COMMENT LES MATHÉMATIQUES S’APPLIQUENT À

L’AÉRONAUTIQUE ET À L’ESPACE

COMMENT LES MATHÉMATIQUES S’APPLIQUENT À

L’AÉRONAUTIQUE ET À L’ESPACE

Manuel Samuelides

MC Pierre et Marie Curie (1969-1978)

Professeur à SUPAERO (1978-2008)

Manuel Samuelides

MC Pierre et Marie Curie (1969-1978)

Professeur à SUPAERO (1978-2008)

Manuel Samuelides: « Les mahématiques appliquées à l’Aéronautique et à l’Espace

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2/35 08/12/08 Paris 7

PlanPlan

I. Hommage à l’Alma Mater

II. Mathématiques pour décrire

III. Mathématiques pour agir

IV. Apprendre le metier d’ingénieur

I. Hommage à l’Alma Mater

II. Mathématiques pour décrire

III. Mathématiques pour agir

IV. Apprendre le metier d’ingénieur

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I. Hommage à l’Alma MaterI. Hommage à l’Alma Mater

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Paul PainlevéPaul Painlevé

• Mathématicien et homme politique français (1863-1933) Spécialité: singularités des équations

différentielles, solutions transcendantes

Titulaire de la chaire de mécanique rationnelle de la faculté des sciences de Paris

Passionné d’aéronautique Professeur à SUPAERO

• Mathématicien et homme politique français (1863-1933) Spécialité: singularités des équations

différentielles, solutions transcendantes

Titulaire de la chaire de mécanique rationnelle de la faculté des sciences de Paris

Passionné d’aéronautique Professeur à SUPAERO

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Lucien Malavard (1910-1990)Lucien Malavard (1910-1990)

• Licencié de mathématiques, ingénieur de SUPAERO, professeur de physique à Paris

• Spécialiste de la méthode des analogies électriques pour calculer les écoulements le long des ailes de l’avion

• Fondateur du LIMSI (Laboratoire d’Informatique, mécanique et sciences de l’ingénieur)

• Licencié de mathématiques, ingénieur de SUPAERO, professeur de physique à Paris

• Spécialiste de la méthode des analogies électriques pour calculer les écoulements le long des ailes de l’avion

• Fondateur du LIMSI (Laboratoire d’Informatique, mécanique et sciences de l’ingénieur)

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Jacques-Louis Lions (1928-2001)Jacques-Louis Lions (1928-2001)

Spécialité: équations aux dérivées partielles et analyse numérique

Professeur de mécanique rationnelle à Nancy puis de mathématiques à Paris puis président du CNES

• Applications du contrôle des systèmes, qui sert notamment au guidage des lanceurs spatiaux.

• Modélisation du comportement aérodynamique de la fusée Ariane, par la méthode dite d'intégration des éléments finis.

Spécialité: équations aux dérivées partielles et analyse numérique

Professeur de mécanique rationnelle à Nancy puis de mathématiques à Paris puis président du CNES

• Applications du contrôle des systèmes, qui sert notamment au guidage des lanceurs spatiaux.

• Modélisation du comportement aérodynamique de la fusée Ariane, par la méthode dite d'intégration des éléments finis.

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Citation de Jacques Louis Lions (1991)Citation de Jacques Louis Lions (1991)

• Ce que j'aime dans les mathématiques appliquées, c'est qu'elles ont pour ambition de donner du monde des systèmes une représentation qui permette de comprendre et d'agir.

• Et, de toutes les représentations, la représentation mathématique, lorsqu'elle est possible, est celle qui est la plus souple et la meilleure.

• Du coup, ce qui m'intéresse, c'est de savoir jusqu'où on peut aller dans ce domaine de la modélisation des systèmes, c'est d'atteindre les limites. "

• Ce que j'aime dans les mathématiques appliquées, c'est qu'elles ont pour ambition de donner du monde des systèmes une représentation qui permette de comprendre et d'agir.

• Et, de toutes les représentations, la représentation mathématique, lorsqu'elle est possible, est celle qui est la plus souple et la meilleure.

• Du coup, ce qui m'intéresse, c'est de savoir jusqu'où on peut aller dans ce domaine de la modélisation des systèmes, c'est d'atteindre les limites. "

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Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

• Chimie• Chimie• Physique

– Mécanique– Thermodynamique– Electricité– Optique– Mécanique

quantique– Physique des

particules…

• Physique– Mécanique– Thermodynamique– Electricité– Optique– Mécanique

quantique– Physique des

particules…

• Biologie• Biologie

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Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

– …

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

– …

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

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10/35 08/12/08 Paris 7

Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

• TIC (information, communication)– Informatique

symbolique– Calcul sur machine– Contrôle– Recherche

opérationnelle

• TIC (information, communication)– Informatique

symbolique– Calcul sur machine– Contrôle– Recherche

opérationnelle

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

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Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

• Génie mécanique– Mécanique du solide

indéformable– Mécanique des

solides, élasticité, structures

– Mécanique des fluides

– Energétique, propulsion

– Acoustique

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

• Génie électrique– Electromagnétisme,

propagation des ondes

– Electronique– Optique – Automatismes– Traitement du

signal et des images

• TIC (information, communication)– Informatique

symbolique– Calcul sur machine– Contrôle– Recherche

opérationnelle

• TIC (information, communication)– Informatique

symbolique– Calcul sur machine– Contrôle– Recherche

opérationnelle

• Nanosciences• Génie biologique• ………………..

• Nanosciences• Génie biologique• ………………..

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Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

Finalités:

• La physique décrit,

• les sciences de l’ingénieur permettent d’agir

??????? Naïf ?????????????

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Les sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiquesLes sciences de l’Ingénieur entre Physique et mathématiques

Finalités:

• La physique décrit, les sciences de l’ingénieur permettent d’agir

????????????????????

• La physique s’attache à la connaissance de phénomènes, les sciences de l’ingénieur à la réalisation d’objectifs (objets, action de transport…)

• Besoin de résultats numériques précis

• Besoin de connaissance d’une quantité de cas particuliers importante (scénarios utilisateurs)

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Des objets avancésDes objets avancés

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II. Mathématiques pour décrire (modèle)II. Mathématiques pour décrire (modèle)

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Exemple du calcul de l’écoulement d’air au voisinage d’une aile d’avionExemple du calcul de l’écoulement d’air au voisinage d’une aile d’avion

• Solution d’une équation aux dérivées partielles non linéaireConditions aux limites:– vitesse amont– Continuité sur le bord de l’aile

Modèles approchés – Fluides compressibles ou non– Fluides visqueux ou non– Ecoulement stationnaire ou non– Ecoulement 2d ou 3d

• Solution d’une équation aux dérivées partielles non linéaireConditions aux limites:– vitesse amont– Continuité sur le bord de l’aile

Modèles approchés – Fluides compressibles ou non– Fluides visqueux ou non– Ecoulement stationnaire ou non– Ecoulement 2d ou 3d

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17/35 08/12/08 Paris 7

Du calcul analytique ….Du calcul analytique ….

• EDP linéaires– Méthode de Fourier développement des

conditions aux limites sur une base de solutions générales

– Méthode de la fonction de Green– Méthode de la transformation de Joukowski

(théorie des fonctions de la variable complexe)…………..

• EDP linéaires– Méthode de Fourier développement des

conditions aux limites sur une base de solutions générales

– Méthode de la fonction de Green– Méthode de la transformation de Joukowski

(théorie des fonctions de la variable complexe)…………..

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18/35 08/12/08 Paris 7

… aux résolutions numériques… aux résolutions numériques

• Approcher la dérivée par une différence finie sur des points voisins

• Projeter l’équation d’un espace de Hilbert fonctionnel sur un sous-espace de dimension finie de fonctions simples (éléments finis, volumes finis…).

• Problème du maillage: géométrie numérique

Figure: Extrait projet INRIA

• Approcher la dérivée par une différence finie sur des points voisins

• Projeter l’équation d’un espace de Hilbert fonctionnel sur un sous-espace de dimension finie de fonctions simples (éléments finis, volumes finis…).

• Problème du maillage: géométrie numérique

Figure: Extrait projet INRIA

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19/35 08/12/08 Paris 7

Dériver les discontinuités ?Dériver les discontinuités ?

• Dérivées+formule de raccord (Rankine-Hugoniot)

• Dérivées au sens faible (théorie des dsitributions)

• Pourquoi choisir la solution la plus mathématique ?

• Dérivées+formule de raccord (Rankine-Hugoniot)

• Dérivées au sens faible (théorie des dsitributions)

• Pourquoi choisir la solution la plus mathématique ?

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III. Mathématiques pour agirIII. Mathématiques pour agir

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Contrôler (pilotage)Contrôler (pilotage)

• Système contrôlé

– x état– u commande– Déterminer u pour que la

trajectoire de x obéisse à une consigne

• Boucle ouverte u=g(t)• Boucle fermée u=g(x)

• Système contrôlé

– x état– u commande– Déterminer u pour que la

trajectoire de x obéisse à une consigne

• Boucle ouverte u=g(t)• Boucle fermée u=g(x)

€

dx

dt= f (x,u, t)

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Contrôler (pilotage)Contrôler (pilotage)

• Système contrôlé

– x état– u commande– Déterminer u pour que la

trajectoire de x obéisse à une consigne

• Boucle ouverte u=g(t)• Boucle fermée u=g(x)

• Système contrôlé

– x état– u commande– Déterminer u pour que la

trajectoire de x obéisse à une consigne

• Boucle ouverte u=g(t)• Boucle fermée u=g(x)

€

dx

dt= f (x,u, t)

Méthodes de résolution:

• Linéaire SISO: fonction de transfert,

Laplace, pôle, fonction méromorphe

• Linéaire MIMO: algèbre linéaire, équation de Ricatti

• Filtrage et contrôle linéaires: estimation préalable de l’état, linéarisation, problème de la robustesse

•Contrôle optimal: Calcul des variations, Programmation dynamique

•Apprentissage: apprendre le modèle en même temps qu’on optimise la commande

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CalculerCalculer

• Approche simulation

On calcule la dynamique de l’état et on simule son évolution

Avantages:

Interruptibilité du processus

Possibilité d’explorer des espaces de grande dimension

Cas de l’aléatoire (Monte-Carlo)

• Approche simulation

On calcule la dynamique de l’état et on simule son évolution

Avantages:

Interruptibilité du processus

Possibilité d’explorer des espaces de grande dimension

Cas de l’aléatoire (Monte-Carlo)

• Approche résolutionOn résoud numériquement une

équation mathématique exprimant un état final

Avantages:

Plus grande rapidité si maillage faisable, précision contrôlée

• Approche résolutionOn résoud numériquement une

équation mathématique exprimant un état final

Avantages:

Plus grande rapidité si maillage faisable, précision contrôlée

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OptimiserOptimiser

• Optimiser des systèmes simples• Sécuriser des systèmes

complexes en y mettant le prix: marges de sécurité partout

• Actuellement: optimiser toujours en quantifiant les risques

• Optimiser des systèmes simples• Sécuriser des systèmes

complexes en y mettant le prix: marges de sécurité partout

• Actuellement: optimiser toujours en quantifiant les risques

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OptimiserOptimiser

• Optimiser des systèmes simples• Sécuriser des systèmes

complexes en y mettant le prix: marges de sécurité partout

• Actuellement: optimiser toujours en quantifiant les risques

• Optimiser des systèmes simples• Sécuriser des systèmes

complexes en y mettant le prix: marges de sécurité partout

• Actuellement: optimiser toujours en quantifiant les risques

•Optimisation différentielle•Optimisation sous contrainte•Optimisation combinatoire•Optimisation stochastique

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26/35 08/12/08 Paris 7

Estimer et prévoirEstimer et prévoir

• Propager les incertitudes• Quantifier les risques• Certifier les équipements• Gérer la décentralisation

• Propager les incertitudes• Quantifier les risques• Certifier les équipements• Gérer la décentralisation

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Estimer et prévoirEstimer et prévoir

• Propager les incertitudes• Quantifier les risques• Certifier les équipements• Gérer la décentralisation

• Propager les incertitudes• Quantifier les risques• Certifier les équipements• Gérer la décentralisation

• Sources d’incertitude• Modèle linéaire gaussien• Recherche opérationnelle• Validation statistique• Théorie de l’apprentissage• Modèles réduits

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28/35 08/12/08 Paris 7

IV Diversifier sa formation: apprendre le métier d’ingénieur

IV Diversifier sa formation: apprendre le métier d’ingénieur

Manuel Samuelides: « Les mahématiques appliquées à l’Aéronautique et à l’Espace

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29/35 08/12/08 Paris 7

L’apport des mathématiquesL’apport des mathématiques

« Les maths sont en train de se dévaluer de manière quasi inéluctable. Désormais, il y a des machines pour faire les calculs » (Claude Allègre 1999)

« Certes on doit adapter l'enseignement des mathématiques aux progrès de l'informatique, mais celle-ci, loin de dévaluer les mathématiques, les enrichit. » (Réponse de Laurent Schwartz)

Les performances croissantes du calcul rendent utilisables des modèles mathématiques plus complexes: Linéaire-> Non Linéaire,

Les mathématiques sont l’outil privilégié du transfert de méthode d’une discipline à une autre

Exemple: les éléments finis

« Les maths sont en train de se dévaluer de manière quasi inéluctable. Désormais, il y a des machines pour faire les calculs » (Claude Allègre 1999)

« Certes on doit adapter l'enseignement des mathématiques aux progrès de l'informatique, mais celle-ci, loin de dévaluer les mathématiques, les enrichit. » (Réponse de Laurent Schwartz)

Les performances croissantes du calcul rendent utilisables des modèles mathématiques plus complexes: Linéaire-> Non Linéaire,

Les mathématiques sont l’outil privilégié du transfert de méthode d’une discipline à une autre

Exemple: les éléments finis

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30/35 08/12/08 Paris 7

Pour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieurPour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieur

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

Analyse Harmonique

Analyse Réelle et Complexe

Analyse Fonctionnelle

EDP, Analyse numérique

Proba Stats

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31/35 08/12/08 Paris 7

Pour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieurPour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieur

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

• Pour modéliser et concevoir, il faut connaître le langage des autres disciplines

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

• Pour modéliser et concevoir, il faut connaître le langage des autres disciplines

Analyse Harmonique

Analyse Réelle et Complexe

Analyse Fonctionnelle

EDP, Analyse numérique

Proba Stats

Mécanique des fluides et des

solides

Automatique, RO,

Signal

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32/35 08/12/08 Paris 7

Pour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieurPour utiliser les mathématiques, connaître les sciences de l’ingénieur

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

• Pour modéliser et concevoir, il faut connaître le langage des autres disciplines

• Les mathématiques sont un langage universel mais il est difficilement accessible sans formation

• Pour modéliser et concevoir, il faut connaître le langage des autres disciplines

Analyse Harmonique

Analyse Réelle et Complexe

Analyse Fonctionnelle

EDP, Analyse numérique

Proba Stats

Mécanique des fluides et des

solides

Automatique, RO,

Signal

Informatique Physique

Avion

Espace

Moteur

Système

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33/35 08/12/08 Paris 7

Essentiellement dans des fonctions R&D

Essentiellement dans des fonctions R&D

• Les spécialisations et les domaines de la 3A

• Une formation générale (culture, management, sports)

• Une formation internationale• Une pédagogie de projet

scolaire et périscolaire

• Les spécialisations et les domaines de la 3A

• Une formation générale (culture, management, sports)

• Une formation internationale• Une pédagogie de projet

scolaire et périscolaire

Les débouchés de la formation d’ingénieur SUPAERO

Les débouchés de la formation d’ingénieur SUPAERO

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34/35 08/12/08 Paris 7

Systèmes aéronautiquesSystèmes énergétiquesSystèmes spatiauxSystèmes embarquésSystèmes d’information et de décision

Systèmes aéronautiquesSystèmes énergétiquesSystèmes spatiauxSystèmes embarquésSystèmes d’information et de décision

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35/35 08/12/08 Paris 7

Pour postuler à l’admission sur titres L/M à SUPAERO (banque des 8 écoles)

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• Remplir en ligne un dossier commun Mines-Ponts

(délai 14 avril / niveau de référence L/M1+Mention) • Passer en mai un écrit commun QCM sciences Bac+2

• Passer en juin deux entretiens – Expérience, Motivation (DE+RP) – domaine scientfique de référence

• Remplir en ligne un dossier commun Mines-Ponts

(délai 14 avril / niveau de référence L/M1+Mention) • Passer en mai un écrit commun QCM sciences Bac+2

• Passer en juin deux entretiens – Expérience, Motivation (DE+RP) – domaine scientfique de référence