chap21

Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES

Pr. Ouidad LABOUIDYA [email protected]

Master Réseaux et Télécommunications

2011 - 2012

mailto:[email protected]


PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Modulations et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Modulations et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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CHAPITRE II : MODULATIONS ET TRANSMISSION EN BANDE TRANSPOSÉE

1. Introduction

2. Modulation par Déplacement d'Amplitude (ASK).

3. Modulation par déplacement de fréquence (FSK)

4. Modulation par Déplacement de Phase (PSK).

5. Modulation d'amplitude sur deux porteuses en quadrature (QAM)

6. Applications

7. Conclusion

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CHAPITRE II Modulations et transmission en bande transposée

1. INTRODUCTION

Les systèmes de transmission numérique véhiculent de l'information entre une

source et un destinataire en utilisant un support physique comme le câble, la fibre

optique ou encore, la propagation sur un canal radioélectrique;

Les signaux transportés peuvent être soit directement d'origine numérique,

comme dans les réseaux de données, soit d'origine analogique (parole, image...)

mais convertis sous une forme numérique.

La tâche du système de transmission est d'acheminer l'information de la source

vers le destinataire avec le plus de fiabilité possible.

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1. INTRODUCTION

Le schéma synoptique d'un système de transmission numérique est le suivant :

EMETTEUR CANAL

(Milieu de transmission) RECEPTEUR BITS BITS


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1. INTRODUCTION

Rappel de l’objectif des communications numériques :

Informations

numériques

Signal

Analogique /

Logique (Numérique)

émission

réception

0 1 1 Communications

numériques

Envoi et réception

d’informations

numériques

Transmissions par un signal

électrique, une onde

électromagnétique, …


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1. INTRODUCTION

Transmission en bande de base / en bande transposée :

Le signal numérique doit être mis en forme et adapté au milieu de transmission.

On peut distinguer 2 cas :

le signal dont le spectre de fréquences s‘étend depuis 0 Hz (ou qq Hz) jusqu’à

une valeur finie (de l’ordre du Mhz, en général) est appelé signal en bande de

base (ou parfois “passe-bas”) et peut être envoyé sur un milieu guidé , comme

un câble, sous forme d’impulsions.

dans les autres cas , le signal en bande de base n’est pas adapté à la

propagation dans les milieux non-guidés (problème d’antennes !) et doit être

transporté dans une bande adaptée au milieu et est véhiculé sur une fréquence

porteuse (“carrier frequency”) ; on parle dans ce cas de signal en bande

transposée (ou encore “passe-bande”).


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Panoplie des modulations :


1. INTRODUCTION

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1. INTRODUCTION

Panoplie des modulations :

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1. INTRODUCTION

Les différents constituants d'un système de transmission numérique sont :

Source

Destination

Codage de la source

Codage du canal

Modulation

Démodulation Décodage

du canal

Décodage de

la source

CANAL


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Les types de modulation les plus fréquemment rencontrés sont les suivants :

Modulation par Déplacement d'Amplitude MDA.

(Amplitude Shift Keying ASK).

Modulation par Déplacement de Phase MDP.

(Phase Shift Keying PSK).

Modulation par Déplacement de Fréquence MDF.

(Frequency Shift Keying FSK).

1. INTRODUCTION


Information transmise : numérique Forme de la porteuse : sinusoïde

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1. INTRODUCTION


La modulation a pour objectif d’adapter le signal à émettre au canal de transmission :

Cette opération consiste à modifier un ou plusieurs paramètres d’une onde porteuse

𝑃 𝑡 = 𝑈 ∙ cos(𝜔0 ∙ 𝑡 + 𝜑0) centrée sur la bande de fréquences du canal.

Les paramètres modifiables sont :

→ l’amplitude : 𝑈

→ la fréquence : 𝑓0 =𝜔0

2𝜋

→ la phase : 𝜑0

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1. INTRODUCTION


Généralités sur les modulations numériques :

Le signal modulé s'écrit de façon générale sous la forme :

m(t) = U(t) cos(Φ(t)) = U(t) cos(ω0t + φ(t))

où :

U(t) est l'amplitude instantanée du signal modulé m(t),

Φ(t) sa phase instantanée,

φ(t) la déviation de phase vis-à-vis de la référence ω0t (phase

instantanée de la porteuse).

Le signal modulant c(t) est un signal numérique à temps continu.

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1. INTRODUCTION



On a : m(t) = U(t) cos(ω0t + φ(t))

Le signal modulant c(t) fait varier de façon discrète :

soit U(t), on a alors une modulation d'amplitude discrète ASK,

Information numérique

Signal modulant

Porteuse sinusoïdale

Signal ASK

1 0 1 1 1 0

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1. INTRODUCTION





soit φ(t), on a alors une modulation de phase discrète PSK,


Signal modulant


Signal PSK

1 0 1 1 1 0

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1. INTRODUCTION





soit la fréquence instantanée f(t) de m(t), on a alors une modulation de

fréquence discrète FSK,


Signal modulant


Signal FSK

1 0 1 1 1 0

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1. INTRODUCTION



On a : m(t) = U(t) cos(Φ(t)) = U(t) cos(ω0t + φ(t)), ω0 = 2𝜋𝑓0


soit la fréquence instantanée f(t) de m(t), on a alors une modulation de

fréquence discrète FSK,

La fréquence f(t) est définie par rapport à Φ(t) par la relation :

𝑓 t = 1

2𝜋𝑑(Φ)

𝑑(𝑡)= 𝑓0 +

1

2𝜋

𝑑(φ)

𝑑(𝑡)

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1. INTRODUCTION


Principes des modulations numériques :

Transformer les bits en un signal dont la bande passante est compatible avec B et

transposer ce signal dans la bande allouée au système (centrée sur la fréquence f0).

Bande de fréquences, fréquence centrale ou fréquence porteuse f0 (fC carrier

frequency) : position dans le spectre radiofréquence (normalisation).

Bande passante B : largeur de la bande de fréquences.

UN SYSTEME UNE BANDE DE FREQUENCES

GSM WiFi 802.11a WiMAX DVB-S

Bande passante B 200 KHz 20 MHz 10 MHz 50 MHz

Fréquence porteuse f0 900 MHz 5 GHz 10 GHz 12 GHz

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L’opération s’effectue en deux étapes :

1. INTRODUCTION


Transformation en un signal

passe-bas dont la bande

passante est compatible avec B

Transposition du signal

passe-bas dans la bande

allouée au système centrée sur f0

ETAPE 1

SIGNAL PASSE-BAS

BB

ETAPE 2 BITS

Db

SIGNAL

PASSE-BANDE

BT

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Modèle mathématique de la source de bits :

Suite infinie de bits dans l’alphabet {0,1}, émis aux instants kTb,

autant de 0 que de 1. P {𝛼𝑘 = 1} = P {𝛼𝑘 = 0} = 1/2.

Débit : Db bit/s.

Période : Tb = 1/Db s.


𝒔 𝒕 = 𝜶𝒌𝜹 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

1. INTRODUCTION

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Le signal modulant, obtenu après l’étape 1, est un signal en bande de base,

complexe, qui s'écrit sous la forme :

𝑐 𝑡 = 𝑐𝑘𝑘

. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 = 𝑐𝑘 𝑡

𝐾

𝑐𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘 𝑡 + 𝑗𝑏𝑘 𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐𝑐𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘

La fonction g(t) est une forme d'onde qui est prise en considération dans l'intervalle

[0,T[ puisque t doit vérifier la relation : kT ≤ t < (k+1)T.


1. INTRODUCTION

ETAPE 1

SIGNAL PASSE-BAS

BB

BITS

Db

𝒔 𝒕 𝒄 𝒕

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Dans les modulations ASK, PSK et QAM, la modulation transforme ce signal c(t) en

un signal modulé m(t) tel que :

𝑚 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑐𝑘 𝑡 . 𝑒𝑗 𝜔0𝑡+𝜑0

𝑘

La fréquence𝑓0 =𝜔0

2𝜋 et la phase 𝜑0 caractérisent la sinusoïde porteuse utilisée pour

la modulation.


1. INTRODUCTION

SIGNAL PASSE-BAS

BB

ETAPE 2 SIGNAL

PASSE-BANDE

BT

𝒎 𝒕 𝒄 𝒕

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Si les ck(t) = ak(t) + jbk(t) sont réels ( bk(t) = 0 ), la modulation est dite

unidimensionnelle, et s'ils sont complexes la modulation est dite bidimensionnelle.

Le signal modulé s'écrit aussi :

𝑚 𝑡 = 𝑎𝑘𝑘

𝑡 . cos(𝜔0𝑡 +𝜑0) − 𝑏𝑘𝑘

𝑡 . sin(𝜔0𝑡 +𝜑0)

ou encore :

𝑚 𝑡 = 𝑎 𝑡 . cos(𝜔0𝑡 +𝜑0) − 𝑏 𝑡 . sin(𝜔0𝑡 +𝜑0)

avec :

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘𝑘

𝑡 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒𝑒𝑛𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑢𝑠𝑒𝑒𝑛𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0

𝑏 𝑡 = 𝑏𝑘𝑘

𝑡 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒𝑒𝑛𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑢𝑠𝑒𝑒𝑛𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒sin(𝜔0𝑡 +𝜑0)


1. INTRODUCTION

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Dans la plupart des cas les signaux élémentaires ak(t) et bk(t) sont identiques à un

coefficient près et ils utilisent la même forme d'impulsion g(t) appelée aussi

"formant".

𝑎𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 𝑒𝑡𝑏𝑘 𝑡 = 𝑏𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

Les deux signaux a(t) et b(t) sont aussi appelés "trains modulants" et s'écrivent :

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

𝑒𝑡𝑏 𝑡 = 𝑏𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

Les symboles ak et bk prennent respectivement leurs valeurs dans l'alphabet

(A1,A2,… AM) et dans l'alphabet (B1, B2,… BM).


1. INTRODUCTION

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Le schéma théorique du modulateur est représenté sur la figure suivante :


1. INTRODUCTION

𝑚 𝑡 = 𝑎 𝑡 . cos(𝜔0𝑡 +𝜑0) − 𝑏 𝑡 . sin(𝜔0𝑡 +𝜑0)

𝑚 𝑡 = 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

. 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑0 − 𝑏𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

. 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 + 𝜑0

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A chaque symbole émis correspond un signal élémentaires de la forme :

𝑚𝑘 𝑡 = 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 . 𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡 + 𝜑0 − 𝑏𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 . 𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡 + 𝜑0

Le signal modulé m(t) véhicule des informations distinctes à travers ak(t) et bk(t) qui

sont deux signaux en bande de base appelés respectivement composante en

phase (I en anglais) et composante en quadrature (Q en anglais).

Les différents types de modulations sont définies par les alphabets décrits ici

dessus et par la fonction g(t).


1. INTRODUCTION

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Une représentation dans le plan complexe qui fait correspondre à chaque signal

élémentaire un point Ck = Ak + jBk permet de différencier chaque type de

modulation. L'ensemble de ces points associés aux symboles porte le nom de

constellation.


1. INTRODUCTION

Représentation graphique du symbole Ci

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2. MODULATION PAR DÉPLACEMENT D'AMPLITUDE (ASK)

Equation générale :

Les Modulations par Déplacement d'amplitude (MDA) sont aussi souvent

appelées par leur abréviation anglaise : ASK pour "Amplitude Shift Keying".

La modulation ne s'effectue que sur la porteuse en phase U ∙ cos 𝜔0𝑡 +𝜑0 .

Par simplification on prendra par la suite U = 1 (dans le cas échéant, l’amplitude

de m(t) est multipliée par U) .

Cette modulation est parfois dite unidimensionnelle. Le signal modulé s'écrit alors :

𝑚 𝑡 = 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇 . cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0𝑘

La forme de l'onde g(t) est rectangulaire, de durée T et d'amplitude égale à 1 si t

appartient à l'intervalle [0, T[ et égale à 0 ailleurs.


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Equation générale :

Le symbole ak prend sa valeur dans l'alphabet (A1, A2,… AM).

(A1, A2,… AM) met en évidence les symboles M−aire, 𝑀 =2𝑛 : amplitudes

possibles du signal.

La valeur n désigne les groupements de n bits issus du codeur.

Les changements d'amplitude de la porteuse se produiront au rythme R de

la transmission des symboles.

Ainsi un symbole M-aire véhicule l’équivalent de 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔2𝑀bits


𝒎 𝒕 = 𝒂𝒌. 𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟎𝒌

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Modulation par tout ou rien OOK :

Un exemple de modulation d'amplitude est la modulation (binaire) par tout ou rien

encore appelée par son abréviation anglaise : OOK pour "On Off Keying".

Utilisée typiquement dans les fibres optiques : le 1 est codé par l’émission de

lumière (onde haute-fréquence), le 0 par la non-émission de lumière.



Signal modulant (BB)


Signal OOK (BT)

1 0 1 1 1 0

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Etape 1 : Génération du signal passe-bas par filtrage

Un seul bit est transmis par période T (T=Tb) n=1 et M=2.

Le symbole 𝑎𝑘prend sa valeur dans l'alphabet (0, a0).


𝒔 𝒕 = 𝜶𝒌𝜹 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

𝒂 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

Filtre de

mise en

forme g(t)

"0" → 0

"1" → a0

a0

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Etape 2 : Transposition du signal passe-bas dans la bande allouée au système


𝒂 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

𝒎 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃 . 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟎)

𝒌

𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟎)

a0

Tb

m(t)

t a0

Im

Re 0 1

0 a0

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Spectre de la modulation OOK :

La densité spectrale de puissance (DSP) du signal OOK est la translation de celle

du modulant vers les fréquences ± f0 et comporte donc une raie aux fréquences ± f0

(On ne considère ici que les fréquences positives).

Notons que la bande passante nécessaire est 2 fois plus importante que pour une

transmission en bande de base.


f0

𝛾𝑎𝑎 DSP du signal modulant (BB)

𝛾𝑚𝑚: DSP du signal OOK

(BT)

T

a(t)

a0 𝛾𝑎𝑎 𝑓 =𝑎02𝑇

4

sin 𝜋𝑓𝑇

𝜋𝑓𝑇

2

+𝑎02

4𝛿(𝑓) 𝒂𝟎𝟐

𝟒

Due à la valeur moyenne

non nulle du signal a(t) Fréquence du :

signal en BB

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Remarques :

Si on module une porteuse par le signal a(t), la bande occupée sera infinie, ce qui

est inacceptable (la DSP a une forme en sinc2).

Le signal numérique a(t) est donc toujours filtré avant d’attaquer le modulateur.

Or, un filtre passe-bas élimine les composantes haute-fréquences et “lisse” donc

le signal a(t) composé d’une suite de symboles. Ainsi, chaque symbole s’étale sur

ses successeurs.

A la réception, chaque symbole reçu dépend non seulement du symbole émis

correspondant, mais aussi des symboles précédents. Ce phénomène s’appelle

l’interférence entre symboles (IES en anglais ISI : Inter Symbol Interference). Il

peut provoquer des erreurs de détection même en l’absence de bruit.


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Remarques :

L’interférence entre symboles résulte d’un filtrage passe-bas des signaux de

communication. Il faut donc adapter la DSP des signaux à émettre.


Cas 1 : filtre en 𝑓𝑐 =1

𝑇

Par ce filtrage, il est possible de réduire l’occupation spectrale de a(t) et ne

garder que le lobe principal (contenant ~ 90% de la puissance globale) compris

entre f = 0 et f = 1/T. Après l’émission d’un symbole, il est possible d’en émettre

un second après une durée T sans induire d’IES.

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Remarques :


Cas 1 : filtre en 𝑓𝑐 =1

𝑇

Dans ce cas là : 𝐵𝑂𝑂𝐾 = 2𝐹𝐵 =2

𝑇 .

→ Pour pouvoir transmettre ce signal dans un canal passe-bas (transmission en

bande de base) de bande passante B, il faut respecter la condition : 𝐵 ≥1

𝑇

→ Dans le cas d’un canal passe-bande (transmission en bande transposée), la

définition de la bande passante devient : 𝐵 ≥2

𝑇

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Remarques :


Cas 2 : filtre en cosinus surélevé 𝑓𝑐 =1

2𝑇

Les filtres en cosinus surélevé modifie de façon assez importante la DSP du

signal numérique. Pour une impulsion de largeur T, il est possible d’émettre un

nouveau symbole après une durée T/2 après l’émission du symbole précédent.

Pour un filtre passe bas réel, la coupure n’est pas parfaitement verticale. La

façon dont la coupure est arrondie est classée selon le paramètre α qui s’appelle

le facteur de débordement (ou coefficient d’arrondi : en anglais “roll-off”). Il varie

entre 0 et 1.

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Remarques :



2𝑇

𝑓 ∙ 𝑇

Pour un filtre parfait (α = 0), le théorème de Nyquist stipule que la bande

passante minimum est : BNyquist = 1

2𝑇 , pour pouvoir transmettre le signal

numérique en bande de base.

Pour un filtre réel, la bande passante requise augmente et vaut environ en

bande de base :

B = 1

2𝑇(1 + α)

B varie entre 1

2𝑇 et 1

𝑇

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Remarques :



2𝑇

→ Dans le cas d’un canal passe-bande (transmission en bande transposée), par

définition la bande passante pour un filtre parfait est : 𝐵 ≥ 2 ∙1

2𝑇=1

𝑇.

→ Pour un filtre réel, la bande passante requise augmente et vaut environ en bande

transposée : B= 2 ∙1

2𝑇(1 + α)=

1

𝑇(1 + α).

Dans ce cas là : 𝐵𝑂𝑂𝐾 =1

𝑇(1 + α) =𝑅(1 + α).

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Modulateur / Démodulateur OOK :

→ Pour générer le signal OOK, on multiplie la porteuse par le signal numérique. La

multiplication par 0v donne l’absence de la porteuse et la multiplication par +V

donne la porteuse.

→ Le filtre passe bande centré sur f0 sert à extraire l’onde fondamentale de la plus

haute fréquence contenue dans le signal OOK.


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Modulateur / Démodulateur OOK :

Pour le récepteur, une tension supérieur à la tension de référence indique un

niveau logique 1 et une tension inférieur à la tension de référence indique un

niveau logique 0. Cette tension de référence est environ la moitié de la tension

maximum.

Pour éviter les erreurs due à l’atténuation du signal, il faut ajouter au récepteur

un contrôle de gain automatique qui maintient toujours l’amplitude au même

niveau.


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La modulation OOK :

Exemple

Pour un modulateur OOK avec une fréquence porteuse de 1 GHz et un débit binaire

de 10 Mbits/s, calculer :

1) Le nombre de bits par symbole.

2) La bande passante minimum avec un filtre ayant un α de 0,35.

3) L’efficacité spectrale.


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La modulation OOK :

Solution

1) Chaque symbole ne peut prendre que deux valeurs différentes, soit un niveau

logique 0 en l’absence de porteuse soit un niveau logique 1 lorsque la porteuse

est présente. Il n’y a donc qu’un seul bit par symbole.

2) La bande passante minimum est R (1 + α) = 10 ˣ 106 (1 + 0,35) = 13,5 MHz.

3) L’efficacité spectrale est 10 Mbits/s / 13,5 MHz = 0,74 bits par seconde par Hertz

de bande passante.

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Modulation à "M-ETATS" :

Dans ce cas on utilise plutôt la modulation symétrique.

Les constellations "M-ASK Symétrique" :

On a toujours M = 2n amplitudes possibles du signal, mais ici les valeurs de

l'alphabet sont telles que :

Ai = (2i – M + 1).a0 avec i = 0,1,2,… (M-1).

Suivant les valeurs de n on obtient le tableau suivant :


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Les constellations "M-ASK Symétrique" :

La constellation de la modulation à M états symétriques est donnée pour M prenant

comme valeurs 2, 4 et 8 :

2-ASK Symétrique

4-ASK Symétrique

8-ASK Symétrique

La disposition des symboles met en œuvre un code de Gray (un seul bit change

lorsque l'on passe d'un point à un autre).


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Chronogramme de la modulation "4-ASK Symétrique" :

Deux bits sont transmis simultanément à chaque période T.


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Modulation "4-ASK Symétrique" :

Exemple

Pour un modulateur 4ASK avec une fréquence porteuse de 700 MHz et un débit

binaire de 1 Mbits/s, calculer :


2) La bande passante minimum théorique de Nyquist.

3) La bande passante minimum avec un filtre ayant un α de 0,3.

4) L’efficacité spectrale théorique et réelle.


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Modulation "4-ASK Symétrique" :

Solution

1) Avec M = 4 niveaux d’amplitude, on peut coder 2 bits.

2) Le débit des symboles est R = D / n = 1 Mbits/s / 2 = 0,5 ˣ 106bauds.

Selon le théorème de Nyquist, la bande passante minimum théorique avec des

filtres parfaits est B = 0,5 MHz.

3) La bande passante réelle est R (1 + α) = 0,5 ˣ 106 (1 + 0,3) = 0,65 MHz.

4) L’efficacité spectrale théorique est : 1 Mbits/s / 0,5 MHz = 2 bits/s/Hz

L’efficacité spectrale réelle est : 1 Mbits/s / 0,65 MHz ≅ 1,54 bits/s/Hz


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D’une manière générale, la densité spectrale de puissance (DSP) du signal modulé

m(t) est donné par l’équation :

𝛾𝑐𝑐 𝑓 est la DSP du signal en bande de base 𝑐 𝑡 :


𝛾𝑚𝑚 𝑓 = 1

4𝛾𝑐𝑐 𝑓 − 𝑓0 +𝛾𝑐𝑐 −𝑓 − 𝑓0

𝛾𝑐𝑐 𝑓

𝛾𝑚𝑚 𝑓

- f0 + f0

- f0 + f0

𝛾𝑐𝑐 𝑓 = 4 ∙ 𝛾𝑚𝑚+ 𝑓 + 𝑓0


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Le spectre de la "M-ASK Symétrique" :

Le spectre du signal en bande de base ne présente pas de raie et s'écrit :

Le spectre du signal modulé est décalé vers ± f0.


𝛾𝛼𝑚 𝑓 =𝑀2 − 1

3𝑎02𝑇sin 𝜋𝑓𝑇

𝜋𝑓𝑇

2

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Modulation et démodulation :

Les figures suivantes montrent respectivement un synoptique simplifié de la

modulation et de la démodulation cohérente sur une seule porteuse.

Modulation sur une seule porteuse


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Démodulation cohérente sur une seule porteuse


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Côté récepteur, et en supposant qu'il n'y ait pas de bruit,

si on multiplie le signal reçu :

par une onde sinusoïdale issue d'un oscillateur local :

on obtient :

En développant cette expression et en éliminant le terme en

par filtrage, on obtient :


𝒎 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟎)

𝒌

𝑨𝟏𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟏)

𝑺𝟏 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟎). 𝑨𝟏𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎𝒕 +𝝋𝟏)

𝒌

𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝎𝟎𝒕

𝑺𝟐 𝒕 =𝑨𝟏𝟐 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻 . 𝒄𝒐𝒔(𝝋𝟎 −𝝋𝟏)

𝒌

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Donc, si le récepteur dispose d'un oscillateur local synchronisé en fréquence et

en phase sur celui de l'émission, 𝜑1 sera proche de 𝜑0 et, donc 𝑐𝑜𝑠(𝜑0 −𝜑1)

sera voisin de 1, et par conséquent :

Ainsi, le signal S2(t) est à une homothétie près égal au train modulant (signal

porteur de l'information) :

Il reste au récepteur à récupérer le rythme, de période T, des symboles transmis,

à échantillonner le signal S2(t) au milieu de chaque période, et à décider à l'aide

d'un comparateur à (M-1) seuils de la valeur ak reçu.


𝑺𝟐 𝒕 ≈𝑨𝟏𝟐 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻

𝒌

𝒂 𝒕 = 𝒂𝒌𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻

𝒌

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Les performances des M-ASK:

Pour pouvoir comparer les différentes modulations entre elles, il est d'usage

d'exprimer la probabilité d'erreur en fonction du rapport 𝐸𝑏

𝑁0dans lequel :

→ Eb représente l'énergie émise par bit,

→ N0 représente la densité spectrale de puissance de bruit.

En fonction de ce rapport, on trouve que la probabilité d'erreur par symbole est

donnée par la relation :

où « erfc » est la fonction d'erreur complémentaire définie par :


𝑃𝑠 𝑒 = 𝑀 − 1

𝑀erfc

3𝑙𝑜𝑔2𝑀

𝑀2 − 1 ∙ 𝐸𝑏

𝑁0

erfc 𝑧 = 1 − erf 𝑧 =2

𝜋 𝑒−𝜉

2

𝑑𝜉∞

𝑧

avecerf 𝑧 =2

𝜋 𝑒−𝜉

2

𝑑𝜉𝑧

0

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Probabilité d'erreur par symbole de l’ASK


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On peut alors constater que pour conserver une probabilité d'erreur par symbole

𝑃𝑠(e) constante lorsque M augmente, il faut aussi augmenter le rapport 𝐸𝑏

𝑁0

Il faut donc augmenter l'énergie émise par bit Eb.

Pour M = 4, le rapport 𝐸𝑏

𝑁0nécessaire à une probabilité d'erreur donnée est 4 dB

plus grand que pour M = 2.

Pour M élevé, le rapport 𝐸𝑏

𝑁0 doit être augmenté de 6 dB chaque fois que l'on

double M c'est-à-dire chaque fois que l'on ajoute un bit par symbole émis.


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Du point de vue pratique, c'est la probabilité d'erreur par bit 𝑃𝑏(e) qui est la plus

importante à déterminer.

Si on néglige la probabilité d'erreur entre symboles non voisins et si deux

symboles voisins ne diffèrent que d'un bit (Code de Gray), alors la probabilité

d'erreur par bit𝑃𝑏(e) peut s'écrire :

𝑃𝑏 𝑒 = 𝑃𝑠(𝑒)

𝑙𝑜𝑔2𝑀

car avec un symbole erroné, seulement un bit sur n = log2 M est erroné.


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Conclusion sur l’ASK:

La tentation d'augmenter M (c'est à dire le nombre de bits transmis par symbole) est

grande mais présente les avantages et les inconvénients suivants :

L'efficacité spectrale η = 1

𝑇𝐵 𝑙𝑜𝑔2𝑀 augmente, (pour une largeur de la

bande B donnée).

Malheureusement, la probabilité d'erreur par symbole Ps(e) augmente aussi, et,

pour ne pas la dégrader, il faudra augmenter l'énergie émise par bit Eb.

Finalement, ce type de modulation est simple à réaliser mais est assez peu

employé pour M > 2 car ses performances sont moins bonnes que celles d'autres

modulations, notamment pour sa résistance au bruit.


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3. MODULATION PAR DEPLACEMENT DE FREQUENCE (FSK)

Les Modulations par Déplacement de fréquence (MDF) sont aussi souvent appelées

par leur abréviation anglaise : FSK pour "Frequency Shift Keying".

Le signal modulé m(t) peut s'écrire :

L'expression du signal modulé par déplacement de fréquence s'écrit aussi plus

simplement, et en prenant𝜑0= 0 :

C'est la dérivée de la phase 𝜑 𝑡 qui est reliée de façon simple (linéaire) à

la valeur des symboles, le tout constituant une relation non linéaire.

La FSK ne présente pas de constellations.


𝑚 𝑡 = 𝑅𝑒[𝑒𝑗𝜑 𝑡 ∙ 𝑒j 𝜔0𝑡+𝜑0 ]

𝑚 𝑡 = cos 𝜔0𝑡 + 𝜑 𝑡 = cos(2𝜋 𝑓0𝑡 + 𝜑 𝑡 )

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La fréquence instantanée 𝑓 t du signal m(t) est obtenue par dérivation de la

phase Φ 𝑡 = 2𝜋𝑓0𝑡 + 𝜑 𝑡 par rapport au temps :

→ la fréquence centrale : 𝑓0 =𝜔0

2𝜋

→ la déviation de fréquence par rapport à la fréquence 𝑓0 : 1

2𝜋

𝑑φ

𝑑𝑡

est proportionnelle au signal modulant :

c-à-d :


𝑓 t = 1

2𝜋𝑑Φ

𝑑𝑡= 𝑓0 +

1

2𝜋

𝑑φ

𝑑𝑡

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

𝑓 t = 𝑓0 + 𝑞 ∙ 𝑎 𝑡

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La déviation de fréquence s'écrit alors, suivant la valeur à transmettre :

où la fonction g(t) est l'impulsion rectangulaire qui est prise en considération dans

l'intervalle [0,T[ puisque t doit vérifier la relation : kT ≤ t < (k+1)T.

Alors :


1

2𝜋

𝑑φ

𝑑𝑡= 𝑞 ∙ 𝑎𝑘 . 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

𝑑φ

𝑑𝑡= 2𝜋 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎𝑘. 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇

𝑘

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La phase étant l'intégrale de la fréquence, on obtient après intégration de

l'expression précédente et pour t appartenant à l'intervalle [kT, (k+1)T[ :

où 𝜃𝑘 = 𝜑 𝑘𝑇 est une constante.

Cette expression montre que la phase varie linéairement sur l'intervalle [kT,

(k+1)T[ et que cette variation est de :

Exercice : Retrouver l’équation (*).


𝜑 𝑡 = 2𝜋 ∙ 𝑞 ∙ 𝑎𝑘 ∙ 𝑡 − 𝑘𝑇 +𝜃𝑘 (*)

2𝜋 ∙ 𝑞 ∙ 𝑇 ∙ 𝑎𝑘

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En reportant l'expression de 𝜑 𝑡 dans la relation :

on trouve :

On obtient la fréquence instantanée :

Le facteur q noté ∆𝑓 s’appelle l’excursion de fréquence : ∆𝑓 =𝒟𝑓

2

avec : 𝒟𝑓 ( ou Shift : Décalage) : la différence de la fréquence instantanée

correspondant à l'émission de deux symboles adjacents.

ak : symbole appartenant à l'ensemble { ±1, ±3,… ±(M-1) }.


𝑓 t = 𝑓0 +1

2𝜋

𝑑φ

𝑑𝑡,

𝑓 t = 𝑓0 + ∆𝑓 ∙ 𝑎𝑘

𝑓 t = 𝑓0 + 𝑞 ∙ 𝑎𝑘

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L'expression du signal modulé devient en considérant les conditions initiales

nulles :

On peut aussi définir l'indice de modulation 𝜇 =𝒟𝑓

𝑅= 2 ∙ ∆𝑓 ∙ 𝑇

qui conditionne la forme de la densité spectrale du signal modulé.


𝑚 t = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋(𝑓0 + ∆𝑓 ∙ 𝑎𝑘) ∙ 𝑡

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La modulation FSK à phase discontinue :

Ce sont les FSK pour lesquelles la phase aux instants de transition kT peut

sauter brusquement.

Modulateur FSK à commutation d'oscillateurs


𝑓0 − ∆𝑓

𝑓0 + ∆𝑓

𝑓0 + ∆𝑓(𝑀 − 1)

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Le modulateur FSK le plus simple, représenté figure précédente, est constitué

d'oscillateurs différents.

La différence de fréquence entre deux oscillateurs voisins est𝒟𝑓 = 2 ∙ ∆𝑓 . La

fréquence instantanée du signal modulé saute d'une valeur à l'autre à chaque

changement de symbole.

→ Ceci ne permet pas de garantir la continuité de phase de m(t) et, par conséquent,

le spectre occupé par ce type de modulation est très large.

→ En effet, plus un signal est régulier, (ou plus il est dérivable à un ordre élevé) et

plus son spectre décroît rapidement.

L'intérêt de la FSK à phase discontinue réside dans la simplicité de réalisation du

modulateur et dans la possibilité d'une démodulation non cohérente.


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Exemple: FSK binaire à phase discontinue

On peut utiliser 2 porteuses et un commutateur pour sélectionner la fréquence de

la porteuse selon la valeur binaire du signal à transmettre :


𝑓1

𝑓2

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Cette méthode et simple mais il y’ a des discontinuités de la porteuse au moment

du changement de fréquences :

Discontinuités de phase


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Dans le cas d'une 2-FSK, ak prend sa valeur dans l'alphabet {-1, 1} en fonction

de la donnée "0" ou "1" à transmettre.

Dans un intervalle de temps donné [kT, (k+1)T[, la fréquence instantanée

𝑓 t = 𝑓0 + ∆𝑓 ∙ 𝑎𝑘 devient : 𝑓1 = 𝑓0 − ∆𝑓𝑜𝑢𝑓2 = 𝑓0 + ∆𝑓

La fréquence centrale s'écrit : 𝑓𝑜 =𝑓1+𝑓2

2

et l'excursion de fréquence est : ∆𝑓 =𝑓2−𝑓1

2

L'expression du signal modulé est : 𝑚 t = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋(𝑓0 ± ∆𝑓) ∙ 𝑡


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Le spectre résultant de cette modulation peut être déduit en considérant le signal

modulé comme la somme de deux signaux de type OOK, le premier avec une

porteuse 𝑓1 = 𝑓0 − ∆𝑓 , le second avec une porteuse𝑓2= 𝑓0 + ∆𝑓.


OOK 1

OOK 2

+

FSK

f1 f2

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Le spectre d’un tel signal s’obtient par sommation des deux spectres OOK, en

vertu du principe qui dit que la transformée de Fourier est une opération linéaire :


OOK 1

OOK 2

FSK

+

𝑓0 − ∆𝑓 𝑓0 + ∆𝑓

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La modulation FSK à phase continue (PC):

Dans les Modulations par Déplacement de Fréquence, on trouve les FSK avec

continuité de phase pour lesquelles la phase varie de façon continue aux instants

de transition kT.

Reprenons l'expression de la phase :

→ pour qu'il y ait continuité de phase entre la fin de l'émission du symbole ak-1 et le

début de l'émission du symbole ak, il faut avoir :

Cette condition de continuité est réalisée quand on utilise un oscillateur unique

dont on module la fréquence.


𝜑 𝑡 = 2𝜋 ∙ ∆𝑓 ∙ 𝑎𝑘 ∙ 𝑡 − 𝑘𝑇 +𝜃𝑘

Phase au début

de l'émission du

symbole ak

Phase au début

de l'émission du

symbole ak-1

Variation de

la phase

𝜃𝑘 =𝜃𝑘−1 + 2𝜋 ∙ ∆𝑓 ∙ 𝑇 ∙ 𝑎𝑘−1

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La modulation FSK à phase continue (PC) :

Exemple de modulateur M-FSK à PC

Modulateur M-FSK à PC

Il est constitué d'une logique de codage permettant de charger un convertisseur

N/A dont la tension de sortie, en forme de paliers, est représentative du symbole

à transmettre.

Cette sortie du CNA module alors un oscillateur commandé par tension (VCO).


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Exemple de démodulateur M-FSK à PC

Démodulateur M-FSK à PC

Il est constitué d'un discriminateur de fréquence dont la sortie fournie un signal

analogique à plusieurs niveaux.

Ce signal analogique est envoyé dans un convertisseur analogique numérique

(CAN) dont la sortie est décodée pour déterminer les symboles et régénérer le

train de bits reçus.


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Exemple: FSK binaire à PC

Le cas d'une 2-FSK à phase continue où ak prend sa valeur dans l'alphabet {-1, 1}

en fonction de la donnée "0" ou "1" à transmettre, est présenté ci-dessous.

Continuité de la phase


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Exemple: FSK binaire à PC

Le spectre ou contenu en fréquence d’un signal FSK est constitué de 2 raies, une

à la fréquence f1 (qu’on appelle aussi fspace ou fImpulsion) et l’autre à la fréquence f2

(qu’on appelle aussi fmarque ou fIntervalle). La largeur des raies dépend de la durée

des symboles. Les raies discrètes à 𝑓0 ± ∆𝑓 disparaissent.

La bande passante minimum théorique de la ligne de transmission pour passer

correctement un signal FSK est B = f2 – f1 + 2/T. Pour une application réelle, il

faut garder une bande passante un peu plus grande pour tenir compte du fait que

les filtres ne sont pas parfaits.

1 2 1 2


Spectre d’un signal 2FSK

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Efficacité spectrale FSK :

Pour augmenter l’efficacité spectrale du signal FSK, il faut rapprocher les deux

fréquences fImpulsion et fIntervalle . Cependant, si on rapproche trop ces fréquences,

la démodulation devient difficile.

On choisit habituellement un écart entre les deux fréquences 𝒟𝑓égal au débit

binaire D. Avec cet écart, le maximum d’une fréquence correspond au passage à

zéro de l’autre, ce qui rend la démodulation facile et très restante au bruit.

Le cas particulier où 𝒟𝑓 = 1/2 D, la modulation FSK prend alors le nom de MSK

(Minimum Shift Keying).


Spectre émis

lorsque le niveau

binaire est 1

Spectre émis

lorsque le niveau

binaire est 0

La somme des deux

1 2

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Cas particulier de la MSK

Minimum Phase–Shift Keying : Modulation par saut de phase. C’est la modulation

employée en téléphonie GSM.

La phase du signal modulé peut prendre M valeurs différentes.

Ce type de modulation est utilisé pour des signaux M-aires mais le plus souvent

dans les cas M = 2 et M = 4.

Dans cette modulation, la phase varie continûment car la modulation revient à

une modulation de fréquence.

Le diagramme de constellation est alors identique à celui d’une M-PSK (voir

partie II).

La MSK est également très robuste au bruit.



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La démodulation FSK

On peut utiliser 2 filtres comme sur la figure ci-contre : la tension crête de la

sortie des deux filtres est entrée dans le comparateur qui décide laquelle des

deux fréquences est la plus importante. Si l’amplitude de la fréquence « fIntervalle »

(f2) est la plus grande, alors c’est un 1.

Démodulateur FSK à base de détecteurs de crêtes


f1

f2

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La démodulation FSK

Une autre façon de démoduler un signal FSK est d’utiliser une PLL (Phase Lock

Loop). Un écrêteur élimine les très hautes tensions qui pourraient endommager

le circuit. Le comparateur de phase génère une tension d’erreur qui est

proportionnelle à la différence de fréquences entre ses deux entrées. Cette

tension d’erreur contrôle la fréquence d’un VCO.

Démodulateur FSK à base de détecteurs de crêtes

Il s’en suit que la tension d’erreur s’ajuste pour que la fréquence du VCO

devienne égale à celle du signal FSK. Lorsque la fréquence du FSK change (en

fonction du binaire), la tension d’erreur change aussi reproduisant ainsi le binaire.

Enfin un Trigger de Schmitt change les niveaux de tension pour les rendre

conformes.


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Exemple

Pour un modulateur FSK avec fréquence fImpulsion de 80 MHz, fréquence fIntervalle de

100 MHz et un débit binaire de 5 Mbits/s, déterminer :


2) La bande passante minimum requise pour la ligne de transmission.

3) L’efficacité spectrale.


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Solution

1) Chaque symbole ne peut prendre que 2 valeurs, soit un niveau logique 0 pour

fImpulsion , soit un niveau logique 1 pour fIntervalle. Il n’y a donc qu’un seul bit par

symbole.

2) La durée d’un symbole vaut T = 1/(5 Mbits/s) = 200 nsec.

La bande passante minimum est fIntervalle – fImpulsion + 2/T = 100 MHz - 80 MHz +

2/(200 nsec) = 30 MHz.

3) L’efficacité spectrale est 5 Mbits/s / 30 MHz = 0,17 bits par seconde par Hertz de

bande passante.


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Les performances de la FSK :

Il est possible de comparer les M-FSK

entre elles en utilisant la probabilité

d'erreur par bit en fonction du rapport 𝑬𝒃

𝑵𝟎

Ces courbes montrent que contrairement

aux modulations ASK, les performances

sont améliorées lorsqu'on augmente M.

Cependant l'augmentation de M entraîne

aussi l'augmentation de l'occupation

spectrale.


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Conclusion sur la FSK :

Nous avons trouvé deux types de Modulation par Déplacement de Fréquence,

chacun ayant présentant des avantages et des inconvénients :

La FSK à phase discontinue :

→ Elle est simple de réalisation.

→ Son principal défaut est la grande bande passante dont elle a besoin

pour pouvoir transmettre les sauts de phase.

La FSK avec continuité de phase :

→ Elle est plus complexe à réaliser.

→ Elle requiert une bande passante plus étroite.


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D’une manière générale, le principal inconvénient de la modulation FSK est sa

faible efficacité spectrale par rapport aux modulations de phase par exemple.

Mais elle comporte des avantages significatifs tels que :

→ Transmission sans que le récepteur ait à reconstituer le rythme binaire.

→ Non nécessité d’horloge bit à reconstituer.

→ Liaison synchrone ou asynchrone.


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Exemples d'utilisation :

La FSK à phase discontinue est fréquemment utilisée dans les systèmes de

transmission de données sur voie téléphoniques (MODEM).

Un cas particulier de la FSK à phase continue est la modulation GMSK

(Gaussian Minimun Shift Keying) qui a été choisie pour le système radio

cellulaire européen appelé GSM (Groupe Special Mobile)


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Documents

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