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Chapitre 9 La meacutecanique des fluides
et lrsquoheacutemodynamique
Public cible
Ce cours est destineacute aux eacutetudiants de la premiegravere anneacutee Docteur Veacuteteacuterinaire il est conseilleacute agrave
toute personne qui veut avoir une ideacutee sur la meacutecanique des fluides
Objectifs de cours
Dans ce chapitre sont deacutemontreacutes les eacutequations et les theacuteoregravemes relatifs agrave la dynamique des
fluides incompressibles parfaits et reacuteels
Au terme de ce chapitre lrsquoeacutetudiant doit ecirctre capable de
- Appliquer les lois essentielles reacutegissant la dynamique des fluides
Relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Equation de continuiteacute
Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides parfaits et reacuteels
Equation de Poiseuille
- Calculer la pression le deacutebit la vitesse hellip
- Evaluer le nombre de Reynolds
- Identifier les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
- Savoir les diffeacuterentes applications de la meacutecanique des fluides dans le domaine de la santeacute
(la perfusion la pression arteacuterielle le deacutebit cardiaque et reacutesistance vasculaire)
Preacute requis
Connaissance de base en physique
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
2 Dr A Ouchtati
1 Geacuteneacuteraliteacutes sur les fluides
11 Deacutefinitions
Un fluide est un milieu mateacuteriel parfaitement deacuteformable constitueacute de moleacutecules
mobiles entre elles Il nrsquoa pas de forme propre (prend celle du reacutecipient) On regroupe sous
cette appellation les liquides les gaz et les plasmas
La meacutecanique des fluides est un sous-ensemble de la meacutecanique des milieux continus
Crsquoest le domaine de la physique qui comprend lrsquoeacutetude des gaz et des liquides agrave lrsquoeacutequilibre
et en mouvement
La meacutecanique des fluides se compose de deux parties
- La statique des fluides qui eacutetudie les fluides au repos Elle comprend la statique
des liquides lrsquohydrostatique et la statique des gaz lrsquoaeacuterostatique
- La dynamique des fluides qui eacutetudie les fluides en mouvement On distingue la
dynamique des liquides lrsquohydrodynamique et la dynamique des gaz
lrsquoaeacuterodynamique
La meacutecanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme
lrsquoingeacutenierie navale lrsquoaeacuteronautique lrsquoheacutemodynamique (lrsquoeacutetude de lrsquoeacutecoulement du sang)
la meacuteteacuteorologie la climatologie et lrsquooceacuteanographie
12 Proprieacuteteacutes drsquoun fluide
Tous les fluides possegravedent des caracteacuteristiques permettant de deacutecrire leurs conditions
physiques dans un eacutetat donneacute Parmi ces caracteacuteristiques qursquoon appelle proprieacuteteacutes des fluides
on a
La masse volumique
Ougrave m est la masse de la substance occupant un volume V
Le pois volumique
Ougrave P est le pois (P=mg)
La densiteacute
Pour les liquides le fluide de reacutefeacuterence est lrsquoeau eau = 1 000 kgmiddotm-3 = 1 gmiddotcm-3
La viscositeacute ()
Crsquoest une grandeur physique qui caracteacuterise les frottements internes du fluide autrement dit
sa capaciteacute agrave srsquoeacutecouler Elle caracteacuterise la reacutesistance drsquoun fluide agrave son eacutecoulement lorsqursquoil est
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soumis agrave lrsquoapplication drsquoune force Crsquoest agrave dire les fluides de grande viscositeacute reacutesistent agrave
lrsquoeacutecoulement et les fluides de faible viscositeacute srsquoeacutecoulent facilement
- Si 0 le fluide est dit parfait ou ideacuteal il srsquoeacutecoule sans frottement - Si 0 le fluide est dit reacuteel il srsquoeacutecoule avec frottement
La compressibiliteacute (χ)
Est la proprieacuteteacute drsquoun corps quantifiant sa variation relative de volume sous lrsquoeffet drsquoune
pression appliqueacutee Le coefficient de compressibiliteacute χ drsquoun gaz est tregraves supeacuterieur agrave celui drsquoun
liquide donc
- les milieux gazeux sont consideacutereacutes comme des milieux compressibles
- les milieux liquides sont consideacutereacutes comme des milieux incompressibles
Milieu compressible Milieu incompressible
2 Statique des fluides ideacuteals incompressibles (Hydrostatique)
Dans cette partie on eacutetudie lrsquohydrostatique (la statique des fluides incompressibles) qui
srsquooccupe les conditions drsquoeacutequilibre des fluides au repos et lrsquointeraction des fluides avec les
surfaces et les corps solides immergeacutes on notera que les forces de frottement qui sont dues
essentiellement agrave la viscositeacute ne se manifestent pas (pas drsquoeacutecoulement) et lrsquoeacutetude reste valable
pour les fluides reacuteel
21 Pression drsquoun fluide
La pression est une grandeur physique qui traduit les eacutechanges de la quantiteacute de mouvement
dans un systegraveme thermodynamique et notamment au sein drsquoun solide ou drsquoun fluide
Elle est deacutefinie classiquement comme
lrsquointensiteacute de la force F qursquoexerce un fluide par uniteacute de surface S
Lrsquoeacutenergie E contenue dans une uniteacute de volume V drsquoun fluide (lrsquoeacutenergie des
moleacutecules du fluide)
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La force F(Newton) est perpendiculaire agrave la surface S(msup2)
Uniteacute de pression est le Pascal (Pa) dont il existe plusieurs eacutequivalents 1Pa= 1Nmsup2 = 1Jm3
1bar = 105Pa
1atm = 1013 bar = 101325 Pa (atm atmosphegravere)
1atm = 760 mm Hg (mm Hg millimegravetre de mercure)
1mm Hg=133 Pa
Types de pressions
Ces pressions font reacutefeacuterence agrave des mesures obtenues avec diffeacuterents appareils Certains
mesurent une pression seule pression absolue ou pression atmospheacuterique drsquoautres mesurent
une diffeacuterence de pression entre deux points quelconque ou entre un point et lrsquoatmosphegravere
- La pression absolue (pabs) se mesure en reacutefeacuterence au vide absolu dont la pression est
nulle Elle est toujours positive
- La diffeacuterence de pression ou pression diffeacuterentielle (pdif) p = p2 ndash p1 se mesure
entre deux points En geacuteneacuteral pdif = pabs ndash pref ougrave pref est une pression de reacutefeacuterence
- La pression atmospheacuterique ambiante (pamb ou patm) est mesureacutee avec un baromegravetre
par rapport au vide absolu
- La pression effective peff ou pression relative prel est la pression diffeacuterentielle mesureacutee
en reacutefeacuterence agrave la pression ambiante On a donc peff = pabs ndash patm
Cette pression peut prendre une valeur positive ou une valeur neacutegative La pression
neacutegative est deacutesigneacutee par pression vacuum
- Pression agrave lrsquoair libre Dans les problegravemes on rencontre souvent un reacuteservoir ou un
point agrave lrsquoair libre Ccedila signifie que sa pression est eacutegale agrave la pression atmospheacuterique
deacutefinie pour le problegraveme
Mesure des pressions Lrsquoappareil de mesure de la pression atmospheacuterique est le
baromegravetre pour les pressions relatives positives on utilise le manomegravetre agrave aiguille baseacute
sur le systegraveme Bourdon ou plus reacutecemment des manomegravetres eacutelectroniques pour mesurer
les pressions neacutegatives (deacutepression) on utilise un vacuomegravetre (eacutechelle de -1033 bars agrave 0
bars)
Baromegravetre Manomegravetre Manomegravetre eacutelectronique Vacuomegravetre
Surface (S)
Force
(F)
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22 Theacuteoregraveme de Pascal Transmission des pressions
Un liquide statique incompressible transmet inteacutegralement et dans toutes les directions les
variations de pression qursquoon lui fait subir Ceci est lie agrave la compressibiliteacute qui implique une
masse volumique constante
Exemple Une presse hydraulique
Principe de Pascal
On exerce une force F1 sur le piston de surface S1 la pression p1 transmise au liquide est
Selon le principe de Pascal le fluide transmet inteacutegralement en tout point les variations de
pression donc la pression p1 est inteacutegralement transmise au piston de surface S2 En effet
Et la force qui srsquoexerce sur la surface S2 est
Conclusion Si la surface S2 est beaucoup plus grande que la surface S1 il sera possible de
soulever des charges importantes en appliquant une force F1 de faible valeur
23 Relation Fondamentale de lrsquoHydrostatique (RFH)
Pression hydrostatique est due agrave la force qursquoexerce le liquide par uniteacute de surface Elle
correspond au poids ( = ) de la colonne de liquide qui srsquoapplique en un point A
Elle est deacutefinie en un point A drsquoun fluide par lrsquoexpression suivante
Dans un repegravere ( avec lrsquoaxe des z orienteacute vers le haut
Cette relation srsquoeacutecrit
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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2 Dr A Ouchtati
1 Geacuteneacuteraliteacutes sur les fluides
11 Deacutefinitions
Un fluide est un milieu mateacuteriel parfaitement deacuteformable constitueacute de moleacutecules
mobiles entre elles Il nrsquoa pas de forme propre (prend celle du reacutecipient) On regroupe sous
cette appellation les liquides les gaz et les plasmas
La meacutecanique des fluides est un sous-ensemble de la meacutecanique des milieux continus
Crsquoest le domaine de la physique qui comprend lrsquoeacutetude des gaz et des liquides agrave lrsquoeacutequilibre
et en mouvement
La meacutecanique des fluides se compose de deux parties
- La statique des fluides qui eacutetudie les fluides au repos Elle comprend la statique
des liquides lrsquohydrostatique et la statique des gaz lrsquoaeacuterostatique
- La dynamique des fluides qui eacutetudie les fluides en mouvement On distingue la
dynamique des liquides lrsquohydrodynamique et la dynamique des gaz
lrsquoaeacuterodynamique
La meacutecanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines comme
lrsquoingeacutenierie navale lrsquoaeacuteronautique lrsquoheacutemodynamique (lrsquoeacutetude de lrsquoeacutecoulement du sang)
la meacuteteacuteorologie la climatologie et lrsquooceacuteanographie
12 Proprieacuteteacutes drsquoun fluide
Tous les fluides possegravedent des caracteacuteristiques permettant de deacutecrire leurs conditions
physiques dans un eacutetat donneacute Parmi ces caracteacuteristiques qursquoon appelle proprieacuteteacutes des fluides
on a
La masse volumique
Ougrave m est la masse de la substance occupant un volume V
Le pois volumique
Ougrave P est le pois (P=mg)
La densiteacute
Pour les liquides le fluide de reacutefeacuterence est lrsquoeau eau = 1 000 kgmiddotm-3 = 1 gmiddotcm-3
La viscositeacute ()
Crsquoest une grandeur physique qui caracteacuterise les frottements internes du fluide autrement dit
sa capaciteacute agrave srsquoeacutecouler Elle caracteacuterise la reacutesistance drsquoun fluide agrave son eacutecoulement lorsqursquoil est
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3 Dr A Ouchtati
soumis agrave lrsquoapplication drsquoune force Crsquoest agrave dire les fluides de grande viscositeacute reacutesistent agrave
lrsquoeacutecoulement et les fluides de faible viscositeacute srsquoeacutecoulent facilement
- Si 0 le fluide est dit parfait ou ideacuteal il srsquoeacutecoule sans frottement - Si 0 le fluide est dit reacuteel il srsquoeacutecoule avec frottement
La compressibiliteacute (χ)
Est la proprieacuteteacute drsquoun corps quantifiant sa variation relative de volume sous lrsquoeffet drsquoune
pression appliqueacutee Le coefficient de compressibiliteacute χ drsquoun gaz est tregraves supeacuterieur agrave celui drsquoun
liquide donc
- les milieux gazeux sont consideacutereacutes comme des milieux compressibles
- les milieux liquides sont consideacutereacutes comme des milieux incompressibles
Milieu compressible Milieu incompressible
2 Statique des fluides ideacuteals incompressibles (Hydrostatique)
Dans cette partie on eacutetudie lrsquohydrostatique (la statique des fluides incompressibles) qui
srsquooccupe les conditions drsquoeacutequilibre des fluides au repos et lrsquointeraction des fluides avec les
surfaces et les corps solides immergeacutes on notera que les forces de frottement qui sont dues
essentiellement agrave la viscositeacute ne se manifestent pas (pas drsquoeacutecoulement) et lrsquoeacutetude reste valable
pour les fluides reacuteel
21 Pression drsquoun fluide
La pression est une grandeur physique qui traduit les eacutechanges de la quantiteacute de mouvement
dans un systegraveme thermodynamique et notamment au sein drsquoun solide ou drsquoun fluide
Elle est deacutefinie classiquement comme
lrsquointensiteacute de la force F qursquoexerce un fluide par uniteacute de surface S
Lrsquoeacutenergie E contenue dans une uniteacute de volume V drsquoun fluide (lrsquoeacutenergie des
moleacutecules du fluide)
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4 Dr A Ouchtati
La force F(Newton) est perpendiculaire agrave la surface S(msup2)
Uniteacute de pression est le Pascal (Pa) dont il existe plusieurs eacutequivalents 1Pa= 1Nmsup2 = 1Jm3
1bar = 105Pa
1atm = 1013 bar = 101325 Pa (atm atmosphegravere)
1atm = 760 mm Hg (mm Hg millimegravetre de mercure)
1mm Hg=133 Pa
Types de pressions
Ces pressions font reacutefeacuterence agrave des mesures obtenues avec diffeacuterents appareils Certains
mesurent une pression seule pression absolue ou pression atmospheacuterique drsquoautres mesurent
une diffeacuterence de pression entre deux points quelconque ou entre un point et lrsquoatmosphegravere
- La pression absolue (pabs) se mesure en reacutefeacuterence au vide absolu dont la pression est
nulle Elle est toujours positive
- La diffeacuterence de pression ou pression diffeacuterentielle (pdif) p = p2 ndash p1 se mesure
entre deux points En geacuteneacuteral pdif = pabs ndash pref ougrave pref est une pression de reacutefeacuterence
- La pression atmospheacuterique ambiante (pamb ou patm) est mesureacutee avec un baromegravetre
par rapport au vide absolu
- La pression effective peff ou pression relative prel est la pression diffeacuterentielle mesureacutee
en reacutefeacuterence agrave la pression ambiante On a donc peff = pabs ndash patm
Cette pression peut prendre une valeur positive ou une valeur neacutegative La pression
neacutegative est deacutesigneacutee par pression vacuum
- Pression agrave lrsquoair libre Dans les problegravemes on rencontre souvent un reacuteservoir ou un
point agrave lrsquoair libre Ccedila signifie que sa pression est eacutegale agrave la pression atmospheacuterique
deacutefinie pour le problegraveme
Mesure des pressions Lrsquoappareil de mesure de la pression atmospheacuterique est le
baromegravetre pour les pressions relatives positives on utilise le manomegravetre agrave aiguille baseacute
sur le systegraveme Bourdon ou plus reacutecemment des manomegravetres eacutelectroniques pour mesurer
les pressions neacutegatives (deacutepression) on utilise un vacuomegravetre (eacutechelle de -1033 bars agrave 0
bars)
Baromegravetre Manomegravetre Manomegravetre eacutelectronique Vacuomegravetre
Surface (S)
Force
(F)
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22 Theacuteoregraveme de Pascal Transmission des pressions
Un liquide statique incompressible transmet inteacutegralement et dans toutes les directions les
variations de pression qursquoon lui fait subir Ceci est lie agrave la compressibiliteacute qui implique une
masse volumique constante
Exemple Une presse hydraulique
Principe de Pascal
On exerce une force F1 sur le piston de surface S1 la pression p1 transmise au liquide est
Selon le principe de Pascal le fluide transmet inteacutegralement en tout point les variations de
pression donc la pression p1 est inteacutegralement transmise au piston de surface S2 En effet
Et la force qui srsquoexerce sur la surface S2 est
Conclusion Si la surface S2 est beaucoup plus grande que la surface S1 il sera possible de
soulever des charges importantes en appliquant une force F1 de faible valeur
23 Relation Fondamentale de lrsquoHydrostatique (RFH)
Pression hydrostatique est due agrave la force qursquoexerce le liquide par uniteacute de surface Elle
correspond au poids ( = ) de la colonne de liquide qui srsquoapplique en un point A
Elle est deacutefinie en un point A drsquoun fluide par lrsquoexpression suivante
Dans un repegravere ( avec lrsquoaxe des z orienteacute vers le haut
Cette relation srsquoeacutecrit
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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7 Dr A Ouchtati
Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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8 Dr A Ouchtati
Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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9 Dr A Ouchtati
3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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10 Dr A Ouchtati
- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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11 Dr A Ouchtati
Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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12 Dr A Ouchtati
34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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13 Dr A Ouchtati
p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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soumis agrave lrsquoapplication drsquoune force Crsquoest agrave dire les fluides de grande viscositeacute reacutesistent agrave
lrsquoeacutecoulement et les fluides de faible viscositeacute srsquoeacutecoulent facilement
- Si 0 le fluide est dit parfait ou ideacuteal il srsquoeacutecoule sans frottement - Si 0 le fluide est dit reacuteel il srsquoeacutecoule avec frottement
La compressibiliteacute (χ)
Est la proprieacuteteacute drsquoun corps quantifiant sa variation relative de volume sous lrsquoeffet drsquoune
pression appliqueacutee Le coefficient de compressibiliteacute χ drsquoun gaz est tregraves supeacuterieur agrave celui drsquoun
liquide donc
- les milieux gazeux sont consideacutereacutes comme des milieux compressibles
- les milieux liquides sont consideacutereacutes comme des milieux incompressibles
Milieu compressible Milieu incompressible
2 Statique des fluides ideacuteals incompressibles (Hydrostatique)
Dans cette partie on eacutetudie lrsquohydrostatique (la statique des fluides incompressibles) qui
srsquooccupe les conditions drsquoeacutequilibre des fluides au repos et lrsquointeraction des fluides avec les
surfaces et les corps solides immergeacutes on notera que les forces de frottement qui sont dues
essentiellement agrave la viscositeacute ne se manifestent pas (pas drsquoeacutecoulement) et lrsquoeacutetude reste valable
pour les fluides reacuteel
21 Pression drsquoun fluide
La pression est une grandeur physique qui traduit les eacutechanges de la quantiteacute de mouvement
dans un systegraveme thermodynamique et notamment au sein drsquoun solide ou drsquoun fluide
Elle est deacutefinie classiquement comme
lrsquointensiteacute de la force F qursquoexerce un fluide par uniteacute de surface S
Lrsquoeacutenergie E contenue dans une uniteacute de volume V drsquoun fluide (lrsquoeacutenergie des
moleacutecules du fluide)
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La force F(Newton) est perpendiculaire agrave la surface S(msup2)
Uniteacute de pression est le Pascal (Pa) dont il existe plusieurs eacutequivalents 1Pa= 1Nmsup2 = 1Jm3
1bar = 105Pa
1atm = 1013 bar = 101325 Pa (atm atmosphegravere)
1atm = 760 mm Hg (mm Hg millimegravetre de mercure)
1mm Hg=133 Pa
Types de pressions
Ces pressions font reacutefeacuterence agrave des mesures obtenues avec diffeacuterents appareils Certains
mesurent une pression seule pression absolue ou pression atmospheacuterique drsquoautres mesurent
une diffeacuterence de pression entre deux points quelconque ou entre un point et lrsquoatmosphegravere
- La pression absolue (pabs) se mesure en reacutefeacuterence au vide absolu dont la pression est
nulle Elle est toujours positive
- La diffeacuterence de pression ou pression diffeacuterentielle (pdif) p = p2 ndash p1 se mesure
entre deux points En geacuteneacuteral pdif = pabs ndash pref ougrave pref est une pression de reacutefeacuterence
- La pression atmospheacuterique ambiante (pamb ou patm) est mesureacutee avec un baromegravetre
par rapport au vide absolu
- La pression effective peff ou pression relative prel est la pression diffeacuterentielle mesureacutee
en reacutefeacuterence agrave la pression ambiante On a donc peff = pabs ndash patm
Cette pression peut prendre une valeur positive ou une valeur neacutegative La pression
neacutegative est deacutesigneacutee par pression vacuum
- Pression agrave lrsquoair libre Dans les problegravemes on rencontre souvent un reacuteservoir ou un
point agrave lrsquoair libre Ccedila signifie que sa pression est eacutegale agrave la pression atmospheacuterique
deacutefinie pour le problegraveme
Mesure des pressions Lrsquoappareil de mesure de la pression atmospheacuterique est le
baromegravetre pour les pressions relatives positives on utilise le manomegravetre agrave aiguille baseacute
sur le systegraveme Bourdon ou plus reacutecemment des manomegravetres eacutelectroniques pour mesurer
les pressions neacutegatives (deacutepression) on utilise un vacuomegravetre (eacutechelle de -1033 bars agrave 0
bars)
Baromegravetre Manomegravetre Manomegravetre eacutelectronique Vacuomegravetre
Surface (S)
Force
(F)
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22 Theacuteoregraveme de Pascal Transmission des pressions
Un liquide statique incompressible transmet inteacutegralement et dans toutes les directions les
variations de pression qursquoon lui fait subir Ceci est lie agrave la compressibiliteacute qui implique une
masse volumique constante
Exemple Une presse hydraulique
Principe de Pascal
On exerce une force F1 sur le piston de surface S1 la pression p1 transmise au liquide est
Selon le principe de Pascal le fluide transmet inteacutegralement en tout point les variations de
pression donc la pression p1 est inteacutegralement transmise au piston de surface S2 En effet
Et la force qui srsquoexerce sur la surface S2 est
Conclusion Si la surface S2 est beaucoup plus grande que la surface S1 il sera possible de
soulever des charges importantes en appliquant une force F1 de faible valeur
23 Relation Fondamentale de lrsquoHydrostatique (RFH)
Pression hydrostatique est due agrave la force qursquoexerce le liquide par uniteacute de surface Elle
correspond au poids ( = ) de la colonne de liquide qui srsquoapplique en un point A
Elle est deacutefinie en un point A drsquoun fluide par lrsquoexpression suivante
Dans un repegravere ( avec lrsquoaxe des z orienteacute vers le haut
Cette relation srsquoeacutecrit
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Biophysique meacutecanique des fluides
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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La force F(Newton) est perpendiculaire agrave la surface S(msup2)
Uniteacute de pression est le Pascal (Pa) dont il existe plusieurs eacutequivalents 1Pa= 1Nmsup2 = 1Jm3
1bar = 105Pa
1atm = 1013 bar = 101325 Pa (atm atmosphegravere)
1atm = 760 mm Hg (mm Hg millimegravetre de mercure)
1mm Hg=133 Pa
Types de pressions
Ces pressions font reacutefeacuterence agrave des mesures obtenues avec diffeacuterents appareils Certains
mesurent une pression seule pression absolue ou pression atmospheacuterique drsquoautres mesurent
une diffeacuterence de pression entre deux points quelconque ou entre un point et lrsquoatmosphegravere
- La pression absolue (pabs) se mesure en reacutefeacuterence au vide absolu dont la pression est
nulle Elle est toujours positive
- La diffeacuterence de pression ou pression diffeacuterentielle (pdif) p = p2 ndash p1 se mesure
entre deux points En geacuteneacuteral pdif = pabs ndash pref ougrave pref est une pression de reacutefeacuterence
- La pression atmospheacuterique ambiante (pamb ou patm) est mesureacutee avec un baromegravetre
par rapport au vide absolu
- La pression effective peff ou pression relative prel est la pression diffeacuterentielle mesureacutee
en reacutefeacuterence agrave la pression ambiante On a donc peff = pabs ndash patm
Cette pression peut prendre une valeur positive ou une valeur neacutegative La pression
neacutegative est deacutesigneacutee par pression vacuum
- Pression agrave lrsquoair libre Dans les problegravemes on rencontre souvent un reacuteservoir ou un
point agrave lrsquoair libre Ccedila signifie que sa pression est eacutegale agrave la pression atmospheacuterique
deacutefinie pour le problegraveme
Mesure des pressions Lrsquoappareil de mesure de la pression atmospheacuterique est le
baromegravetre pour les pressions relatives positives on utilise le manomegravetre agrave aiguille baseacute
sur le systegraveme Bourdon ou plus reacutecemment des manomegravetres eacutelectroniques pour mesurer
les pressions neacutegatives (deacutepression) on utilise un vacuomegravetre (eacutechelle de -1033 bars agrave 0
bars)
Baromegravetre Manomegravetre Manomegravetre eacutelectronique Vacuomegravetre
Surface (S)
Force
(F)
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22 Theacuteoregraveme de Pascal Transmission des pressions
Un liquide statique incompressible transmet inteacutegralement et dans toutes les directions les
variations de pression qursquoon lui fait subir Ceci est lie agrave la compressibiliteacute qui implique une
masse volumique constante
Exemple Une presse hydraulique
Principe de Pascal
On exerce une force F1 sur le piston de surface S1 la pression p1 transmise au liquide est
Selon le principe de Pascal le fluide transmet inteacutegralement en tout point les variations de
pression donc la pression p1 est inteacutegralement transmise au piston de surface S2 En effet
Et la force qui srsquoexerce sur la surface S2 est
Conclusion Si la surface S2 est beaucoup plus grande que la surface S1 il sera possible de
soulever des charges importantes en appliquant une force F1 de faible valeur
23 Relation Fondamentale de lrsquoHydrostatique (RFH)
Pression hydrostatique est due agrave la force qursquoexerce le liquide par uniteacute de surface Elle
correspond au poids ( = ) de la colonne de liquide qui srsquoapplique en un point A
Elle est deacutefinie en un point A drsquoun fluide par lrsquoexpression suivante
Dans un repegravere ( avec lrsquoaxe des z orienteacute vers le haut
Cette relation srsquoeacutecrit
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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7 Dr A Ouchtati
Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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8 Dr A Ouchtati
Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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9 Dr A Ouchtati
3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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10 Dr A Ouchtati
- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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12 Dr A Ouchtati
34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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13 Dr A Ouchtati
p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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17 Dr A Ouchtati
Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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18 Dr A Ouchtati
A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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5 Dr A Ouchtati
22 Theacuteoregraveme de Pascal Transmission des pressions
Un liquide statique incompressible transmet inteacutegralement et dans toutes les directions les
variations de pression qursquoon lui fait subir Ceci est lie agrave la compressibiliteacute qui implique une
masse volumique constante
Exemple Une presse hydraulique
Principe de Pascal
On exerce une force F1 sur le piston de surface S1 la pression p1 transmise au liquide est
Selon le principe de Pascal le fluide transmet inteacutegralement en tout point les variations de
pression donc la pression p1 est inteacutegralement transmise au piston de surface S2 En effet
Et la force qui srsquoexerce sur la surface S2 est
Conclusion Si la surface S2 est beaucoup plus grande que la surface S1 il sera possible de
soulever des charges importantes en appliquant une force F1 de faible valeur
23 Relation Fondamentale de lrsquoHydrostatique (RFH)
Pression hydrostatique est due agrave la force qursquoexerce le liquide par uniteacute de surface Elle
correspond au poids ( = ) de la colonne de liquide qui srsquoapplique en un point A
Elle est deacutefinie en un point A drsquoun fluide par lrsquoexpression suivante
Dans un repegravere ( avec lrsquoaxe des z orienteacute vers le haut
Cette relation srsquoeacutecrit
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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On conclure que la pression augmente lineacuteairement en fonction de la profondeur
La diffeacuterence de pression dans un fluide pour deacuteterminer la diffeacuterence de pression entre
le point A et le point B on applique la relation preacuteceacutedente
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
On pose h= - (ZB - ZA)
24 Theacuteoregraveme drsquoArchimegravede
Tout corps plongeacute dans un fluide statique (au repos) subit de la part de ce fluide une force
verticale dirigeacutee du bas vers le haut crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede Cette pousseacutee (A ou )
appliqueacutee au centre de masse de ce volume est eacutegale au poids du volume de fluide deacuteplaceacute
(ce volume est donc eacutegal au volume immergeacute du corps)
= fluide Vliquide deacuteplaceacute g
= fluide Vimmergeacute g
Pour expliquer le principe de la pousseacutee drsquoArchimegravede nous allons prendre un exemple tregraves
simple
Si tu prends un ballon et que tu le plonges dans lrsquoeau en gardant tes mains sur le ballon tu
ressens une force qui essaye de faire remonter le ballon agrave la surface cette force est la
pousseacutee drsquoArchimegravede
Le poids FN = - mg
La masse m= V= (Sz)
Conseacutequence Drsquoapregraves la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Dans un fluide statique incompressible en tout point drsquoun mecircme plan horizontal la
pression et identique (ZA=ZB pA=pB) (Les plans horizontaux sont des isobares)
la diffeacuterence de pression entre deux points situeacutes agrave des altitudes diffeacuterentes est
proportionnelle agrave cette diffeacuterente drsquoaltitude
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Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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8 Dr A Ouchtati
Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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9 Dr A Ouchtati
3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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Prenons un reacutecipient rempli drsquoeau et mettons une balle dedans le niveau de lrsquoeau va
augmenter En fait la balle a un certain volume noteacute Vobjet La balle occupe donc ce volume
dans lrsquoeau noteacute Vimmergeacute (Vobjet = Vimmergeacute) Il y a donc un volume drsquoeau qui a eacuteteacute deacuteplaceacute
VFluide deacuteplaceacute et qui correspond agrave la hauteur drsquoeau suppleacutementaire
Cette eau a un volume qui correspond au volume de la balle immergeacutee puisqursquoil srsquoagit de
lrsquoeau qui eacutetait auparavant agrave lrsquoendroit ougrave se situe la balle
VFluide deacuteplaceacute = Vimmergeacute
Ce fluide deacuteplaceacute a une certaine masse et donc un poids
= mliquide deacuteplaceacute
= fluide Vliquide deacuteplaceacute
= fluide Vimmergeacute
La pousseacutee drsquoArchimegravede correspond agrave lrsquoopposeacute du poids du fluide deacuteplaceacute
= - fluide Vimmergeacute
Au niveau du vecteur lrsquoexpression geacuteneacuterale fait intervenir le vecteur g qui est vertical vers le
bas Avec le signe - on a donc un vecteur de la pousseacutee drsquoArchimegravede verticale vers le haut
Alors la pousseacutee drsquoArchimegravede srsquooppose au poids de lrsquoobjet Mais qui est plus important la
pousseacutee ou le poids
Pobjet= objet Vobjet
Π = fluide Vimmergeacute
Si la masse volumique de lrsquoobjet est supeacuterieure agrave celle du fluide P gt Π lrsquoobjet va couler
Si au contraire la lrsquoobjet va flotter
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Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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8 Dr A Ouchtati
Exemple 1 Soit un tube en U fermeacute agrave une extreacutemiteacute qui contient deux liquides non miscibles
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermeacute On donne
ρHg=13600 Kgm3 et ρessence=700 Kgm3 Patm=105 Pa
Exemple 2
Une sphegravere de rayon R=10 cm flotte agrave moitieacute (fraction du volume immergeacute F1=50 ) agrave la
surface de lrsquoeau de mer (masse volumique ρmer=1025 kgm3)
1 Deacuteterminer son poids P
2 Quelle sera la fraction du volume immergeacute F2 si cette sphegravere flottait agrave la surface de lrsquohuile
(masse volumique ρhuile=800 kgm3)
Solution
Conclusion
La statique des fluides est baseacutee principalement sur les reacutesultats suivants
La diffeacuterence de pression entre deux points est proportionnelle agrave leur diffeacuterence de profondeur
Crsquoest la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
Toute variation de pression en un point engendre la mecircme variation de pression en tout autre
point drsquoapregraves le theacuteoregraveme de Pascal
Tout corps plongeacute dans un fluide subit une force verticale orienteacutee vers le haut
crsquoest la pousseacutee drsquoArchimegravede et dont lrsquointensiteacute est eacutegale au poids du volume de fluide
deacuteplaceacute
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9 Dr A Ouchtati
3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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10 Dr A Ouchtati
- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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11 Dr A Ouchtati
Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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12 Dr A Ouchtati
34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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13 Dr A Ouchtati
p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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16 Dr A Ouchtati
Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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17 Dr A Ouchtati
Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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9 Dr A Ouchtati
3 Dynamique des fluides ideacuteals incompressibles (hydrodynamique) Dans cette partie nous allons eacutetudier les fluides en mouvement Un fluide ideacuteal ou parfait
srsquoeacutecoule sans aucune interaction toutes les moleacutecules se deacuteplacent agrave la mecircme vitesse
31 Deacutefinitions
Ecoulement permanent lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait et incompressible est dit
permanent ou stationnaire si les grandeurs (pression tempeacuterature vitessehellip) qui le
caracteacuterises vont rester constantes sur toute la section au cours du temps
Ecoulement laminaire eacutecoulement rectiligne le fluide srsquoeacutecoule en filet parallegraveles agrave lrsquoaxe
de la conduite sans meacutelange
Ligne de courant En reacutegime stationnaire on appelle ligne de courant la courbe suivant
laquelle se deacuteplace un eacuteleacutement de fluide
Tube de courant Ensemble de lignes de courant srsquoappuyant sur une courbe fermeacutee
Filet de courant Tube de courant srsquoappuyant sur un petit eacuteleacutement de surface S
Deacutebit (Q) crsquoest la quantiteacute de fluide qui traverse une section S par uniteacute de temps
- Deacutebit massique
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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17 Dr A Ouchtati
Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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- Deacutebit volumique
Le deacutebit volumique peut eacutegalement ecirctre exprimeacute en fonction de la section S et de la
vitesse v (car V = SL et Lt = v)
Attention agrave ne pas confondre V (le Volume) et v (la vitesse)
Comme m=V les deacutebits massique et volumique sont relies par la relation
32 Equation de continuiteacute (conservation de masse)
Pour un fluide incompressible ( constante) qui circule en reacutegime stationnaire (agrave vitesse
constante) tout le fluide qui entre dans le tube par la section drsquoentreacutee S1 en sort par la section
de sortie S2 donc le deacutebit sera conserveacute (constant) le long drsquoun tube de courant
On conclure que Lorsque la section S augmente la vitesse v diminue
33 Equation de Bernoulli (conservation drsquoeacutenergie)
Pour un fluide parfait et incompressible lrsquoeacutecoulement est permanent Lrsquoabsence de
frottement ducirc agrave une viscositeacute neacutegligeacutee (fluide parfait) conduit logiquement au fait qursquoil nrsquoy a
pas de dissipation drsquoeacutenergie au cours de lrsquoeacutecoulement
Lrsquoeacutequation de Bernoulli traduit le principe de conservation de drsquoeacutenergie meacutecanique ET lors de
lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide parfait Cette eacutenergie meacutecanique responsable de lrsquoeacutecoulement aussi
appeleacutee la charge est la somme de trois eacutenergies lrsquoeacutenergie cineacutetique (EC) de lrsquoeacutenergie
potentielle de pesanteur (Epz) et lrsquoeacutenergie potentielle de pression(Epp)
EC + Epz +Epp = ET
Lrsquoeacutequation de Bernoulli en fonction de la pression est
Pression cineacutetique Pression de pesanteur Pression statique
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11 Dr A Ouchtati
Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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12 Dr A Ouchtati
34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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17 Dr A Ouchtati
Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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Entre deux instant t1 et t2 ET1 = ET2
- Lrsquoeacutequation de Bernoulli preacutedit qursquoune augmentation de la vitesse en un point drsquoune ligne
de courant srsquoaccompagne drsquoune diminution de la pression en ce mecircme point
- Dans le cas particulier ougrave v = 0
On retrouve la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
- Dans le cas particulier drsquoun fluide en eacutecoulement horizontal
Les valeurs mesureacutees deacutependent de lrsquoorientation du capteur par rapport agrave lrsquoeacutecoulement
(1) Pression lateacuterale = P
(2) Pression terminale P + 12ρvsup2 = Cte
(3) Pression drsquoaval P ndash 12ρvsup2 = Cte
- Cas particulier eacutecoulement horizontal effet de la section
Pour appliquer lrsquoeacutequation de Bernoulli il faut
- fluide incompressible (masse volumique ρ constante)
- fluide parfait (non visqueux sans frottement)
- eacutecoulement laminaire (mouvement de translation sans turbulence)
- eacutecoulement permanent (vitesse constante en chaque point)
Conclusion
Dans un fluide en mouvement la pression ne deacutepend pas seulement de lrsquoaltitude du point
consideacutereacute mais eacutegalement de la vitesse de lrsquoeacutecoulement en ce point
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34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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15 Dr A Ouchtati
Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
httpsdocplayerfr
- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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12 Dr A Ouchtati
34 Applications de lrsquoeacutequation de Bernoulli
a) Formule de Torricelli
Consideacuterons un reacutecipient ouvert de section SA contenant du fluide de masse volumique 120588 et
muni drsquoun orifice de section SB Le reacutecipient est assez grand SAgtgtSB et le liquide srsquoeacutecoule
vers lrsquoexteacuterieur on peut donc neacutegliger la vitesse en A par rapport agrave la vitesse en B (vA0)
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli le long drsquoune ligne de courant
Les pressions en A et B sont eacutegales agrave la pression atmospheacuterique p0
car les deux points sont agrave lrsquoair libre
Cette relation est la formule de Torricelli plus la hauteur de liquide dans un reacutecipient est
haute plus la vitesse de sortie est grande
b) Effet Venturi
Lrsquoeffet Venturi repose sur le fait que lors de lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide incompressible la
pression diminue lorsque la section diminue
Consideacuterons une canalisation horizontale dans laquelle circule un fluide incompressible Elle
est composeacutee drsquoune partie large SA et drsquoun eacutetranglement SB
- SA vA= SB vB SAgtSB implique une vitesse vAltvB
A altitude constante Z le long drsquoune ligne de courant on peut eacutecrire
- vAltvB implique une pression pAgt pB
La diminution de pression qui accompagne lrsquoaugmentation de vitesse est appeleacutee effet
Venturi
Appliquons le theacuteoregraveme de Bernoulli agrave une ligne de courant entre A et B (ZA=ZB)
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13 Dr A Ouchtati
p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
15 Dr A Ouchtati
Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
httpsdocplayerfr
- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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13 Dr A Ouchtati
p = helliphelliphelliphelliphellip(1)
La pression est uniforme sur une mecircme section donc et ougrave A et B
appartiennent aux mecircmes sections que A et B et sont situeacutes agrave lrsquoentreacutee de deux petits tubes
Grace agrave la loi de lrsquohydrostatique dans les petits tubes ( on pet eacutecrire
p = helliphelliphelliphelliphellip(2)
(1) = (2)
Effet Venturi agrave charge constante une steacutenose est associeacutee agrave une augmentation de la vitesse
drsquoeacutecoulement et agrave une diminution de la pression
4 Dynamique des fluides reacuteels incompressibles
Dans la partie preacuteceacutedente nous avons supposeacute que le fluide eacutetait parfait pour appliquer
lrsquoeacutequation de conservation de lrsquoeacutenergie Lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel est plus complexe que
celui drsquoun fluide ideacuteal En effet il existe des forces de frottement dues agrave la viscositeacute du
fluide qui srsquoexercent entre les particules de fluide et les parois ainsi qursquoentre les particules
elles-mecircmes Pour reacutesoudre un problegraveme drsquoeacutecoulement drsquoun fluide reacuteel on fait appel agrave des
reacutesultats expeacuterimentaux en particulier ceux de lrsquoingeacutenieur et physicien britannique Osborne
Reynolds Une meacutethode simplifieacutee de calcul des pertes de charge baseacutee sur ces reacutesultats
expeacuterimentaux est proposeacutee
41 Deacutefinitions
Fluide reacuteel Un fluide est dit reacuteel si pendant son mouvement les forces de contact ne sont
pas perpendiculaires aux eacuteleacutements de surface sur lesquelles elles srsquoexercent (elles possegravedent
donc des composantes tangentielles -forces de frottements- qui srsquoopposent au glissement des
couches fluides les unes sur les autres) Cette reacutesistance est caracteacuteriseacutee par la viscositeacute
Viscositeacute Sous lrsquoeffet des forces drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et des forces
drsquointeraction entre les moleacutecules de fluide et celles de la paroi chaque moleacutecule de fluide ne
srsquoeacutecoule pas agrave la mecircme vitesse On dit qursquoil existe un profil de vitesse (un gradient de vitesse
entre les diffeacuterents plans de 0 agrave vmax )
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Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
14 Dr A Ouchtati
Formation drsquoun profil de vitesse agrave cause des forces de frottement
La repreacutesentation par un vecteur la vitesse de chaque particule situeacutee dans une section droite
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement drsquoensemble la courbe des extreacutemiteacutes de ces vecteurs
repreacutesente le profil de vitesse Le mouvement du fluide peut ecirctre consideacutereacute comme reacutesultant
du glissement des couches de fluide les unes sur les autres La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe (v = v(Z))
Pour les fluides reacuteels la vitesse est quasi nulle sur la paroi et maximale au centre (A cause de
frottement de fluide sur les parois et entre les particules
Viscositeacute dynamique
On considegravere deux couches de fluide adjacentes distantes de Z La force de frottement qui
srsquoexerce agrave la surface de seacuteparation de ces deux couches srsquooppose au glissement drsquoune couche
sur lrsquoautre Elle est proportionnelle agrave la diffeacuterence de vitesse des couches soit Δv agrave leur
surface S et inversement proportionnelle agrave Δz
(Loi de Newton)
Le facteur de proportionnaliteacute est le coefficient de viscositeacute dynamique du fluide Elle est
mesureacutee par un viscosimegravetre
Uniteacute lrsquouniteacute de viscositeacute dynamique est le PascalSeconde (Pas) ou Poiseuille (Pl)
1 Pas = 1 Pl = 1 kgm-1s-1 (eacuteventuellement en Poise (Po) 1Po=01Pas)
Par rapport au fait expeacuterimentaux on est conduit agrave consideacuterer deux types de fluides
- Fluides newtoniens qui ont une viscositeacute constante agrave tempeacuterature donneacutee comme
lrsquoeau lrsquoair et la pluparts des fluides
- Fluides non newtoniens comme le sang les boues les gels Qursquoont drsquoavoir leur
viscositeacute varie agrave tempeacuterature donneacutee
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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Pour parer au problegraveme on deacutefinit une viscositeacute apparente = viscositeacute qursquoaurait un fluide
newtonien pour le deacutebit et la pression drsquoun fluide non newtonien
Viscositeacute apparente du sang = 410-3 Pas agrave 20degC
La viscositeacute cineacutematique ν est le quotient de la viscositeacute dynamique par la masse volumique
du fluide Elle repreacutesente la capaciteacute de reacutetention des particules du fluide et quantifie sa
capaciteacute agrave srsquoeacutepancher (se reacutepandre) La viscositeacute cineacutematique srsquoexprime en m2s on lrsquoexprime
parfois en Stokes (St) 1 m2s=104 St
Influence de la tempeacuterature La viscositeacute des liquides diminue beaucoup lorsque la
tempeacuterature augmente Il nrsquoexiste pas de relation rigoureuse liant et T mais nous pouvons
eacutecrire
Variation de la viscositeacute en fonction de la tempeacuterature
42 Reacutegimes drsquoeacutecoulement - nombre de Reynolds
Tous les liquides ne srsquoeacutecoulent pas de la mecircme maniegravere Si vous observez lrsquoeau drsquoun fleuve
vous pouvez voir que son eacutecoulement est en permanence le siegravege de multiples tourbillons Au
contraire lrsquohuile qui srsquoeacutecoule hors drsquoune bouteille ne tourbillonne pas du tout Eacutetonnamment
la frontiegravere entre ces deux situations est assez mince et on peut la percevoir au moyen drsquoune
quantiteacute appeleacutee nombre de Reynolds Quand lrsquoeacutecoulement drsquoun liquide est le siegravege de
multiples tourbillons on dit que cet eacutecoulement est turbulent Au contraire si lrsquoeacutecoulement
semble se faire de maniegravere bien parallegravele on parle drsquoeacutecoulement laminaire Les eacutecoulements
turbulents se repegraverent particuliegraverement au voisinage drsquoobstacles par exemple les piles drsquoun
pont Ce qui fait la diffeacuterence crsquoest que dans un eacutecoulement turbulent les petites perturbations
donnent naissance agrave des tourbillons Au contraire dans un eacutecoulement laminaire les
perturbations se reacutesorbent rapidement et lrsquoeacutecoulement reprend son cours tranquille
(a) reacutegime drsquoeacutecoulement laminaire (b) reacutegime turbulent
Comment savoir agrave lrsquoavance si un eacutecoulement va ecirctre le siegravege de turbulence Cela deacutepend
principalement de la viscositeacute du liquide car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner
les perturbations et empecirccher les tourbillons drsquoapparaicirctre
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Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
httpsdocplayerfr
- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
16 Dr A Ouchtati
Expeacuterience Soit un courant drsquoeau qui circule dans une conduite agrave section circulaire On
introduit un filet de colorant dans lrsquoaxe de cette conduite
Suivant la vitesse drsquoeacutecoulement de lrsquoeau on peut observer les pheacutenomegravenes suivants
Expeacuterience montrant les 3 reacutegimes drsquoeacutecoulement
(a) Reacutegime laminaire Si les fluides sont des lignes reacuteguliegraveres sensiblement parallegraveles entre
elles lrsquoeacutecoulement est dit laminaire
(b) Reacutegime transitoire (intermeacutediaire) crsquoest une transition entre le reacutegime laminaire et le
turbulent
(c) Reacutegime turbulent Les fluides srsquoenchevecirctrent srsquoenroulent sur eux-mecircmes (formation de
mouvement tourbillonnant dans les fluides)
Cette expeacuterience est faite par Reynolds en 1883 en faisant varier le diamegravetre de la conduite la
tempeacuterature le deacutebit etchellip pour des divers fluides
La deacutetermination du reacutegime drsquoeacutecoulement est par le calcul drsquoun paramegravetre sans dimension
appeleacute nombre de Reynolds (Re)
Lrsquoexpeacuterience montre que
Les diffeacuterents reacutegimes drsquoeacutecoulement
Ces valeurs de nombre de Reynolds doivent ecirctre consideacutereacutees comme des ordres de grandeur
le passage drsquoun type drsquoeacutecoulement agrave un autre se fait progressivement
ρ masse volumique du fluide
v vitesse moyenne drsquoeacutecoulement agrave travers
la section consideacutereacutee
D diamegravetre de la conduite
η viscositeacute dynamique du fluide
ν viscositeacute cineacutematique
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
17 Dr A Ouchtati
Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
18 Dr A Ouchtati
A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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- Biophysique meacutecanique des fluides
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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Entre les deux le reacutegime est instable des conditions exteacuterieures peuvent faire basculer
lrsquoeacutecoulement de laminaire agrave turbulent
La vitesse au-delagrave de laquelle lrsquoeacutecoulement laminaire devient instable avec possibiliteacute de
devenir turbulent est la vitesse critique (vc)
43 Theacuteoregraveme de Bernoulli pour les fluides reacuteels Perte de charge
Lorsque le fluide est reacuteel la viscositeacute est non nulle alors au cours du deacuteplacement
du fluide les diffeacuterentes couches frottent les unes contre les autres et contre la paroi qui nrsquoest
pas parfaitement lisse drsquoougrave il y a une perte sous forme de deacutegagement drsquoeacutenergie thermique
(chaleur) cette perte appeleacutee perte de charge
Donc ce cas lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute peut srsquoeacutecrire sous la forme
Δp est lrsquoensemble des pertes de charge entre (1) et (2)
On note deux types de pertes de charges drsquoeacutenergie meacutecanique
perte de charge reacuteguliegravere reacutepartie tout au long drsquoune conduite
perte de charge singuliegravere qui apparaissent de maniegravere localiseacutee dans des coudes
suite agrave un obstacle et lors drsquoun eacutelargissement ou un reacutetreacutecissement
44 Ecoulement drsquoun fluide reacuteel loi de poiseuille
Variation de pression en eacutecoulement laminaire
Consideacuterons un fluide visqueux dans une conduite horizontale cylindrique de petit diamegravetre
lrsquoeacutecoulement eacutetant laminaire
Selon lrsquoeacutequation de Bernoulli geacuteneacuteraliseacute
- Vitesse (v) constante
- Canalisation horizontal
- Il nrsquoy a que P qui peut varier donc η produit une perte drsquoeacutenergie qui se manifeste par la
diminution de la pression P (perte de charge)
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A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
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Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
httpsdocplayerfr
- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
18 Dr A Ouchtati
A lrsquoeacutequilibre
Le deacutebit volumique
Dans un fluide reacuteel le deacutebit est proportionnel agrave la variation de pression et au rayon r du tube
La loi de Poiseuille
- Exprime la variation de deacutebit en fonction des reacutesistances agrave lrsquoeacutecoulement
- Srsquoapplique quelles que soient les conditions de circulation si le fluide est Newtonien
- Fait intervenir le rayon du vaisseau agrave la puissance 4iegraveme
- Nrsquoest utilisable que pour un nombre de Reynolds infeacuterieur agrave 2000
- Permet drsquoexpliquer lrsquoeacutevolution des pressions physiologiques moyennes le long de
lrsquoarbre vasculaire
Reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement la loi drsquoOhm
Il est possible drsquoeacutetablir un parallegravele entre lrsquoeacutecoulement drsquoun fluide dans un tuyau et le passage
du courant eacutelectrique dans un conducteur
- la perte de charge p joue un rocircle comparable agrave la diffeacuterence de potentiel
- le deacutebit QV est eacutequivalent agrave lrsquointensiteacute eacutelectrique
Et il srsquoagit donc simplement de trouver lrsquoeacutequivalent de la reacutesistance eacutelectrique pour pouvoir
eacutecrire la loi drsquoOhm
V=RI
Et son eacutequivalent hydraulique Il suffit pour cela drsquoeacutecrire la loi de Poiseuille sous une forme
leacutegegraverement diffeacuterente
Expression qui permet de deacutefinir la reacutesistance meacutecanique agrave lrsquoeacutecoulement
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
19 Dr A Ouchtati
Le rayon de la conduite est le seul facteur influenccedilant la reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Comme crsquoest le cas pour les reacutesistances eacutelectriques les reacutesistances meacutecaniques peuvent ecirctre
placeacutees en seacuterie ou en parallegravele Les lois valables pour les reacutesistances eacutelectriques srsquoappliquent
Conduits en seacuterie
Conduits en parallegravele
5 Circulation sanguine heacutemodynamique
Lrsquoheacutemodynamique ou la dynamique du sang est la science des proprieacuteteacutes physiques de
la circulation sanguine en mouvement dans le systegraveme cardio-vasculaire Cette discipline
couvre des aspects physiologiques et cliniques avec lrsquoangiologie
Dans le systegraveme circulatoire (systegraveme de tuyaux qui a une geacuteomeacutetrie particuliegravere) le sang
enrichi quitte le cœur via une seacuterie drsquoartegraveres Plus loin le diamegravetre de ces artegraveres se reacutetreacutecit et
les artegraveres sont alors appeleacutees des arteacuterioles Ces arteacuterioles deviennent des capillaires et
eacuteventuellement des veinules ougrave le sang appauvri retourne vers le cœur gracircce agrave des reacuteseaux
de veines La microcirculation les jonctions arteacuteriole-capillaire-veinule composent la partie
essentielle du systegraveme vasculaire
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Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
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PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
20 Dr A Ouchtati
Lrsquoheacutemodynamique est principalement soumise aux lois de la meacutecanique des fluides Les
mesures de pression de deacutebit viscositeacute sanguine et vitesse sont lieacutees de la mecircme maniegravere
qursquoen meacutecanique des fluides mais sont compteacutees diffeacuteremment Ainsi le profil de vitesse des
phases solides (globules rouges) et des phases fluides (plasma) sont diffeacuterents de la
meacutecanique des fluides ce qui influe sur le rapport pressiondeacutebit dans la loi de
Poiseuille dans le reacuteseau cardiovasculaire et la reacutesistance vasculaire La viscositeacute du sang est
donc complexe aussi car elle est diphasique contrairement agrave la viscositeacute dynamique ou
la viscositeacute cineacutematique qui caracteacuterisent la consistance drsquoun fluide pur continu et
homogegravene
Le sang est un liquide biologique vital qui circule continuellement dans les vaisseaux
sanguins et le cœur gracircce agrave la pompe cardiaque Il est composeacute drsquoun fluide aqueux le plasma
et de milliards de cellules principalement les globules rouges qui lui donnent sa couleur
Le sang est un liquide non newtonien et peut ecirctre en eacutecoulement laminaire
(physiologiquement) ou en eacutecoulement turbulent (si vous mettez un garrot autour de votre
bras par exemple ou qursquoun caillot bouche lrsquoartegravere)
51 La pression arteacuterielle Application de la RFH
La pression arteacuterielle ou pression arteacuterielle systeacutemique correspond agrave la pression du sang
dans les artegraveres de la circulation systeacutemique (circulation principale On parle aussi
de tension arteacuterielle (ou simplement de tension en raccourci) car cette pression est aussi la
force exerceacutee par le sang sur la paroi des artegraveres ce qui les tend dans la paroi de lrsquoartegravere
reacutesulte directement de la pression
Comment la pression arteacuterielle est-elle mesureacutee La pression arteacuterielle se mesure au niveau drsquoune grosse artegravere Crsquoest un examen non
douloureux et non invasif
Un petit capteur pour deacuteterminer la pression est placeacute sur lrsquoartegravere et un brassard gonflable est
installeacute autour du bras de la personne (chez les animaux cela se fait au niveau de la queue ou
de la patte avant) En deacutegonflant lentement ce dernier il est possible drsquoavoir une eacutevaluation
relativement preacutecise de la pression arteacuterielle
La pression arteacuterielle eacutegale la pression statique si la personne est allongeacutee et si le capteur est
perpendiculaire agrave lrsquoeacutecoulement du sang
Lrsquouniteacute internationale de mesure de pression est le pascal (Pa) Toutefois lrsquousage fait que la
pression arteacuterielle est souvent mesureacutee soit en centimegravetres de mercure (cm Hg) soit en
millimegravetres de mercure (mm Hg)
Elle est exprimeacutee par deux valeurs
- La pression systolique (PAS) est la pression maximale au moment de la contraction
du cœur (systole) PAS = 135 mm Hg = 18 KPa
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
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- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
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Qc Deacutebit cardiaque
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Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
21 Dr A Ouchtati
- La pression diastolique (PAD) est la pression minimale au moment du relacircchement
du cœur (diastole) PAD =80 mm Hg = 11 KPa
- La pression arteacuterielle moyenne PAM = (PAS + 2PAD)3 = 96 mm Hg = 13 KPa
Remarque Une PAM de 148 signifie
Une PA maximale de 14 cm Hg
Une PA minimale de 8 cm Hg
Mesure de la pression en fonction de la position La valeur de reacutefeacuterence de mesure de la pression arteacuterielle est celle au niveau du cœur P(0)
On mesure la distance (Z) entre le cœur et lrsquoendroit (X) ougrave lrsquoon veut connaicirctre la pression
Application de la relation fondamentale de lrsquohydrostatique
PA(x) = PA (0) ndash gz
Remarque
- Pour une personne allongeacutee PA(x) = PA (0)
- Pour une personne debout si la mesure est faite en dessous du cœur la distance zlt0 la
pression augmente et lrsquoinverse
52 La perfusion
Principe de la perfusion pour introduire (de faccedilon lente)
un liquide dans une artegravere il faut que la pression du
liquide soit supeacuterieure agrave la pression du sang Le flacon
contenant la solution doit donc ecirctre placeacute agrave une hauteur
(h) suffisante au dessus du patient ghgtpA
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22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
23 Dr A Ouchtati
Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
Notions de meacutecanique des fluides Riadh ben hamouda
httpsdocplayerfr
- Viscositeacute des liquides et des solutions hmorheacuteologie
- Biophysique meacutecanique des fluides
httpgpipcnamfrressources-pedagogiques-ouverteshydraulique
PA Pression arteacuterielle
Qc Deacutebit cardiaque
RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
Cours Biophysique A1 Meacutecanique des Fluides
22 Dr A Ouchtati
53 Le deacutebit cardiaque
Le deacutebit cardiaque correspond au volume de sang eacutejecteacute par le cœur en une minute Ce
deacutebit deacutepend du volume de sang eacutejecteacute agrave chaque contraction cardiaque (volume drsquoeacutejection
systolique) et de la freacutequence cardiaque
Le deacutebit cardiaque peut ecirctre calculeacute moyennant lrsquoeacutechocardiographie-Doppler
Effet Doppler est un pheacutenomegravene srsquoappliquant aux ondes ultrasonores focaliseacutes sur le cœur
(voir ch Son et Ultrason) La variation de freacutequence des ondes ultrasonores envoyeacutees et
reccedilues permet de deacuteterminer la vitesse drsquoeacutecoulement des heacutematies
En connaissant cette vitesse on peut estimer le diamegravetre (D) drsquoun vaisseau au niveau drsquoun
reacutetreacutecissement (en connaissant le diamegravetre normal)
Le volume drsquoeacutejection systolique aortique (volume de sang quittant le cœur agrave chaque systole)
est donneacute par la formule
VES = VTIAo (πD24)
Ou VTIAo est lrsquointeacutegrale temps-vitesse de lrsquoeacutejection aortique obtenue moyennant le Doppler
pulseacute au niveau de lrsquoanneau
Deacutebit cardiaque
Qc = fc VES fc Freacutequence cardiaque
Ainsi drsquoapregraves le principe de continuiteacute des deacutebits
54 La reacutesistance vasculaire
Comme tout liquide visqueux srsquoeacutecoulant dans un tube le sang propulseacute par le cœur dans le
systegraveme circulatoire est soumis agrave une reacutesistance agrave lrsquoeacutecoulement
Cette reacutesistance vasculaire est lrsquoun des deux facteurs qui influencent la pression et le deacutebit du
courant sanguin lrsquoautre eacutetant la compliance des vaisseaux sanguins
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
capillairesconduits en parallegravele la loi de poiseuille donne
Reacutefeacuterence
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RV Reacutesistances vasculaires peacuteripheacuteriques
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Rappelons-nous la loi de Poiseuille
Le siegravege principal de la reacutesistance vasculaire se trouve dans les arteacuterioles ces petites artegraveres agrave
paroi tregraves musculaire et qui peuvent donc faire varier fortement leur diamegravetre jouant
directement sur la reacutesistance vasculaire Les grosses artegraveres nrsquoopposent qursquoune faible
reacutesistance au courant sanguin
Dans le corps humain on srsquointeacuteresse agrave la perte de pression de part et drsquoautre drsquoun systegraveme
constitueacute de milliers de conduits en parallegravele (les capillaires par exemple) il faut alors prendre
en compte les reacutesistances de chaque conduit (on simplifie geacuteneacuteralement en consideacuterant
qursquoelles sont identiques) pour calculer la reacutesistance totale (Rt)
Puisque R1=R2=hellipRn
Pour calculer la chute de pression entre lrsquoentreacutee et la sortie drsquoun reacuteseau de n
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