ne soit plusune fonction affine de la distance x3/c trahit le caractère non-périodique de l’évolution transversale de lavitesse et donc une irrégularité spatiale de l’instabilité secondaire.

L’enveloppe du signal estimée grâce à la transformée de Hilbert est également utilisée pour démodulerle signal avant d’effectuer une analyse spectrale par l’approche paramétrique présentée ci-dessous.

4La transformation de Hilbert est ici mise en œuvre dans le domaine spatial (selon l’envergure de l’aile).

172


A

B

Fig. 7.19 – Iso-contours représentant l’évolution spatio-temporelle des variables d’état le long de deuxlignes transversales repérées par les points A (a-e) et B (f-j). Le tracé débute après 20 périodes del’instabilité de von Kármán. Les unités des grandeurs physiques sont les mêmes que sur la figure 6.2.

173


x3/c

u3

(m/s

)

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15(a)

x3/c

Am

plitu

de

(m/s

)

0 1 2 3 40

5

10

15

20

(b)

x3/c

Pha

se(r

ad)

0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

PhaseTendance

(c)

x3/c

u3

(m/s

)

0 1 2 3 4

-15

-10

-5

0

5

10

15

(d)

x3/c

Am

plitu

de

(m/s

)

0 1 2 3 40

5

10

15

20

(e)

x3/c

Pha

se(r

ad)

0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

PhaseTendance

(f)Modulation de phase

Fig. 7.20 – Analyse des signaux instantanés de vitesse transversale obtenus aux instants t = 0.1s (a-c)et t = 0.74s (d-f) le long de l’envergure de l’aile (point A sur la figure 7.19) par transformée de Hilbert :(a) et (d) signaux instantanés, (b) et (e) amplitudes, (c) et (f) phases instantanées.

Modèle auto-régressif pour l’estimation de la densité spectrale de puissance

Deux approches distinctes sont mises en œuvre pour l’analyse spectrale des intermittences spatio-temporelles de l’instabilité secondaire. D’une part, la méthode du périodogramme est utilisée pour l’esti-mation des spectres de puissance de signaux tels que ceux présentés sur la figure 7.20. D’autre part, uneanalyse fréquentielle locale est proposée grâce à une approche paramétrique. Cette analyse est illustréesur les figures 7.12(b) et (c) qui montrent l’évolution de la fréquence spatiale prédominante en chaquepoint de l’envergure de l’aile. Pour cela un modèle Auto-Régressif (AR) de la forme générique suivanteest utilisé, pour l’approximation d’un signal discret s au point n :

s (n) =p∑j=1

cjs (n− j) +B (n) , (7.10)

où B est un bruit blanc discret stationnaire et les cj sont des coefficients constants, les paramètres dumodèle, à déterminer. Dans cette étude un modèle AR d’ordre quatre est utilisé (p = 4). De nombreusesméthodes existent pour la détermination des coefficients des modèles AR. L’algorithme récursif de Burgest ici utilisé (Morettin, 1984, par exemple). Le modèle AR étant défini, une estimation de la densitéspectrale de puissance du signal s est alors obtenue ainsi :

P (κ) ≈ σ2

|1 +p∑j=1

cjeiκj |2, (7.11)

174


où σ2 désigne la variance du bruit B. L’avantage de cette approche paramétrique par rapport à laméthode du périodogramme est la possibilité d’effectuer des analyses à court terme, dans le cas présent,en considérant une fenêtre glissante correspondant environ à 1/5 de l’envergure de l’aile, ce qui sembleimpossible en utilisant la transformée de Fourier qui nécessite des échantillons longs. Par contre, le choixdu degré du modèle AR ainsi que la dépendance forte vis-à-vis de la taille de la fenêtre d’étude en font uneméthode délicate à mettre en œuvre a priori, sans estimation des fréquences prédominantes du phénomèneétudié. Comme le montre le tracé des maxima successifs de la densité spectrale de puissance sur les figures7.12(b) et (c), cette approche permet une quantification précise de la modulation de phase des signauxqui peut-être comparée aux résultats obtenus par la transformée de Hilbert (figure 7.20 (c) et (f)). Lesalgorithmes classiquement utilisés pour l’estimation des paramètres des modèles AR sont détaillés dansMarple (1987), par exemple.

3.7 Robustesse de la base POD vis-à-vis des évènements raresL’écoulement tridimensionnel étudié présente une forte composante périodique liée à l’instabilité de

von Kármán. Néanmoins, en raison de l’apparition d’intermittences dans l’ondulation transversale desstructures contra-rotatives propres à cette instabilité, des structures irrégulières et la formation de “trous”5sont observées dans le sillage. L’analyse précédente a montré que ces irrégularités pouvaient être capturéespar les modes POD comme l’illustre la figure 7.14.

Dans ce contexte, quelle est la pertinence d’une base POD construite à partir de réalisations collectéessur un horizon temporel donné pour la représentation de l’écoulement au-delà de cet intervalle ? Uneillustration de la dépendance des modes POD vis-à-vis des données utilisées pour les générer est proposéesur la figure 7.21.

Mode

Info

rmat

ion

rela

tive

cum

ulée

(%)

5 10 15 20 25 3020

30

40

50

60

70

80

90

100

2D

3D

(a)

3D - 99.1%2D - 99.9%

Mode

Info

rmat

ion

rela

tive

cum

ulée

(%)

5 10 15 20 25 3020

30

40

50

60

70

80

90

100

2D

3D

(b)

3D - 67.7%

2D - 99.9%

Fig. 7.21 – Information statistique capturée par la base POD tronquée en fonction du nombre de modes(a) sur l’horizon temporel des clichés, (b) au cours de la période de l’instabilité de von Kármán suivante,dans les cas bidimensionnel et tridimensionnel.

Sur ces diagrammes sont représentés les informations statistiques capturées par des bases POD tron-quées sur l’intervalle de collecte des clichés (a) et au-delà (b), dans les cas bi- et tridimensionnel. Leproduit scalaire consistant fondé sur une normalisation par la moyenne de la variance statistique estutilisé ; l’énergie relative capturée par les Npod premiers modes s’exprime donc comme suit :

INpod =1Td

Npod∑i=1

∫ T

0

(v − v,Φi)2dt. (7.12)

Dans le cas bidimensionnel strictement périodique, la base POD construite sur un intervalle temporeldonné parvient parfaitement à extraire l’information statistique de nouveaux clichés, sans perte d’ef-ficacité. Dans le cas tridimensionnel, plus chaotique, une chute de la représentativité de la base PODd’environ 30% est observée. Ce phénomène a également été mis en évidence par Buffoni et al. (2006) pour

5Il s’agit ici de régions du sillage où les composantes longitudinale et verticale de la vorticité s’annulent sur une portionde l’envergure de l’aile (figure 7.11(a)).

175


une autre configuration tridimensionnelle. Même si l’information capturée par les deux premiers modesdiminue peu en raison de la quasi-périodicité de l’instabilité de von Kármán dont ils sont représentatifs,une perte globale est observée, quel que soit le nombre de modes retenus. Autrement dit, la base POD neconstitue pas une base complète des nouveaux clichés. Une telle chute de la représentativité des modesPOD rend-elle la base correspondante obsolète ? Il s’agit d’un point délicat car les évènements rares non-représentés par la base POD originale peuvent à la fois correspondre à de petites fluctuations chaotiquesdans la base de données qui n’ont pas véritablement de sens du point de vue de la dynamique globalede l’écoulement, mais aussi à des intermittences de plus grande ampleur traduisant simplement son ca-ractère non-périodique. Afin de distinguer les évènements erratiques significatifs des petites fluctuationschaotiques dans la base de données, des stratégies de filtrage a priori des clichés pourraient par exempleêtre mises en œuvre. Par ailleurs, dans le cas où la diminution de la représentativité de la base PODest liée à une évolution du champ moyen6, des modes correctifs tels que les shift modes proposés parNoack et al. (2003) peuvent être ajoutés arbitrairement à la base POD tronquée. Ce point sera abordéau chapitre suivant.

4 Modèle réduit d’écoulements turbulents

Les écoulements considérés jusqu’à présent dans cette étude sont laminaires ou transitionnels. Ilscorrespondent à des configurations où le nombre de Reynolds reste modéré. Afin d’envisager l’approchePOD-Galerkin comme une étape de la modélisation hiérarchique d’écoulements aérodynamiques réalisteset significatifs d’un point de vue applicatif, il apparaît important de considérer le cas des écoulementsà grands nombres de Reynolds. L’objectif est ici d’appliquer la méthode de réduction de modèle pré-cédemment décrite aux écoulements turbulents simulés par les approches statistiques telles que cellesprésentées au chapitre 4 de ce mémoire et en particulier l’approche Organised Eddy Simulation aniso-trope (§ 4 du chapitre 4). Dans ce contexte, les équations de Navier-Stokes en moyenne7 couplées à unmodèle de turbulence constituent le modèle “haute-fidélité” et le passage au système dynamique par laméthode POD-Galerkin représente un second niveau de modélisation. Dans cette section, un bref tourd’horizon de différents travaux rapportés dans la littérature concernant la modélisation POD-Galerkind’écoulements turbulents est proposé. Par la suite, cette méthode est appliquée au cas d’un écoulementturbulent fortement décollé autour d’un profil d’aile simulé via l’approche OES anisotrope développéeprécédemment.

4.1 Modèles POD-Galerkin d’écoulements turbulents dans la littérature

La méthodologie POD-Galerkin a été appliquée à la modélisation d’écoulements turbulents sur labase de données expérimentales et de simulations numériques diverses. Bien que la présente étude soitconsacrée à la simulation numérique d’écoulements, les approches d’ordre réduit mises en œuvre dansle contexte expérimental, notamment les fermetures des POD ROM pour la prise en compte des modestronqués, semblent intéressantes car éventuellement transposables au cas de la prédiction numérique.

Ecoulements turbulents expérimentaux

L’approche POD-Galerkin a été utilisée pour la représentation d’écoulements turbulents sous formede systèmes dynamiques de petites dimensions à partir de bases de données expérimentales. Ainsi, Aubryet al. (1988) proposent un modèle d’ordre réduit de couche limite turbulente incompressible mettant enjeu des fonctions propres obtenues expérimentalement. Le modèle physique original est le système deséquations de Navier-Stokes. L’effet des modes POD négligés après troncature est introduit dans le systèmevia une viscosité de turbulence. Cette méthode de fermeture est proche du modèle de Smagorinsky utiliséen simulation aux grandes échelles et suppose que le seul effet induit par les interactions avec les modestronqués est dissipatif. Bien que la modélisation proposée pour le tenseur des contraintes des modes nonrésolus comprenne une constante arbitraire à ajuster, les résultats issus de ce modèle réduit conduisentà une description efficace de la dynamique de l’écoulement expérimental. Le même type de fermeture estmise en œuvre par Ukeiley et al. (2001) pour l’étude expérimentale d’une couche de mélange turbulente.

6Les processus considérés ne sont alors plus stationnaires d’un point de vue statistique.7D’ensemble ou de phase pour l’approche OES.

176

4. Modèle réduit d’écoulements turbulents

Plus récemment, Samimy et al. (2007) utilisent la formulation suggérée par Rowley et al. (2004) pourdévelopper un modèle d’ordre réduit représentatif d’un écoulement de cavité contrôlé pour des nombres deMach et Reynolds égaux à 0.3 et 105 respectivement. Les données expérimentales considérées sont issuesde vélocimétrie par imagerie de particules. Dans ce cas également, l’effet de la troncature des modes estpris en compte par une viscosité de turbulence additionnelle8.

Il apparaît ainsi que l’application de l’approche POD-Galerkin aux écoulements expérimentaux dansle cas turbulent diffère peu du cas laminaire, des termes dissipatifs additionnels étant dans tous les casintroduits pour pallier l’instabilité naturelle de cette approche.

Ecoulements turbulents simulés numériquement

Dans le cas d’un écoulement turbulent de marche descendante prédit par simulation aux grandeséchelles, Couplet et al. (2005) suggèrent de considérer comme modèle “haute-fidélité” les équations deNavier-Stokes classiques (non moyennées) et de corriger l’erreur commise en ne tenant pas compte descontraintes de sous-maille a posteriori par une procédure de calibration décrite au chapitre précédent.Un point important de l’analyse proposée par Couplet et al. (2005) est que l’effet lié à la troncature dela base POD dans un cas où la dynamique de l’écoulement s’avère relativement complexe, est bien plusimportant que celui lié à la non prise en compte du tenseur des contraintes de sous-maille.

Concernant les écoulements simulés par des approches statistiques, un modèle réduit de l’écoulementturbulent bidimensionnel autour d’un cylindre de section carrée est présenté par Iollo et al. (2000). Lesystème des équations de Navier-Stokes en moyenne de Reynolds (URANS) fermé grâce à un modèle àdeux équations de type k− ε est considéré pour générer les réalisations de référence. Le modèle physiqueconsidéré pour la construction du modèle réduit est le système des équations de Navier-Stokes commedans le cas précédent. L’instabilité du ROM ainsi développé est alors contrôlée par l’ajout de dissipationsnumériques9.

Dans ce contexte, il semblerait judicieux de considérer comme modèle physique de référence le sys-tème complet, couplant les équations de Navier-Stokes en moyenne à la fermeture turbulente mise enœuvre pour générer la base de données. Une telle approche est suggérée par Vigo (2000) pour le modèlede turbulence à une équation de transport de Spalart & Allmaras (1992). Une première étape consisteà générer une base POD propre aux quantités turbulentes à transporter dans le vecteur d’état, puis àeffectuer la projection de Galerkin des équations de transport associées à ce vecteur d’état. La principaledifficulté est alors de trouver une formulation des variables turbulentes conduisant à un flux polynomial.Une telle formulation ne pouvant être obtenue pour le modèle de Spalart & Allmaras (1992), Vigo (2000)propose de considérer la viscosité de turbulence moyenne ; cette approximation semble satisfaisante sanspour autant conduire à un ROM stable.

Par ailleurs, Noack et al. (2008) proposent d’aborder le problème de la fermeture du ROM directe-ment dans l’espace des phases et non en projetant un modèle de turbulence donné sur la base modale.Cette approche, dénommée Finite-Time Thermodynamics (FTT), se fonde sur des principes thermody-namiques simples pour élaborer un modèle réduit dit de “Galerkin-Reynolds”. Ce modèle réduit conduit àla prédiction des coefficients temporels moyens10 et à l’estimation du “niveau d’énergie” de chaque mode〈(a′i)2〉/2. Cette méthodologie semble pouvoir être appliquée à la réduction de modèle pour des écoule-ments turbulents simulés par DNS ou LES. Elle apparaît particulièrement prometteuse pour la prise encompte de l’effet des modes non résolus dans le ROM, mais aussi pour le développement de modèles defermeture dans l’espace physique.

Au cours de la présente étude, une stratégie de modélisation statistique avancée de la turbulence aété développée dans le contexte de l’approche Organised Eddy Simulation pour l’amélioration de la pré-diction des propriétés structurales de la turbulence dans les régions hors-équilibre. Cette méthodologiese fonde sur un modèle de turbulence à deux équations auquel sont adjointes des équations de transportsupplémentaires pour la capture des non-linéarités entre contraintes turbulentes et tenseur des déforma-tions moyennes. Il ne semble pas envisageable d’obtenir une formulation polynomiale de ce modèle de

8Dans cette étude une viscosité de turbulence différente est attribuée à chaque mode en suivant les conclusions de Coupletet al. (2003)

9Iollo et al. (2000) montrent également que l’utilisation d’un produit scalaire dans H1 conduit à des modèles POD-Galerkin plus stables dans les cas laminaire et turbulent.

10Moyennes d’ensemble, de phase, . . .

177


turbulence, autorisant une projection de Galerkin simple. Par ailleurs, en tenant compte des remarquesprécédentes concernant le poids relatif des erreurs liées à la troncature de la base POD et à l’utilisation deséquations de Navier-Stokes originales, une telle modification du modèle réduit ne semble pas réellementjustifiée. Dans la suite de cette étude, l’approche POD-Galerkin précédemment décrite est utilisée pourla modélisation d’ordre réduit de l’écoulement turbulent autour d’un profil d’aile à forte incidence simulépar approche statistique. L’erreur commise en négligeant la viscosité de turbulence dans la constructiondu modèle réduit sera donc corrigée a posteriori par une procédure de calibration.

4.2 Ecoulement turbulent modélisé par une approche statistique

Un modèle d’ordre réduit de l’écoulement bidimensionnel autour d’un profil d’aile de type NACA0012à 20o d’incidence pour des nombres de Reynolds et Mach égaux respectivement à 105 et 0.18 est déve-loppé. Les données HF nécessaires à la construction du ROM sont issues d’une simulation effectuée grâceau code NSMB. L’approche de modélisation de la turbulence mise en œuvre est le modèle OES aniso-trope précédemment décrit. Pour contruire le modèle réduit POD-Galerkin de cet écoulement, Nt = 100réalisations successives sont stockées régulièrement (∆t = 0.0182,11). Le vecteur d’état est le même queprécédemment. Le produit scalaire considéré dans cette étude est le produit scalaire multi-dimensionnelconsistant fondé sur une normalisation par la variance statistique moyenne.

Les contributions propres de chaque mode POD à la capture de l’information statistique de la basede données sont représentées sur la figure 7.22. Comme cela a déjà été décrit, cet écoulement se caracté-rise par une instationnarité quasi-périodique induite par l’instabilité de von Kármán. Par conséquent lespectre proposé sur la figure 7.22 est très proche de celui obtenu dans le cas de l’écoulement laminairebidimensionnel autour du profil d’aile en incidence (figure 7.13). De même que dans le cas laminaire,l’essentiel de l’information statistique est capturé par les deux premiers modes de la POD et la décrois-sance des valeurs propres est rapide. Pour l’application considérée, Npod = 10 modes sont retenus soitINpod = 99.99% de l’information statistique.

Mode

Info

rmat

ion

rela

tive

Info

rmat

ion

rela

tive

cum

ulée

(%)

5 10 15 20 25 30

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

40

50

60

70

80

90

100

Information relative

Information relative cumulée

Base PODtronquée

10 modes - 99.99%

Fig. 7.22 – Contribution relative de chaque mode POD à l’extraction de l’information statistique dela base de données (axe de gauche - traits pleins) et information statistique cumulée de la base PODtronquée en fonction du nombre de modes retenus (axe de droite - traits pointillés) pour l’écoulementturbulent autour d’un profil de type NACA0012 à 20o d’incidence.

11Dans cette section, la variable temporelle considérée est adimensionnée par la vitesse à l’infini amont et la longueur dela corde du profil d’aile.

178

4. Modèle réduit d’écoulements turbulents

Les premiers modes POD impairs associés à la pression et à la composante verticale de la vitesse sontreprésentés sur la figure 7.23. Les deux premiers modes décrivent précisément l’échappement tourbillon-naire et le caractère quasi-périodique de l’écoulement se traduit par des coefficients temporels sinusoïdauxdéphasés de π/2 par paire (figure 7.24).

Mode 1 - p

Mode 3 - p

Mode 5 - p

Mode 7 - p

Mode 1 - u2

Mode 3 - u2

Mode 5 - u2

Mode 7 - u2

Fig. 7.23 – Premiers modes POD impairs associés à la pression et à la composante verticale de la vitesse.Les lignes pointillées représentent les valeurs négatives.

Un modèle réduit est dérivé en considérant les équations de Navier-Stokes compressibles commemodèle HF à projeter sur les modes POD. L’intégration du système dynamique ainsi obtenu conduit auxcoefficients temporels représentés en rouge sur la figure 7.24 à gauche. Comme dans le cas laminaire, unedérive en amplitude significative est observée, plus particulièrement pour les modes au-delà de la premièrepaire. Le fait que le modèle réduit soit construit sur les équations de Navier-Stokes non moyennées dans cecontexte turbulent ne semble pas conduire à un comportement qualitativement différent du cas laminairequant à l’instabilité du modèle réduit. Les dynamiques des modes POD prédites par le modèle réduitcalibré sont présentées sur la figure 7.24 à droite. L’approche mise en œuvre ici est la calibration portantsur le vecteur d’état.

179


Temps

a1/la

mbd

a1^1

/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps

a1/la

mbd

a1^1

/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps

a3/la

mb

da3

^1/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-2

-1

0

1

2

3

Temps

a5/la

mbd

a5^1

/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000-3

-2

-1

0

1

2

Temps

a7/la

mb

da7

^1/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-2

-1

0

1

Temps

a3/la

mb

da3

^1/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps

a5/la

mbd

a5^1

/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps

a7/la

mb

da7

^1/2

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 7.24 – Coefficients temporels associés aux premiers modes POD impairs en fonction du temps :prédiction par le ROM (lignes rouges) et référence (), pour les ROM non calibré (gauche) et calibré parla méthode de Floquet (droite).

Les coefficients temporels sont rigoureusement estimés par le ROM calibré comme en attestent lesvaleurs instantanées de l’erreur relative de prédiction sur la figure 7.25. Le modèle POD-Galerkin ainsiobtenu s’avère par conséquent apte à prédire les différentes grandeurs physiques d’intérêt et en particulierles coefficients aérodynamiques instationnaires comme dans le cas laminaire, sur l’horizon temporel de labase de données et au-delà, étant donné le caractère quasi-périodique de l’écoulement.

Cet exemple d’application montre que la méthodologie développée dans cette étude est adaptée au casd’écoulements turbulents simulés par approches statistiques même si les équations associées aux quantitésturbulentes ne sont pas prises en compte dans le ROM en raison des difficultés liées à l’obtention d’uneformulation polynomiale dans ce contexte.

Remarque 1 : Dans des cas où le fait de négliger la viscosité de turbulence dans le ROM ne serait pas

180

5. Pertinence de l’approche POD-Galerkin pour la modélisation d’écoulements réalistes

Temps

Erre

urre

lativ

ein

stan

tané

e(%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

10

20

304050

PODROMROM - Calibré

Fig. 7.25 – Erreur relative instantanée de prédiction des variables d’état par les ROM calibré et noncalibré et erreur d’approximation liée à la troncature de la base POD en fonction du temps.

acceptable, une représentation (non optimale) de ce terme pourrait être définie comme suit :

µt (x, t) ≈ µt (x) +Npod∑i=1

ai (t) Φµti (x) , (7.13)

où les modes spatiaux Φµti sont obtenus par projection des champs instantanés de viscosité de turbulencecentrés, sur les coefficients temporels arefi associés à la projection des vecteurs d’état de référence sur labase POD correspondante :

Φµti =1λiT

∫ T

0

(µt − µt) arefi dt. (7.14)

Cette approche revient à considérer la viscosité de turbulence comme une variable supplémentaire décritea posteriori dans l’espace de représentation optimal du vecteur d’état classique. Elle présente l’avantagethéorique d’être plus proche du modèle physique utilisé pour générer les données HF. Outre la nécessitéde stocker des champs supplémentaires associés à la viscosité turbulente, l’inconvénient majeur d’unetelle approche est le surcoût numérique engendré par le fait que le ROM obtenu est cubique, augmentantconsidérablement le nombre de coefficients constants à évaluer.

Remarque 2 : L’approche décrite dans la Remarque 1 pourrait également être utilisée pour représenterla viscosité du fluide, supposée constante dans le ROM quadratique12.

5 Pertinence de l’approche POD-Galerkin pour la modélisationd’écoulements réalistes

Dans ce chapitre, des modèles réduits d’écoulements de complexités physiques diverses ont été déve-loppés via la méthodologie POD-Galerkin. En premier lieu, la capacité de la décomposition aux valeurspropres à capturer efficacement les dynamiques prédominantes d’écoulements non strictement périodiquesa été examinée. Pour les cas considérés dans la présente étude il apparaît que la POD permet une identi-fication efficace des différentes instationnarités mises en jeu, qu’il s’agisse de la superposition du phéno-mène de tremblement à l’instabilité de von Kármán en régime transsonique ou de l’instabilité secondaireconduisant à une ondulation transversale des tourbillons de von Kármán dans l’écoulement tridimen-sionnel autour d’une aile à forte incidence. Il est important de noter que les écoulements ici considérésprésentent néanmoins un fort caractère périodique. Du point de vue spatial, la POD s’est avérée apte àcapturer les irrégularités apparaissant dans le sillage tridimensionnel d’une aile en incidence et caractéri-sant des intermittences de l’instabilité secondaire. Pour cela un plus grand nombre de modes a été retenu.

12Dans le cas d’écoulements compressibles, la viscosité est supposée dépendre non-linéairement de la température locale,via la loi de Sutherland, par exemple.

181


Ce nombre reste cependant faible, ce qui autorise une représentation d’ordre réduit. Une analyse critiquede la pertinence d’une base POD construite sur un intervalle temporel donné pour la capture des dyna-miques prédominantes de l’écoulement au-delà de cet horizon a été menée. Elle montre que l’apparitiond’évènements rares ou de fluctuations chaotiques dans l’écoulement peut diminuer considérablement lareprésentativité de la base POD et que des stratégies de filtrage des données a priori ou d’enrichissementdoivent être envisagées. Ce point sera abordé au chapitre suivant. Les systèmes dynamiques d’ordre faibleconstruits à partir de ces bases POD ont conduit à des prédictions efficaces des écoulements d’intérêt. Unegrande précision a pu être atteinte grâce au procédé de calibration a posteriori : de même que dans le casstrictement périodique présenté au chapitre précédent, il semble possible de réduire l’erreur de prédictionliée aux imprécisions du ROM de telle sorte que l’erreur de prédiction des variables d’état soit pour unegrande part due à la troncature de la base POD.

Enfin, la modélisation d’ordre faible d’un écoulement turbulent autour d’un profil d’aile à forte inci-dence modélisé par une approche statistique a été envisagée. Une application directe de la méthodologiePOD-Galerkin fondée sur les équations de Navier-Stokes compressibles et non sur les équations moyen-nées incluant une viscosité de turbulence conduit à des résultats similaires au cas laminaire quant à laprécision de la prédiction des coefficients temporels de la POD. Il semble ainsi que l’effet du modèle deturbulence via la viscosité de turbulence additionnelle soit essentiellement inclus dans la topologie desmodes POD et ne nécessite pas forcément l’introduction d’une fermeture spécifique au niveau du ROM.Il est rappelé que l’instabilité du modèle réduit ici observée dans le cas turbulent a déjà été mise enévidence dans le cas laminaire et qu’elle n’est donc pas majoritairement due à la non prise en compte dumodèle de turbulence dans le ROM. De plus, une stratégie de représentation non optimale de la viscositéde turbulence a été proposée.

L’efficacité de l’approche POD-Galerkin a jusqu’alors été examinée dans les configurations de référenceassociées aux bases de données utilisées pour construire les modes POD et pour ajuster les ROM parcalibration. Dans l’optique d’une utilisation d’une telle méthode de modélisation d’ordre réduit au seinde processus itératifs d’optimisation ou de contrôle, il est nécessaire d’évaluer les capacités prédictivesdu ROM pour des configurations voisines mais différentes de celles considérées pour la constitution desbases de données de référence. La robustesse des modèles réduits POD-Galerkin vis-à-vis de variationsparamétriques de la configuration de l’écoulement étudié fait l’objet du chapitre 8.

182

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