CHAPITRE 10 : Trigonométrie 1 Longueur d’un arc de cercle...........................................................................................................2

2 Le radian.........................................................................................................................................2

2.1 Définition................................................................................................................................2

2.2 Conversion en degrés.............................................................................................................3

3 Cercle trigonométrique..................................................................................................................3

4 Sinus et cosinus d’un réel...............................................................................................................4

4.1 Définitions..............................................................................................................................4

4.2 Valeurs remarquables de sinus, cosinus.................................................................................4

5 Angle orienté de deux vecteurs......................................................................................................5

6 Mesure principale d’un angle orienté............................................................................................6

6.1 Définition................................................................................................................................6

6.2 Une méthode pour trouver la mesure principale d’un angle orienté.....................................6

7 Propriétés des angles orientés.......................................................................................................7

7.1 Vecteurs colinéaires...............................................................................................................7

7.2 Vecteurs orthogonaux............................................................................................................7

7.3 Relation de Chasles.................................................................................................................7

7.4 Conséquences de la relation de Chasles.................................................................................8

8 Angles associés x ; –x ; pi+x ; pi-x....................................................................................................8

9 Angles associés pi/2+x ; pi/2-x........................................................................................................8

10 Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a...........................................................9

10.1 Equation cos x = cos a.............................................................................................................9

10.2 Equation sin x = sin a..............................................................................................................9

1

(C )

(C )

(C )

CHAPITRE 10 : Trigonométrie

1 Longueur d’un arc de cercleSoit le cercle (C ) de centre O et de rayon r. Soit A et B deux points du cercle (C ) .

La longueur l de l’arc AB est :

l=α r

où α est la mesure en radians de l’angle géométrique AOB.

Cas particulier : Si A et Bsont diamétralement opposés, alors l=π r. Ainsi, la mesure de l’angle plat AOB est π rad.

2 Le radian

2.1 DéfinitionSoit (C ) le cercle de centre O et de rayon r. L’angle AOB qui découpe sur le cercle un arc AB de longueur égale au rayon du cercle a pour mesure 1 radian.

2

l=r

l=πr

l

(C )

+

2.2 Conversion en degrésL’angle plat mesure π radians et aussi 180 °. La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degré.

Ainsi, on obtient le tableau des valeurs remarquables :

α en degrés 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135 ° 150 ° 180 °

360 °

α en radians

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 2π

Exemple : Si α=2π5 rad alors α=2π

5× 180

π=2×180

5=72°

3 Cercle trigonométrique

Définition : Soit (O ; i; j ) un repère orthonormé du plan.Le cercle (C ) de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi comme sens positif le sens contraire des aiguilles d’une montre est appelé cercle trigonométrique.

Le sens positif est le sens direct. L’autre sens est le sens négatif ou sens indirect.Soit D la tangente au cercle (C ) au point I et soit K le point de D de coordonnées (1 ;1 ) dans le

repère (O ; i ; j ).Par le procédé de l’enroulement de la droite D, qui représente les nombres réels, autour du cercle trigonométrique (C ) :

A tout point N de la droite D d’abscisse x dans le repère ( I ; IK ) on associe un point M du cercle (C )

A tout point M de (C ) on associe une infinité de points de la droite D dont les abscisses dans le repère ( I ; IK ) sont x, x+1× 2π , x+2× 2π , … , x−1×2π , x−2×2 π, …

Propriété :

3

× 180π

× π180

x

x 1

Soit x un réel et M le point du cercle (C ) associé au réel x. Le point M est associé à tous les réels de la forme x+k ×2 π ,k∈Z.

4 Sinus et cosinus d’un réel4.1 DéfinitionsSoit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.

On appelle cosinus du réel x l’abscisse du point M dans le repère (O ;i; j ). On appelle sinus du réel x l’ordonnée du point M dans le repère (O ; i ; j ).

Propriétés Pour tout réel x, cos (x)∈ [−1 ;1 ] et sin (x)∈ [−1 ;1 ]. Pour tout réel x, cos ( x+k × 2π )=cos (x ) et sin ( x+k ×2π )=sin (x) avec k∈Z. Pour tout réel x, cos2 x+sin2 x=1

4.2 Valeurs remarquables de sinus, cosinus

4

5 Angle orienté de deux vecteursSoit u et v deux vecteurs non nuls et D1 et D2 les demi-droites d’origine O dirigées respectivement par les vecteurs u et v. Soit A et B les points d’intersection des demi-droites D1 et D2 avec (C ).

L’angle orienté ( u ; v ) est le couple (OA ;OB ).Si a et b sont les réels associées aux points A et B par enroulement de la droite des réels autour du cercle, alors les mesures en radians de l’angle orienté (OA ;OB ) sont les réels b−a+k× 2π , k∈Z

Angles orientés particuliers :

5

D1

D2

(C

Remarque :

Pour tout x∈ R−{π2+kπ , k∈Z }, on a :

tan x= sin xcos x

D’où les valeurs remarquables :

x 0 π6

π4

π3

π2

sin x 0 12

√22

√32

1

cos x 1 √32

√22

12 0

tan x 0 √33

1 √3nondéfinie

( u ; u )=0+k ×2 π , k∈Z

( u ;−u )=π+k × 2π , k∈Z

Si λ>0 , alors (u ; λ u )=0+k× 2π , k∈Z

Si λ<0 , alors (u ; λ u )=π+k ×2 π , k∈Z

6 Mesure principale d’un angle orienté

6.1 DéfinitionParmi toutes les mesures d’un angle orienté, celle qui se trouve dans l’intervalle ¿−π ; π ¿¿ est la mesure principale.

Exemples

34

π, 1718

π et −512

π sont des mesures principales car 34

π, 1718

π et −512

π se trouvent dans

l’intervalle¿−π ; π ¿¿, ou , ce qui revient au même, 34 ,

1718 et

−512 se trouvent dans l’intervalle

¿−1;1 ¿¿.

2003

π n’est pas une mesure principale car200

3π n’est pas dans l’intervalle ¿−π ; π ¿¿ ou ce qui

revient au même, 200

3 ne se trouve pas dans l’intervalle¿−1;1¿¿.

6

6.2 Une méthode pour trouver la mesure principale d’un angle orienté

La mesure principale α correspondant à 200

3π est telle que :

α∈ ¿−π ; π ¿¿ et

α=2003

π+k × 2π ,k∈Z

α=(2003

+k× 2) π , k∈Z

On cherche k dans Z tel que :

−1<( 2003

+k ×2)≤1

−1< 2003

+ 6k3

≤1

−1< 200+6k3

≤ 1

−3<200+6k ≤3−203<6 k≤−197−203

6<k ≤−197

6−203

6≈−33,83−197

6≈−32,83

D’où k=−33

D’où la mesure principale α=( 2003

−33× 2) π

α=(2003

−66)π

α=(2003

−1983 )π

α=23

π

7 Propriétés des angles orientés

7.1 Vecteurs colinéairesDeux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si :

Cas où u et v sont de même sens

( u ; v )=0+k × 2π , k∈Z

ou

7

Cas où u et v sont de sens opposés

( u ; v )=π+k ×2π , k∈Z

7.2 Vecteurs orthogonauxDeux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si :

1er cas

( u ; v )=π2

+k ×2π ,k∈Z

ou

2ème cas

( u ; v )=−π2

+k ×2 π , k∈Z

7.3 Relation de ChaslesPour tous vecteurs non nuls u, v et w on a :

( u ; v )+( v ; w )= (u ; w )

7.4 Conséquences de la relation de Chasles

( v ; u )=−( u ; v )+k × 2π , k∈Z

( u ;−v )= (u ; v )+π+k ×2π ,k∈Z

8

(−u ;−v )=(u ; v )+k ×2 π , k∈Z

8 Angles associés x ; –x ; pi+x ; pi-x 

Pour tout x∈ R ,{ cos (−x )=cos ( x )sin (−x )=−sin (x )

Pour tout

x∈ R ,{cos ( π−x )=−cos (x)sin (π−x )=sin ( x )

Pour tout x∈ R ,{cos ( π+x )=−cos ( x )sin ( π+x )=−sin (x )

9 Angles associés pi/2+x ; pi/2-x

Pour tout x∈ R ,{ cos ( π2−x)=sin ( x )

sin( π2−x)=cos (x)

Pour tout x∈ R ,{cos ( π2+x)=−sin ( x )

sin( π2+ x)=cos (x )

10 Equations trigonométriques cos x = cos a et sin x = sin a10.1 Equation cos x = cos a

9

Soit x et a des réels.

L’équation :

cos x=cosa

a pour solutions x=a+k ×2π , k∈Z etx=−a+k ×2 π , k∈Z

Exemple :

Résoudre dans R l’équation cos x=12

Réponse :

cos x=12

On met l’équation sous la forme cos x=cosa

cos x=cos π3

Solutions : x=π3+k× 2π , k∈Z et x=−π

3+k× 2π , k∈Z

10.2 Equation sin x = sin a

Soit x et a des réels.

L’équation :

sin x¿ sin a

a pour solutions x=a+k ×2π , k∈Z etx=π−a+k ×2 π , k∈Z

Exemple :

Résoudre dans ¿−π ; π ¿¿ l’équation sin x=−√32

Réponse :

sin x=−√32

On met l’équation sous la forme sin x=sin a

sin x=sin(−π3 )

Solutions : x=−π3

+k× 2π , k∈Z et x=π−(−π3 )+k ×2 π , k∈Z

Dans ¿−π ; π ¿¿ les solutions sont x=−π3 et x=π+ π

3−2π=−2π

3

10

11