Developpement du modele Bilineaire sur les basesorthogonales de Laguerre

K. Bouzrara, T. Garna, W. Arfaoui, H. Messaoud∗

∗Unite de recherche: Automatique Traitement de Signal et ImageEcole Nationale d’Ingenieurs de Monastir, Universite de Monastir

Rue Ibn Eljazzar, 5019 Monastir TunisieTel : +(216)73 500 511 ; Fax :+(216)73500514

(e-mail: hassani.messaoud@ enim.rnu.tn)

Resume : Dans ce papier on propose une nouvelle representation du modele Bilineaire discret sur desbases orthogonales independantes de Laguerre. Cette representation est obtenue suite au developpementdes coefficients du modele Bilineaire sur les bases orthogonales de Laguerre. Le modele resultant estintitule modele Bilineaire - Laguerre qui garantie une reduction du nombre de parametres avec unerepresentation recursive et simple. Cette reduction parametrique reste assujettie par un choix optimal dupole de Laguerre de chaque base independante. Pour ce faire, on developpe un algorithme d’optimisationdes poles base sur l’extension de la methode de Tanguy et al (2000) et celle de Kibangou et al (2005).L’algorithme propose ainsi que le modele Bilineaire - Laguerre sont testes et valides en simulationnumerique.

Mots-cles :Modele Bilineaire, Bases de Laguerre, Bilineaire - Laguerre, Optimisation.

1. INTRODUCTION

Dans les dernieres annees, differents modeles ontete developpespour la representation des systemes dynamiques non lineaires.Parmi les modeles rencontres, on considere la classe desmodeles polynomiaux, permettant de decrire un nombre im-portant d’applications reelles, tel que le modele NARMAX(Non linear AutoRegressive Moving Average with eXogenousInputs). Ce modele est caracterise par des expansions polyno-miales de la sortie et de l’entree, plus des termes croises (Glasset al (1999), Sunil et al (2004), Alireza et al (2009)). Le modeleNARMAX englobe d’autres representations non lineaires tellesque le modele de Volterra non recursif et le modele Bilineairerecursif.Le modele de Volterra est non lineaire par rapport au signald’entree et il presente l’avantage d’etre lineaire par rapportases parametres (noyaux de Volterra), ce qui permet d’etendrecertains resultatsetablis pour l’identification parametrique desmodeles lineaires. Toutefois, pour des systemes fortement nonlineaires le modele de Volterra exige un ordre de non lineariteet une memoireeleves generant une complexite parametriqueet structurelle. Ces derniers paralysent l’application du modelede Volterra dans toute structure d’identification et de commandeen ligne. Une reduction de la complexite du modele Volterra estalors necessaire. Afin de surmonter cette complexite, certainstravaux ont propose le developpement du modele de Volterrasur des bases orthogonales independantes. Le principe de cetteapproche de reduction consistea decomposer les noyaux deVolterra sur des bases orthogonales. Parmi les bases qui ontsuscite un vif interet en automatique, c’est la base orthogonalede Laguerre Wahlberg (1991), Malti et al (1998), Tanguy et al(2000). Le modele obtenu est intitule Volterra - Laguerre. Pourchaque base de Laguerre est associe un reseau de filtres d’entreede Laguerre dont le nombre de filtres depend essentiellementde l’identification optimale du pole de Laguerre caracterisant

la base. De ce fait, l’optimisation des poles de Laguerre asuscite l’interet de plusieurs auteurs ou differentes techniquesd’optimisation onteteelaborees. Ces techniques d’optimisationpeuventetres iteratives telle que la methode de Hacioglu et al(2001) ou analytique telle que la methode de Campello et al(2004) et celle de Kibangou et al (2005).Tous ces travaux utilisent le principe du filtrage de l’entree parles fonctions orthogonales de chaque base de Laguerre. Ainsi,vue l’importance de la reduction parametrique et dans le butde recueillir le maximum d’information sur le systeme nonlineaire, il est interessant d’etendre ce principe de filtrage del’entree a celui de la sortie. A ce propos, on propose dans cepapier d’utiliser les fonctions orthogonales de Laguerre pourle filtrage de l’entree et de la sortie du modele Bilineaire. Eneffet, ce dernieretant un modele polynomial caracterise parle produit croise entree/sortie. Dans ce cas, la solution pro-posee pour le filtrage de l’entree et de la sortie du modeleBilin eaire consistea decomposer les parametres du modeleBilin eaire associes a l’entree, a la sortie et au produit croiseentree-sortie sur trois bases independantes de Laguerre. Lemodele resultant est une nouvelle representation non lineaireen fonction des filtres d’entree, des filtres de sortie et de leursproduits croises. Il est intitule modele Bilineaire - Laguerre etconsidere comme une approximation du modele Bilineaire. Onnote que chaque base de Laguerre est caracterisee par un seulpole. Ce dernier permet donc de s’affranchir de la complexiteparametrique du modele Bilineaire. De plus, dans la litteratureles filtres d’entree et de sortie obtenus de chaque base deLaguerre peuventetre calcules d’une facon recursive, donc lemodele Bilineaire - Laguerre peut s’ecrire sous la forme d’unerepresentation recursive simple. Dans la section suivante, onpresente une representation polynomiale generale des systemesnon lineaires mise sous forme d’uneecriture entree/sortie. Uncas particulier de cette forme polynomiale est traite dans la sec-tion 3, il s’agit du modele Bilineaire. Dans la section 4, on pro-

pose l’elaboration de la nouvelle representation des systemesnon lineaires via un developpement des coefficients du modeleBilin eaire sur trois bases independantes de Laguerre. La section5 traite l’optimisation des poles de Laguerre par une methodeanalytique. Dans la section 6 on presente quelques resultatsobtenus en simulation validant les performances de la methoded’optimisation des poles ainsi que le modele Bilineaire - La-guerre proposees. La suprematie du modele propose au modeledu Bilineaire classique en terme de reduction du nombre deparametres, aete confirmee par uneetude comparative des deuxmodeles.

2. MODELE POLYNOMIAL

C’est une representation touta fait generale, qui unifie l’ensembledes representations existantes. Sonecriture ”entree-sortie” semet sous la forme :

y(k) =Q

∑q=0

fq (u(k),u(k−1), . . . ,u(k−nu)

,y(k−1), . . . ,y(k−ny))(1)

ou fq represente un polynome enu et y d’ordre q, u et ysont respectivement l’entree et la sortie du systeme.nu et nysont respectivement l’ordre du modele associe a l’entree a lasortie. Les produits croises entree/sortie sont rajoutes en vue dereduire le nombre important des parametres requis pour calculerles noyaux dans une fonction polynomiale. Par exemple, unmodele polynomial general quadratique est obtenu pourfq =0 ∀ q > 2 :

f1(u,y) =nu

∑i=1

b(i)u(k− i)+ny

∑i=1

a( j)y(k− i) (2)

f2(u,y) =N1

∑i=1

N2

∑j=1

c(i, j)u(k− i)y(k− j)

+M1

∑i=1

M1

∑j=1

h(i, j)u(k− i)u(k− j)

+M2

∑i=1

M2

∑j=1

g(i, j)y(k− i)y(k− j) (3)

Lorsque les fonctionsfq ne dependent pas du signal de sortie,le modele est dit non recursive cas des series de Volterra. Dansle cas recursif, une classe importante de modeles polynomiauxest celle des modeles Bilineaires.

3. MODELE BILINEAIRE GENERAL

Le cas particulier des modeles Bilineaires est obtenue lorsque :

f2(u,y) =N1

∑i=1

N2

∑j=1

c(i, j)u(k− i)y(k− j) (4)

Soit une representation de la forme :

y(k) =ny

∑i=1

a( j)y(k− i)+nu

∑i=1

b(i)u(k− i)

+N1

∑i=1

N2

∑j=1

c(i, j)u(k− i)y(k− j)(5)

La representation du modele Bilineaire peut s’ecrire sous laforme vectorielle suivante :

y(k) = θT Φ(k) (6)ou θ et Φ(k) sont respectivement le vecteur de parametres dumodele Bilineaire et celui contenant les entrees, les sorties etleurs produits croises.θ = [b(1), . . . ,b(nu),a(1), . . . ,a(ny),c(1,1), . . . ,c(0,N2), . . . ,

c(N1,1), . . . ,c(N1,N2)]T (7)

Φ(k) = [u(k−1) , . . . ,u(k−nu) ,y(k−1) , . . . ,y(k−ny) ,

u(k−1)y(k−1) , . . .,u(k−1)y(k−N2) , . . . ,

u(k−N1) y(k−1) , . . . ,u(k−N1)y(k−N2)]T (8)

ou encoreΦ(k) = [Φu,1(k), Φy,1(k),Φu,2(k)⊗ Φy,2(k)]T (9)

avec⊗ le produit de Kronecker etΦu,1 (k) =[u(k−1) , . . . ,u(k−nu)] (10)Φy,1 (k) =[y(k−1) , . . . ,y(k−ny)] (11)Φu,2 (k) =[u(k−1) , . . . ,u(k−N1)] (12)Φy,2 (k) =[y(k−1) , . . . ,y(k−N2)] (13)

Les parametres optima peuventetreobtenus en minimisant lecritere quadratique suivant par rapport au vecteur de parametresθ :

θ = arg min︸ ︷︷ ︸θ

(Jbilineaire) (14)

Jbilineaire est l’erreur quadratique definit commeetant la normequadratique de l’erreur entre la sortie du systemeysys(k) et sonestimationy(k) donnee par :

Jbilineaire =H

∑k= 1

[ysys(k) − y(k)]2 (15)

H est l’horizon fini des mesures. Cette fonction objective admetun extremum global unique qui peutetre calcule par la methodedes moindres carres ordinaire non recursive ou recursive.

4. REDUCTION DE LA COMPLEXITE DU MODELEBILIN EAIRE

4.1 Principe de la reduction parametrique

Le modele Bilineaire est stable au sens du critere BIBO (Bounded Input Bounded Output ). Les coefficientsa( j),b(i)et c(i, j) sont alors absolument sommables. C’est-a-dire cescoefficients appartiennenta l’espace de Lebesgue`2 [0,∞[. Lesfonctions de Laguerre forment une base orthogonale dans cetespace, et par suite les coefficientsa( j) et b(i) peuventetredecomposes sur deux bases orthogonales independantes de La-guerreβa={la

n}∞n=0 et βb=

{lbn

}∞n=0 et les coefficientsc(i, j)

sont decomposes sur la base orthogonaleβc={lcn}∞

n=0 .

a( j) =∞

∑n=0

gn,a lan ( j, ξa) (16)

b(i) =∞

∑n=0

gn,b lbn(i, ξb) (17)

c(i, j) =∞

∑n1=0

∞

∑n2=0

gn1,n2 lcn1

(i, ξc) lcn2

( j, ξc) (18)

ou lan( j, ξa), lb

n( j, ξb) et lcn(i, ξc) representent les fonctionsorthogonales de Laguerre des bases independantesβa,βb et

βc respectivement.gn,a, gn,b et gn1,n2 appeles coefficients deFourier sont les coordonnees dea( j),b(i) et c(i, j) dans lesbasesβa, βb et βc respectivement etξa, ξb et ξc sont les polesde Laguerre. En substituant les relations (16), (17) et (18) dansla relation (5), le modele resultant peut s’ecrire :

y(k) =∞

∑n=0

gn,axn,y(k)+∞

∑n=0

gn,bxn,u(k)

+∞

∑n1=0

∞

∑n2=0

gn1,n2 x′n1,u(k) x

′n2,y(k)

(19)

avec xn,u(k) et x′n1,u(k) sont les sorties respectivement du

nemeet neme1 filtres relatifsa l’entreeu et xn,y(k) et x

′n2,y(k) sont

les sorties respectivement dunemeet neme2 filtres relatifs a la

sortie y, definies par les relations suivantes :

xn,y (k) =∞

∑j=1

lan ( j, ξa)y(k− j) = la

n(k, ξa)∗y(k) (20)

xn,u(k) =∞

∑i=1

lbn( j, ξb)u(k− i) = lb

n(k, ξb)∗u(k) (21)

x′n1,u (k) =

∞

∑p=1

lcn1

(p, ξc)u(k− p) = lcn1

(k, ξc)∗u(k) (22)

x′n2,y (k) =

∞

∑q=1

lcn2

(q, ξc)y(k−q) = lcn2

(k, ξc)∗y(k) (23)

ou ∗ designe le produit de convolution. Les series infinies (16),(17) et (18) peuventetre tronqueesa un ordre de troncature finiNa,Nb etNc1×Nc2 respectivement comme suit :

a( j) =Na−1

∑n=0

gn,a lan( j, ξa) (24)

b( j) =Nb−1

∑n=0

gn,b lbn( j, ξb) (25)

c(i, j) =Nc1−1

∑n1=0

Nc2−1

∑n2=0

gn1,n2 lcn1

(i, ξc) lcn2

( j, ξc) (26)

Et la relation (19) s’ecrit :

y(k) =Na−1

∑n=0

gn,axn,y (k)+Nb−1

∑n=0

gn,bxn,u (k)

+Nc1−1

∑n1=0

Nc2−1

∑n2=0

gn1,n2 x′n1,u (k) x

′n2,y(k)

(27)

Dans ce cas le nombre de parametres du modele estegala :

N = Na+Nb+Nc1×Nc2

4.2 Representation recursive du modele Bilineaire-Laguerre

La transforme en Z des fonctions de Laguerre verifient larelation de recurrence suivante:

Lin(z,ξ) =

√1−ξ2

i

z−ξi

(1−ξi zz−ξi

)n−1

, i = a, b, c (28)

avec|ξi | 〈1 etn ≥ 1

Cette relation est verifiee pour les fonctions de Laguerre rel-ativesa l’entree, a la sortie eta leur produit croise. On aurapour i = a,b etc la relation suivante :

Li0(z) =

√1−ξ2

i

z−ξi

Lin(z) =

1−ξizz−ξi

Ln−1(z,ξi),n = 1,2, ....

(29)

En combinant la forme recursive (29) reliant les fonctions dela base de Laguerre avec la relation (20), on peut formulerles relations de recurrence suivantes entre les filtresXn,y(z)transformees enZ des filtresxn,y(x) .

X0,y(z) =

√1−ξ2

a

z−ξaY(z)

Xn,y(z) =1−ξazz−ξa

Xn−1,y(z,ξa)(30)

Soulignons que les filtresXn,u(z),Xn1,u(z) et Xn2,y(z) peuventetre obtenus en suivant la meme procedure que celle des filtresXn,y(z). A partir de la relation (30), on obtient lesequationsrecurrentes suivantes : Pourn = 0,1 :

x0,y (k+1) = ξa x0,y (k)+√

1−ξ2a y(k−1)

x1,y (k+1) = (1−ξ2a)x0,y (k)+ξax1,y (k)

−ξa

√1−ξ2

ay(k−1)(31)

Par suite, par substitutions successives, on obtient Pourn≥ 2 :

xn,y (k+1) = ξaxn,y (k)+(1−ξ2

a

)n−2

∑j=0

(−ξa)n− j−1x j,y (k)

+(1−ξ2

a

)xn−1,y (k)+(−ξa)

n√

1−ξ2ay(k−1) (32)

En considerant le vecteurX(k) contenant l’ensemble des sortiesde filtres des bases de Laguerre,

X (k) = [x0,y (k) , . . . ,xNa−1,y (k) ,x0,u (k) , . . . ,

xNb−1,u (k) ,x′0,u (k)x

′0,y (k) , . . . ,x

′0,u (k)x

′Nc2−1,y (k) ,

. . . ,x′Nc1−1,u (k)x

′0,y (k) , . . . ,x

′Nc1−1,u (k)x

′Nc2−1,y (k)

]T(33)

ou encore :

X(k) = [ Xn,y(k) Xn,u(k) Xn1,u(k)⊗Xn1,y(k) ]T (34)

avec

Xn,y(k) =[ x0, y(k) . . . xNa−1, y(k) ]T (35)

Xn,u(k) =[ x0, u(k) . . . xNb−1, u(k) ]T (36)

Xn1,u(k) =[

x′0, u(k) . . . x

′Nc1−1, u(k)

]T(37)

Xn2,y(k) =[

x′0, y(k) . . . x

′Nc2−1, y(k)

]T(38)

Soit le vecteurC contenant tous les coefficients de Fouriergn,apour n = 0, 1, . . . , Na− 1, gn,b pour n = 0, 1, . . . , Nb− 1 etgn1,n2 pourn1 = 0, 1, . . . , Nc1−1 etn2 = 0, 1, . . . , Nc2−1.

C =[g0,a, . . . ,gNa−1,a, ,g0,b, . . . ,gNb−1,b,

,g0,0, . . . ,g0,Nc2−1, . . . ,gNc1−1,0, . . . ,gNc1−1,Nc2−1]T (39)

Le modele Bilineaire-Laguerre peutetre represente par lesequations recursives suivantes qui regissent le systeme :

Xn,y (k+1) = A(ξb) Xn,y (k)+b(ξb) y(k)

Xn,u (k+1) = A(ξa) Xn,u (k)+b(ξa) u(k)

Xn1,u (k+1) = A(ξc) Xn1,u (k)+b(ξc) u(k)

Xn2,y (k+1) = A(ξc) Xn2,y (k)+b(ξc) y(k)

y(k) = CT X(k) (40)avec pouri = a, b et c

A(ξi) =

ξi 0 · · · 01−ξ2

i ξi · · · 0...

..... .

...(−ξi)

Ni−1(1−ξ2i) (−ξi)

Ni−2(1−ξ2i) · · · ξi

b(ξi) =√

1 −ξ2i

1− ξi

(− ξi)2

...(− ξi)

Ni− 1

5. OPTIMISATION DES POLES DE LAGUERRE

Un choix optimal du pole de Laguerre resulte en une reductionsignificative du nombre de parametres. De ce fait, l’optimisationdes poles a suscite l’interet de plusieurs auteurs ou differentestechniques d’optimisation du pole de Laguerre onteteelaborees.Parmi les techniques d’optimisations des poles de Laguerreon cite la methode de Campello et al (2004) et Kibangouet al (2005). On presente dans cette section, une methoded’optimisation analytique des poles de Laguerre. Cette methodeest basee sur l’extension du travail de Tanguy et al (2000) etcelui de Kibangou et al (2005). Un des apports importants deTanguy et al est d’avoir exprime le pole optimal de Laguerre enfonction des coefficients de Laguerre.

Pour les trois bases, les fonctions de Laguerre verifient larelation suivante pouri = a, b et c, et n = 0, 1, 2, . . . :

(1−ξ2i )n l in( j) =−( j +1)ξi l

in( j +1)− j ξi l

in( j −1)

+[

j (1 + ξ2i ) + ξ2

i

]l in( j) (41)

On considere l’optimisation separee des deux poles en pro-posant les deux fonctions de cout suivantes inspirees du travailde Tanguy et al (2000) et de Kibangou et al (2005),

Ja =1

‖a‖2

∞

∑n=0

ng2n,a et Jb =

1

‖b‖2

∞

∑n=0

ng2n,b (42)

Jc =1

2‖c‖2

∞

∑n1=0

∞

∑n2=0

(n1 +n2)g2n1,n2

(43)

ou :

‖a‖2 =∞

∑j =0

a2( j) et ‖b‖2 =∞

∑j =0

b2( j) (44)

‖c‖2 =∞

∑i=0

∞

∑j=0

c2(i, j) (45)

et les quantites suivantes :

M1,a =1

‖a‖2

∞

∑j =0

j a2( j) et M1,b =1

‖b‖2

∞

∑j =0

j b2( j) (46)

M2, a =1

‖a‖2

∞

∑j = 0

j a( j) a( j − 1) (47)

M2, b =1

‖b‖2

∞

∑j = 0

j b( j) b( j − 1) (48)

M1,1 =1

‖c‖2

∞

∑i=0

∞

∑j=0

i c2(i, j)

M1,2 =1

‖c‖2

∞

∑i=0

∞

∑j=0

j c2(i, j)

M2,1 =1

‖c‖2

∞

∑i=0

∞

∑j=0

i c(i, j) c(i−1, j)

M2,2 =1

‖c‖2

∞

∑i=0

∞

∑j=0

j c(i, j) c(i, j−1)

(49)

et

Q1,c =12

[M1,1 +M1,2]

Q2,c =12

[M2,1 +M2,2](50)

Ainsi les fonctions de cout Ja, Jb etJc s’ecrivent:

Ja =(1+M1,a) ξ2

a−2M2,a ξa +M1,a

(1− ξ2a)

Jb =(1+M1,b) ξ2

b−2M2,b ξb +M1,b

(1− ξ2b)

Jc =(1+Q1,c) ξ2

c−2Q2,c ξc +Q1,c

(1− ξ2c)

(51)

Le numerateur deJi(i=a,b,c) est une fonction convexe differentiableet non-negative definie sur un ouvert convexe℘= {ξi ∈ℜ : |ξi |< 1}tandis que son denominateur est une fonction concave, differentiableet positive sur℘. En consequenceJi est une fonction pseudo-convexe sur℘, toute solution dedJi

dξi= 0 est donc un minimum

global deJi . Pour determiner ce minimum posons :

ρa =2M1,a +1

2M2,a; ρb =

2M1,b +12M2,b

; ρc =2Q1,c +1

2Q2,c(52)

Les poles optima de Laguerreξopt,i , i = a, b ou cau sens de laminimisation des criteresJi sont obtenus par :

ξopt,i =

ρi −√

ρ2i −1 si ρi > 1

ρi +√

ρ2i −1 si ρi <−1

(53)

On note que les poles optima, ainsi determines, ne dependentpas des coefficientsa, b etc. Toutefois, chaque pole optimalξopt,i i = a,b,c, ainsi determine s’ecrit en fonction du parametreρi , qui depend des coefficients du modele Bilineaire-Laguerre.Ceci necessite une estimation de ces coefficients pour deduirele pole optimal. Afin d’eviter ce calcul, on utilise la methode deTanguy et al exprimant la quantite ρi directement en fonctiondes coefficients de Fourier du modele. Pour ce faire, definissonsles quantites suivantes :

T1,i =∞

∑n=0

(2n+1)g2n,i

T2,i = 2∞

∑n=0

ngn,i gn−1,i

,

{R1,i = T1,iR2,i = T2,i

, i = a, b (54)

et

T1,1 =∞

∑n1=0

∞

∑n2=0

(2n1 +1)g2n1,n2

T1,2 =∞

∑n1=0

∞

∑n2=0

(2n2 +1)g2n1,n2

T2,1 = 2∞

∑n1=1

∞

∑n2=0

n1gn1,n2 gn1−1,n2

T2,2 = 2∞

∑n1=0

∞

∑n2=1

n2gn1,n2 gn1,n2−1

,

{R1,c = T1,1 +T1,2R2,c = T2,1 +T2,2

(55)

Par suite, on peut en deduire lesegalites suivantes :

R1,i =‖hi‖2

1−ξ2i

[2(1+ξ2

i ) Q1,i −4 ξi Q2,i +(1+ξ2i )

]

R2,i =2‖hi‖2

1−ξ2i

[− 2 ξi Q1,i + (1+ξ2i ) Q2,i − ξi

], i = a, b (56)

R1,c = 2‖hc‖2

1−ξ2c

[2(1+ξ2

c) Q1,c−4 ξc Q2,c +(1+ξ2c)

]

R2,c =4‖hc‖2

1−ξ2c

[− 2 ξcQ1,c + (1+ξ2c) Q2,c− ξc

] (57)

Nous pouvons reecrireρi , i = a, b, c, en fonction deR1,i etR2,iqui ne dependent que du spectre de Laguerre du systeme :

ρi =(1+ξ2

i )R1,i +2ξiR2,i

2ξiR1,i +(1+ξ2i )R2,i

(58)

Les poles optima de Laguerre au sens de la minimisationdes criteresJi(i=a,b,c) sont obtenusa partir des coefficients deFourier du developpement de chaque coefficient du modeleBilin eaire-Laguerre sur une base orthogonale independante deLaguerre en utilisant la relation (53).

6. SIMULATION NUMERIQUE

Soit a approcher, par une structure Bilineaire, le modele nonlineaire :

y(k) =y(k−1)y(k−2)y(k−3)u(k−2)(y(k−3)−1)+u(k−1)

1+y2(k−2)+y3(k−3)(59)

y(1) = y(2) = y(3) = 0. Ce modele aete propose par Narendraet al (1990). Un jeu de donnees de 800 observations est utilisepour l’identification des poles et des coefficients de Fourierdu modele Bilineaire-Laguerre. Le signal d’entree utilise pen-dant la phase d’identification est illustre par la figure 1 dontl’amplitude varie aleatoirement dans l’intervalle [-1 1].

0 100 200 300 400 500 600 700 800-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nombre des itérations

Signal d'entrée

Fig. 1. Signal d’entreeu

Le modele non lineaire (59), peutetre represente par le modeleBilin eaire pour les ordresny = nu = 3 et N1 = N2 = 5c’est-a-dire on a 31 parametres. On resume dans le tableau 1les valeurs des coefficientsa(i),b(i), i = 1, 2 etc(n, m), n, m=1, . . . ,5qui sont identifies par l’algorithme des moindres carreesrecursif en utilisant la relation (6). Le modele Bilineaire estobtenu pour une Erreur Quadratique Moyenne NormaliseeEQMN = 0,379%.

[ a(1), a(2), a(3) ] [0.3907, 0.0253, 0.1483]

[ b(1), b(2), b(3) ] [1.0411, −0.3951, −0.1843]

[c(1,1),c(1,2),c(1,3),c(1,4),c(1,5)] [−0.013, 0.021, −0.604, −0.209, 0.096][c(2,1),c(2,2),c(2,3),c(2,4),c(2,5)] [−0.003, −0.485, 0.443, 0.397, 0.134][c(3,1),c(3,2),c(3,3),c(3,4),c(3,5)] [0.153, −0.082, 0.117, −0.511, 0.313][c(4,1),c(4,2),c(4,3),c(4,4),c(4,5)] [−0.596, 0.694, −0.337, 0.333, −0.414][c(5,1),c(5,2),c(5,3),c(5,4),c(5,5)] [0.122, −0.256, 0.27, −0.062, 0.109]

Table 1. Identification des coefficients du modele Bilineaire

Afin d’ etudier la performance de la procedure iterative d’identi-fication des poles de Laguerreξa, ξb et ξc, on propose decomparer les valeurs optimales identidiees par rapporta cellescalculees theoriquementa partir des criteresJa, Jb et Jc de larelation (51). Dans ce cas, en utilisant les valeurs calculees descoefficients du modele Bilineaire, on trace dans la figure 2 lescourbes theoriques des fonctionsJa, Jb etJc.

�1 �0.8 �0.6 �0.4 �0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1�0.500.511.522.53 log10(Ja)log10(Jb)log10(Jc)Minimum global opt, c =" 0 ,22

opt, a =0 ,05 opt, b =" 0 ,14

Fig. 2. Courbes theoriques des fonctions de cout Ja, Jb etJc

En fonction de la variation des ordres de troncaturesNa, Nb,Nc1 et Nc2 du modele Bilineaire - Laguerre on resume dansle tableau 2 les performances de la procedure d’identificationdes poles de Laguerre en termes de l’EQMN et du Taux dereduction parametrique (TRP) par rapport au modele Bilineaireobtenu. On note que les coefficients de Fourier du modeleBilin eaire - Laguerre sont identifies par l’algorithme des moin-dres carrees recursif.

Na,Nb Nc1,Nc2 ξa ξb ξc EQMN(%) TRP (%)2 2 0,042 −0,116 -0,214 0,65 74,193 3 0,07 -0,165 -0,239 0,36 51,614 4 0,061 −0,143 -0,209 0,11 22,58

Table 2. Valeurs optimales des poles de Laguerre

En outre, la figure 3 illustre en fonction des ordres de tron-caturesNa, Nb, Nc1 et Nc2 le comportement des poles deLaguerre estimes iterativement par l’algorithme d’optimisationpropose.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20�0.25�0.2�0.15�0.1�0.0500.050.10.15 a b cNa = Nb = 2 et Nc1= Nc2 = 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20�0.25�0.2�0.15�0.1�0.0500.050.10.15 a b c

Na = Nb = 3 et Nc1= Nc2 = 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20�0.25�0.2�0.15�0.1�0.0500.050.1 a b cNa = Nb = 4 et Nc1= Nc2 = 4

Fig. 3. Identification iterative des polesξa, ξb et ξc en fonction des ordresNa,Nb, Nc1 etNc2

A partir de la figure 2 les fonctions de cout Ja, Jb etJc possedentun minimum global et unique enξopt,a = 0,05, ξopt,b = −0,15et ξopt,c =−0,22 respectivement. D’apres le tableau 2, on con-state que les valeurs des poles optima sont proches de cellesdeterminees par les courbes theoriques des fonctions de coutJa,Jb et Jc. On observe aussi que les valeurs des poles varient trespeu avec les ordres de troncatures. Ce resultat confirme quela procedure proposee d’identification iterative des poles estindependante de la valeur des ordres de troncaturesNa, Nb, Nc1etNc2. Toutefois, sur la figure 3 on constate que l’augmentationdes ordres de troncatures permet d’augmenter la vitesse deconvergence de l’algorithme mais avec un surcout de calcul.Dans l’objectif de l’identification du systeme, on peut constaterdu tableau 2 que les ordres de troncaturesNa, Nb, Nc1 et Nc2influent sur la precision du modele ARX - Laguerre. En effet,en augmentant l’ordre de troncature l’EQMNdiminue. De plus,on peut noter que le fait d’avoir une procedure d’identificationiterative des poles de Laguerre permet d’ameliorer non seule-ment l’estimation des poles de Laguerre mais aussi de garantirune reduction parametrique significative par rapport au modeleBilin eaire. Cette reduction est obtenue avec une precision glob-ale du modele Bilineaire - Laguerre. Par exemple, sur une phasede validation de 200 observations et pourNa= Nb= 2 etNc1 =Nc2 = 2 on a uneEQMN = 1,0362%et un TRP = 74,19%.Dans ce cas, on trace dans la figure 4 l’evolution de la sortie dumodele Bilineaire et celle du modele Bilineaire - Laguerre. Pourle modele Bilineaire on uneEQMN= 1,81%pourny = nu = 2et N1 = N2 = 2. L’ evolution des coefficients du vecteur desparametresc = [g0,a, g1,a, g0,b, g1,b, g0,0, g0,1, g1,0, g1,1]T ,pendant la phase d’identification par la methode des moindrescarrees recursif, est illustree sur la figure 5.

7. CONCLUSION

Le developpement en series de Laguerre d’un modele Bilineairepermet de reduire de maniere considerable le nombre deparametresa estimer lors d’une experience d’identification d’untel modele. Cependant, le choix de la base adequate est fonctiondu choix du pole de Laguerre. Sans connaissance a priori dusysteme, le choix du pole de Laguerre joue un role crucial. Danscet article, nous avons propose un algorithme pour l’estimationdes poles optimaux et des coefficients du modele Bilineaire-Laguerre.

0 50 100 150 200-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nombre des itérations

Sortie réelle

Sortie du modèle bilinéaire

Sortie du modèle bilinéaire-Laguerre

Fig. 4. Validation du modele Bilineaire - Laguerre,Na= Nb= 2 etNc1 = Nc2 = 2

0 100 200 300 400 500 600 700 800-3

-2

-1

0

1

2

3

4g

0, a

g1, a

g1, b

g1, b

g0, 0

g0, 1

g1, 0

g1, 1

Fig. 5. Identification des coefficients de Fourier,Na= Nb= 2 etNc1 = Nc2 = 2

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