THÉORÈMES DE THÉVENIN ET NORTON

1 THÉVENIN

Pour un dipôle linéaire en régime stationnaire, on a une relation du type 2R),(avec ∈+= babaiuAB soit ABAB eiRu +−= éq . C’est donc l’association série d’un

générateur idéal de tension de f.e.m ABe et d’un conducteur ohmique de résistance éqR

(générateur de Thévenin).

Remarque : en régime sinusoïdal forcé, on a 2C),(avec ∈+= babiauAB , soit

ABAB eiZu +−= éq en utilisant la notation complexe. C’est donc l’association série d’un

générateur idéal de tension de f.e.m ABe et d’un dipôle d’impédance éqZ .

A

B

i

ABu

ABe

ABu

ABe

A

B

iA

B

i

ABu

dipôle linéaire

ouéqR éqZ

Détermination de éqR (ou de éqZ ).

Comme les f.e.m ABe (ou ABe ) sont liées linéairement aux sources indépendantes que

contient le dipôle AB (attention, pas les sources commandées dont la f.e.m, ou le courant électromoteur dépend d’une grandeur électrique du circuit), on a 0=ABe (ou 0=ABe ) lorsque

l’on éteint TOUTES les sources indépendantes que contient le dipôle AB.

éqR (ou éqZ ) est donc la résistance (ou l’impédance) entre les points A et B lorsque l’on

éteint toutes les sources de tension indépendantes.

0=E

interrupteur FERMÉ

interrupteur OUVERT

00 =I00 == Ii

Détermination de ABe (ou de ABe ).

On a ABAB eu = si 0=i :

ABAB eu ==== quand le dipôle ne débite pas de courant (circuit ouvert en A ou B).

Exemple :

A

B

E

R

R 0I

dipôle linéaire

Détermination de éqR :

A

B

R

R

dipôle linéaire

A

B

2éqR

R =

Détermination de ABe :

On écrit toutes les lois des nœuds et des

mailles :

+−=′−=

−=−=′

=⇔=

0

00

RIeEIREe

IR

eIII

Re

IRIe

ABAB

AB

ABAB

On en déduit 2

0RIEeAB

+= (qui est bien liée

linéairement à E et 0I ).

A

B

E

R

R 0I ABe

I

I′

0=i

2 NORTON

Pour un dipôle linéaire, par exemple en régime stationnaire, on a une relation du type 2R),(avec ∈+⋅= babuai AB soit AB

AB IRu

i +−=éq

. C’est donc l’association parallèle d’un

générateur idéal de courant de courant électromoteur ABI et d’un conducteur ohmique de résistance éqR .

A

B

i

ABu

A

B

i

ABu

dipôle linéaire

éqRABI

La détermination de éqR a déjà été vue avec le théorème de Thévenin.

Détermination de ABI .

On a ABIi = si 0=ABu :

ABIi ==== quand on court-circuite le dipôle entre A et B.

Si on reprend l’exemple précédent :

On a toujours 2éqR

R = .

Détermination de ABI :

On a :

−′+=

=′⇔=′−=

=⇔==

IIIIRE

IIREu

IRIu

AB

AB

AB

0

0

00

On en déduit RE

IIAB += 0

A

B

E

R

R 0I

I

I′

0=ABu

ABI

3 ÉQUIVALENCE DES DEUX REPRÉSENTATIONS Le théorème de Norton est moins utilisé que celui de Thévenin car les deux représentations étant équivalentes, un seul théorème suffit.

En effet, on a à la fois ABAB eiRu +−= éq et iIRiRuIRu

i ABABABAB ∀⋅′+⋅′−=⇔+′

−= éqéqéq

On en déduit éqéq RR ====′′′′ : la résistance interne est la même dans les deux représentations

et ABAB IRe ⋅⋅⋅⋅==== éq

Si l’on reprend l’exemple précédent, on retrouve bien ABAB IRRIE

e ⋅=+= éq0

2 puisque

2éqR

R = et RE

IIAB += 0 .