Conception Des Machines Cours7 2015 2016

7/23/2019 Conception Des Machines Cours7 2015 2016

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Les engrenages cylindriques droits

Conception des machines

Cours 7



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Un engrenage est un système composé de deux pièces

mécaniques munies de dents qui s'interpénètrent de tellefaçon que l'une de ces pièces puisse entraîner l'autre enrotation ou en translation.

Ces pièces peuvent être des roues dentées,des crémaillères ou des vis sans fin.

Un engrenage permet de transmettre une puissanceentre deux arbres, avec un rapport de vitesse constant.

L'engrenage le plus fréquent est composé de deux

roues dentées extérieures l'une à l'autre. Lorsque lecontact est intérieur, on ne parle plus de roue maisde couronne dentée.



3

Boite de vitesse pour machine



4

• Les engrenages sont des éléments très utilisés dans lesmachines.

• Les matériaux utilisés pour la fabrication desengrenages sont en général l’acier, la fonte et lesplastiques (faible puissance).

• On considère dans la suite seulement le cas desengrenages cylindriques droits: engrenages à dentsdroites et parallèles à l’axe de rotation. Ils sont utiliséspour transmettre le mouvement entre deux arbresparallèles.



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Engrenagesà denture droite



6

Engrenage

Pignon



7

Engrenagesà denture hélicoïdale



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Engrenagesà chevrons



9

Engrenagesà roue et vis

sans fin



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11

Engrenagesà roue et vis

globique



12

Engrenagesconiques àdenture droite



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14

Engrenages

coniques à denturehypoïde



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Engrenageinterne



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18

Engrenage roue-crémaillère



19



20



21

Engrenages cylindriques droits

* Ils sont simples à utiliser en construction, faciles à fabriquer et moins chers* Ils admettent une grande efficience et une excellente précision* Ils sont utilisés dans les applications de grande vitesse ou impliquantde grands efforts (grandes puissances)



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Le principe de transmission représenté ci-contre présente l’inconvénient d’être nonhomocinétique. La vitesse de sortie n’estpas constante, ce phénomène est dû à lavariation du rayon d’entraînement au coursde l’engrènement.

Le glissement important au contactprovoque une usure importante des plots etdes rainures.

Cette solution n’est donc valable que pour

de faibles vitesses et des puissances peuimportantes.

Le besoin de transmission homocinétiquesans glissement



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Théorème du rapport des vitesses constant

Pour une paire de surfaces courbes en contact, les vitesses angulaires sontinversement proportionnelles aux longueurs O2K et O3K où K représente

l’intersection de la normale commune avec la ligne des centres O2O3.

32

3 2

O KO K

ω =ω

Point de contact

Pour obtenir un rapport des vitesses constant, la normale commune NN1 doit

intercepter la ligne des centre O2O3 au même point (K constant).



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Le théorème précédent peut être utilisé de la façon suivante:

- On se donne n’importe quel profil de dent, laquelle par rotation autourd’un point O1 donné produit la même normale N’N en une suite de pointsde la surface de la dent.

-En fixant un point O2 sur la perpendiculaire à cette droite et passant parle centre de rotation de la dent, on recherche le profil requis de l’autredent en imposant la coïncidence des normales lorsque la deuxième dentest animée d’un mouvement de rotation autour de O2 .

Recherche de profils vérifiant la condition de transmissionhomocinétique



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Parmi tous les profils possibles, il y a deux profils normalisés:- la développante de cercle,- la cycloïde.

Le profil de développante de cercle est simple à fabriquer et il est robusteaux tolérances de montage.

La développante de cercle est une courbe géométrique décrite par latrajectoire d’un point choisi sur une corde tendue alors que cette cordes’enroule ou se déroule sur la circonférence d’un cercle (maintenu fixe).

Le profil en développante de cercle



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Point fixe par rapport à la corde



27



28



29

x(t) R cos(t) Rtsin(t)

y(t) R sin(t) Rt cos(t)

= +

= −



30

1 2 2

2 1 1

O B O P

O A O P

ω= =

ωAbsence de glissementde la corde

KAK AC= =ρ

1ω

2ω



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* P est fixe, on l’appelle le point primitif* Les cercles de centres O1 et O2 et passant par P

s’appellent les cercles primitifs

* Les cercles de rayons O1A et O2B s’appellent

les cercles de base



32

R

Cercle primitif

bR Cercle de base

Cercle de base

bR sR co= Φ



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Ligne d’action Dans un engrenage à développante, la ligne d’action est

une droite tangente intérieurement aux deux cercles debase.

Angle de pression ( Φ )Angle aigu entre la ligne d’action et la tangente communeaux cercles primitifs passant par le point où ces derniersse rencontrent.



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Roue menanteRoue menée



35

b A A B B

AB A

B B

R R cos R cos R cos

R Rcos cos cos

R R

= Φ = Φ = Φ

⇒ Φ = Φ = Φ

Rb rayon du cercle de baseR rayon du cercle primitifΦ angle de pression

Invariant rayon-angle

Cercle de base

bR



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B

B B B B

DG BGDOG tan

OG OG

DOB DOG tan inv( )

= = = Φ

= −Φ = Φ −Φ = Φ

inv(x)=tan(x)-x fonction développante ou involute

A A ADOA tan inv( )= Φ −Φ = Φ

Angle de développante



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A

B

t épaisseur de la dent au point A

t épaisseur de la dent au point B

B BB

B B

A AA

A A

t t1 1DOE DOB inv

2 R 2 R

t t1 1DOE DOA inv

2 R 2 R

= + = Φ +

= + = Φ +

AB B A B

A

tt 2R inv( ) inv( )

2R

= + Φ − Φ

Invariant épaisseur-rayon-angle



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B

B

R, :donnés

x : paramètreR cos( )

DOB inv(x),Rcos(x)

Φ

=ΦΦ

= =

Tracé du profil d’une dent

Courbe en coordonnées polaires

La donnée de l’épaisseur fixe définitivement le profil.



39

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010.38

0.385

0.39

0.395

0.4clear all;close all;format long e;

R=0.4;fi=14.5*pi/180;tetamax=fi*8/10;for k=1:61

teta=(k-1)*tetamax/60;

dog(k)=tan(teta)-teta;rb(k)=R*cos(fi)/cos(teta);

endplot(rb.*sin(dog),rb.*cos(dog),'b-')axis([0 0.01 0.38 0.4])



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• Géométrie des engrenages:

- la forme de la dent et ses caractéristiques (AFNOR)- les conditions d’interchangeabilité

• AFNOR = Association Française de Normalisation

Dimensionnement des engrenages



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Définitions

Cylindre primitif de fonctionnement Cylindre d’axe parallèle à l’axe de symétrie de la roue (axe de révolution)et de diamètre celui du cercle primitif d.

Cylindre de tête

Cylindre passant par les sommets des dents. Sa section droite est lecercle de tête de diamètre d a .

Définitions



42

Définitions

Cylindre de pied Cylindre passant par le fond de chaque entre-dent. Sa section droite est lecercle de pied de diamètre d f .

Largeur de denture ( b )Largeur de la partie dentée d’une roue, mesurée suivant une génératricedu cylindre primitif.

Flan Portion de la surface d’une dent comprise entre le cylindre de tête et le

cylindre de pied.



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Hauteur de dent (h)Distance radiale entre le cercle de tête et le cercle de pied. Elle se composede la saillie (h a ) et du creux (h f ).

Pas (p)Longueur d’arc mesurée sur le cercle primitif comprenant une dent et unespace entre-dent.

Pas de base (p b )Distance entre deux dents consécutives mesurée sur le cercle de base.

p 2 R / N= π

b bp 2 R / N= π

N: Nombre de dents



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p d

N

π=

Pas diamétral

Pas

P N

d=

pP = π



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Module (m)

Le module est le quotient du pas exprimé en millimètres par le nombre π.

Le module est déterminé par un calcul de résistance des matériaux.

Dans la pratique les modules sont normalisés.

p (mm) d (mm)mN

= =π



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La série principale de modules selon la norme NF ISO 701 – NF EU ISO 2203est: 0.3, 0.5, 0.8, 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10.

d(mm)mN

=

20Φ = °



47Les angles de pression normalisés sont 14.5°, 20°et 25°La résistance augmente avec l’angle de pression

1 2 1 2 2 1 2 1 / n / n N / N Z / Zω ω = = =

20Φ =

d mZ=



48



49

Distance entre les centres

1 21 2

N NC R R

2P 2P= + = +

1 2

1 2

N NNP

d 2R 2R= = =

Longueur d’action



50

Le contact commence au point Aet se termine au point B.

A: point de contact entre le cercle de sailliede l’engrenage menée et la ligne d’action.

B: point de contact entre le cercle de sailliedu pignon et le ligne d’action.

AB: longueur d’action

Longueur d action

Pas de base mesuré sur la ligne d’action



51

bFG p=

g

Rapport de conduite



52

Rapport de conduite

b

AB longueur d'action

p pas de baseµ = =

1 2 1 2

2 2 2 201 b1 02 b2 1 2

AB E B E A (E P PE )

AB R R R R (R R )sin

= + − +

= − + − − + Φ

b bb

pignon engrenage

2 R 2 Rp

N N=

π π =

1.4µ = recommandation des manufacturiers

1µ ≥ pour avoir au moins deux dents en contact



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1

2

AP E P

PB E P

<

<

Condition de non interférence



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Si un engrenage comporte un certain nombre de dents, quel doit être

le nombre de dents sur l’autre engrenage afin d’éviter l’interférence?

2 2

1 2 1 1 2 2g(N , N ) (N 2N N )sin 4N 4 0= + ϕ − − ≥2 2

11 2 max 2

1

2

2 1 min 2 2 22

4 N sin ( )N (N )

2N sin ( ) 4

4N (N ) N N (N 1)

sin ( )

− Φ⇒ =

Φ −

⇒ = − + + +Φ

Pour un engrenage normalisé:

Condition d’engagement avec un nombre de dents identiques

2 2g(N) 3N sin 4N 4 0= ϕ − − ≥



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Afin d’éviter l’interférence entre les dents de la roue et du pignon,le nombre minimal de dents est donné par le tableau suivant.

1N

2N

20Φ = °




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• Résistance des engrenages selon la norme AGMA

- rupture en fatigue de la dent- usure de la surface de la dent

AGMA= American Gear Manufacturers Association


Résistance des engrenages



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g g

u t

1

P Tn W d n2= =

t

WW cos( )= Φ

r tW W tan( )= Φ

Sollicitation de calcul

o m tK K W πσ =

Contrainte de calculEquation de Lewis modifiée (AGMA)



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vK J pbσEquation de Lewis modifiée (AGMA)

o m tK K W

K J b

πσ =



59

vK J pb

V 50K50 V

=+

V vitesse de rotation en π /min (notée aussi pi/min) de la ligne primitive

'b d fS k k k k k k S=

Fatigue:



60

e a b c d e f eS k k k k k k S

b

1 P 5k

0.85 P 5

>= ≤

ka

1 T 160 F≤ °



61

d

e

f f

k 620 T 160 F460 T

k 1

k 1 (pour 3) k 1.4 (pour 2 et 4)

= > °+

=

= =

N DR1 iΦ Φ

Usure de la surface de la dent:



62

g gv

p v2 2v p p

p g

p g

t 0 mH max pv p

N DR1 cos sin

C ; I ; R2 R 1 N D1 1

E E

W K Kp C K FD I

Φ Φ

= = = =+ −ν −νπ +

σ = = F largeur de contact de la dent

2fe

2fe

LH fe

T R

T

S 400H 10000 lb / po (acier)

S 90000 lb / po (fonte)

CS S

C CC 1 si T 250 F

= −

=

=

= < °

B

Rapport de vitesses



63

Facteur de sécurité vis-à-vis de l’usure:

H

H

SFS=

σ

Dimensionnement:

t 0 m

v

2

H HH

pp

W K KK FD

S SFS FSCI σ ≤ ⇒ ≤

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