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Seconde S
Devoir sur les vecteursCorrection du 26 avril 2011
Exercice 1 :n36 page 206 du livre
a) On a la relation :
MA + 3
MB =
0
Par la relation de Chasles, on a :
MA + 3(
MA +
AB ) =
0
MA + 3
MA + 3
AB =
0
4MA + 3
AB =
0
b) On a alors :
4MA = 3AB AM = 3
4AB
On a alors le schma :
Exercice 2 :n44 page 207 du livre
Utilisons les proprits de laddition de deux vecteurs :
u =
AC +
BA BC = AC + BA + CB = AC + CB + BA = AA = 0
Exercice 3 :n69 page 210 du livre
a) E est sur le cercle de diamtre [AB] si et seulement si ABE
est rectangle en E.
On calcule alors les distances au carr suivantes :
AB2 = (xB xA)2 + (yB yA)2AB2 = (7 + 1)2 + (8 2)2AB2 = 64 +
100
AB2 = 164
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exercices Seconde S
AE2 + BE2 = (xE xA)2 + (yE yA)2 + (xE xB)2 + (yE yB)2AE2 + BE2 =
(7 + 1)2 + (2 2)2 + (7 7)2 + (2 + 8)2AE2 + BE2 = 64 + 0 + 0 +
100
AE2 + BE2 = 164
On a donc AB2 = AE2 + BE2 donc le triangle ABE est rectangle en
E et donc E est surle cercle de diamtre [AB].
b) Si F est le symtrique de E par rapport au milieu I de [AB],
alors [EF] est un diamtredu cercle C .
On calcule les coordonnes de I = m[AB]
I =( xA + xB
2;yA + yB
2
)=
(1 + 72
;8 + 2
2
)= (3;3)
On pose F(x; y), on doit avoirIF =
EI , on obtient alors le systme suivant :{
x 3 = 3 7y + 3 = 3 2
{x = 1y = 8
c) AEBF est un rectangle car les diagonales [AB] et [EF] se
coupent en leur milieu I(paralllogramme) et le quadrilatre possde
un angle droit car le triangle ABE estrectangle en E.On a alors le
schma :
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exercices Seconde S
Exercice 4 :n70 page 210 du livre
a) On obtient la figure suivante :
b) Dans le repre (A,AD ,
AB ), on a les coordonnes des points suivants :
I(0;
15
)J(13
; 1)
K(1;
45
)L(23
; 0)
On obtient alors les coordonnes des vecteursIJ et
LK
IJ =
(13
, 1 15
)=
(13
,45
) LK =
(1 2
3,
45
)=
(13
,45
)c) On a
IJ =
LK , le quadrilatre IJKL est donc un paralllogramme (on pourrait
mon-
trer quil nest pas rectangle).
d) On appelle O le centre du rectangle, il a donc comme
coordonnes O(12
;12
). Appelons
O le milieu de [IK].Il a donc pour coordonnes :
O =
0 + 12 ;15+
45
2
=(12
,12
)
On constate que O = O
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exercices Seconde S
Exercice 5 :n72 page 210 du livre
1) On pose : A(xA; yA), B(xB; yB) et A(xC; yC).
On traduit alors les galits vectorielles par les systmes
suivants :xA 6 = 54(3 6)
yA 2 = 54(3 2)xA =
454
+ 6
yA =54+ 2
xA =
214
yA =134
xB 6 = 54(10 6)
yB 2 = 54(3 2)
xB = 5 + 6
yB =25
4+ 2
xB = 11
yB =17
4
xC 6 = 54(7 6)
yC 2 = 54(7 2)xC =
54+ 6
yC =254+ 2
xC =
294
yC =334
2) a) Les coordonnes des vecteursAB et
AB sont :
AB = (13;6) et AB =
(654
;15
2
)b) Calculons le dterminant de ces deux vecteurs :
det(AB ,
AB =
13
654
6 152
=195
2+
1952
= 0
Les vecteursAB et
AB sont donc colinaires et donc les droite (AB) et (AB)
sont donc parallles.
3) On peut utiliser une autre mthode pour montrer que les
vecteursAC et
AC sont
colnaires :
AC =
AE +
EC =
54AE +
54EC =
54
(AE +
EC
)=
54AC
Les vecteursAC et
AC sont donc colinaires et donc les droites (AC) et (AC)
sont
parallles. On procde de faon identique pour les vecteursBC
et
BC .
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exercices Seconde S
Exercice 6 :n75 page 211 du livre
Le sens de dplacement est donn par le vecteurR =
C +
N que lon construit avec
un paralllogramme.Ensuite, on trace une droite de mme direction
que
R qui passe par J. Elle coupe
alors lautre rive en L qui est le point de dpart de Lise.
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