Chapitre 8 : Le théorème de Thalès et sa

réciproque

1. Le théorème de Thalès : calculer une distance

a. Conjecture

b. Démonstration

c. Théorème

Théorème : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A. B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d') distincts de A, Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors :

= =

d. Application

Sur la figure ci-dessous les droites (GV) et (FE) sont parallèles, TE = 1,8 cm TV = 6 cm TG = 4,8 cm GV = 8 cm. Calculer TF et FE.

2. La réciproque du théorème de Thalès : Montrer que deux droites sont parallèles

a. ThéorèmeThéorème (admis) : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en un point A. B et M deux points de (d) distincts de A, C et N deux points de (d') distincts de A, Si les points A, B et M d'une part et A, C et N d'autre part, sont alignés dans le même ordre et si = alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles

b. ExempleDémontrer que le quadrilatère LOUP est un trapèze (que (LO) et (UP) sont parallèles)OI = 6 cm ; IP = 10,5 ; IU = 7 cm ; IL = 4 cm.

c. Attention ! !

À vos ordres !Sur la figure ci-contre, G, P et L d'une part et G, N et U d'autre part sont alignés.On donne GP = 2,5 cm ; GU = 9 cm ; GN = 3 cm et GL = 7,5 cm.a. Calcule et Que constates-tu ?b. Pourquoi ne peux-tu pas utiliser ici la réciproque du théorème de Thalès ?

U

L

PN

G

3. Le théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles

Exemple :Les droites (FG) et (NM) sont-elles parallèles ?EF = 2,5 cm, EM = 1,7 cm, EG = 1,6 cm, EN = 1,1 cm.

Etape 1 : On calcule les rapports :

Etape 2 : On applique le théorème de Thalès

4. Agrandir ou réduire une figure

Définition: Lorsque deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est un agrandissement ou une réduction de l'autre.

Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles, la perpendicularité et le parallélisme sont conservés.

Remarques :

ExempleLa pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD.On donne AB = 6 cm ; SA = 15 cm et SI = 5 cm. Calcule IJ.

A B

C

S

D

IJ

L M K

O

Propriété : Lors d’un agrandissement ou d’une réduction d’un objet à l’échelle k :- Les longueurs sont multipliées par k,- Les aires sont multipliées par k²,- Les volumes sont multipliés par k3.

ExempleSur la figure ci-contre, la pyramide FGHIJS est une réduction de la pyramide ABCDES de rapport k.On donne : SA = 7 cm, SF = 5 cm, VABCDES = 686 cm3. Calculer VFGHIJS.

ExempleSur la figure ci-contre, le triangle AB’C’ est un agrandissement du triangle ABC :On donne : AC = 4 cm, AC’ = 5 cm, AABC = 7 cm2. Calculer AAB’C’.