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Comparaison entre plaques et poutres:
Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2013 14.
15.
Différences entre plaques et poutres.
influence du coefficient de Poisson:
Dalle longue simplement appuyée sur deux bords parallèles.
La dalle peut être considérée comme une juxtaposition de poutres, car il n’y a pas decourbure parallèlement aux appuis.
Sans liaison, une déformation transversale apparaîtrait.
Les moments transversaux naissent de la déformation transversale empêchée
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16.
Différences entre plaques et poutres.
moments de torsion:
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17.
Différences entre plaques et poutres.
torsion: rotation angulaire d’une section par rapport à la suivante
en négligeant le terme de torsion dans l’équation de Lagrange:
le système statique se ramène au cas d’une grille de poutres.
+ 2∂x
4∂ w4 = ∂y
4∂ w4∂y
4∂ w2∂x2 + B
p
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18.
Plaques: Conditions de bord (aux limites)
Sur chaque élément de bord de la plaque agissent trois efforts:
– un moment de flexion, mn– un moment de torsion, mns– un effort tranchant, qn
Remplacement du moment de torsionpar un couple équivalent:
La résolution de l’équation de Lagrange n’en exige que 8 dans le cas d’une plaque carrée ou rectangulaire:
(anomalie due aux hypothèses simplificatrices introduites)
la résultante est ajoutée à l’effort tranchant pour obtenir un q de substitution:
∂mns∂s=qn qn + ⇒ + (2– ν)
∂x
3∂ w3=qx – B [ ∂y
3∂ w2∂x ]
+ 2∂x4∂ w
4 = ∂y4∂ w
4∂y4∂ w
2∂x2 + Bp
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19.
Plaques: Conditions de bord (aux limites)
Bord libre (x=const.):
Bord encastré (x=const.):
Bord simplement appuyé (x=const.):
qx 0= ⇒ + (2– ν)∂x
3∂ w3 = 0∂y
3∂ w2∂x
mx 0= ⇒ + ν∂x2∂ w
2 = 0∂y2∂ w
2
y
x
y
x
y
x
mx 0= ⇒ + ν∂x
2∂ w2 = 0∂y
2∂ w2
w 0= ⇒∂y∂w
= 0∂y
2∂ w2=
⇒ = 0∂x
2∂ w2
w 0= ⇒∂y∂w
= 0∂y
2∂ w2=
⇒∂x∂w
= 0 ∂y
2∂ w∂x = 0
⇒ mxy = 0
les bords parfaitement encastrés sont exempts de torsion: =qx qx
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20.
Plaques: Conditions de bord (aux limites)
Angle de plaques simplement appuyées:
Angle droit (réciprocité des contraintes tangentielles):
mxy = myx
dispositions constructives nécessaires pour éviter le soulèvement des coins.
Une force concentrée naît de l’addition des contributions à l’angle:
A = 2 mxy
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21.
Plaques: Variation des moments selon l’orientation des faces
Expression du moment dans une direction:
c’est un état plan de contrainte;les contraintes dans une directions’obtiennent par équilibre.Les moments s’obtiennent parintégration des contraintes surtoute l’épaisseur de la section.
Cercle de Mohr des moments dans une dalle:
Trajectoire des moments principaux dans une dalle carrée:
mα = mx ·2cos α + my ·
2sin α + mxy ·sin2α
Etat de contrainte dans un feuillet d’une dalle à la hauteur z:
simplement appuyée encastrée
correspond à l’équation d’un cercle de Mohr, analogue au cercle de Mohr des contraintes
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