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 CORRIGÉ COMMENTÉ DE l’EXAMEN EXERCICE 1 1)  f (z) =  z k :  Si  k > 0 :  z k est holomorphe  8z  2 C car  @z k @z  = 0 : Si  k < 0 :  z k =  1 z jkj :  Cette fonction est holomorphe partout sauf en  z  = 0 car  @z k @z  = 0  si  z  6 = 0  mais en  z  = 0  la fonction possède un pôle d’ordre  j kj : 2)  f (z) =  x x 2 + y 2   i  y x 2 + y 2 : Au lieu d’utiliser les équations de Cauchy-Riemann, il est plus rapide d’utiliser le raccourcis qui consiste à véri…er si  @f @z  = 0  car la fonction peut facilement être écrite en termes de  z  et  z : f (z) =  x x 2 +y 2   i  y x 2 +y 2  =  xiy x 2 +y 2  =  z jzj 2  =  z zz  =  1 z : Comme  @  1 z @z  = 0 ;  la fonction est holomorphe partout sauf en  z  = 0: Autres Exemples Appl iquer la méthode pour:    f (z) =  x 2 y 2 2ixy:    f (z) =  x 2 y 2 x+1+iy  + i  2xy x+1+iy :    f (z) =  x + i(y + x 2 + y 2 )  f (z) =  x 2 y 2 2ixy  = (x iy) 2 = z 2 :  @f @z  = 2 z 6 = 0 ;  la fonction n’est pas holomorphe.  f (z) =  x 2 y 2 x+1+iy  + i  2xy x+1+iy  =  x 2 y 2 +i2xy x+iy+1  =  z 2 z+1 :  @f @z  = 0 ;  la fonction est partout holomorphe sauf en  z =1.  f (z) =  x + i(y + x 2 + y 2 ) =  x + iy + i(x 2 + y 2 ) =  z  + i jzj 2 = z  + izz:  @f @z  = iz  6 = 0 :  fonction non holomorphe. EXERCICE 2  Nous pouvons e¤ectuer l’intégrale par décomposition: I  zdz  = I  (xiy)(dx+idy) = Z  (xdx+ydy )+i Z  (xdyydx):  Avec:      x = cos t y = sin t  )  dx =  sin tdt: dy = cos tdt: Puisque la courbe est fermée, le paramètre  t  doit vari er entre  0  et  2 pour que le cosinus et le sinus reviennent à leur valeur initiale : I  zdz  = Z  2 0 ( cos t sin tdt + sin t cos tdt) + i Z  2 0 (cos t cos tdt + sin t sin tdt) =  i Z  2 0 1:dt = 2i:  Nous pouvons aussi e¤ectuer l’intégrale par la représentation polaire: Puisque la courbe    est un cercle de centre ( 0,0) et de rayon  1:  z  = 0+1e i ) z  =  e i ) dz  =  de i = ie i d I  zdz  = Z  2 0 e i ie i d  =  i Z  2 0 d = 2i: EXERCICE 3 1)  P (x; y) =  x 2 y 2 xy: Pour trouver la partie imaginaire  Q , nous devons utiliser les équations de Cauchy-Riemann : @P @x  =  @Q @y  = ) 2x y =  @Q @y  = ) Q = R (2x y)dy  = 2xy   y 2 2  + A(x). @P @y  =  @Q @x  = ) 2y  x = 2y   @A @x  = ) A(x) = R  xdx =  x 2 2  + C te . Donc,  Q  = 2xy   y 2 2  +  x 2 2  + C te . 2)  f (x; y) =  P (x; y) + iQ(x; y) =  x 2 y 2 xy + 2ixy  i y 2 2  + i x 2 2  + C te = x 2 y 2 + 2ixy + i x 2 y 2 + i2xy 2  + C te = z 2 + i z 2 2  +  C te = (1 +  i 2 )z 2 + C te . 1

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  • CORRIG COMMENT DE lEXAMEN

    EXERCICE 1

    1) f(z) = zk: Si k > 0 : zk est holomorphe 8z 2 C car @zk

    @z= 0:

    Si k < 0 : zk =1

    zjkj: Cette fonction est holomorphe partout sauf en z = 0

    car@zk

    @z= 0 si z 6= 0 mais en z = 0 la fonction possde un ple dordre jkj :

    2) f(z) =x

    x2 + y2 i yx2 + y2

    :

    Au lieu dutiliser les quations de Cauchy-Riemann, il est plus rapide dutiliser le raccourcis qui consiste

    vrier si@f

    @z= 0 car la fonction peut facilement tre crite en termes de z et z:

    f(z) = xx2+y2 i yx2+y2 = xiyx2+y2 =z

    jzj2 =z

    zz=1

    z:

    Comme@1z

    @z

    = 0; la fonction est holomorphe partout sauf en z = 0:

    Autres ExemplesAppliquer la mthode pour: f(z) = x2 y2 2ixy: f(z) = x2y2x+1+iy + i 2xyx+1+iy : f(z) = x+ i(y + x2 + y2) f(z) = x2 y2 2ixy = (x iy)2 = z2: @f@z = 2z 6= 0; la fonction nest pas holomorphe. f(z) = x2y2x+1+iy + i 2xyx+1+iy = x

    2y2+i2xyx+iy+1 =

    z2

    z+1 :@f@z = 0; la fonction est partout holomorphe sauf en z=1.

    f(z) = x+ i(y + x2 + y2) = x+ iy + i(x2 + y2) = z + i jzj2 = z + izz: @f@z = iz 6= 0 : fonction non holomorphe.

    EXERCICE 2 Nous pouvons eectuer lintgrale par dcomposition:I

    zdz =

    I

    (xiy)(dx+idy) =Z(xdx+ydy)+i

    Z(xdyydx): Avec:

    x = cos ty = sin t

    )dx = sin tdt:dy = cos tdt:

    Puisque la courbe est ferme, le paramtre t doit varier entre 0 et 2 pour que le cosinus et le sinus reviennent leur valeur initiale:I

    zdz =

    Z 20

    ( cos t sin tdt+ sin t cos tdt) + iZ 20

    (cos t cos tdt+ sin t sin tdt) = i

    Z 20

    1:dt = 2i:

    Nous pouvons aussi eectuer lintgrale par la reprsentation polaire:Puisque la courbe est un cercle de centre (0,0) et de rayon 1: z = 0+1ei ) z = ei ) dz = dei = ieidI

    zdz =

    Z 20

    eiieid = iZ 20

    d = 2i:

    EXERCICE 3

    1) P (x; y) = x2 y2 xy:Pour trouver la partie imaginaire Q, nous devons utiliser les quations de Cauchy-Riemann :@P

    @x=@Q

    @y=) 2x y = @Q

    @y=) Q = R (2x y)dy = 2xy y2

    2+A(x).

    @P

    @y= @Q

    @x=) 2y x = 2y @A

    @x=) A(x) = R xdx = x2

    2+ Cte.

    Donc, Q = 2xy y2

    2+x2

    2+ Cte.

    2) f(x; y) = P (x; y) + iQ(x; y) = x2 y2 xy + 2ixy iy2

    2+ ix2

    2+ Cte

    = x2 y2 + 2ixy + ix2 y2 + i2xy

    2+ Cte = z2 + i

    z2

    2+ Cte = (1 +

    i

    2)z2+ Cte.

    1

  • EXERCICE 4 f(z) =z

    (z2 1)(z2 + 1)2 :1) La fonction est holomorphe pour tout z tel que (z2 1)(z2 + 1)2 6= 0 :Cest--dire tel que (z 1)(z + 1) [(z i)(z + i)]2 6= 0: Donc f est holomorphe 8z 2 C f1; 1, i; ig

    2) Les points singuliers de f sont f1; 1, i; ig:z = 1 est un ple simple. (Car lim

    z!1(z 1)f(z) = 18 6= 0)

    z = 1 est un ple simple. (Car limz!1

    (z + 1)f(z) = 18 6= 0)z = i est un ple double. (Car lim

    z!i(z i)2f(z) = i8 6= 0)

    z = i est un ple double. (Car limz!i

    (z + i)2f(z) = i8 6= 0)

    3)I

    z

    (z2 1)(z2 + 1)2 =I

    z

    (z 1)(z + 1)(z i)2(z + i)2 :

    a) Comme tous les ples sont lextrieur du cercle (0, 12 ) :I

    z

    (z 1)(z + 1)(z i)2(z + i)2 = 0:

    b) Sur le cercle (0,2) [de centre (0,0) et de rayon 2], lintgrale peut tre value soit laide de la formulede Cauchy, soit laide du thorme des rsidus.

    Utilisation de la formule de Cauchy:Comme 1 est un ple simple; 1 est un ple simple; i est un ple double; i est un ple double; et sont tous lintrieur du cercle (0,2), pour utiliser la formule de Cauchy il su t dentourer chaque ple par un petitcercle et dappliquer la formule habituelle aux petits cercles en tenant compte de lordre du ple qui se trouve lintrieur de chaque petit cercle. (Cette mthode sappelle dformation du contour: Le grand cercle estdform pour contenir les petits cercles.)

    1-1i

    -i

    !

    i

    1-1

    -i

    I

    z

    (z 1)(z + 1)(z i)2(z + i)2

    = 2i

    hz

    (z+1)(zi)2(z+i)2iz=1

    +h

    z(z1)(zi)2(z+i)2

    iz=1

    +hddz

    z(z21)(z+i)2

    iz=i

    +hddz

    z(z21)(zi)2

    iz=i

    = 2i

    18 +

    18 +

    h1

    (z21)(z+i)2 2z2

    (z21)2(z+i)2 2z(z21)(z+i)3iz=i

    +h

    1(z21)(zi)2 2z

    2

    (z21)2(zi)2 2z(z21)(zi)3iz=i

    = 2i

    14 +

    18 216 2i16i

    +18 216 2i16i

    = 0:

    Utilisation du thorme des rsidus:I

    z

    (z 1)(z + 1)(z i)2(z + i)2 = 2i(PRs.)

    Puisque tous les ples sont lintrieur du cercle (0,2), nous devons calculer le rsidus en chaque ple:

    Rs.(z=1) = limz!1

    [(z 1)f ] = limz!1

    hz

    (z+1)(zi)2(z+i)2i= 18 :

    Rs.(z=1) = limz!1

    [(z + 1)f ] = limz!1

    hz

    (z1)(zi)2(z+i)2i= 18 :

    Rs.(z=i) = limz!i

    ddz (z i)2f

    = lim

    z!i

    hddz

    z(z21)(z+i)2

    i=limz!i

    h1

    (z21)(z+i)2 2z2

    (z21)2(z+i)2 2z(z21)(z+i)3i= 18 :

    Rs.(z=i)= limz!i

    ddz (z + i)

    2f= limz!i

    hddz

    z(z21)(zi)2

    i= limz!i

    h1

    (z21)(zi)2 2z2

    (z21)2(zi)2 2z(z21)(zi)3i= 18 :

    Donc,I

    z(z1)(z+1)(zi)2(z+i)2 = 2i(

    PRs.) = 2i

    18 +

    18 18 18

    = 0:

    2

  • Un Autre Exemple

    EvaluerI

    ez

    z2(2z i)3 sur le cercle (0,1): par la formule de Cauchy puis par le thorme des rsidus.

    I

    ez

    z2(2z i)3 =I

    ez

    8z2(z i2 )3=1

    8

    I

    ez

    z2(z i2 )3:

    Les ples sont 0 (ple dordre deux car limz!0

    z2f = 1i 6= 0), et i2 (ple dordre trois car limz! i2

    (z i2 )3f = ei2

    2 6= 0)

    Utilisation de la formule de Cauchy:Puisque les deux ples sont lintrieur du cercle (0,1) [de centre (0,0) et de rayon 1], pour utiliser la formulede Cauchy il su t dentourer chaque ple par un petit cercle et dappliquer la formule habituelle aux petitscercles en tenant compte de lordre du ple qui se trouve lintrieur de chaque petit cercle.

    1/2 0

    !

    0 1/2

    I

    ez

    z2(2z i)3 =1

    8

    I

    ez

    z2(z i2 )3

    = 2i8

    hddz

    ez

    (z i2 )3iz=0

    +h12!

    d2

    dz2ez

    z2

    iz= i2

    = 2i8

    hez

    (z i2 )3 3ez

    (z i2 )4iz=0

    + 12ez

    z2 4ez

    z3 +6ez

    z4

    z= i2

    = i4

    h1

    ( i2 )3 3

    ( i2 )4i+ 12

    ei2

    ( i2 )2 4e

    i2

    ( i2 )3 +

    6ei2

    ( i2 )4

    = i4

    [8i 48] + e

    i2

    2 [32i+ 92]= (212i)+

    4+ 232 i

    e

    i2

    Si le cercle tait de rayon < 12 seul le ple 0 se trouverait lintrieur du contour et lintgrale serait:

    18

    I

    ez

    z2(z i2 )3= 2i8

    hddz

    ez

    (z i2 )3iz=0

    = i4 [8i 48] = (212i):

    Utilisation du thorme des rsidus: 18

    I

    ez

    z2(z i2 )3=2i

    8(PRs.)

    Puisque les deux ples sont lintrieur du cercle (0,1), nous devons calculer le rsidu en chaque ple:

    Rs.(z=0) = limz!0

    ddz z

    2f= lim

    z!0

    hddz

    ez

    (z i2 )3i= lim

    z!0

    hez

    (z i2 )3 3ez

    (z i2 )4i= 8i48:

    Rs.(z= i2 ) =12! limz! i2

    hd2

    dz2 (z i2 )3fi= 12! lim

    z! i2

    hd2

    dz2ez

    z2

    i= 12! lim

    z! i2

    ez

    z2 4ez

    z3 +6ez

    z4

    = e

    i2

    2 [32i+ 92] :

    Donc,1

    8

    I

    ez

    z2(z i2 )3=2i

    8(PRs.) = i4

    [8i 48] + e

    i2

    2 [32i+ 92]= (212i) + 4+ 232 ie i2 :

    Si le cercle tait de rayon < 12 seul le ple 0 se trouverait lintrieur du contour et lintgrale serait:

    18

    I

    ez

    z2(z i2 )3= 2i8 (Rs.(z=0)) =

    i4 (8i48) = (212i):

    Jai vit dexposer dans les exercices de rvisions la mthode de dformation du contour car jai constatquelle na pas t propose dans vos sries de TD!

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