Electrotechnique lectromagntisme Michel Piou Chapitre 1 Elments dlectromagntisme dition 21/05/2010 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table des matires 1.POURQUOI ET COMMENT ?......................................................................................................... 1 2.INDUCTION MAGNETIQUE ET FLUX D'INDUCTION MAGNETIQUE. ................................................ 2 2.1Induction magntique..................................................................................................... 2 2.2Loi de Biot et Savart dans le vide ou l'air. ..................................................................... 4 2.3Flux d'induction ( travers une surface). ........................................................................ 6 2.4Conventions d'orientation............................................................................................... 9 3.FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE (LOI DE FARADAY). ........................................................... 10 3.1Loi de Faraday:............................................................................................................. 10 3.2f.e.m. dans un bobinage de N spires:............................................................................ 11 3.3Diffrence de potentiel aux bornes dune bobine: ....................................................... 12 3.4Exercice dapplication:................................................................................................. 12 3.5Loi de Lenz................................................................................................................... 13 3.6Exprience du rail de Laplace: ..................................................................................... 13 4.CE QUE JAI RETENU DE CE CHAPITRE...................................................................................... 15 5.PROBLEMES ET EXERCICES. ..................................................................................................... 17 Chap 1. Exercice 1 :Rail de Laplace et conversion de lnergie. ................................... 17 Chap 1. Exercice 2 :Principe d'un alternateur triphas................................................... 18 6.REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS..................................................................................... 19 Copyright : droits et obligations des utilisateurs Ce document est extrait de la ressource MagnElecPro qui est disponible en version numrique sur le site Internet IUT en ligne Jenerenoncepasmaqualitd'auteuretauxdroitsmorauxquis'yrapportentdufaitdela publication de mon document. Lesutilisateurssontautorissfaireunusagenoncommercial,personneloucollectif,dece documentetdelaressourceMagnElecPro,notammentdanslesactivitsd'enseignement,de formationoudeloisirs.Toutoupartiedecetteressourcenedoitpasfairel'objetd'unevente-en tout tat de cause, une copie ne peut pas tre facture un montant suprieur celui de son support. Pourtoutextraitdecedocument,l'utilisateurdoitmaintenirdefaonlisiblelenomdelauteur Michel Piou, la rfrence MagnElecPro et au site Internet IUT en ligne. Michel PIOU - Agrg de gnie lectrique IUT de Nantes - FRANCE MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 1 1.POURQUOI ET COMMENT ? Les phnomnes lectromagntiques jouent un grand rle en lectrotechnique. On les retrouve dans lesmoteurslectriques,lestransformateurs,lescapteursinductifs,lechauffageinductifetla distribution dnergie lectrique (la liste nest pas exhaustive). Enpartantdersultatsexprimentaux,lesloisquilesrgissentonttpeupeuformalisesau cours du XIXem et du XXem sicle. Prrequis : Lesnotionsde courant etde tension (oudiffrencedepotentiel)sontsupposesconnues ainsi que la loi dOhm U = R.I . Objectifs :Notreobjectifnestpasdenousattardersurlaphysiquedeschamps,maisdeprparerltude dapplications concrtes. Nousnouscontenteronsdoncdnoncerquelquesloissansrevenirauxexpriencesetaux mathmatiques dont elles sont issues. A lissue de ce chapitre, les notions de champ dinduction magntiqueBr et de flux, ainsi que la loi de Faraday devront tre connus avec les choix dorientations associs. Mthode de travail : Lesnotionsabordesdanscechapitresontrelativementabstraites,maisellesconditionnentla comprhension des chapitres suivants. Une grande attention devra tre apporte aux questions de la rubrique Cequejairetenudecechapitre .Lesdfinitionsretenirdevronttreconnuespar cur mme si leur comprhension nest pas totale dans un premier temps. Travail en autonomie : Pourpermettreunetudeducoursdefaonautonome,lesrponsesauxquestionsducourssont donnes en fin de document.MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 2 2.INDUCTION MAGNETIQUE ET FLUX D'INDUCTION MAGNETIQUE. 2.1Induction magntique 2.1.1Vecteur induction magntique 2.1.1.1Champ dinduction magntique engendr par un conducteur rectiligne (voir Magnelecpro chapitre 1 vido 1 et Magnelecpro chapitre 1 video2) Une aiguille aimante place proximit dun conducteurchangededirectionlorsquun courant parcourt ce conducteur. I On constate que passage du courant engendre un effet distance.Entoutpointdelenvironnementdu conducteur,ceteffetaunedirectionetun sensmatrialissparlapositionqueprend laiguilles. Cet effet est appel induction magntique. (Ce phnomne a t dcouvert en 1819 par Christian Oersted) Pourvisualiserlinductionmagntiqueauvoisinageduconducteur,ondispersedeminuscules grains de limaille de fer. Sous leffet de vibrations, les grains de limaille sorientent sur des cercles concentriques autour du conducteur parcouru par un courant lectrique. Lesgrainsdeferonttaimants.Ilssecomportentcommedepetitesaiguillesquisenroulent autour du conducteur parcouru par le courant. Onditquelespaceenvironnantleconducteurparcouruparuncourantestsoumisunchamp dinduction magntique. Enchaquepointdel'espace,onexprimelinductionmagntiqueparunvecteurinduction magntique not rB . Ladirectionetlesensduvecteurreprsententladirectionetlesensqueprendraituneaiguille aimante place en ce point. La longueur (ou module) des vecteurs reprsente limportance du phnomne en chaque point. Plus on sloigne du conducteur, plus linduction magntique saffaiblit. I 2.1.1.2Champ dinduction magntique engendr par une spire (voir Magnelecpro chapitre 1 video3) UncourantIquiparcourtunespire conductrice, engendre un effet distance: les aiguillesaimantesplacesdansson voisinage sont dvies. Commepourleconducteurrectiligne,en chaquepointduvoisinagedelaspire,cet MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 3 effetsecaractriseparunevaleur,unedirectionetunsens.Ceteffetestappel:Induction magntique Enchaquepointdel'espace,onexprimelinductionmagntiqueparunvecteurinduction magntique not rB . Sa direction est celle d'une aiguille aimante place en ce point. Sonsensestceluidel'aiguilleaimante(onl'obtient aussiparla"rgledelamaindroite"ou celle de "tire-bouchon"). (1) Son module indique la quantit de l'effet en ce point. Dans le systme d'units internationales, il s'exprime en Tesla. L'unit lgale de l'induction est leTesla (symbole: T). (On trouve aussi parfois une ancienne unit: le Gauss; 1T = 104 gauss). Le vecteur rBcaractrise donc l'effet du magntisme en un point. Il dpend de: la valeur et du sens du courant dans le circuit lectrique la forme de ce circuit et du milieu dans lequel il est plac. (par exemple dans l'air). 2.1.1.3Champ dinduction magntique engendr par une bobine (Une bobine est un ensemble de spires en srie) (voir Magnelecpro chapitre 1 video4 et Magnelecpro chapitre 1 video5) I II Le sens du champ dinduction lintrieur de la bobine est donn par la rgle de la main droite. (1)Rgledelamaindroite:Lesdoigtsdelamaindroitetantplacsdanslesensducourantdanslaspire,lepouce indique le sens du vecteurinduction magntiquerB lintrieur de la spire. Rgledu"tire-bouchon":Siuntire-bouchontournedanslesensducourant,ilprogressedanslesensduvecteur induction magntiquerB lintrieur de la ou des spires. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 4 2.1.2Ligne dinduction et tube dinduction. Pardfinition,une Ligned'induction est une ligne imaginaire telle quen chacun de ses points le vecteur induction magntique lui soit tangent. BBBB B B Deux lignes d'induction ne peuvent pas se croiser, carle vecteur induction ne peut pas avoir deux directionsdiffrentes au mme point Par dfinition,un Tubed'induction est un ensemble de lignes d'inductionsappuyantsuruncontourfermetlimitantainsi une zone de lespace. 2.2Loi de Biot et Savart dans le vide ou l'air. 2.2.1Principe. Unconducteurquelconquepeuttredcomposenunesommedetoutpetitsmorceauxde conducteurs mis bout bout. Lorsquil est parcouru par un courant, chacun de ces petits morceaux engendre en chaque point de lespace qui lenvironne un petit champ dinduction. Enfaisantlasommevectorielledescontributionsdetouslespetitsmorceauxduconducteur,on peutendduirelechampdinductionenunpointengendrparlatotalitduconducteurparcouru par ce courant. Enonc de la loi: Unlmentdeconducteurinfinimentpetit parcouruparuncouranticreenunpoint Mdeson environnement un "champ" d'induction magntique l ddB o i d rorrr= 42.. lr dlirrodBMavec: o = 4.10-7 : permabilit magntique du vide en unit SI. rro: vecteur unitaire. : direction et sens du courant i; et module gal la longueur de l'lment dl.drl Cette loi n'est vrifie que sir est trs grand devant le diamtre du conducteur. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 5 Le symbole est le symbole du "produit vectoriel": On dfinit le produit vectoriel Prde deux vecteurs AretBr (cest direB A Pr r r = ) par: ) sin( . . B A Pr r r= , avec( ) B Ar r, = . direction et sens dePr tels queAr ,Br etPr forment un tridre direct L'induction rBproduite par un circuit lectrique complet est la somme vectorielle desdBrproduits par tous les lments successifs qui constituent ce circuit.lrd 2.2.2Convention de notation: :Flcheperpendiculaireauplandelafeuilleetdirigeverslelecteur(onvoitlapointedela flche). :Flcheperpendiculaireauplandelafeuilleetdirigeverslafeuille(onvoitlaqueuedela flche). 2.2.3Exemple: Induction magntique produite au centre d'une spire circulaire place dans l'air. Dmontrer que :rBIRo= .. 2 . (Rponse 1:) 2.2.4Conclusion:On retiendra seulement que par le calcul ou l'aide de logiciels spcialiss, on peut gnralement dterminer l'induction rBengendre par un circuit en un point M quelconque de son environnement (dans l'air ou le vide). Nous ne nous attarderons pas sur la loi de Biot et Savart dans la suite de ce cours. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 6 2.3Flux d'induction ( travers une surface) Lanotionde"flux"constitueunoutildecalculimportant,carlefluxestdotd'uneproprit remarquable:"laconservation".Ilapparatgalementdanslesformulesservantdterminerles effets du magntisme. Cest une notion un peu abstraite, mais il est important de faire tout de suite leffort de la mmoriser. 2.3.1Flux d'une induction uniforme travers une surface plane: Soit rnun vecteur unitaire normal (2) la surface S (le sens de rnest choisi arbitrairement, il dfinit le sens positif) rBun champ dinduction uniforme (3) dans le voisinage de S.Soit On dfinit le flux du vecteur rB travers la surface S par la relation: =rB S . .cos( ) . C'est un scalaire et non pas un vecteur. (Si on dfinit un vecteur surface par rrS , on peut exprimer le flux par le produit scalaireS n = .S . B r r= ) Le flux est une grandeur algbrique dont le signe dpend de la convention initiale pour rn : LunitlgaledefluxduvecteurinductionmagntiqueestleWeber(symbole Wb) S nrBr0 > SnrBr0 < S nrBrDans la suite de ce cours, le flux du vecteur induction magntique sera simplement dsign par le mot flux . (2) unitaire = module 1 normal = perpendiculaire au plan de la surface (3) uniforme rB est le mme en tout point de ce voisinage MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 7 2.3.2Flux d'un champ d'induction non-uniforme travers une surface non-plane: Champ dinduction magntique. Silevecteurinductionmagntiquenestpaslemmeentoutpointdelespaceconsidr,onest conduit le dcrire avec des mots ou sous la forme dune expression mathmatique (fonction de la position (x,y,z) dans lespace). On parle alors de champ dinduction magntique . Le mot champ signifie description de la grandeur dans une zone considre de lespace ; Flux si rBnest pas uniforme ou si Snest pas plane. Danscecas,ondiviselasurfaceenunesommede surfacesdsinfinimentpetitessurlesquellesonpeut considrer rBuniforme et ds plane. LefluxtotalsurlasurfaceSestlasommedesflux lmentaires d sur toutes les surfaces ds qui constituent S:(4) =d Ilexistemaintenantdeslogicielsspcialisscapablesdedcomposerunesurfaceenunesomme dun grand nombre de surfaces lmentaires, de calculer le flux de rBsur celles-ci et den dduire le flux total sur lensemble de la surface considre. 2.3.3Loi de conservation du flux: On dit que le flux est conservatif. (Cette proprit ne sera pas dmontre dans ce cours). nnnnnnnn Lefluxdunchampdinductionsortantdunesurface ferme est nul. (5) dS . B d = Remarque: La surface ferme considre n'est pas ncessairement une surface matrielle. (C'est une zone de l'espace qu'on limite par une frontire qui peut tre fictive). (4) Complments hors cours mathmatiquement, on crit cela sous forme d'une intgrale de surface: =Sds . B . nrrou =Sds . Br (5) Une surface ferme constitue lenveloppe dun volume. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 8 Application un tube dinduction. BrS1 S2 BrTube dinduction Un morceau de tube d'induction considr entre deux sectionsS1etS2constitueunesurfaceferme.Le fluxsurlasurfacelatraledutubeestnulcar rB est tangentcettesurface(pardfinitiond'uneligne d'inductionetd'untubed'induction).Parconsquentla somme desflux qui sortent par S1 et par S2 est nulle. DonclefluxquientredanslasurfaceparS1est gal au flux qui sort par S2. En gnralisant ce raisonnement, on en dduit que: Le flux d'inductionmagntique est le mme dans n'importe quelle section d'un tube d'induction. Deux exemples de tubes d'induction sont reprsents ci-aprs: Daprslaloi de conservation du flux : 1dans 1S2 =dans 2S3 =dans 3S Dans un chapitre suivant, nous verronsquedansuncircuit magntique,untube dinductionpeutsespareren plusieurs branches. Danslexempleci-contre (circuitmagntiquedun transformateur),lefluxdela colonnecentralesespareen deux. BrS1 S2 BrTube dinduction BrS3 ' ' ' La loi de conservation du flux se traduit donc par' ' ' + = MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 9 2.4Conventions d'orientation. Par la suite, nous allons prciser les relations qui existent entre diffrentes grandeurs: courant,tension,flux...Cesdiffrentesgrandeursontnonseulementunevaleur,maisgalement un sens repr par une orientation associe un signe. Il convient avant toute chose de bien distinguer sens et orientation. Les orientations sont des repres choisis arbitrairement afin de faciliter les calculs ou lexpression dun rsultat: i > 0signifie le courant i va de la gauche vers la droite . i < 0signifie le courant i va de la droite vers la gauche . Orienter une grandeur consiste donc lui associer un repre (souvent une flche) sur un schma. La flche dfinie le sens positif de la grandeur. Dansleparagraphesuivant,nousallonsaborderlanotiondef.e.minduiteengendreparles phnomneslectromagntiques.Cettegrandeursexercedansuncertainsens,etlaloiquila dcrit impose de dfinir au pralable des conventions d'orientation qui lui sont associes. Notre premier objectif est de fixer une rgle permettant d'associer une orientation (un sens positif) tournant sur un contour, une orientation (un sens positif) pour la normale une surface limite par ce contour (6): (c)n(s) Soit une surface (s) de contour (c). Le sens de parcours positif du contour et le sens de la normale rn la surface (s)sont associs par la rgle de la main droite ou la rgle du tire-bouchon: * Les doigts de la main droite indiquent le sens de parcours de (c), et le pouce le sens de rn . * Le tire-bouchon lorsqu'il visse progresse dans le sens de rn . Cettergle,appliqueunespireconductrice,permetdedfinirla convention d'orientation entre le sens de parcours de cette spire et le sens de la normale rn cette spire (qui dtermine le signe du flux traversant cette spire). (6) Cette rgle est un choix arbitraire. Nous avons retenu le choix gnralement pris dans les ouvrages. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 10 Remarque: Uncourantpositif(danslesensduparcours)crelintrieurdelaspireunchampdinduction positif (dans le sens de rn ). n* Lafigureci-contremontrel'ensembledesorientationschoisiesdemanire cohrente entre-elles. Pourfaciliterl'applicationdecesconventions(enparticulierpourl'tudedes transformateursquiseraprsenteparlasuite),onmatrialiseparunrepredepolarit * labornechoisiecommeborneentrante(oubornedepolarit)delaspire. (Choisirlaborne * revientchoisirl'orientationdelaspireetdesanormale positive). Lafigureci-contreprsentelesecondensembled'orientationscohrentesentre elles. Lechoixentrelesdeuxfaonsd'orienterlaspireetsanormaleestapriori arbitraire. n* Onpeutremarquerquelanormaleauplandelaspireesttoujoursorientedanslesensde l'induction qu'engendrerait l'intrieur de cette spire un courant entrant par la borne * . 3.FORCE ELECTROMOTRICE INDUITE (LOI DE FARADAY). 3.1Loi de Faraday: e *n Toutevariationdufluxdansunespire(7)engendredanscelle-ciunef.e.m. (induite) dexpression: ( )e t ( )d tdt( )= dans le sens de l'orientation. (La flche de e part du point * pour aller vers l'autre extrmit de la spire) Cette relation sera admise sans dmonstration. (7)Laspireainsireprsenteneconstituepasun contourferm dlimitantunesurface s surlaquelleonpeut calculer le flux. On contourne la difficult en considrant que louverture de la spireest trs petite. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 11 Cettef.e.m.apparatquelquesoitlemodedevariationduflux:dformationducircuitou variation de l'induction. 3.2f.e.m. dans un bobinage de N spires: e t e t e t e t e te td tdtd tdtd tdtd tdtNN( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )( )( ) ( ) ( )...( )= + + + += 1 2 31 2 3 Soit ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) t t t t tN= + + +1 2 3 est appel flux total dans le bobinage. e td tdt( )( )= Cest sous cette forme quil convient de retenir lexpression de la f.e.m. induite dans un bobinage. On fera attention aux orientations. Remarque 1: La lettre dsignera toujours pour nous le flux dans 1 spire du bobinage (c'est dire le flux dans une section), alors que la lettre dsignera le flux total dans un bobinage. Cestlundespointsdlicatsauquelilconvientdtretrsattentif.Lusagedsigne malheureusement avec le mme mot flux deux grandeurs et qui ne sont identiques que si le bobinage na quune seule spire. Remarque 2: SilesNspiressonttraversesparlemmeflux = = = = =1 2 3...N = N. ( ) = e td N tdt( ). ( ) ; mais ceci est un cas particulier. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 12 )3.3Diffrence de potentiel aux bornes dune bobine: Soitunebobine,constitueavecunconducteurenrouldersistance totale r .Sielleestparcourueparuncourantettraverseparun fluxtotal t ( i) t ( ,latensionsesbornessexprimeparlarelation ) t ( e ) t ( i . r ) t ( u =ou dt) t ( d) t ( i . r ) t ( u+ = condition de prendre des orientations conformes lexemple ci-contre. (8) u i ou i u * 3.4Exercice dapplication: 0 Unalternateurest constitu de deux parties: Unlectroaimantappel rotor (au centre) en rotation la vitesseangulaire autour de son axe. Un bobinage fixe de N spiresautotalrparti parmoitidepartet dautre du rotor. L'lectroaimanttournelavitesseangulaireconstantedanslesensdelaflche.Ilestquip dun bobinage aliment par un courant i continu > 0. Onsupposequesagomtrieesttellequ'ilengendredanschaquespiredubobinagefixeunflux alternatif sinusodal d'amplitude max. Munir le bobinage fixe d'un repre de polarit "*". Puis en prenant pour instant origine l'instant o le rotor est dans la position indique sur la figure, reprsenter(t)dans une spire du bobinage fixe etlatensionu(t)auxbornesdecelui-ci(sachantquelecourantdanscedernierestsupposnul). Prciser l'amplitude de u. (Rponse 2:) (8 ) Cette relation nglige le couplage capacitif entre les diffrentes spires qui peut apparatre en trs haute frquence. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 13 3.5Loi de Lenz. R i e *n Silecircuitestferm,lesensducourantiqu'engendrelaf.e.m.induiteeesttel que le flux qu'il cre travers son propre circuit s'oppose la variation qui lui a donn naissance. Exemple: Si le flux dans la spire est croissant (dans le sens de l'orientation rn ), dterminer le signedelaf.e.m. e auxbornesdelaspire,etlesigneducourantiquientre dans la spire par la borne * . (Rponse 3:) Animation sur http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/lenz.html 3.6Exprience du rail de Laplace: L'exprience de Laplace fait apparatre les deux phnomnes qui sont l'origine du fonctionnement des machines lectromcaniques (moteurs lectriques): (voir Magnelecpro chapitre 1 video6) et voirChap 1. Exercice 1 : - Dplacement d'un conducteur plac dans un "champ" d'induction f.e.m. (induite). - Courant dans un conducteur plac dans un "champ" d'induction force (de Laplace). 3.6.1F.e.m. induite: Orientation cohrenteavec la normaledt . v dxr=vrlt BnBne*t + dt Unconducteurde longueurlse dplacesurunrail lavitesse rv dans unchamp d'induction uniforme rB .La spirequ'ilconstitue aveclesrailsetle voltmtreest traverseparun flux variable. Il y a donc apparition d'une f.e.m. e ses bornes: En un temps, le conducteur se dplace vers la droite d'une quantit .dx dtLe flux qui traverse la spire diminue d'une quantitdx . . B dn l = (9) (Avec l'orientation choisie pour la spire, la composante de rBnormale la spire: (nBr) est positive). (9 )0 d < car laire de la spire diminue. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 14 n l Donc: la variation du flux dans la spire en un temps dt est d dx . . B = , et la f.e.m. induite dans le conducteur est: eddtB dxdtBdxdtB vnn n= = = = . .. . . .ll l Rgle simple pour retrouver le sens de lafem = Gnrateur: rgle de la main GAUCHE:Le pouce = le sens de dplacement.L'index = la fem.Le majeur = le magntisme. e = Bn.l.v Complments hors cours ( )B = On peut aussi noter:e vrr r.l 3.6.2Force de Laplace Unconducteurdelongueurl,placdansunchamp d'inductionuniforme rB ,etparcouruparuncourantiest soumis une force rF telle que: rF rB etrF ri et rF = rB .i.l.sin() avec( ) B , ir r= Animation sur : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/forcelaplace.html Rgle simple pour retrouver le sens de la force:force = moteur: rgle de la mainDROITE: Le pouce = la force. L'index =l'intensit. Le majeur = le magntisme. Complments hors cours On peut aussi noter: FlBi ( )r r rF i B = . lMagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 15 4.CE QUE JAI RETENU DE CE CHAPITRE. 1Levecteurinductionmagntique rB caractriseleffetdumagntismeenunpointdelespace. Dans le systme international, en quelle unit sexprime son module ? 2 Quest-ce quune ligne dinduction ? 3 Deux lignes dinduction peuvent-elles se croiser ? 4 Quest-ce quun tube dinduction (ou tube de champ) ? 5 Comment sexprime le flux du vecteur induction travers une surface plane si rBest uniforme et normal cette surface ? 6Commentsexprimelefluxduvecteurinductiontraversunesurfaceplanesi rB estuniforme faisant un angle avec la normale cette surface ? 7 Comment sexprime le flux travers une surface non-plane si rBest non-uniforme ? 8 Le flux est-t-il toujours positif ? 9 Le flux du vecteur induction rB travers une surface ferme est dot dune proprit importante; Quelle est cette proprit ?

10Lefluxduvecteurinduction rB traversunesectionduntubedinductionestdotdune proprit importante; Quelle est cette proprit ?

11Lemot flux recouvredeuxconceptsdiffrentsquenousavonsnotset.Quelleestla diffrence entre et ? 12Enappliquantlaconventionretenuedanscecours,orienterdemanirecohrentelabornede polarit * ,lesensdecirculationsurlaspire,lesensdelanormalecette spireetlesensdelaf.e.m.sesbornes.Exprimercettef.e.m.enfonctiondu flux qui traverse cette spire (loi de Faraday). 13 Le bobinage ci-contre prsente unersistance interne R, il est parcouru par un courant i . Ses 4spiressonttraversesrespectivementpardesflux) ( ) ( ), ( ), (4 3 2 1t et t t t (orients de faon cohrente avec la borne de polarit * ). u i * Exprimer en fonction de) (t u ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ,4 3 2 1t et t t t t i R . MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 16 14 * Reprede polarit i u Rsistanceinternedu bobinage Quelle est la relation entre la tension, le courant et le fluxtotalpourlebobinageci-contre(avecles orientations de i et u choisies) ? 15 Que dit la loi de Lenz ? 16 Lexprience du rail de Laplace dcrit deux phnomnes exprims par deux formules (avec les deux mains). Indiquer ces relations ? MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 17 5.PROBLEMES ET EXERCICES. Chap 1. Exercice 1 :Rail de Laplace et conversion de lnergie. Unpistonpousseunconducteurmobiledesorte que celui-ci glisse sur deux rails conducteurs une vitesse constante v. Lensembleconducteurmobileetrailsconstitue une spire presque ferme sur elle-mme. Cettespireestsoumiseunchampdinductionmagntiqueuniformeengendrparunaimant permanent non reprsent sur la figure. rBfait un angle avec la normale rnau plan de cette spire. En un intervalle de temps dt infiniment petit, le conducteur se dplace dune distance.dx v dt = . 1) Orienter la spire de faon cohrente avec la normale rn . 2) Exprimer la variation de flux d dans la spire durant lintervalle de temps dt. Cette variation de flux engendre une f.e.m.eddt= dans cette spire. Compte tenu des orientations choisiessurlafigureci-dessus,choisiru = eouu = - e.Endduireuenfonctiondevetdes dimensions du systme. 3) Les rails sont relis lectriquement par un diple rcepteur. Lensemble conducteur mobile, rails et diple constitue une spire ferme sur elle-mme parcourue par un courant i. Lepistonpousseleconducteurmobileavecune force rFde sorte que celui-ci se dplace toujours la vitesse v. Enunintervalledetempsdt,leconducteurse dplace dune distancedx v dt = . . Il reoit du piston unenergiemcaniquegaleautravaildelaforce rFsoit:dw F dx =r. . Exprimerlnergielectriquereueparlediplercepteurpendantlintervalledetempsdten fonction de u et de i. Enngligeantlesfrottementsainsiquelarsistanceduconducteurmobileetdesrails,lnergie mcaniquedw F dx =r.reue par lensemble qui constitue la spire est intgralement transmise au diplercepteur.Endduire rF enfonctionde rB ,ietdescaractristiquesgomtriquesdu systme. Comparer la relation donne dans le cours. MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 18 Chap 1. Exercice 2 :Principe d'un alternateur triphas. Unalternateurestconstitud'unlectroaimantenrotationetdetroisbobinages(nots R, S et T) fixes de 50 spires chacun. L'lectroaimanttournelavitesseconstantede3000tours/minute.Ilestalimentparuncourant continu i constant et positif. Sa gomtrie est telle qu'il engendre dans une spire d'un bobinage fixe un flux alternatif sinusodal d'amplitudemWb 20 = . Les trois bobinages fixes sont dcals de 2/3 les uns par rapport aux autres. Les courants dans les trois bobinages sont nuls. Enprenantpourinstantoriginel'instantol'lectroaimant(appelrotor)estdanslaposition indique sur la figure, reprsenterle flux) t ( dans une spire du bobinage de gauche (R) ainsi que lesf.e.m.vR(t),vS(t)etvT(t)auxbornesdestroisbobinagesfixes.Prciserl'amplitudedeces f.e.m.. Chap 1. Exercice 3 :Formule de Boucherot Lebobinageci-contreestenroulsurunnoyau ferromagntique(10)quicanaliseleslignesdechamp dinduction. On considrera le champ dinduction uniforme sur toutes les sections droites S des spires.Soitnr le vecteur unitairenormal aux spires. Onsupposelechampdinductionmagntiquealternatif sinusodal dexpression:( ) t . f . . 2 cos . B . n Bmax ) t (rr=nr

* ** S u nrN spiresPlacer la borne de polarit cohrente avec. En ngligeant la rsistance interne du bobinage, exprimer et Uen fonction de, ,et) t ( ueffN f SmaxB (10 ) Voir le chapitre 2 MagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 19 6.REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS Rponse 1:Inductionlmentairecreparunlmentdlducircuit:dBo i dRr= 42.. lcar rroest perpendiculaire .lrd TouslesvecteursdBrsuccessifsengendrsparleslmentslrd surtoutelacirconfrencesont colinaires. induction totale engendre par le courant I dans la spire: r rB dBo i RRIRo= = = 4222.. .. Retour Rponse 2: A0 t = , le flux est maximum dans le bobinage fixe, donc : = $. cos( ) te td NdtN t ( )( . $). $. . sin( ) ( ) = = = u t $. $. U N = e t 0 u Il tait possible de mettre le point * droite;cela naurait rien chang u(t). On peut remplacer llectroaimant par un aimant permanent : voir lanimation sur : http://sciences-physiques.ac-dijon.fr/documents/Flash/induction/aimant_tournant.phpRetourMagnElecProChapitre 1 - lments dlectromagntisme - 20 Rponse 3: Laspireatmunied'unrepredepolarit"*"quipermetdefixerlesignedes diffrentesgrandeurs.Laf.e.m.eetlanormale rn laspiresontorientes correctementparrapportaupoint *,donc n *e i dtdt = ) (; e0 ) ( 0 ) ( 0 < < > t i t edtd (du + vers le - dans le diple R) .Le courant i(t) agissant seul engendrerait donc un flux ngatif (de sens contraire de rnd'aprs la rgle du tire-bouchon) qui sopposerait laugmentation du flux qui lui a donn naissance. La loi de Lenz est donc bien vrifie. R RetourT