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7/24/2019 chap2_eco_ief_lamac.pdf

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CHAPITRE 2

MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

2.1 Prsentation

Un modle de rgressions multiple est un modle linaire avec une variale ! e"pli#uer et plusieurs

variales e"plicatives$ %&est une gnralisation des modles simples$ %ette gnralisation permet

de se rapproc'er plus des ralits conomi#ues comple"es$ Pour (aciliter l&induction statisti#ue)

ces modles et leurs '*pot'ses sont mis sous (orme matricielle$

2.1.1 Ecriture Matricielle du Modle

yi=1+ 2xi2+ 3xi2+ ...kxik+ ei i= 1, 2...n

y1 = 1+ 2x12+ 3x13+ . . . kx1k+ e1

y2 = 1+ 2x22+ 3x23+ . . . kx2k+ e2

y3 = 1+ 2x32+ 3x33+ . . . kx3k+ e3$$$

yn= 1+ 2xn2+ 3xn3+ . . . kxnk+ en

y1

y2

y3$$$

yn

(n,1)

=

1 x12 x13 x1k

1 x22 x23 x2k

1 x32 x33 $$$ x3k$$$

$$$ $$$

$$$ $$$

1 xn2 xn3 . . . xnk

(n,k)

1

2

3$$$

k

(k,1)

+

e1

e2

e3$$$

en

(n,1)

Y =X +

+,


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+- CHAPITRE 2. MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

. o/ Y =

y1

y2

y3$$$

yn

0vecteur de dimension(n, 1) des oservations de la variale ! e"pli#uer

. X =

1 x12 x13 ... x1j ... x1k

1 x22 x23 ... x2j ... x2k

1 x32 x33 ... x3j ... x3k$$$

$$$ $$$

$$$ $$$

1 xi2 xi3 ... xij ... xik$$$

$$$ $$$

$$$ $$$

1 xn2 xn3 ... xnj ... xnk

=matrice de dimension (n, k) des variales e"pli1

catives

. =

1

2

3$$$

k

=vecteur des paramtres de dimension (k, 1)

. =

e1

e2

e3$$$

n

vecteur des erreurs de dimension (n, 1)

. k=nomre des paramtres ! estimer etn=nomre d&oservations$

2.1.2 Hypothses du Modle

On considre les m2me '*pot'ses des modles simples #u&on met sous (orme matricielle et on

a3out l&'*pot'se #ue les variales e"plicatives ne sont pas corrles$

Hypothse-1 4H1)'*pot'se de linarit 5 Le vecteur des oservations de la variale ! e"pli#u

est une (onction linaire des de la matrice des variales e"plicative 5 Y =X +


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2.2. ESTIMATION : MTHODE MCO +6

Hypothse-24H2)Le terme d&erreur est un ruit lanc E() =

E(e1)

E(e2)

$$$

E(en)

=0

Hypothses4H3) & (H4) 5 var() =2 In =

2 0 0 ... 0 ... 0

0 2 0 ... 0 ... 0

0 0 2 ... 0 ... 0

$$$ $$$

$$$ $ $ $

$$$ $$$

0 0 0 ...

2

... 0$$$ $$$

$$$ $$$

$ $ $ $$$

0 0 0 0 ... 2

avecIn est la matrice identit d&ordre n

Hypothse-5 (H5)Les variales e"plicative X2, X3...Xk sont non alatoires

Hypothse- (H)5le vecteur des erreurs est un vecteur normale 5 N(0, 2In)

Hypothse-! (H!) " Les variales e"plicatives X2, X3...Xk sont linairement indpendantes$

%et asence de colinarit impli#ue essentiellement #ue la matriceX X est de plein rang et donc

inversile$ Si cet '*pot'se n&est pas vri7e on parle de multicolinarit ##

2.2 Esti$ation " Mthode M%

2.2.1 'ecteur des Para$tres Esti$s

Le principe de la mt'ode M%O consiste tou3ours ! Min

ni=1e2i ,la rsolution du prolme sur laase de l&criture matricielle du modle donne 5

= (X X)1 X Y 48$+9Proprits Math$atiues

. X

= 0

. X j= 0, j = 1, 2...k o/Xj est la 3ime colonne de la matrice X et #ui correspond au"oservations de la 3me variale e"plicative$

. Le premier vecteur de X estX 1 = (1, 1, 1...) = o/ est le vecteur unitaire


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+: CHAPITRE 2. MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

.Y =Y

. X X(k,k)=

n

xi2

xi3 ...

xij ...

xik

xi2 x2i2 xi2xi3 ... xi2xij ... xi2xikxi3

xi2xi3

x2i3 ...

xijxi3 ...

xi3xik

$$$ $$$

$$$ $ $ $

$$$ $$$

xij

xi2xij

xijxi3 ...

x2ij ...

xijxik$$$

$$$ $$$

$$$ $ $ $

$$$xik

xi2xik

xi3xik

xijxik ...

x2ik

. X Y(k,1)=

yixi2yixi3yi$$$

xijyi$$$

xikyi

.c = (XcXc)1 XcYc et1 = Y k

j=2

jXjavec

c(k1,1) =

2

3$$$

k

. Ycn,1 =

y1 Yy2 Y

y3 Y

$$$

yn Y

=

yc

1

yc2

yc3$$$

ycn


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2.2. ESTIMATION : MTHODE MCO +;

Xc(n,k1)==

x12 X2 x13 X3 ... x1j Xj ... x1k Xk

x22 X2 x23 X3 ... x2j Xj ... x2k Xk

x32 X2 x33 X3 ... x3j Xj ... x3k Xk$$$

$$$ $$$

$$$

xi2 X2 xi3 X3 ... xij Xj ... xik Xk$$$

$$$ $$$

$$$

xn2 X2 xn3 X3 ... xnj Xj ... xnk Xk

=

xc12 xc13 ... x

c1j ... x

c1k

xc

22

xc

23

... xc

2j

... xc

2k

xc32 xc33 ... x

c3j ... x

c3k

$$$ $$$

$$$ $$$

xci2 x

ci3 ... x

cij

... xcik

$$$ $$$

$$$ $$$

xcn2 xcn3 ... x

cnj ... x

cnk

avecY et Xj, j= 2, 3...k sont les mo*ennes des variales

. (XcXc)(k1,k1)=

xc2i2 xci2xci3 ... xci2xcij ... xci2xcikxi2xi3

xc2i3 ...

xcijx

ci3 ...

xci3x

cik

$$$ $$$

$ $ $ $$$

$$$xci2x

cij

xcijx

ci3 ...

xc2ij ...

xcijx

cik

$$$ $$$

$$$ $ $ $

$$$xci2x

cik

xci3x

cik

xcijx

cik ...

xc2ik

. XcYc(k1,1)=

xci2y

cixci3yci

$$$xcijy

ci

$$$xciky

ci

2.2.2 Proprits des Esti$ateurs M%

Le t'orme de Gauss1Mar


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8= CHAPITRE 2. MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

modles multiples par la mt'ode M%O donne des estimateurs linaires) sans iais convergents et

relativement e>caces 4?LUE9$

inarit 5 Le vecteur estim est (onction linaire de @ 5 = AY ou la matrice est A =(X X)

1X

*on +iais5 E() =E,cacit " On considre un autre estimateur linaire sans iais de :

=CYE() = :

On dmontre #uevar() var() est une matrice semi1d7nie positive alorsest plus e>cace

#ueOn note #ue

var() =2 (X X)1 48$89var(c ) =2 (XcXc)1 48$A9

2.3 'alidation tatistiue

2.3.1 est de i/ni0catiit ndiiduelle et nteralle de %on0ance

%omme pour les modles simples) on a les rsultats suivants 5

.j N(j, 2j ) pourj = 1, 2...k

.

e2i2

2(n k)

.j j j T(n k)

. Pour le test

H0 : j = 0H1 : j = 0 la rgle de dcision 5 on re3ette H0 si

j j

> t1/2. L&intervalle de con7ance est IC1(j) =

j t1/2 j

2.3.2 nalyse de la 'ariance

La variation totale de Y est mesure par la somme des carrs des carts ! sa mo*enne 5

SC T =n

i=1

yi Y

2$ La variation e"pli#ue par X correspond ! la variation deY) c&est la


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2.3. VALIDATION STATISTIQUE 8+

somme des carrs des carts des valeurs estimes ! la mo*enne estime 5SC E=

ni=1

(yiY)2$ La

variance e"pli#ue par l&alea correspond ! la variance du vecteur des rsidus 5

. SC T =n

i=1

yi Y

2=YcYc =Y Y nY

2

. SC E=n

i=1

(yi Y)2 =YcYc =YY nY2 =cXcXcc. SC R=

ni=1

e2i =. SC T =SCE+ SCR

2.3.3 est de i/ni0catiit loale

Le test de signi7cativit gloale consiste ! tester la validit du modle dans son ensemle$ Il

s&agit de tester s&il e"iste au moins une variale signi7cative$ %eci revient ! tester 5 H0 :

c = 0

H1 : c = 0

H0 : 2= 3=...k = 0H1 : j {2...k} tq j = 0

%e test est un cas particulier des tests de s*stmes de contraints Linaires sur les paramtres$

Binsi on prsent d&aord ces tests de contraints pour dduire ensuite la rgle de dcision pour le

test de signi7cativit gloale$

est d6un yst$e de %ontraints inaires sur les Para$tres

On considre le modleyi= 1 + 2xi2 + 3xi2 + ...kxik + ei i= 1, 2...n) et soitR une matrice !

qlignes etk colonnes etr est un vecteur !qlments) on c'erc'e ! tester le s*stme ! qcontraints

suivant 5

H0:R=r

Sous l&'*pot'se de normalit des erreurs) l&estimateur M%O du vecteurest un vecteur normale 5

N(,2 (X X)1) 48$C9Il dcoule #ue sous l&'*pot'seH0 : R=r

W =

R r R2 (X X)1 R1 R r 2(q) 48$,9


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88 CHAPITRE 2. MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

la variance 2 tant inconnue) on ne peut pas utiliser la (onction de luation##) mais) sac'ant

#ue

e2i2

=SC R

2 2(n k) alors on dduit

Wq

SC R

2 (n k)

!(q, n k) d&o/

! =

R r R (XX)1 R1 R r q

SCR(n k) !(q, n k) 48$-9

Lors#ue on considre le modle centr 5Yc = Xcc + , pour tester H0:Rc =r la rgle de

dcision au ris#ue ", consiste ! re3eterH0 si ! > #1(q, n k)

est de i/ni0catiit loale

L&'*pot'se de ase pour le test de signi7cativit gloale est 5 H0 :c = 0 H0 :R

c =r) o/

R= Ik1) r= 0et q= k 1$ Blors on peut utiliser la statisti#ue par luation##en remplaant

ces lments 5

! =

Rc r R (XcXc)1 R1 Rc r q

SCR(n k) =

c (XcXc)c(k 1)SCR(n k)

= SCE(k 1)

SCR(n k)

Binsi) pour tester la signi7cativit gloale d&un modle de rgression on re3ette H0 4le modle

est gloalement signi7cati(9) si !cal = SCE(k 1)

SCR(n k)> #1(k 1, n k)$

Pouoir E7plicatie des $odles $ultiples

80nition-1 5 Le pouvoir e"plicative d&un modle multiple est la part de la variance de @

e"pli#uer par le modle) il est mesure par le coe>cient de dtermination R2 =SC E

SC T

80nition-2 "Le coe>cient de dtermination a3ustR2

= 1 (n 1)(1 R2)

(n k)

tient compte du

nomre de variales$ En eet) le principal d(aut du R2est de croFtre avec le nomre de variales

e"plicatives$ Or) on sait #u&un e"cs de variales produit des modles peu roustes$ Le coe>cient de

dtermination a3ust tient compte du nomre de variales$ %&est pour#uoi on s&intresse davantage

! cet indicateur #u&auR2 notamment pour comparer deu" modles #ui n&ont pas le m2me nomre

de variales e"plicatives$

9e$arues "

+$ !cal = R2

1 R2(n k)

(k 1)

8$ R2

a3ust est tou3ours in(rieur au R2


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2.4. PRVISION 8A

2.4 Prision

La valeur de Y ! la priode t > T est donne par 5yp

t =

1

+2

xp

t

2

+3

xp

t

3

+...k

xp

t

k

+

ept =Xpt+ e

pt ou X

pt = [1, x

pt2, x

pt3...x

ptk] . La valeur prvisionnelle de Y et l&erreur de prvision

sont respectivement 5

ypt = Xpt 48$69ept =ypt ypt 48$:9

Si le modle est estim par la mt'ode M%O) les prvisions seront sans iais 5 E(ept) = 0E(ept) =E(ypt ypt) =EXpt ept= 0La prvision par intervalle de con7ance utilise) comme pour les modles simples le (ait #ue 5

yptypt2ep

t

T(n 2) alors

IC1(ypt) =

ypt t1/22ept

48$;9

o/2ept =var(ept) =varXpt ept= var Xpt + var (ept)=Xptvar

(Xpt) + var (ept) =2 Xpt(XX)1 (Xpt) + 1 .


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2.4. PRVISION 8,

Exercice 3

On considre le modle& 5yi = 1 + 2xi2 + +3xi3 + i i= 1, 2....100) o/Y =salaire nominal H

X2 = e"prience pro(essionnelle X3 = niveau d&instruction$ Les donnes relatives au" variales

e"plicatives sont rsumes parXcXc =

64 44 1

HLuation estime du modle & estM :yi= 258, 5

(13,01)

+ 25, 4(1,30)

xi2+ 185, 9(10,41)

xi3 i= 1, 2...100

Les valeurs entre parent'ses sont les carts1t*pes estims des paramtres

+$ Donner une interprtation conomi#ue de la valeur estime de 1$

8$ Estimer la variance des rsidus$

A$ %alculer le coe>cient de dtermination du modle$

C$ uelle est la valeur anticipe du salaire d&un emplo*er #ui a += ans d&e"prience pro(ession1

nelle et dont le niveau d&instruction est gale ! A 4niveau suprieur9

Exercice 3

Partie

On se propose d&identi7er les (acteurs dterminants dans l&volution de la consommation d&es1

sence$ On utilise des donnes annuelles allant de +;:= ! 8==- relatives au" variales suivantes 5

. Y 5 La consommation d&essence en terme rel H

. X2 5 L&indice du pri" de l&essence H

. X3 5 L&indice des pri" des nouvelles voitures H

. X4 5 L&indice des pri" des iens durales 5JC

. X5 5 Revenue relle disponile H

Les donnes relatives ! ses variales son rsumes par (XcXc)1 = 102

0, 708 2, 555 10, 233

30, 482 84, 730

259, 490

) XcYc =

846

339

193

1560

) YcYc = 50000


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8- CHAPITRE 2. MODELES DE REGRESSION MULTIPLES

+$ Estimer et tester au ris#ue de , la signi7cativit des coe>cients des variales e"plicatives

8$ Kuger conomi#uement ces coe>cients

A$ Tester l&'*pot'se #u&une augmentation des pri" des iens durales est #uivalente ! une

aise de revenue disponile

C$ Tester au ris#ue de += le s*stme des contraints suivant 5H0:

3= 42

73+4 = 1

2+ 3=4

Partie

On se propose de savoir si les pri" du transport pulic ont un eet sur la consommation

d&essence H on a3oute l&indice des pri" du transport pulic 4X69 comme variale e"plicative

au modle prcdent$ Le rsultat d&estimation est

c,$ 4a9 Tester la signi7cativit gloale du modle

49 %alculer le coe>cient de dtermination de la deu"ime rgression

4c9 Dresser le taleau d&anal*se de la variance

-$ %alculer la part de X5 dans l&e"plication du modle

6$ Est1ce #ue l&a3out de la varialeX5 amliore la #ualit d&a3ustement du modle

:$ Tester si cette amlioration est signi7cative

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