CHAPITRE 5

Fractions

Objectifs: - Simplifier des fractions.

- Utiliser la propriété suivante et sa réciproque: 

« si alors a x d = b x c » (b ≠ 0 et d ≠ 0).dc

ba

- Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions.

Extrait de la pièce Marius de Marcel Pagnol (acte 11).

CÉSAR (à Marius) - Eh bien, pour la deuxième fois, je vais te l'expliquer, le picon-citron-curaçao. Approche-toi ! Tu mets d'abord un tiers de curaçao. Fais attention : un tout petit tiers. Bon. Maintenant, un tiers de citron. Un peu plus gros. Bon. Ensuite, un BON tiers de Picon. Regarde la couleur. Regarde comme c'est joli. Et à la fin, un GRAND tiers d'eau. Voilà.

MARIUS - Et ça fait quatre tiers.

CÉSAR - Exactement. J'espère que cette fois, tu as compris.

MARIUS - Dans un verre, il n'y a que trois tiers.

CÉSAR - Mais, imbécile, ça dépend de la grosseur des tiers.

MARIUS - Eh non, ça ne dépend pas. Même dans un arrosoir, on ne peut mettre que trois tiers. CÉSAR - Alors, explique-moi comment j'en ai mis quatre dans ce verre.

MARIUS - Ça, c'est de l'Arithmétique.

I. Quotients égaux 1) Fractions égales

Autrement dit :

Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.

avec k ≠ 0 ba

bkak

Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur. Exemples :

4218

2,48,1

73

3515

10545

2) Propriété du produit en croixPour tous nombres a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)

Si alors a x d = b x c dc

ba

Réciproquement : Si a x d = b x c alors dc

ba

Exemples : a) Trouver le nombre p tel que 43

7p

On a p = 7 x 3 ÷ 4

donc 421p ou encore p = 5,25

b) . Comparer 28

12et73

-3 x (-28) = 8412 x 7 = 84

2812

73donc

. Comparer 2012et5

4

4 x 20 = 8012 x 5 = 60

2012

54donc

3) Avec les signesSoient a et b des entiers (avec b≠ 0)

ba

ba

ba

Remarque : Cette règle vient de la règle des signes de la division.

Exemples : 54

54

54

73

73

ba

baet

II. Addition et soustraction 1) Fractions de même dénominateur

Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur:

1- On additionne ou on soustrait les numérateurs2- On garde le dénominateur commun

Autrement dit : dba

db

da

et dba

db

da

Exemple : 11

93119

113

1112

Calculatrice : pour effectuer du calcul fractionnaire avec la machine, on utilise la touche

cd

2) Fractions de dénominateurs différentsOn se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur.

Exemples :

97

32

Le premier multiple commun dans les tables de 3 et de 9 est 9 donc le dénominateur commun de 3 et 9 est 9.

97

3332

97

96

976

91

835

Le premier multiple commun dans les tables de 1 et de 8 est 8 donc le dénominateur commun de 1 et 8 est 8.

83

8185

83

840

8340

837

41

52

Le premier multiple commun dans les tables de 5 et de 4 est 20 donc le dénominateur commun de 5 et 4 est 20.

5451

4542

205

208

2058

203

III. Multiplication Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Autrement dit : (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) db

cadc

ba

Exemple :

3

49354

335494

335

494357774

On décompose les numérateurs et dénominateurs afin de simplifier le calcul final.

1528

Attention 7

157

53753

et non pas 53

53753

IV. Nombre inverse et division1) Le nombre inverse

Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

L’inverse de x est x1 (avec x ≠ 0)

L’inverse de est ba

ab (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)

Exemples : 123

32

32deinverse'lest2

3donc

1414

4deinverse'lest4

1donc

2) La divisionDiviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Autrement dit : c

dba

dc

ba

(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)

Exemples :

8

543

43

58

Diviser par -5/8 revient à multiplier

par son inverse c’est-à-dire 8/-5

5483

54423

56

36

565

31

Diviser par 3 revient à multiplier

par son inverse c’est-à-dire 1/3

3615

185

V. Exemples de calcul prioritaireEffectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :

83542

572A

83

840

425

4212A

837

427A

876377A

4837A

Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42

Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8

On simplifie par 7

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

1107B

1110227B

112

207B

211

207B

27

24

2015

208B

2724

352B

27243

52

B

Les calculs au numérateur

et au dénominateur sont prioritaires

Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20

Le dénominateur commun de 1 et 2 est 2

Diviser par 11/2 revient à multiplier par son inverse c’est-à-dire 2/11

On simplifie par 2