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【例1】 如图， AB AE= ， ABC AED∠ =∠ ， BC ED= ，点 F 是CD的中点．求证： AF CD⊥ ．

【答案】连结 AC、 AD．

∵ AB AE= ， ABC AED∠ =∠ ， BC ED= ∴ ABC AEDΔ Δ≌ ，∴ AC AD= 又∵ F 为CD的中点， ∴ AF BE⊥ ．（三线合一）

【例2】 如图，在等腰 ABCΔ 中，AB AC= ，D是 BC的中点，过 A作 AE DE⊥ ，AF DF⊥ ，且 AE AF= ．求证： EDB FDC∠ =∠ ．

F

E

DC

B

A

A

B

C F D

E

全等三角形——轴对称  

               

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【答案】连结 AD，则 AD BC⊥ ．（三线合一）

∵ AE AF= ， AD AD= ，∴Rt RtAED AFDΔ Δ≌ ∴ ADE ADF∠ =∠ ，∴ EDB FDC∠ =∠ ．

【例3】 已知：在 中， ， ，求证： ．

【答案】方法一：在 上取一点 ，使 ，如图 1，

在 和 中， ， ， ．

∴ ．∴ ， ．

又∵

∴ ，∴

∴ ．

方法二：延长 到点 ，使 ，如图 2，

D

FE

CB

A

DB C

F

A

E

ABCΔ AB CD BD= − AD BC⊥ 2B C∠ = ∠

D CB

A

DC E BD DE=

图1E

A

B CD

ABDΔ AEDΔ AD BC⊥ BD ED= AD AD=ABD AEDΔ Δ≌ AB AE= B AED∠ =∠AE AB CD BD CD DE EC= = − = − =C EAC∠ =∠ 2C EAC AED C∠ +∠ =∠ = ∠

2B C∠ = ∠DB E BE AB=

               

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∴ ．

∵ ，∴ ．

在 和 中， ， ， ．

∴ ．∴ ． ∴ ．

【例4】 已知等腰直角 ABCΔ 中， 90BAC∠ = °，BD是角平分线，CE BD⊥ ，交 BD延长线于点 E．求证：2BD CE= ．

【答案】延长CE、 BA交于点 F ．因为 90BAC∠ = °，CE BE⊥ ，所以 F∠ + 90ACF∠ = °，

90F ABD∠ +∠ = °，所以 ABD ACF∠ =∠ ．因为等腰直角 ABCΔ 中， AB AC= ，且 90BAD CAF∠ =∠ = °，所以 ABD ACFΔ Δ≌ ，所以 BD CF= ．

因为 BD是角平分线，且 90BEC BEF∠ =∠ = °，BE 是公共边，所以 BCE BFEΔ Δ≌ ．所以CE FE= ，即 2BD CE= ．

【例5】 如图所示． 90A∠ = °，AB AC= ，M 是 AC边的中点，AD BM⊥ 交 BC于 D，交 BM 于 E．求证：AMB DMC∠ =∠ ．

【解析】延长 AD，过点C作 AC的垂线交 AD的延长线于点 F ，故 ABM CAF≌△ △ ， CMD CFD≌△ △ ，

所以 AMB AFC DMC∠ =∠ =∠

图2

E

A

BC

D

E EAB∠ =∠AB CD BD= − ED CD=AEDΔ ACDΔ AD BC⊥ ED CD= AD AD=AED ACDΔ Δ≌ E C∠ =∠

2B C∠ = ∠

AE

C

D

B

A

F

E

C

D

B

ME

D CB

A

F

ME

DCB

A