Nombres p-adiquesNombres p-adiques

Les brenoms : une activit pdagogique sur les nombres

Dans le dsordre A quoi a sert ? Histoire : les dbuts Construction des nombres p-adiques Quelques curiosits, quelques beaux rsultats Conclusion

Stage arithmtique , Limoges le 12 fvrier 2009

Brenoms* ou nombres dcadiquesBrenoms* ou nombres dcadiques

Lorsque lon passe des nombres entiers aux nombres rels on sautorise utiliser des nombres ayant une infinit de chiffres aprs la virgule.

Que se passerait-il si on essayait de calculer avec une infinit de chiffres avant la virgule ?

* Nombres en verlan

BrenomsBrenoms Un nombre dcadique ou

brenom est un nombre ayant une infinit de chiffres (0,1,,9) gauche.

Exemples...010101

121212129999917531459

Oprations sur les dcadiquesOprations sur les dcadiques

Addition

34567819564210

------------------3020991

Multiplication (avec retenue)Multiplication (avec retenue)

123456738

...615.492..088

SoustractionSoustraction

00001+ 99999

00000

Autrement dit : -1=999

Autre exemple : -3=9997

On na plus besoin du signe - devant les nombres ! Remarque : 0000123 =123

Exercice Exercice

Soit x=anan-1ak000. Les ai sont des chiffres et k est le plus petit entier tel que ak non nul.

Vrifier que : -x = (9-an)(9-an-1)(10-ak)

Exemple 1x= 45673000-x= 54327000

Exemple 2x= 15603-x= 84397

La divisionLa division

Ou encore :

1/3= 6666667

Peut-on inverser 2 ?

00000002

X ????????

0000001

On a : 6666667 x 3000000001

StructureStructure

Soit B lensemble des brenoms*. Alors B est muni dune structure danneau commutatif unitaire non intgre contenant une copie de Z (les relatifs). Le groupe des lments inversibles de B est form de tous les brenoms dont le premier chiffre est premier 10 (i.e., 1,3,7,9).

* On suppose que cela a un sens !

ExercicesExercices Montrer que lequation

X2-X=0possde 4 solutions dans B.

Rsoudre dans B : X2-1=0.

Et si on changeait de base ?

Pour en savoir plus et pour des activits scolaires voir lescomptes rendus de MATh en Jeans :http://www.mjc-andre.org/pages/amej/accueil.htm

Le reste de lexposLe reste de lexpos

Donner une sens ces nombres

et construction des p-adiques.

Les dbuts de lhistoire des nombres p-adiques.

A quoi a sert ?

A quoi a sert ?A quoi a sert ?

l ve de lENS, Charle s PISOT (1910-1984) 1 e r au concours de lagr gation de mathmatique s (1932). Matre de conf re nce s puis pro fe s s e ur Borde aux, il obtie nt un poste la

facult de s s c ie nce s de Paris (1955) et l co le po lyte chnique . On lui do it de s travaux re marquable s e n th orie de s nombre s principale me nt sur le s

nombre s dits de Pisot-Vijayaraghavan .

Entretien de J. Nimier avec C. Pisot *Entretien de J. Nimier avec C. Pisot *

Quand vous prenez les nombres p-adiques, alors l, pour l'instant on ne voit encore aucune motivation due la ralit ; mais d'ici quelque temps on trouvera dans la ralit des choses pour lesquelles les nombres p-adiques formeront un bon modle. On ne l'a pas encore jusqu' prsent, cela reste encore entirement dans l'esprit ; or, il y a des tas de thories construites sur les nombres p-adiques, il y a des fonctions de variables p-adiques, il y a des bouquins, ...

Il faut sabstraire de la ralit si on veut faire des progrs *En 1974. Voir les publications de lIREM de Lyon

Environ trente ans aprs Environ trente ans aprs

Topological Geometrodynamics (TGD) : une thorie physique en essor depuis les annes 80

http://www.physics.helsinki.fi

Cryptographie Codes correcteurs derreursA. R. Calderbank , N. J. A. Sloane, Modular and p-

adic cyclic codes, Designs, Codes and Cryptography, v.6 n.1, p.21-35, July 1995

Nombres p-adiques : le PAPANombres p-adiques : le PAPA

Kurt Hensel ou le mathmaticien par qui les p-adiques arrivent (en 1897) !

Zoom sur le papaZoom sur le papa

Kurt HENSEL est n le 29 Dcembre 1861 Knigsberg

en Prusse orientale (aujourdhui : Kaliningrad, Russie) un

des hauts lieux, avec Gttingen, des mathmatiques

allemandes, lve de KRONECKER, HENSEL enseignera

Berlin et Marburg. Il prit la direction du clbre journal

de CRELLE de mathmatiques pures et appliques en

1901.

Kurt HENSEL est dcd le 01 juin 1941 Marburg

(Allemagne).

Wilhelm HenselJacob Ludwig von Adelson

Fanny Mendelssohn

Kurt Hensel

Sebastian HenselJulie von Adelson

Aussi doue pour la musique que son frre Felix Mendelssohn Bartholdy (Goethe)

Fanny la grand mre de Kurt Hensel a t elle-mme une clbre pianiste et compositeur. Elle a crit quelque 500 compositions musicales en tout, dont environ 120 pices pour piano.

Ce nest quun an avant sa mort que Fanny dcida de passer outre les interdits familiaux et de publier ses compositions. Alors quelle commenait tre reconnue et que les commandes se profilaient, elle mourut subitement au milieu de la rptition dun de ses concerts

Jeunesse de K. HenselJeunesse de K. Hensel

Les tudiants allemands de cette poque ne choisissaient pas une seule universit pour tudier, mais suivaient des cours dans plusieurs institutions diffrentes.

Hensel a tudi Berlin et Bonn. Parmi ses professeurs : Lipschitz, Weierstrass, Borchardt, Kirchhoff, Helmholtz et Kronecker. Cest Kronecker qui a eu le plus dinfluence sur lui et a supervis ses tudes de doctorat l'Universit de Berlin.

Hensel a prsent sa thse Arithmetische Untersuchungen ber Diskriminaten und ihre ausserwesentlichen Teiler Berlin en 1884 et il a continu y travailler, prsenter sa thse d'habilitation et de devenir un Privatdozent en 1886.

Hensel Biography (encore !)Hensel Biography (encore !)

Hensel sest mari Gertrud Hahn Berlin en 1887

Gertrud et Kurt Hensel ont un fils et trois filles.

Hensel a t nomm un poste de professeur l'Universit de Marburg en 1901. Il a pass le reste de sa carrire, il a pris sa retraite en 1930 mais reste Marburg.

Il a consacr de nombreuses annes l'dition des uvres de Kronecker. En fait, il a publi cinq volumes des uvres de Kronecker entre les annes 1895 et 1930.

Lappelation peiti thorme de Fermat et entier p-adique sont de Hensel

Helmut Hasse (1898 Kassel-1979 Ahrensburg) :

Jai dcid de continuer mes tudes sous la direction de Kurt Hensel de Marburg. Qu'elle dcision htive ctait ! En 1913, Hensel a publi un livre sur la thorie des nombres. J'ai trouv un exemplaire de ce livre chez un antiquaire de Gttingen et lai achet. J'ai trouv ses nouvelles mthodes compltement f asc inante s e t dig ne d'u n e tu de ap p r o f o ndie .

Les inspirateurs Les inspirateurs

KUMMER Ernst Eduard, 1810-1893(Cantor fut un de nombreux lves).

Dcomposition dun nombre premier dans les extensions cyclotomiques. Arithmtique dans ces extensions.

DEDEKIND Richard 1831-1916 Elve de Gauss et de Dirichlet.

Gnralisation des travaux de Kummer des extensions algbriques et avec WEBER ils montrent que cette approche sapplique aux corps de fonctions.

DEDEKIND

Ide de HENSEL*Ide de HENSEL*

Pour tudier une fonction au voisinagee dun point , on utilise le dveloppement de Taylor ou de Laurent en sries de puissances de (X- ).

Pour tudier un nombre algbrique, on utilise un dveloppement en termes de puissances dun nombre premier.

*Premire publication en 1897 suivie de plusieurs articles. Livresen 1908 et 1913.

Applications mathmatiques immdiatesApplications mathmatiques immdiates

Dcomposition du discriminant dun corps de nombres (1897)

Dcomposition (factorisation) dun nombre premier p dans Q( ) en termes de factorisation du polynme minimal de modulo p

Rappel : construction de Rappel : construction de RR Valeur absolue usuelleValeur absolue usuelle

Lapplication de Q dans Q : x |x|=Max(x,-x) dfinit une valeur absolue sur Q pour laquelle il existe des suites de Cauchy non convergente dans Q. Exemple, la suite de terme gnral

Un = k=

Valeur absolue p-adiqueValeur absolue p-adiquepp est un nombre premier est un nombre premier

Soit x dans Z. Il existe un unique n dans N et u dans Z tels que p ne divise pas u et

x=pnu.On pose, pour x dans Z,

|x|p=(1/p)n.

On obtient une nouvelle valeur absolue sur Z dite valeur absolue p-adique.

Lentier positif n est dit valuation p-adique de x

Exemples Exemples

Soit x=4. On a : |x|2=(1/2)2

|x|5=1|x|

7= 1

Comme, pour n dans N, |pn|=p-n, la suite pn tend vers zro (pour la valeur absolue p-adique) !

Prolongement Prolongement QQ Pour x=(a/b) dans Q on po se |x|p=|a|p/|b|pOn obtie nt ains i une vale ur abs o lue s ur Q v riant,

pour x e t y dans Q :4. |x|p=0 s i e t s e ule me nt s i x=0,5. |xy|p= |x|p|y|p,6. |x+y|p Max( |x|p, |y|p ) (in galit

ultramtrique ).

RemarqueRemarque

Pour x et y dans Q, la relation |x-y|p dfinit une distance dans Q.

Pour cette distance (topologie) deux nombres rationnels sont proches si de

numrateur de leur diffrence est divisible par une grande puissance de p

QQpp

Muni de cette vale ur abs o lue Q e st un corps valu (ultramtrique ou non archimdie n) non complet (dans le que l il y de s suite s de Cauchy non conve rge nte s ).

La compltion de Q donne Qp (la vale ur abs o lue de Q e st tendue Qp).

En rsumEn rsum

Le co rps Qp e s t obtenu gro s s o modo partir de Q e n adjo ignant c e de rnie r toute s le s limites de s s uite s de Cauchy de Q.

Exemples de calculLa s uite : 1 , 1+p, 1+p+p2, , 1+p+p2++pn, e st une s uite dans Z qui conve rge (dans Q_p) ve rs 1 /(1 -p).On a : -1=(p-1 )+(p-1 )p+(p-1 )p2 ++(p-1 )pn +

Dveloppement de HenselDveloppement de Hensel

Tout lme nt x de Qp s c rit de manire unique

x= i>=s aipi (f) o le s ai s ont de s chire s (de 0 p-1 )

et s dans Z.

Inve rs e me nt, toute s rie de la forme (f) c i-de s s us e s t c onve rge nte dans Qp.

Dans (f) : |x|p=(1/p)s

Comment marche le dvComment marche le dvtt. de Hensel (dans. de Hensel (dans Q Q)*)* ??

Pour x=(a/b) dans Q ave c p ne divis ant pas b

Comme b e s t inve rs ible modulo p, il e xiste a0 dans {0, ,p-1} tel que x = a0 modulo p.

On c rit x=a0+px1 e t on re c omme nc e ave c x1 .

S i p divis e b on travaille ave c pr x e t on divis e par pr

On pe ut gale me nt utilis e r la divis ion s e lon le s puis s anc e s c ro is s ante s de a par b c rits e n bas e p.

* Pour les nombres algbriques, cest un peu plus dlicat !

ExempleExemple 1/3 dans Q5

1 3

13211

4444014

33

4440

-

-

-

Nombres dyadiques (2-adiques)Nombres dyadiques (2-adiques)

Ce s ont toute s le s s omme s (nie s ou innie s ) x = ai2i

ave c ai dans {0,1}.

Re marque : on pe ut crire x = a2a1a0 (ave c une innit chire s gauche ) e t le s oprations (additions , multiplications , ) s e font e n re portant la retenue de gauche dro ite .

Reprsentation,Reprsentation, p=2 (pour s implie r)p=2 (pour s implie r)

01

0 1

0 10 1

0 1

0 1 0 1

Consquences de lultramticitConsquences de lultramticit

* * tous les triangles sont isocles !

* * tout lment dune boule ouverte est centre de la boule !

x

y

z d(x,y)

d(z ,y)

d(x,z )

d(x,y) Max(d(x,z ), d(z ,y))

B(x,r[ = {y Qp / d(x,y)

A quoi A quoi a s e rt ? Un be au tha s e rt ? Un be au th ororme (Has s e , me (Has s e , 1920) 1920)

Princ ipe lo cal-globalPrinc ipe lo cal-global

S o it F une forme quadratique . L quation F=0 a une s o lution non triviale dans Q (g lobale me nt) s i, e t s e ule me nt s i, e lle pos s de une s o lution non triviale dans R e t une s o lution non triviale dans Qp pour tout nombre pre mie r p (lo cale me nt).

ExempleExemple

L quation x2y+xy2+x3+y3 = 0 admet une s o lution non triviale dans Q s i et s e ule me nt s i e lle e n po s s de une (non triviale ) dans chaque Qp (p=2, 3 , 5, ) et dans R.

A quoi A quoi a s e rt ? Un autre be au a s e rt ? Un autre be au rr sultat : le le mme de He ns e lsultat : le le mme de He ns e l

S o it f(x) dans Z [x]. On s uppo s e quil e xiste 0 dans Z te l que :

f( 0)=0 mod p et f( 0) 0 mod p. Alo rs il e xiste dans Z p te l que f( )=0 ave c = 0+a1p+...Autrement dit, Si on sait factoriser modulo p on saura faire

dans Qp.

Encore un peu dhistoire Encore un peu dhistoire

Le livre de Steinitz en 1910 (ou limportance thorique du travail de Hensel) :

Cest la dcouverte de ces derniers qui conduisit Steinitz, comme il le dit explicitement, dgager les notions abstraites communes toutes ces thories dans un travail fondamental qui peut tre considr comme ayant donn naissance la conception actuelle de lalgbre.

Steinitz 1871-1928

Elments dhistoire des mathmatiques, N. Boubaki , Hermann 1960, p 109

Dautres datesDautres dates

A partir de 1907 Hensel construit les fonctions lmentaires : exp, log, sin,

En 1912 Kurschak introduit les valuations En 1917 Ostrowski tablit son thorme

Les seules valeurs absolues sur Q sont ( quivalence prs) les valeurs absolues p-

adiques et la valeur absolue usuelle

Entre 1220 et 1935 : Thorie complte des valuations (Deuring, Schmidt, Krull, )

Et les dcadiques dans tout a ?Et les dcadiques dans tout a ?

B=Q2 Q5

En guise de conclusionEn guise de conclusion

Les p-adiques sont un pont entre deux champs diffrents des mathmatiques (algbre, analyse)

Les questions de convergence sont apparues plus tard : les p-adiques taient considrs comme des objets formels

La thorie des corps, des valuations est postrieure celle des p-adiques

DiviseursDiviseurs de zro de zro112625560224.672..000

Tous les triangles sont isoclesTous les triangles sont isocles

On a : d(x,y) Max(d(x,z),d(z ,y)). S i d(x,z) d(z ,y) alo rs on pe ut s uppo s er

d(x,z)

Tout point de la boule est centre de la bouleTout point de la boule est centre de la boule

Boule ouve rte de c e ntre x e t de rayon r : B(x,r)={y Qp / d(x,y)

RfrencesRfrences

G. Christol & D. Barsky, Les nombres p-adiques, La Recherche, Juillet-Aot 1995 vol. 26

M. G. Dumas, Sur quelques cas dirductibilit des polynmes cofficients rationnels, Journ. De Math. (6e srie) tome II. Fasc. III, 1906

Fernando Gouva, p-adic numbers, an introduction Springer, collection Universitext, 1997 (2e dition)

N. Bourbaki, Elments dhistoire des mathmatiques, Hermann 1974

Y. Amice, Les nombres p-adiques, PUF, 1975 N. Koblitz, P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-

Functions Springer, 1996 (2e dition) A. M. Robert, A Course in p-adic Analysis. Springer 2000

SitographieSitographiehttp://pagesperso-orange.fr/alain.pichereau/brenom.html

http://www.vinc17.org/math/index.fr.html

http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/9301bren/brenoms1.html

http://www.animath.fr/old/UE/autres/brenoms.html

http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number

http://mathenjeans.free.fr/amej/accueil.htm

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hensel.html