Chapitre 5 Conduction transitoire · Biot = convection externe conduction interne Cas en régime stationnaire Interface İ TS1 T S2 TS2 TS2 T∞(froid) Convection ‘h’ Bi

Transfert de chaleur Chap 5-a - 1

Chapitre 5

Conduction transitoire

Ti

T∞ T∞

à t < 0 à t = 0 à t > 0

T(t)=?h

11


Problème avec résistance thermique interne négligeable:

Hypothèses

• La température est la même dans tout l’objet ( ≡ la conduction dans l’objet est très

bonne k → ∞ ).

• T=T(t).

Volume de contrôleC’est l’objet tout entier.

Bilan de chaleur:Ein – Eout + Egénérée = Eaccumulée

S P

dT-h (T - )= VCA T

dt

0 0

Surface d’échange Volume

T-T=dt

dT

dt

d

dt

d

Ah

VC

S

P

Posons:

11

P

S

V dTC(T - )=Th dtA


t

P

S

TT

dtVC

Ahd

ii 0

tVC

AhLn

P

S

i

t

ei

tVC

Ah

i

P

S

e

Ah

VC=S

P

S

P

d hA dtVC

τ est la constante de temps thermique:

Ah

VC=S

P

T-T∞

Ti -T∞

tτa τb τc

0

1

e-1=0,368

t

eT-T

T-T

ii

temps 1.τ 2.τ 3. τ

1 - T-T∞

Ti -T∞

63% 86% 95%

a b c


Quantité Q de chaleur échangée avec le milieu

Méthode #1On calcule ce qui est sorti par la surface, entre le début etle temps t:

t

S dt]T-[T(t)Ah=Q0

t t

VC

Ah

iS dteAh=Q P

S

0

tVC

Ah

i

P

S

e

t

1 )( eTTVC=tQ iP

tt

VC

Ah

S

PiS

P

S

eAh

VCAh=Q

0


Méthode #2

On fait un bilan d’énergie entre le début et le temps t.

à t =0 T = Tià t T = T(t)

)( tTTVC=Q iP

L’énergie perdue correspond à la chaleur échangée pour refroidir de Ti → T(t).

1t

eVC=Q iP

)(

tTTTTVC=Q

i

iP

11

tVC

Ah

i

P

S

e

( ) P iQ = V T T tC


Validité de l'hypothèse d'une résistance thermique interne négligeable:Conduction dans un mur en régime permament

Interface İCas en régime stationnaire

TS1 TS2

TS2

TS2

T∞(froid)

Convection ‘h’

À l’interface İ :

flux conduction = flux convection

)T-Th(=L

)T-T(k S2

S2S1

Biot de nombre = Bi = k

hL =

T-T

T-T

S2

S2S1

Adimensionnel

Si Biot << 1 ==> (TS1 -TS2) << (TS2 -T) On obtient un profil plat.

Si Biot >> 1 ==> (TS1 -TS2) >> (TS2 -T) On ne peut plus négliger

la conduction.

11


Validité de l'hypothèse d'une résistance thermique interne négligeable:

Biot = convection externeconduction interne

Interface İCas en régime stationnaire

TS1 TS2

TS2

TS2 T∞(froid)

Convection ‘h’

Bi<<1

Bi>>1

Profils de température à différents temps: t1 < t2 < t3

Bi << 1 Bi ≈ 1 Bi >> 1

T∞, h

+ L x– L 0

T∞, h


Conseil pratique:

En transitoire, la première chose à faire:

Calculer le nombre de Biot =hLC/k

Si Bi ≤ 0.1 Conduction négligeable

T=T(t) uniquement et ne dépend pas de la position dans l’objet

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kLh

=Bi ;A

V=L

C

SC

S

CP PP

S

h t h t h tA =VVC C LCA

FoBi=L

tBi=

CV

tAh2CP

S

e=T-T

T-T= FoBi-

iI

C

2CP

Bi

h k tL=k C L


Cas où la résistance interne n’est pas négligeable

Le mur plan

Hypothèses

T=T(x, t)

T∞, h T∞, h

+ Lx

– L 0

Volume de contrôle

A x

Bilan de chaleur

c

k= avec

t

T1=

x

T

P2

2

0 symétrie ; à :CF1 =x

T 0=x

]T-L)[T(t,h=|x

Tk- L=x L=x

à :CF2

x T=x)T(0, i :initialeCondition

Conditions frontières et initiale:

T∞, h

+ L x– L 0

T∞, h


La solution à ce problème sera donc une fonction incluant 8 grandeurs …

T=T(x,t,α,k,L,Ti,h,T)

1 0

*

i

* T-T

T-T=

1 1 x L

x=x **

Fo=L

t=t

c2

*

On va “adimensionnaliser” les équations.

On remplace dans les équations précédentes

2

2 * *

*=

Fox

x=)x(0,

-Bi=|x

0=|x

***

*(Fo,1)=1x*

*

=0x*

*

*

*

1 :CI

:CF2

:CF1

),,( *** BiFox

avec

Ce qui donne comme solution au problème:


Solution pour le plan avec convection aux parois

Solution exacte∙ Séparation des variables *(x, t) = f(x) g(t)∙ Fonctions orthogonales (cos ξ x*)

1

cos )x( e C= *n

Fo-n

* 2n

)(2+2

4=C

nn

nn

sin

sin

Bi= nnn tan :desolution

zeta

Solution approchée par Fo ≥ 0.2

On limite la série au 1er terme.

Solution pour x* = 0

)x(e C= *1

Fo-1

* 21

cos *0

)x( = *1

*0

* cos

1

cos )x( e C= *n

Fo-n

* 2n


Énergie échangée: bilan d’énergie entre le début et un temps t.

iP

V

Q(t)= C [ -T(x,t)]dvT)T-TV(c=Q ip MAX

V

ii

T)dV-T()T-TV(

1=

Q

Q

0

*

V

1= (1- )dv

V

= Q0

* *0

1 1 1 cos

2 2 2

L L L** * *

1L L L

x(1- )d (1- )dx 1- ( ) dxx

L

( .2 )

L* *

V L

1 A(1- )dxdydz (1 - )dx

V A L


Solution approchée

*

0

1

1 -1=Q

Q sin

0

*0 ( 0, )

21- Fo

1x t = C e

Températureau centrede l’objet

( , ) cos * * *0 1x t = ( )x

Solution graphiqueFo > 0,2

θ0*(x=0)

θ* = θ0* cos ξ1 x *

Échelle logarithmique

Attention !Échelle logarithmique

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2 3 4 5 6 8


Méthode

Étape # 1: température au centreUtiliser la figure 5.8 T(x=0, t)

Étape # 2: température à x en fonction decelle à x=0

Utiliser la figure 5.9 T(x, t)

Étape # 3: chaleur totale échangéeUtiliser la figure 5.10 Q/Q0

Cas du cylindre infini T=T(r,t)

)J+)(J

)(J2=C

n2

1n2

0

n1

n

n

Bi=)(J

)(J

n0

n1nn

:desolution

1

)r(J e C= *n0

Fo-n

* 2n

Solution approchée avec 3 graphiques: 0*; *; Q /Qo p 5.13-5.14


Cas de la sphère T=T(r,t)

1

sin

r

)r( e C=

*n

*nFo-

n* 2

n

R

r=r ;

)(2-2

-4=C *

nn

nnnn

sin

cossin

Bi=cotan-1 nnn :desolution

Solution approchée avec 3 graphiques: 0*; *; Q /Qo p 5.15-5.16

X0 XbXa

a (mm)

b (mm)

10X X b

a

X log - X log

X log - X log X

X log

b

a

0a0b

0a 0

b

10X X 1 X

Xlog alors X 10 X Si

b

a

0a0

b0b

Abaque de Heisler:échelle logarithmique

valeurs indiquées

longueurs mesurées sur le graphique

Documents

Chapitre 5 Conduction transitoire · Biot = convection externe conduction interne Cas en régime stationnaire Interface İ TS1 T S2 TS2 TS2 T∞(froid) Convection ‘h’ Bi