Chapitre 3 : Integration au sens de Lebesgue

Ahmed Zeriahi

Version preliminaire-octobre 2011

Avertissement : Ceci est une version preliminaire des notes du cours quel’auteur a dispense en troiseme annee de Licende de Mathematiques Fon-damentales a l’Universite Paul Sabatier. Elles n’ont pas ete completementrelues et corriees. Il y a donc encore quelques coquilles, voire quelques er-reurs... Merci de les sigaler a l’auteur.

Introduction

Nous allons maintenant introduire une classe importante de fonctions donton voudrait definir l’integrale. Pour motiver la definition generale, con-siderons une fonction positive f : I → R+ que nous supposerons a valeursdans [0, 1] pour simplifier. Nous voulons definir l’integrale de f sur I commel’aire sous la courbe representative de f au dessus de I. Comme nousl’avions dit dans l’introduction, la methode de Lebesgue consiste a subdi-vider l’intervalle but, ici [0, 1] en N petits intervalles [yk, yk+1[ de longueurs∆yk = k/N (0 ≤ k ≤ N−1) et a approcher l’aire sous la courbe par la sommedes aires des pseudo-rectangles induits par cette subdivisions. De faconplus precise, la subdivision (yk) determine une ”partition” de l’intervallesource I en N ensembles definis par ANk := {x ∈ I; yk ≤ f(x) < yk+1}pour 0 ≤ k ≤ N − 1 et ANN := {x ∈ I; f(x) ≥ 1} (certains ensemblespouvant etre vides). Chaque ensemble ANk definit un ”pseudo-rectangle”ANk× [0, yk] ⊂ I×R+ de base ANk et de hauteur yk qui est une approxima-tion de la portion de domaine sous la courbe situe au dessus de l’ensembleANk et dont l’aire est λ(ANk) · yk. Il est alors naturel de chercher a definirl’integrale de f comme∫

If(x)dλ(x) := lim

N→+∞

(N∑

k=0

ykλ(ANk)

),

a condition que les longueurs λ(ANk) soient bien definies i.e. que les en-sembles ANk soient mesurables au sens de Lebesgue et que la limite existe.

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C’est cette condition de mesurabilite des ensembles du type ANk qui nousservira de efinition de la notion de fonction mesurable.

Nous allons mettre en oeuvre ces idees pour definir l’integrale dans uncadre assez general.

1 Fonctions mesurables

Nous avons vu dans l’introduction que pour donner un sens a l’integraled’une fonction f (bornee) sur un intervalle il est important que les ensemblesdu type {x ∈ I; a ≤ f(x) < b} soient mesurables au sens de Lebesgue. C’estce qui motive la definition suivante.

Dans toute cette section (X, T ) sera un espace mesure.

Definition 1.1 Soient (X, T un espace mesurable. Une fonction f : X −→R dite mesurable sur (X, T ) ou T −mesurable sur X si pour tout nombrereels a, b ∈ R, l’ensemble {a < f < b} = f−1(]a, b[) est T −mesurable.2) Si de plus X est un espace topologique et B(X) est la tribu des boreliensde X, on dit que f : X −→ R est une fonction borelienne sur X si f estB(X)−mesurable sur X.

On a la caracterisation suivante de la mesurabilite.

Proposition 1.2 Soit (X, T ) un espace mesurable et f : X −→ R une fonc-tion. Alors les proprietes suivantes sont equivalentes.(i) f est T −mesurable sur X,(ii) pour tout a ∈ R, l’ensemble {x ∈ X; f(x) < a} appartient T ,(iii) pour tout a ∈ R, l’ensemble {x ∈ X; f(x) ≤ a} appartient T ,(iv) pour tout a ∈ R, l’ensemble {x ∈ X; f(x) ≥ a} appartient T ,(v) pour tout a ∈ R, l’ensemble {x ∈ X; f(x) > a} appartient T ,(vi) pour tout ouvert V de R, f−1(V ) ∈ T ,(vii) pour tout borelien B de R, f−1(B) ∈ T .

Demonstration: 1. Pour tout a ∈ R on a [−∞, a[= ∪n∈N∗ ] − n, a[ de sorteque

{x ∈ X; f(x) < a} = f−1([−∞, a[) = ∪n∈N∗f−1(]− n, a[),

ce qui prouve que (i)⇒ (ii) puisque T est stable par σ−reunion.2. L’implication (ii)⇒ (iii) se demontre de la meme facon en observant que[−∞, a] = ∩n∈N∗ [−∞, a+ 1/n[ et donc f−1([−∞, a]) = ∩n∈N∗f

−1([−∞, a+1/n[).3. L’implication (iii) ⇒ (iv) resulte du fait que {x ∈ X; f(x) ≥ a} =R \ {x ∈ X; f(x) < a}.4. L’implication (iv) ⇒ (v) resulte du fait que {x ∈ X; f(x) > a} =∩n∈N∗{x ∈ X; f(x) ≥ a+ 1/n}.

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5. Montrons d’abord que (v) implique (i). En effet si a < b ∈ R, {a <f < b} = {a < f} \ {f ≥ b} et {f ≥ b} = ∩n∈N∗{f > b − 1/n}, leresultat decoule alors de l’hypothese (v) et de la stabilite de T par lesoperations booleennes denombrables. D’autres part puisque tout ouvertde R est reunion denombrable d’intervalles ouverts, la propriete (vi) estequivalente a (i).6. Comme tout ouvert est un borelien, on (vii)⇒ (vi). Il reste a demontrerque (vi) ⇒ (vii). En effet, considerons la classe Σ des parties S ⊂ Rtelles que f−1(S) ∈ B(R). Il est facile de voir que Σ est une tribu sur Ret l’hypothese (vii) signifie que tout ouvert V ⊂ R appartient a Σ. Il enresulte par definition de la tribu borelienne sur R que B(R) ⊂ Σ. I

Corollary 1.3 Soit Z est un espace topologique. Alors toute fonction f :Z → R (semi-)continue sur Z est borelienne sur Z.

Proposition 1.4 1. Soient f, g : X −→ R deux fonctions T −mesurablessur X. Alors les fonctions sup(f, g) et inf(f, g) sont T −mesurables surX. En particulier les fonctions f+ := sup(f, 0), f− := sup(−f, 0) sontT −mesurables sur X.2. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions T −mesurables sur X. Alors supn∈N fn,infn∈N fn, lim supn→+∞ et lim infn→+∞ fn sont des fonctions T −mesurablessur X.

Demonstration: 1. La premiere propriete resulte de la second propriete ap-pliquee a deux fonctions.2. Observons que pour tout a ∈ R, {supn∈N fn ≤ a} = ∩n∈N{fn ≤ a}et {infn∈N fn ≥ a} = ∩n∈N{fn ≥ a}. En appliquant la proposition 1.2,on en deduit que supn∈N fn, infn∈N fn sont T −mesurables sur X. Commelim supn→+∞ fn = supn∈N (infk≥n fk) et que lim infn→+∞ fn = infn∈N

(supk≥n fk

),

on en deduit que les fonctions lim supn→+∞ fn et lim infn→+∞ fn sont T −mesurablessur X. I

Pour donner les premiers exemples de fonctions T −mesurables, nousaurons besoins de la definition suivante.

Definition 1.5 Une fonction ϕ : X −→ R est dite T −etagee sur X si elleest T −mesurable sur X et ne prend qu’un nombre finie de valeurs i.e. ϕ(X)est une partie finie de R.

Voici un resultat immediat qui caracterise ces fonctions.

Proposition 1.6 Une fonction ϕ : X −→ R est T −etagee sur X si etseulement si elle s’ecrit sous la forme ϕ =

∑i∈I αi1Ai, ou (Ai)i∈I est une

famille finie de parties T −mesurables de X et (αi)i∈I est une famille finiede nombres reels. De plus si ϕ est T −etagee sur X, on peut faire en sorteque (Ai)i∈I soit une partition de X.

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Demonstration: En effet si ϕ est mesurable et ne prend qu’un nombre fini devaleurs α1, · · · , αp ∈ R deux a deux distinctes, en posant pour i = 1, · · · , p,Ai := ϕ−1(αi) = {x ∈ X;ϕ(x) = αi}, on obtient une partition de X enensmebles mesurables telle que ϕ = αi sur Ai, ce qui prouve que ϕ =∑

1≤i≤p αi1Ai sur X. Inversement si ϕ =∑

i∈I αi1Ai comme dans lenoncealors les valeurs de ϕ sont parmi les nombres reels {

∑j∈J αi, ou J ⊂ I est

une partie finie de I. Comme I est fini, un tel ensemble de valeurs est fini.I

Theorem 1.7 (Theoreme d’approximation). Soit (X; T ) un espace mesurable.1) Si f : X −→ R+ est une fonction T −mesurable positive sur X, il existeune suite croissante (ϕn)n∈N de fonctions T −etagees positives sur X quiconverge (simplement) vers f i.e. ∀x ∈ X, limn→+∞ ϕn(x) = f(x). De plus,si f est bornee sur X, la convergence est uniforme sur X.2) Toute fonction f : X −→ R T −mesurable est limite (simple) d’une suitede fonctions T −etagees sur X.

Demonstration: 1) L’idee est de ”subdiviser” l’ensemble R+ des valeurs def en ”intervalles” adaptes : pour chaque entier n ∈ N∗ assez grand, onconsidere la subdivision suivante de l’ensemble but

R+ = ∪0≤k≤n2n−1

[k2−n, (k + 1)2−n

[∪ [n2n,+∞] ,

et on considere la partition de l’ensemble source X induite par cette subdi-vision :

An,k := {x ∈ X; k2−n ≤ f(x) < (k + 1)2−n}, si 0 ≤ k < n2n − 1,

etAn,k := {x ∈ X; f(x) ≥ n}, si k = n2n.

Ces n2n ensembles sont T −mesurables deux a deux disjoints de reunion X.Posons pour chaque n ∈ N,

ϕn :=n2n∑p=0

k2−n · 1An,k.

Alors (ϕn) est une suite croissante de fonctions T −etagees sur X. En effetfixons x ∈ X tel que f(x) < +∞ et soit n ∈ N tel que f(x) < n. Alors ilexiste k tel que k2−n ≤ f(x) < (k + 1)2−n. Il y a deux cas possible :- ou bien k2−n = 2k2−n−1 ≤ f(x) < (2k + 1)2−n−1, dans ce cas ϕn(x) =ϕn+1(x) = k2−n ≤ f(x),- ou bien (2k + 1)2−n−1 ≤ f(x) < (2k + 2)2−n−1, dans ce cas ϕn(x) <ϕn+1(x) = (2k + 1)2−n−1 ≤ f(x).

Dans tous les cas si f(x) < +∞, pour tout n ∈ N tel que n > f(x), ona ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) ≤ f(x) et 0 ≤ f(x) − ϕn(x) ≤ 2−n. Si f(x) = +∞,

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on a ϕn(x) = n pour tout n ∈ N, ce qui prouve notre assertion. Si f estbornee, alors pour n ∈ N tel que n > supX f et pour tout x ∈ X, on a0 ≤ f(x)−ϕn(x) ≤ 2−n, ce qui prouve que (ϕn)n∈N converge uniformementsur X vers f .2. Dans le cas general on ecrit f = f+ − f− et on applique le resultat de lapremiere partie a chacune des fonctions f±. I

Corollary 1.8 Soit f, g : X −→ R des fonctions T −mesurables sur X.Alors1) si f et g ne prennent pas simultanement des valeurs infinies de signesopposes en aucun point de X, la fonction f + g est T −mesurable sur X, enparticulier |f | est T −mesurable sur X,2) si aucune des fonctions f et g ne prend la valeur infinie pendant quel’autre prend la valeur zero en aucun point de X, la fonction f · g estT −mesurable sur X,

Demonstration: Par hypotheese, il existe des suites (ϕn)n∈N et (ψn)n∈N defonctions T −etagees sur X telle que f = limn→+∞ ϕn et g = limn→+∞ ψn

sur X. Il est alors clair que

f + g = limn→+∞

(ϕn + ψn), f · g = limn→+∞

(ϕn · ψn),

sur X. Comme pour chque n ∈ N, ϕn + ψn et ϕn · ψn sont des fonctionsT −etagees sur X, il en resulte que f+g et f ·g sont T −mesurables sur X.I

2 Integrale d’une fonction mesurable positive

Soit (X, T , µ) un espace mesure. On designe par E = E(X, T ) l’espacevectoriel des fonctions T −etagees sur X et par E+ = E+(X, T ) le cone desfonctions T −etagees positives sur X.

2.1 Integrale d’une fonction etagee positive

La relation entre la theorie des ensembles et celle des fonctions se fait parl’application bijective suivante

P(X) 3 A 7−→ 1A ∈ {0, 1}X ,

ou 1A est la fonction caracteristique de A dans X definie par 1 sur A et 0sur X \A. De plus A ∈ T ssi la fonction 1A est T −mesurable sur X.

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Il est donc naturel de poser la definition suivante de l’integrale de lafonction carateristique d’un ensemble A ∈ T∫

X1Adµ = µ(A).

En particulier∫X

0dµ =∫

X1∅dµ = 0,

∫X

1dµ =∫

X1Xdµ = µ(X).

Si α ∈ R+, l’integrale de la fonction etagee ϕ := α · 1A devrait etre egalepar linearite a α · µ(A). Si α = 0 on a ϕ = 0 et donc 0 =

∫X ϕdµ = 0 · µ(A)

meme si µ(A) = +∞. On doit donc convenir que 0 · (+∞) = 0. Soit ϕ ∈ E ,il existe par definition une famille finie (A)i∈I d’ensembles T −mesurables etune famille finie (αi)i ∈ I de nombres reels tels que

ϕ =∑i∈I

αiχAi

sur X. Cette decomposition n’est pas unique en general mais quelque soit ladefinition de l’integrale adoptee, elle devrait etre lineaire et donc satisfairela relation suivante ∫

Xϕdµ =

∑i∈I

αiµ(Ai)

Cette formule a deux inconvenients. D’une part certains termes peuventetres infinis de signes opposes et d’autre part elle depend a priori de ladecomposition de ϕ en combinaison lieaire de fonctions caracteristiques.

Pour pallier au premier inconvenient, on commencera par considerer descoefficients αi positifs ou nuls. Pour pallier au second inconvenient on vautiliser dans un premier temps la decomposition canonique de ϕ (suivant lesvaleurs prises).

En effet, comme on l’a deja vu, si ϕ est une fonction T −etagee positivesur X, elle ne prend qu’un nombre finie de valeurs positives deux a deuxdistinctes u1, · · · , uN ∈ R+. En posant

Uj := ϕ−1(uj), j = 1, · · · , N.

on obtient une est une partition finie (Uj)1≤j≤N de X formee d’ensemblesT −mesurables telle que

ϕ =∑

1≤j≤N

uj · 1Uj =∑

1≤j≤N

uj · 1ϕ−1(uj)

sur X.Une telle decomposition est associee de facon unique (a l’ordre des termes

pres) a ϕ, elle sera dite decompostion canonique de ϕ (suivant les valeursprises).

Il est alors naturel de poser la definition suivante

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Definition 2.1 Soit ϕ une fonction T −etagee positive sur X et

ϕ =∑

1≤j≤N

uj · 1Uj

sa decomposition canonique. On pose∫Xϕdµ :=

∑1≤j≤N

uj · µ(Uj).

Ce nombre reel positif element de R+ est appele l’integrale de f sur X parrapport a µ. Cette definition peut sembler trop restrictive car fondee sur ladetermination de la decomposition canonique de ϕ. Elle permet neanmoinsde demontrer les proprietes algebriques de l’integrale.

On designera par E+(X, T ) l’ensemble des fonctions T −etagees positivesur X. On va etablir les premieres proprietes de l’integrale sur ce cone.

Proposition 2.2 L’ensemble E+(X, T ) est un cone convexe et positif i.e.si ϕ,ψ ∈ E+(X, T ) et α ≥ 0, alors αϕ ∈ E+(X, T ) et ϕ + ψ ∈ E+(X, T ).De plus on a les proprietes suivantes:1) l’integrale est (positivement) homogene sur E+(X, T ) i.e.∫

Xα · ϕdµ = α ·

∫Xϕdµ

2) l’integrale est additive sur E+(X, T ) i.e.∫X

(ϕ+ ψ)dµ =∫

Xϕdµ+

∫Xψdµ,

3) l’integrale est monotone (croissante) sur E+(X, T ) i.e.

0 ≤ ϕ ≤ ψ ⇒∫

Xϕdµ ≤

∫Xψdµ.

Demonstration: 1. Si ϕ =∑

1≤j≤p uj1Uj est la decomposition canonique deϕ, celle de αϕ est αϕ =

∑1≤j≤p(α · uj)1Uj . Par definition de l’integrale, il

en resulte que∫X

(α · ϕ)dµ =∑

1≤j≤p

(α · uj)µ(Uj) = α∑

1≤j≤p

ujµ(Uj = α

∫Xϕdµ.

2. On ecrit les decompositions canoniques de ϕ =∑

1≤j≤p uj1Uj et ψ =∑1≤k≤q vk1Vj . Il est alors facile de voir que la decomposition canonique de

ϕ+ ψ est donnee par

ϕ+ ψ =p∑

j=1

q∑k=1

(uj + vk)1Uj∩Vk.

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On a lors par definition de l’integrale∫X

(ϕ+ ψ)dµ =p∑

j=1

q∑k=1

(uj + vk)µ(Uj ∩ Vk).

D’ou ∫X

(ϕ+ ψ)dµ =p∑

j=1

q∑k=1

ujµ(Uj ∩ Vk) +p∑

j=1

q∑k=1

vkµ(Uj ∩ Vk).

Comme pour chaque j = 1, · · · , p on a Uj = ∪1≤k≤qUj ∩ Vk, ou la reunionest disjointe, on en deduit par additivite de µ que

p∑j=1

q∑k=1

ujµ(Uj ∩ Vk) =p∑

j=1

ujµ(Uj) =∫

Xϕdµ.

De la meme fcon on a

p∑j=1

q∑k=1

vkµ(Uj ∩ Vk) =q∑

k=1

vkµ(Vk) =∫

Xψdµ,

d’ou la propriete d’additivite.3. Si ϕ ≤ ψ la fonction η := ψ − ϕ est une fonction etagee positive telleque ψ = ϕ+ η et par additivite, on a

∫X ψdµ =

∫X ϕdµ+

∫X ηdµ. Comme∫

X ηdµ ≥ 0 on en deduit que∫X ψdµ ≥

∫X ϕdµ.

Corollary 2.3 Si ϕ ∈ E+(X, T ) secrit ϕ =∑

i∈I αi1Ai, ou (Ai)i∈I est unefamille finie de sous-ensembles T −mesurables et (αi)i∈I une famille finie denombres reels positifs. Alors on a∫

Xϕdµ =

∑i∈I

αi · µ(Ai).

Demonstration: Par linearite, on a∫Xϕdµ =

∑i∈I

∫Xαi1Ai =

∑i∈I

αi · µ(Ai).

ce qui prouve notre assertion.I

2.2 Integration des fonctions mesurables positives

On supposera ici que (X, T , µ) est un espace mesure et on designera parM+(X) l’ensemble des fonctions T −mesurables positives surX. On sait que

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toute fonction f ∈ M+(X, T ) est limite d’une suite croissante de fonctionsde E+(X, T ). Il est alors naturel de poser par definition

(2.2.1)∫

Xfdµ = lim

n→+∞

∫Xϕndµ,

a condition de demontrer que cela ne depend pas de la suite monotonecroissante choisie pour approcher f . C’est ce que nous verrons plus tard.Voici une autre definition tout aussi naturelle mais qui ne previlegie aucunesuite particuliere.

Definition 2.4 Soit f ∈M+(X, T ). On pose

(2.2.2)∫

Xfdµ := sup

{∫Xϕdµ; ϕ ∈ E+(X, T ), ϕ ≤ f

}.

Cette definition est difficile a manipuler dans la pratique mais nous allonsvoir qu’elle nous permet de justifier la formule (2.2.1) qui elle sera plus utile.

Voici une consequence immediate de la definition.

Proposition 2.5 L’ensemble M+(X, T ) est un cone convexe positif i.e. sif, g ∈ M+(X, T ) et α ∈ R+, αf ∈ M+(X, T ) et f + g ∈ M+(X, T ). Deplus on a les proprietes suivantes:1) l’integrale est positivement homogene surM+(X, T ) i.e. si f ∈M+(X, T )et α ∈ R+, on a ∫

Xαfdµ = α

∫Xfdµ,

2) l’integrale est monotone (croissante) surM+(X, T )) i.e. si f, g ∈M+(X, T ),on a

f ≤ g ⇒∫

Xfdµ ≤

∫Xgdµ

L’additivite n’est pas une consequence immediate de la definition, elleresultera la formule (2.2.1) qui sera justifiee grace au theoreme fondamentalsuivant.

Theorem 2.6 (Theoreme de la convergence monotone). Soit (fn)n unesuite croissante de fonctions mesurables positives sur un espace mesure(X, T , µ). Alors la limite f = limn→+∞ fn est mesurable et l’on a∫

Xfdµ = lim

n→+∞

∫Xfndµ.

Demonstration: Comme la suite (fn)n∈N est croissante, il resulte de la mono-tonie de l’integrale que la suite des nombres (

∫X fndµ)n est croissante et ad-

met donc une une limite I := limn→+∞∫X fndµ ∈ R+

. Puisque 0 ≤ fn ≤ fsur X on a 0 ≤

∫X fndµ ≤

∫X fdµ pour tout n ∈ N et donc I ≤

∫X fndµ.

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Pour prouver l’inegalite inverse, il suffit par definition de monter que siϕ ∈ E+ et ϕ ≤ f sur X alors

∫X ϕdµ ≤ I. En effet, soit 0 < s < 1

fixe. Pour chaque n ∈ N, posons An := {x ∈ X; s · ϕ(x) ≤ fn(x)}. Alors(An)n est une suite croissante d’ensembles mesurables ayant pour limite∪nAn = X. En effet si x ∈ X, on a limn→+∞ fn(x) = f(x) ≥ ϕ(x). Sif(x) = 0 alors ϕ(x) = fn(x) = 0 et donc x ∈ A0. Si f(x) > 0 on alimn→+∞ fn(x) = f(x) > sϕ(x) puisque 0 < s < 1. Il en resulte quefn(x) > sϕ(x) a partir d’un certain rang n0 ∈ N et donc x ∈ An0 et doncx ∈ ∪n∈NAn.

Par definition on a pour tout n ∈ N, s · ϕ · 1An ≤ fn sur X et donc parmonotonie de l’integrale, on obtient

(2.2.3) s

∫Xϕ · 1Andµ ≤

∫Xfndµ

pour tout n ∈ N. Comme ϕ est une fonction etagee, elle s’ecrit ϕ =∑

j∈J cj1Cj ,ou (Cj)j∈J est une famille finie d’ensembles T −mesurables et (cj)j∈J unesuite finie de nombres reels positifs. On a alors pour tout n ∈ N,

ϕ · 1An =∑j∈J

cj · 1An∩Cj .

D’apres ce qui precede, on∫X

(ϕ · 1An)dµ =∑j∈J

cj · µ(An ∩ Cj).

Pour chaque j ∈ J , (An ∩ Cj)n∈N est une suite croissante d’ensemblesT −mesurables qui converge vers Cj . La continuite superieure de la mesureµ implique que

limn→+∞

∫X

(ϕ · 1An)dµ =∑j∈J

cj · µ(Cj) =∫

Xϕdµ.

En passant a la limite dans (2.2.3)lorsque n → +∞ et s → 1, on en deduitl’inegalite

∫X ϕdµ ≤ limn

∫X fndµ. I

Corollary 2.7 L’integrale est additive surM+(X, T ) i.e. si f, g ∈M+(X, T )alors ∫

X(f + g)dµ =

∫Xfdµ+

∫Xgdµ

Demonstration: D’apres le theoreme d’approximation, il existe des suitescroissantes (ϕn) et (ψn) de fonctions T −etagees positives sur X telles quef = limn→∞ ϕn et g = limn→∞ ψn sur X. Alors (ϕn + ψn)n∈N est une suitede fonctions T −etagees positives sur X qui converge vers f+g et le resultat

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decoule du theoreme de la convergence monotone.IOn peut maintenant donner justifier la formule donnee dans l’introductionqui permet d’interpreter l’integrale comme une ”aire sous la courbe”, ou lemot ”aire” doit etre entendu au sens de la mesure sur le produit X × Rcomme on le verra au prochain chapitre.

Corollary 2.8 Soit f ∈M+(X, T ). Alors on a∫Xfdµ = lim

n→+∞

[n2n−1∑k=0

ykµ({yk ≤ f < yk+1) + nµ({f ≥ n})

].

ou yk := k2n pour 0 ≤ k ≤ n2n − 1.

Corollary 2.9 Soit (fn) une suite de fonctions mesurables positives sur(X, T , µ). Alors on a∫

X

(+∞∑n=0

fn

)dµ =

+∞∑n=0

(∫Xfndµ

).

Demonstration: On pose Fn :=∑+∞

p=0 fp, pour n ∈ N. Alors (Fn)n∈N estune suite croissante de fonctions mesurables positives sur X qui convergevers

∑+∞n=0 fn. Le resultat voulue resulte immediatement de l’application de

theoreme de la convergence monotone. I

Corollary 2.10 Soit g : X −→ R+ une fonction mesurable positive sur unespace mesure (X, T , µ). Alors si (An)n∈N est une suite de parties T −mesurablesdeux a deux disjointes et A := ∪nAn, on a∫

Agdµ =

∑n

∫An

gdµ.

(Relation de Chasles).En particulier, la fonction d’ensemble ν : T −→ R+ definie par ν(A) :=∫A gdµ est une mesure sur (X, T ) telle que pour toute fonction mesurable

positive f : X −→ R+, on ait

(2.2.4)∫

Xfdν =

∫Xfgdµ.

Demonstration: En effet puisque (An)n∈N est une suite de parties T −mesurablesdeux a deux disjointes et A := ∪n∈NAn, on a gχA =

∑n∈N gχAn sur X

et d’apres le theoreme de la convergence (corollaire ), on en deduit que∫X gχA =

∑n∈N

∫X gχAndµ, ce qui prouve la relation de Chasles. Cette

propriete n’est autre que la σ−additivit de ν. Comme ν(∅) =∈ g1∅dµ = 0,

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on en dedduit que µ est une mesure sur (X, T ). ILa mesure ainsi definie est appelee la mesure de densite g par rapport a lamesure µ et se note dν = gdµ en raison de la formule (2.2.4).

En l’absence d’hypothese de monotonie, on ne peut esperer avoir untheoreme de convergence aussi precis. Voici un resultat qui r’sulte dutheorme de la convergence monotone et qui important dans les applications.

Proposition 2.11 (Lemme de Fatou). Soit fn : X −→ R+, n ∈ N une

suite de fonctions mesurables positives, alors

(2.2.5)∫

X(lim infn→+∞

fn)dµ ≤ lim infn→+∞

∫Xfndµ

Demonstration: Posons gn := infp≥n fp, n ∈ N. La suite (gn)n∈N est unesuite croissante de fonctions mesurables positives qui converge vers g :=lim infn→+∞ fn sur X. D’apres le theoreme de la convergence monotone, onobtient ∫

Xgdµ ≤ lim

n→+∞

∫Xgndµ.

Comme 0 ≤ gn ≤ fn sur X pour tout n ∈ N, on en deduit que∫X gndµ ≤∫

X fndµ pour tout n ∈ N et donc lim infn→+∞∫X gndµ ≤ lim infn→+∞

∫X fndµ,

ce qui prouve l’inegalite voulue. IDonnons un exemple qui montre que l’on ne peut avoir une egalite dans lelemme de Fatou meme si chacune des limites inferieure est un limite.

Example 2.12 On considere la suite de fonctions continues et paires surR definies par comme suit. Pour chaque n ∈ N∗, fn est la fonction continuepaire et affine par morceaux sur R telle que δn(x) = 0 si |x| ≥ 1/n etδn(0) = n. Pour chaque n on a∫

Rδn(x)dλ(x) = 1.

D’autre part (δn)n∈N∗ est une suite continues de fonctions qui converge sim-plement sur R vers la fonction de Dirac definie par

δ(x) = 0, si x 6= 0 si δ(+∞) = +∞.

Comme δ = 0 λ−p.p. sur R on a∫R δ(x)dλ(x) = 0. On a donc une inegalite

stricte∫

R(limn→∞ δn)dλ < limn→+∞∫

R δndλ. Pourtant le celebre physicienDirac a affirme que la fonction δ verifie∫ +∞

−∞δ(x)dx = 1.

12

3 Les theoremes de convergence

Jusqu’a present, nous avons considere des fonctions mesurables positivessur un espace mesure (X, T , µ) et introduit l’integrale qui peut prendre lavaleur +∞. Pour pouvoir faire des operations algebriques sur ces fonctions etdefinir une integrale par linearite, nous devons nous restreindre aux fonctionsmesurables positives d’integrale finie: ce sont les fonctions µ−integrables.Nous allons etudier la classe des fonctions que l’on obtient ainsi et et etablirles proprietes de l’integrale. Nous demontrerons ensuite divers theoremes depassage la limite dans une integrale. C’est la que nous decouvrirons toutela souplesse qu’apporte cette approche. Il est remarquable en particulierde voir avec quelle simplicit on obtient des theoremes de convergence assezgeneraux avec des hypotheses assez faibles.

3.1 Fonctions integrables

Comme explique ci-dessus, nous allons considerer une classe de fonctionspour lesquelles on peut definir l’integrale comme un nombre reel (fini). Eneffet supposons que f1, f2 soient deux fonctions T −mesurables positives telleque la difference f := f1−f2 soit bien definie. On souhaite definir l’integralede f comme la difference

∫X f1dµ −

∫X f2dµ. Cette approche pose deux

problemes: d’abord cette difference n’est pas bien definie si les eux nom-bres sont infinis et ensuite, il faudrait verifier que cela ne depend pas dela decomposition de f en differences de fonctions mesurables positives. Ladefinition permet de resoudre ces problemes. Soit f :→ R une fonctionT −mesurable. On lui associe de facon canonique les deux fonctions suiv-antes:

f+ := sup{f, 0}, f− := sup{−f, 0}.Ces deux fonctions sont T −mesurables positives, ne prennent pas simul-tanement la valeur +∞ et verifent les relations suivantes

f = f+ − f−, |f | = f+ + f−.

Definition 3.1 Soit fX → R une fonction et A ∈ P(X).1. On dit que A ∈ T est µ−integrable si A est T −mesurable et µ(A) <∞.2. On dit que f est µ−integrable (ou sommable) sur (X, T ) si f T −mesurableet si

∫X f+dµ < +∞ et

∫X f−dµ < +∞. Dans ce cas le nombre reel defini

par ∫Xfdµ :=

∫Xf+dµ−

∫Xf−dµ,

est applele l’integrale de f sur X par rapport a µ.3. Si A ∈ T , on dit que f est µ−integrable sur A si la fonction tronqueef · 1A est µ−integrable sur (X, T ) et on pose dans ce cas∫

Afdµ =

∫Xf · 1Adµ,

13

et on l’appelle l’integrale de f sur A.

Le resultat suivant est fondamental et sera tres utile dans la suite.

Theorem 3.2 Soit f : X −→ R une fonction µ−integrable sur (X, T ).Alors pour tout t > 0, on a

µ({|f ≥ t}) ≤ 1t

∫{|f |≥t}

fdµ.

(Inegalite de Chebyshev).En particulier {x ∈ X; |f(x)| = +∞} est un ensemble µ− negligeable et

limt→+∞

tµ({|f | ≥ t}) = 0.

Demonstration: On peut supposer f ≥ 0. Posons pour t > 0 St := {f ≥ t}.Alors St est T −mesurable et l’on a 0 ≤ t1St ≤ f1St sur X. Par monotoniede l’integrale, on en deduit que

tµ(St) ≤∫

St

fdµ ≤∫

Xfdµ.

ce qui prouve l’inegalite.Pour chaque n ∈ N∗, posons An := {x ∈ X; |f(x)| ≥ n}. Alors (An)n∈N∗

est une suite decroissante d’ensembles mesurables et d’apres le lemme deChebyshev, on a nµ(An) ≤

∫An|f |dµ pour tout n ∈ N∗. Par consequent

µ(An) ≤ (1/n)∫X |f |dµ < +∞, pour tout n ∈ N∗ et donc limn→+∞ µ(An) =

0. Comme {x ∈ X; |f(x)| = +∞} ⊂ An pour tout n > 0, on en deduitque µ({x ∈ X; |f(x)| = +∞}) = 0, ce qui prouve que µ{x ∈ X; |f(x)| =+∞}) = 0.

La derniere propriete sera demontree plus loin, c’est une consequence dutheoreme de la convergence dominee. I

Proposition 3.3 Soit f, g : X → R des fonctions T −mesurables et g ≥ 0.Alors

Si |f | ≤ g sur X et si g est µ−integrable sur X, alors f est µ−integrablesur X et

|∫

Xfdµ| ≤

∫Xgdµ.

En particulier f est µ−integrable sur X si et seulement si |f | µ−integrablesur X. Dans ce cas on a |

∫X fdµ| ≤

∫X |f |dµ.

14

Demonstration: 1. Comme f = f+ − f− sur X et |f | = f+ + f−, si |f | ≤ g,on a f± ≤ g et donc

∫X f±dµ ≤

∫X gdµ < ∞, ce qui prouve que f est

µ−integrable sur X. Enfin l’inegalite |f | = f+ + f− ≤ g implique par addi-tivite et monotonie de l’integrale que |

∫X fdµ| ≤

∫X gdµ.

2. La deuxieme propriete est une consequence evidente de la premiere.I

Une propriete P (x) sur X est dite vraie presque partout par rapport a lamesure µ si l’ensemble l’ensemble des points x ∈ X pour lesquels elle n’estpas verifiee est µ−negligeable.Par exemple si f, g : X −→ R (ouC) sont deux fonctions mesurables pourlesquelles l’ensemble {x ∈ X; f(x) 6= g(x)} est negligeable, on ecrit f =gµ−p.p. sur X ou f(x) = g(x) pour µ−presque tout x ∈ X. Il est clairque cette relation est une relation d’equivalence sur l’ensemble des fonctionsmesurables.Voici quelques proprietes faisant intervenir des ensembles negligeables quinous serons utiles plus tard.

Theorem 3.4 1) Si f : X −→ R+ une fonction µ−mesurable positive.Alors

∫X fdµ = 0 si et seulement si f = 0 µ−presque partout sur X.

2) Si f : X −→ R est une fonction µ−integrable sur X (de signe variable).Alors f = 0 µ−p.p. sur X si et seulement si f est µ−integrable sur X etpour tout A ∈ T ,

∫A fdµ = 0.

Demonstration: 1) Soit An := {x ∈ X; f(x) ≥ 1/n} pour n ∈ N∗. Alorsµ(An) ≤ n

∫X fdµ = 0, ce qui prouve par σ−sous-additivit que µ({x ∈

X; f(x) > 0}) = 0 et donc f(x) = 0 µ−p.p. sur X.Inversement supposons que f = 0 µ−presque partout sur X. Alors siϕ est une fonction etagee positive telle que ϕ ≤ f sur X, on a ϕ = 0µ−presquepartout sur X. Par suite si ϕ =

∑i∈I αiχAi , o αi ≥ 0 et (Ai)i∈I

est une partition finie de X. Comme ϕ(x) = αi si x ∈ Ai, i ∈ I, il en resulteque µ(Ai) = 0 si αi > 0 et donc

∫X ϕdµ =

∑i∈I αiµ(Ai) = 0. Il en resulte

que∫X fdµ = 0.

2) Supposons que f a valeurs dans R est nulle µ−p.p. sur X. PosonsX+ := {x ∈ X; f(x) 6= 0} et X− := {x ∈ X; f(x) ≤ 0}. Alors X± ∈ T etf± = f1X± est T −mesurable sur X et f± = 0 µ−p.p. sur X. Il en resulted’apres la premiere propriete que

∫X f±dµ = 0 et donc

∫X fdµ = 0.

Inversement supposons que f est µ−integrable sur X et pour tout A ∈ T ,∫A fdµ = 0. En reprenant les notations precedentes, on a en particulier∫X f±dµ =

∫ ±X fdµ = 0. Il en resulte que d’apres la premiere partie que

f± = 0 µ−p.p. sur X. Par consequent {x ∈ X; f(x) 6= 0} = {x ∈X; f+(x) 6= 0} ∪ {x ∈ X; f−(x) 6= 0} est µ−negligeable par sous-additivitede µ.IL’une des consequences interessantes de cette proprie est la suivante qui

15

traduit le fait que du point de vue de l’integration, les ensembles negligeablessont invisibles par la mesure µ.

Corollary 3.5 Soient f, g : X −→ R(ou C) deux fonctions T −mesurablessur X telles que f = g µ−p.p. sur X. Alors si la fonction f est µ−integrablesur X, il en est de meme de g et

∫X gdµ =

∫X fdµ.

Demonstration: Soit N := {x ∈ X; f(x) 6= g(x)}. Par hypothese N estµ−negligeable et on a |f | = |g| sur X \N. On sait qu’alors

∫N |f |dµ = 0 =∫

N |g|dµ. Par consequent,∫X |f |dµ =

∫X\N |f |dµ =

∫X\N |g|dµ =

∫X |g|dµ.

Ce qui prouve que |f | est µ−integrable sur X ssi |g| est µ−integrable surX. Dans ce cas on a f = g sur X \N et comme N est µ−negligeable on a∫N fdµ = 0 =

∫N gdµ et donc

∫X fdµ =

∫X gdµ. I

Nous pouvons maintenant etudier proprietes algebriques des fonctionsµ−integrables. Pour definir la somme de deux fonctions µ−integrables fet g, nous allons devoir modifier f et g sur l’ensemble {x ∈ X; f(x) =+∞ et g(x) = −∞} en leur attribuant des valeurs arbitraies. D’apresest sans consequence sur les integrales de f et g puisque cet ensembled’indetermination de la somme est µ−negligeable . En fait il vaut mieuxtravailler a un ensmeble negligeable pres.

Definition 3.6 1. Une fonction f : X → R est dite definie µ-presquepartout sur X s’il existe ensemble µ−negligeable S ⊂ X telle que f(x) ∈ Rpour tout x ∈ X\S. Un tel ensemble sera appele un ensemble d’indeterminationde f . Le plus petit ensemble (pour l’inclusion) S = Sf ayant cette pro-priete sera appele l’ensemble d’indetermination de f . Si S est un ensmebled’indtermination de f , n associe a f la fonction fS definie par fS(x) = f(x)si x ∈ X \ S et fS(x) = 0 si x ∈ S et on l’appelera l’extension triviale de fpar 0 a l’ensemble d’indetermination S.2. Une fonction f : X → R definie µ-presque partout sur X est diteT −mesurable sur X si son extension triviale f a son ensemble d’indeterminationSf est T −mesurable sur X.3. Une fonction f : X → R definie µ-presque partout sur X est diteµ−integrable sur X si son extension triviale f est µ−integrable sur X.

Il faut observer qu’il n’est pas necesaire de travailler avec l’extension trivialede f par 0 a son ensemble d’indetermination Sf . En effet il est facile de voirqu’une fonction f : X → R definie µ-presque partout surX est T −mesurable(resp.µ−integrable) surX si pour un ensemble d’indetermination S l’extensiontriviale fS de f a S est est T −mesurable (resp.µ−integrable) sur X. Celavient du fait que si S1 et S2 sont deux ensembles d’indetermination de falors fS1 = fS2 µ−p.p. sur X.En fait la bonne notion a considerer est l’ensembles des classes dequivalencesde fonctions µ−integrables modulo l’egalite µ−p.p. sur X, mais nous vero-rons cela plus loin.

16

On definit l’espace M(X, T ) (resp. L1(X, T , µ)) comme l’ensemble desfonctions f : X → R definies µ−p.p. et T −mesurables (resp. µ−integrables)sur X. Si f ∈ L1(X, T , µ), on pose∫

Xfdµ =

∫XfS ,

ou S est ensemble d’indetermination de f et fS son extension triviale par 0a S puisque ce nombre ne depend pas S d’apres le corollaire 3.5. On peutmaintenant etablir le resultat suivant.

Proposition 3.7 Soient f, g ∈ L1(X, T , µ) deux fonctions µ−integrablessur (X, T ) et α ∈ R alors α · f et f + g sont µ−integrables sur (X, T ) et∫

X(α · f)dµ = α

∫Xfdµ, et

∫X

(f + g)dµ =∫

Xfdµ+

∫Xgdµ.

Demonstration: Quitte a travailler sur les extensions triviales de f et g aun ensemble d’indetermination commun S = Sf ∪Sg, on peut supposer quef, g : X → R deux fonctions µ−integrables sur (X, T ) bien definies sur Xet a valeurs reelles. Observons tout d’abord que si la fonction µ−integrablef possede une autre decomposition f = f1 − f2 µ−p.p. sur X, ou f1, f2

sont des fonctions T −mesurables positives a valeurs reelles, alors f1 et f2

sont µ−integrables sur X et l’on a∫X fdµ =

∫X f1dµ −

∫X f2dµ. En effet

on a f+ − f− = f1 − f2 sur X. Par consequent f+f2 = f1 + f− sur X etdonc Par additivite de l’integrale sur les fonctions mesrables positives, on a∫X f+dµ +

∫X f2dµ =

∫X f1dµ +

∫X f−dµ. Comme tous ces nombres sont

finis, on en deduit que∫X fd = µ

∫X f+dµ−

∫X f−dµ =

∫X f1dµ−

∫X f2dµ,

ce qui prouve notre assertion.Pour demontrer la linearite de l’integrale, on ecrit f = f+ − f− et

g = g+ − g− donc f + g = (f+g+)− (f− + g−) et on applique la remarqueprecedente.I

Comme application simple de ce qui precede, nous montrons que latheorie de l’integration selon Lebesgue contient la theorie des famille sommable.

Example 3.8 Soit c la mesure comptage sur un ensemble infini X. Rap-pelons que toute partie A ∈ P(X) est mesurable et c(A) = card(N); c(A) <+∞ si et seulement si A est une partie finie. En particulier c(A) = 0 ssiA = ∅. Toute fonction f : X → R+ est mesurable. La fonction f estc−integrable sur X ssi la famille (f(x))x∈X est sommable, dans ce cas pourtout x ∈ X, f(x) < +∞, S(f) := {x ∈ X; f(x) 6= 0} est denombrable et l’ona ∫

Xfdc =

∑x∈X

f(x) := sup{∑x∈P

f(x);P ∈ Pfinie(X), }

ou Pfinie(X) est l’ensemble des parties finie de X.

17

En effet, si f est c−integrable sur X alors pour tout t > O on sait quetc({f(x) > t}) ≤

∫X fdc <∞ et donc d’une part f(x) < +∞ c−p.p. sur X

c’est a dire partout et pour tout t > 0, l’ensemble {f(x) > t} est fini. Enposant pour n ∈ N, Sn := {f ≥ 1/n}, on obtient des ensembles finis tels queS(f) = ∪n{f ≥ 1/n}, ce qui prouve que S(f) est denombrable. De plus enposant pour n ∈ N∗

ϕn :=∑x∈Sn

f(x)1{x},

on obtient une suite croissante de fonctions etagees sur X qui convergesimplement vers f sur X. En appliquant le theoreme de la convergencemonotone, on en deduit que∫

Xfdc = lim

n→+∞(∑x∈Sn

f(x)) =∑x∈X

f(x).

La reciproque est evidente.

3.2 Theoremes de convergence pour les fonctions integrables

Nous allons deduire de ce qui precede des theoremes de convergence pourles fonctions integrables.

Theorem 3.9 (Theoreme de Beppo-Levy). Soit fn : X −→ R une suitecroissante de fonctions µ−integrables sur X telles que supn∈N

∫X fndµ <

+∞. Alors la fonction limite f := limn→+∞ fn = supn∈N fn est µ−integrablesur X et ∫

Xfdµ = lim

n→+∞

∫Xfndµ.

Demonstration: Posons N0 := {x ∈ X; |f0(x)| = +∞. Pour chaque n ∈ N,posons gn := fn− f0 sur X \N0 et gn=0 sur N0. Comme N0 est un ensemblemesurable on en deduit que (gn)n∈N est une suite croissante de fonctionsmesurables positives sur X qui converge vers une fonction mesurable g telleque g = f −f0 sur X \N0. D’apres le theoreme de la convergence monotone,on a

limn→+∞

∫Xgndµ =

∫Xgdµ.

Comme N0 est negligeable puisque f0 est integrable, on en deduit que∫X gndµ =

∫X\N0

(fn − f0)dµ =∫X\N0

fndµ −∫X\N0

f0dµ =∫X fndµ −∫

X f0)dµ pour tout n ∈ N. Ce qui prouve que g est une fonction mesurablepositive sur X telle que

∫X gdµ < +∞ et donc g est µ−integrable sur X.

Par suite g+ f0 est µ−integrable sur X, et f = g+ f0 µ−p.p. sur X, ce quiimplique que f est µ−integrable sur X. La formule () resulte de ?. I

18

Theorem 3.10 (Theoreme de la convergence dominee). Soient fn : X −→R (ou C), n ∈ N une suite de fonctions µ−integrables sur X qui convergeµ−p.p. sur X vers une fonction mesurable f. On suppose qu’il existe unefonctionµ−integrable g : X −→ oveR+ telle que

|fn| ≤ g, µ− p.p.surX.

Alors f est integrable sur X et l’on a

limn→+∞

∫X|fn − f |dµ = 0

et en particulier ∫Xfdµ = lim

n→+∞

∫Xfndµ.

Demonstration: D’apres les hypotheses, f est mesurable sur X et on a claire-ment |f | ≤ g µ−p.p. sur X. Il en resulte que f est µ−integrable sur X etdonc l’ensemble N := {x ∈ X; |f(x)| < +∞} est µ−negligeable. Comme lareunion d’une suite d’ensembles negligeables est negligeable, il rsulte des hy-potheses qu’il existe un ensemble µ−negligeable P ⊂ X tel que |fn| ≤ g surX \N pour tout n ∈ N et g(x) < +∞ pour tout x ∈ X \P et (fn) convergevers f sur X \ P. Par suite l’ensemble A := X \ (N ∪ P ), est mesurable telque µ(X) = µ(A) et on obtientune suite (fn − f) de fonctions mesurablesfinies sur A qui tend vers 0 et telle que |fn− f | ≤ 2g sur A pour tout n ∈ N.Par consequent, en appliquant le lemme de Fatou a la suite de fonctionsmesurables positives sur A donnee par(2g − |fn − f |)n∈N on obtient∫

Alim infn→+∞

(2g − |fn − f |)dµ ≤ lim infn→+∞

∫A

(2g − |fn − f |)dµ.

Comme limn→+∞ |fn − f | = 0 sur A et que g est µ−integrable sur A,on endeduit que

∫A 2gdµ ≤

∫A 2gdµ− lim supn→+∞

∫A |fn−f |dµ. Il en resulte que

lim supn→+∞∫A |fn−f |dµ = 0, ce qui prouve que limn→+∞

∫A |fn−f |dµ = 0.

Comme µ(X \A) = 0, on en deduit que limn→+∞∫X |fn−f |dµ = 0. Comme

|∫X fndµ −

∫X fdµ| ≤

∫X |fn − f |dµ pout tout n ∈ N,on en deduit que

limn→+∞∫X fndµ =

∫X fdµ. I

Remarque. L’hypothese de domination est importante sans quoi le theoremen’est plus valable.En effet considerons la suite de fonction continuesfn :[0, 1] −→ R definie par fn(x) = 0 si 1/n ≤ x ≤ 1 et fn a pour grapheau dessus de [0, 1/n] un triangle isocele de hauteut n.Alors fn → 0 sur[0, 1], mais

∫ 10 fndx = 1/2 pour tout n ∈ N. Donc limn→+∞

∫ 10 fndx 6=∫ 1

0 limn→+∞ fndx. Nous allons montrer comme application des theoremesde Lebesgue que l’espace L1(X, T , µ;K) est un espace de Banach.

Proposition 3.11 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions elements de L1(X, T , µ;K)telle que

∑n≥0 ‖fn‖1 < +∞,alors la serie de fonctions

∑n≥0 fn converge

19

µ−p.p. sur X et converge dans V 1(X, T , µ) et l’on a

‖+∞∑n=0

fn‖1 ≤∑n≥0

‖fn‖1.

Demonstration: On a par hypothese∫X

(n∑

p=0

|fp|)dµ ≤∑n≥0

‖fn‖1 < +∞, ∀n ∈ N.

D’apres le theoreme de Beppo-Levy, on en deduit que∫X

(+∞∑p=0

|fp|)dµ =+∞∑p=0

‖fn‖1.

Il en resulte que la fonction g =∑+∞

p=0 |fp| est µ−integrable sur X et quel’ensemble A := {x ∈ X; g(x) < +∞} est mesurable et µ(X \ A) = 0. Ilen resulte que la serie de fonctions

∑n≥0 fnχA est absoluement convergente

en chaque point de X. En notantf : X −→ R (ou C) sa somme, on obtientune fonction mesurable sur X telle que la suite n →

∑np=0 fpχA converge

absoluement vers f pour µ−p.p. sur X et verifie |∑n

p=0 fpχA| ≤ g sur X.D’apres le theoreme de la convergence dominee, la suite n →

∑np=0 fpχA

converge vers f en moyenne sur X. Comme µ(X \ A) = 0, il en resulte quela serie

∑p≥0 fp converge en moyenne vers f. I

4 Continuite et derivabilite d’une integrale par rap-port a un parametre

Soit (X, T , µ) un espace mesure et W un espace metrique. Soit F : X ×W −→ R. On suppose que pour chaque valeur w ∈ W du parametre, lafonction F (·, w) : X −→ R est definie µ−p.p. et µ−integrale sur X. Onpose alors

h(w) :=∫

XF (x,w)dµ(x), w ∈W.

Cette fonction est applee une integrale dependant du parametre w ∈W . Onsouhaite etudier comment les proprietes de continuite et de derivabilite deF (x,w) par rapport au paramere w se transmettent a la fonction h.

Theorem 4.1 (Theoreme de continuite). Soit w0 ∈ W . On fait les deuxhypothese suivantes:(H1) pour presque tout x ∈ X, f(x) = limw→w0 F (x,w) ∈ R existe dans R,

20

(H2) il existe une fonction g : X → R+µ−integrable sur X telle que pour

tout w ∈W|F (x,w)| ≤ g(x), µ− p.p.surX.

Alors f est µ−integrable sur X, limw→w0 h(w) existe dans R et l’on a

limw→w0

∫XF (x,w)dµ(x) =

∫X

(lim

w→w0

F (x,w))dµ(x)

En particulier si pour µ−preque tout x ∈ X, la fonction partielle F (x, ·)est continue au point w0 et si l’hypothese de domination (H2) est satisfaitealors h est continue au point w0.

Demonstration: Considerons une suite (wn)n∈N∗ tendant vers w0 dans W etposons fn := F (·, wn) pour n ∈ N. On obtient alors par l’hypothese (H1),une suite de fonctions µ−integrables sur X qui converge µ−p.po. sur Xvers f . L’hypothese (H2) dit que la suite (fn) est dominee par g. On peutdonc appliquer le theoreme de la convergence dominee pour conclure que fest µ−integrable sur X et que limn→+∞ h(wn) = limn→+∞

∫X fn(x)dµ(x) =∫

X f(x)dµ(x). Comme la suite (wn) est une suite arbitraire convergeantvers w0, on en deduit que limw→w0 h(w) =

∫X f(x)dµ(x) grace a la car-

acterisation sequentielle de la continuite. I

Theorem 4.2 (Theoreme de derivabilite). On suppose que W est un ouvertde Rm (ou d’un espace norme E). Soit w0 ∈W . On fait les deux hypothesesuivantes:(H1) pour presque tout x ∈ X, la fonction w 7−→ F (x,w) est differentiableau point w0,(H2) il existe une fonction g : X → R+

µ−integrable sur X telle que pourtout w ∈W

|DwF (x,w)| ≤ g(x), µ− p.p. sur X.

Alors h est differentiable au point w0 et l’on a pour tout ξ ∈ Rm

Dh(w0) · ξ =∫

XDwF (x,w0) · ξdµ(x)

En particulier pour 1 ≤ j ≤ m, on a

∂h

∂wj(w0) =

∫X

∂F

∂wj(x,w0)dµ(x).

(Formule de derivation sous le signe somme).

21