Chap2 : Polynomes

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 39

POLYNOMES EQUATIONS

ALGEBRIQUES

Cours

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I. DEFINITIONS 1. Monme 2. Polynme 3. Equation algbrique 4. Zro dun polynme

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identit de deux polynmes 2. Addition de deux polynmes 3. Multiplication de deux polynmes 4. Multiplication d'un polynme par un scalaire 5. Division de deux polynmes suivant les puissances dcroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynme de degr 1 7. Division de deux polynmes suivant les puissances croissantes (division non Euclidienne)

III. FACTORISATION D'UN POLYNOME 1. Dfinition 2. Factorisation dans C 3. Factorisation dans R 4. Utilisation de la dcomposition d'un polynme

IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3me DEGRE A COEFFICIENTS REELS

1. Forme gnrale 2. Nombre de racines relles

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I. DEFINITIONS 1. Monme Un monme est une expression de la forme

aizi dans laquelle :

- i est un entier positif ou nul, appel degr du monme, - z est la variable, relle ou complexe, - ai est un coefficient rel ou complexe.

Exemples :

2z3 , 5z6 , 32

z , 54

z4

2. Polynme Un polynme de degr p est une somme algbrique de monmes qui peut tre ordonne suivant les puissances croissantes ou dcroissantes :

P(z ) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + . .. + aiz i + .. . + ap2zp2 + ap1zp1 + apzp ou

P(z ) = apzp + ap1zp1 + ap2zp2 + .. . + aiz i + .. . + a3z3 + a2z2 + a1z + a0

Le degr dun polynme est gal au degr du monme le plus lev.

Exemples : Suivant les puissances croissantes:

z + z6 + 3z8 : degr = 8 Suivant les puissances dcroissantes:

2z4 + 3z2 + 5z + 1 : degr = 4

Dans les deux cas on crira un polynme sous la forme gnrale :

P(z ) = aiz ii=0

p

Remarques : L'indice i repre galement le degr de chacun des monmes qui forment le polynme.

Un polynme de degr 0 est un scalaire puisque z0 = 1 alors a0z

0 = a0.

3. Equation algbrique On appelle quation algbrique une expression de la forme P(z) = 0 dans laquelle P(z) est un polynme comme dfini prcdemment dont la variable, z, et les coefficients, ai , sont rels ou complexes.

Exemples:

z + z6 + 3z8 = 0

2z4 + 3z2 + 5z + 1 = 0

4. Zro dun polynme

Toute valeur de z qui annule le polynme

P(z ) est appele racine de l'quation

P(z ) = 0 ou zro du polynme

P(z ) .

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Thorme de D'Alembert : Toute quation algbrique de degr p admet au moins une racine relle ou complexe.

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identit de deux polynmes

a) Polynme identiquement nul Un polynme est identiquement nul lorsqu'il prend la valeur P(z) = 0 quelle que soit la variable z. On ne lui attribue pas de degr. Tous les coefficients ai de ce polynme sont nuls.

b) Polynmes identiques On dit que deux polynmes

P(z ) = aiz ii=0

p

et

Q(z) = biz ii=0

q

sont identiques si ai = bi

quel que soit l'indice i considr. Il en rsulte que P(z) et Q(z) ont mme degr (p = q).

2. Addition de deux polynmes Soient deux polynmes

=

=

p

0i

iiza)z(P et

=

=

q

0i

iizb)z(Q .

On appelle polynme somme, le polynme : =

=+=s

0i

iizc)z(Q)z(P)z(S

dont les coefficients ci sont tels que:

ci = ai + bi

Puisque : 0 i p pour P(z) 0 i q pour Q(z)

Alors pour S(z) : degr[S(z)] = s = max(p,q)

Le degr du polynme somme est infrieur ou gal au plus grand des degrs.

Exemple:

P(z) = 2z3 + 4z2 8z + 6Q(z) = 5z2 + 2z 3S(z) = 2z3 + 9z2 6z + 3

3. Multiplication de deux polynmes Soient deux polynmes

=

=

p

0i

iiza)z(P et

=

=

q

0i

iizb)z(Q .

On appelle polynme produit, le polynme :

(z ) = P(z ).Q(z) = ckz kk =0

r= p+ q

dont les coefficients ck sont d'une manire gnrale tels que :

ck = aibji+ j=k

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Voici lexpression des 4 premiers dentre eux :

+++=

++=

+=

=

031221303

0211202

01101

000

babababacbababac

babacbac

En particulier, le coefficient du terme de plus haut degr est :

cr = apbq avec r = p + q. Ce qui montre que :

degr() = degr(P) + degr(Q)

Le degr du polynme produit est gal la somme des degrs des deux polynmes.

Exemple:

zz5z3z2zz5z6z15z11z6)z(Q)z(P)z(1z5z3z2 )z(Q

zzz3)z(P

23567891012

24

68

+++++++++==

+++=

++=

4. Multiplication d'un polynme par un scalaire

Soit le polynme

P(z ) = aiz ii=0

p

.

Le produit du polynme P(z) par le scalaire est le polynme :

P(z ) = aiz ii =0

p

Chacun des coefficients est multipli par le scalaire . Le degr du polynme est inchang. Exemple:

18z24z12z6)z(P3

6z8z4z2)z(P

23

23

++==

++=

5. Division de deux polynmes suivant les puissances dcroissantes (Euclidienne) a) Dfinition Soient deux polynmes A(z) et B(z) ordonns selon les puissances dcroissantes. Diviser A(z) par B(z) c'est trouver deux polynmes Q(z) et R(z) tels que :

A(z) = B(z)Q(z) + R(z) degr[R(z)] < degr[B(z)]

A(z) est appel le dividende, B(z) le diviseur, Q(z) le quotient et R(z) le reste.

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Remarques: Dans une division, le reste est unique. Si l'on cherche effectuer la division de

A(z) = z3 + z2 + z par

B(z) = z + 1, on obtient : 321434213214434421)z(R) 1 (

)z(Q) 1z (

)z(B)1z(

)z(A)zzz( 223 +++=++

.

Degr[B(z)] = 1 alors degr[R(z)] = 0. Si le degr du dividende est infrieur au degr du diviseur, alors le quotient est nul et le reste est gal au dividende. La division euclidienne est alors impossible.

4342132143421321)z(R

) 1z ()z(Q) 0 (

)z(B)z2z(

)z(A)1z( 232 +++=+

Si le reste est nul, on dit que le polynme A(z) est divisible par B(z).

b) Pratique de la division Considrons les deux polynmes :

011n

1nn

n aza .... zaza)z(A ++++= et 011p1ppp bzb .... zbzb)z(B ++++= avec p n.

Nous allons considrer simultanment lexemple suivant : ( )5=nsoit 2z4zz)z(A 345 +++= et ( )3=psoit 1z2z)z(B 3 ++=

Puisque p < n le monme

anzn

est divisible par le monme

bpzp

. Dsignons par Q1(z) le monme quotient.

anzn

= bpzp an

bp

znp = bpz

pQ1(z ) avec Q1(z ) =an

bp

znp

Dans l'exemple que nous considrons : { { )z(Qzz.

pzpb

z

nz

na

z 13235

==2

1 z)z(Q =avec

Si nous valuons maintenant le polynme reste R1(z) = A(z) - B(z)Q1(z), ce polynme ne contient plus de terme de degr n.

En effet :

A(z) B(z ) Q1(z ) = A(z) B(z )an

bp

zn p

)z(R... zbba

azbba

a)z(Q)z(B)z(A 12n2pp

n2n

1n1p

p

n1n1 =+

+

=

+ 0

Ainsi :

degr[R1(z)] < degr[A(z)]

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Pour l'exemple :

2zz2z)z(Rzz2z2z4zz

z)1z2z(2z4zz)z(Q)z(B)z(A)z(R

2341

235345

2334511

++=

+++=

+++++=

=

Deux cas sont alors possibles :

degr[R1(z)] < degr[B(z)]; la division est termine : Q(z) = Q1(z) et R(z) = R1(z). degr[R1(z)] degr[B(z)]; on ritre le procd. Il existe Q2(z) et R2(z) tels que : R2(z) = R1(z) - B(z)Q2(z)

avec degr[R2(z)] < degr[R1(z)] C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degr de R1(z) est z4, le terme de plus haut degr de B(z) est z3.

{ { z)z(Q avec )z(Qzz.

)z(B de degrhaut

plus de terme z

)z(R de degrhaut

plus de terme z 22

33

1

4===

R1(z) = z4 + 2z3 z2 + 2R2(z) = R1(z ) B(z )Q2(z )

R2(z) = z4 + 2z3 z2 + 2R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z +1)B(z)

1 2 4 4 3 4 4 z Q2(z ){

R2(z) = z4 + 2z3 z2 + 2 z4 2z2 z

R2(z) = 2z 3 3z2 z + 2

De nouveau, deux cas sont alors possibles:

degr[R2(z)] < degr[B(z)]; la division est termine. Nous avons obtenu successivement :

A(z) B(z )Q1(z) = R1(z ) Puis

R1(z) B(z )Q2(z) = R2(z ) Soit

A(z) B(z )Q1(z)( )R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 B(z )Q2(z ) = R2(z )

A(z) B(z )Q1(z) B(z )Q2(z ) = R2(z )

A(z) = B(z ) Q1(z) +Q2(z )( )Q(z)

1 2 4 4 3 4 4 + R2(z )

R(z)1 2 3

Le quotient de la division de A(z) par B(z) est gal

Q(z) = Q1(z) + Q2(z )

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Le reste est

R(z ) = R2(z ) .

degr[R2(z)] degr[B(z)]; on ritre le procd une fois de plus et ainsi de suite jusqu' l'ordre m tel que degr[Rm(z)] < degr[B(z)].

C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degr de R2(z) est z3, le terme de plus haut degr de B(z) est z3. Donc on ritre le procd une dernire fois :

R2(z) = 2z 3 3z2 z + 2

R3(z) = R2(z ) B(z )Q3(z )

R3(z) = 2z3 3z2 z + 2R2(z )

1 2 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z + 1)B(z )

1 2 4 4 3 4 4 2 Q3(z){

R3(z) = 2z3 3z2 z + 2 2z3 4z 2

R3(z) = 3z2 5z

Puisque degr[R3(z)] = 2 < degr[B(z)] = 3, la division est termine. En rsum, nous avons obtenu successivement :

]degr[B(z)(z)]degr[Rm

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c) Unicit du qu