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POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 39 POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES Cours

Chap2 : Polynomes

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Cours ds polynômes algébriques

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Page 1: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 39

POLYNOMES

EQUATIONS ALGEBRIQUES

Cours

Page 2: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 40

I. DEFINITIONS

1. Monôme

2. Polynôme

3. Equation algébrique

4. Zéro d’un polynôme

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES

1. Identité de deux polynômes

2. Addition de deux polynômes

3. Multiplication de deux polynômes

4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire

5. Division de deux polynômes suivant les puissance s décroissantes (Euclidienne)

6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1

7. Division de deux polynômes suivant les puissance s croissantes (division non Euclidienne)

III. FACTORISATION D'UN POLYNOME

1. Définition

2. Factorisation dans C

3. Factorisation dans R

4. Utilisation de la décomposition d'un polynôme

IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A COEFFICIENTS REELS

1. Forme générale

2. Nombre de racines réelles

Page 3: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 41

I. DEFINITIONS

1. Monôme

Un monôme est une expression de la forme aizi dans laquelle :

- i est un entier positif ou nul, appelé degré du monôme , - z est la variable, réelle ou complexe, - ai est un coefficient réel ou complexe.

Exemples : 2z3, 5z6,

3

2z,

5

4z4

2. Polynôme

Un polynôme de degré p est une somme algébrique de monômes qui peut être ordonnée suivant les puissances croissantes ou décroissantes :

P(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + ... + ai z

i + ... + ap−2zp−2 + ap−1zp−1 + apzp

ou P(z) = apzp + ap−1z

p−1 + ap−2zp−2 + ... + ai zi + ... + a3z3 + a2z2 + a1z + a0

Le degré d’un polynôme est égal au degré du monôme le plus élevé.

Exemples : Suivant les puissances croissantes: z+ z6 + 3z8 : degré = 8 Suivant les puissances décroissantes: 2z4 + 3z2 + 5z + 1 : degré = 4

Dans les deux cas on écrira un polynôme sous la forme générale : P(z) = aiz

i

i =0

p

Remarques : ● L'indice i repère également le degré de chacun des monômes qui forment le polynôme.

● Un polynôme de degré 0 est un scalaire puisque z0 = 1 alors a0z

0 = a0.

3. Equation algébrique

On appelle équation algébrique une expression de la forme P(z) = 0 dans laquelle P(z) est un polynôme comme défini précédemment dont la variable, z, et les coefficients, ai , sont réels ou complexes.

Exemples: z+ z6 + 3z8 = 0

2z4 + 3z2 + 5z + 1 = 0

4. Zéro d’un polynôme

Toute valeur de z qui annule le polynôme P(z) est appelée racine de l'équation P(z) = 0 ou zéro du polynôme P(z) .

Page 4: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 42

Théorème de D'Alembert : Toute équation algébrique de degré p admet au moins une racine réelle ou complexe.

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES

1. Identité de deux polynômes

a) Polynôme identiquement nul

Un polynôme est identiquement nul lorsqu'il prend la valeur P(z) = 0 quelle que soit la variable z. On ne lui attribue pas de degré. Tous les coefficients ai de ce polynôme sont nuls.

b) Polynômes identiques

On dit que deux polynômes P(z) = aiz

i

i =0

p

∑ et Q(z) = biz

i

i=0

q

∑ sont identiques si ai = bi

quel que soit l'indice i considéré. Il en résulte que P(z) et Q(z) ont même degré (p = q).

2. Addition de deux polynômes

Soient deux polynômes ∑=

=p

0i

ii za)z(P et ∑

==

q

0i

ii zb)z(Q .

On appelle polynôme somme, le polynôme : ∑=

=+=s

0i

ii zc)z(Q)z(P)z(S

dont les coefficients ci sont tels que: ci = ai + bi Puisque : 0 ≤ i ≤ p pour P(z)

0 ≤ i ≤ q pour Q(z) Alors pour S(z) : degré[S(z)] = s = max(p,q)

Le degré du polynôme somme est inférieur ou égal au plus grand des degrés.

Exemple:

P(z) = 2z3 + 4z2 − 8z + 6

Q(z) = 5z2 + 2z − 3

S(z) = 2z3 + 9z2 − 6z + 3

3. Multiplication de deux polynômes

Soient deux polynômes ∑=

=p

0i

ii za)z(P et ∑

==

q

0i

ii zb)z(Q .

On appelle polynôme produit, le polynôme : Π(z) = P(z).Q(z) = ckzk

k=0

r= p+ q

dont les coefficients ck sont d'une manière générale tels que :

ck = aibji+ j =k∑

Page 5: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 43

Voici l’expression des 4 premiers d’entre eux :

+++=++=

+==

031221303

0211202

01101

000

babababac

bababac

babac

bac

En particulier, le coefficient du terme de plus haut degré est : cr = apbq avec r = p+ q.

Ce qui montre que :

degré(Π) = degré(P) + degré(Q)

Le degré du polynôme produit est égal à la somme de s degrés des deux polynômes.

Exemple:

zz5z3z2zz5z6z15z11z6)z(Q)z(P)z(

1z5z3z2 )z(Q

zzz3)z(P

23567891012

24

68

+++++++++==Π

+++=

++=

4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire

Soit le polynôme P(z) = aiz

i

i =0

p

∑ .

Le produit du polynôme P(z) par le scalaire λ est le polynôme : λP(z) = λai z

i

i =0

p

Chacun des coefficients est multiplié par le scalaire λ.

Le degré du polynôme est inchangé.

Exemple:

18z24z12z6)z(P

3

6z8z4z2)z(P

23

23

+−+=λ

=λ+−+=

5. Division de deux polynômes suivant les puissance s décroissantes (Euclidienne)

a) Définition

Soient deux polynômes A(z) et B(z) ordonnés selon les puissances décroissantes. Diviser A(z) par B(z) c'est trouver deux polynômes Q(z) et R(z) tels que :

A(z) = B(z)Q(z) + R(z)

degré[R(z)] < degré[B(z)]

A(z) est appelé le dividende, B(z) le diviseur, Q(z) le quotient et R(z) le reste.

Page 6: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 44

Remarques: ● Dans une division, le reste est unique. Si l'on cherche à effectuer la division de A(z) = z3 + z2 + z par

B(z) = z + 1, on obtient : 321434213214434421)z(R

) 1 (

)z(Q

) 1z (

)z(B

)1z(

)z(A

)zzz( 223 −+++=++ .

Degré[B(z)] = 1 alors degré[R(z)] = 0.

● Si le degré du dividende est inférieur au degré du diviseur, alors le quotient est nul et le reste est égal au dividende. La division euclidienne est alors impossible.

4342132143421321)z(R

) 1z (

)z(Q

) 0 (

)z(B

)z2z(

)z(A

)1z( 232 +++=+

● Si le reste est nul, on dit que le polynôme A(z) est divisible par B(z).

b) Pratique de la division

Considérons les deux polynômes :

011n

1nn

n aza .... zaza)z(A ++++= −− et 01

1p1p

pp bzb .... zbzb)z(B ++++= −

− avec p ≤ n.

Nous allons considérer simultanément l’exemple suivant :

( )5=nsoit 2z4zz)z(A 345 +++= et ( )3=psoit 1z2z)z(B 3 ++=

Puisque p < n le monôme anzn est divisible par le monôme bpzp . Désignons par

Q1(z) le monôme quotient.

anzn = bpzp an

bp

zn−p = bpzpQ1(z) avec Q1(z) =

an

bp

zn−p

Dans l'exemple que nous considérons : { { )z(Qzz.

pzpb

z nzna

z 13235 == 2

1 z)z(Q =avec

Si nous évaluons maintenant le polynôme reste R1(z) = A(z) - B(z)Q1(z), ce polynôme ne contient plus de terme de degré n.

En effet :

A(z) − B(z) Q1(z) = A(z) − B(z)an

bp

zn− p

)z(R... zbb

aazb

b

aa)z(Q)z(B)z(A 1

2n2p

p

n2n

1n1p

p

n1n1 =+

−+

−=− −

−−−

−−+ 0

Ainsi : degré[R1(z)] < degré[A(z)]

Page 7: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 45

Pour l'exemple :

2zz2z)z(R

zz2z2z4zz

z)1z2z(2z4zz

)z(Q)z(B)z(A)z(R

2341

235345

23345

11

+−+=

−−−+++=

++−+++=

−=

Deux cas sont alors possibles :

● degré[R1(z)] < degré[B(z)]; la division est terminée : Q(z) = Q1(z) et R(z) = R1(z).

● degré[R1(z)] ≥ degré[B(z)]; on réitère le procédé. Il existe Q2(z) et R2(z) tels que : R2(z) = R1(z) - B(z)Q2(z)

avec degré[R2(z)] < degré[R1(z)]

C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degré de R1(z) est z4, le terme de plus haut degré de B(z) est z3.

{ { z)z(Q avec )z(Qzz.

)z(B

de degréhaut

plus de terme z

)z(R

de degréhaut

plus de terme z 22

33

1

4 ===

R1(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2

R2(z) = R1(z) − B(z)Q2(z)

R2(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z +1)

B(z)1 2 4 4 3 4 4 z

Q2(z){

R2(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2− z4 − 2z2 − z

R2(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2

De nouveau, deux cas sont alors possibles:

● degré[R2(z)] < degré[B(z)]; la division est terminée.

Nous avons obtenu successivement : A(z) − B(z)Q1(z) = R1(z)

Puis R1(z) − B(z)Q2(z) = R2(z)

Soit

A(z) − B(z)Q1(z)( )R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 − B(z)Q2(z) = R2(z)

A(z) − B(z)Q1(z) − B(z)Q2(z) = R2(z)

A(z) = B(z) Q1(z) +Q2(z)( )Q(z)

1 2 4 4 3 4 4 + R2(z)

R(z)1 2 3

Le quotient de la division de A(z) par B(z) est égal à Q(z) = Q1(z) + Q2(z)

Page 8: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 46

Le reste est R(z) = R2(z) .

● degré[R2(z)] ≥ degré[B(z)]; on réitère le procédé une fois de plus et ainsi de suite jusqu'à l'ordre m tel que degré[Rm(z)] < degré[B(z)].

C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degré de R2(z) est z3, le terme de plus haut degré de B(z) est z3. Donc on réitère le procédé une dernière fois :

R2(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2

R3(z) = R2(z) − B(z)Q3(z)

R3(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2R2(z)

1 2 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z + 1)

B(z)1 2 4 4 3 4 4 2

Q3(z){

R3(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2 − 2z3 − 4z − 2

R3(z) = −3z2 − 5z

Puisque degré[R3(z)] = 2 < degré[B(z)] = 3, la division est terminée.

En résumé, nous avons obtenu successivement :

]degré[B(z)(z)]degré[R m <<=−

≥<=−≥<=−≥<=−

−− )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R

...

)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R

)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R

)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Adegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(A

1mmmm1m

323332

212221

1111

La division est alors terminée et

Quotient : Q(z) = Q1(z) + Q2(z) + Q3(z) + .... +Qm(z)

Reste : R(z) = Rm(z)

Dans le cas de notre exemple :

( ) ( )( ) ( )( ) z5z321z2z2zz3z2

2zz3z2z1z2z2zz2z

2zz2zz1z2z2z4zz

2323

233234

23423345

−−++=+−−

+−−+++=+−+

+−++++=+++

43421434214342144 344 21

)z(R

)z5z3(

)z(Q

)2zz(

)z(B

)1z2z()z(A

2z4zz 223345 −−++++=+++ +

Page 9: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 47

c) Unicité du quotient et du reste

Supposons que par un procédé différent nous ayons obtenu deux polynômes Q '(z) et R' (z) différents respectivement de Q(z) et R(z) et tels que :

A(z) = B(z)Q(z) + R(z) degré [R(z)] < degré [B(z)]

A(z) = B(z)Q ' (z) + R' (z) degré [R' (z)] < degré [B(z)]

Alors, par différence : ( ) )z('R)z(R)z(Q)z('Q)z(B −=− (1)

Le degré de la différence R(z) − R' (z) est inférieur ou égal au plus grand des degrés de R(z) ou R' (z) .

Dans ces conditions, on a : degré[R(z)-R’(z)] < degré[B(z)] donc degré[R(z)-R’(z)] < degré[B(z)(Q’(z)-Q(z))]

Ainsi, R(z)-R’(z) d’une part et B(z)(Q’(z)-Q(z)) d’autre part sont deux polynômes de degré différents. Or nous avons vu que l’égalité de deux polynômes n’est possible que s’ils ont même degré. Donc la seule solution à cette égalité est que R(z) − R' (z) = 0, alors Q(z) − Q' (z) = 0 .

On aboutit donc aux deux égalités:

==

)z('R)z(R

)z('Q)z(Q

Dans la division euclidienne de deux polynômes, le quotient et le reste sont uniques. d) Présentation pratique de l'opération

On adopte la même présentation que pour la division habituelle. Reprenons l'exemple précédent :

{ { {

)z(Q

)z(Q 2

)z(Q z

)z(Q z

)z(B

1z2z

z5z3 )z(R

2z4z2 )z(Q)z(B

2zz3z2 )z(R

zz2z )z(Q)z(B

2zz2z )z(R

zz2z )z(Q)z(B

2z4zz )z(A

321

2

3

23

33

232

242

2341

2351

345

4444 34444 21

48476

++

++

−−−−−−+−−+

−−−−+−+

−−−−+++

6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1

a) Critère de divisibilité par (z-a) (a réel ou complexe)

L'équation A(z) = B(z)Q(z) + R(z) avec degré[R(z)] < degré[B(z)] s'écrit dans le cas particulier où B(z) = z - a : A(z) = (z − a)Q(z) + R(z) .

Page 10: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 48

On a forcément : degré[R(z)] < degré[z - a]

soit degré[R(z)] < 1.

Donc le degré de R(z) est nul.

R(z) se résume à un scalaire (réel ou complexe), R(z) = R, unique. D'autre part, pour la valeur particulière z = a, le terme (z - a) est nul et A(z=a) = A(a) = R.

Finalement, on peut écrire : A(z) = (z − a)Q(z) + A(a)

Si A(a) = 0, A(z) = (z − a)Q(z) , le polynôme A(z) est divisible par (z - a) et on peut écrire le théorème suivant.

Théorème: Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un p olynôme A(z) soit divisible par ( z - a) est que A(a) = 0.

Exemple: Soit à diviser le polynôme A(z) = z3 − 2z + 1 par (z – 2).

A(2) = 8− 4+ 1 = 5 et A(z) = (z − 2)Q(z) + A(2) = (z − 2)Q(z) + 5

Il en résulte que le polynôme A(z) − 5 = (z3 − 2z+ 1) − 5 = z3 − 2z − 4 doit être divisible par (z – 2), ce que nous vérifions :

z3 −2z −4

−z3 +2z2

+2z2 −2z −4

−2z2 +4z

2z −4

−2z +4

0 0

z− 2

z2 + 2z + 2

A(z) − A(2) = A(z) − 5

= z3 − 2z − 4

= (z − 2)(z2 + 2z + 2)

Donc :

A(z) = z3 − 2z + 1

= (z − 2)(z2 + 2z + 2)+ A(2)

= (z − 2)(z2 + 2z + 2)+ 5

b) Division de zn - an par (z-a) (a réel ou complexe)

Remarquons tout de suite que le polynôme P(z) = zn - an s'annule pour z = a, et qu'il est donc divisible par z - a.

Effectuons la division :

Page 11: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 49

zn −an

−zn +azn−1

azn−1 −an

−azn−1 +a2zn−2

a2zn−2 −an

−a2zn−2 +a3zn−3

a3zn−3 −an

an−2z2

−an−2z2 +an−1z −an

an−1z −an

−an−1z +an

0 0

z − a

zn−1 + azn−2

+a2zn−3 + . ...

.... + an−3z2

+an− 2z + an−1

On en déduit l'identité remarquable, valable quel que soit n et pour a réel ou complexe

zn − an = (z − a)(zn−1+ azn−2 + a2zn−3 + ... .... + an−3z2 + an−2z + an−1)

Exemples: On peut vérifier à titre d'exemple que : z4 − a4 = (z − a)(z3 + az2 + a2z + a3)

3223

43

43

322

422

223

43

34

44

azaazz

az

aza

aza

zaza

aza

zaaz

aaz

azz

az

+++

+−−

+−−

+−−

+−−

De même :

+−=−

++−=−

+++−=−

)1z)(1z(1z

)1zz)(1z(1z

)1zzz)(1z(1z

2

23

234

ces trois exemples correspondent à la recherche des racines nième (n = 4, 3 ou 2) de l’unité.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2233 j1zj1zj1zj1z +++++−=+−

c) Division de zn - an par (z+a) (a réel ou complexe)

La division par (z+a) implique que le critère de divisibilité devienne : P(-a) = 0.

Cela nous conduit à rechercher les solutions de l'équation (-a)n - an = 0.

Page 12: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 50

Cette équation n'est vérifiée que si n est un entier pair que nous écrirons n = 2p.

On en déduit l'identité remarquable, valable quel que soit n pair (n = 2 p) et pour a réel ou complexe (attention à l'alternance des sign es) :

z2p − a2p = (z + a)(z2p−1 − az2p−2 + a2z2p− 3 − ....... − a2p− 3z2 + a2p−2z − a2p−1)

Exemples:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )3223444

2

234

23456

j1zj1zj1zj1zj1z4z

)1z)(1z(1z

)1zzz)(1z(1z

)1zzzzz)(1z(1z

+−+++−++=+−=+

−+=−

−+−+=−

−+−+−+=−

d) Divisibilité de zn +an (a réel ou complexe)

On remarque tout de suite que le critère de divisibilité P(z) = 0 ne peut être vérifié pour z = a car l'égalité an +an = 0 n'est jamais vérifiée. On peut donc en conclure que zn +an n'est pas divisible par ( z – a).

Par contre, la division par (z+a) implique d’avoir (-a)n + an = 0. Cette équation admet des solutions si n est un entier impair que nous écrirons n = 2p + 1.

On obtient l'identité remarquable, valable quel que soit n impair (n = 2p+1) et pour a réel ou complexe (attention à l'alternance des sig nes) :

z2p+1 + a2p+1 = (z+ a)(z2p − az2p−1 + a2z2p−2 − . ...... + a2p−2z2 − a2p−1z + a2p)

Exemples:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2233

23

2345

j1zj1zj1zj1z

)1zz)(1z(1z

)1zzzz)(1z(1z

+++−++=++

+−+=+

+−+−+=+

7. Division de deux polynômes suivant les puissance s croissantes (division non Euclidienne)

a) Définition

Soient deux polynômes A(z) et B(z) ordonnés suivant les puissances croissantes :

A(z) = a0 + a1z+ a2z2 + .. . + anzn

B(z) = b0 + b1z + b2z2 + .. . + bpzp avec b0 ≠ 0

Page 13: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 51

Théorème: Etant donné un entier k positif et deux polynômes A(z) et B(z) (avec b0

différent de zéro) à coefficients réels ou complexe s, il existe un polynôme Q(z) et un seul, tel que

A(z)=B(z).Q(z) + zk+1.R'(z)

avec degré[ Q(z)] ≤ k et le reste R(z) = zk+1.R'(z) de degré tel que degré[ R(z)] ≥ k + 1

Remarques : ● Dans le cas de la division non euclidienne, il n’y a pas de condition

particulière sur le degré des deux polynômes A(z) et B(z). Elle est donc toujours possible.

● Une application de le division non euclidienne sera vue dans le calcul des développements limités (cours d’analyse).

b) Pratique de la division

Dans la pratique, les polynômes Q(z) et R(z) sont obtenus en utilisant le même procédé que pour la division Euclidienne, les calculs étant arrêtés lorsque le reste R(z) contient au moins zk+1 en facteur (ou bien sûr lorsqu'il est identiquement nul). On dit alors que l'on a pratiqué la division à l'ordre k.

Il faut remarquer que cette division n'est pas unique, puisque les expressions obtenues pour les polynômes Q(z) et R(z) dépendent de la valeur choisie pour k.

k est l'ordre maximal du quotient.

Exemple: soit à diviser à l'ordre 2, le polynôme A(z) = 1+ z par le polynôme

B(z) = 1− z2 + z4

A(z) 1 +z

−B(z).Q1(z) −1 +z2 −z4

R1(z) +z +z2 −z4

−B(z).Q2(z) −z +z3 −z5

R2(z) +z2 +z3 −z4 −z5

−B(z).Q3(z) −z2 +z4 −z6

R3(z) +z3 −z5 −z6

B(z) = 1− z2 + z4

1 Q1(z){ + z

Q2(z){ + z2

Q3(z)1 2 3

Q(z)1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

degré [Q(z)] = 2

degré [Q(z)] ≤ k = 2

Dans l'expression du reste ( )3421 zz1zzzz)z(R −+=−+= , il n'est pas possible de

faire apparaître en facteur un terme de la forme zk+1 = z3. La division doit être poursuivie.

De même ( )32254322 zzz1zzzzz)z(R −−+=−−+= ne fait apparaître que z2 en

facteur.

Ce n'est qu'avec ( )3236533 zz1zzzz)z(R −−=−−= que l'on peut mettre z3 en

Page 14: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 52

facteur. La division à l'ordre 2 est alors terminée :

( ) ( )( ){

( )44 344 21

434214342143421321

)z(R

)z('R

zz1

z

z

)z(Q

zz1

)z(B

zz1

)z(A

z1 32

1k

3242 −−++++−=++

Si nous voulons effectuer la même division à l'ordre 3, il faut poursuivre le procédé jusqu'à ce que l'on puisse mettre z4 en facteur dans l'expression du reste.

Et on remarque alors que le reste ( )z1zzz)z(R 6764 −−=−−= permet de faire

apparaître non seulement z4 mais z6 en facteur, de sorte que la division est en fait effectuée jusqu'à l'ordre 5 .

A(z) 1 +z

−B(z).Q1(z) −1 +z2 −z4

R1(z) +z +z2 −z4

−B(z).Q2(z) −z +z3 −z5

R2(z) +z2 +z3 −z4 −z5

−B(z).Q3(z) −z2 +z4 −z6

R3(z) +z3 −z5 −z6

−B(z).Q4(z) −z3 +z5 −z7

R4(z) −z6 −z7

B(z) = 1− z2 + z4

1 Q1(z){ + z

Q2(z){ + z2

Q3(z)1 2 3 + z3

Q4(z)1 2 3

Q(z)1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4

degré [Q(z)] = 3

degré [Q(z)] ≤ k = 3

( ) ( )( )

{( )

43421

4342144 344 2143421321

)z(R

)z('R

z1

z

z

)z(Q

zzz1

)z(B

zz1

)z(A

z11k

63242 −−+++++−=++

Pour être complet signalons que si la division avait été effectuée jusqu'à l'ordre 1 seulement, nous nous serions arrêtés dès que le reste aurait permis de mettre z2 en facteur c'est à dire dès R2(z).

( ) ( )( ){

( )444 3444 21

44 344 2132143421321

)z(R

)z('R

zzz1

z

z

)z(Q

z1

)z(B

zz1

)z(A

z1 32

1k

242 −−++++−=++

c) Cas particulier

Considérons la division à l'ordre n de A(z) = 1 par B(z) = 1 - z.

Page 15: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 53

1

−1 +z

z Ordre 0

−z +z2

z2 Ordre 1

−z2 +z3

z3 Ordre 2

.

.

.

−zn +zn+1

zn+1 Ordre n

1− z

1+ z + z2 + z3 + ... . + zn

Nous pouvons donc écrire, en considérant la division aux ordres successifs:

à l'ordre 0: ( ) z1.z11 +−=

à l'ordre 1: ( )( ) 2zz1z11 ++−= à l'ordre 2: ( )( ) 32 zzz1z11 +++−=

et à l'ordre n: ( )( ) 1nn2 zz ... zz1z11 ++++++−=

Ainsi, si z est différent de 1, on obtient l'identité remarquable :

1− zn+1

1− z= 1+ z + z2 + . .. + zn = zi

i =0

n

En outre, si z < 1 , alors lim n→∞ zn+1 = 0 et on peut écrire :

1

1− z= 1+ z + z2 + ... + zn + ... = zi

i =0

∞∑

Remarque : Ce résultat bien connu figure dans les développements usuels du

formulaire mathématique aide mémoire distribué.

III. FACTORISATION D'UN POLYNOME

1. Définition

Factoriser un polynôme P(z) dans R (resp. C) revient à chercher tous les zéros réels (resp. réels et complexes) de P(z) et à écrire P(z) sous la forme d’un produit de plusieurs polynômes, chacun relatif à 1 ou 2 zéros.

Remarque : Les zéros d’un polynôme P(z) sont aussi appelés les racines de l’équation algébrique P(z) = 0.

Page 16: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 54

Exemple : ( )1z3

1z31z4z3 2 −

−=+−

2. Factorisation dans C

a) Définition

Soit un polynôme P(z) , de degré n.

D'après le théorème de D'Alembert, il admet au moins une racine, réelle ou complexe z1. Donc ce polynôme P(z) est divisible par z - z1 et l'on peut écrire:

P(z) = (z− z1)P1(z)

degré [P1(z)] = n −1

D'après le théorème de D'Alembert, P1(z) , de degré n - 1 admet au moins une racine, réelle ou complexe z2. Donc ce polynôme est divisible par z - z2 et l'on peut écrire:

P1(z) = (z− z2 )P2(z)

degré [P2(z)] = n − 2

On poursuit ainsi n fois, jusqu'aux polynômes Pn−1(z) et Pn(z) tels que :

Pn−1(z) = (z − zn )Pn(z)

degré [Pn(z)] = n − n = 0

Le polynôme Pn(z), de degré zéro est une constante, notée k, et l'on obtient:

P(z) = k(z − z1)(z− z2 )(z− z3) ... (z − zn−1)(z − zn )

Il suffit de développer cette expression et d'identifier le terme de degré n avec celui du polynôme pour en déduire la valeur de la constante k.

P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 et k = an

Finalement, on en conclut qu'un polynôme de degré n admet n zéros z1, z2, ..., zn et se factorise sous la forme :

P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0

P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) .. . (z − zn−1)(z− zn )

b) Ordre d’un zéro

Dans une telle factorisation, il est possible que plusieurs zéros soit identiques. On définit l'ordre d'un zéro égal au nombre de fois que cette valeur intervient dans la factorisation.

Page 17: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 55

Exemples : ( ) ( )( ) →+−+=+−−+ 1z1zjz33jz6z6jz6z3 2234 j racine d’ordre 2 1 racine d’ordre 1 (-1) racine d’ordre 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →

+−+=+−++−−−3

1z1zjz31zj22zj44zj62z3 2234

j racine d’ordre 2 1 racine d’ordre 1

3

1− racine d’ordre 1

Supposons que les n zéros du polynôme P(z) se répartissent en r valeurs distinctes. Plus précisément, supposons que parmi les zéros de P(z) la valeur z1 intervienne α1 fois, que la valeur z2 intervienne α2 fois, etc ... jusqu'à la valeur zr que nous supposons intervenir αr fois. Le polynôme P(z) se factorise sous la forme :

P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0

P(z) = an(z − z1)α1(z − z2)α2 (z − z3)α3 ... (z− zr )αr

avec α1 + α2 + α3 + . .. + α r = n

c) Relations entre coefficients et zéros d’un polynôme

Considérons l'équation algébrique : P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0

et désignons par z1, z2, ..., zn ses n racines, distinctes ou confondues. La factorisation du polynôme P(z) nous conduit à:

P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) ... (z − zn−1)(z− zn ) = 0

Le développement de cette expression va nous fournir des relations importantes entre les coefficients du polynôme P(z) et les racines z1, z2, ..., zn de l'équation

P(z) = 0 .

• Considérons d'abord le cas simple d'un polynôme du premier degré :

P1(z) = a1z + a0 = 0

P1(z)

a1= z +

a0a1

L'équation admet une racine unique, z1 et s'écrit :

P1(z)

a1= z − z1 = 0 avec

z1 = −

a0a1

• Considérons maintenant le cas d'un polynôme du second degré :

P2(z) = a2z2 + a1z + a0 = 0

Cette équation admet deux racines, z1 et z2 et l'on peut écrire :

Page 18: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 56

P2(z)

a2= z2 + a1

a2z+ a0

a2

= (z − z1)(z− z2 )

= z2 − z1z− z2z + z1z2

Soit :

P2(z)

a2= z2 − (z1 + z2)z+ z1z2 = 0

Par identification, on obtient l'expression de la somme des racines : z1 + z2 = −

a1a2

ainsi que celle de leur produit z1z2 = +

a0a2

Remarque : On retrouve le résultat page 18 dans le chapitre 1 pour les équations de la forme az2 + bz + c = 0 :

a

czzP

a

bzzS

21

21

==

−=+=

• Le cas d'un polynôme du troisième degré est un peu plus compliqué.

L'équation P3(z) = a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0 admet trois racines, z1, z2 et z3 et l'on peut écrire :

P3(z)

a3= z3 + a2

a3z2 + a1

a3z + a0

a3

= (z − z1)(z− z2)(z− z3)

Soit :

P3(z)

a3= z3 − (z1 + z2 + z3 )z2 + (z1z2 + z2z3 + z3z1)z − z1z2z3 = 0

Par identification, on obtient différentes expressions en en fonction des coefficients du polynôme :

- la somme des racines: z1 + z2 + z3 = −

a2a3

- le produit des racines : z1z2z3 = −

a0a3

- la somme des produits deux à deux des racines : z1z2 + z2z3 + z3z1 = +

a1a3

• Considérons maintenant le cas général d'une équation de degré n:

P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0

Page 19: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 57

En développant l'expression factorisée et en identifiant les termes de même degré, on obtient la suite de calculs ci-après :

P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) ... (z − zn−1)(z− zn ) = 0

P(z)

an= zn + an−1

anzn−1 + an−2

anzn−2 + ... + a2

anz2 + a1

anz + a0

an

= (z− z1)(z − z2)(z − z3) ..... (z − zn−1)(z − zn)

P(z)

an= zn − (z1 + z2 + z3 + ... + zn−1 + zn )zn−1

+(z1z2 + z1z3 + . .. + z1zn + z2z3 + z2z4 + ... + z2zn + ... + zn−1zn )zn−2

− .. ... + (−1)nz1z2z3.. .zn

on obtient les expressions générales suivantes :

- la somme des n racines : σ1 = z1 + z2 + z3 + .. . + zn−1 + zn = −

an−1an

= (−1)1an−1an

- la somme des produits 2 à 2 des racines :

σ2 = z1z2 + z1z3 + ... + zn−1zn = +

an−2an

= (−1)2an−2an

-la somme des produits 3 à 3 des racines :

σ3 = z1z2z3 + ... + zn−2zn−1zn = −

an−3an

= (−1)3an− 3an

- la somme des produits 4 à 4 des racines :

σ4 = z1z2z3z4 + .. . + zn− 3zn−2zn−1zn = +

an− 4an

= (−1)4 an− 4an

et ainsi de suite.

Le terme général de la somme des produits k à k des racines est :

σk = z1z2z3. ..zk + ....+zn−k+1...zn− 2zn−1zn = (−1)k an−k

an

Enfin le dernier terme donne le produit des n racines: σn = z1z2z3...zn = (−1)n

a0an

Remarques : ● Si certains des coefficients du polynôme P(z) que l’on cherche à factoriser sont complexes alors la factorisation dans C est la seule possible. ● En revanche, si tous les coefficients de P(z) sont réels, on peut alors factoriser ce polynôme dans R.

Page 20: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 58

3. Factorisation dans R

a) Définition

Seuls les polynômes P(z) à coefficients réels peuvent être factorisés dans R.

b) Propriétés de la factorisation dans C

Soit un polynôme P(z) à coefficients réels. Soit 000 jyxz += un nombre complexe.

Alors le polynôme ( ) )y,x(jB)y,x(A)jyx(PzP 0000000 +=+= est lui aussi un nombre complexe. Les coefficients de P(z) étant réels , A(x0,y0) et B(x0,y0) sont réels et on

peut démontrer que ( ) )z(PzP 00 =

soit )y,x(jB)y,x(A)jyx(P 000000 −=− .

Si z0 est racine de l’équation algébrique P(z) = 0 alors l'égalité

0)y,x(jB)y,x(A 0000 =+ impose que :

==

0)y,x(B

0)y,x(A

00

00

Dans ces conditions, ( ) 0zP)z(P)y,x(jB)y,x(A 000000 ===−

Ceci montre que 000 jyxz −= est aussi racine de P(z) = 0 .

Théorème: Si un nombre complexe est racine d'ordre ββββ d'une équation algébrique à

coefficients réels , son conjugué est également racine d'ordre ββββ.

Conséquence : Toute équation algébrique à coefficients réels P(z) = 0 admet donc :

• des racines réelles x1, x2, ... , xu d'ordres respectifs α1, α2, ... , αu,

• des couples de racines complexes conjuguées (z1, z 1),(z2, z 2 ), ... , (zv ,z v) d'ordres respectifs β1,β2 ,...,β v.

La factorisation de P(z) s'écrit alors :

[ ] [ ] v1u21 )zz)(zz(...)zz)(zz()xz...()xz()xz(a)z(P vv11u21nββααα −−−−−−−=

Posons z1 = p1 + jq1 donc z1 = p1 − jq1

Il s'ensuit que

(z − z1)(z − z1) = (z − p1 − jq1)(z − p1 + jq1)

= (z − p1) − jq1[ ](z − p1) + jq1[ ]= (z − p1)2 − ( jq1)2

Soit : (z − z1)(z − z1) = (z − p1)2 + q1

2

Page 21: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 59

Finalement : [ ] [ ] v1u21 2

v2

v2

12

1111n q)pz(...q)pz()xz...()xz()xz(a)z(Pββααα +−+−−−−=

avec α1 + α2 + ... + αu + 2(β1 + β2 + ... + βv ) = n

Cette factorisation ne fait apparaître que des termes réels, du premier ou du second degré.

Remarques : • Pour une équation algébrique à coefficients réels, le nombre de racines complexes est toujours pair (deux à deux conjuguées).

Exemple : ( )( )( )( )1z2zj1zj1z4z2z2z3z 234 −+−+++=−−++

• Une équation algébrique à coefficients réels dont le degré est impair possède au moins une racine réelle.

Exemple : ( )( )( )2zj1zj1z4z6z4z 23 +−+++=+++

c) Factorisation dans R

Soit un polynôme P(z) à coefficients réels que l’on veut factoriser sur R.

On peut obtenir cette factorisation à partir de sa factorisation dans C. Il suffit de réassocier deux à deux les termes relatifs aux racines complexes conjuguées pour donner des polynômes d’ordre 2.

Exemple : Soit à factoriser le polynôme P(z) = z4 + 1.

Les zéros de ce polynôme sont les racines quatrièmes de -1.

Posons z = ρejθ

Il vient z4 = ρ4ej 4θ = −1 = ejπ .

On en déduit le module et l'argument des racines :

ρ = 1

θ =π4

+ kπ2

Explicitement les racines sont :

)j1(2

2z

ez

1

4j

1

+=

)j1(2

2z

ez

2

4

3j

2

+−=

23

4

5j

3

z)j1(2

2z

ez

=+−=

14

4

7j

4

z)j1(2

2z

ez

=−=

La factorisation du polynôme sur C est:

−−

++

+−−

+−=

−−−−=

−−−−=ππππ

)j1(2

2z)j1(

2

2z)j1(

2

2z)j1(

2

2z

)ez)(ez)(ez)(ez(

)zz)(zz)(zz)(zz()z(P

4

7j

4

5j

4

3j

4j

4321

Page 22: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 60

En regroupant les termes complexes conjugués,

)12zz(2

1

2

2z)j1(

2

2z)j1(

2

2z

)12zz(2

1

2

2z)j1(

2

2z)j1(

2

2z

2

2

2

2

++=+

+=

++

+−−

+−=+

−=

−−

+−

On aboutit à la factorisation dans R suivante :

P(z) = (z2 − z 2 +1)(z2 + z 2 + 1)

IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A COEFFICIENTS REELS

1. Forme générale

On appelle équation algébrique du troisième degré à coefficients réels une expression de la forme ay3+by²+cy+d = 0 dans laquelle la variable z est complexe (ou réelle) et les coefficients, a, b, c, d, sont réels.

Pour étudier une telle équation, on effectue le changement de variable a3

bxy −=

Il vient alors : 0da3

bxc

a3

bxb

a3

bxa

23

=+

−+

−+

0da3

bxc

a9

b

a3

bx2xb

a27

b

a9

bx3

a3

bx3xa

2

22

3

3

2

223 =+

−+

+−+

−+−

On constate que les termes en b² s'éliminent.

Après division de l'ensemble par a, il vient : x3 + px + q = 0

C'est sous cette forme que l'on résout l'équation du 3ème degré.

2. Nombre de racines réelles On écrit l’équation algébrique précédente sous la forme : x

3 + px = −q

On étudie alors le graphe des deux fonctions :

y1 = x3 + px = x(x2 + p)

y2 = −q (droite )

dont les intersections donnent les racines de l'équation x3 + px + q = 0

Considérons la première fonction.

Sa dérivée est :

dy1dx

= 3x2 + p

Elle ne s'annule que si p est négatif , aux points x0 =

p

3 et

−x0 = −

p

3.

Page 23: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 61

L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction y1 est croissante si x < -x0 et

pour x > x0 puis décroissante de -x0 à x0 avec

dy1dx

= 3x2 − p = 3(x − x0 )(x + x0) .

x −x0 x0

x − x0 − − +x + x0 − + +

dy1

dx+ − +

y1 croissante décroissante croissante

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

3 racines réelles

y 0

1 racine réelle, 2 racines complexes conjuguées

1 racine réelle, 2 racines complexes conjuguées

-y 0

x

y

y2 = -q

q2 < y0

2

p < 0

y2 = -q; q2 > y0

2

y2 = -q; q2 > y0

2

Si on trace le graphe de y2 = -q, on aura 3 intersections avec la courbe représentant la fonction y1, donc 3 racines réelles, si et seulement si q ≤ y0 c'est à dire si

q2 ≤ y0

2

Or 27

p4

9

p4

3

pp

3

p

3

p)px(xy

32222

02

02

0 −=

−=

+−−=+=

On aura donc 3 racines réelles si 4p3 + 27q2 ≤ 0

L'égalité correspond au cas où l'une des racines est double .

Le cas où 4p3 + 27q2 > 0 correspond à une seule intersection, donc une seule racine réelle . Les deux autres racines sont imaginaires conjuguées .

Page 24: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 62

Par contre si p est positif , la courbe ne présente plus ni maximum ni minimum. On

a seulement un point d'inflexion à l'origine. En effet la dérivée seconde

d2y1

dx2 = 6x

s'annule et change de signe en x = 0. Le graphe prend l'allure suivante:

-12

-8

-4

0

4

8

12

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0

p > 01 racine réelle

2 racines imaginaires conjuguées

y2 = -q

y

x

Il ne peut y avoir qu'une seule racine réelle , les deux autres étant imaginaires conjuguées . Une méthode de calcul utilise la relation trigonométrique ϕ−ϕ=ϕ cos3cos43cos 3 . En posant x = λcosϕ, on obtient une équation du troisième degré :

03cosx

3x

43

=ϕ−λ

λ soit 03cos

4x

43x

323 =ϕλ−λ−

qui est formellement identique à x3 + px + q = 0 avec

ϕλ−=

λ−=

3cos4

q

43p

3

2

On calcule donc λ à partir de la première égalité, puis on en déduit cos3ϕ,. On en tire ϕ, donc cosϕ, et on obtient x.

Examinons les conditions d'application de cette méthode.

On élimine λ entre les deux équations, ϕ=−⇒

ϕλ=

λ−=3cos

p4

q27

3cos16

q

2427p

23

2

26

2

63

Or 0 ≤ cos23ϕ ≤ 1.

Page 25: Chap2 : Polynomes

POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 63

On obtient les deux conditions : 3

2

p4

q270 -≤ soit p < 0

et

-

27q2

4p3 ≤ 1 qui conduit à 4p3 + 27q2 ≤ 0

Cette méthode est donc applicable dans le cas de trois racines réelles.

Si 4p3 + 27q2 > 0 la méthode précédente n'est plus applicable.

On utilise alors la méthode de Cardan consiste à poser x = u + v

L'équation devient : 0q)vu(p)vu( 3 =++++

0)puv3)(vu(qvu

0q)vu(pvuv3vu3u

0q)vu(p)vu(

33

3323

3

=+++++=++++++

=++++

Cette équation peut être satisfaite si on a simultanément

u3 + v3 + q = 0

(u + v)(3uv + p) = 0

soit u3 + v3 = −q

3uv + p = 0

Remarque : le cas u + v = 0 est impossible car on aurait alors u = −v et

u3 + v3 = 0 ≠ −q

Finalement, il apparaît que la somme et le produit de u3 et v3 sont donnés par :

−=

−=+

27

pvu

qvu3

33

33

u3 et v3 sont donc les solutions T1 et T2 d'une équation du second degré :

T2 + qT −

p3

27= 0

à la condition que le discriminant ∆ soit tel que ∆ = q2 +

4p3

27> 0 .

On retrouve la condition 4p3 + 27q2 > 0 . Les racines x sont alors données par:

x = T1( )13 + T2( )13

C'est la formule de Cardan .