Calcul Vectoriel - TD1 Corrections

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Sciences Industrielles

TD - Corrigs Calcul vectoriel

TD Corrig : outils utiles en mcanique EXERCICE 1:

WV et tant deux vecteurs connus non nuls , existe-t-il un vecteur

X tel que :

WXV =

on en conclut :

X doit tre non nul,

WV et doivent tre orthogonaux et

WX et aussi par proprit du produit vectoriel..

Si il existe une solution

X , alors tout vecteur de la forme VX + sera aussi solution.

En multipliant vectoriellement par V la relation

WXV = , on obtient :

WVXVVVXVWVXVV = ).(- ).(bien ou =)(

o ).(

XV est rel Si on cherche la solution particulire

0X ( = 0) orthogonale V , on obtient :

VWVXWVX

VV+-=et -= 220

EXERCICE 2 : le rsultats est 0 rel. Puisque 0)31.(3 =VVV

rrr

EXERCICE 3 : 3-1 : Lautomoment du torseur T : 0.M =

S(A) donc le torseur T un torseur de type glisseur et sur tous les points de laxe dun torseur Glisseur le moment est nul. 3-2 :

zyxA

Trrr ,, ,1

3

3

3

2

1

= et

SBA(A)(B) +=MM dou le calcul : 3

6

3

3

2

1

0

0

1

1

3

3

=M

=

+

RRRR

(B)

do le torseur en B :

zyxA

Trrr ,, ,3

6

3

3

2

1

=

Remarque : lautomoment du torseur est toujours gal 0. Normal, puisque lautomoment est un invariant scalaire du champs antisymtrique reprsent par le torseur T. 3-3 :

SAI(I)(A) +=MM dou le calcul : 3

2

1

0

0

0

1

3

3

Rz

y

x

RRR

+=

x,y,z sont les coordonnes de I dans le

repre ),,,( zyxAR rrr .




do le systme dquations

215423

215423

12

33

323

R

AI

z

y

x

yx

xz

zy

=

=

=

=

=

=

=

ou

3

1

0

3

1

0

12

323

1

R

AI

z

y

x

yx

zy

=

=

=

=

=

=

3-4 : soit lquation vectorielle de laxe du torseur T montre dans le cours

S + (A)S=AJS

2Mv

r

avec Rel

o J est un point de laxe central de T.

142=Sr

et

9

8

11

1

3

3

3

2

1

M

=

=

RRR

(A)Sr

3149

274

1411

+=

+=

+=

=

J

J

J

z

y

x

R

AJ

Pour 285714,2= I = J

EXERCICE 4 : 4-1 :

111 ,, ,0

0

0

0

0

zyxA

Trrr

=

et

SBA(A)(B) +=MM dou le calcul : 0

.

0

0

0

0

0

0

0

0

=

1111

M

r

RR

r

RR

(B) =

+

do le torseur en B :

111 ,, ,0

.

0

0

0

zyxB

rTrrr

=

4-2 : Lautomoment du torseur T : 0.M =

S(A) donc le torseur T un torseur de type glisseur et sur

tous les points de laxe dun torseur Glisseur le moment est nul. 0M r=

(A) donc le point A appartient




laxe central de T. Donc comme laxe central passe par A et est colinaire S , laxe central de T est

la droit affine ),(

SA 4-3 : En considrant que est un angle en radian dfini comme ),( 1xx

rr= et posant dt

d= (constant dans le temps) en radian par seconde, le torseur T modlise un mouvement de rotation dun solide S1 autour de laxe ),( 1zzA

rr= fixe par rapport un solide S0.

La reprsentation graphique normalise de cette cinmatique (ou mouvement sans se proccuper des causes qui le provoque) est reprsent ci-dessous.

z1=z

S1

S0

A

La liaison entre les deux solides S0 et S1 dfinie par une telle cinmatique est appele LIAISON PIVOT daxe ),( 1zzA

rr= .

Il est possible de paramtrer cette liaison par un angle ),( 1xxrr

= . Pour ce faire on associe comme reprsent ci-dessous : Un repre affine ),,( zyxR rrr au solide S0 Un repre affine )1,1,1(1 zyxR rrr au solide S1

La gomtrie est dfinie par le vecteur 1.xrAMr

=

x

y

z

x1

y1

z1

A

M

Pour modliser vectoriellement la cinmatique (rotation autour dun axe) de cette liaison pivot daxe

),( 1zzArr

= , le torseur T note

111 ,, ,0

0

0

0

0

0/1zyxA

T SSVrrr

==




En transportant ce torseur en M, on obtient

M

V

zyxM

r SSMSSSSV

=

= 0/10/1

111

,, ,0

.

0

0

0

0/1rr

rrr

EXERCICE 1:EXERCICE 2 :EXERCICE 3 :EXERCICE 4 :

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