Chapitre 4 : LES PUiSSANCES

Chapitre 4 : LES PUiSSANCES

LE CALCUL NUMERiQUE : LES PUiSSANCES

Chapitre 4 :

Comment calculer avec des puissances ?Comment utiliser la calculatrice ?Comment utiliser les puissances de dix ?Comment utiliser l’écriture scientifique d’un nombre ?


COURS … COURS … COURS …

1.JEU D’ECRiTURE ET VOCABULAiRE

3 × 3 × 3 ×3 × 3 ×3 × 3 ×3 × 3 = 3 9 un facteur le nombre de

facteursici 9

C’est tout simplement un jeu d’écriture pour gagner de la place signifiant une suite de multiplications par un même nombre

3 9 se lit 3 à la puissance 9 ou 3 exposant 9


Cas particuliers : 3 2 se lit 3 au carré et signifie 3 × 3 dont le résultat est 9

2 3 se lit 2 au cube et signifie 2 × 2 × 2 dont le résultat est 83 2 = 9

2 3 = 8

Attention : 5 2 ne signifie pas 5 × 2 mais 5 × 5 = 25 et non pas 10

CAS GENERAL : a n = a × a × a × a × a × a × a

n facteurs identiques

Quelques résultats particuliers:

a 1 = a 1 seul facteur

1 n = en fait 1 ×1 × 1 × …….. reste = 1

0 n = 1 0 en fait 0 ×0 × 0 × …….. reste = 0

2. COMMENT CALCULER AVEC LES PUiSSANCES


2 3 × 2 2 par définition : ( 2 × 2 × 2 ) × ( 2 × 2 ) donc 2 5

le nombre de facteurs = 5

finalement : 2 3 × 2 2 = 2 3 + 2 = 2 5

CAS GENERAL : a m × a n = a m + n


3. COMMENT CALCULER AVEC LES PUiSSANCES DE DIX

Les puissances positives de 10 : Les puissances négatives de 10 :

10 0 = 10 1 =

10 2 =

10 3 =

etc…

10 – 1 =

10 – 2 =

10 – 3 =

etc…

110 1 = 1

10 = 0,1 1

10 2 = 1100 = 0,01

110 3 = 1

1000 = 0,001

= 1

= 10

= 100

= 1000

REGLE : il faut écrire 1 et rajouter autant

de zéros que l’indique l’exposant

REGLE : il faut écrire 1 et déplacer la virgule vers la gauche d’autant de rangs que l’indique l’exposant

10 × 10

10 × 10 × 10

Opérations et puissances de 10 :


10 3 × 10 4 = 10 3 + 4 = 10 7 règle déjà vue

10 5

10 3 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 10 × 10 × 10 =10 2

finalement : 10 5

10 3 = 10 5 - 3 = 10 2

( 10 3 ) 2 = ( 10 × 10 × 10 ) × ( 10 × 10 × 10 ) = 10 6

le nombre de facteurs = 6

finalement : ( 10 3 ) 2 = 10 3 × 2 = 10 6


CAS GENERAL :avec les puissances de 10 et les puissances de n’importe quel

nombre

10 m × 10 n =

10 m

10 n =

( 10 m ) n =

a m × a n =

a m

a n =

( a m ) n =

10 m + n a m + n

10 m - n a m - n

10 m × n a m × n

1.COMMENT MULTiPLiER UN NOMBRE PAR UNE PUiSSANCE DE DIX


par une puissance positive de 10 : par une puissance négative de 10 :

3 × 10 3 = 3 × 1000 = 3000 2,5 × 10 2 = 2,5 × 100 = 250

REGLE : il suffit de déplacer la virgule vers la droite d’autant de rangs que l’indique l’exposant

( si nécessaire rajouter des zéros )

REGLE : il suffit de déplacer la virgule vers la gauche d’autant de rangs que l’indique l’exposant

4200 × 10 – 2 = 4200 100 = 42

7,5 × 10 – 1 = 7,510 = 0,75

4. COMMENT ECRiRE UN NOMBRE EN ECRiTURE SCiENTiFIQUE


3 237 500 000 ou 0,0000435un nombre très grand ou très petit peut s’écrire en utilisant les puissances de 10

un nombre très grand : un nombre très petit :

3200 = 32 × 10 2 ou = 3,2 × 10 3

475 = 4,75 ×10 2

0,043 = 43 × 10 - 3 ou = 4,3 × 10 – 2 0,29 = 2,9 × 10 – 1

REGLE :un nombre en écriture scientifique est de la forme :

a × 10 …nombre compris entre

1,… et 9,…

puissance positive ou négative suivant le cas

il faut déplacer la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1,… et 9,... et

compenser par une puissance de 10 comme pour annuler ce déplacementRemarque : vérifierqu’en appliquant cette puissance de 10, on retombe sur le nombre de départ

00057

45000 = 45000 × 10 , 1234,

,

,

,,,

45 × 10 4=

= 00057, , × 10 -1, -2, -3

57= × 10 -3,DEM

ONSTRATIO

N

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