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Lycée Saint-Louis – PCSI1 2020 - 2021
Chapitre 8Lentilles et instruments d’optiques (I)
I Les systèmes optiques centrés
1) Quelques définitions
On appelle système optique un ensemble de miroirs et de dioptres utilisé pour dévier la trajectoire desrayons lumineux.
Une lentille, un miroir, un microscope, un prisme, sont des exemples de systèmes optiques.
Un système optique possède une surface d’entrée (première surface déviant les rayons lumineux) et unesurface de sortie (dernière surface déviant les rayons lumineux).
Schémas :
Exemples :
Une lentille possède bien une surface d’entrée (dioptre air/verre) et une surface de sortie (dioptre verre/air).Dans un système optique contenant un seul miroir, la surface d’entrée et la surface de sortie sont confondues.
On appelle point-objet le point d’intersection des rayons incidents sur le système optique. S’il se trouveavant la surface d’entrée, c’est un point-objet réel, s’il se trouve après la surface d’entrée, c’est un point-objet virtuel.
Schémas :
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On appelle point-image le point d’intersection, s’il existe, des rayons émergents du système optique.S’il se trouve après la surface de sortie, c’est un point-image réel et on peut l’observer sur un écran.S’il se trouve avant la surface de sortie, c’est un point-image virtuel et on l’observe en regardant àtravers la surface de sortie.
Schémas :
Un système optique centré est un système optique possédant une symétrie de révolution autour d’unaxe de symétrie (∆) appelé axe optique.
Exemples :
Une simple lentille de section circulaire est un système optique centré, constitué de deux dioptres (air/verre etverre/air). Sur la photographie ci-dessous les deux dioptres sont sphériques. L’axe optique passe par le sommetdes deux dioptres.
Une lunette astronomique est un système centré constitué d’un objectif (une lentille convergente) et d’un oculaire(une association de plusieurs lentilles convergentes ou divergentes) montés dans un tube. Le système est centrésur l’axe du tube. On peut faire tourner la lunette autour de son axe sans changer ses propriétés. En remplaçantl’objectif par un miroir parabolique on obtient un télescope de type Cassegrain. C’est aussi un système centré.
Figure 1. À gauche : une lentille convergente. À droite : un plan de coupe d’une lunette astronomique.
2) Stigmatisme exact et stigmatisme approché
La figure ci-contre montre des rayons incidents par-allèles traversant une demi-boule transparente d’indicen = 1, 5 placée dans l’air d’indice nair = 1. Les rayonssortant de la demi-boule sont les rayons émergents.
La demi-boule est un système centré. Les rayonsincidents sont parallèles à son axe de symétrie, c’est-à-dire son axe optique.
F′
A∞
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Ces rayons proviennent d’un point objet réel A situé à distance infinie dans la direction des rayons. On constateque les rayons émergents ne passent pas tous par un point image. Cependant, les cinq rayons les plus prochesde l’axe optique passent quasiment par le point F ′ indiqué par la flèche sur la figure.
Pour un système optique on parle de stigmatisme exact lorsque pour tout point objet A il existe unpoint image A′ tel que tous les rayons issus de A et passant par le système optique convergent en A′. Dansle cas contraire on parle d’astigmatisme1.
Le stigmatisme exact est l’exception. Le miroir plan est le seul système à présenter un stigmatisme exact.
(∆)systèmeoptiquecentréA A′
(∆)systèmeoptiquecentréA
Figure 2. À gauche : stigmatisme exact, tous les rayons issus de A convergent en A′ (image nette). À droite :astigmatisme, les rayons issus de A ne convergent pas en un point (image floue).
diaphragme(∆)système
optiquecentré
A tache image de A
Figure 3. Stigmatisme approché obtenu à l’aide d’un diaphragme. Image du point A sur un capteur.
À l’aide d’un diaphragme près de la surface d’entrée du système optique on peut atteindre un stigmatismeapproché, en éliminant les rayons extrêmes qui convergent très loin de la majorité des rayons (Figure 3).Dans ce cas, le faisceau diaphragmé à l’entrée ne converge pas en un point, mais on observe une petite tâchelumineuse que l’on peut dans certains cas assimiler à l’image du point A. En effet, si la tâche lumineuse estplus petite que la taille typique du capteur lumineux (une cellule de la rétine ou un pixel d’une barrette CCD)alors le facteur limitant pour la netteté de l’image est la résolution du capteur.
3) Aplanétisme
Un système optique centré est aplanétique si l’image A′B′ d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optiqueest elle-même perpendiculaire à l’axe optique. Les plans perpendiculaires à l’axe optique et passant par Aet A′ sont des plans conjugués par le système optique.
On ne peut parler d’aplanétisme que si le système optique présente au moins un stigmatisme approché.
(∆)systèmeoptiquecentréA
B
A′
B′
Figure 4. Aplanétisme d’un système optique centré.
Pour un système optique aplanétique on peut alors introduire le grandissement linéaire γ, défini par larelation
γ =A′B′
AB,
où AB et A′B′ sont les longueurs algébriques des segments [AB] et [A′B′], mesurées le long de deux axesorientés dans le même sens.
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Le grandissement est indépendant du point B mais dépend de la position des plans conjugués. Si |γ| > 1 l’imageest plus grande que l’objet, si |γ| < 1 elle est plus petite. Si γ > 0 l’image est dans le même sens que l’objet. Siγ < 0 l’image est retournée.
Un miroir plan est rigoureusement aplanétique. Son grandissement est γ = +1 quelle que soit laposition de l’objet.
Schéma :
4) Conditions de Gauss
Un système optique centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons qui le traversentsont
• peu inclinés par rapport à l’axe optique
• peu éloignés de l’axe optique
Ces rayons sont appelés rayons paraxiaux.
En pratique on place un diaphragme devant le système optique pour se placer dans les conditions de Gauss.
Un système optique centré utilisé dans les conditions de Gauss présente un stigmatisme approché etun aplanétisme approché.
5) Points remarquables d’un système optique centré
Le foyer principal image F ′ d’un système optique centré est le point image conjugué d’un point objetsitué à l’infini sur l’axe optique.
Le foyer principal objet F d’un système optique centré est le point objet dont le point image conjuguéest situé à l’infini sur l’axe optique.
(∆)systèmeoptiquecentré F ′
(∆)systèmeoptiquecentréF
Figure 5. À gauche : foyer principal image F ′ d’un système optique centré. À droite : foyer principal objetF d’un système optique centré.
Pour un système aplanétique, l’image d’un point situé à l’infini hors de l’axe optique est dans un planpassant par F ′ et orthogonal à l’axe optique. Ce plan est appelé plan focal image.
L’image d’un point à l’infini hors de l’axe optique est un foyer secondaire image.
De même, pour un système aplanétique, tout point ayant son image à l’infini est dans le même plan queF , orthogonal à l’axe optique. Ce plan est appelé plan focal objet.
Un point ayant son image à l’infini hors de l’axe optique est un foyer secondaire objet.
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(∆)systèmeoptiquecentré F ′
plan focal image
foyer secondaire image
(∆)systèmeoptiquecentréF
plan focal objet
foyer secondaire objet
Figure 6. À gauche : plan focal image d’un système optique centré. À droite : plan focal objet d’un systèmeoptique centré.
Remarque: Un système optique est dit afocal si F et F ′ sontsitués à l’infini. C’est le cas si l’image d’un point objet à l’infini estaussi à l’infini. L’exemple emblématique d’un système afocal est lalunette astronomique.
(∆)systèmeoptiquecentré
Figure 7. Système afocal
II Les lentilles minces
1) Constitution et caractéristiques
Une lentille est un système optique centré constitué par un milieu transparent homogène et isotrope (générale-ment du verre d’indice optique n = 1, 5) délimité par deux dioptres, sphériques ou plans. L’axe optique(∆) passe par le centre des deux dioptres.
(∆)axe optique
•C1
R1
•C2
R2
e
Figure 8. Exemple de lentille biconvexe d’épaisseur e. Les deux dioptres sont sphériques, de centres C1 et C2
et de rayons de courbure R1 et R2, respectivement.
On ne considérera que des lentilles minces, dont l’épaisseur e est très faible devant les rayons de courburesR1 et R2 des dioptres : e� R1 et e� R2 (Figure 8).
On distingue deux catégories de lentilles (Figure 9) :
• les lentilles convergentes ayant des bords minces ;
• les lentilles divergentes ayant des bords épais ;
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Lentilles à bords minces
biconvexe plan convexeménisque
convergent
Lentilles à bords épais
biconcave plan concaveménisque
divergent
Figure 9. Exemples de lentilles minces, convergentes et divergentes.
Le trajet des rayons dans une lentille est donné par les lois de Snell-Descartes. Des simulations interactives sontdisponibles sur la page http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/stigmatisme_lentille.php. On pourra notamment y tester les conditions de Gauss.
Pour chaque lentille, il existe un point O sur l’axe optique tel que pour chaque rayon passant par O à l’intérieurde la lentille, les rayons incident et émergeant sont parallèles. Le point O est le centre optique de lalentille.
(∆)axe optique
•O
⇒e → 0 (∆)
axe optiqueO
Figure 10. Définition du centre optique pour une lentille à bords minces et représentation simplifiée d’unelentille mince convergente.
(∆)axe optique
•O
⇒e → 0 (∆)
axe optiqueO
Figure 11. Définition du centre optique pour une lentille à bords épais et représentation simplifiée d’unelentille mince divergente.
Conditions d’utilisation :
Les lentilles minces doivent être utilisées dans les conditions de Gauss afin de présenter les propriétésde stigmatisme approché et d’aplanétisme approché.
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2) Foyers principaux, secondaires et plans focaux
a) Lentille convergente
Le foyer principal image F ′ est le point conjugué d’un point objet situé à l’infini sur l’axe optique.
Les rayons incidents parallèles à l’axe optique émergent en passant réellement par le foyer principalimage d’une lentille convergente.
(∆)
Lentille convergente
F ′
+
+
Remarque. Pour une lentille convergente, le point F ′ est situé après la lentille dans le sens des rayons. Lesrayons émergeant de la lentille convergent vers ce point : F ′ est un point image réel.
On appelle distance focale image la distance algébrique f ′ entre le centre optique O et le foyer principalimage F ′ :
f ′ = OF ′ .
Il est nécessaire de définir une convention pour le signe des distances algébriques. On choisit générale-ment le sens des rayons incidents, que l’on représente le plus souvent comme allant de la gauche vers ladroite, et on compte les distances algébriques positivement dans ce sens.
Alors pour une lentille convergente f ′ > 0 .
Le foyer principal objet F est le point conjugué d’un point image situé à l’infini sur l’axe optique.
Les rayons incidents passant réellement par le foyer principal objet d’une lentille convergenteémergent parallèles à l’axe optique.
On peut montrer (par le calcul, une simulation ou l’expérience) que le foyer principal objet F d’une lentillemince convergente est le symétrique du foyer principal image F ′ par rapport à O .
(∆)
Lentille convergente
F F ′
+
+
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Remarque. Pour une lentille convergente, le point F est situé avant la lentille dans le sens des rayons. Lesrayons incidents sur la lentille semblent provenir de ce point : F est un point objet réel.
On appelle distance focale objet la distance algébrique f entre le centre optique O et le foyer principalobjet F :
f = OF .
D’après la convention choisie pour le signe des distances algébriques on a pour une lentille conver-gente f < 0 .
Pour une lentille mince convergente : f = −f ′ .
b) Lentille divergente
Le foyer principal image F ′ est le point conjugué d’un point objet situé à l’infini sur l’axe optique.
Les rayons incidents parallèles à l’axe optique émergent en passant virtuellement par le foyer principalimage d’une lentille divergente.
(∆)
Lentille divergente
F ′
+
+
Remarque. Pour une lentille divergente, le point F ′ est situé avant la lentille dans le sens des rayons. Lesrayons émergeant de la lentille semblent provenir de ce point : F ′ est un point image virtuel.
On appelle distance focale image la distance algébrique f ′ entre le centre optique O et le foyer principalimage F ′ :
f ′ = OF ′ .
Alors pour une lentille divergente f ′ < 0 .
Le foyer principal objet F est le point conjugué d’un point image situé à l’infini sur l’axe optique.
Les rayons incidents passant virtuellement par le foyer principal objet d’une lentille divergenteémergent parallèles à l’axe optique.
On peut montrer (par le calcul, une simulation ou l’expérience) que le foyer principal objet F d’une lentillemince divergente est le symétrique du foyer principal image F ′ par rapport à O .
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(∆)
Lentille divergente
FF ′
+
+
Remarque. Pour une lentille divergente, le point F est situé après la lentille dans le sens des rayons. Lesrayons incidents sur la lentille semblent converger vers ce point : F est un point objet virtuel.
On appelle distance focale objet la distance algébrique f entre le centre optique O et le foyer principalobjet F :
f = OF .
D’après la convention choisie pour le signe des distances algébriques on a pour une lentille diver-gente f > 0 .
Pour une lentille mince divergente : f = −f ′ .
c) Vergence
Pour une lentille mince (convergente ou divergente) on définit la vergence V =1
f ′= − 1
f.
La vergence est homogène à l’inverse d’une longueur et son unité est la dioptrie δ (1 δ = 1 m−1) .
Exemple : une lentille L1 convergente de distance focale image f ′1 = 50 cm a une vergence V1 = 2 δ et unelentille L2 divergente de vergence V2 = −8 δ a une distance focale image f ′2 = −12,5 cm .
On retiendra que la vergence de deux lentilles accolées est égale à la somme des vergences des deux lentilles.
Exemple : si on accole une lentille L1 de distance focale image f ′1 = 10 cm et une lentille L2 de distance
focale image f ′2 = 20 cm, on obtient une lentille de vergence V = V1 + V2 =1
f ′1+
1
f ′2= 15 δ. La distance focale
du doublet est alors f ′ =1
V= 6,7 cm .
(∆)
L1 L2
O1 O2⇔
(∆)axe optique
L
OF ′F
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d) Plans focaux, foyers secondaires
Le plan focal objet est le plan passant par F et orthogonal à l’axe optique.
Le plan focal image est le plan passant par F ′ et orthogonal à l’axe optique.
Tous les points de ces plans sont des foyers secondaires, image ou objet.
(∆)
F F ′
Plan focalimage
Plan focalobjet
(∆)
Plan focalimage
Plan focalobjet
FF ′
ATTENTION !
LES FOYERS PRINCIPAUX F ET F ′ NE SONT PAS CONJUGUÉS PAR LA LENTILLEMINCE !
LES PLANS FOCAUX OBJET ET IMAGE NE SONT PAS NON PLUS CONJUGUÉS !
3) Construction d’une image par une lentille mince
On se place dans les conditions de Gauss qui garantissent un stigmatisme approché est un aplanétismeapproché.
Toutes les constructions présentées dans cette section sont à connaître parfaitement.
Si vous avez besoin de voir à nouveau le tracé en action, rendez-vous sur la page : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/construction_lentille.php.
a) Cas d’un objet à distance finie
On trouve le conjugué d’un point objet quelconque situé hors de l’axe optique en traçant deux rayons issus dupoint objet. Le point conjugué (c’est-à-dire l’image) se trouve à l’intersection des deux rayons après le passagede la lentille. Deux rayons suffisent du fait du stigmatisme de la lentille.
On choisit ces deux rayons parmi trois rayons remarquable dont on connaît la trajectoire :
• un rayon incident passant par le centre optique et qui n’est pas dévié,
• un rayon incident passant par le foyer principal objet F et qui émerge parallèlement à l’axe optique,
• un rayon incident parallèle à l’axe optique qui émerge en passant par le foyer principal image F ′.
Pour un point objet A situé sur l’axe optique, les trois rayons cités ci-dessus sont confondus avec l’axe optique.On cherche alors l’image B′ d’un point B situé sur la droite passant par A et perpendiculaire à l’axe optique.En utilisant la propriété d’aplanétisme de la lentille, l’image A′ de A est le projeté orthogonal de B′ sur l’axeoptique.
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Activité 1 : Pour une lentille convergente, construire l’image−−−→A′B′ d’un objet
−−→AB :
1. réel situé avant F ,
2. réel situé entre F et O,
3. virtuel situé après O.
L’objet−−→AB est perpendiculaire à l’axe optique et A appartient à l’axe optique. Dans chaque cas décrire si
l’image est réelle, virtuelle, retournée ou non.
Activité 2 : Pour une lentille divergente, construire l’image−−−→A′B′ d’un objet
−−→AB:
1. réel situé avant O,
2. virtuel, situé entre O et F ,
3. virtuel, situé après F .
L’objet−−→AB est perpendiculaire à l’axe optique et A appartient à l’axe optique. Dans chaque cas décrire si
l’image est réelle, virtuelle, retournée ou non.
b) Cas d’un objet à distance infinie
Si l’objet est un point sur l’axe optique, l’image est le foyer principal image F ′.
Le cas plus délicat (mais plus intéressant !) est celui d’un point objet situé à l’infini hors de l’axe optique. Lesrayons incidents sont parallèles entre eux et tous inclinés du même angle par rapport à l’axe optique. Pour enconstruire l’image on utilise les deux règles suivantes :
• Deux rayons incidents parallèles donnent des rayons qui se croisent dans le plan focal image. Ce point, unfoyer secondaire, se trouve à l’intersection du plan focal image et d’un rayon non dévié passant par le centreoptique.
• Deux rayons incidents qui se croisent dans le plan focal objet donnent des rayons parallèles après la lentille.
Activité 3 : Construire l’image−−−→A′B′ d’un objet
−−→AB situé à l’infini par une lentille convergente puis par
une lentille divergente. L’objet−−→AB est perpendiculaire à l’axe optique et A appartient à l’axe optique.
c) Rayon incident quelconque
Activité 4 : Dessiner un rayon incident quelconque sur une lentille convergente puis construire le rayonémergeant correspondant. Utiliser les règles énoncées en b). Reprendre l’exercice pour une lentille diver-gente.
d) Rayon émergent quelconque
Activité 5 : Dessiner un rayon émergent quelconque issu d’une lentille convergente puis construire lerayon incident correspondant. Utiliser les règles énoncées en b). Reprendre l’exercice pour une lentilledivergente.
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4) Relations de conjugaison
On peut calculer la position et la taille des images construites géométriquement en utilisant les relationsde conjugaison :
1. une formule liant les positions des points A et A′ conjugués sur l’axe optique ;
2. une formule donnant le grandissement γ =A′B′
ABentre deux plans conjugués.
Connaissant ces deux formules, on peut déterminer la position de l’image−−−→A′B′ d’un objet
−−→AB donné, en
plaçant le point A′ à l’aide de la formule de position, puis le point B′ à l’aide de la formule de grandissement.
Les relations de conjugaison s’écrivent sous deux formes équivalentes et sont valables pour toutes leslentilles minces (convergente ou divergente) ainsi que pour n’importe quel couple de points conjugués(objet réel/image réelle, objet réel/image virtuelle, etc.).
Les formules de conjugaison vous seront toujours fournies.
a) Relations avec origines aux foyers (dites de Newton)
Formule de position : F ′A′ × FA = −f ′2 = −f2 = ff ′ .
Formule de grandissement : γ = −F′A′
f ′= − f
FA.
b) Relations avec origine au centre (dites de Descartes)
Formule de position :1
OA′− 1
OA=
1
f ′.
Formule de grandissement : γ =OA′
OA.
c) Démonstration (complément)
Faisons la démonstration pour une lentille convergente, un objet réel et une image réelle. La démonstration estanalogue pour tous les autres cas.
(∆)OA
B
A′
B′
H ′
H
H ′
H
H ′
H
H ′
H
H ′
H
+
+
F F ′
D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OA′B′ :A′B′
AB=OA′
OA. On en déduit la formule de
grandissement : γ =A′B′
AB=OA′
OA, après avoir vérifié les signes des grandeurs algébriques.
De même, d’après le théorème de Thalès dans les triangles FAB et FOH :OH
AB=FO
FA. On en déduit la formule
de grandissement : γ =A′B′
AB=OH
AB=FO
FA= − f
FA, après avoir vérifié les signes des grandeurs algébriques.
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Enfin d’après le théorème de Thalès dans les triangles F ′A′B′ et F ′OH ′ on tire la dernière formule de gran-
dissement : γ =A′B′
AB=A′B′
OH=F ′A′
F ′O= −F
′A′
f ′.
En multipliant les deux dernière formules de grandissement entre elles on tire la formule de position avec originesaux foyers : F ′A′ × FA = ff ′ .
Enfin grâce à la relation de Chasles : F ′A′ = F ′O+OA′ et FA = FO+OA on tire la formule de position avecorigine au centre.
III Projection d’une image sur un écran
On cherche à projeter sur un écran l’image réelle d’un objet réel. Pour cela on utilise une lentille convergente Lde distance focale image f ′, appelée lentille de projection. On suppose que la distance D entre l’objet et l’écranest fixée, ce qui est le cas par exemple pour un projecteur numérique. On cherche à quelles conditions on peuten pratique réaliser cette projection.
(∆) axe optiqueA
B
O
L(lentille de projection)
F
F ′
écran
x
D
A′
B′
+
+
On note x la distance entre le plan de l’objet et la lentille. Ainsi OA = −x < 0 et OA′ = D − x > 0. D’aprèsla relation de conjugaison pour la lentille mince :
1
OA′− 1
OA=
1
f ′⇔ 1
D − x+
1
x=
1
f ′⇔ D
x(D − x)=
1
f ′⇔ x2 −Dx+ f ′D = 0 .
Cette équation n’a de solutions réelles que si le discriminant du trinôme est positif : ∆ = D2 − 4f ′D ≥ 0 .
Pour former l’image réelle d’un objet réel sur un écran situé à une distance D de l’objet, à l’aide d’unelentille convergente de distance focale image f ′ il est nécessaire de respecter la condition D ≥ 4f ′ .
Les deux positions possibles pour la lentille sont :
x1 =D
2− 1
2
√D2 − 4f ′D ou x2 =
D
2+
1
2
√D2 − 4f ′D .
Les deux positions possibles sont symétriques par rapport au milieu du segment [AA′] .
Calculons le grandissement pour chaque position : γ =A′B′
AB=OA′
OA.
Position x1 : OA = −x1, OA′ = D − x1 et γ1 = D−x1
−x1< 0. L’image est retournée. De plus :
|γ1| =D2 + 1
2
√D2 − 4f ′D
D2 −
12
√D2 − 4f ′D
| > 1
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Ainsi dans la position x1 (lentille près de l’objet) l’image est agrandie.
Position x2 : OA = −x2, OA′ = D − x2 et γ2 = D−x2
−x2< 0. L’image est retournée. De plus :
|γ2| =D2 −
12
√D2 − 4f ′D
D2 + 1
2
√D2 − 4f ′D
| < 1
Ainsi dans la position x2 (lentille près de l’écran) l’image est rétrécie.
Dans la position x1 (lentille près de l’objet) et si D � f ′ on retiendra que |γ1| 'D
f ′.
Pour augmenter le grandissement en gardant D fixée il est nécessaire de diminuer la distance focaleimage de la lentille de projection (c’est-à-dire augmenter sa vergence).
14
