Contribution à la commande sans capteur de la machine asynchrone

FACULTE DES SCIENCES & TECHNIQUES

U.F.R Sciences & Techniques : S.T.M.I.A Ecole Doctorale : Informatique-Automatique-Electrotechnique-Electronique-Mathématiques Département de Formation Doctorale : Electrotechnique-Electronique

Thèse

Présentée pour l’obtention du titre de

Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I

en Génie Electrique

par Imad AL-ROUH

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Contribution à la commande sans capteur de la machine asynchrone

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Soutenue publiquement le 12 Juillet 2004 devant la commission d’examen :

Membres du Jury : Président : J-M. KAUFFMANN Professeur, L2ES, Université Franche Comté, Belfort Rapporteurs : L. LORON Professeur, IREENA, Polytech'Nantes, Saint Nazaire D. ROYE Professeur, LEG, INP Grenoble Examinateurs : A. REZZOUG Professeur, GREEN, UHP, Nancy L. BAGHLI Maître de Conférences, GREEN, IUFM de Lorraine, Nancy

Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de Nancy Faculté des Sciences & Techniques - 54506 Vandœuvre-lès-Nancy

Dédicaces "إهداء"

A mes parents, qui ont toujours cru en moi et qui, malgré la distance, m’ont

accompagné moralement tout au long de ce parcours. L'éducation, soin et conseils qu'ils m'ont prodigués, m'ont toujours guidé pour faire les bons choix dans ma vie. Ils m'ont appris comment réaliser les rêves difficiles. Sans leur soutien, encouragement et prières, rien n'aurait été possible.

"تربيتهم لي وعنايتهم . آمنا دائما بقدراتي واللذين برغم البعد رافقاني معنويا طوال هذا الطريقناللذي إلى والديلوال دعمهم . بي ونصائحهم آانوا دائما دليلي للخيارات الصحيحة في حياتي وعلماني آيفية تحقيق األحالم الصعبة

"وتشجيعهم ودعائهم لما آان هناك شيء ممكن A mon épouse, la seule personne qui a partagé avec moi les moments

d'inquiétude avant ceux de joie, pendant ces longues années de thèse. Son soutien et ses mots m'ont toujours aidé à dépasser les moments difficiles. Il n'y pas de mots suffisamment forts pour lui exprimer ma gratitude. Je la remercie énormément pour la compréhension et la patience dont elle fait preuve durant ces années.

إلى زوجتي الشخص الوحيد الذي قاسمني لحظات القلق قبل لحظات السعادة طوال هذه السنوات الطويلة من "ال توجد أي آلمة بإمكانها أن تعبر عن . دعمها لي وآلماتها آانوا دائما عونا لي على تخطي اللحظات الصعبة. الدآتوراة

.ذه السنينعرفاني لها على تفهمها وصبرها اللذين أبدتهما خالل ه A mon frère et ma sœur qui, malgré les milliers des kilomètres étaient

toujours là pour me conseiller, me soutenir, m'encourager et prier pour moi. Je les remercie de tout mon cœur.

. ن لنصحي ودعمي وتشجيعي والدعاء ليإلى أخي وأختي اللذين برغم آالف الكيلومترات آانا دائما مستعدي" "أشكرهما من آل قلبي

A ma deuxième famille, celle de mon épouse, qui m'a offert le meilleur

cadeau de ma vie (mon épouse) et qui m'a toujours encouragé et soutenu. Je la remercie vivement pour ses paroles, ses prières et la confiance qu'elle m'a accordé.

والتي لم تتوقف عن تشجيعي ) زوجتي(إلى عائلتي األخرى عائلة زوجتي التي قدمت لي أفضل هدية في حياتي " "أشكرها بقوة على آلماتها ودعائها وثقتها بي. ودعمي

Remerciements Tâche ô combien délicate que celle qui consiste à rédiger ces premières pages ! Ici plus que nulle part

ailleurs dans un mémoire, le choix des mots et l'ordonnancement des idées revêtent une importance démesurée,

et les règles et phrases toutes faites de nos prédécesseurs, loin de simplifier les choses, ne font qu'imposer à

l'auteur un périlleux exercice de style où il doit faire preuve d'originalité sans toutefois avoir le droit à l'erreur.

Qu'il me soit d'abord permis de remercier et d’exprimer ma gratitude envers le bon Dieu, qui m'a donné

la patience et le courage pour que je puisse continuer ce travail.

Je tiens ensuite à remercier ceux qui ont bien voulu s'atteler à la lourde tâche de la relecture de ce

rapport, Messieurs Daniel Roye, Professeur à l'INP Grenoble et Luc Loron, Professeur au Polytech'Nantes,

ainsi que Monsieur Jean-Marie Kauffmann, Professeur à l'Université Franche Comté, qui ma fait l'honneur de

présider mon jury.

Je tiens également à remercier Monsieur Abderrezak Rezzoug, Professeur à l'Université Henri

Poincaré et Directeur du laboratoire GREEN pour m'avoir accueilli dans son laboratoire et pour avoir dirigé mon

travail. Son encadrement et surtout les conseils avisés qu'il m'a prodigué, témoignent de ses qualités scientifiques

et humaines.

Je tiens également à remercier Monsieur Lotfi Baghli, Maître de Conférences à l'IUFM de Lorraine,

pour avoir co-dirigé ce travail et avec qui j’ai beaucoup appris dans les domaines théorique et pratique. Je le

remercie de tout mon coeur pour le temps qu'il m'a consacré ainsi que pour nos nombreuses discussions

scientifiques et amicales.

Je ne veux pas oublier, dans mes remerciements, les membres du laboratoire GREEN avec qui j’ai eu le

plaisir de collaborer au cours de ce travail. Mes remerciement vont notamment et plus particulièrement à Francis

WEINACHTER pour ces aides dans le domaine informatique, Gaëtan DIDIER, Thierry LUBIN, Jean et

Malika LEVEQUE, Hubert RAZIK, Bruno DOUINE, Denis NETTER, Djafar HADIOUCHE, Elhadj

AILAM et Kevin BERGER. Je tiens aussi à remercier Fadi SHARIF, technicien au GREEN. La bonne humeur

et l'ambiance au sein du groupe m'ont permis de mener mes travaux de recherche de façon agréable. Les

discussions, les remarques et les commentaires de mes collègues ont été source d'idées et ont contribué au

développement et à l'amélioration de cette recherche.

Je ne peux oublier, bien sûr, mes amis doctorants du GREEN, Mohamed Choukri BEN HABIB et

Eskandar GHOLIPOUR, avec qui j'ai passé les meilleurs moments durant ces dernières années et dont les

conseils m'ont beaucoup aidé pour continuer mon travail dans les meilleures conditions.

Je voudrais vivement remercier mes amis Ammar CHAKER, Alaa KOURDEY, Fadi ALNAHHAS,

Moustapha ALHAJ DIBO, Amer HAJ TALEB et Shadi ALSHIHABI, avec qui j'ai toujours partagé les

moments d'inquiétude et ceux de joie.

Enfin, je tiens à remercier vivement une personne que j'apprécie beaucoup, Mazen KHAMIS. Les

paroles de cet ami m'ont toujours encouragé et m'ont toujours donné l'envie d'être meilleur.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................................... 3

CHAPITRE I - ETAT DE L'ART ....................................................................................................................... 9 I.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................................. 11 I.2 OBSERVATEURS BASES SUR L'ESTIMATION DE FLUX ..................................................................................... 11

I.2.1 Modèle de la machine asynchrone........................................................................................................ 12 Equations de tensions au stator ................................................................................................................................... 12 Equations de tensions au rotor ................................................................................................................................... 12 Equations du flux statorique........................................................................................................................................ 12 Equations du flux rotorique......................................................................................................................................... 12

I.2.2 Estimation du flux rotorique basée sur un modèle en courant.............................................................. 13 I.2.3 Estimation du flux rotorique par une méthode d'élimination................................................................ 15 I.2.4 Estimation de flux rotorique par un modèle en tension ........................................................................ 17 I.2.5 Estimateur de flux rotorique d'ordre complet ....................................................................................... 19 I.2.6 Observateurs de flux en boucle fermée ................................................................................................. 21

I.3 OBSERVATEURS BASES SUR L'ESTIMATION DE FLUX ET DE LA VITESSE ......................................................... 24 I.3.1 Estimation de la vitesse à l'aide d'un modèle mécanique ..................................................................... 24 I.3.2 Estimation de la vitesse par un système adaptatif utilisant un modèle de référence (MRAS)............... 25

Equation du modèle de référence ................................................................................................................................ 26 Equation du modèle ajustable ..................................................................................................................................... 26

I.3.3 Filtre de Kalman................................................................................................................................... 27 I.3.4 Autres techniques basées sur les f.c.e.m. .............................................................................................. 28

I.4 ESTIMATION DU FLUX, DE LA POSITION ET DE LA VITESSE BASEE SUR L'ESTIMATION DE LA POSITION DES SAILLANCES ....................................................................................................................................................... 29

I.4.1 Estimation de la position des saillances par filtrage adaptatif et FFT................................................. 29 I.4.2 Estimation de la position des saillances à partir de la phase de la tension.......................................... 30 I.4.3 Estimation de la position des saillances basée sur un modèle non linéaire de la machine .................. 31 I.4.4 Estimation de la position de saillances basée sur la méthode INFORM .............................................. 31 I.4.5 Estimation de la position des saillances par l'injection d'un signal à haute fréquence ........................ 32

I.5 CONCLUSION ................................................................................................................................................ 33 CHAPITRE II - THEORIE DES SAILLANCES ET VECTEURS TOURNANTS...................................... 37

II.1 INTRODUCTION............................................................................................................................................ 37 II.2 ORIGINE DES SAILLANCES ........................................................................................................................... 37

II.2.1 Saillances dues aux encoches rotoriques et statoriques ...................................................................... 38 II.2.2 Saillances dues aux excentricités......................................................................................................... 41 II.2.3 Saillances dues à la saturation............................................................................................................ 42 II.2.4 Saillances artificielles (asymétrie introduite au rotor)........................................................................ 42

II.3 MODELE DE LA MACHINE ASYNCHRONE DANS LE DOMAINE DES HAUTES FREQUENCES............................... 44 II.4 EXCITATION PAR UN SIGNAL A HAUTE FREQUENCE ..................................................................................... 48

II.4.1 Injection des salves périodiques de tension......................................................................................... 49 II.4.2 Injection d'un courant à haute fréquence dans la machine ................................................................. 50 II.4.3 Injection d'une tension à haute fréquence dans la machine ................................................................ 51 II.4.4 Courant résultant de l'injection d'un signal à haute fréquence ........................................................... 52 II.4.5 Courant résultant de l'injection d'un signal à haute fréquence dans le cas où plusieurs saillances sont présentes dans la machine ............................................................................................................................ 58

Cas particulier du cas de plusieurs saillances.............................................................................................................. 68 II.5 CONCLUSION ............................................................................................................................................... 69

CHAPITRE III - ESTIMATION DE LA POSITION DU ROTOR DE LA MACHINE ASYNCHRONE 71 III.1 INTRODUCTION .......................................................................................................................................... 73 III.2 EXTRACTION DES COMPOSANTES INVERSES ............................................................................................... 74

III.2.1 Les saillances dépendantes de la position du rotor sont dominantes................................................. 75 Extraction des composantes Inverses par un filtre analogique suivi d'un filtre synchrone passe haut......................... 78 Extraction des composantes inverses par deux filtres synchrones passe haut ............................................................. 81 Extraction des composantes Inverses par un filtre synchrone passe bas ..................................................................... 84

III.2.2 Les saillances dépendantes de la position du rotor sont perturbées par d'autres composantes inverses indépendantes de la position du rotor............................................................................................. 87

Extraction des composantes Inverses par le filtrage DFT glissante............................................................................. 89 Principe de la DFT glissante ....................................................................................................................................... 90

TABLE DES MATIERES

III.3 ESTIMATION DE LA POSITION DU ROTOR..................................................................................................... 94 III.3.1 Estimation de la position du rotor par la fonction Arctg ................................................................... 94 III.3.2 Estimation de la position du rotor par une boucle à verrouillage de phase (PLL)............................ 97

Modélisation des saillances......................................................................................................................................... 97 Estimation des paramètres des saillances par la méthode des moindres carrés..................................................... 102 Estimation des paramètres des saillances par la méthode de synchronisation....................................................... 105

Calcul des coefficients du régulateur PI de la PLL ................................................................................................... 109 III.4 CONCLUSION............................................................................................................................................ 111

CHAPITRE IV - COMMANDE SANS CAPTEUR DE LA MACHINE ASYNCHRONE........................ 113 IV.1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 115 IV.2 COMMANDE VECTORIELLE....................................................................................................................... 115 IV.3 COMMANDE VECTORIELLE SANS CAPTEUR............................................................................................... 116

IV.3.1 Commande vectorielle sans capteur d'une machine présentant des saillances dominantes et dépendantes de la position du rotor............................................................................................................ 117

Cas d'une seule saillance ........................................................................................................................................... 118 Cas de plusieurs saillances ........................................................................................................................................ 125

IV.3.2 Commande vectorielle sans capteur d'une machine présentant des saillances perturbatrices indépendantes de la position du rotor......................................................................................................... 130

IV.4 CONCLUSION ........................................................................................................................................... 132 CONCLUSION GENERALE .......................................................................................................................... 135

ANNEXE............................................................................................................................................................ 143 ANNEXE A. FILTRES ........................................................................................................................................ 145

A.1. Filtre analogique suivi d'un filtre synchrone passe haut ..................................................................... 145 Filtre Analogique ...................................................................................................................................................... 145 Filtre synchrone passe haut ....................................................................................................................................... 146

A.2. Deux filtres synchrones passe haut...................................................................................................... 146 A.3. Filtre synchrone passe bas .................................................................................................................. 147

ANNEXE B. TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE DFT.................................................................................. 147 B.1. Transformée de Fourier discrète réelle ............................................................................................... 147 B.2. Transformée de Fourier discrète complexe ......................................................................................... 152

ANNEXE C. FONCTION ARCTG INCREMENTALE ............................................................................................... 157 ANNEXE D. LOGICIEL DE SIMULATION MASVECT......................................................................................... 159 ANNEXE E. BANC EXPERIMENTAL................................................................................................................... 162

E.1. Carte DSP............................................................................................................................................ 162 E.2. Onduleur.............................................................................................................................................. 163 E.3. Machines.............................................................................................................................................. 163

Machine 1.................................................................................................................................................................. 164 Machine 2.................................................................................................................................................................. 164 Machine 3.................................................................................................................................................................. 165 Machine 4.................................................................................................................................................................. 166

E.4. Charges................................................................................................................................................ 167 E.5. Encodeur Incrémental ......................................................................................................................... 168

NOMENCLATURE.......................................................................................................................................... 169

GLOSSAIRE ..................................................................................................................................................... 173

REFERENCES.................................................................................................................................................. 177

INTRODUCTION GENERALE


5

La machine asynchrone occupe un domaine très important dans l'industrie et les

transports. Elle est appréciée pour sa robustesse, son faible coût d'achat et d'entretien. Sa

commande est par contre plus difficile à réaliser que pour d'autres machines électriques. De

nombreuses stratégies ont été développées pour en faire une machine qui dépasse les autres,

même dans les systèmes commandés.

En général, la commande de la machine asynchrone se divise en deux classes.

• Commande de faible coût et faible performance (par exemple la commande V/f).

• Commande à haute performance comme la commande vectorielle indirecte par orientation

de flux rotorique (IRFO) qui assure une dynamique élevée.

La commande (IRFO) requiert l'installation d'un codeur incrémental afin de mesurer la

vitesse et/ou la position rotorique. L'association de ce codeur entraîne un surcoût qui peut être

plus important que celui de la machine pour les faibles puissances. Il faut de plus prévoir une

place supplémentaire pour l'installation du codeur. Chose qui n'est pas toujours souhaitable ou

possible. Enfin, la fiabilité du système diminue à cause de ce dispositif fragile qui requiert un

soin particulier pour lui-même et pour sa connectique.

C'est à partir de cette constatation que l'idée d'éliminer le codeur incrémental est née et

que les recherches sur la commande sans capteur de la machine asynchrone ont commencé.

Plusieurs stratégies ont été proposées dans la littérature pour atteindre ce but. Une

grande partie des méthodes proposées est basée sur des observateurs qui dépendent du modèle

de la machine asynchrone et des f.c.e.m. C'est pour cette raison que ces techniques échouent

à se substituer au codeur incrémental dans le domaine des basses vitesses. D'autres recherches

reposent sur l'estimation de la position des saillances de la machine. Puisque ces saillances

sont, en général, dues à la saturation (créée par le flux principal) ou à la variation de l'entrefer,

des informations sur la position du flux principal ou du rotor peuvent être obtenues. Si elles se

basent sur l'alimentation fondamentale de la machine, ces techniques échouent également à

basse vitesse et à l'arrêt. La troisième partie des méthodes proposées est celle qui se base sur

l'estimation de la position des saillances via une excitation supplémentaire à haute fréquence

indépendante de l'alimentation fondamentale de la machine. Ces techniques promettent de

donner de meilleurs résultats dans le domaine des basses vitesses y compris à l'arrêt.


6

L'objet de cette thèse est d'investiguer l'estimation de la position en utilisant une

excitation à haute fréquence indépendante de l'alimentation principale. On s'attachera à mettre

en évidence ses avantages et ses inconvénients en proposant quelques solutions.

Le chapitre I se divise en trois parties. Il donne une présentation générale des

méthodes d'estimation de la position du flux ou du rotor existant dans la littérature. Chaque

partie est destinée à donner une courte explication pour chaque stratégie mentionnée ci-

dessus, les méthodes proposées, leurs avantages et inconvénients ainsi que les améliorations

possibles.

Le chapitre II aborde plusieurs points théoriques. Il permet d'asseoir la modélisation de

la machine en réponse à une excitation particulière dans le domaine des hautes fréquences et

suivant les saillances qu'elle comporte.

Tout d'abord, nous énumérons les origines des saillances exploitables pour l'estimation

de la position du flux ou du rotor de la machine asynchrone. Ensuite, nous présentons le

modèle de la machine asynchrone dans le domaine des hautes fréquences. Nous indiquons

ensuite différentes méthodes pouvant servir à exciter la machine grâce à un signal à haute

fréquence. Nous développons l'équation du courant résultant de l'injection d'une tension à

haute fréquence avec la présence de saillances dépendantes de la position du rotor. Le courant

comporte, en plus de la composante fondamentale, une composante à haute fréquence (dite

courant de la porteuse). Cette dernière se divise en deux parties : une composante directe et

des composantes inverses modulées par la position du rotor. Pour terminer, nous analysons

ces composantes, dans le cas d'une seule ou de plusieurs saillances et dans différents

référentiels, afin d'extraire les informations sur la position, le nombre et la nature des

saillances.

Puisque les informations sur la position du rotor sont contenues dans la phase des

composantes inverses, le chapitre III est destiné à étudier les méthodes avec lesquelles nous

pouvons extraire cette position. Pour ce faire, nous commençons par exposer plusieurs

stratégies permettant d'isoler les composantes inverses (qui sont d'ailleurs d'amplitude très

faible). Deux cas sont abordés : Le premier est celui où les composantes inverses, qui

renferment l'information utile, sont dominantes et le deuxième est celui où ces composantes

sont perturbées par d'autres composantes inverses indépendantes de la position du rotor.


7

Nous proposons des méthodes de filtrage originales : une méthode de filtrage améliorée (dite

filtrage par un filtre synchrone passe bas) pour traiter le premier cas et un filtrage par la

transformée de Fourier discrète glissante pour faire face au problème des composantes

perturbatrices du deuxième cas.

Nous passons ensuite aux méthodes d'estimation de la position du rotor à partir des

composantes inverses. Nous étudions la méthode d'estimation par une fonction, que nous

proposons, dite "Arctg incrémentale" et par la boucle à verrouillage de phase. Puisque cette

dernière nécessite des indications sur les composantes inverses dans le cas de plusieurs

saillances, deux méthodes d'identification des composantes inverses sont proposées : La

première qui s'applique hors ligne, est celle des moindres carrées. La deuxième, que nous

avons appelé "identification par synchronisation" s'applique en ligne.

Pour atteindre notre but, qui est d'implanter une commande sans capteur, nous devons

étudier la faisabilité d'employer la position et la vitesse estimées à la place de celles mesurées

dans un système de commande vectorielle. Ceci fait l'objet du chapitre IV. Nous regardons de

près la possibilité d'utiliser la vitesse estimée pour calculer l'angle des transformations de Park

directe et inverse ainsi que pour réaliser la régulation de vitesse.

Cette étude est réalisée dans le cas où la machine est conçue à l'origine pour être implantée

dans un système de commande sans capteur. Ce qui permet d'avoir des composantes inverses

dominantes. Nous testons également, l'algorithme dans le cas où ces dernières ne sont pas les

seules composantes occupant la partie négative du spectre du courant.

Des résultats de simulation et expérimentaux accompagnent chaque méthode étudiée

ou proposée.

Nous terminons par une conclusion sur l'ensemble de cette étude et nous proposons

des perspectives à ce travail.

Les annexes contiennent les paramètres des filtres utilisés, une explication de la

transformée de Fourier complexe discrète en mettant l'accent sur la notion de fréquences

négatives, une explication de la fonction "Arctg incrémentale" proposée dans la partie

d'estimation de la position, une présentation du logiciel MASVECT et des modifications que

nous lui avons apportés afin de réaliser toutes nos simulations et, enfin, une présentation des

deux bancs expérimentaux et des machines asynchrones utilisés.


CHAPITRE I - ETAT DE L'ART




11

I.1 Introduction

La connaissance de la position du flux ou de la position du rotor est importante pour

réaliser une commande vectorielle afin de contrôler le couple et la vitesse d'une machine

asynchrone.

Mais pour des raisons économiques et/ou des raisons de robustesse, les chercheurs

travaillent depuis plusieurs décennies sur l'estimation de la position du flux ou celle du rotor

au lieu d'en effectuer une mesure directe à l'aide d'un capteur mécanique de position.

Nous allons présenter dans ce chapitre une partie importante des techniques existantes

dans la littérature pour l'estimation de la position du flux, de la position ou de la vitesse du

rotor de la machine asynchrone. Dans cet état de l'art, nous allons commencer par les

méthodes développées principalement pour l'orientation de flux rotorique (les estimateurs de

flux) et nous allons finir par les méthodes offrant des informations pour contrôler la vitesse de

la machine asynchrone. Nous discuterons brièvement des avantages, des inconvénients et des

limites d'utilisation de ces techniques.

Nous présenterons également la modélisation de la machine asynchrone et le

traitement du signal indispensables pour mettre en équations et analyser ces techniques

d'estimation.

I.2 Observateurs basés sur l'estimation de flux

Les deux méthodes les plus générales d'orientation de flux 1 existant dans la littérature

sont l'orientation du flux rotorique et l'orientation du flux statorique. Mais pour simplifier la

discussion nous allons parler principalement de l'orientation du flux rotorique.

De façon générale, les estimateurs du flux rotorique se présentent sous quatre formes :

estimateur basé sur un modèle en courant, estimateur basé sur une méthode d'élimination,

estimateur basé sur un modèle en tension et estimateur d'ordre complet. Tous ces estimateurs

sont issus des équations modélisant la machine asynchrone.

1 Par abus de langage, de nombreux auteurs utilisent le terme d'orientation de flux concernant la commande vectorielle, bien que ce soit le repère d-q que l'on oriente de manière à faire coïncider l'axe d avec le flux que l'on souhaite "orienter".


12

I.2.1 Modèle de la machine asynchrone

Les équations (I.2.1)-(I.2.4) décrivent la machine asynchrone dans un référentiel lié au

stator.

Equations de tensions au stator

⎧⎪⎨⎪⎩

= +

= +

ss

ss

s ss s s

s sss s

V R I p

V R I pα

β

α α

β β

ϕ

ϕ (I.2.1)

Equations de tensions au rotor

0

0

⎧ = + +⎪⎨

= + −⎪⎩

s s sr r r r r

s s sr r r r r

R I p

R I p

α α β

β β α

ϕ ω ϕ

ϕ ω ϕ (I.2.2)

Equations du flux statorique

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

s s ss s s r

s s ss s s r

L I MI

L I MIα α α

β β β

ϕ

ϕ (I.2.3)

Equations du flux rotorique

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

s s sr r r s

s s sr r r s

L I MI

L I MIα α α

β β β

ϕ

ϕ (I.2.4)

Où dpdt

= est l'opérateur de Laplace et pp est le nombre de paires de pôles 2. Ces

équations peuvent être mises sous forme d'équations d'état (I.2.5) et (I.2.6) avec un vecteur

d'état ts s s s

s s s sI Iα β α βϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ et avec un vecteur d'entrée

ts ss sV Vα β⎡ ⎤

⎣ ⎦ .

2

2

'1..

'1

⎧ = − + +⎪⎪⎨⎪ = − − +⎪⎩

s s s s ss rs s s r r r

s s s rs r

s s s s ss rs s s r r r

s s s r s r

R MR MpI V IL L L LL L

R MRMpI V IL L L L L L

α α α α βσ σ σσ

β β β α βσ σ σ σ

ϕ ω ϕ

ω ϕ ϕ (I.2.5)

2 Pour une définition des symboles utilisés, se reporter à la nomenclature.


13

⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩

s s s sr rr s r r r

r r

s s s sr rr s r r r

r r

MR Rp IL L

MR Rp IL L

α α α β

β β α β

ϕ ϕ ω ϕ

ϕ ω ϕ ϕ (I.2.6)

Où

2= − =s s s

r

ML L LLσ σ (I.2.7)

2

2' = +s s rr

MR R RL

(I.2.8)

I.2.2 Estimation du flux rotorique basée sur un modèle en courant

Des équations (I.2.6), nous déduisons que le flux rotorique srαβϕ peut être estimé à

partir des courants statoriques et de la vitesse du rotor. Cet estimateur en boucle ouverte, qui

est présenté sur la figure ( I-1), est basé sur un modèle dit en courant [Jan93-1], [Jan94-1],

[Jan94-2], [Zhe95-1], [Bla96-1].

1p

ˆˆr

r

RL

1p

ssIα

ssIβ

rω

ˆ srαϕ

ˆ srβϕ

+ −

−

+ +

−

ˆˆˆr

r

RML

ˆˆˆr

r

RML

ˆˆr

r

RL

Figure I-1 Schéma de l'estimateur de flux en boucle ouverte basé sur le modèle en courant.

Un des principaux problèmes est que l'estimation dépend de la vitesse du rotor pour

estimer le flux. Il faut donc un capteur de vitesse.

Pour étudier les effets de la variation des paramètres sur la dynamique de cet

estimateur nous devons étudier le rapport entre le flux rotorique réel et celui estimé. Pour ce

faire nous allons écrire, sous forme condensée, les deux équations (I.2.6) de la façon

suivante :


14

ˆ ˆˆˆ( )ˆ ˆ− + =s sr rr r s

r r

R Rp j M IL Lαβ αβω ϕ (I.2.9)

En régime permanent sinusoïdal nous pouvons remplacer dans l'équation (I.2.9)

l'opérateur de Laplace p par jωs. Nous écrivons la relation entre le flux rotorique réel et celui

estimé sous la forme suivante :

ˆˆ ( )ˆˆˆ

( )ˆ

+=

+

r rs g

r rrs

r rr gr r

R RM jLL

R RM jL L

αβ

αβ

ωϕ

ϕ ω (I.2.10)

Où

= −g s rω ω ω (I.2.11)

Sur la figure ( I-2) nous traçons la variation du gain et de l'angle du flux rotorique

estimé par rapport au flux réel en fonction de la pulsation de glissement ωg.

Dans ces figures nous remarquons qu'une variation de 25% de la valeur de la

résistance ou l'inductance rotorique affecte l'amplitude et la phase du flux rotorique estimé.

Tandis que la variation de l'inductance mutuelle ne change que l'amplitude du flux rotorique

estimé sans modifier sa phase [Hol02-1].


15

0 4 8 12 160.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4123

0 4 8 12 16-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04G

ain

Phas

e[rd

]

[ / ]g rd sω [ / ]g rd sω

3

1 2

3

2 1

Figure I-2 Variation du gain et de la phase de la fonction de transfert du modèle en courant en fonction de la pulsation de glissement.

1- ˆ ,=r rR 0 75R , ˆ=r rL L , ˆ= MM .

2- ˆ,=r rL 0 75L , ˆ=r rR R , ˆ= MM .

3- ˆ,= 0 75MM , ˆ=r rR R , ˆ=r rL L .

I.2.3 Estimation du flux rotorique par une méthode d'élimination

Cette méthode dépend des tensions et courants statoriques ainsi que de la vitesse de la

machine pour estimer le flux rotorique. Nous obtenons l'estimateur en regroupant et en

arrangeant les équations (I.2.5):

1

2

2

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 '( )ˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆ .

ˆ ˆ ˆ ˆ

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠−⎢ ⎥⎣ ⎦

rrs s s

s rr s ss rs s s

s sr r s sr

s r s r

MR ML L V IL L Rp

L LM R V IML L L L

σα α ασ

σ σβ β β

σ σ

ωϕ

ϕω

(I.2.12)

Le schéma du principe de cette méthode, appelée la méthode d'élimination dans

[Jan93-2], [Jan94-1], est présenté sur la figure ( I-3).


16

ˆ 'ˆ

s

RpLσ

+

1ˆ sLσ

2

ˆ ˆˆ ˆ

r

s r

MRAL Lσ

=

1A BB A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

ss

ss

V

Vα

β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ss

ss

I

Iα

β

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ˆˆ ˆr

s r

MBL Lσ

ω=

ˆ

ˆ

sr

sr

α

β

ϕ

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦rω

+ -

Figure I-3 – Estimateur de flux en boucle ouverte basé sur la méthode d'élimination.

Cette méthode a deux inconvénients. Premièrement, elle requiert la connaissance de la

vitesse de la machine asynchrone (même problème que pour le modèle en courant).

Deuxièmement, les courants statoriques sont dérivés, ce qui rend cette méthode sensible aux

bruits sur les courants statoriques mesurés, en particulière à ceux dus aux commutations de la

MLI [Deg98-1].

Pour étudier la dynamique de cet estimateur, ainsi que sa sensibilité à la variation des

paramètres, nous regroupons les équations (I.2.5) - (I.2.6) et (I.2.12) sous la forme suivante :

ˆ ˆ[( ) ( )] ( )ˆˆ ˆˆ

′ ′+ − + + +=

rs s s s s

r r rs

r

r

L ML p R L p R M pR L

ML

σ σαβ

αβ

ω ωϕϕ

ω (I.2.13)

Où :

= −rr

r

R jL

ω ω (I.2.14)

ˆˆˆ= −r

rr

R jL

ω ω (I.2.15)

Le gain et la phase de la fonction de transfert (I.2.13) sont présentés sur les figures

( I-4).

Nous remarquons que l'écart sur l'inductance ou sur la résistance statoriques modifie

l'amplitude et la phase du flux rotorique estimé. Tandis qu'une variation de l'inductance

mutuelle ne modifie que son amplitude. Ces variations d'amplitude et de phase sont plus

importantes dans le domaine des basses vitesses.


17

0 100 200 300 4000

0.4

0.8

1.2

1.6

12345

0 100 200 300 400-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5G

ain

Phas

e[rd

]

ωr [rd/s] ωr [rd/s]

1 2

5

1

2 3, 4, 5

3,4

Figure I-4 Variation du gain et de la phase de la fonction de transfert de l'estimateur basé sur la méthode d'élimination en fonction de la variation de la vitesse de la machine asynchrone.

1- ˆ ,=s sR 0 75R , ˆ=s sL L , ˆ=r rR R , ˆ=r rL L , ˆ= MM .

2- ˆ,=s sL 0 75L , ˆ=s sR R , ˆ=r rR R , ˆ=r rL L , ˆ= MM .

3- ˆ ,=r rR 0 75R , ˆ=s sR R , ˆ=s sL L , ˆ=r rL L , ˆ= MM .

4- ˆ,=r rL 0 75L , ˆ=s sR R , ˆ=s sL L , ˆ=r rR R , ˆ= MM .

5- ˆ,= 0 75MM , ˆ=s sR R , ˆ=s sL L , ˆ=r rR R , ˆ=r rL L .

I.2.4 Estimation de flux rotorique par un modèle en tension

L'estimateur du flux rotorique basé sur un modèle en tension (figure I-5), dont les

entrées sont les courants et les tensions statoriques mesurés, est développé à partir des

équations (I.2.1), (I.2.3) et (I.2.4) [Jan93-2], [Jan94-1], [Jan94-2], [Zhe95-1], [Bla96-1].

L'avantage de cet estimateur en boucle ouverte par rapport aux précédents est qu'il ne repose

pas sur la vitesse de la machine asynchrone.

Le modèle de cet estimateur est donné par les équations (I.2.16)-(I.2.18).

ˆ ˆ= −ss

s sss sp V R Iαβ αβ αβϕ (I.2.16)

ˆ ˆˆ ˆ( )ˆ= −s s srr s s s

L L IMαβ αβ σ αβϕ ϕ (I.2.17)

Donc nous pouvons écrire :


18

ˆ ˆ ˆˆ ( )ˆ = − +s s sr s s s s

r

Mp V R pL IL αβ αβ σ αβϕ (I.2.18)

1p

+ -ˆ sLσ

ˆˆrL

M

-

-

+-

1p

ssIα

ssIβ

ssVα

ssVβ

ˆ srαϕ

ˆ srβϕ

ˆ sLσˆsR

ˆsR

ˆˆrL

M

Figure I-5 Estimateur de flux en boucle ouverte à base du modèle en tension.

Comme le modèle en tension est un intégrateur sans retour d'état, il est sensible aux

décalages (offsets) sur les mesures surtout dans le domaine des basses fréquences. C'est

pourquoi, en pratique, nous remplaçons l'intégrateur pur par un filtre passe bas afin de garantir

la stabilité [Taj93-1], [Bon95-1], [Hol02-1]. Malheureusement, le filtre passe bas produit une

erreur d'estimation dans le domaine des basses fréquences et limite ainsi l'estimation à un

domaine où les fréquences sont supérieures à sa fréquence de coupure [Deg95-1], [Hol02-1].

On peut également recourir à des méthodes de correction automatique d'offset

[Bag98-1], [Bag99-1].

Pour étudier la sensibilité de cet estimateur à la variation des paramètres de la

machine, nous arrangeons les équations (I.2.1) - (I.2.4), (I.2.6) et (I.2.18). La fonction de

transfert du flux rotorique estimé par rapport à celui réel s'écrit :

2

2

ˆˆ ˆ ˆ[[( ) ( )] ( ) 1]ˆ

sr r r

s s s ssr rr

L M L pR pL R pLM R pL M

αβσ σ

αβ

ϕ ωϕ

+= + − + + (I.2.19)

De la figure ( I-6) présentant le gain et la phase de la fonction (I.2.19), nous trouvons

que la variation de l'inductance mutuelle et l'inductance statorique change l'amplitude du flux

rotorique estimé sans affecter sa phase. La variation des autres paramètres ne modifie ni

l'amplitude ni la phase du flux rotorique estimé, seule la variation de la résistance statorique

les affecte à basse vitesse.


19

0 100 200 300 4000.5

1

1.5

2

2.5

3

12345

0 100 200 300 400-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

[ / ]r rd sω [ / ]r rd sω

Gai

n

Phas

e[rd

]

1

2

3, 4

5 1

2, 3, 4, 5

Figure I-6 Variation du gain et de la phase du flux rotorique estimé par le modèle en tension en fonction de la variation de la vitesse de la machine asynchrone.






I.2.5 Estimateur de flux rotorique d'ordre complet

L'estimateur de flux rotorique d'ordre complet peut être obtenu à partir des équations

d'état de la machine asynchrone (I.2.5) et (I.2.6) [Jan93-2], [Jan94-1]. Les équations suivantes

décrivent cet estimateur. Il est représenté par le schéma en figure ( I-7).

ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆs s s sr r

r s r r rr r

R Rp M I jL Lαβ αβ αβ αβϕ ϕ ω ϕ= − + (I.2.20)

2

ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆ( )ˆ ˆˆs s s s sr

s s s s r r rs rr

MR MpI V R I jL LL

αβ αβ αβ αβ αβσ

ϕ ω ϕ′= − + − (I.2.21)

Les entrées de cet estimateur sont les tensions statoriques mesurées et la vitesse du

rotor. Les courants statoriques sont introduits dans l'estimateur comme grandeurs d'état

estimées. Donc l'estimateur de flux rotorique d'ordre complet n'est qu'un estimateur des

courants statoriques couplé à un estimateur basé sur le modèle en courant. Par conséquent, cet


20

estimateur n'apporte pas plus d'améliorations en comparaison avec celui basé sur le modèle en

courant.

1ˆ ˆs sR L pσ′ +

ssIα

ssIβ

ssVα

ssVβ

ˆ srαϕ

ˆ srβϕ

ˆ ˆˆ

r

r

MRL

ˆˆr

r

RL

2

ˆ ˆˆ

r

r

MRL

ˆˆr

ML

-

-

-

-

-

rω

+ +

+

+

+

+

+

2

ˆ ˆˆ

r

r

MRL

1ˆ ˆs sR L pσ′ +

ˆˆr

ML

ˆˆr

r

RL

1p

1p

ˆ ˆˆ

r

r

MRL

Figure I-7 Estimateur de flux d'ordre complet en boucle ouverte.

La dynamique de l'estimateur peut être étudiée en traçant le gain et la phase du rapport

entre le flux rotorique estimé et le flux réel (I.2.22) (figure I-8).

[( ) ( ) ]ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[( ) ( ) ]ˆ ˆ

′+ + −=

′+ + −

rs s s

r r rs

r rs s

r r

L ML p R M pR LL ML p R M pR L

σαβ

αβσ

ω ωϕϕ

ω ω (I.2.22)


21

0 100 200 300 4000.6

0.8

1

1.2

1.4

12345

0 100 200 300 400-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

[ / ]r rd sω [ / ]r rd sω

Gai

n

Phas

e[rd

]

1

2

3

4

5 5

1 2

3 4

Figure I-8 Variation du gain et de la phase de la fonction de transfert de l'estimateur du flux rotorique

d'ordre complet en fonction de la variation de la vitesse de la machine asynchrone.






Nous trouvons qu'à basse vitesse la variation de la valeur de la résistance statorique ou

de l'inductance mutuelle change l'amplitude du flux rotorique estimé. Tandis qu'à haute

vitesse c'est la variation de la valeur de l'inductance statorique ou également la variation de la

valeur de l'inductance mutuelle qui modifie l'amplitude du flux rotorique estimé. Sa phase est

affectée plutôt à basse vitesse par la variation de ces paramètres. Par contre, les variations des

valeurs de l'inductance ou de la résistance rotorique n'apportent presque aucun problème.

I.2.6 Observateurs de flux en boucle fermée

Plusieurs auteurs ont proposé des estimateurs de flux rotorique en boucle fermée basés

sur la combinaison de deux estimateurs de flux rotorique en boucle ouverte. Le flux estimé

par le premier estimateur est comparé avec celui estimé par le deuxième estimateur. Ensuite,

l'erreur résultante est traitée par un correcteur linéaire ou non linéaire [Ver88-1], [Jan93-2],

[Jan94-1] qui force le flux estimé à converger vers la référence. Dans la littérature on

différencie trois types de combinaisons :


22

• Combinaison du modèle en courant et du modèle en tension [Jan93-1], [Jan93-2],

[Jan94-1], [Jan94-2] figure ( I-9-a).

• Combinaison entre la méthode d'élimination et le modèle en tension [Jan93-2],

[Jan94-1] figure ( I-9-b).

• Combinaison entre la méthode d'élimination et le modèle en courant [Jan93-2],

[Jan94-1], figure ( I-9-c).

ssIαβ

ssVαβ

srαβϕ+

- rω

Modèle en courant C

Modèle en tension

srαβϕ

ε ssIαβ

srαβϕ

+

-

rω

Méthode d’élimination C

Modèle en tension

srαβϕ

εs

sVαβ

ssIαβ

srαβϕ+

-

rω

Méthode d’élimination C

Modèle en courant

srαβϕ

εs

sVαβ

a) combinaison du modèle en courant avec le modèle en tension

b) combinaison entre la méthode d’élimination et le modèle en tension

c) combinaison entre la méthode d’élimination et le modèle en tension

Figure I-9 Estimateurs de flux rotorique en boucle fermée.

Ces combinaisons peuvent améliorer la performance des estimateurs en boucle ouverte

en résolvant quelques uns des problèmes qu'ils posent, comme par exemple, le problème de la

divergence due aux intégrateurs purs du flux estimé en boucle ouverte. Il faut par contre noter

que l'utilisation d'un contrôleur rend le temps de réponse du système dépendant de la vitesse.

Un estimateur en boucle fermée, basé sur le modèle de Gopinath (I.2.24) amélioré, a

été proposé dans [Kim01-2], [Kim02-1]. Les auteurs ont combiné le modèle en courant avec

celui en tension en prenant la relation (I.2.23) pour estimer le flux rotorique ˆ srαβϕ :

( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )−− − −= − +F pjs s s s

r r vm r cm r cmF p e ϕαβ αβ αβ αβϕ ϕ ϕ ϕ (I.2.23)

2

2( ) =+ +p i

pF pp K p K

(I.2.24)

où

_ˆ sr cmαβϕ est le flux rotorique estimé donné par l'estimateur basé sur le modèle en

courant.


23

_ˆ sr vmαβϕ est le flux rotorique estimé donné par l'estimateur basé sur le modèle en

tension.

( )F pϕ est la phase de la fonction F(p).

Modèle en tension

Modèle en courant

F(p) e -jϕ F(p)

ωr

ssIαβ _ˆ s

r cmαβϕ

_ˆ sr vmαβϕ

- +

+ +

ˆ srαβϕ

ssVαβ

Figure I-10 Estimateur de flux rotorique, en boucle fermée, basé sur le modèle de Gopinath amélioré.

Bien que cet estimateur améliore la dynamique du système et diminue la sensibilité à

la variation des paramètres, il requiert encore une fois, la connaissance de la vitesse de la

machine.

Les méthodes d'estimation (qu'elles soient en boucle ouverte ou en boucle fermée),

proposées ci-dessus, ont toutes un ou deux des inconvénients liés aux problèmes suivants :

• La nécessité de connaître la vitesse.

• La sensibilité à la variation des paramètres de la machine asynchrone.

Pour essayer de résoudre le dernier problème, certains chercheurs ont proposé

l'identification en ligne des paramètres. Citons par exemple [Sch89-1], [Vel89-1] , [Kub92-1],

[Kan93-1], [Kub93-1], [Kub93-2], [Kan95-1], [Vel95-1], [Zhe95-1], [Bla96-2], [Har96-1],

[Kub96-1], [Shi96-1], [Kan97-1], [Vel98-1], [Kub99-1], [Vel01-1], [Vel01-2]. Pourtant,

l'adaptation en ligne des paramètres, en plus de sa complexité, ne rend pas la technique

d'estimation parfaitement indépendante de la variation de ces paramètres. De plus, ces

techniques d'estimation dépendent de l'excitation fondamentale de la machine, ce qui pose

toujours problème pour les basses vitesses jusqu'à l'arrêt [Deg98-1].


24

I.3 Observateurs basés sur l'estimation de flux et de la vitesse

Les estimateurs analysés dans la section précédente vont être améliorés ici pour

estimer la vitesse de la machine asynchrone.

Ces techniques se divisent en quatre catégories : Addition d'un modèle mécanique à

l'estimateur de flux, utilisation de deux estimateurs de flux dans un système adaptatif avec un

modèle de référence (MRAS), estimation de la vitesse par un filtre de Kalman ou estimation

de la vitesse par des technique basées sur la connaissance de la force contre électromotrice

(f.c.e.m.).

I.3.1 Estimation de la vitesse à l'aide d'un modèle mécanique

Comme nous l'avons vu, la quasi-totalité des estimateurs de flux rotorique requièrent

la mesure de la vitesse de rotation.

Nous pouvons employer l'équation du couple électromagnétique (I.2.25) et l'équation

mécanique (I.2.26) pour modéliser un estimateur de vitesse à partir des courants statoriques et

du flux rotorique.

3 ( )2

= −s s s se r s r s

r

MC pp I IL α β β αϕ ϕ (I.2.25)

− =e rC C JpΩ (I.2.26)

Ensuite la vitesse estimée est réintroduite dans un des estimateurs du flux rotorique

mentionnés ci-dessus à la place de la vitesse mesurée (de préférence, en utilisant le modèle en

courant car cet estimateur ne dépend pas des tensions statoriques dont la valeur efficace est

faible à basse vitesse) (figure I-11) [Jan93-1], [Jan93-2].

ˆ srαϕ

ssIβ

ssIα

êC

ssIβ

ssIαModèle en

courant

ˆ3 . . ˆ2 r

MppL

1ˆ.J p

ˆ srβϕ

-

+ Ω

pp

rC

Figure I-11 Estimation de la vitesse de la machine asynchrone à l'aide d'un modèle mécanique et le modèle

en courant.


25

Le problème majeur de l'estimation de la vitesse en ajoutant le modèle mécanique est

que nous estimons la vitesse à partir des grandeurs électriques seules. La qualité de

l'estimation se dégrade alors dès qu'une perturbation apparaît, surtout à basse vitesse et à

l'arrêt [Deg98-1].

I.3.2 Estimation de la vitesse par un système adaptatif utilisant un modèle de référence (MRAS)

Le système adaptatif utilisant un modèle de référence (MRAS) est composé de deux

estimateurs de flux. Le premier, qui n'introduit pas la vitesse est appelé le modèle de référence

(généralement c'est un modèle en courant). Le deuxième est appelé le modèle ajustable

(généralement c'est un modèle en tension) (figure I-12). L'erreur, produit du décalage entre les

sorties de deux estimateurs, pilote un algorithme d'adaptation qui génère la vitesse estimée

ˆrω . Cette dernière est appliquée au modèle ajustable [Tam87-1], [Sch89-1], [Taj91-1],

[Kub92-1], [Sch92-1], [Jan93-1], [Jan93-2], [Kub93-1], [Pen93-1], [Taj93-1], [Kub94-1],

[Pen94-1], [Zhe95-1], [Bla96-1], [Bla96-2], [Kub96-1], [Lee98-1], [Zhe98-1], [Kub99-1],

[Zhe99-1], [Taj00-1], [Taj02-1].

ssIαβ

ssVαβ

ˆrω

_s

r refαβϕ

_s

r ajαβϕ

Modèle de Tension

Modèle de Courant

Algorithmed’Adaptation

ε

Figure I-12 Estimation de la vitesse de la machine asynchrone par la technique MRAS.

Le modèle de référence et le modèle ajustable sont présentés par les équations (I.2.27)

et (I.2.28).


26

Equation du modèle de référence

_ ( )s s sr rr ref s s s s

L Lp V R pL IM Mα β αβ σ αβϕ = − + (I.2.27)

Equation du modèle ajustable

_ _ _ˆs s s sr rr aj r aj s r r aj

r r

R MRp I jL Lαβ αβ αβ αβϕ ϕ ω ϕ= − + + (I.2.28)

L'erreur entre les sorties des estimateurs peut être sous plusieurs formes :

• Erreur entre le flux rotorique estimé par le modèle en courant et celui en tension

[Tam87-1], [Sch89-1].

• Erreur résultante de la Multiplication croisée entre les f.c.e.m. estimées [Pen93-1],

[Pen94-1], [Pen00-1]. Cette méthode a pour avantage l'élimination de l'intégration

pure du modèle en tension.

• Erreur résultante de la Multiplication croisée entre l'erreur de courants statoriques

et les flux rotoriques estimés [Kub92-1], [Kub93-1], [Kub93-2], [Kub94-1],

[Kub96-1], [Kub99-1].

Pour améliorer la dynamique d'estimation de la vitesse rotorique, Jansen et al. ont

proposé l'intégration d'un modèle mécanique dans l'observateur MRAS [Jan93-1]. Lee et al.

quant à eux, ont proposé d'adapter la résistance rotorique par un compensateur flou [Lee92-1].

Kim et al. ont proposé d'implanter un réseau de neurone pour l'estimation de la vitesse

[Kim01-1]. Même avec ces améliorations apportées, aucune technique basée sur MRAS ne

fonctionne correctement à vitesse nulle [Deg98-1].

La technique MRAS souffre des mêmes problèmes que les modèles qui la composent

(modèle en courant et modèle en tension), on peut relever en particulier sa sensibilité à la

variation des paramètres de la machine [Hol02-1]. C'est pourquoi, quelques chercheurs ont

proposé des techniques d'adaptation en ligne de la résistance statorique [Sch89-1], [Kub93-1],

[Kub93-2], [Zhe95-1], [Bla96-2], [Kub96-1], [Zhe98-1], ou l'adaptation en ligne de la

résistance rotorique [Taj00-1], [Taj02-1] en plus de la technique MRAS. Puisque le modèle en

courant est sensible à la constante de temps rotorique et que son adaptation en même temps

que l'on estime la vitesse est difficile, plusieurs techniques ont été proposées pour résoudre ce

problème. Par exemple, ajouter des composantes alternatives de faible amplitude et faible


27

fréquence aux courants statoriques [Kub93-2], [Kub93-3] ou attendre pour que la vitesse de la

machine se stabilise pendant une période de temps ensuite l'adaptation de la vitesse est arrêtée

pendant le temps d'adaptation de la constante de temps rotorique [Sch89-1].

I.3.3 Filtre de Kalman

Une des méthodes utilisées pour l'estimation du flux rotorique ou de la vitesse de la

machine asynchrone est le filtre de Kalman étendu (EKF) [Kim92-1], [Pen93-2], [Kim94-1],

[Kim95-1], [Shi00-1], [Zei01-1], [Shi02-1]. Le filtre de Kalman est un observateur non

linéaire en boucle fermée dont la matrice de gain est variable. A chaque pas de calcul, le filtre

de Kalman prédit les nouvelles valeurs des variables d'état de la machine asynchrone (courant

statoriques, flux rotorique et vitesse). Cette prédiction est effectuée soit en minimisant les

effets de bruit et les erreurs de modélisation des paramètres ou des variables d'état soit par un

algorithme génétique [Shi02-1]. Les bruits sont supposés blancs, Gaussiens et non corrélés

avec les états éstimés.

Pour estimer la vitesse en appliquant le filtre de Kalman nous rencontrons plusieurs

limitations.

• Dans la pratique, les bruits dans un système onduleur - machine sont colorés,

c'est pourquoi la minimisation des erreurs ne peut être garantie [Deg98-1].

• L'observateur basé sur le filtre de Kalman ne résout pas le problème

d'estimation de flux ou de vitesse rotorique dans les basses vitesses ou à l'arrêt

[Deg98-1].

• Cette méthode étant basée sur le même modèle d'observateurs de flux, elle

reste sensible aux variations des paramètres [Deg98-1].

• L'algorithme du filtre de Kalman est un algorithme récursif et demande des

calculs de matrices inverses, ce qui augmente énormément le temps de calcul

[Deg98-1], [Har98-1].


28

I.3.4 Autres techniques basées sur les f.c.e.m.

D'autres techniques d'estimation de la vitesse de rotation du rotor à base d'observateurs

ont été proposées. En général, ces méthodes donnent la vitesse rotorique a partir de

l'estimation de la fréquence statorique et de la fréquence de glissement [Nak88-1], [Ben92-1],

[Bon95-1], [Lee96-1], [Zha96-1], [Lee97-1], [Wan03-1]. Dans la majorité de ces articles, la

fréquence statorique est estimée à partir de la dérivée de la fonction Arctg de l'angle du flux

statorique ou via une boucle à verrouillage de phase (PLL). Ensuite, après avoir écrit les

équations de la machine dans un référentiel lié au rotor, nous pouvons estimer la fréquence de

glissement en calculant la dérivée de la fonction Arctg de l'angle du flux rotorique. Dans la

plupart des cas, le problème principal posé par ces techniques est l'utilisation de l'intégration

pour obtenir soit le flux statorique soit le flux rotorique. Et, puisque le gain de la fonction

intégrale à basse fréquence est très grand voire infini à la fréquence zéro, ces techniques ne

sont pas bonnes en basse vitesse [Bon95-1].

D'autres algorithmes, qui ne se classent dans aucune des catégories mentionnées ci-

dessus ont été proposés. Dans [Shi96-1], [Shi96-2], [Shi96-3], nous trouvons que la vitesse

rotorique est estimée à partir des équations de régime permanent de la machine asynchrone, ce

qui limite le domaine d'application. Vélez-Reyes et al. proposent une méthode récursive pour

estimer la vitesse rotorique à partir des courants et tensions statoriques [Vel89-1]. Cette

méthode est valable seulement pour des applications où la vitesse varie lentement [Deg98-1].

Dans [Sch98-1], les auteurs ont profité du fait que les bornes de la machine sont court-

circuitées pendant une petite période par le bus continu de l'onduleur (l'état 000 de l'onduleur).

En étudiant la dérivée des courants statoriques, ils calculent l'angle de flux rotorique. Comme

cette technique est de nature discrète, un filtre de Kalman estime l'angle de flux rotorique

pendant la période où les bornes de la machine ne sont pas court-circuitées. Cette méthode

comme les autres, dépend principalement de la f.c.e.m dont la valeur est faible dans le

domaine des basses fréquences : elle ne convient pas pour les basses vitesses ou à l'arrêt.

Comme nous avons vu ci-dessus, toutes les méthodes d'estimation de la vitesse du

rotor ont deux inconvénients :

• Elles ne sont pas adaptées pour les basses vitesses.

• Elles sont, dans leur majorité sensibles à la variation des paramètres de la machine

asynchrone.


29

Nous allons voir dans la prochaine section d'autres méthodes d'estimation de la vitesse

du rotor de la machine. Elles sont basées sur la possibilité d'estimer la position des saillances

présentes dans la machine asynchrone. Nous allons constater que la recherche de la position

de la saillance va réduire la sensibilité à la variation des paramètres sur les algorithmes

d'estimation.

I.4 Estimation du flux, de la position et de la vitesse basée sur l'estimation de la position des saillances

Bien que les machines asynchrones soient conçues pour être symétriques et ne doivent

pas comporter de saillances, il est presque impossible de les construire sans qu'un type de

saillances ne soit présent. C'est en général, à cause des imprécisions de construction (comme

l'excentricité), l'existence des encoches rotoriques et la phénomène de saturation. Les

saillances présentes dans une machine introduisent une variation spatiale des paramètres

(résistance ou inductance), et permettent au courant ou à la tension de contenir des

informations sur la position de ces saillances.

La plupart de ces techniques seront discutées dans cette section. Cependant, les

explications relatives à la présence de ces saillances, au modèle de la machine, aux fréquences

observées et à d'autres aspects, seront abordées plus en détail dans le chapitre II.

I.4.1 Estimation de la position des saillances par filtrage adaptatif et FFT

Quand une tension est appliquée à une machine asynchrone présentant des saillances,

un courant contenant des fréquences dépendantes de la position des saillances sera induit.

Certains travaux de recherche proposent d'isoler ces fréquences en adoptant un filtrage

adaptatif et une transformée de Fourier rapide (FFT) [Hur94-1], [Fer96-1], [Fer97-1], [Ril97-

1], [Fer98-1], ou par un filtre adaptatif prédictif [Fer96-2]. Ces techniques sont appliquées

pour estimer la position des saillances dues aux encoches rotoriques et statoriques. Un grand

nombre d'encoches rotoriques par pôle donne une large séparation spectrale entre la fréquence

du fondamental et celle de la saillance.


30

L'avantage de cette technique est son indépendance vis-à-vis des paramètres de la

machine. La seule connaissance requise est le rang d'harmoniques de la saillance à "traquer".

Ce nombre ne varie pas avec les différentes conditions de fonctionnement de la machine.

Cette technique est limitée pour les raisons suivantes :

• Temps de calcul prohibitif en plus de la nécessité d'avoir un grand nombre de

points pour effectuer la FFT.

• Estimation discrète de la vitesse dépendant de la résolution de la FFT.

• Dans le domaine des basses vitesses, la séparation spectrale entre la fréquence du

fondamental et celle de la saillance se réduit jusqu'à devenir nulle à l'arrêt.

I.4.2 Estimation de la position des saillances à partir de la phase de la tension

En étudiant les effets des saillances sur la phase de la composante homopolaire de la

tension, la position du rotor ou du flux peut être estimée [Zin89-1], [Pro93-1], [Kre94-1],

[Jia97-1]. La composante homopolaire est obtenue en connectant le neutre d'une machine

connectée en étoile. Ensuite, la fréquence de la composante homopolaire de la tension est

calculée par un test de passage par zéro ou par une boucle à verrouillage de phase. Cette

fréquence nous donne des informations relatives à la position du rotor si les saillances

présentes dans la machine sont dues aux encoches rotoriques.

Dans le cas où les effets de saillances sont dus à la saturation, nous obtenons des

informations relatives à la position du flux dans l'entrefer. Un des inconvénients des méthodes

basées sur la saturation, est la nécessité de sursaturer la machine dans les conditions normales

d'opération, chose que l'on évite de faire habituellement.

Pour l'estimation de la position du rotor comme pour la position du flux, cette

technique ne dépend pas des paramètres de la machine.. Néanmoins, elle, comme celles

mentionnées auparavant, dépendent de l'excitation fondamentale de la machine. Donc, à basse

vitesse et à l'arrêt, la séparation spectrale et le niveau du signal, indispensables pour faire

fonctionner l'algorithme d'estimation, sont insuffisants [Deg98-1].


31

I.4.3 Estimation de la position des saillances basée sur un modèle non linéaire de la machine

Cuzner et al. ont proposé ce qu'ils ont appelé un modèle de codeur magnétique. Ce

modèle est un observateur en boucle fermée basé sur la modélisation de toutes les saillances

présentes dans la machine [Cuz90-1]. L'erreur entre la sortie de cet observateur et les tensions

et courants de la machine force l'estimation de la position du rotor ou du flux à converger vers

les valeurs correctes. Un inconvénient majeur de cette technique exige une identification

détaillée de chaque machine ce qui devient difficile dans le cas de saillances parasites.

I.4.4 Estimation de la position de saillances basée sur la méthode INFORM

Le principe de la méthode INFORM (INdirect Flux detection by Online Reactance

Measurement) proposée dans [Sch93-1], [Sch96-1], [Wol00-1], [Wol00-2], [Wol02-1] est

l'estimation de la position du flux, du rotor ou de sa vitesse en utilisant des saillances dues à la

saturation ou aux encoches rotoriques ouvertes [Wol02-1]. En appliquant des impulsions

périodiques de tension sur une courte durée aux bornes de la machine asynchrone et en

étudiant la variation du courant statorique, la position du flux, la position du rotor ou sa

vitesse peuvent être estimées.

La méthode INFORM a deux avantages sur les autres :

• Le fait d'appliquer un signal de test indépendant du fondamental rend

l'algorithme d'estimation opérationnel dans le domaine des basses vitesses, là

où les autres méthodes échouent.

• Elle est indépendante des paramètres de la machine.

Par contre, le fait de remplacer le fondamental par le signal de test et vis versa

perturbe la boucle de régulation du courant. Ceci rend l'estimation de nature discrète.


32

I.4.5 Estimation de la position des saillances par l'injection d'un signal à haute fréquence

En analysant toutes les techniques d'estimation de la position du flux, du rotor ou de la

vitesse que nous avons discutées, nous trouvons que pour avoir une estimation sans capteur

robuste, trois conditions doivent être validées :

• Une excitation permanente indépendante de l'excitation fondamentale est

nécessaire pour avoir une estimation dans le domaine des basses vitesses y

compris à vitesse nulle.

• L'algorithme d'estimation doit être basé sur des saillances modélisables

dépendantes de la position du rotor ou de celle du flux afin d'avoir une

estimation indépendante des paramètres de la machine asynchrone.

• Un traitement de signal robuste est indispensable pour extraire la position du

rotor ou du flux (ou bien encore d'extraire la vitesse) en ligne et avec le moins

de perturbations.

Une technique qui valide ces trois conditions a été proposée dans [Jan93-2]. Cette

technique, dont le schéma est présenté sur la figure ( I-13), est basée sur l'injection d'un signal

à haute fréquence dans la machine superposé au signal fondamental d'alimentation

fondamentale de la machine. Si la machine présente des saillances, le signal résultant de

l'injection contient des informations sur la position du rotor ou du flux.

Régulateursde courant

Onduleur

Filtre

MAS

++

- ε

Traitement du signalr r ω θ ˆ , ˆ rr ωθ , +

*

_s

s cVαβ

*ssIαβ

*ssVαβ

ssVαβ

ssIαβ

Figure I-13 Schéma du principe de la méthode d'estimation de la position de rotor par l'injection d'un signal à haute fréquence.


33

Cette technique sera détaillée au cours de cette thèse.

I.5 Conclusion

Les points qui ressortent de l'analyse faite dans ce chapitre sont les suivants :

• Les estimateurs basés sur le modèle de la machine asynchrone sont sensibles à la

variation des paramètres de la machine.

• Les estimateurs basés sur l'excitation fondamentale ou sur la f.c.e.m. échouent

dans le domaine des basses vitesses.

• La recherche de la position des saillances résout le problème de la sensibilité à la

variation des paramètres de la machine asynchrone.

• Une excitation permanente et indépendante de l'excitation fondamentale de la

machine résout le problème de l'estimation dans le domaine des basses vitesses et

de l'arrêt.

• Pour n'importe quelle technique d'estimation, un traitement du signal robuste

nécessitant un temps de calcul raisonnable doit être utilisé pour extraire la vitesse

de la machine.

Dans le cadre de cette thèse, nous allons nous intéresser à cette technique d'estimation

mais tout d'abord nous devons pouvoir modéliser les saillances d'une machine asynchrone

susceptibles de nous renvoyer un signal suite à une excitation particulière. Ceci fait l'objet du

chapitre II.


34

CHAPITRE II – THEORIE DES SAILLANCES ET VECTEURS TOURNANTS

CHAPITRE II - THEORIE DES SAILLANCES ET VECTEURS TOURNANTS



37

II.1 Introduction

Nous avons vu au premier chapitre que pour estimer la position du rotor à basse

vitesse et indépendamment des paramètres de la machine trois conditions sont

indispensables :

1- La présence de saillances dépendantes de la position du rotor ou du flux dans la

machine.

2- Une excitation permanente indépendante de l'alimentation fondamentale de la

machine.

3- Un traitement du signal robuste afin de pouvoir extraire les informations sur la

position du rotor [Lor00-1].

Ce chapitre se divise en deux parties. Dans la première, nous définissons les saillances

et nous présentons leurs différentes origines. Dans la deuxième partie, nous développons les

méthodes pour injecter un signal dans la machine et nous analysons son influence quand la

machine asynchrone présente des saillances. Nous détaillerons la partie de traitement du

signal dans le chapitre III.

II.2 Origine des saillances

Nous appellerons effet de saillance ou plus simplement saillance toute anisotropie vue

du stator qu'elle soit d'origine électrique ou magnétique.

Ces saillances peuvent être classées selon deux points de vue. Nous pouvons les

classer selon leur nature en deux catégories ; les saillances "naturelles" (saillances dues aux

encoches rotoriques, saturation…) et les saillances "artificielles" (saillances dues aux

modifications apportées au rotor). Nous pouvons également les classer selon leurs origines ;

les saillances qui dépendent de la position du rotor (saillances dues aux encoches rotoriques,

aux modifications apportées au rotor, à l’excentricité dynamique…) et les saillances

indépendantes de la position du rotor (saillances due à la saturation des dents et des cales

statoriques ou rotoriques, à l’excentricité statique…).


38

Dans cette section nous allons présenter les différentes formes de ces saillances. Nous

allons ainsi distinguer celles qui peuvent être exploitables pour l'estimation de la position du

rotor.

II.2.1 Saillances dues aux encoches rotoriques et statoriques

Lorsque la machine tourne, la position relative entre les encoches statoriques et

rotoriques cause une variation de perméance dans l’entrefer [Lor00-1]. Cette variation de

perméance traduit la position du rotor si deux conditions sont vérifiées [Tes99-1], [Tes02-1].

• Les encoches rotoriques sont ouvertes et leur nombre par paire de pôles est pair

[Fer97-1], [Tes03-1].

• Les barres rotoriques sont droites [Fer97-1], [Tes03-1].

Comme c'est la combinaison des encoches rotoriques et statoriques qui intervient, le

rang d’harmonique de la variation de perméance dans l’entrefer est égal à la différence entre

le nombre des encoches statoriques et rotoriques (II.2.1) [Deg98-1], [Bri00-1].

r sh N N= − (II.2.1)

Où Ns et Nr sont respectivement le nombre des encoches statoriques et rotoriques.

La vitesse de rotation de perméance est multiple de la vitesse mécanique de rotation du

rotor [Deg98-1], [Bri00-1].

.rsail

r s

NN N

ω = Ω−

(II.2.2)

Où ωsail et Ω sont respectivement la vitesse de rotation des saillances et la vitesse

mécanique de rotation du rotor.

Pour démontrer les deux dernières relations, nous développons suivant la

circonférence de la machine, un rotor, dont le nombre des encoches est 24, et un stator, dont le

nombre des encoches est 30 (figures II-1-a et II-1-b). Les rectangles noirs représentent les

encoches et les blancs représentent les dents. Nous superposons les deux structures du rotor et

du stator (figure II-1-c). Ce qui nous donne des lieux en noir présentant une perméance faible

et des lieux blancs présentant une perméance forte. Nous remarquons que la variation de

perméance s'est répétée 6 fois : c'est la différence entre le nombre des encoches statoriques et

celles rotoriques.


39

-a-

-b-

-c-

Figure II-1 a) Stator dont le nombre des encoches Ns=30.

b) Rotor dont le nombre des encoches Nr=24. c) Superposition du rotor sur le stator montrant la variation de la perméance due aux encoches statoriques et rotoriques dans l'entrefer.

Nous présentons sur les figures II-2, l'évolution de la variation de perméance quand

nous faisons tourner le rotor d'un pas d'encoche. Nous remarquons qu'une rotation d'un pas

d'encoche, c'est-à-dire 1/24 de tour du rotor, entraîne une rotation de 4/24 de tour de la

variation de perméance. Nous remarquons que la variation de perméance se déplace vers la

gauche tandis que le rotor se déplace vers la droite. Ainsi, la dernière formule nous permet

aussi de préciser la direction du mouvement de perméance. Pour valider ces remarques

apportées de la figure ( II-2), nous appliquons la formule (II.2.2) et nous trouvons : ωsail=-4Ω.


40

∆θr=0

∆θr=1/5 de pas d'encoche





Déplacement de la perméance Déplacement du Rotor Figure II-2 Evolution de la variation de perméance due aux encoches statoriques et rotoriques dans

l'entrefer quand le rotor tourne d'un pas d'encoche (Ns=30, Nr=24).


41

Par conséquent, nous pouvons dire qu'une des différences importantes entre les

saillances dues aux encoches rotoriques et les autres saillances est caractérisée par un grand

rang d'harmonique [Tes99-1].

II.2.2 Saillances dues aux excentricités

Un rotor excentrique cause également des variations de la perméance au niveau de

l'entrefer de la machine asynchrone [Dix95-1], [Bar97-1], [Deg98-1], [Lor00-1].

L'excentricité est un défaut de construction ou d'assemblage qu'il est difficile de découvrir s'il

n'y a pas de problèmes de fonctionnement de la machine. A cause de problèmes mécaniques

on essaye de l'éviter. Si ce type de saillances ne peut être utilisé pour l'estimation de la

position du rotor mais il a des conséquences sur l'algorithme d'estimation.

L'excentricité a lieu quand les axes géométriques du stator et du rotor ne coïncident

pas. Quand l'axe du rotor est fixe par rapport à l'axe du stator, on dit que le rotor présente une

excentricité statique (figure II-3-a) et quand il tourne autour du centre du stator on dit qu’il

présente une excentricité dynamique (figure II-3-b) [Bar97-1], [Ril97-1], [Deg98-1], [Lor00-

1].

Axe de rotation Axe du rotor

Axe du stator Axe du rotor

Axe de rotation Axe du stator

L

d

-a- -b-

Figure II-3 a) Excentricité statique b) Excentricité dynamique.

Nous remarquons à travers la figure ( II-3-a) que l'excentricité statique n'introduit pas

de saillances dépendantes de la rotation du rotor. Au contraire les saillances résultantes de


42

l'excentricité dynamique tournent avec le rotor à la même vitesse. Sur la figure ( II-4) nous

montrons la variation sinusoïdale de la distance entre le stator et le rotor dans le cas de la

présence d'une excentricité dynamique (décalage d'axe d égal à 1mm et 2 mm

respectivement).

θr (rad)

L

π 2π

d=1mmd=2mm

1mm

2mm

Figure II-4 Variation de l'entrefer en fonction de la position du rotor dans le cas de l'excentricité

dynamique.

II.2.3 Saillances dues à la saturation

La saturation dans la machine asynchrone est due en général au flux principal créé par

le courant magnétisant et au flux de fuite créé par les courants des encoches [Jan96-1].

Cette saturation peut être considérée comme équivalente à l'augmentation de l'entrefer

à l'endroit saturé. Cette augmentation d’entrefer crée une saillance qui ressemble au cas de

l’excentricité dynamique [Bri01-1]. En estimant la position de cette saillance, nous pouvons

déterminer la position du vecteur flux principal puisqu'il est aligné avec elle. Ceci est valable

dans le cas d'encoches ouvertes ou semi-ouvertes [Jan96-1].

II.2.4 Saillances artificielles (asymétrie introduite au rotor)

Certains chercheurs proposent d’introduire une asymétrie au rotor dès la fabrication de

la machine.

Il y a plusieurs façons de créer cette asymétrie. Nous allons présenter trois d'entre

elles. La première méthode pour introduire l’asymétrie au rotor est de faire varier la largeur

d’ouverture des encoches rotoriques (figure II-5-a). L’inductance de fuite minimale


43

correspond à la plus grande ouverture, tandis que l’inductance de fuite maximale correspond à

la plus petite ouverture [Jan95-1], [Hol98-1], [Hol98-2], [Bri00-1], [Bri01-1].

La deuxième possibilité consiste à mettre une cage avec des barres de diamètre

variable dans un rotor double cage (le cage intérieure est symétrique) (figure II-5-b) (dans

cette figure nous ne montrons que la cage extérieure)). Cette variation des diamètres des

barres entraîne la variation de leurs résistances. Les courants à haute fréquence, induits

principalement dans la cage extérieure varient en fonction de résistances. C'est cette variation

de courant qui est à l'origine des variations de flux de fuite et qui est employée pour détecter

la position du rotor [Cil97-1], [Cil97-2], [Hol98-1], [Hol98-2].

La figure II-5-c montre le troisième type d'asymétrie qui est crée en faisant varier les

hauteurs des conducteurs dans les ouvertures des encoches rotoriques [Jan95-1], [Hol98-1],

[Hol98-2].

-a- -b- -c-

Figure II-5 Asymétrie créée en modifiant : a) L'ouverture des encoches rotoriques. b) Le diamètre des barres. c) La hauteur des conducteurs dans les encoches rotoriques. (ces trois rotors sont ceux d'une machine à deux paires de pôles).

Dans ces trois types d’asymétrie, une variation "sinusoïdale" égale à un pas polaire est

introduite. La fréquence de la variation de l’inductance est donc égale à deux fois la fréquence

électrique de rotation.

Puisque nous ne pouvons pas introduire des modifications au rotor dès sa fabrication

et pour tester et améliorer l’algorithme de commande sans capteur de la machine avec les

moyens disponibles dans notre laboratoire, nous avions deux solutions : La première est de


44

simuler des saillances sur une machine réelle mais qui n'en comporte pas [Alr03-2]. Ce choix

nous permet de contrôler le nombre, le niveau et la nature des saillances. Il nous permet de

mieux étudier la partie de traitement du signal et d'analyser la faisabilité de l'algorithme

d'estimation et de commande (machine 1 de l’annexe E). La deuxième est de réaliser des

petites modifications (avec les moyens dont nous disposons au laboratoire) au rotor pour

pouvoir tester la faisabilité de l'algorithme avec des faibles signaux créés par petites

modifications. Ces modifications sont introduites sur trois formes différentes :

1- Modification symétrique du rotor sous une forme de deux rainures à 180°

électriques (machine 2 de l’annexe E).

2- Rupture d'une barre rotorique par le perçage d’un trou au niveau de la jonction

d'une barre de la cage avec l'anneau de court-circuit (machine 3 de l’annexe E).

Ceci introduit donc également une asymétrie [bil01-1], [Alr03-1].

3- Aimant collé sur le côté d'un anneau. Ceci crée un champ magnétique tournant

à la même vitesse que le rotor (machine 4 de l'annexe E).

C'est avec ces quatre configurations que nous allons réaliser notre étude

expérimentale.

II.3 Modèle de la machine asynchrone dans le domaine des hautes fréquences

Comme nous avons vu au premier chapitre, les méthodes d’estimation de la position

du flux ou du rotor basées sur le signal d’alimentation de la machine ne sont valables ni à

l’arrêt ni pour les basses vitesses. C’est pourquoi il est nécessaire d'injecter un signal

supplémentaire indépendant de l’alimentation fondamentale dans la machine. Ce signal doit

être permanent pour fournir l'information en continu sur la position du flux ou du rotor dans

toute la période de fonctionnement de la machine. Il doit également être faible de manière à

engendrer le moins de perturbations possibles (couple et pertes).

Pour choisir l’amplitude et la fréquence du signal injecté, il faut prendre en compte

plusieurs points :

• La limite inférieure de la fréquence du signal injecté permettant une séparation

spectrale suffisante entre la fréquence du signale injecté et celle de l’alimentation

fondamentale.


45

• La limite supérieure de la fréquence du signal injecté permettant de limiter les

courants de Foucault d'un côté et de satisfaire le théorème de Shannon avec une

résolution acceptable du signal de l'autre côté 3.

• La limite inférieure de l’amplitude du signal injecté permettant d'avoir un rapport

signal sur bruit suffisant.

• La Limite supérieure de l’amplitude du signal injecté pour éviter d'accentuer la

saturation et de perturber le fonctionnement de la machine.

Ces choix de l’amplitude et de la fréquence du signal injecté dépendent beaucoup des

paramètres de la machine utilisée.

Etant donné la période d'échantillonnage utilisée dans nos routines de calcul au niveau

du DSP, nous avons trouvé qu'un signal de fréquence supérieure à 400 Hz devient

inexploitable. C'est pourquoi, nous avons choisi cette fréquence pour le signal injecté. Elle est

considérée comme une "haute fréquence" par rapport au fondamental de la machine à basse

vitesse.

Le fait d’injecter un signal à haute fréquence dans la machine nous permet d'employer

un modèle simplifié de la machine asynchrone dit "modèle dans le domaine des hautes

fréquences". Nous négligeons dans ce cas les résistances par rapport aux réactances.

La modélisation de la machine asynchrone dans ce domaine et dans un référentiel lié

au stator est décrite par les équations (II.2.3)-(II.2.6).

_

_

_

_

ss c

ss c

ss c

ss c

V p

V pα

β

α

β

ϕ

ϕ

⎧⎪⎨⎪⎩

≅

≅ (II.2.3)

_ _

_ _

0

0

s sr c r r c

s sr c r r c

p

p

α β

β α

ϕ ω ϕ

ϕ ω ϕ

⎧ ≅ +⎪⎨

≅ −⎪⎩ (II.2.4)

_ _ _

_ _ _

. .s s ss c s s c r c

s s ss c s s c r c

L I M I

L I MI

α α α

β β β

ϕ

ϕ

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩ (II.2.5)

_ _ _

_ _ _

s s sr c r r c s c

s s sr c r r c s c

L I MI

L I MI

α α α

β β β

ϕ

ϕ

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩ (II.2.6)

3 La résolution d'un signal est le nombre d'échantillons par période du signal


46

En tenant compte des équations des flux (II.2.6); (II.2.4) deviennent :

_ _ _ _

_ _ _ _

0 ( ) ( )

0 ( ) ( )

s s s sr r c s c r r r c s c

s s s sr r c s c r r r c s c

p L I MI L I MI

p L I MI L I MIα α β β

β β α α

ω

ω

⎧ ≅ + + +⎪⎨

≅ + − +⎪⎩ (II.2.7)

Le signal injecté étant sinusoïdal avec une fréquence et une amplitude constantes,

l'opérateur de Laplace p peut être remplacé par jωc ce que donne :

_ _ _ _

_ _ _ _

0 ( ) ( )

0 ( ) ( )

s s s sc r r c s c r r r c s c

s s s sc r r c s c r r r c s c

j L I MI L I MI

j L I MI L I MIα α β β

β β α α

ω ω

ω ω

⎧ ≅ + + +⎪⎨

≅ + − +⎪⎩ (II.2.8)

dont nous déduisons :

_ _

_ _

s sr c s c

r

s sr c s c

r

MI ILMI IL

α α

β β

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

(II.2.9)

En combinant les équations (II.2.9), (II.2.5) avec les équations (II.2.3), nous arrivons

aux expressions suivantes :

_ _

_ _

s s ss c c s s c

s s ss c c s s c

V j L I

V j L Iα σ α

β σ β

ω

ω

⎧ ≅⎪⎨

≅⎪⎩ (II.2.10)

Où :

2s

s s sr

ML L LLσ σ= − = (II.2.11)

Donc le modèle simplifié des tensions statoriques dans un référentiel lié au stator dans

le domaine des hautes fréquences est écrit :

_ _s s s

s c c s s cV j L Iαβ σ αβω≅ (II.2.12)

A partir d'un schéma ramené au stator comportant des fuites au stator et au rotor, nous

pouvons écrire l'équation des tensions statoriques dans le domaine des hautes fréquences :

_ _( ( ))s ss c c ls lr s c

lr

MV j L L IL Mαβ αβω≅ +

+ (II.2.13)

En comparant les deux équations (II.2.12) et (II.2.13) nous pouvons écrire :


47

( )ss ls lr

lr

ML L LL Mσ = +

+ (II.2.14)

Puisque, en général, l'inductance mutuelle dans une machine asynchrone est très

supérieure aux inductances de fuite, les équations (II.2.13) et (II.2.14) se simplifient de la

façon suivante :

_ _( )s ss c c ls lr s cV j L L Iαβ αβω≅ + (II.2.15)

ss ls lrL L Lσ ≅ + (II.2.16)

Des équations précédentes nous déduisons que les courants et les tensions statoriques

dépendent fortement de l'inductance ssLσ . Ainsi, afin d'obtenir un courant modulé par la

position du flux ou par la position du rotor, il faut que cette inductance varie de façon

significative avec l'une ou l'autre de ces positions.

Si la saillance est supposée sinusoïdale, d'une période égale à un pas polaire, nous

pouvons adopter le modèle de la machine synchrone à pôles saillants développé par Park

[Deg98-1]. La matrice des inductances statoriques transitoires, dans un référentiel particulier

lié à la position de la saillance, s'écrit alors :

00

edse

s eqs

LL

Lσ

σσ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(II.2.17)

Où

e eds qsL Lσ σ≠

Pour simplifier les études, nous transférons la matrice des inductances statoriques

transitoires (II.2.17) dans un référentiel lié au stator :

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )0sin( ) cos( ) sin( ) cos( )0

ee e e edss

s ee e e eqs

LL

Lσ

σσ

θ θ θ θθ θ θ θ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(II.2.18)

En développant la dernière équation nous obtenons la matrice suivante :

cos(2 ) sin(2 )2 2 2

sin(2 ) cos(2 )2 2 2

e e e e e eds qs ds qs ds qs

e es

s e e e e e eds qs ds qs ds qs

e e

L L L L L L

LL L L L L L

σ σ σ σ σ σ

σσ σ σ σ σ σ

θ θ

θ θ

⎡ ⎤+ − −+⎢ ⎥

⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −

−⎢ ⎥⎣ ⎦

(II.2.19)


48

En introduisant les notations de moyenne et de différence des inductances statoriques e

sLσ∑ et esLσ∆ tel que :

2

e eds qse

s

L LL σ σσ

+∑ = (II.2.20)

2

e eds qse

s

L LL σ σσ

−∆ = (II.2.21)

nous pouvons écrire la matrice d'inductances suivante qui modélise la saillance dans

un référentiel lié au stator :

cos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 )

e e es s s e s e

s e e es e s s e

L L LL

L L Lσ σ σ

σσ σ σ

θ θθ θ

⎡ ⎤∑ + ∆ ∆= ⎢ ⎥∆ ∑ −∆⎣ ⎦

(II.2.22)

Ce que nous venons de considérer est un cas particulier de saillances dont la période

est égale à un pas polaire. Mais pour un cas plus général, nous remplaçons le nombre 2 par un

nombre pair h que nous allons appeler le rang d'harmonique de saillance. Ce nombre peut être

positif, négatif ou nul. La forme générale de l'équation (II.2.22) est :

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

e e es s s e s e

s e e es e s s e

L L h L hL

L h L L hσ σ σ

σσ σ σ

θ θθ θ

⎡ ⎤∑ + ∆ ∆= ⎢ ⎥∆ ∑ −∆⎣ ⎦

(II.2.23)

Ce modèle peut servir pour décrire toute saillance, qu'elle soit liée à un flux tournant

au synchronisme ou qu'elle soit liée au rotor. C'est à ce dernier cas que nous nous intéressons

dans notre étude, l'angle eθ dans l'équation (II.2.23) sera remplacé par l'angle électrique rθ (la

position du rotor). La forme finale de l'équation (II.2.23) s'écrit alors :


e e es s s r s r

s e e es r s s r

L L h L hL

L h L L hσ σ σ

σσ σ σ

θ θθ θ

⎡ ⎤∑ + ∆ ∆= ⎢ ⎥∆ ∑ −∆⎣ ⎦

(II.2.24)

II.4 Excitation par un signal à haute fréquence

Le signal à haute fréquence que l'on injecte peut être de différents forme : salves

périodiques de tension (PBI), courant à haute fréquence ou tension à haute fréquence.


49

II.4.1 Injection des salves périodiques de tension

Deux façons d’injecter des salves périodiques de tension ont été proposées dans

[Sta98-1], [Sta99-1], [Sta01-1], [Tes02-2]. Dans la première méthode, une salve de courte

durée est, tout d’abord, superposée à la tension statorique ssVα . Ensuite, et après un quart de

période de l’alimentation fondamentale, une autre salve est superposée à la tension statorique ssVβ (figure II-6-a). Alors les salves seront appliquées sur une des deux phases toutes les

demi- périodes de l’alimentation fondamentale. Ensuite, les courants statoriques sont analysés

tous les quarts de la période de l’alimentation fondamentale afin d’en extraire la position du

rotor.

Pour diminuer la nature discrète de la première méthode, une autre méthode

d’injection des salves a été développée. La seule différence entre les deux méthodes c’est la

période de salve. Dans cette méthode une salve est appliquée sur la tension statorique ssVα

pour une période égale au quart de période de l’alimentation fondamentale. Ensuite, une autre

salve est appliquée sur la tension statorique ssVβ pour la même période et ainsi de suite (figure

II-6-b). La position du rotor peut être estimée, en analysant les courants statoriques.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.590° 90°

V αβs

s

V αβs

s

t[s] t[s]

-a- -b-

Figure II-6 a) Injection des salves périodiques de tension pour une courte durée. b) Injection des slaves périodiques de tension pour une longue durée.


50

Vu la nature discrète de ces méthodes d’injection, l'estimation sera de nature discrète

également. D’autre part, le fait d’injecter et d’arrêter l’injection du signal demande une

dynamique rapide pour extraire le signal exploitable sans le perturber par la dynamique des

filtres. Pour éviter ces perturbations, nous préférons, au cours de ce travail, injecter un signal

de nature continue.

II.4.2 Injection d'un courant à haute fréquence dans la machine

Le schéma général de cette méthode est montré sur la figure ( II-7). Un courant à haute

fréquence triphasé d'amplitude Ic et de fréquence ωc (II.2.25) est ajouté aux entrées des

régulateurs de courant dans un schéma de commande vectorielle. L'interaction entre le

courant à haute fréquence et les saillances présentes dans la machine (II.2.12), produit une

tension triphasée contenant des informations sur la position du rotor [Rib98-1], [Rib99-1].

*_

cj tss c cI I e ω

αβ = (II.2.25)

L’obstacle principal pour l'implantation de cette méthode vient de l'injection du signal

aux entrées des régulateurs de courant dont la bande passante est limitée. Nous avons alors

deux choix :

• Diminuer la fréquence injectée, et par conséquent diminuer la séparation spectrale

entre le courant injecté et le courant fondamental.

• Augmenter la bande passante des régulateurs de courant de plusieurs multiples de

la fréquence injectée [Ha97-1], [Rib98-1], [Rib99-1] (Car les régulateurs de

courant sont, en général, des filtres passes bas de premier ordre).

Régulateursde courant Onduleur MAS

- ε

Traitement du signal

+ *s

sIαβ

*

_s

s cIαβ

ssVαβ

*ssVα β

ssIαβ

,r rθ ωˆ ˆ,r rθ ωs

sVαβ

Figure II-7 Estimation de la position du rotor par l'injection du courant à haute fréquence.


51

Nous rappelons que les régulateurs de courant dans un schéma de commande

vectorielle sont implantés dans un référentiel lié au champ tournant. C'est pourquoi leurs gains

sont unitaires et leurs déphasages sont égaux à zéro pour l'alimentation fondamentale. Mais

pour les autres fréquences, malheureusement, ça ne sera pas le cas. C'est pourquoi le signal

injecté sera déphasé avant même d'être appliqué dans la machine. De plus, si les régulateurs

ont une bande passante plus large, ils deviennent sensibles aux bruits, particulièrement à celui

du découpage de la MLI, ce qui réduit la qualité du contrôle.

II.4.3 Injection d'une tension à haute fréquence dans la machine

La forme la plus simple du signal injecté est une tension sinusoïdale triphasée

équilibrée d'amplitude cV et de pulsation cω , superposée à l'alimentation fondamentale de la

machine. Cette méthode ne demande pas d'équipements supplémentaires pour effectuer

l'injection. En effet, il nous suffit d'ajouter les tensions *

_s

s cVαβ du signal à haute fréquence

(II.2.26) aux tensions *

_s

s fVαβ de l'alimentation fondamentale à la sortie des régulateurs de

courant. Ensuite, la tension résultante est appliquée aux bornes de la machine asynchrone via

un onduleur (figure II-8).

*_

cos( )sin( )

cc j tss c c c

c

tV V V e

tω

αβ

ωω

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎣ ⎦ 4 (II.2.26)

Régulateursde courant

Onduleur

Filtre

MAS

++

- ε

Traitement du signalr r ω θ ˆ , ˆ rr ωθ , +

*

_s

s cVαβ

*ssIαβ

*ssVαβ

ssVαβ

ssIαβ

Figure II-8 Injection d'une tension à haute fréquence superposé à l'alimentation fondamentale de la machine.

4 Par abus de notation, nous confondrons la représentation vectorielle d'un vecteur xαβ = [xα xβ]T avec la forme complexe xαβ= xα + j xβ.


52

C'est cette méthode que nous avons implantée au cours de ces travaux et que nous

allons détailler dans la suite de ce mémoire.

II.4.4 Courant résultant de l'injection d'un signal à haute fréquence

L'équation du courant dû à l'interaction entre la tension à haute fréquence injectée et la

saillance présente dans la machine peut être obtenue en combinant les équations (II.2.24),

(II.2.26) et (II.2.12). Nous obtenons alors l'équation suivante :

1_ _

1s s ss c s s c

c

I L Vjαβ σ αβω

−= (II.2.27)

Alors pour démontrer l'équation du courant du signal injecté nous devons calculer

l'inverse de la matrice des inductances statoriques

12 2 2 2

cos( ) sin( )1 0sin( ) cos( )0 1

e er rs s s

s e e e er rs s s s

h hL LLh hL L L L

σ σσ

σ σ σ σ

θ θθ θ

− − −⎡ ⎤⎡ ⎤∑ ∆= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ −∑ −∆ ∑ −∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(II.2.28)

Nous remarquons que l'inverse de la matrice des inductances statoriques se divise en

deux parties. La première est constante et proportionnelle à la moyenne des inductances

statoriques et la deuxième est modulée par la position du rotor et proportionnelle à la

différence des inductances statoriques.

Donc (II.2.27) devient :

_ 2 2 2 2

cos( ) cos( )sin( ) sin( )

e ec r cs c s c s

s c e e e ec r cc s s c s s

t h tV L V LIt h tj L L j L L

σ σαβ

σ σ σ σ

ω θ ωω θ ωω ω

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤∑ ∆= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−∑ −∆ ∑ −∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(II.2.29)

_ 2 2 2 2

cos( ) cos( )2 2

sin( ) sin( )2 2

e ec r cs c s c s

s c e e e ec s s c s s

c r c

t h tV L V LIL L L Lt h t

σ σαβ

σ σ σ σ

π πω θ ω

π πω ωω θ ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∑ ∆= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∑ −∆ ∑ −∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(II.2.30)

Pour simplifier, nous pouvons écrire l'équation finale du courant induit de l'injection

d'une tension à haute fréquence sous la forme générale suivante :

( ) ( )2 2

_c cp r cj t j h ts

s c cp cnI I e I eπ πω ϕ θ ω ϕ

αβ

− + − + += + (II.2.31)


53

où :

2 2

ec s

cp e ec s s

V LIL L

σ

σ σω∑

=∑ −∆

(II.2.32)

2 2

ec s

cn e ec s s

V LIL L

σ

σ σω∆

=∑ −∆

(II.2.33)

Les déphasages ϕ et ϕcp sont introduits pour tenir compte du déphasage dû aux filtres

mais également de celui entre la tension injectée et le fondamental.

Le courant de la porteuse comporte donc deux composantes :

• Composante directe dont l'amplitude cpI est proportionnelle à la moyenne des

inductances statoriques transitoires, à l'amplitude du signal injecté et inversement

proportionnelle à la fréquence du signal injecté. Cette composante n'est qu'un

vecteur tournant dans le même sens de rotation que la tension injectée. Elle est

constante et ne contient pas d'information sur la position du rotor (figure II-9).

• Composante inverse faible dont l'amplitude cnI est proportionnelle à la différence

des inductances statoriques transitoires, à l'amplitude du signal injecté et

inversement proportionnelle à la fréquence du signal injecté. Cette composante est

un vecteur tournant dans le sens inverse de celui de la tension injectée. C'est cette

composante qui nous intéresse puisqu'elle est modulée par la position du rotor

(figure II-9).

En analysant l'équation (II.2.33), nous remarquons que la composante inverse serait

égale à zéro si la machine ne présente pas de saillances, puisque, dans ce cas,

0esLσ∆ = . Il serait par conséquent impossible d'appliquer la méthode d'estimation de la

position du rotor par l'injection du signal à haute fréquence. D'où la nécessité de la

présence de saillances à des fins d'estimation.

Notons également, qu'en plus des deux composantes du courant de la porteuse, le

courant de la machine contient la composante fondamentale du courant de la machine.

L'amplitude du fondamental du courant est naturellement beaucoup plus grande que

les composantes que l'on cherche à traiter. Ceci pose des problèmes intéressants de

traitement de signal que nous aborderons dans la suite du mémoire.


54

β

α

_s

s cVαβ

( )2. r cj h t

cnI eπθ ω− +

( )2. cj t

cpI eπω −

cω

cωr chω ω−

Figure II-9 Vecteurs tournants (tension et courants) de la porteuse.

Pour une position constante du rotor, le vecteur de la composantes directe de la

porteuse trace un cercle dans un référentiel lié au stator tandis que le vecteur résultant des

deux vecteurs des composantes directe et inverse du courant de la porteuse (désormais, nous

l'appellerons le vecteur courant de la porteuse) trace un ellipse dans le même référentiel

(figure II-10).

α

β

0cθ =30cθ =

60cθ =

90cθ =

120cθ =

150cθ =180cθ =210cθ =

240cθ =

270cθ =

300cθ =

330cθ =

Figure II-10 Ellipse tracée par le vecteur courant de la porteuse pour h=2, φ=0° et θr=0° (angle électrique du rotor).

En traçant le vecteur courant de la porteuse pour différentes positions du rotor, nous

obtenons une ellipse qui tourne avec la rotation du rotor. Le nombre de rotations de l'ellipse

est un multiple h du nombre de rotations du rotor (figure II-11). Ainsi, en traçant les

composantes α, β du courant de la porteuse nous obtenons les informations suivantes :

• présence ou pas des saillances dans la machine.

• nombre et configuration des saillances présentes dans la machine (nous verrons la

différence plus loin dans ce chapitre)


55

• rang d'harmonique h.

α

β

0rθ =

30rθ =

60rθ =90rθ =120rθ =

150rθ =

180rθ =

210rθ =

240rθ =

270rθ =

300rθ =

330rθ =

α

β

0rθ =

15rθ =

30rθ =45rθ =60rθ =

75rθ =

90rθ =

105rθ =

120rθ =

135rθ =

150rθ =

165rθ =

-a- -b- Figure II-11 Ellipse tournante tracée pour différentes positions électriques du rotor.

a) h=2, φ=0° b) h=4, φ=0°.

Notons qu'à travers la figure II-11, il n'apparaît pas que l'ellipse (b) tourne deux fois

plus vite que l'ellipse (a). Il faut donc également prêter attention à la variable paramétrique

temporelle du tracé.

Nous pouvons faire d'autres transformations comme ne tracer que la composante

inverse de la porteuse dans un référentiel lié au stator. Ce qui nous donne un cercle pour une

position fixe du rotor ( II-12-a). Nous pouvons également tracer la composante inverse de la

porteuse dans le référentiel RF(-fc) 5. Nous obtenons un vecteur tournant à une fréquence h

fois plus grande que la fréquence électrique de rotation du rotor 6 (figure II-12-b). Cependant,

ces transformations n'apportent pas d'informations supplémentaires sur les saillances dans le

cas simple d'une seule saillance présente dans la machine. Elles se révèleront nécessaires par

la suite.

5 Voir nomenclature. 6 Nous appelons fréquence de rotation du rotor, le nombre de tours par seconde que fait le rotor.


56

α

β

α

β

30rθ =

30rθ =

-a- -b-

Figure II-12 a) Cercle tracé par la composant inverse du courant de la porteuse dans un référentiel lié au stator pour une position fixe du rotor (θr=30°, h=2, φ=0°).

b) Vecteur, lieu de la composant inverse du courant de la porteuse dans le référentiel RF(-fc) pour une position constante du rotor (θr=30°, h=2, φ=0°) (angles électriques).

Pour l'étude précédente la tension injectée était un vecteur tournant dans la même

direction que la fondamental. Nous pouvons aussi exciter la machine par un vecteur tension

tournant dans le sens inverse de rotation du fondamental (II.2.34).

*_

cos( )sin( )

cc j tss c c c

c

tV V V e

tω

αβ

ωω

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥−⎣ ⎦

(II.2.34)

Dans ce cas le courant de la porteuse prendra la forme suivante :

_ 2 2

2 2

cos( )2

sin( )2

cos( )2.

sin( )2

e cs c s

s c e ec s s

c

e r cc s

e ec s s

r c

tV LIL L t

h tV LL L h t

σαβ

σ σ

σ

σ σ

πω

πω ω

πθ ω

πω θ ω

⎡ ⎤+⎢ ⎥∑= +⎢ ⎥

∑ −∆ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ +⎢ ⎥∆

+ ⎢ ⎥∑ −∆ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

(II.2.35)

Et en notation complexe, nous aurons :

( ) ( )2 2

_c cp r cj t j h ts

s c cp cnI I e I eπ πω ϕ θ ω ϕ

αβ

− + + + + += + (II.2.36)

Comme le cas de l'injection d'un vecteur tension direct, le courant de la porteuse

résultant a deux composantes. La première est une composante inverse ne contenant pas

d'information sur la position du rotor. L'amplitude de cette composante Icp est proportionnelle

à la moyenne des inductances statoriques transitoires. La deuxième est une composante

directe modulée par la position du rotor et son amplitude Icn est proportionnelle à la différence

des inductances statoriques transitoires. Nous rappelons que dans le cas de l'injection d'un


57

vecteur de tension directe, c'était la composante inverse qui contenait dans sa phase

l'information sur la position du rotor.

Pour comparer les deux méthodes d'injection nous traçons le lieu du vecteur courant

de la porteuse pour plusieurs positions du rotor. Nous remarquons que l'extrémité de ce

vecteur décrit également une ellipse pour une position fixe du rotor. Cette ellipse est

parcourue dans le sens inverse que celui du cas précédent. Cependant, quand le rotor tourne,

elle tourne alors dans le même sens que celui du rotor (figure II-13).

Par conséquent, l'injection, soit d'un vecteur tension direct, soit d'un vecteur tension

inverse, dans le cas où la machine présente une seule saillance, conduit au même résultat, si

l'on s'en tient à la trace du vecteur courant de la porteuse.

α

β

0rθ =

30rθ =

60rθ =90rθ =120rθ =

150rθ =

180rθ =

210rθ =

240rθ =

270rθ =

300rθ =

330rθ =

Figure II-13 Ellipse tracée par le vecteur courant de la porteuse pour plusieurs positions du rotor, dans le

cas d'une excitation par un vecteur tension inverse (h=2, φ=0°).

La différence intéressante entre les deux cas repose dans la séparation spectrale entre

la composante exploitable (la composante qui contient l'information sur la position du rotor)

et le fondamental. Bien que, cette séparation spectrale dans le cas de l'excitation par un

vecteur tension inverse soit supérieure à celle dans le cas d'une excitation par un vecteur

tension direct, le signal résultant peut être plus perturbé quand on se rapproche de la

fréquence d'échantillonnage.

Nous montrons cette notion par deux analyses spectrales théoriques du courant

statorique de la machine présentant une seule saillance pour deux cas d'excitation (II.2.31),

(II.2.36), présentées par les figures ( II-14).


58

fondamental

Composantedirecte

Composante inverse

Séparation spectrale

Haute vitesse

fondamental Composante

directe Composante inverse

Séparation spectrale

Haute vitesse

Fs/2 -Fs/2 -Fs/2 Fs/2 0 0

-a- -b-

Figure II-14 Analyse spectrale théorique du courant. a) Cas d'une excitation par un vecteur tension directe. b) Cas d'une excitation par un vecteur tension inverse.

Donc le choix entre les deux méthodes dépend de la fréquence d'échantillonnage et de

la gamme de vitesse de l'application. Puisque ce travail concerne plutôt le domaine des basses

vitesses et pour diminuer la perturbation du signal, nous avons choisi l'excitation par un

vecteur tension directe.

II.4.5 Courant résultant de l'injection d'un signal à haute fréquence dans le cas où plusieurs saillances sont présentes dans la machine

Malheureusement, le cas d'une seule saillance présente dans la machine est très rare en

pratique, mais sa seule prise en compte est suffisante quand il y a une saillance dominante

[Deg98-1].

Pour simplifier l'étude, considérons que la machine présente deux saillances

dépendantes de la position du rotor. Les matrices de ces saillances s'écrivent, dans un

référentiel synchronisé avec les saillances, comme suit :

11

1

00

edse

s eqs

LL

Lσ

σσ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, 22

2

00

edse

s eqs

LL

Lσ

σσ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Transformant ces matrices dans un référentiel lié au stator, nous obtenons :

1 1 1 1 11

1 1 1 1 1


⎡ ⎤∑ + ∆ ∆= ⎢ ⎥∆ ∑ −∆⎣ ⎦

e e es s s r s r

s e e es r s s r

L L h L hL

L h L L hσ σ σ

σσ σ σ

θ θθ θ

(II.2.37)


59

2 2 2 2 22

2 2 2 2 2


⎡ ⎤∑ + ∆ ∆= ⎢ ⎥∆ ∑ −∆⎣ ⎦

e e es s s r s r

s e e es r s s r

L L h L hL

L h L L hσ σ σ

σσ σ σ

θ θθ θ

(II.2.38)

Où :

1 11 2

e eds qse

s

L LL σ σσ

+∑ = , 1 1

1 2

e eds qse

s

L LL σ σσ

−∆ = , 2 2

2 2

e eds qse

s

L LL σ σσ

+∑ = et 2 2

2 2

e eds qse

s

L LL σ σσ

−∆ =

Nous obtenons la matrice des inductances statoriques en faisant la somme de deux

matrices d'inductances statoriques (II.2.37) et (II.2.38).

1 11

1 1

2 22

2 2

cos( ) sin( )1 0sin( ) cos( )0 1


⎡ ⎤⎡ ⎤= ∑ + ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ ∆ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

r rs e es s s

r r

r res

r r

h hL L L

h h

h hL

h h

σ σ σ

σ

θ θθ θ

θ θθ θ

(II.2.39)

Où

1 1 2 21 ( )2

e e e e es ds qs ds qsL L L L Lσ σ σ σ σ= + + +∑ , 1 1 1

1 ( )2

e e es ds qsL L Lσ σ σ∆ = − et 2 1 1

1 ( )2

e e es ds qsL L Lσ σ σ∆ = − .

Et l'inverse de la matrice des inductances statoriques s'écrit

( )1

2 2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

1 010 12 cos ( )

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

− ⎡ ⎡ ⎤= ⎢ ⎢ ⎥

− ∆ −∆ − ∆ ∆ − ⎣ ⎦⎣

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤−∆ −∆ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦

∑∑

s es se e e e e

s s s s s r

r r r re es s

r r r r

L LL L L L L h h

h h h hL L

h h h h

σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ

θ

θ θ θ θθ θ θ θ

(II.2.40)

En excitant la machine par un vecteur tension directe (II.2.26) nous obtenons un

courant de la porteuse (II.2.41) comportant plus de termes que dans le cas d'une seule

saillance.

11_

1

22

2

cos( ) cos( )sin( ) sin( )

cos( )sin( )

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤∑ ∆= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤∆+ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

e ec r cs c s c s

s c e ec r cc cs s

er cc s

er cc s

t h tV L V LI j jt h tL L

h tV Ljh tL

σ σαβ

σ σ

σ

σ

ω θ ωω θ ωω ω

θ ωθ ωω

(II.2.41)

où

( )2 2 21 2 1 2 1 22 cos ( )= −∆ −∆ − ∆ ∆ −∑e e e e e e

s s s s s s rL L L L L L h hσ σ σ σ σ σ θ

Et en notation complexe :


60

1 1 2 2( ) ( ) ( )2 2 2

_ 1 2

− + − + + − + += + +c cp r c r cj t j h t j h ts

s c cp cn cnI I e I e I eπ π πω ϕ θ ω ϕ θ ω ϕ

αβ (II.2.42)

où

∑=

ec s

cp ec s

V LIL

σ

σω, 1

1∆

=e

c scn e

c s

V LIL

σ

σω et 2

2∆

=e

c scn e

c s

V LIL

σ

σω

De façon plus générale nous écrivons l'équation du courant de la porteuse dans le cas

où plusieurs saillances sont présentes dans la machine sous la forme suivante :

( ) ( )2 2

_ .− + − + +

= +∑c cp i r c ij t j h tss c cp cni

iI I e I e

π πω ϕ θ ω ϕ

αβ (II.2.43)

Le courant de la porteuse dans ce cas contient une composante directe comme celle du

cas à une seule saillance. Cette composante dont l'amplitude est proportionnelle à la moyenne

de toutes les inductances statoriques, ne contient pas d'information sur la position du rotor. Le

courant de la porteuse contient également plusieurs composantes inverses dont le nombre est

égal au nombre de saillances présentes dans la machine. Chaque amplitude de ces

composantes est proportionnelle à la différence des inductances statoriques formant la matrice

d'inductances statoriques. Nous remarquons de plus, que les amplitudes ne sont plus

constantes car le dénominateur de la matrice 1ssLσ− comprend un terme lié à la position du

rotor ( ( )1 2 1 22 cos ( )∆ ∆ −e es s rL L h hσ σ θ ).

Une attention particulière doit être accordée aux valeurs relatives de ,e eds qsL Lσ σ . Trop

voisines, la composante inverse a tendance à devenir trop faible, trop éloignées, le courant de

la porteuse devient trop important. Avec un choix raisonnable, nous pouvons considérer le

dénominateur de la relation (II.2.41) comme étant constant.

Sur la figure ( II-15) nous montrons la courbe tracée par le vecteur courant total de la

porteuse dans un référentiel lié au stator pour une position du rotor fixe. Comme le cas d'une

seule saillance, le vecteur de la composante directe trace un cercle et le vecteur courant total

de la porteuse trace une ellipse. Pour une position fixe du rotor, il est impossible de

déterminer si la machine présente une ou plusieurs saillances.


61

α

β

0cθ =30cθ =

60cθ =

90cθ =

120cθ =

150cθ =180cθ =

210cθ =

240cθ =

270cθ =

300cθ =

330cθ =

0rθ =

Figure II-15 Cercle tracé par la composante directe (en vert) – Ellipse tracée par le vecteur total de la

porteuse pour une position fixe du rotor dans le cas de deux saillances présentes dans la machine (en rouge), les configurations choisies sont : h1=2, h2=-4, Icn2/Icn1=0,5, φ1=φ2=0° et les angles sont en degrés électriques.

C'est quand le rotor tourne que nous pouvons conclure que la machine présente

plusieurs saillances. Sur la figure ( II-16), le lieu du vecteur courant de la porteuse est dessiné

pour différentes positions du rotor. Dans le cas d'une seule saillance, la forme de l'ellipse était

constante et l'ellipse tournait avec le rotor. Mais dans le cas de plusieurs saillances, la forme

de l'ellipse change avec la rotation du rotor.

A partir du tracé du vecteur courant de la porteuse dans un référentiel lié au stator, on

peut remarquer les points suivants :

• Indépendamment du nombre des saillances présentes dans la machine le vecteur

courant de la porteuse trace une ellipse.

• A travers la variation de l'angle et de la forme de l'ellipse, nous pouvons

déterminer si la machine présente une ou plusieurs saillances. Cependant, il ne

nous est pas possible de préciser le nombre de saillances si celles ci sont

nombreuses.

• Dans le cas d'une seule ou de plusieurs saillances, le vecteur de la composante

directe trace un cercle. Cette composante dont l'amplitude est importante en

comparaison avec les autres composantes ne contient pas d’informations utiles sur

la position du rotor, c'est pourquoi nous devons l'éliminer.


62

α

β

0rθ =

30rθ =

60rθ =

90rθ =

120rθ =

150rθ =

180rθ =

210rθ =

240rθ =270rθ =

300rθ =

330rθ =

Figure II-16 Ellipse tracée par le vecteur total de la porteuse pour différentes positions du rotor dans le

cas de deux saillances présentes dans la machine (h1=2, h2=-4, φ1=φ2=0°, Icn2/Icn1=0,5 et les angles sont en degré électrique).

L'équation des composantes inverses est donné par :

( )2

_

− + += ∑ i r c ij h ts

s cn cnii

I I eπθ ω ϕ

αβ (II.2.44)

La figure ( II-17) présente le vecteur résultant des composantes inverses. Ce vecteur

trace un cercle dont le diamètre varie avec la rotation du rotor.

α

β

0rθ =

45rθ =

90rθ =

Figure II-17 Cercle tracé par les composantes inverses du courant de la porteuse pour différentes

positions du rotor dans le cas de deux saillances présentes dans la machine (h1=2, h2=-4, φ1=φ2=0°, Icn2/Icn1=0,5 et les angles sont en degrés électriques).

Tracer la trajectoire du vecteur total des composantes inverses du courant de la

porteuse dans le référentiel RF(-fc) (II.2.45), donne une idée sur la nature des saillances et sur

leurs différentes amplitudes.


63

( )2

_

+ +− = ∑ i r ij hfcs cn cni

iI I e

πθ ϕ

αβ (II.2.45)

Nous présentons, sur les figures ( II-18-a) à ( II-24-a), les trajectoires pour différentes

combinaisons des rangs d’harmonique (h1, h2) et sur les figures ( II-18-b) à ( II-24-b), la

variation de la phase du vecteur des composantes inverse en fonction de la position du rotor.

Nous avons déjà vu que le vecteur de la composante inverse de la porteuse, dans le cas d’une

seule saillance, devient un cercle (figure II-18-a). La phase de ce vecteur est une fonction

linéaire de la position du rotor (avec une phase initiale de π/2). Pour simplifier l’analyse des

trajectoires tracées dans le cas de plusieurs saillances, nous avons pris en compte les points

suivants :

• Nous avons choisi de combiner deux rangs d’harmonique de saillances (en

général, les autres saillances présentes dans la machine sont d’amplitudes

négligeables)

• Mis à part le cas où les saillances sont dues aux encoches rotoriques, le premier

rang d’harmonique est, en général, égal à deux.

• Nous avons choisi de faire varier le deuxième rang d’harmonique pour qu’il

soit positif ou négatif.


64

π 2π

π

2π

3π

4π

5π

Position du rotor[rd] Ph

ase

du v

ecte

ur d

e la

co

mpo

sant

e in

vers

e[rd

]

α

β

-a- -b-

Figure II-18 a) Trajectoire tracée par la composante inverse dans le référentiel RF(-fc) dans le cas d’une seule saillance présente dans la machine (h=2, φ=0°).

b) Phase du vecteur de la composante inverse en fonction de la position du rotor.

π 2π

π

2π

3π

4π

5π

Position du rotor[rd]

Phas

e du

vec

teur

tota

l des

co

mpo

sant

es in

vers

es[r

d]

α

β

-a- -b-

Figure II-19 a) Trajectoire tracée par les composantes inverses dans le référentiel RF(-fc) dans le cas de deux saillances présentes dans la machine (h1=2, h2=-4, φ1=φ2=0°, Icn2/Icn1=0,5).

b) Phase du vecteur total des composantes inverses en fonction de la position du rotor.


65

π 2π

π

2π

3π

4π

5π


ase

du v

ecte

ur to

tal d

es

com

posa

ntes

inve

rses

[rd]

α

β

-a- -b-

Figure II-20 a) Trajectoire tracée par les composantes inverses dans le référentiel RF(-fc) dans le cas de deux saillances présentes dans la machine (h1=2, h2=4, φ1=φ2=0°, Icn2/Icn1=0,5).



Phas

e du

vec

teur

tota

l des

co

mpo

sant

es in

vers

es[r

d]

α

β

π 2π

π

2π

3π

4π

5π

-a- -b-




66

π 2π

π

2π

3π

4π

5π


ase

du v

ecte

ur to

tal d

es

com

posa

ntes

inve

rses

[rd]

α

β

-a- -b-



π 2π

π

2π

3π

4π

5π


Phas

e du

vec

teur

tota

l des

co

mpo

sant

es in

vers

es[r

d]

α

β

-a- -b-




67

π 2π

π

2π

3π

4π

5π


ase

du v

ecte

ur to

tal d

es

com

posa

ntes

inve

rses

[rd]

α

β

-a- -b-



Dans les figures présentant la relation entre la position du rotor et la phase du vecteur

total des composantes inverses de la porteuse (figures II-19-b - II-24-b), nous remarquons que

le nombre d’oscillations est égal à la valeur absolu de la différence entre le deux rangs

d’harmonique 2 1h h− . Par ailleurs, en analysant les figures montrant le mouvement de ce

vecteur (figures II-19-a - II-24-a), nous nous apercevons que, pour n’importe quelle

combinaison des rangs d’harmonique, le nombre de lobes produits dans la courbe est égal à

2 1

2 1. . . ( , )h h

P G C D h h−

.

La dernière remarque, que nous pouvons ajouter, est que la position du rotor n'est pas

une fonction, au sens mathématique, de la phase du vecteur total des composantes inverses.

En effet, il peut y avoir deux ou plusieurs positions du rotor pour la même phase (par

exemple, sur la figures ( II-24-b) nous avons trois positions du rotor, pour une phase donnée).

Par conséquent, nous pouvons dire que l’analyse du courant de la porteuse nous

renseigne sur le nombre et la nature des saillances présentes dans la machine.


68

Le tableau suivant résume notre discussion des différents cas :

Composantes analysées Une seule saillance Plusieurs saillances

Courant de la porteuse

dans un référentiel lié au

stator

Ellipse tournante

linéairement avec la rotation

du rotor

Ellipse tournante non

linéairement avec la rotation

du rotor

Composantes inverses de la

porteuse dans un

référentiel lié au stator

Cercle de diamètre ne variant

pas avec la rotation du rotor

Cercle de diamètre variant

avec la rotation du rotor

Composantes inverses de la

porteuse dans le référentiel

RF(-fc)

Vecteur tournant d'amplitude

constante

Vecteur tournant dont

l'amplitude varie avec la

rotation du rotor

Cas particulier du cas de plusieurs saillances

Dans les cas précédents nous avons discuté de la présence de deux saillances

dépendantes de la position du rotor de la machine. Nous avons constaté que le courant

résultant de la porteuse se divise en deux parties. La première est une composante ne

contenant pas d’information sur la position du rotor. Nous avons appelé cette composante la

composante directe. Tandis que la deuxième partie comporte des composantes modulées par

la position du rotor. Nous avons appelé ces composantes les composantes inverses.

Malheureusement, dans certains cas, les composantes inverses comprennent une composante

ne dépendant pas de la position du rotor, autrement dit une composante constante. L’origine

de cette composante peut être liée à la machine elle même quand elle présente une saillance

stationnaire (par exemple la saillance due à l’excentricité statique). De autre côte, elle peut

être liée au système d'acquisition des courants statoriques (par exemple l’asymétrie des

capteurs de courants). En général, tracer le mouvement du vecteur total des composantes

inverses dans d’autres références que le référentiel RF(-fc), n’indique pas l’existence de

saillance stationnaire. La figure ( II-25-a) présente la courbe tracée par le mouvement du

vecteur total des composantes inverses dans le référentiel RF(-fc) dans le cas de la présences

d’une saillances stationnaire. Nous remarquons que le centre de cette courbe n’est plus le


69

point d’origine. Par ailleurs, la saillance stationnaire change la courbe présentant la relation

entre la phase du vecteur total des composantes inverses et la position du rotor II-25-b).

Afin de ne pas perturber l’estimation de la position du rotor, dans le cas de l'existence

de saillances stationnaires, il convient d'en tenir compte dans la partie traitement du signal.

π 2π

π

2π

3π

4π

5π


α

β

Phas

e du

vec

teur

tota

l des

co

mpo

sant

es in

vers

es[rd

]

-a- -b-

Figure II-25 a) Trajectoire tracée par les composantes inverses dans le référentiel RF(-fc) dans le cas de deux saillances présentes dans la machine (h1=2, h2=-4, φ1=φ2=0°, Icn2/Icn1=0,5, Icn0/Icn1=0,25, f0=30°).


II.5 Conclusion

Dans la première partie de ce chapitre nous avons décrit les origines des saillances.

Nous avons également discuté de la possibilité de créer des saillances sur des machines qui

n'en disposent pas. Dans la deuxième partie nous avons présenté une étude théorique des

méthodes d'excitation supplémentaires de la machine par un signal à haute fréquence. Nous

avons montré quelles étaient les composantes du signal qui résultent de cette injection. Nous

avons également montré que ce signal contient une partie, de faible amplitude, contenant de

l'information sur la position du rotor et une partie, de plus grande amplitude, mais qui ne

contient pas ces informations. Nous avons constaté qu'en traçant le signal induit dans un

référentiel lié au stator ou dans le référentiel RF(-fc), nous obtenons des informations

graphiques sur la présence, le nombre et la nature des saillances.


70

Dans le chapitre suivant, nous allons présenter la partie traitement du signal permettant

d'extraire la position du rotor du courant statoriques à haute fréquence.

CHAPITRE III – ESTIMATION DE LA POSITION DU ROTOR DE LA MACHINE ASYNCHRONE

CHAPITRE III - ESTIMATION DE LA POSITION DU ROTOR DE LA MACHINE ASYNCHRONE



73

III.1 Introduction

Dans le chapitre précédent nous avons parlé des deux premières conditions

indispensables pour implanter la méthode d'estimation de la position du rotor de la machine

asynchrone par l'injection du signal à haute fréquence. Nous avons vu que quand la machine

présente des saillances dépendantes de la position du rotor, le courant à haute fréquence

résultant comprend une composante directe et des composantes inverses. La composante

directe a une amplitude importante et ne contient pas d'information sur la position du rotor.

Tandis que les composantes inverses sont d'une amplitude faible et d'une phase modulée par

la position du rotor. Ce sont ces composantes que nous allons exploiter afin d'extraire la

position du rotor.

Les figures ( III-1) présentent une analyse spectrale théorique du courant statorique

d'une machine présentant des saillances dominantes dépendantes de la position du rotor, après

l'injection d'une tension à haute fréquence. Nous remarquons qu'en plus de leurs faibles

amplitudes, les composantes inverses occupent la même bande de fréquence que celle de la

composante directe.

fs fc fc+4fr fc-2fr

Composante directe

Composantes inverses

fc+4fr fc-2fr


-a- -b- Figure III-1 Analyse spectrale théorique du courant statorique résultant après avoir injecté une tension à

haute fréquence dans une machine présentant des saillances dépendantes de la position du rotor.

a) Toutes les composantes. b) Les composantes exploitables pour l'estimation de la position du rotor.

De plus, dans certains cas, quand la machine n'est pas prévue pour appliquer la

méthode d'estimation de la vitesse par l'injection du signal à haute fréquence, on peut


74

rencontrer des composantes inverses indépendantes de la position du rotor (figures III-2). Ces

dernières perturbent les composantes inverses dépendantes de la position du rotor et

empêchent l'estimation de la vitesse.

fs fc fc+4fr fc-2fr

Composante directe


Composante perturbatrice

Figure III-2 Analyse spectrale théorique du courant statorique résultant après avoir injecté une tension à

haute fréquence dans une machine présentant des saillances dépendantes et indépendantes de la position du rotor.

Pour pouvoir extraire la position du rotor contenue dans les phases des composantes

inverses, trois étapes sont nécessaires.

• Ces composantes doivent être isolées, l'opération n'est pas réalisable avec un

simple filtrage passe bande.

• Il faut identifier leurs paramètres.

• Elles doivent être appliquées à l'entrée d'un estimateur afin d'extraire la

position du rotor.

Ce chapitre est destiné à détailler ces trois étapes en montrant les limitations et en

proposant quelques solutions.

Rappelons que désormais, dans ce chapitre, nous allons employer la notion de

"fréquences négatives". Cette notion n'a pas de sens du point de vue physique, mais elle

permet mieux de présenter les signaux complexes. (Annexe B).

III.2 Extraction des composantes inverses

La première étape indispensable pour l'estimation de la position du rotor est de filtrer

le courant statorique pour éliminer la composante de l'alimentation fondamentale et la


75

composante directe de la porteuse. Nous allons montrer les méthodes de filtrage dans les deux

cas discutés ci dessus : le premier cas, est celui où les composantes qui dépendent de la

position du rotor sont dominantes et le deuxième est celui où ces composantes sont fortement

perturbées par autres composantes inverses indépendantes de la position du rotor.

III.2.1 Les saillances dépendantes de la position du rotor sont dominantes

Ce cas convient tout à fait à l'estimation de la position du rotor car nous n'avons pas

besoin du traitement de signal supplémentaire pour éliminer les composantes perturbatrices.

Pour étudier ce cas, il nous faut une machine prévue pour appliquer la méthode

d'injection du signal à haute fréquence. A cause de l'indisponibilité d'une machine de ce type,

nous avons proposé de simuler des saillances au niveau du traitement du signal dans le DSP.

Pour ce faire, nous employons la position estimée pour créer un courant modèle des

saillances, ce courant est ajouté au courant réel de la machine (machine 1 dans l'annexe E).

Cette opération nous permet de :

• Contrôler les niveaux et le nombre des saillances et de voir leurs effets sur

l'algorithme d'estimation de vitesse.

• Tester les algorithmes de filtrage et d'estimation en présences des conditions

réelles de travail (MLI, bruit, transformation ADC et DAC….).

Nous montrons par les figures ( III-3 et III-4) deux analyses spectrales du courant

statorique de la machine 1, pour différentes vitesses de rotation du rotor (0, 300 et 600 tr/min).

Ces analyses sont faites pour deux cas : Une seule saillance présente dont l'harmonique est de

rang h=2 (figures III-3-a et III-4-a) et deux saillances dont les harmoniques sont de rangs

h1=2 et h2=-4 et dont le rapport entre les amplitudes est (Icn2/Icn1=0,5) (figures III-3-b et III-4-

b).

De ces figures nous pouvons remarquer plusieurs points :

• Le courant statorique se divise en trois composantes : fondamentale,

composante directe et des composantes inverses comportant une image de la

position du rotor.

• Nous pouvons avoir une idée sur le nombre de saillances et sur les rangs

d'harmoniques quand le rotor tourne. A l'arrêt, et dans le cas de deux saillances


76

présentes dans la machine, les deux raies des composantes inverses sont

confondues (chapitre II).

• L'amplitude la plus importante des composantes inverses par rapport au

fondamental et par rapport à la composante directe est faible (3% du

fondamental et 30% de la composante directe).

• Les raies des composantes inverses se déplacent en fonction de la vitesse de la

machine.

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

fs fs

fs

fs fs

fs

fc fc

fc

fc fc

fc

-fc+2fr

-fc+2fr

-fc+2fr

-fc-4fr -fc+2fr

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

0 tr/min

300 tr/min

600 tr/min

0 tr/min

300 tr/min

600 tr/min

Frequence(Hz) Frequence(Hz)

Am

plitu

de[A

]

Résultats expérimentaux

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

Am

plitu

de[A

]

-a- -b- Figure III-3 Analyse spectrale du courant statorique αβ expérimental (machine 1) quand une tension de

fc=400 Hz est injectée pour différentes vitesses électriques (0, 300, 600 tr/min) ( fr=0, 5, 10 Hz). a) Machine présentant une seule saillance (h=2). b) Machine présentant deux saillances (h1=2, h2=-4, Icn2/Icn1=0,5).


77

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

-400 -200 0 200 4000

2

4

6

8

fs fs

fs

fs fs

fs

fc fc

fc

fc fc

fc

-fc+2fr

-fc+2fr

-fc+2fr

-fc-4fr -fc+2fr

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

0 tr/min

300 tr/min

600 tr/min

0 tr/min

300 tr/min

600 tr/min

Frequence(Hz) Frequence(Hz)

Am

plitu

de[A

] Résultats de simulation

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

Am

plitu

de[A

]

-a- -b- Figure III-4 Analyse spectrale du courant statorique αβ (résultats de simulation) quand une tension de

fc=400 Hz est injectée pour différentes vitesses électriques (0, 300, 600 tr/min) (fr=0, 5, 10 Hz). a) Machine présente une seule saillance (h=2). b) Machine présente 2 saillances (h1=2, h2=-4, Icn2/Icn1=0,5).

Afin d'extraire les composantes inverses, il faut implanter un filtrage robuste pouvant

atténuer au maximum les composantes d'amplitude importantes tout en introduisant le moins

de perturbations sur les composantes inverses qui contiennent les informations de la position

rotorique. La bande passante de ce système doit être suffisante afin de prendre en compte le

mouvement des raies lorsque la vitesse varie (pour les figures montrées ci-dessus, la bande

passante du filtre doit être entre -fc-4fr et -fc+2fr). Il faut faire attention, car en augmentant trop

la bande passante, nous risquons de ne pas pouvoir éliminer la composante fondamentale.

Nous allons étudier les structures qui existent déjà dans la littérature pour l'extraction

des composantes inverses et nous allons les comparer avec notre proposition.


78

Extraction des composantes Inverses par un filtre analogique suivi d'un filtre synchrone passe haut

Dans cette méthode, nous éliminons la composante fondamentale du courant

statorique en utilisant un filtre analogique passe bande dont la fréquence centrale de la bande

passante est la fréquence du signal injecté. Ensuite, le courant résultant (qui est celui de la

porteuse) est traité par un filtre synchrone passe haut pour éliminer la composante directe

[Tes00-1], [Tes00-2], [Tes01-1] (figure III-5).

L'idée de l'utilisation du filtre synchrone passe haut est de profiter du fait que les

vecteurs des composantes inverses et celui de la composante directe tournent en sens opposés,

ce que rend leur séparation plus aisée. Le courant de la porteuse _s

s cIαβ est transféré, tout

d'abord, dans le référentiel RF(fc) . Ceci va soustraire une valeur de fc à la fréquence de la

porteuse. Ainsi, la composante directe devient une composante constante et les fréquences des

composantes inverses vont quasiment être doublées. Ensuite, le signal résultant est appliqué

sur un filtre passe haut, du première ordre, dont la fonction de transfert est cut

pp ω+

pour

éliminer la composante continue (qui est la composante directe après la transformation dans le

référentiel RF(-fc)). Enfin, une transformation inverse est appliquée pour transférer à nouveau

le signal dans le repère statorique (figures III-5).

Cette procédure est équivalente à la transformation du filtre dans le référentiel RF(-fc).

Nous pouvons faire en remplaçant p par p-jωc dans la fonction de transfert du filtre ce qui

décale les fréquences d'une valeur fc. Donc, la fonction de transfert du filtre synchrone passe

haut (dans le repère statorique) s'écrit :

_

_

ss cn c

ss c c cut

I p jI p jαβ

αβ

ωω ω−

=− +

(III.2.1)

Où ωcut est la fréquence de coupure du filtre.


79

Filtre Analogique

cj te ω− cj te ω

Filtre synchrone passe haut

ssIαβ

_s

s cIαβ_

ss cnIαβ

fs fc -fc+2fr -fc+2fr fc 0 -2fc+2fr -fc+2fr -2fc+2fr

Figure III-5 Schéma d'extraction des composantes inverses par un filtre analogique suivi par un filtre

synchrone passe haut.

Nous présentons sur les figures ( III-6) les diagrammes de Bode pour le filtre

analogique (figure III-6-a), le filtre synchrone passe haut (figure III-6-b) et le diagramme de

Bode des deux filtres ensembles (figure III-6-c). Sur le dernier diagramme nous constatons que

la bande passante du filtre est autour des fréquences des composantes inverses tandis que, le

gain pour la fréquence du fondamental et pour celle de la composante directe est quasiment

nul.

Fréquence Fréquence

00.40.81.21.6

2

-fc 0 fc

0

-π

π0

0.40.81.21.6

2

-fc 0 fc

0

-π

π0

0.40.81.21.6

2

-fc 0 fc

0

-π

π

Fréquence

Phas

e[rd

] G

ain

-a- -b- -c-

Figure III-6 a) Diagrammes de Bode du filtre analogique. b) Diagrammes de Bode du filtre synchrone passe haut. c) Diagramme de Bode des deux filtres.


80

Par rapport à un filtre numérique le filtre analogique d'ordre élevé a les avantages

suivants :

• Il atténue fortement le fondamental sans poser des problèmes de stabilité.

• Il est peu coûteux en temps de calcul.

• La résolution des convertisseurs analogique - numérique est utilisée pleinement

pour la mesure des composantes de la porteuse.

Cependant, plusieurs considérations limitent l'utilisation de cette structure :

• Elle introduit une asymétrie dans le signal filtré. En effet, il est quasiment

impossible d'avoir deux filtres symétriques pour les deux phases αβ à cause

des différences entre les composants électroniques du filtre analogique. Cette

asymétrie va induire une composante inverse non modulée par la position du

rotor en plus des autres composantes inverses (figure III-7). De plus, elle va

créer d'autres composantes directes ; ce qui complique l'utilisation de filtre

synchrone passe haut.

• L'utilisation d'un filtre du premier ordre, dans le filtre synchrone passe haut,

augmente le temps de réponse. Ce problème dégrade la qualité de l'estimation

de la position du rotor durant les transitoires.

-fc fc0

0.2

0.4

0.6

0.8

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

] Des composantes dues à l'asymétrie du filtre analogique apparaissent

-fc+2fr

Figure III-7 Analyse spectrale d'un signal αβ asymétrique montrant l'apparition des composantes parasites inverse et directe.


81

Extraction des composantes inverses par deux filtres synchrones passe haut

L'extraction des composantes inverses par deux filtres synchrones passe haut a été

proposée dans [Deg97-1], [Deg97-2], [Deg98-1]. Le schéma de principe de ces filtres est

présenté par la figure ( III-8).

cj te ω− cj te ω

Elimination de la composante fondamentale s

sIαβ _s

s cIαβ _s

s cnIαβ

fs fc -fc+2fr -fc+2fr

sj te ω− sj te ω

Elimination de la composante directe

0

fc-fs

-fc+2fr-fs fc -fc+2fr

-fc+2fr-fs 0 -2fc+2fr

-2fc+2fr fc-fs

Figure III-8 Structure d'extraction des composantes inverses par deux filtres synchrones passe haut.

Dans cette structure, le courant statorique ssIαβ est transféré tout d'abord dans le

référentiel RF(fs). Ceci transforme la composante fondamentale du courant en composante

continue. En traitant le courant résultant par un filtre passe haut, cette composante sera

totalement éliminée. Le signal résultant est transféré dans le référentiel RF(fc). La composante

directe devient alors une composante continue et elle sera éliminée par un deuxième filtre

passe haut. Enfin, le signal est transféré à nouveau dans le repère statorique de manière à

obtenir les composantes inverses de la porteuse.

La figure ( III-9) montre le diagramme de Bode de la fonction de transfert des deux

filtres (III.2.2). Nous remarquons que le gain est nul pour les fréquences à éliminer et unitaire

pour les autres fréquences. Autrement dit c'est un filtre sélectif avec un déphasage quasi nul

autour des fréquences des composantes inverses.

1 2

_ .s

s cn s cs

s s cut c cut

I p j p jI p j p jαβ

αβ

ω ωω ω ω ω− −

=− + − +

(III.2.2)

Où ωcut1, ωcut2 sont respectivement les fréquences de coupure du filtre de la

composante fondamentale et de celui de la composante directe.


82

Fréquence[Hz]

Gai

n[dB

]

00.20.40.60.8

1

-fc fs fc

0

-π

πPh

ase[

rd]

Figure III-9 Diagramme de Bode des deux filtres synchrones passe haut.

Cette structure de filtrage est facile à implanter numériquement. Même quand nous

n'utilisons que des filtres du premier ordre, l'élimination de la composante fondamentale et de

la composante directe est totale (figure III-10-a). De plus, cette structure ne souffre pas du

problème d'asymétrie que l'on peut rencontrer avec deux filtres analogiques. Néanmoins, le

fait d'utiliser des filtres du premier ordre augmente le temps de réponse du système. D'autre

part, cette structure de filtrage n'élimine que les composantes fondamentale et directe. Ce qui

est contraignant s'il existe d'autres composantes dans le signal. En comparant les figures

( III-10-a, III-11-a), nous remarquons que le filtrage est parfait dans le cas du signal non

perturbé, mais dans le cas contraire le filtre n'élimine pas la perturbation, ce qui gène

l'estimation des composantes inverses ( III-11-b). Ce problème peut être résolu en implantant

un filtre pour chaque composante perturbante. Mais, ceci n'est pas toujours faisable surtout

pour les cas des harmoniques parasites. Enfin, la fréquence de synchronisme doit être connue

pour pouvoir l'éliminer. Mais dans un système de commande vectoriel IRFO, cette fréquence

est calculée à partir de la vitesse du rotor et cette dernière est estimée grâce, principalement,

au filtrage de la composante fondamentale. Ce bouclage peut faire diverger l'algorithme.


83

02468

-400 -200 0 200 4000

0.10.20.3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc -fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

_cfs cnIαβ

−Avant filtrage

Après filtrage

Résultats de simulation

-a- -b-

Figure III-10 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ avant et après filtrage par deux filtres synchrones passe haut.

b) Courbe tracée par le lieu du vecteur total des composantes inverses de la porteuse dans le référentiel RF(-fc) (Icn2/Icn1=0,5, h1=2, h2=-4, fc=400 Hz).

02468

-400 -200 0 200 4000

0.4

0.8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

_cfs cnIαβ

−

Bruit

Bruit

Avant filtrage

Après filtrage


-a- -b-

Figure III-11 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ bruité avant et après filtrage par deux filtres synchrones passe haut.



84

02468

-400 -200 0 200 4000

0.4

0.8

-3 -2 -1 0 1 2 3-3-2-10123

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

_cfs cnIαβ

−

Bruit

Avant filtrage

Après filtrage

Résultats expérimentaux (machine 1)

-a- -b-

Figure III-12 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ expérimental avant et après filtrage par deux filtres synchrones passe haut.

b) courbe tracée par le lieu du vecteur total des composantes inverses de la porteuse dans le référentiel RF(-fc) (Icn2/Icn1=0,5, h1=2, h2=-4, fc=400 Hz).

Extraction des composantes Inverses par un filtre synchrone passe bas

Pour résoudre les problèmes des deux structures précédentes nous avons proposé une

structure améliorée présentée par la figure ( III-13) pour l'extraction des composantes inverses

de la porteuse [Alr03-1], [Alr03-2].

Dans cette structure le courant statorique ssIαβ est transformé dans le référentiel RF(-fc).

Ainsi, les composantes inverses se retrouvent dans le domaine des basses fréquences et les

composantes fondamentale et directe passent en haute fréquence. Ensuite, nous appliquons un

filtre passe bas qui va éliminer les composantes fondamentale et directe. Enfin, nous obtenons

les composantes inverses _s

s cnIαβ en transférant à nouveau le signal dans le repère statorique.

Le filtre passe bas est choisi d'ordre élevé pour qu'il puisse éliminer la composante

fondamentale ayant une amplitude très grande devant celles des composantes inverses.


85

cj te ω cj te ω−

ssIαβ _

ss cnIαβ

fs -fc+2fr

-fc+2fr

Elimination des composantes fondamentale et directe

2fr

2fc fs+fc 2fr Figure III-13 Structure d'extraction des composantes inverses par un filtre synchrone passe bas.

A travers le diagramme de Bode de ce filtre (figure III-14), nous remarquons que le

gain est unitaire autour de la fréquence négative de la porteuse et quasi nul pour les autres

fréquences. Ce filtre élimine donc en une seule fois toutes les fréquences (fondamentale,

composante directe, toutes les harmoniques dans le courant…) sauf les fréquences autour des

composantes inverses (figures III-15-a, III-16-a, III-17-a). En comparant les figures ( III-15-a

et III-16-a) nous remarquons que ce filtre a pu éliminer le bruit ajouté au courant statorique

sans perturber les composantes inverses (figures III-15-b, III-16-b). De plus, ce filtre ne

demande pas de connaître la fréquence de synchronisme fs, ce qui rend l'algorithme

d'estimation indépendant de la commande

00.20.40.60.8

1

-fc 0 fc

0

-π

π

Fréquence[Hz]

Phas

e[rd

] G

ain

Figure III-14 Diagrammes de Bode du filtre synchrone passe bas.

Cependant, ce filtre introduit un déphasage important sur le signal filtré. Mais nous

remarquons, à partir diagramme de Bode du filtre (figure III-14), que ce déphasage, dans la


86

bande passante, peut être estimé. De plus, le déphasage n'affecte pas l'estimation de la vitesse,

car le déphasage d'un signal ne change pas sa fréquence.

Puisque ce filtre est d'ordre élevé, ce qui n'est pas recommandé pour des applications

numériques, les coefficients du filtre doivent être choisis soigneusement pour que le filtre ait

une marge de stabilité suffisante.

02468

-400 -200 0 200 4000

0.10.20.3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

_cfs cnIαβ

−Avant filtrage

Après filtrage


-a- -b-

Figure III-15 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ avant et après le filtrage par un filtre synchrone passe bas.


02468

-400 -200 0 200 4000

0.10.20.3

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr

-fc-4fr

_cfs cnIαβ

−

Bruit

Bruit

Avant filtrage

Après filtrage


-a- -b-

Figure III-16 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ bruité avant et après le filtrage par un filtre synchrone passe bas



87

02468

-400 -200 0 200 4000

0.10.20.3

-0.4 0 0.4

-0.4

0

0.4

Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

]

fs

fc

-fc+2fr -fc-4fr

-fc+2fr -fc-4fr

_cfs cnIαβ

−

Bruit

Avant filtrage

Après filtrage


-a- -b-

Figure III-17 a) Analyse spectrale du courant statorique αβ expérimental avant et après le filtrage par un filtre synchrone passe bas.

b) courbe tracée par le lieu du vecteur total des composantes inverses de la porteuse dans le référentiel RF(-fc) (Icn2/Icn1=0,5, h1=2, h2=-4, fc=400 Hz).

III.2.2 Les saillances dépendantes de la position du rotor sont perturbées par d'autres composantes inverses indépendantes de la position du rotor

Malheureusement, le cas discuté en III.2.1 n'est pas le cas général car il est possible

que d'autres signaux soient induits suite à l'injection du signal à haute fréquence quand

d'autres saillances indépendantes de la position du rotor sont présentes (par exemple les

saillances dues à la saturation de la machine ou les saillances dues à l'excentricité statique).

Ces signaux doivent être éliminés pour permettre l'estimation de position.

Le cas étudié dans cette section est celui des trois machines dont nous avons modifiés

les rotors (le rotor de la machine 2 présente deux rainures à 180°, le rotor de la machine 3

contient une barre cassée et le rotor de la machine 4 contient un aimant sur l'anneau, voir

Annexe E).

Nous présentons sur les figures ( III-18-a et III-18-b) l'analyse spectrale DFT du

courant statorique des machines (2,3 et 4) en charge. Ces moteurs sont commandés en V/f et

en commande vectorielle. Ils sont également soumis à la tension additionnelle à haute

fréquence (400 Hz). Du fait des modifications introduites dans leurs rotors respectifs, on

retrouve bien des raies à -fc+2fr pour les machines 3 et 4. Tandis que le courant statorique de


88

la machine 2 ne contient pas cette raie. De plus, le signal résultant des saillances dues à

l'aimant mobile avec le rotor de la machine 4, est beaucoup plus faible que le signal résultant

de la saillance due à la barre cassée (machine 3). Pour que nous puissions traiter le signal

résultant de l'injection, nous devons avoir un rapport signal sur bruit acceptable. Ce qui n'est

pas le cas de la machine 2 ni celui de la machine 4. En effet, pour pouvoir séparer le signal

dont la fréquence est -fc+2fr de celui dont la fréquence -fc+2fs nous devions augmenter la

résolution de la FFT une dizaine de fois. Les étapes de traitement du signal étant les mêmes,

nous allons continuer notre étude sur la machine 3.

En chargeant progressivement la machine nous distinguons deux cas. Lorsque la

machine est commandée en V/f sans régulation de vitesse, c'est la fréquence traduisant la

position du rotor qui se déplace vers la fréquence -fc. Tandis qu'en appliquant une commande

vectorielle avec régulation de vitesse et puisqu'en chargeant la machine, la vitesse reste

constante, alors la raie à -fc+2fr ne bouge pas et c'est la raie à -fc+2fs qui se déplace vers les

basses fréquences (c'est-à-dire qu'elle s'éloigne de -fc).


89


-393 -392 -391 -390 -3890

0.05

0.1

0.15

0.2-393 -392 -391 -390 -3890

0.05

0.1

0.15

0.2-393 -392 -391 -390 -3890

0.05

0.1

0.15

0.2

-390 -388 -3860

0.05

0.1

0.15

0.2-390 -388 -386

0

0.05

0.1

0.15

0.2-390 -388 -386

0

0.1

0.2

0.3

-fc+2fr

-fc+2fs

-fc+2fs

-fc+2fr

-fc+2fs

-fc+2fr -fc+2fr

Machine 2 Rainures

Frequence[Hz]

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

-fc+2fs

Frequence[Hz]

Am

plitu

de[A

] -fc+2fs -fc+2fs Machine 4Aimant

Machine 4 Aimant

Machine 2Rainures

Machine 3 Barre cassé

Machine 3Barre cassé

-a- -b-

Figure III-18 Analyse spectrale du courant statorique αβ présentant le signal résultant de l'interaction avec l'asymétrie introduite au rotor et présentant également le signal supplémentaire résultant du fondamental de la machine.

a) Pour une machine commandée en V/f sans régulation de vitesse b) Pour une machine avec une commande vectorielle et régulation de vitesse.

Extraction des composantes Inverses par le filtrage DFT glissante

Pour pouvoir éliminer les fréquences perturbatrices et garder celles qui dépendent de

la vitesse du rotor et sachant que ces fréquences sont très proches, nous avons besoin d'un

filtre très sélectif. C'est pourquoi, nous proposons d'appliquer un filtrage par la Transformée

de Fourier Discrète (DFT).

Nous présentons sur la figure ( III-19) le schéma de principe du filtrage par la DFT.


90

Transformée de Fourier discrète (DFT) sur un fenêtre de fréquence

Elimination des fréquences

perturbatrices

Transformée de Fourier inverse discrète (IDFT)

_s

s cnIαβ s

sIαβ

fc fs -fc+2fr

-fc+2fs -fc

-fc+2fr Figure III-19 Schéma de principe du filtrage par la Transformée de Fourier Discrète (DFT)

Dans cette méthode une transformée de Fourier discrète est appliquée sur le courant

statorique. Ensuite, les fréquences perturbatrices sont éliminées. Enfin, nous reconstruisons le

signal ne contenant que la fréquence dépendant de la position du rotor par une Transformée de

Fourier Inverse (IDFT). Comme cet algorithme doit fonctionner en temps réel sur DSP, à

l'intérieur d'une interruption de période d'échantillonnage de 200 µs, alors nous devons

diminuer le temps de calcul. Nous effectuons la DFT sur une fenêtre autour de la fréquence à

extraire. Nous choisissons les fréquences limites (k1=-fc et k2=–fc+2fs) comme des fréquences

extrêmes de la fenêtre car nous ne nous intéressons pas aux fréquences extérieures à cet

intervalle.

Le principal inconvénient du calcul de la transformée de Fourier discrète est que la

totalité des données doit être disponible avant d'effectuer le calcul. Ce qui empêche une

implantation en ligne. C'est pourquoi, nous allons appliquer une variante de cet algorithme,

dite DFT glissante. Cet algorithme a été proposé dans [Nus98-1].

Principe de la DFT glissante

On appelle Te la période d'échantillonnage et i le numéro d'échantillon (qu'on

confondra, par abus de langage, avec l'instant Te i).

Prenons N échantillons du signal échantillonné x(t) (figure III-20). Définissons la DFT

pour une composante fréquentielle d'indice k à l'instant Te i par Xi[k].


91

x[i] x[i-N+1]

N points

x[i-1] Figure III-20 N échantillons du signal x(t) .

2 ( )1

0

1[ ] [ ]k nN jN

in

X k x i n eN

π −− −

=

= −∑ 7

Où 2 2N Nk− ≤ <

En arrangeant la relation précédente, nous obtenons la formule de la DFT pour les N

échantillons à l'instant i (III.2.3):

21

0

1[ ] [ ]knN j

Ni

n

X k x i n eN

π−

=

= −∑ (III.2.3)

En développant l'équation (III.2.3) nous obtenons :

2 2 ( 2)

2 ( 1)

1[ ] [ ] [ 1] [ 2]

[ 1]

k k Nj jN N

i

k NjN

X k x i x i e x i N eN

x i N e

π π

π

−

−

⎡= + − + + − +⎢

⎣⎤

+ − + ⎥⎦

… (III.2.4)

Calculons maintenant la DFT pour N échantillons et pour la même composante

fréquentielle d'indice k mais à l'instant passé i-1 :

21

10

1[ ] [ 1]knN j

Ni

n

X k x i n eN

π−

−=

= − −∑ (III.2.5)

2 2 ( 2)

1

2 ( 1)

1[ ] [ 1] [ 2] [ 1]

[ ]

k k Nj jN N

i

k NjN

X k x i x i e x i N eN

x i N e

π π

π

−

−

−

⎡= − + − + + − +⎢

⎣⎤

+ − ⎥⎦

… (III.2.6)

En multipliant l'équation (III.2.6) par 2 kj

Neπ

et en soustrayant à l'équation (III.2.4),

nous obtenons l'équation (III.2.7).

7 Nous avons multiplié par (-n) au lieu de n car nous calculons la DFT en partant de l'instant actuel vers le passé


92

22

11[ ] [ ] [ ] [ ]

kj j kNi iX k X k e x i x i N e

N

ππ

− ⎡ ⎤− = − −⎣ ⎦ (III.2.7)

Ce qui nous donne la relation finale de la DFT glissante (III.2.8).

[ ]2

11[ ] [ ] [ ] [ ]

kjN

i iX k X k e x i x i NN

π

−= + − − (III.2.8)

Cette formulation permet d'obtenir la DFT à chaque nouvel échantillon du signal en

prenant en compte la DFT calculée précédemment. Il apparaît clairement, que cette forme

glissante de la DFT est une technique de calcul en temps réel pour laquelle il est impératif que

la durée des calculs reste inférieure à la période d'échantillonnage [Nus98-1].

Nous montrons sur les figure ( III-21-a et III-21-b) une application de la transformée de

Fourier discrète glissante sur une plage de fréquence [-fc, -fc+2fs]. Cette DFT glissante a été

calculée pour une machine chargée pour les deux types de commande. Dans les figures citées

précédemment, nous constatons que les deux signaux à séparer sont distants de seulement

2 Hz. Nous remarquons aussi que l'amplitude du signal utile est à égale à 1/7 du signal

perturbateur. Toutefois, le filtrage par DFT glissante a pu éliminer le signal perturbateur et a

permis de garder le faible signal exploitable pour l'estimation de la position du rotor.


93

-400 -396 -392 -3880

0.050.1

0.150.2

0.250.3

-400 -396 -392 -3880

0.05-400 -396 -392 -3880

0.050.1

0.150.2

0.250.3

-400 -396 -392 -3880

0.05

Fréquence[Hz] Fréquence[Hz]

Am

plitu

de[A

] A

mpl

itude

[A]

-fc+2fr

-fc+2fr -fc+2fr

-fc+2fr

Après filtrage Après filtrage

Avant filtrage Avant filtrage


-a- -b-

Figure III-21 Analyse spectrale DFT glissante du courant statorique αβ sur une fenêtre de fréquences pour une machine chargée, avant et après le filtrage.

a) Pour une machine commandée en V/f sans régulation de vitesse. b) Pour une machine soumise à une commande vectorielle avec régulation de vitesse.

Pour reconstruire le signal après l'élimination des fréquences perturbatrices nous

appliquons la transformée de Fourier discrète inverse sur la même fenêtre de fréquence :

2

1

2

[ ] [ ]knk j

Ni

k k

x i n X k eπ

=

− = ∑ (III.2.9)

et à l'instant i la formule (III.2.9) s'écrit sous la forme (III.2.10).

2

1

[ ] [ ]k

ik k

x i X k=

= ∑ (III.2.10)

A chaque pas d'échantillonnage, nous calculons la somme des hauteurs des raies

existantes entre les fréquences présentées par les indices k1 et k2. Ainsi, nous obtenons le

signal filtré.

En implantant ce filtre, non seulement les signaux utiles même les plus faibles, sont

filtrés sans être atténués ni déphasés, mais nous pouvons traiter une machine présentant

plusieurs saillances comme si elle n'en présentait qu'une. En effet, la seule fréquence qui


94

restera à la sortie de ce filtre, est la fréquence (-fc+2fr), ce qui améliore la qualité de

l'estimation.

Néanmoins, ce filtre pose deux problèmes. Premièrement, il faut trouver un bon

compromis entre la résolution et le temps d'initialisation (quand le signal change de

fréquence) de la DFT glissante. Deuxièmement, les deux raies présentant les fréquences

-fc+2fr et -fc+2fs sont superposées quand la machine n'est pas chargée, autrement dit, quand le

glissement est quasiment nul.

III.3 Estimation de la position du rotor

Après avoir séparé les composantes inverses dont les phases sont modulées par la

position du rotor, il nous est possible d'estimer cette dernière par l'une de ces deux

techniques :

• Estimation de la position par la fonction Arctg [Tes00-1], [Tes00-2].

• Estimation de la position par une boucle à verrouillage de phase [Deg97-1],

[Cil97-1], [Deg97-2], [Deg98-1].

Nous allons présenter les deux méthodes en donnant les avantages et les inconvénients

de chacune.

III.3.1 Estimation de la position du rotor par la fonction Arctg

Prenons l'équation des composantes inverses de la porteuse dans le référentiel RF(-fc) :

( )2

_rj hfc

s cn cnI I eπθ ϕ

αβ

+ +− = (III.2.11)

Cette relation est représentée dans le plan complexe par un vecteur (figure III-22-b)

dont les deux composantes sont :

_

_

cos( )2

sin( )2

fcs cn cn r

fcs cn cn r

I I h

I I h

α

β

πθ ϕ

πθ ϕ

−

−

⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = + +⎪⎩

(III.2.12)

En développant ces deux dernières équations, nous pouvons estimer la position du

rotor θr par la relation suivante :


95

_

_

ˆ Arc tan2

fcs cn

r fcs cn

Ih

Iβ

α

πθ ϕ−

−

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (III.2.13)

Le schéma du principe de cet estimateur est présenté sur la figure ( III-22-a). Cette

technique peut être appliquée quand la machine ne présente qu'une seule saillance et quand le

signal induit de l'interaction entre le signal injecté et la saillance est idéal (rapport signal sur

bruit important, amplitude constante,…). D'autre part, cette méthode d'estimation peut être

utilisée pour estimer la position d'une machine présentant plusieurs saillances si, mis à part la

premier saillance, les autres sont faibles ou ont été éliminées (cas du filtrage par DFT

glissante).

_fc

s cnIα−

_

_

fcs cnfc

s cn

IArctg

Iβ

α

−

− _

fcs cnIβ

− -

2π

rhθ ϕ+

_fcs cnIβ

−

_fc

s cnIα−

ˆ2rh πθ ϕ+ +

α

βddt

ˆrω

-a- -b-

Figure III-22 Estimation de la position du rotor par la fonction Arctg.

Puisque cet estimateur ne contient pas de filtre ou de régulateur, il n'introduit pas de

retard, nous l'appellerons "estimateur instantané".

Nous rencontrons deux problèmes en implantant cet estimateur, si les signaux sont

idéaux. Le premier problème est la division par zéro. Ce problème peut être résolu facilement

en remplaçant, dans le programme C, la fonction (atan) par une autre fonction (atan2) qui

calcule l'angle à partir des coordonnées dans le plan euclidien. L'autre problème est lié à la

valeur de h. L'angle obtenu avec cette fonction varie entre -π/h et π/h et non pas entre -π et π.

Nous avons implanté un algorithme qui résout ce problème en tenant compte de

l'incrémentation de la position entre deux instants consécutifs i et i-1 (nous l'appellerons Arctg

incrémentale) (Annexe C).

Les figures ( III-23) présentent des résultats expérimentaux d'estimation de la position

et de la vitesse par la fonction Arctg incrémentale dans deux cas différents. Le premier cas


96

concerne une machine contenant une seule saillance dominante (figure III-23-a). L'amplitude

du courant caractérisant cette saillance est égale à 3% de la valeur du fondamental.

Le deuxième essai est celui d'une machine présentant plusieurs saillances (figure

III-23-b). L'amplitude de la composante inverse la plus importante est égale à 0,8% de la

valeur du fondamental et elle est perturbée à 2 Hz près par une composante ne dépendant pas

de la position du rotor. Toutes les composantes non utiles sont éliminées par le filtre utilisant

la DFT glissante.

Nous remarquons que la fonction Arctg incrémentale est capable d'estimer la position

dans les deux cas. Le bruit sur l'estimation de la vitesse est dû à la fonction dérivé de la

position estimée. En effet, cette dernière est déjà perturbée par les harmoniques dans le

spectre n'étant pas totalement filtrées.

0 2 4 6

0-π⁄2

-π

π⁄2π

0 2 4 6-600

-300

0

300

600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0-π⁄2

-π

π⁄2π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-600

-300

0

300

600

t[s] t[s]

/ i, ˆ [ m n]rr trω ω / i, ˆ [ m n]rr trω ω

t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ ˆ [ ]r rdθ

Machine 1 Machine 3 Résultats expérimentaux

-a- -b-

Figure III-23 Estimation de la position et de la vitesse du rotor par la fonction Arctg. a) Machine présentant une seule saillance dans un système de commande vectorielle (h=2,

pp=2), la vitesse de référence varie entre 300, 0, -300, 0 tr/min. b) Machine chargée commandée en V/f présentant plusieurs saillances éliminées par le

filtrage par la DFT glissante (h=2, pp=1).


97

III.3.2 Estimation de la position du rotor par une boucle à verrouillage de phase (PLL)

La boucle à verrouillage de phase PLL est un estimateur dont le principe de

fonctionnement est d'employer l'erreur résultant de la multiplication croisée entre un vecteur

réel (issu de la mesure) et un vecteur modèle (issu d'un modèle de référence) afin de forcer la

convergence de la phase du vecteur modèle vers celle du vecteur réel.

Puisque la phase des composantes inverses de la porteuse contient la position du rotor,

nous pouvons donc appliquer une PLL (dont le schéma principe est présenté sur la figure

III-24) pour estimer cette position.

_fcs cnIβ

− -

Modèle des Saillances

_fc

s cnIα−

1p

PI rθε

_fc

s cnmIα−

_fcs cnmIβ

−

+

ˆrω

Figure III-24 Estimation de la position du rotor par une boucle à verrouillage de phase (PLL).

Les deux étapes indispensables pour synthétiser notre boucle à verrouillage de phase

sont la modélisation des saillances et le calcul des coefficients du régulateur PI.

Modélisation des saillances

La modélisation des composantes inverses modulées par la position du rotor sera

appelée "modélisation des saillances".

Un signal est, en général, caractérisé par son amplitude, sa phase et sa fréquence. Ces

paramètres sont, dans le cas de la modélisation des saillances, les amplitudes Icni, les phases ϕi

et l'angle à estimer rθ . Nous pouvons aussi ajouter les rangs d'harmoniques hi. Ces dernières

peuvent être estimées, soit, en traçant le lieu du vecteur total des composantes inverses dans le

référentiel RF(-fc) (chapitre II), soit, en appliquant la DFT classique ou la DFT glissante sur

les courants statoriques.


98

Dans le cas d'une seule saillance, nous n'avons pas besoin d'identifier l'amplitude de la

saillance puisque ce n'est pas nécessaire pour la boucle à verrouillage de phase.

Dans ce cas, le vecteur modèle qui devient un vecteur unitaire s'écrit :

ˆ ˆ( )2

_r

cj hf

s cnmI eπθ ϕ

αβ

+ +− = (III.2.14)

L'erreur qui résulte de la multiplication croisée entre le vecteur modèle et le vecteur

réel (celui de la composante inverse) (III.2.12) s'écrit :

_ _ _ _c c c cf f f f

s cnm s cn s cn s cnmI I I Iα β α βε − − − −= − (III.2.15)

ˆ ˆsin( )cn r rI h hε θ θ ϕ ϕ= − + − (III.2.16)

La boucle à verrouillage de phase va forcer l'erreur à converger vers zéro en faisant

coller les deux vecteurs. Pour de faibles valeurs de l'erreur, nous pouvons faire

l'approximation suivante :

ˆ ˆ( )cn r rI h hε θ θ ϕ ϕ≈ − + − (III.2.17)

Cette erreur converge vers zéro quand :

ˆr r h

ϕ ϕθ θ −→ + (III.2.18)

Nous pouvons ainsi estimer la position du rotor avec un déphasage égale à ˆ( ) / hϕ ϕ−

ce déphasage ne cause pas de problèmes dans le cas de l'estimation de la vitesse car ˆ,ϕ ϕ ne

dépendent pas du temps.

Dans le cas où la machine présente plusieurs saillances (prenons le cas de deux

saillances par exemple) et en utilisant le même vecteur modèle, une erreur d'estimation va se

produire. Comme les vecteurs représentant les composantes inverses sont inséparables l'un de

l'autre et que la PLL fait coïncider la phase du vecteur modèle avec celle du vecteur réel, nous

allons estimer, in fine, la phase du vecteur total des composantes inverses au lieu de la

position du rotor (figure III-25).

Pour calculer l'erreur d'estimation dans ce cas, nous traçons les deux composantes

inverses et le vecteur total de ces composantes (figure III-25). Le vecteur modèle coïncide

avec le vecteur total. Afin de calculer l'erreur d'estimation, nous opérons une transformation

dans le repère dq lié à la première composante inverse.


99

h1.θr

h2.θr

1r rhθ θ−

1 1.( . )2

1.rj h

cnI eπθ ϕ+ +

2 2.( . )2

2. rj h

cnI eπθ ϕ+ +

_cfs cnIαβ

−

α

β

1r rhθ θ−

d

q

Figure III-25 Erreur entre la position estimée et la position réelle dans le cas d'une modélisation de deux

saillances par un vecteur unitaire.

L'erreur d'estimation est présentée sur la figure ( III-26) pour plusieurs rapports Icn2/Icn1.

Nous remarquons que, plus l'amplitude de la composante inverse dominante (Icn1) est

importante par rapport à la composante inverse secondaire (Icn2), plus l'erreur d'estimation de

la position du rotor diminue. Ceci peut se généraliser au cas où plusieurs saillances sont

présentes avec une composante inverse dominante. Alors, l'utilisation du vecteur unitaire est

une bonne approximation du modèle de saillance à implanter dans la PLL.

0 π⁄2 π 3π⁄2 2π

0

-π⁄2

π⁄2

Position du rotor [rd]

Erre

ur d

'estim

atio

n su

r la

posi

tion[

rd]

1) Icn2=0 2) Icn2= 0.25Icn1 3) Icn2= 0.5Icn1 4) Icn2= 0.75Icn1 5) Icn2= Icn1

1 2

3

4 5

Figure III-26 Erreur d'estimation de la position du rotor en utilisant un vecteur unitaire pour une

machine présentant plusieurs saillances et pour différents rapports Icn2/Icn1 (h1=2, h2=-4, ϕ1=ϕ2=0°).

Cependant, il peut se produire un autre problème dans le cas où la porteuse contient

des composantes inverses qui ne dépendent pas de la position du rotor. Prenons par exemple,

la composante inverse due à la saturation qui est modulée par la fréquence du synchronisme

fs. Dans le cas où l'amplitude de cette composante est supérieure à celle de la composante

inverse dominante dépendant de la position du rotor, la PLL va verrouiller l'angle estimé sur


100

celui du synchronisme, à la place de la position du rotor. C'est pourquoi cette composante doit

être éliminée.

Pour expliquer ce phénomène, nous présentons sur les figures ( III-27) deux

expériences. Dans la première expérience, nous estimons la vitesse d'une machine asynchrone

(machine 1) présentant deux saillances dont l'amplitude de la première composante est

supérieure aux amplitudes des autres composantes (dépendantes et indépendantes de la

position du rotor) (figure III-27-a).

Tandis que, dans la deuxième expérience, l'amplitude de la première composante

inverse est inférieure à une composante indépendante de la position du rotor (figure III-27-b).

A un instant donné, nous appliquons un échelon de couple de 20 Nm. Nous remarquons que

dans le premier cas, l'estimation de la vitesse de la machine reste valable. Par contre, dans le

deuxième cas, la PLL a tendance à estimer la pulsation statorique à la place de la position du

rotor.

0 2 4 6 8 100

200

400

600

800

0 2 4 6 8 100

200

400

600

800

t[s]

Echelon de couple

ˆ [ / mi, n, ]rrs trω ωω ˆ [ / mi, n, ]rrs trω ωω

Echelon de couple

t[s]


-a- -b-

Figure III-27 Estimation de la vitesse de la machine asynchrone (machine 1) par une boucle à verrouillage de phase pour une machine présente deux saillances quand un échelon de couple de 20 Nm est appliqué 8.

a) L'amplitude de la première composante inverse est supérieure aux autres composantes dépendantes et indépendantes de la position du rotor.

b) L'amplitude de la première composante inverse est inférieure à celle de la composante due à la saturation.

8 Les vitesses estimées et réelles ainsi que la pulsation statorique sont présentés en tr/min pour simplifier la comparaison.


101

Donc, dans le cas de plusieurs saillances il faut que la relation entre la position du

rotor et la phase du vecteur modèle soit la même que celle entre la position du rotor et la

phase du vecteur total des composantes inverses. Un des vecteurs modèles utilisés, est le

vecteur quasi unitaire dont la forme est représentée par l'équation (III.2.19) [Deg97-2],

[Deg98-1]. Ce vecteur est celui de la composition des composantes inverses, rapporté à

l'amplitude de la première composante inverse :

1 1 2 2ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )

22 2_

1

ˆˆ

r rc

j h j hf cns cnm

cn

II e eI

π πθ ϕ θ ϕ

αβ

+ + + +− = + (III.2.19)

En remplaçant les équations du vecteur modèle et réel dans l'équation (III.2.15), nous

obtenons l'erreur issue de la multiplication croisée :

1 21 1 1 1 1 1 2 1 2

1

2 22 2 1 2 1 2 2 2 2

1

ˆˆ ˆˆ ˆsin( ) sin( )ˆ

ˆˆ ˆˆ ˆsin( ) sin( )ˆ

cn cncn r r r r

cn

cn cncn r r r r

cn

I II h h h hI

I II h h h hI

ε θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ

θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ

= − + − + − + −

+ − + − + − + −

(III.2.20)

Si les variables estimées sont égales aux variables réelles, cette erreur va converger

vers zéro quand :

ˆr r h

ϕ ϕθ θ −→ + (III.2.21)

Nous pouvons ainsi estimer la position du rotor avec un déphasage égal à :

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆˆh h h

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ − −−= = (III.2.22)

Comme nous l'avons énoncé au chapitre précédent, les composantes inverses peuvent

contenir une composante stationnaire dont la forme est 00

jcnI e ϕ . Nous devons, dans ce cas,

découpler cette composante (figure III-28) ou l'éliminer dans le cas d'utilisation du filtrage par

la DFT glissante.


102

_fcs cnIβ

− -

Modèle des Saillances

_fc

s cnIα−

1p

PI rθε

_fc

s cnmIα−

_fcs cnmIβ

−

+

-

-

+

+

0( )0

jcnI e ϕ

Figure III-28 Découplage de la composante stationnaire de la porteuse.

Pour que la PLL "traque" correctement la position du rotor, l'estimation des

amplitudes et des phases des composantes inverses de la porteuse doit être la plus proche

possible des valeurs réelles. Pour ce faire, nous proposons dans ce travail, deux méthodes

d'estimation. La première, qui est appliquée hors ligne, est la méthode d'estimation des

moindres carrés [Alr03-1]. La deuxième, qui peut être appliquée en ligne est la méthode

d'estimation par synchronisation.

Estimation des paramètres des saillances par la méthode des moindres carrés

Le principe de la méthode des moindres carrés est de choisir les paramètres d'un

modèle de telle sorte que la somme des carrés de la différence entre les valeurs prédites par le

modèle et celles observées soit minimale. Cette approche peut s'appliquer à n'importe quel

type de modèle, mais une solution analytique ne peut être obtenue que si le modèle est linéaire

en fonction des paramètres [Fla94-1].

Soit X, Y les couples des variables d'entrées et de sorties observées :

X=[x1, x2,…xn…, xN]T.

Y=[y1, y2,…yn…, yN]T.

N est le nombre d'observations.

La formulation standard des moindres carrés consiste à supposer que les variables

ˆny sont données par le modèle :

ˆ ˆY = ΨΞ (III.2.23)

Où :


103

1 1 1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i NP

N i N NP N

x x x

x x x

ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

… …

… …

sont des fonctions connues.

1 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ , ,..., , , ]T

i NPξ ξ ξ ξΞ = … sont les paramètres inconnus.

NP est le nombre de paramètres à estimer.

En minimisant le critère J donné par la relation (III.2.24), nous obtenons la solution

analytique pour estimer les paramètres Ξ (III.2.25).

2 21 1

1 1

1 1 ˆ ˆ ˆ( ( ) ... ( ) ( ))2 2

N N

n n n i i n NP NP nn n

J y x x xε ξψ ξψ ξ ψ= =

= = − − − − −∑ ∑ … (III.2.24)

1ˆ ( )T T Y−Ξ = Ψ Ψ Ψ (III.2.25)

Revenons à l'équation des composantes inverses de la porteuse dans le référentiel

RF(-fc) (III.2.26) et regardons comment y appliquer la méthode des moindres carrés pour

estimer les paramètres inconnus ˆ ˆ,cni iI ϕ :

( )2

_i r ij hfc

s cn cnii

I I eπθ ϕ

αβ

+ +− = ∑ (III.2.26)

Nous remarquons que cette équation n'est pas linéaire en fonction des paramètres. Une

solution analytique ne peut donc pas être obtenue. Afin de rendre cette équation linéaire en

fonction des paramètres, nous devons apporter quelques modifications à ces dernières.

L'équation (III.2.26) peut être écrite sous la forme suivante :

( )_ ( ) i rj hfc

s cn i ii

I j e θαβ α βξ ξ− = +∑

avec :

cos( )2i cni iIαπξ ϕ= +

sin( )2i cni iIβπξ ϕ= +

En tant que modèle nous l'écrivons sous la forme :


104

( )_

ˆ ˆˆ ( ) i rj hfcs cn i i

iI j e θαβ α βξ ξ− = +∑ (III.2.27)

Donc les nouveaux paramètres à estimer sont ˆ ˆ î i ijαβ α βξ ξ ξ= + . Ces paramètres peuvent

être estimés à partir de l'équation (III.2.25) en mettant :

_ 1 _ 2 _ 3 _...fc fc fc fcs cn s cn s cn s cnNY I I I Iαβ αβ αβ αβ

− − − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦

11 1 2 1

21 2 2 2

1 2

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

NP rr r

NP rr r

rN rN NP rN

j hj h j h

j hj h j h

j h j h j h

e e ee e e

e e e

θθ θ

θθ θ

θ θ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ψ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…………

1ˆ ˆ ˆˆ [ ... ]T

i NPαβ αβ αβξ ξ ξΞ = …

Nous obtenons, ensuite, les amplitudes cniI et les phases îϕ en appliquant les deux

formules suivantes :

2 2ˆ ˆcni i iI α βξ ξ= + (III.2.28)

ˆˆ ˆ 2

ii

i

Arctg β

α

ξ πϕξ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (III.2.29)

La figure III-29 montre la superposition des composantes inverses réelles de la

porteuse sur celles modélisées (résultats de simulation et expérimentaux sur la machine 1).

Nous constatons que la méthode des moindres carrés est capable de modéliser l'amplitude et

la phase d'un signal composé de plusieurs harmoniques si nous rendons ce signal linéaire en

fonction des paramètres à estimer [Alr03-1], [Alr03-2].


105

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.4-0.2

00.20.40.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.4-0.2

00.20.40.6

_ _ˆ,c cf

s cnfs cnIIα α−−

_ _ˆ,c cf

s cnfs cnII β β−−

_ _ˆ,c cf

s cnfs cnIIα α−−

_ _ˆ,c cf

s cnfs cnII β β−−

t[s] t[s]

t[s]

[A]

Résultats de simulation Résultats expérimentaux

[A]

t[s]

[A]

[A]

Figure III-29 Composantes inverses réelles de la porteuse (en rouge) et celles modélisées (en bleu).

Estimation des paramètres des saillances par la méthode de synchronisation

Pour cette méthode, nous nous sommes inspiré du principe de la DFT. Nous

transférons le signal dans un repère lié (ou synchronisé) à la fréquence de la composante dont

nous voulons identifier l'amplitude et la phase et nous faisons la somme des échantillons du

nouveau signal.

Pour bien expliquer cette méthode, prenons un exemple. Supposons que nous avons

deux signaux complexes dont les fréquences sont respectivement de 1 Hz et 2 Hz. La

fréquence d'échantillonnage est de 10 Hz. Nous prenons dix échantillons dans l'intervalle de

temps 0 à 0,9 s. Nous voulons identifier l'amplitude et la phase du signal dont la fréquence est

1 Hz. C'est pourquoi, nous allons faire tourner le repère dq à cette fréquence. Pour plus de

simplification, nous supposons qu'à l'instant 0 les phases des deux vecteurs sont nulles. Nous

sommons ensuite les projections des vecteurs sur les axes dq résultant à chaque pas

d'échantillonnage.

Sur les figures ( III-30) présentant l'évolution des vecteurs des deux signaux, nous

faisons plusieurs observations :


106

• Par rapport au vecteur perturbateur, nous remarquons que les composantes d des couples

des étapes (1,6), (2,5), (3,4), (8,9), (7,10) sont en sens inverses et les composantes q des

couples des étapes (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10) sont également des sens inverses. Par

conséquent la somme de ces composantes va converger vers zéro.

• Les projections du vecteur à identifier sur les axes dq sont constantes. Alors, en faisant la

somme de toutes les composantes d et la somme de toutes les composantes q et en divisant

ces sommes par le nombre d'échantillons nous aurons les composantes d et q du vecteur.

Nous pouvons ainsi calculer son amplitude et sa phase.

d

q t=0 s1)

d

q t=0,1 s2)

d

q

t=0,2 s3)

d

q

t=0,3 s4)

d

q

t=0,4 s5)

d

q

t=0,5 s6)

dq

t=0,6 s7)

d

q

t=0,7 s8)

d

q

t=0,8 s9)


107

d

qt=0,9 s10)

α

β t=1 s 11)

Figure III-30 Evolution des vecteurs du signal à identifier (en rouge) et du signal perturbateur (en bleu et

vert) sur une période du signal à identifier.

Cette méthode est non seulement valable pour identifier l'amplitude et la phase de

n'importe quel signal, mais elle permet de préciser le sens de rotation du vecteur. Il faut

cependant plusieurs conditions :

• La fréquence à identifier doit être inférieure ou égale à la moitié de la fréquence

d'échantillonnage. 2

sFF ≤ . Dans notre cas, cette condition est vérifiée car les fréquences

des signaux à identifier sont autour de 400 Hz tandis que la fréquence d'échantillonnage

est de 5 kHz (nous faisons les acquisition toutes les 2 périodes de MLI, qui elle, a une

fréquence de 10 kHz).

• La différence entre la fréquence du vecteur à identifier et celle du vecteur perturbateur le

plus proche (en fréquence) doit être supérieure ou égale à la résolution de la DFT.

1F F F− ≥ ∆ . Nous pouvons satisfaire cette condition en adaptant la durée de l'essai.

Il faut remarquer également que l'erreur de l'estimation n'est pas nulle car il est

presque impossible que tous les autres signaux se répètent un nombre entier de fois. En effet,

dans le repère lié à la fréquence du signal à identifier, les autres signaux s'annulent à chaque

nouvelle période qui est égale à 11/ F F− . Pour expliquer ce phénomène nous présentons

deux signaux sur la figure ( III-31). Le premier signal (en rouge) est celui qui est synchronisé.

Le deuxième signal est le signal perturbateur le plus proche du point de vue fréquentiel.


108

1)( ) .( 0

Sig F N AmpSig F

∑ =∑ = 1 0

) 3.((

)SSig

g AF

i F mp∑ =∑ ≠1)

( ) .( 0

Sig F N AmpSig F

∑ =∑ =N.Ts 0

Amp

Sig(F1) Sig(F)

Figure III-31 Erreur produite lors de l'identification d'un signal par la méthode de synchronisation.

Nous présentons sur les figures ( III-32-a) un résultat expérimental de la machine 3 qui

présente plusieurs saillances. La composante à identifier est perturbée par une composante

indépendante de la position du rotor. Nous présentons également sur les figures ( III-32-b) un

résultat de simulation pour la machine 1 qui présente deux saillances dont nous voulons

identifier la principale.

L'estimation par la méthode de synchronisation a permis dans les deux cas d'identifier

la composante demandée. Cette méthode est importante pour observer l'évolution des

saillances dans la machine. Elle peut également être employée dans le cadre du diagnostic de

défaillance de la machine (présences de barres cassées par exemple).


109

-420 -410 -400 -390 -3800

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.025

0.05

-460 -440 -420 -400 -380 -3600

0.1

0.2

0.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 0.80.2 0.60.40

Résultats expérimentaux Résultats de simulation

Raie à identifierRaie à identifier

Fréquence [Hz] Fréquence [Hz]

t [s] t [s]

Am

plitu

de[A

]

Am

plitu

de[A

]

Amplitude de la raie identifiée

Amplitude de la raie identifiée

-a- -b-

Figure III-32 Analyse spectrale du courant statorique αβ sur une fenêtre de fréquence, montrant la composante modulée par la position du rotor (en haut) et l'identification de l'amplitude de cette composante par la méthode de synchronisation (en bas). a) Résultat expérimental sur la machine 3. b) Résultat de simulation sur la machine 1.

Calcul des coefficients du régulateur PI de la PLL

Puisque l'algorithme d'estimation est implanté sur un système numérique à base de

DSP, le régulateur PI est sous forme numérique. La méthode la plus simple pour déterminer

les coefficients d'un régulateur numérique est de calculer les coefficients d'un régulateur

analogique (figure III-33) puis de le discrétiser. Pour ce faire, nous allons étudier le cas de

deux saillances (III.2.20). En effet, c'est un cas un peu plus général et le résultat obtenu peut

être appliqué dans le cas d'une seule saillance.


110

Kp

ε 1p rθ

iKp

+

+

Figure III-33 Schéma du régulateur PI et de l'intégrateur utilisés dans la PLL pour estimer la position

du rotor.

Quand la modélisation est adéquate, nous supposons que les amplitudes et les phases

réelles et estimées des composantes inverses sont égales. Par conséquent, le deuxième et le

troisième termes de l'équation (III.2.20) sont égaux en valeur absolue et opposées en signe.

Nous pouvons, alors, écrire :

2 21 1 2

1

ˆˆ ˆsin( ( )) sin( ( ))ˆcn cn

cn r r r rcn

I II h hI

ε θ θ θ θ= − + − (III.2.30)

Pour des faibles différences angulaires, cette équation devient :

2 21 1 2

1

ˆˆ ˆ( ( )) ( ( ))ˆcn cn

cn r r r rcn

I II h hI

ε θ θ θ θ≈ − + − (III.2.31)

A partir du schéma de la figure ( III-33), nous pouvons écrire :

1 îp r

KKp p

ε θ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(III.2.32)

En arrangeant les deux dernières équations, nous obtenons la fonction de transfert de

la PLL en boucle fermée.

2 22 2

1 1 2 1 1 21 1

2 22 2 2

1 1 2 1 1 21 1

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ

cn cncn p cn i

r cn cn

r cn cncn p cn i

cn cn

I II h h K p I h h KI I

I Ip I h h K p I h h KI I

θθ

+ + +=

+ + + + (III.2.33)

Ensuite les coefficients Ki, Kp sont calculés en modélisant le dénominateur de

(III.2.33) par une fonction de transfert stable du deuxième ordre. Le régulateur PI discret est

obtenu, en effectuant la transformée en Z de la fonction (III.2.33).

Les estimations de la vitesse et de la position par la PLL pour une machine présentant

deux saillances sont présentées sur les figures ( III-34). La machine est chargée à 20 Nm et les

vitesses de référence varient entre -300, 0 et 300 tr/min. La qualité de l'estimation est


111

acceptable, y compris à vitesse nulle. La vitesse est, évidement, perturbée en raison des

composantes non prises en compte.

0 2 4 6

0-π⁄2

-π

π⁄2π

0 2 4 6-600

-300

0

300

600

0 1 2 3 4

0-π⁄2

-π

π⁄2π

0 1 2 3 4-600

-300

0

300

600

t[s] t[s]

/ i, ˆ [ m n]rr trω ω / i, ˆ [ m n]rr trω ω

t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ ˆ [ ]r rdθ

Résultats expérimentaux Résultats de simulation

-a- -b-

Figure III-34 Estimation de la position et de la vitesse de la machine asynchrone par la PLL (machine 1 présentant deux saillances : h1=2, h2=-4, Icn2/Icn1=0,5) chargée à 20 Nm.

III.4 Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons détaillé la partie de traitement du signal en partant

du courant statorique jusqu'à l'estimation de la vitesse et de la position du rotor de la machine

asynchrone. Nous avons présenté plusieurs méthodes d'extraction des composantes inverses.

Nous avons vu que pour isoler des composantes inverses dominantes dépendantes de la

position du rotor, un filtre synchrone passe bas a donné des meilleurs résultats. L'utilisation

de ce filtre diminue les nombres d'opérations à faire, grâce à l'élimination de la composante

fondamentale, de la composante directe et du bruit en une seule fois. Tandis qu'un traitement

du signal supplémentaire est nécessaire quand la porteuse contient des composantes inverses

perturbatrices indépendantes de la position du rotor. C'est pourquoi nous avons proposé le

filtrage par la transformée de Fourier discrète glissante. Ensuite, nous avons expliqué


112

l'estimation de la position par la fonction Arctg incrémentale (utilisable pour l'estimation de la

vitesse en employant une seule composante inverse) et par la boucle à verrouillage de phase.

Nous constatons que l'estimation de la vitesse par la boucle à verrouillage de phase en

comparaison avec la fonction Arctg est moins sensible au bruit mais elle introduit plus de

retard. Nous avons aussi présenté deux méthodes d'identification des paramètres des

saillances. La première méthode utilise la méthode des moindres carrés et est implanté hors

ligne, tandis que la deuxième se base sur la synchronisation du signal à identifier avec un

repère tournant et s'utilise en ligne. Ces méthodes d'identification sont indispensables pour

caractériser le modèle employé dans la PLL et pour observer le fonctionnement de la machine

en ligne.

Plusieurs résultats expérimentaux et de simulation sur différentes machines ont été

également présentés. Ces résultats ont montré qu'en injectant un signal à haute fréquence dans

la machine et en analysant le signal courant résultant, nous pouvions estimer la vitesse et la

position du rotor même à l'arrêt. Chose qui n'est pas réalisable en employant les méthodes

classiques d'estimation.

Pour conclure, nous pouvons dire que l'estimation de la vitesse ou de la position de la

machine asynchrone par la méthode d'injection du signal à haute fréquence est beaucoup plus

compliquée quand la machine n'est pas prévue pour ce genre de fonctionnement.

Dans le chapitre suivant nous allons étudier la faisabilité d'exploiter la vitesse estimée

pour réaliser la commande vectorielle sans capteur. Autrement dit, nous allons utiliser la

vitesse estimée pour le calcul de l'angle des transformations directe et inverse de Park d'une

part et comme entrée du comparateur pour la régulation de vitesse d'autre part.

CHAPITRE IV – COMMANDE SANS CAPTEUR DE LA MACHINE ASYNCHRONE

CHAPITRE IV - COMMANDE SANS CAPTEUR DE LA MACHINE ASYNCHRONE



115

IV.1 Introduction

Dans le chapitre précédent nous avons étudié la méthode d'estimation de la vitesse de

la machine asynchrone par l'injection d'un signal à haute fréquence dans la machine. Nous

avons vu que par cette méthode nous pouvions estimer la vitesse de la machine même à l'arrêt

à condition que la machine présente des saillances dépendantes de la position du rotor. Nous

avons également vu que la vitesse d'une machine présentant des saillances perturbatrices ne

peut être estimée qu'après l'élimination des effets de ces saillances.

Ce chapitre est destiné à étudier la faisabilité de l'utilisation de la vitesse estimée à la

place de la vitesse mesurée dans un système de commande vectorielle.

Nous commençons, tout d'abord, par une explication rapide de la commande

vectorielle. Ensuite, nous allons montrer les résultats expérimentaux dans le cas où la machine

ne présente que des saillances dépendantes de la position du rotor. Enfin, nous allons faire les

mêmes tests sur une machine où interfèrent des saillances perturbatrices indépendantes de la

position du rotor.

IV.2 Commande vectorielle

Le but de la commande vectorielle est d'arriver à commander la machine asynchrone

comme une machine à courant continu à excitation indépendante où il y a un découplage

naturel entre la grandeur commandant le flux (le courant d'excitation), et celle liée au couple

(le courant d'induit). Ce découplage permet d'obtenir une réponse très rapide du couple.

Le schéma de commande vectorielle que nous allons modifier pour tester la

commande vectorielle sans capteur est celui d'une commande vectorielle indirecte par

orientation de flux rotorique (IRFO). Cette commande a été préalablement implantée sur les

bancs expérimentaux (Annexe E) [Bag99-2].

Plusieurs variantes existent pour ce type de commande. Dans la version retenue,

l'angle du repère de Park θs, utilisée pour la transformation directe et inverse, est calculé à

partir de la formule suivante :

*

*( )qss r

r ds

Idt

Iθ ω

τ= +∫ (IV.2.1)


116

où :

** rdsI

Mϕ

=

M1

Reg Ce

* +

-

+

+

-

+

-

Reg

Reg

*

*

rr

qsMIϕτ

+ ∫

Vds*

Vqs*

C32

Vcs*

Vas*

MLI Vbs

* MAS

Iqs

Ids C22

θr

Ω∗

pp

Iqs*

Ids*

θs ωs

ωr

*

23pp

r

r

LM ϕ

P(-θs)

P(θs)

Ias

Ibs

ϕr*

*ssV α

*ssV β

*ssI β

*ssIα

Figure IV-1 Régulation de vitesse par la commande vectorielle indirecte (IRFO).

La figure ( IV-1) présente le schéma bloc d'une régulation de vitesse du moteur

asynchrone commandé par orientation du flux rotorique.

Les principaux constituants dans ce type de commande sont la boucle de régulation de

vitesse, celles des courants Ids, Iqs, le bloc de défluxage, celui du calcul de θs et les

transformations directes et inverses.

IV.3 Commande vectorielle sans capteur

Pour appliquer la commande vectorielle sans capteur, nous devons apporter quelques

modifications au schéma précédent. Nous remplaçons la vitesse mesurée via le codeur

incrémental par la vitesse estimée. Ainsi, la vitesse estimée est utilisée comme entrée du

régulateur de vitesse mais aussi afin de calculer l'angle θs. La relation (IV.2.1) se ramène à la

forme suivante :

*

*ˆ ˆ( )qss r

r ds

Idt

Iθ ω

τ= +∫ (IV.2.2)


117

Ces modifications sont présentées par la figure ( IV-2). Les tensions appliquées à la

machine sont celles de l'alimentation fondamentale et de la tension du signal injecté. Les

courants statoriques sont analysés et traités afin d'en extraire la position et la vitesse du rotor.

1/pp

ˆ rω Estimation de la position et de la

vitesse

M1

Reg Ce

* +

-

+

+

-

+

-

Reg

Reg

*

*

rr

qsMIϕτ

+ ∫

Vds*

Vqs*

C32

Vcs*

Vas*

MLI Vbs

* MAS

Iqs

Ids C22

Ω∗ Iqs*

Ids*

*

23pp

r

r

LM ϕ

Ias

Ibs

ϕr*

*_

ss cV α

*ssV β

*ssI β

*ssIα

ˆsω

Ω

sθ

ˆ( )sP θ−

ˆ( )sP θ

*ssV α

*_

ss cV β

Figure IV-2 Régulation de vitesse par la commande vectorielle indirecte sans capteur.

Nous allons étudier deux cas de commande vectorielle sans capteur. Dans le premier

cas, les composantes inverses modulées par la position du rotor sont dominantes et dans le

deuxième cas ces composantes sont perturbées par des composantes inverses indépendantes

de la position du rotor.

IV.3.1 Commande vectorielle sans capteur d'une machine présentant des saillances dominantes et dépendantes de la position du rotor

Pour cette commande, nous utilisons le filtre synchrone passe bas (ch III) afin

d'extraire les composantes inverses de la porteuse. Ensuite, ces dernières sont transformées

dans le référentiel RF(-fc). Enfin, la vitesse est estimée par la fonction Arctg incrémentale

(uniquement pour le cas d'une seule saillance) ou par la boucle à verrouillage de phase dans le

cas d'une seule ou plusieurs saillances.


118

Cas d'une seule saillance

Nous présentons les résultats de l'utilisation de la vitesse estimée à la place de la

vitesse mesurée pour une machine présentant une seule saillance (machine 1-Annexe E).

Nous avons fait plusieurs essais regroupant les générales fonctionnalités d'une

machine commandée (régime permanant, régime transitoire, à vide et machine chargée).

Les figures ( IV-3 et IV-4) présentent des résultats expérimentaux du fonctionnement

de la machine dans un système de commande vectorielle sans capteur, en régime permanant

pour deux vitesses différentes. La première est une faible vitesse (Ω=6 tr/min) et la deuxième

est une vitesse moyenne (Ω=300 tr/min). Nous remarquons que la vitesse estimée a pu

remplacer la vitesse mesurée sans perturber la commande vectorielle même à basse vitesse.

Nous avons opéré en deux temps, le premier correspond au bouclage de la commande

vectorielle (angle de Park) puis celui du régulateur de vitesse. Ce dernier a cependant été

ralenti par rapport à son réglage optimal, car, l'estimation étant bruitée, celui introduisait des

oscillations très importantes pouvant conduire à une instabilité de la commande.

Les résultats expérimentaux que nous montrons sur les figures ( IV-5 et IV-6) ont pour

objet de tester la commande vectorielle sans capteur en régime de poursuite, quand la vitesse

de référence Ω* subit des échelons de -300, 0 et 300 tr/min. Nous montrons qu'il n'y a pas eu

perte de contrôle vectoriel, même à partir de l'arrêt (vitesse nulle).

Le comportement du système à l'arrêt a également été testé (figures IV-7). La machine

est soumise à un couple d'entraînement. Le contrôle répond en imposant un courant Iqs afin de

contrer le couple perturbateur. Dans ce cas la vitesse estimée, que cela soit par la fonction

Arctg incrémentale, ou par la boucle à verrouillage de phase, a remplacé, avec succès, la

vitesse mesurée en maintenant sa vitesse nulle.

Les derniers essais (figures IV-8) présentent le comportement du système face à une

perturbation. A basse vitesse (Ω*=6 tr/min), nous appliquons un échelon de couple de 20 Nm.

Nous remarquons qu'à l'instant d'application du couple, une chute de la vitesse mesurée et

estimée se produit. Le système réagit mollement car nous avions ralentit le régulateur de

vitesse afin de garantir la stabilité du système bouclé. Ensuite, la consigne de vitesse est

rattrapée. L'estimation par Arctg incrémentale (figures IV-8-b) a donné de meilleurs résultats

face à la perturbation (couple de charge) que celle de la PLL (figures IV-8-a). En effet, la

réponse de l'estimateur par PLL est plus lente à cause de son bouclage intrinsèque.


119

Des résultats montrés ci-dessous, nous remarquons que la vitesse estimée présente des

oscillations qui sont plus importantes dans le cas de l'estimation par la fonction Arctg

incrémentale à cause de sa rapidité de réponse et à cause de la présence d'harmoniques

résiduelles nuisibles dans le spectre du courant statorique.

En conclusion, quand une machine présente une seule saillance, la vitesse estimée par

l'une des deux méthodes d'estimation peut être utilisée dans la boucle de régulation de vitesse

et également pour calculer l'angle des transformations directe et inverse de Park dans un

système de commande vectorielle. La qualité de la commande, pour des applications qui ne

demandent pas beaucoup de précision de réglage, reste acceptable même à basse vitesse et à

l'arrêt.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

200

400

600

800

t[s] t[s]

ˆ [ /, mn]r r trω ω ˆ [ /, mn]r r trω ω

t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ

Résultats Expérimentaux

ˆ [ ]r rdθ

-a- -b- Figure IV-3 Vitesse et position estimées par une boucle à verrouillage de phase d'une machine présentant

une seule saillance dans un système de commande vectorielle sans capteur. a) Pour une faible vitesse (Ω=12 tr/min, pp=2). b) Pour une vitesse moyenne (Ω=600 tr/min, pp=2).


120

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

200

400

600

800

t[s] t[s]


t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ


ˆ [ ]r rdθ

-a- -b- Figure IV-4 Vitesse et position estimées par la fonction Arctg incrémentale d'une machine présentant une

seule saillance dans un système de commande vectorielle sans capteur. a) Pour une faible vitesse (Ω=12 tr/min, pp=2). b) Pour une vitesse moyenne (Ω=600 tr/min, pp=2).


121

0 2 4 6 8 10

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 2 4 6 8 10

-600

-300

0

300

600

t[s]

ˆ [ /, mn]r r trω ω

t[s]

ˆ [ ]r rdθ


Figure IV-5 Vitesse et position estimées par une boucle à verrouillage de phase d'une machine présentant

une seule saillance dans un système de commande vectorielle sans capteur. La vitesse mécanique de référence Ω* subit des échelons de -600, 0 et 600 tr/min (pp=2).


122

0 2 4 6 8 10

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 2 4 6 8 10

-600

-300

0

300

600

t[s]


t[s]

ˆ [ ]r rdθ


Figure IV-6 Vitesse et position estimées par la fonction Arctg incrémentale d'une machine présentant une

seule saillance dans un système de commande vectorielle sans capteur. La vitesse mécanique de référence Ω* subit des échelons de -600, 0 et 600 tr/min (pp=2).


123

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

t[s] t[s]


t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ


ˆ [ ]r rdθ

* * , [ ], ,ds qs ds qsI II AI * * , [ ], ,ds qs ds qsI II AI

t[s] t[s]

-a- -b- Figure IV-7 Vitesse et position estimées d'une machine présentant une seule saillance dans un système de

commande vectorielle sans capteur. La machine, à l'arrêt, est soumise à un couple de charge.

a) Vitesse estimée par une boucle à verrouillage de phase. b) Vitesse estimée par la fonction Arctg incrémentale.


124

-4 -2 0 2 4 6 8

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

-4 -2 0 2 4 6 8-100

-50

0

50

100

-4 -2 0 2 4 6 8-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 2 4 6 8 10-100

-50

0

50

100

0 2 4 6 8 10-5

0

5

10

15

20

t[s] t[s]


t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ


ˆ [ ]r rdθ

* * , [ ], ,ds qs ds qsI II AI

t[s] t[s]


-a- -b- Figure IV-8 Vitesse et position estimées d'une machine présentant une seule saillance dans un système de

commande vectorielle sans capteur. En régime de régulation, un échelon de couple de 20 Nm est appliqué. La machine tourne à 12 tr/min (pp=2). b) Vitesse estimée par une boucle à verrouillage de phase. b) Vitesse estimée par la fonction Arctg incrémentale.


125

Cas de plusieurs saillances

Dans ce cas, la vitesse est estimée par une boucle à verrouillage de phase. En effet, la

méthode Arctg ne convient plus. Nous sommes également en train de développer une

méthode basée sur la connaissance de deux vecteurs Icn1 et Icn2 (en module et en phase) et une

estimation par l'Arctg des deux vecteurs.

L'estimation par la PLL est ce que nous utilisons sur des tests similaires à ceux du

paragraphe précédent (machine présentant une seule saillance: machine 1). Rappelons que la

machine 1 permet, grâce à une modélisation de l'effet de saillance au niveau du programme

DSP, de choisir des saillances artificielles à volonté, par rapport à une topologie saine de la

maquette expérimentale.

La figure ( IV-9-a) présente les résultats expérimentaux de la machine à basse vitesse

(Ω=6 tr/min) et à vitesse moyenne (Ω=300 tr/min) (figure IV-9-b). Puis, nous testons le

fonctionnement de la machine en transitoire, à vide ( IV-10) et en charge ( IV-11-b), sur des

échelons de vitesse mécanique de référence de -300, 0 et 300 tr/min. L'essai présenté sur les

figures ( IV-11-a) a pour objet de tester la commande sans capteur à l'arrêt quand la machine

subit un couple d'entraînement. Enfin, nous montrons sur les figures ( IV-12), la vitesse et la

position estimées lors d'un échelon de couple résistant, en régime de basse vitesse.

En comparant les résultats obtenus dans le cas d'une seule ou plusieurs saillances, nous

trouvons qu'ils sont très ressemblants. La vitesse estimée est tout aussi bruitée. La vitesse est

maintenue à l'arrêt même lors de la présence d'un couple d'entraînement. Enfin, les échelons

de référence sont suivis avec une dynamique, qui est celle que nous avons volontairement

limitée, pour des raisons de stabilité. C'est grâce à la prise en compte de toutes les

composantes inverses dépendant de la position du rotor dans le modèle de la PLL que

l'estimation est correcte. Dans la réalité, il est très difficile d'avoir un modèle correct des

saillances présentes au niveau de la machine et qui n'évoluent pas en fonction de la charge et

du niveau de saturation de la machine.

Nous trouvons que la qualité de la commande sans capteur est acceptable quand les

saillances dépendantes de la position du rotor sont dominantes.


126

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

200

400

600

800

t[s] t[s]


t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ


ˆ [ ]r rdθ

-a- -b- Figure IV-9 Vitesse et position estimées par une boucle à verrouillage de phase d'une machine présentant

deux saillances (Icn2/Icn1=0,2) dans un système de commande vectorielle sans capteur. a) Pour une faible vitesse (Ω=12 tr/min, pp=2). b) Pour une vitesse moyenne (Ω=600 tr/min, pp=2).


127

0 2 4 6 8 10

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 2 4 6 8 10

-600

-300

0

300

600

t[s]


t[s]

ˆ [ ]r rdθ


Figure IV-10 Vitesse et position estimées par une boucle à verrouillage de phase d'une machine

présentant deux saillance (Icn2/Icn1=0,2) dans un système de commande vectorielle sans capteur. La vitesse de référence Ω* subit des échelons de -600, 0 et 600 tr/min (pp=2).


128

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 2 4 6 8 10

-600

-300

0

300

600

0 2 4 6 8 10-20

-10

0

10

20

t[s] t[s]


t[s] t[s]

ˆ [ ]r rdθ

Résultats Expérimentaux ˆ [ ]r rdθ



t[s] t[s]

-a- -b- Figure IV-11 Vitesse et position estimées d'une machine chargée présentant deux saillance (Icn2/Icn1=0,2)

dans un système de commande vectorielle sans capteur. a) Machine est à l'arrêt sous faible charge entraînante. b) La vitesse mécanique de référence Ω* subit des échelons de -600, 0 et 600 tr/min (pp=2).


129

-4 -2 0 2 4 6 8

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

-4 -2 0 2 4 6 8-100

-50

0

50

100

-4 -2 0 2 4 6 8-4

0

4

8

12

t[s]


t[s]

ˆ [ ]r rdθ



t[s]

Figure IV-12 Vitesse et position estimées d'une machine présentant deux saillances (Icn2/Icn1=0,2), dans un système de commande vectorielle sans capteur. En régime de régulation, un échelon de couple de 20 Nm est appliqué. La machine tourne à 12 tr/min (pp=2).

Des résultats présentés ci-dessus, nous concluons que l'estimation de la position des

saillances dépendantes du rotor peut être implantée dans un système de commande vectorielle

sans capteur. La qualité de cette commande est satisfaisante à basse vitesse et à l'arrêt et

même quand la machine est chargée.


130

IV.3.2 Commande vectorielle sans capteur d'une machine présentant des saillances perturbatrices indépendantes de la position du rotor

Comme nous avons expliqué au chapitre précédent, il arrive souvent que les

composantes inverses dépendant de la position du rotor soient fortement perturbées par des

composantes inverses indépendantes de la position du rotor. Cette manifestation devient

gênante surtout quand elle survient sur des plages de fonctionnement particulières

correspondant à une variation de la charge ou à un changement du niveau de saturation

comme en régime de défluxage [Tes00-1].

Ne pas tenir compte de ces composantes perturbatrices conduit à estimer leur position

au lieu d'estimer celle de la machine. C'est pour cette raison que nous avons proposé

d'appliquer le filtrage par la transformée de Fourier discrète (DFT) glissante.

Nous allons maintenant étudier la faisabilité d'utiliser la vitesse estimée, dans ce cas

précis, pour implanter la commande vectorielle sans capteur. Nous employons cette vitesse

pour calculer les limites de la fenêtre du filtre DFT et les fréquences des raies à éliminer.

Nous utilisons ensuite la vitesse estimée pour calculer l'angle des transformations directe et

inverse de Park. Nous l'appliquons aussi comme variable de retour du régulateur de vitesse.

Nous avons testé, tout d'abord, l'algorithme sur la machine 3. Cependant, vu le faible

niveau du signal exploitable (environs 0,025 A par rapport à un courant nominal de 6 A), il est

fortement perturbé après le bouclage. Par conséquent, l'estimation de la vitesse n'est plus

correcte et la commande vectorielle est très vite perdue.

A cause de ce problème, nous avons continué les essais sur la machine 1, pour laquelle

nous contrôlons l'amplitude des saillances, y compris celles qui sont indépendantes de la

position du rotor.

Nous présentons sur les figures ( IV-13) la position et la vitesse estimée de la machine,

quand elle comporte des saillances perturbatrices. Le système, en commande vectorielle sans

capteur, est en régime permanent. En comparant ces résultats avec ceux où les composantes

dépendantes de la position du rotor sont dominantes (pour lesquelles, nous utilisons le filtre

synchrone passe bas), nous remarquons que la qualité de l'estimation de la vitesse est

meilleure. En effet, le filtrage par la DFT élimine parfaitement toutes les fréquences à

l'extérieur de la fenêtre choisie y compris la forte composante du fondamental.


131

Cependant, cette méthode montre ses limites quand nous utilisons la vitesse estimée

dans la commande sans capteur. Il y a pour cela deux principales causes :

Tous d'abord, il n'est pour l'instant pas possible d'éliminer la composante perturbatrice

quand la machine tourne à vide, car les deux composantes dépendante (-fc+2fr) et

indépendante (-fc+2fs) de la position du rotor coïncident presque entièrement à cause du très

faible glissement et de la résolution de la DFT. La seule solution pour pouvoir les séparer

consiste à augmenter une dizaine de fois la résolution de la DFT.

Le deuxième problème de cette technique est le retard introduit par la DFT glissante.

En effet, avant que ce système de filtrage ne donne un résultat correct, il faut qu'il y ait eu

propagation des anciennes valeurs des échantillons sur toute la fenêtre de travail temporelle de

la DFT. Ce retard empêche l'application de la méthode en régime transitoire et donc en

commande vectorielle.

Si on essaye de résoudre le premier problème par l'augmentation du nombre

d'échantillons, nous aggravons le deuxième problème du délai d'initialisation de l'algorithme.

Un compromis correct, permet d'utiliser cette méthode en régime permanent à des fins de

diagnostic et d'identification des paramètres des saillances puisque son filtrage est quasi

parfait.


132

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2-200

-100

0

100

200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2-5

0

5

10

15

20

t[s]


t[s]

ˆ [ ]r rdθRésultats Expérimentaux

, [ ]qds sII A

t[s]

Figure IV-13 Vitesse et position estimées en commande vectorielle sans capteur quand la machine présente des saillances perturbatrices.

IV.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons étudié la faisabilité d'utilisation de la vitesse estimée au

sein d'une régulation de vitesse, en commande vectorielle. Deux cas ont été présentés. Le

premier est celui d'une machine ne contenant que des saillances dépendantes de la position du


133

rotor, qui est le cas d'une machine conçue à l'origine pour être utilisé dans un système de

commande sans capteur. Le deuxième cas étudié est celui d'une machine présentant, en plus

des composantes dépendantes de la position du rotor, d'autres composantes inverses

indépendantes de la position du rotor. Nous rencontrons ce cas quand une petite asymétrie est

ajoutée au rotor. Nous avons pris le cas le plus général correspondant aux fréquence (-fc+2fr et

-fc+2fs).

Nous avons montré que la commande vectorielle sans capteur dans le premier cas est

opérationnelle à vide et en charge même quand la machine tourne à basse vitesse ou quand

elle est à l'arrêt. Par contre, dans le deuxième cas, quelques problèmes limitent l'exploitation

de la vitesse estimée pour boucler la commande vectorielle. C'est pourquoi le filtrage par DFT

glissante peut être plutôt employé pour des fins de diagnostic et non pas pour réaliser la

commande vectorielle. Elle peut être utilisée, en ligne par exemple, pour observer les

modifications de structure qui surviennent sur le rotor (comme une rupture d'une ou plusieurs

barres) ou bien, pour "traquer" et identifier l'amplitude des composantes inverse du modèle de

saillance.


134

CONCLUSION GENERALE

CONCLUSION GENERALE

CONCLUSION GENERALE

CONCLUSION GENERALE

137

Ce travail concerne le problème de l'estimation de la position et de la vitesse de la

machine asynchrone ainsi que de sa commande sans l'utilisation du codeur incrémental pour

des fonctionnements à basse vitesse et à l'arrêt.

En étudiant les méthodes qui existent dans la littérature pour l'estimation de la vitesse

de la machine asynchrone, nous avons trouvé qu'elles se divisent en trois catégories. La

première catégorie ne convient pas pour les basses vitesses et elle est sensible à la variation

des paramètres de la machine asynchrone (exemple, les méthodes d'estimation à base

d'observateurs). La deuxième catégorie échoue également dans le domaine des basses vitesses

mais elle est indépendante de la variation des paramètres de la machine asynchrone (méthodes

estimant la position de saillances). Nous avons vu qu'il existe une troisième catégorie qui

garantit de meilleurs résultats dans le domaine des basses vitesses et à l'arrêt, si trois

conditions sont vérifiées. Tous d'abord, il est indispensable qu'il y ait des saillances

dépendantes de la position du flux ou du rotor. Ensuite, il faut injecter en permanence une

excitation à haute fréquence de la machine en plus de son alimentation fondamentale. Enfin,

un traitement de signal permet d'analyser les courants pour en extraire les informations sur la

position du rotor ou du flux. C'est cette dernière technique qui a fait l'objet de notre travail de

recherche et nous nous sommes penchés en détail sur ces trois points.

Nous avons commencé par nous intéresser aux saillances (qu'elles soient d'origine

électrique ou magnétique) pouvant être présentes dans une machine asynchrone. Nous avons

vu que ces saillances peuvent être d'origine "naturelle" comme celles liées à la saturation de la

machine asynchrone ou à la position relative entre les encoches statoriques et rotoriques. Elles

peuvent être d'origine "artificielle" comme celles liées aux modifications asymétriques

apportées au rotor (largeur variable de l'ouverture des encoches rotoriques, barres de diamètre

variable de la cage extérieure, barres cassées…). Pour accomplir la partie expérimentale nous

avons utilisé quatre types de saillance. Dans un premier cas nous avons ajouté un courant

fictif de porteuse au courant réel de la machine. Ceci nous a permis de contrôler le niveau, le

nombre et la nature des saillances et ainsi d'analyser leurs effets sur l'algorithme d'estimation

et de commande. Dans les trois autres cas, il s'agit d'une modification physique apportée au

rotor en y ajoutant deux rainures diamétralement opposées, en cassant une barre ou en

ajoutant un aimant permanent au niveau de l'anneau de court circuit. Nous avons ensuite, modélisé la machine dans le domaine des hautes fréquences et

nous avons trouvé que ce modèle est caractérisé par les inductances statoriques transitoires.

CONCLUSION GENERALE

138

Vu du stator, ces dernières sont affectées par la présence des saillances. Nous avons discuté

des méthodes d'excitation de la machine asynchrone par un signal à haute fréquence. Nous

avons retenu la méthode d'excitation de la machine par une tension à haute fréquence

triphasée équilibrée à cause de sa simplicité d'implantation mais également de par sa symétrie

d'excitation. Cette tension est ajoutée à l'alimentation fondamentale de la machine au niveau

du programme du DSP, lors du calcul des références de tension. Cela pose effectivement un

problème de discrétisation de l'onde sinusoïdale que l'on applique, puisque nous dépendons de

la période d'échantillonnage de la boucle qui met à jour ces références (boucle de courant) et

de la période de la MLI. Il y a également un problème de résolution de la MLI à cause des

temps morts introduits par l'électronique de commande des IGBT pour protéger le système.

Ce problème mérite d'être examiné puisqu'à basse vitesse la tension imposée est faible et on

se retrouve encore plus tributaire des temps morts.

Nous avons montré et vérifié que le courant à haute fréquence résultant (dit le courant

de la porteuse) est composé de deux parties. Une composante directe d'amplitude importante

et des composantes inverses modulées par la position du rotor d'amplitude faible.

Expérimentalement, nous avons une multitude de signaux à cause des phénomènes

d'échantillonnage. Certes, ils sont de faible amplitude mais le signal qui contient l'information

utile est également de faible amplitude. Donc, à moins d'avoir une machine spécialement

conçue pour le mettre en exergue, il est très difficile de le repérer et de le suivre. C'est pour

cette raison que nous avons utilisé, pour tester nos algorithmes, la machine 1 qui introduit un

modèle de saillances.

En traçant le courant de la porteuse dans un référentiel lié au stator, nous obtenons des

ellipses tournantes dont la forme de rotation indique la présence d'une seule ou plusieurs

saillances. Pour se faire une idée sur les rangs d'harmoniques des saillances, il est nécessaire

de tracer les vecteurs des composantes inverses dans le référentiel RF(-fc). Nous en avons

déduit une formule qui donne les rangs d'harmoniques.

Nous avons aussi exploré la partie traitement du signal. Puisque le courant statorique

comporte, en plus de la forte composante fondamentale, une composante directe et des

composantes inverses, nous devons isoler les composantes inverses contenant l'information

sur la position du rotor. Etant faibles devant les autres composantes, variant avec la vitesse et

occupant la même plage de fréquences que celles de la composante directe, ces composantes

inverses ne peuvent pas être isolées par un simple filtre passe bande. De plus, nous avons

CONCLUSION GENERALE

139

trouvé que les composantes inverses dépendantes de la position du rotor sont dans certains cas

perturbées par d'autres composantes inverses indépendantes de la position du rotor (surtout

quand la machine n'est pas prévue pour une commande sans capteur). En étudiant ces deux

cas, nous avons proposé un système de filtrage pour chaque d'entre eux. Après avoir discuté

des méthodes qui existent déjà dans la littérature, nous avons proposé pour le premier cas un

filtre synchrone passe bas. Nous avons vu que ce filtre isole en une seule transformation les

composantes inverses et atténue très fortement les autres composantes, y compris le bruit. La

méthode proposée pour le deuxième cas est le filtrage par transformée de Fourier discrète

glissante. Bien que ce filtre ait pu éliminer les composantes perturbatrices, la composante

directe et celle du fondamental et bien que le signal résultant soit très propre, nous avons

trouvé que ce filtre est d'une utilisation limité à cause de deux problèmes dont l'origine est la

résolution de la DFT. Le premier problème vient du fait que lorsque la machine tourne à vide

la composante exploitable (-fc+2fr) et la composante inexploitable (-fc+2fs), sont superposées.

Le deuxième est lié au retard introduit par la DFT pour chaque changement de fréquence de

rotation.

Nous sommes ensuite passé à l'exploitation des composantes obtenues pour estimer la

position du rotor. Pour ce faire, nous avons étudié deux méthodes. La première, qui est la

méthode d'estimation par la fonction Arctg, ne peut être utilisée que dans le cas d'une seule

saillance ou bien dans celui où l'on a préalablement éliminé les saillances secondaires.

Puisque la fonction Arctg souffre de plusieurs problèmes liés à son implantation informatique,

nous avons proposé une fonction Arctg améliorée que nous avons appelé "Arctg

incrémentale". La deuxième méthode d'estimation qui peut être employée, dans le cas d'une

seule ou plusieurs saillances, est celle basée sur la boucle à verrouillage de phase. La PLL

requiert la connaissance des paramètres des composantes inverses pour son modèle, nous

avons alors proposé deux techniques pour l'identification de ces paramètres.

La première est la méthode d'identification par les moindres carrées. Elle est

applicable hors ligne, après la linéarisation de l'équation du courant de la porteuse en fonction

des paramètres à estimer.

Nous avons appelé la deuxième technique proposée et qui est inspirée du principe de la DFT :

"méthode d'identification par synchronisation". Nous avons vu que cette technique sélective

peut identifier des signaux de très faible amplitude, dans des spectres très perturbés. Comme

elle s'applique en ligne, cette technique sert à observer les modifications apportées aux

CONCLUSION GENERALE

140

composantes inverses. Nous avons vu que quand la machine est conçue pour être utilisée en

commande sans capteur, les deux méthodes d'estimation de la vitesse donnent des résultats

satisfaisants à basse vitesse, à l'arrêt, en régime permanent et transitoire. Pour terminer, nous

avons trouvé que la fonction Arctg offre une meilleure dynamique par rapport à la boucle à

verrouillage de phase mais elle est plus sensible aux bruits.

Le but principal de l'estimation de vitesse de la machine asynchrone est de pouvoir

implanter un système de commande sans capteur. Le dernier point abordé dans cette thèse est

d'étudier la faisabilité de cette implantation en commande vectorielle. Nous avons discuté du

cas d'une machine (à une ou plusieurs saillances) conçue à l'origine pour être implantée dans

un système de commande sans capteur et du cas où la machine n'est pas destinée à ce type de

commande. Dans le premier cas, nous utilisons la vitesse estimée pour calculer l'angle des

transformations de Park directe et inverse. La vitesse estimée est également comparée avec la

vitesse de référence dans la boucle de régulation de vitesse. Nous avons du "ralentir" le

régulateur de vitesse pour assurer la stabilité du système. Suite à ça, la commande sans

capteur fonctionnait convenablement y compris dans les basses vitesses et à l'arrêt. Le

deuxième cas étudié est celui quand des composantes inverses indépendantes de la position du

rotor sont dominantes. Dans ce cas, la vitesse estimée est utilisée, en plus, pour éliminer les

composantes perturbatrices et pour déterminer les extrémités de la fenêtre de filtrage. Malgré

une qualité d'estimation supérieure à celle du premier cas, le temps nécessaire à l'algorithme

pour retrouver la composante inverse, à chaque variation de la vitesse, empêche l'utilisation

de cette technique en régime transitoire.

Nous constatons donc que cette technique ne peut être utilisé que pour faire du diagnostic ou

de l'identification. Nous concluons aussi qu'une machine, dont le rotor est calculé et modifié à

la conception, convient mieux pour la méthode étudiée.

Des résultats de simulation et expérimentaux ont été présentés tout au long de ces

travaux pour valider les études théoriques.

Pour les perspectives, à court terme il faudra améliorer la technique d'estimation de la

vitesse pour la rendre moins sensible au bruit et pourquoi pas, appliquer des méthodes

d'estimation "intelligentes" basées sur les réseaux de neurones et/ou la logique floue. Il faudra

également améliorer l'estimateur, dans le cas des composantes inverses perturbées et

développer une méthode d'élimination des perturbations, utilisable en commande.

CONCLUSION GENERALE

141

A plus long terme, nous devons orienter l'étude vers un calcul par la méthode des

éléments finis afin de mieux cerner les problèmes de saturation et de comprendre leur lien

avec l'apparition des harmoniques perturbatrices indépendantes à la vitesse du rotor.

De point de vu économique, cette étude nous permettra de mieux comprendre les

comportements de la machine dans le domaine des hautes fréquences, pour différentes natures

et formes de saillances sans avoir à introduire des modifications physiques à une machine

réelle. Elle va nous permettre, de plus, de mieux choisir la saillance donnant le signal, le plus

fort possible et qui perturbe le moins le fonctionnement de la machine.

CONCLUSION GENERALE

142

ANNEXES

ANNEXES

ANNEXES

ANNEXES

145

Annexe A. Filtres

Nous présentons dans cette section les différents types de filtres utilisés dans le

troisième chapitre.

A.1. Filtre analogique suivi d'un filtre synchrone passe haut

Filtre Analogique

La carte du filtrage analogique se compose de deux voies. Chaque voie comporte deux

filtres passe haut et deux filtres passe bas en cascade. En choisissant une fréquence de

coupure du filtre passe bas (figure A.1-b) supérieure à celle du filtre passe haut (figure A.1-a),

nous obtenons un filtre passe bande dont la fonction de transfert est présentée par l'équation

(1).

+ -

R

R

R1 R2

Vin

C C +-

RR

R1 R2

C

C

Vout Vin Vout

-a- -b- Figure A.1 Filtres de base de la carte des filtres analogiques.

a) Filtre passe haut. b) Filtre passe bas.

Pour avoir une bande passant de fréquence centrale égale à la fréquence d'injection nous

avons choisi les configurations suivantes :

Filtres passe bas

ωcut1=441 Hz , ξ=0.38.

ωcut2=441 Hz , ξ=0.92.

Filtres passe haut

ωcut1=332 Hz , ξ=0.38.

ANNEXES

146

ωcut2=332 Hz , ξ=0.92.

où ωcut, ξ sont respectivement la fréquence de coupure et l'amortissement .

Donc la fonction de transfert du filtre passe bande prend la forme suivante :

44

8 7 6 5 4 3 2 18 7 6 5 4 3 2 1 0

[ ] =+ + + + + + + +FPB

a pH pb p b p b p b p b p b p b p b p b

(1)

avec :

a4=1134.

b8=8,967 10-12, b7=1,135 10-7, b6=0,7189 10-3, b5=2,941, b4=8398, b3=1,699 107,

b2=2,401 1010, b1=2,19 1013, b0=1016.

Filtre synchrone passe haut

Le filtre synchrone passe haut est un filtre numérique. Il se base sur une rotation qui

ramène la composante à éliminer à une fréquence nulle. Nous appliquons ensuite un filtre

passe haut du premier ordre avec une fréquence de coupure de 25 Hz. Cette fréquence est

suffisamment basse pour ne pas dégrader les autres harmoniques mais elle permet d'éliminer

efficacement la composante continue. Enfin, on revient au référentiel initial par une rotation

inverse.

La fonction de transfert du filtre du premier ordre dans le référentiel RF(fc) est :

10 1

10 1

[ ]−

−

−=

−FSPBa a zH zb b z

(2)

Avec :

a0=1, a1=1.

b0=1, b1=-0,96907.

A.2. Deux filtres synchrones passe haut

Les deux filtres synchrones passe haut ont la même fonction de transfert présentée par

la relation (2) et la même fréquence de coupure.

ANNEXES

147

A.3. Filtre synchrone passe bas

C'est un filtre passe bas implanté dans le référentiel RF(-fc). Ce filtre est calculé en

utilisant une fonction de la boîte à outil "Traitement du Signal" de Matlab. Cette fonction est

fdatool (Filter Design and Analysis Tool) qui dispose une interface graphique utilisateur

(GUI). Nous avons choisi un filtre de Chebyshev 2 avec les configurations suivantes :

La dernière fréquence dans la bande passante 80 Hz

La première fréquence dans la bande atténuée 176 Hz

Le gain dans la bande passante [0, -1] dB

Le gain dans la bande atténuée < -50 dB

Ce qui nous donne un filtre d'ordre 5 dont la fonction de transfert est :

1 2 3 4 50 1 2 3 4 5

1 2 3 4 50 1 2 3 4 5

( )FSPBa a z a z a z a z a zH zb b z b z b z b z b z

− − − − −

− − − − −

+ + + + +=

+ + + + + (3)

Avec :

0 1,5157e-3a = , 1 -4,2586e-3a = , 2 2,754e-3a = , 3 2,754e-3a = , 4 -4,2586e-3a = ,

5 1,5157e-3a = .

0 1b = , 1 -4,617b = , 2 8,540b = , 3 -7,911b = , 4 3,669b = , 5 -0,6816b = .

Annexe B. Transformée de Fourier discrète DFT

Nous présentons dans cette section la Transformée de Fourier Discrète DFT appliquée

à un signal complexe. Pour expliquer cette approche, commençons par présenter la DFT

appliquée à un signal réel.

B.1. Transformée de Fourier discrète réelle

La transformé de Fourier discrète réelle transforme un signal x de N échantillons du

domaine temporel (x[n]) en deux signaux (une partie réelle ℜX[k] et une partie imaginaire

ℑX[k]) de N/2+1 échantillons dans le domaine fréquentiel :

ANNEXES

148

1

0

2[ ] [ ]cos( )N

n

k nX k x nNπ−

=

ℜ =∑ (4)

1

0

2[ ] [ ]sin( )N

n

k nX k x nNπ−

=

ℑ = −∑ (5)

Où k est l'indice fréquentiel et n est l'indice temporel avec 02Nk≤ ≤ et 0 1n N≤ ≤ − .

Définition : Pour connaître le degré de ressemblance entre deux signaux, nous

multiplions ces signaux entre eux puis nous faisons la somme des points résultants. Le

résultat mesure jusqu'à quel point les deux signaux sont semblables. Ceci représente la

corrélation entre deux signaux. Nous obtenons le maximum quand le signal est multiplié par

lui-même (auto corrélation).

Pour expliquer cette définition, nous présentons sur les figures (B.1) un exemple d'un

signal Cos. Ce signal se répète deux fois sur la plage d'échantillonnage (k=2) pour N=100

points. Nous avons multiplié ce signal avec lui-même (figure B.1-a) et avec un signal Sin de

même fréquence (figure B.1-b). Après avoir sommé les points résultants, nous remarquons

que dans le premier cas nous obtenons N/2=50 (qui est le maximum) et dans le deuxième cas

nous obtenons 0 puisque les signaux sont en quadrature.

ANNEXES

149

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-0.6-0.4-0.2

00.20.40.6

ni

n

n

n

n

n

[ ]x n [ ]x n

2 2( )nCosNπ 2 2( )nSin

Nπ

2 2[ ] ( )nx n CosNπ 2 2[ ] ( )nx n Sin

Nπ

99

0

2 2[ ]cos( ) 50n

nx nNπ

=

=∑99

0

2 2[ ]sin( ) 0n

nx nNπ

=

=∑

Figure B.1 Calcul de la corrélation entre des signaux Cos et Sin de même fréquence. a) Cos - Cos. b) Cos - Sin.

Des deux expressions (4) et (5), nous remarquons qu'à chaque indice de fréquence k,

nous multiplions le signal d'entrée x[n] avec un signal (Cos et Sin) se répétant k fois dans la

période des N échantillons. De la définition précédente, nous constatons que les résultats de

ces expressions sont les amplitudes de toutes les composantes Sin et Cos (se répétant k fois)

composant le signal d'entrée.

ANNEXES

150

Nous montrons sur les figures (B.2-a) le résultat des formules (4) et (5) appliquées à

un signal composé d'un Cos se répétant 2 fois et d'un Sin se répétant 5 fois pour N=100

échantillons.

2 52 2 2 5[ ] n nx n A Cos B Sin

N Nπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ pour n allant de 0 à N-1 (6)

Nous remarquons que la relation (4) nous donne une raie à k=2 et la relation (5) nous

donne une raie à k=5. En calculant, le module des deux signaux de sortie nous pouvons dire

que notre signal est composé de deux signaux dont le nombre de répétitions sont 2 et 5.

Dans le cas expliqué ci-dessus, nous ne pouvons tester que les composantes dont les

fréquences sont inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Au delà de cette

fréquence, nous obtenons ce que l'on appelle une distorsion par repliement (aliasing effect).

Nous pouvons augmenter cette plage de fréquence en introduisant ce que nous appelons des

fréquences négatives.

Nous disons qu'un signal est de fréquence négative quand nous remplaçons ω (une

pulsation donnée) par -ω dans l'équation trigonométrique du signal d'entrée. Dans ce cas nous

obtenons :

Cos(-ωt)= Cos(ωt) (7)

Sin(-ωt)= -Sin(ωt) (8)

Cette définition n'a pas de sens dans le cas d'un signal réel car, en appliquant les deux

formules de DFT, nous obtenons des raies, pour les fréquences négatives, dans les mêmes

emplacements que ceux pour les fréquences positives (figure B.2-b) et ce n'est qu'une

inversion d'amplitude dans le cas des signaux sinusoïdaux. Donc, nous ne pouvons pas savoir

si un signal sinusoïdal contient des fréquences négatives ou si c'est son amplitude qui est de

signe négatif.

L'introduction de la notation des fréquences négatives conduit aux mêmes formules (4)

et (5) mais avec 2 2N Nk− ≤ ≤

Appliquons ces relations au dernier exemple des deux signaux (6) nous obtenons des

raies à k=-5, -2, 2 et 5 (figure B.3).

Nous concluons que la notation des fréquences positives et négatives pour un signal

normal n'a pas de sens. Donc, appliquer une DFT sur une plage de fréquence variant de –Fs/2

ANNEXES

151

à Fs/2 (Fs étant la fréquence d'échantillonnage) n'engendre qu'une augmentation de temps de

calcul inutile9. En sera-t-il de même en ce qui concerne les signaux complexes ?

0 10 20 30 40 50-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50-60

-40

-20

0

20

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50-20

0

20

40

60

0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

ℜX[k]

ℑX[k]

Mod(ℜX[k],ℑX[k])

ℜX[k]

ℑX[k]


Fréquences positives Fréquences négatives

k k

k k

k k

-a- -b-

Figure B.2 Transformée de Fourier discrète appliquée à un signal réel. a) Fréquences positives. b) Fréquences négatives. 9 Rappelons que la résolution de la DFT est égale à Fs/N.

ANNEXES

152

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-20

0

20

40

60

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60-40-20

0204060

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

ℜX[k]

ℑX[k]


k

k

k

Figure B.3 Transformée de Fourier discrète appliquée à un signal réel sur une plage de fréquence entre–Fs/2 et Fs/2.

B.2. Transformée de Fourier discrète complexe

Dans ce cas, le signal d'entrée échantillonnée x[n] est composé de deux parties : une

partie réelle ℜx[n] et une partie imaginaire ℑx[n].

x[n]= ℜx[n] +j ℑx[n]

ANNEXES

153

Un exemple concret de ce cas est celui des courants ou des tensions statoriques

exprimés dans les repères αβ. Dans ce cas, la relation de DFT s'écrit sous la forme :

21

0[ ] ( [ ] [ ])

k nN jN

nX k x n j x n e

π− −

=

= ℜ + ℑ∑ = ℜX[k] +j ℑX[k] (9)

Où : 02Nk≤ ≤

Soit le signal x, un vecteur qui tourne à vitesse constante tel que :

2

[ ]m n

Nmx n A e

π

= pour n allant de 0 à N-1 (10)

X[k] nous donne alors le degré de ressemblance entre ce vecteur et celui qui tourne à la

fréquence NF

k s . Si les deux vecteurs tournent à la même vitesse et dans le même sens de

rotation (donc k=m), la relation (9) donne :

X[k]= N x[0] , c'est-à-dire :

[ ] [0]ℜ = ℜX k N x

[ ] [0]ℑ = ℑX k N x

Dans le cas contraire, y compris celui où les vecteurs tournent à la même vitesse mais

dans un sens opposé, la relation (9) donne :

[ ] 0X kℜ =

[ ] 0X kℑ =

Ainsi, contrairement au cas de la DFT réelle, la DFT complexe différentie les

fréquences négatives des fréquences positives.

Pour expliquer ceci, nous présentons sur les figures (B.4) le cas de deux vecteurs,

présentés par leurs parties réelles et imaginaires, chacun d'entre eux se répétant 2 fois sur les

N échantillons. Ces vecteurs tournent dans le même sens (figure B.4-a) et dans des sens

opposés (figure B.4-b). Nous trouvons que dans le premier cas (figure B.4-a),

[ ] 100 , [ ] 0X k N X kℜ = = ℑ = , tandis que dans le deuxième cas (figure B.4-b) nous

obtenons [ ] 0, [ ] 0X k X kℜ = ℑ = .

ANNEXES

154

Pour décomposer un signal en composantes directes (signaux dont les fréquences sont

positives) et composantes inverses (dont les fréquences sont négatives), nous écrivons la

relation (9) sous la forme suivante :

21

0[ ] ( [ ] [ ])

k nN jN

nX k x n j x n e

π− −

=

= ℜ + ℑ∑ (11)

Avec : 2 2N Nk− ≤ ≤ ce qui est équivalent à la plage des fréquences variant entre –Fs/2

et Fs/2.

ANNEXES

155

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-0.4

0

0.4

0.8

1.2

0 20 40 60 80 100-1.2-0.8-0.4

00.40.81.2

0 20 40 60 80 100-1.2

0

1.2

0 20 40 60 80 100-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

ℜx[n] ℑx[n]

2( )k nCosNπ 2( )k nSin

Nπ

−

ℜX[n]

ℑX[n]

2( )k nSinNπ

−2( )k nCosNπ

99 99

0 0

[ ] 100, [ ] 0n n

X n X n= =

ℜ = ℑ =∑ ∑99 99

0 0

[ ] 0, [ ] 0i i

X n X n= =

ℜ = ℑ =∑ ∑

ℑX[n] ℜX[n]

ℜx[n] ℑx[n]

n n

n n

n n

-a- -b-

Figure B.4 Calcul de la corrélation entre deux vecteurs. a) Deux vecteurs tournant à la même vitesse et dans le même sens. b) Deux vecteurs tournant à la même vitesse mais dans des sens opposés.

L'exemple étudié ci-dessus correspond à un seul indice de fréquence k. Nous

présentons sur les figures (B.5), la DFT complexe pour un signal composé d'une composante

ANNEXES

156

directe se répétant 5 fois et d'une composante inverse se répétant 15 fois sur N=100

échantillons.

-50 0 50-100

0

100

-50 0 50-1

0

1

-50 0 500

100

k

ℑX[k]


k

k

Figure B.5 Transformée de Fourier discrète appliquée à un signal complexe contenant une composantedirecte dont l'indice de fréquence vaut 5 et une composante inverse dont l'indice de fréquence vaut 15.

De ces figures, nous concluons qu'une DFT appliquée à un signal complexe (vecteur),

non seulement donne les fréquences des harmoniques qui le composent, mais de plus, elle

précise leur sens de rotation.

ANNEXES

157

Annexe C. Fonction Arctg incrémentale

Nous utilisons la fonction Arctg(y/x) pour calculer la phase d'un vecteur. Où x et y sont

les projections du vecteur sur les axes d'abscisse et d'ordonnée. Néanmoins, cette fonction a

deux lacunes. Tout d'abord, il y a le risque de division par zéro quand y est nul. Ensuite, la

position résultante est incluse dans l'intervalle ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ . Ces problèmes ont été résolus en

remplaçant la fonction Arctg par une autre fonction que l'on appelle Arctg2 (en

programmation atan2). Cette fonction calcule la position à partir des coordonnées dans le plan

euclidien (atan2(y,x)).

Pourtant, dans un cas comme le notre, quand l'angle calculé θ vaut h fois l'angle réel

θr, ce dernier est inclus dans l'intervalle ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

hhππ , .

Ce problème est présenté sur les figures (C.1). Pour h=2, nous trouvons que l'angle

calculé par la fonction Arctg est inclus dans l'intervalle ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

4,

4ππ et celui calculé par la

fonction Arctg2 est inclus dans l'intervalle ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2,

2ππ .

-40 0 40

0

-π⁄2

π⁄2

-40 0 40

0

-π⁄2

π⁄2

θ r [r

d]

Arctg

tg(2θr)

θ r[r

d]

Arctg2

tg(2θr)

-a- -b-

Figure C.1 Angle θr calculé avec la fonction Arctg (a) et Arctg2 (b).

ANNEXES

158

Pour résoudre ce problème nous avons développé une fonction Arctg que nous avons

appelé Arctg incrémentale.

Pour l'expliquer son fonctionnement, prenons l'exemple du vecteur tournant, qui fait

un angle hθr par rapport à un référentiel fixe. Il est présenté sur la figure (C.2). L'idée est de

calculer la différence entre deux positions consécutives du vecteur. Cette différence est

donnée par la relation suivante :

[ ] Arctg2( [ ], [ ]) Arctg2( [ 1], [ 1])i y i x i y i x iθ∆ = − − − (12)

Donc la position du vecteur est donnée par l'expression suivante :

[ ] [ ]i

i iθ θ= ∆∑ (13)

X[i-1] X[i]

Y[i-1]

Y[i]

hθr[i-1]=Arctg2(y[i-1],x[i-1])

hθr[i]= Arctg2(y[i],x[i])

∆θ [i]

Figure C.2 Algorithme de la fonction Arctg incrémentale.

Donc θ[i] n'est plus limité par l'intervalle [ ]ππ ,− . Et, nous pouvons calculer l'angle

θr[i] par la relation :

[ ][ ]ri

iihθθ ∆

=∑ (14)

A chaque fois que l'angle θr[i] dépasse -π ou π (selon la direction de rotation du

vecteur) nous ajoutons ou soustrayons numériquement 2π. Nous montrons sur la figure (C.3),

l'angle θr calculé à partir de la phase du vecteur tournant à l'angle 2θr.

ANNEXES

159

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

-π⁄2

-π

π⁄2

π

t[s]

[ ], rr rdθ θ

Figure C.3 Angle θr calculé à partir de la phase du vecteur tournant à l'angle 2θr.

Annexe D. Logiciel de simulation MASVECT

Le logiciel MASVECT est un outil de simulation développé dans notre laboratoire

[Bag99-2] (figure D.1). Il est écrit en langage C++ totalement orienté objet et s'appuie sur les

librairies VCL pour son interface graphique et utilisateur. Nous présentons ci-dessous les

fonctionnalités principales de ce logiciel que nous avons utilisé et complété durant nos

travaux de thèse.

• Simulation du fonctionnement de machines asynchrones (régime libre ou commandé)

• Choix du modèle de la machine (dq ou à maille), branchement de la machine (étoile ou

triangle).

• Commande vectorielle.

• Utilisation ou non de l'onduleur à MLI.

• Commande en courant / régulation de vitesse.

• Choix du type de régulateur (PI, IP, flou).

• Programmation d'événements survenant pendant la simulation sur la vitesse de référence,

le couple de charge, les ruptures de barres.

• Sauvegarde des données relatives aux paramètres de la machine, de la simulation et des

grandeurs à afficher dans un fichier au format propriétaire mais éditable (.mas).

ANNEXES

160

Au cours de ces travaux, nous avons complété cet outil, afin qu'il puisse simuler des machines

asynchrones dans un système de commande sans capteur (figure D.2). Les fonctionnalités

suivantes ont été ajoutées :

• Le choix, pour que l'algorithme de commande sans capteur soit appliqué ou non, peut être

déterminé de la fenêtre principale de MASVECT.

• Amplitude et fréquence du signal injecté.

• Type de filtrage pour l'extraction des composantes inverses.

• Choix des paramètres réels et estimés des saillances (amplitude, phase, rangs

d'harmoniques).

• Estimation de la vitesse par la fonction Arctg (ordinaire et incrémentale) ou par la boucle

à verrouillage de phase.

• Paramètres de la PLL (vecteur modèle, coefficients et type de régulateur).

• Choix des grandeurs à afficher.

• Identification par synchronisation.

• Choix des instants de bouclage sur les variables estimés, dans le cas de commande sans

capteur entre sθ , sθ et /ou ˆrω , ωr.

Pour la flexibilité du travail, tous les paramètres liés à la commande sans capteur sont

enregistrés dans un fichier au format (.dat) indépendant du fichier au format (.mas) de

MASVECT.

ANNEXES

161

Figure D.1 Fenêtre principale de MASVECT.

Figure D.2 Une des fenêtres de dialogue ajoutées à MASVECT pour choisir les paramètres de la

simulation de la commande sans capteur.

ANNEXES

162

Annexe E. Banc Expérimental

Dans cette section, nous présentons les différents éléments du banc expérimental.

E.1. Carte DSP

Le cerveau de ces expériences est le système de contrôle monocarte dSpace (figure

E.1). Cette carte comporte un DSP pour la commande MLI, des convertisseurs analogique–

numérique 12 et 16 bits, une interface de codeur incrémental, des convertisseurs numérique–

analogique, des entrées / sorties logiques et un DSP à virgule flottante qui exécute le

programme de commande. Ce programme, doit faire les acquisitions de courant, de tension,

calculer la position du rotor et sa vitesse, exécuter l'algorithme de commande vectorielle ou de

V/f, implanter les différents filtres synchrones, la DFT glissante et estimer la position et la

vitesse suivant les différentes méthodes étudiées. Le programme est écrit en langage C, sans

utiliser l'environnement MATLAB / Simulink. Ceci dans le but d'optimiser le code et ainsi

minimiser le temps de calcul.

Deux cartes contrôleurs ont été utilisées au cours de ces travaux. La carte DS 1102 à

base de DSP TMS 320C31 et TMS 320P14 et une carte plus puissante, qui nous a permis

d'implanter tous nos algorithmes, la DS 1104. Elle comporte un DSP PowerPC et TMS

320F240.

Carte d'acquisition des courante

Carte d'interface des signaux MLI Onduleur

Redresseur

3~

Codeur 1

2 CAN 12-bit

MLI 0-5

Ias

MAS Charge Codeur incrémental

Ibs

PC

2 CAN 16-bit FPB

Carte dSpace

Figure E.1 Schéma du banc expérimental.

Nous pouvons brancher les CAN 16 bits sur les signaux courants de la machine avec

ou sans le filtrage analogique initial (qui a pour but d'éliminer la composante fondamentale).

ANNEXES

163

L'interface utilisateur Control Desk permet d'avoir accès à toutes les variables du

programme qui s'exécute en temps réel sur le DSP.

Nous rappelons que le régulateur de vitesse est sollicité toutes les ms alors que les

boucles de courant le sont toutes les 200 µs.

E.2. Onduleur

L'onduleur de tension est à base d'IGBT pilotés à 10 kHz. La carte DS 1104 sort

directement les six signaux MLI centrés. La carte d'interface permet d'attaquer les IGBT avec

des niveaux de tension adéquats et d'ajouter une commande d'inhibition (figure E.2).

Figure E.2 L'onduleur et les cartes d'acquisition et d'interface.

E.3. Machines

Nous présentons ci-dessous les caractéristiques des machines utilisées dans les

expériences.

ANNEXES

164

Machine 1

Plaque signalétique :

U : 220/380 V.

In : 20,5/11,8 A.

Ωn=1420 tr/min.

Pn=5,5 kW.

Nous avons utilisé cette machine pour tester l'algorithme d'estimation de vitesse et la

commande sans capteur de la machine asynchrone sans introduire de modifications physiques

(figure E.3). Nous avons simulé des saillances à partir de la position réelle de la machine, ce

qui nous donne le courant de la porteuse avec ses composantes inverses et directe. Ensuite,

nous avons ajouté le courant de la porteuse au courant réel de la machine de manière à obtenir

une image du courant statorique, aussi fidèle que possible, au cas de la présence des

saillances, y compris en simulant les bruits. Cette structure nous permet de contrôler les rangs

d'harmoniques, les niveaux et le nombre de saillances. Nous pouvons ainsi déterminer leurs

effets sur l'algorithme d'estimation.

Régulateursde courant MLI MAS

*

_s

s fI αβ*

_s

s fV αβ

_s

s fI αβ-

ε

Modèle des saillances

rr ωθ ˆ,ˆrr ωθ ,

+

ssV αβ

Estimation de la Vitesse rθ

_s

s cI αβs

sI αβ

+

Figure E.3 Schéma du banc expérimental comportant la machine 1 avec la modélisation des saillances.

Machine 2


ANNEXES

165

U : 230/400 V.

In : 10,2/5,9 A.

Ωn=2800 tr/min.

Pn=3 kW.

Nr=28, Ns=36.

Des modifications symétriques sont introduites sous forme de deux rainures, à 180°

électriques, fraisées au niveau des laminations du rotor (E.4). La largeur de ces rainures est de

4mm et la profondeur est de quelques dixièmes de millimètre.

Figure E.4 Rotor avec deux rainures.

Machine 3


U : 230/400 V.

In : 10,2/5,9 A.

Ωn=2800 tr/min.

Pn=3 kW.

ANNEXES

166

Nr=28, Ns=36.

Une modification asymétrique sous la forme d'une barre cassée est apportée au rotor

de cette machine. Elle a été réalisée en perçant le rotor sur toute la profondeur d'encoche, de

façon à couper la barre, près de l'anneau de court-circuit et d'un seul côté du rotor (figure E.5).

Barre cassée

Figure E.5 Rotor avec une barre cassée.

Machine 4


U : 230/400 V.

In : 10,2/5,9 A.

Ωn=2800 tr/min.

Pn=3 kW.

Nr=28, Ns=36.

La modification de la machine 2, n'ayant pas donné de résultats mesurables du fait de

la très faible épaisseur de taille (elle-même limitée par la géométrie des barres et encoches

rotoriques), nous avons alors introduit une seconde modification sous la forme d'un aimant

permanent collé sur l'un des deux anneaux (figure E.6).

ANNEXES

167

Figure E.6 Rotor avec un aimant collé sur l'anneau.

E.4. Charges

La machine 1 est couplée à un frein à poudre dont l'électronique permet de le

commander en régulation de flux ou en régulation de couple.

La machine 2 (ou la machine 4) est couplée à la machine 3. Ce qui permet de tester

l'une d'entre elles et d'utiliser l'autre comme charge (figure E.7). En alimentant cette dernière

avec une tension continue suivant le branchement indiqué en figure E.7, nous obtenons un

couple de charge. Cependant, ce couple n'a une valeur notable que si la vitesse est importante,

ce qui rend difficile le réglage de la charge à basse vitesse.

MASA

MAS

3~

Codeur incrémental

Figure E.7 Utilisation de la machine asynchrone comme charge.

ANNEXES

168

E.5. Encodeur Incrémental

Le codeur incrémental utilisé en commande vectorielle (IRFO) ou en commande sans

capteur pour comparer la vitesse mesurée avec celle estimée offre une résolution de 4096 pas

par tour (qui est équivalent à 0,088°).

Figure E.8 Banc expérimental de la machine 1 (en jaune).

Figure E.9 Banc expérimental des machines 2 et 3.

NOMENCLATURE

NOMENCLATURE

NOMENCLATURE

NOMENCLATURE

171

Symbole Signification Unité Ce Couple électromagnétique Nm Cr Couple résistant Nm ε Erreur entre un signal de référence et un signal estimé fc Fréquence du signal injecté (fc=400 Hz dans cette étude) Hz fr Fréquence de rotation du rotor (ωr=2πfr) Hz fs Fréquence de l'alimentation fondamentale Hz hi rang d'harmonique de la ième saillance s

rIαβ .s sr rI j Iα β+ A

ssIαβ .s s

s sI j Iα β+ A

_s

s cIαβ Courant de la porteuse dans un référentiel lié au stator A

_s

s cnIαβ Composante inverse de la porteuse dans un référentiel lié au stator A

_s

s cnmIαβ Vecteur modèle des composantes inverses A

srIα Composante α du courant rotorique dans le repère fixé au stator A

srIβ Composante β du courant rotorique dans le repère fixé au stator A

ssIα Composante α du courant statorique dans le repère fixé au stator A

ssIβ Composante β du courant statorique dans le repère fixé au stator A

Ic Amplitude du signal courant injecté A Icp Amplitude de la composante directe A Icni Amplitude de la ième composante inverse A

*dsI Composante directe du courant statorique dans un repère lié au

synchronisme A

*qsI Composante en quadrature du courant statorique dans un repère lié au

synchronisme A

j 1−

J Moment d'inertie Kg m2 k Indice fréquentiel

k1, k2 Indices de fréquences représentant la fenêtre de la DFT glissante Kp, Ki Coefficients proportionnel et intégral du régulateur PI

Llr Inductance de fuite rotorique H Lls Inductance de fuite statorique H Lr Inductance cyclique rotorique H Ls Inductance cyclique statorique H e

sLσ Matrice des inductances statoriques transitoires dans un référentiel lié à la position des saillances

ssLσ Matrice des inductances statoriques transitoires dans un référentiel lié à la

position des saillances

M Inductance mutuelle cyclique H n Indice temporel N Nombre de points d'un signal échantillonné Nr Nombre d'encoches rotoriques Ns Nombre d'encoches statoriques Ω Vitesse de rotation mécanique du rotor rd/s, tr/mn ωc Pulsation du signal injecté rd/s ωg Pulsation de glissement rd/s ωr Vitesse de rotation électrique du rotor ωr=pp. Ω rd/s, tr/mn ωs Pulsation statorique rd/s, tr/mn

NOMENCLATURE

172

p Opérateur de Laplace

ddt

pp Nombre de paires de pôles P(θ) Matrice de rotation dans le plan

ssαβϕ .s s

s sjα βϕ ϕ+ Wb

srαβϕ .s s

r rjα βϕ ϕ+ Wb

srαϕ Composante α du flux rotorique dans le repère fixé au stator Wb

srβϕ Composante β du flux rotorique dans le repère fixé au stator Wb

ssαϕ Composante α du flux statorique dans le repère fixé au stator Wb

ssβϕ Composante β du flux statorique dans le repère fixé au stator Wb

ϕcp Phase de la composante directe rd ϕi Phase de la ième composante inverse rd

RF(fx), RF(-fx) Des repères tournants à l'angle 2πfxt ou à l'angle -2πfxt Rr Résistance rotorique Ω Rs Résistance statorique Ω σ Coefficient de dispersion de Blondel t Temps S

Te Temps d'échantillonnage s

eθ Position des saillances rd

rθ Position électrique du rotor rd

sθ Angle de la transformation de Park rd

τr Constant du temps rotorique s

X Grandeur estimé ou modélisé *X Signal de référence

x[i] Valeur du signal x à l'instant iTe. s

sVαβ .s ss sV j Vα β+ V

_s

s cVαβ Tension de la porteuse dans un référentiel lié au stator V

ssVα Composante α de la tension statorique dans le repère fixé au stator V

ssVβ Composante β de la tension statorique dans le repère fixé au stator V

Vc Amplitude du signal tension injecté V

GLOSSAIRE

GLOSSAIRE

GLOSSAIRE

GLOSSAIRE

175

Acronyme Signification ADC Analog to Digital Converter

C Correcteur ou régulateur DAC Digital to Analog Converter DSP Digital Signal Processing EKF Extended Kalman Filter

f.c.e.m Force Contre ElectroMotrice FFT Fast Fourier Transformation

IGBT insulated gate bipolar transistor INFORM INdirect Flux detection by Online Reactance Measurement

MLI Modulation de Largeur d'Impulsion MRAS Model-Reference Adaptive System

P.G.C.D Plus Grand Commun Diviseur PBI Periodic Burst Injection PI Régulateur Proportionnel et Intégral

GLOSSAIRE

176

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RESUME

Ce travail de recherche traite de l'estimation de la vitesse et de la commande de la machine asynchrone sans l'utilisation d'un capteur mécanique de vitesse, particulièrement quand la machine fonctionne à basse vitesse et à l'arrêt.

Après une présentation de toutes les méthodes d'estimation de vitesse de la machine asynchrone existant dans la littérature, nous choisissons celle basée sur l'injection d'un signal à haute fréquence dans une machine présentant des saillances.

L'origine de ces saillances et les composantes de courant résultant de l'injection du signal à haute fréquence ont été étudiées dans différents référentiels.

La partie traitement du signal est abordée. Cette partie détaille les étapes indispensables à l'extraction de la position et de la vitesse de la machine. Nous étudions différents systèmes de filtrage, une analyse par DFT glissante et l'estimation de vitesse à l'aide d'une boucle à verrouillage de phase.

Enfin, la faisabilité d'un système de commande vectorielle sans capteur est examinée. Des résultats de simulation et expérimentaux sont présentés tout au long de ces travaux pour valider les études théoriques.

Mots-clés : Machine asynchrone, Injection de signal à haute fréquence, Saillances, Identification, Méthodes de filtrage, Transformée de Fourier discrète glissante, Estimation de vitesse, Commande sans capteur.

ABSTRACT

This research deals with the velocity estimation and control of induction machine without mechanical sensor, particularly when the machine operates at low or zero speed.

After an overview of the state of art in the estimation of velocity of induction machine, we have chosen the method based on the injection of a high frequency signal in induction machine with saliencies.

The origin of these saliencies and the resulting current components due to the high frequency signal injection are studied in different reference frames.

The signal processing aspects are investigated. We explain all the essential stages to extract induction machine position and velocity. We have studied several filtering systems, sliding DFT analysing and velocity estimation using phase locked loop.

Finally, the feasibility of sensorless vector control is considered. Several simulation and experimental results are presented to confirm theoretical studies.

Keywords: Induction machine, High frequency signal injection, Saliencies, Identification, Filtering methods, Sliding discrete Fourier transformation, Speed estimation, Sensorless control.

Documents

Contribution à la commande sans capteur de la machine asynchrone