Cours 2. La relativit e restreinte : introduction

Cours 2: La relativite restreinte 1

Cours 2. La relativite restreinte :

introduction

— Resume du dernier cours sur l’experience de Michelson et

Morley.

— Les postulats de la relativite restreinte.

— Invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement

relatif.

— Argument pour la transformation de Lorentz.

— Les evenements dans l’espace-temps et l’ntervalle

d’espace-temps entre eux.

— Exercices pour la maison.

— Exercices immediats.

— Anciens TD.

— Les phenomenes relativistes. (pour la prochaine fois)


— Addition des vitesses.


Resume du cours 1. Michelson et Morley

Les grandes lignes :

— L’interferometre de Michelson (§2.5 dans les notes de cours

de Jacques Langnois).

— L’experience de de Michelson et Morley (§2.6 et 2.7 dans les

notes de cours de Jacques Langnois).

— Cette experience a mise en evidence l’interference de la

lumiere provenant de deux sources synchrones.

— Motivation : essayer de mesurer la vitesse de la terre par

rapport a l’ether. Voir le youtube.com video de e-penser

pour la perspective historique.


Cours 2 : La relativite restreinte

— La relativite restreinte constitue un extension de la relativite

de Galilee a l’ensemble des lois de la physique.

— Elle peut se fonder sur deux principes.


Les postulats de la relativite restreinte

1. Les lois fondamentales de la physique gardent la meme

forme dans tous les reperes inertiels – elles sont covariantes

Si une lois est verifiee dans un repere inertiel elle est vraie

dans tous les reperes se deplacant a vitesse constante par

rapport a celui-ci. Par exemple, l’equation d’onde pour un

champ electrique ~E dans le vide :

∂2 ~E

∂t2− c2∇2 ~E = 0, (1)

On verra (un autre jour) qu’elle est valable dans tous

referentiels inertiels.

2. Le second postulat admet que la vitesse de la lumiere [dans le

vide] est independante du mouvement de la source ou de

l’observateur. La vitesse de la lumiere dans le vide est une


constante fondamentale qui joue un role meme dans des

phenomenes qui n’impliquent pas d’interaction

electromagnetique.

3. L’espace est isotrope.

— En 1905 seul les lois de la mecanique classique et de

l’electromagnetisme etaient connues. Depuis, d’autres lois et

d’autres interactions ont ete decouvertes et elles sont toutes

en accord avec la relativite restreinte. La covariance des lois

fondamentales de la nature est maintenant bien etablie. Une

implication : aucune experience ne peut mettre en evidence

d’un repere au repos absolu et la notion de l’ether devient

inutile.

— L’experience de Michelson et Morley a montre que la vitesse

de la lumiere est independante du mouvement de

l’observateur. D’autres experiences ont utilise differentes

sources (soleil, etoiles, . . . ) et ont obtenue les memes


resultats. La mesure de la vitesse de la lumiere dans le vide

donne toujours le meme resultat. Une implication : La

transformation de Galilee doit donc etre remise en question.

— Einstein a utilise l’hypothese que l’espace est isotrope

partout, une hypothese qui implique que l’espace est

uniforme (homogene) aussi.


Postulats sont incompatible avec la

transformation de Galilee

— Considerons deux observateurs utilisant des reperes dont les

axes sont paralleles. Les origines O et O′ coincident a

l’instant t = t′ = 0. A ce moment une source ponctuelle

coincidant avec O et O′ produit une onde.


O x

y

O’ x’

y’

B A

Figure 1 – Source ponctuelle d’onde a l’origine O, stationaire dans

R. Le cercle est la surface d’onde emit a t = 0 quand O et O′ etaient

coıcidentes.


— Nous allons d’abord considerer le cas d’une onde mecanique

a la surface de l’eau par exemple puis le cas d’une onde

electromagnetique.

— Dans le cas d’une onde mecanique circulaire les points A et

B sont a egale distance de l’origine O car la vitesse de l’onde

c est la meme dans les deux sens. N.B. Les points A et B

appartiennent a une meme surface d’onde.

— Les points A et B ne sont pas a la meme distance de O′ car

la vitesse du point A par rapport a O′ est c− v tandis que

celle du point B est c+ v. Le point O′ n’est donc pas au

centre du cercle correspondant a la surface d’onde.

— Supposons maintenant que la source produit une onde

electromagnetique comme la lumiere. Meme pour O′ la

vitesse due point A est egale a celle du point B car la vitesse

de la lumiere est la meme pour tous les observateurs. Elle est

la meme dans toutes les directions.


— Pour l’observateur O l’equation de la surface d’onde s’ecrit :

c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0

C’est donc une sphere de rayon ct. Pour l’observateur O′ la

surface d’onde est egalement une sphere car la vitesse de

propagation est la meme dans toutes les directions.

L’equation de la surface d’onde s’ecrit :

c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = 0

— Cette relation est incompatible avec la transformation de

Galilee (avec t = t′). Il faut donc chercher une

transformation plus generale qui se ramenera a celle de

Galilee lorsque la vitesse relative des observateurs est petite

par rapport a la vitesse de la lumiere dans le vide.


Invariance des longueurs perpendiculaires

au mouvement relatif


— Considerons deux tiges verticales A et B pouvant glisser sur

une surface horizontale.

— Nous allons trouver que le principe de relativite exige que les

longueurs perpendiculaires au mouvement reste invariantes.


A B

Plaser

A B

P’laser

(b)

(a)

v

Figure 2 – (a) Les deux tiges sont immbiles. Le point eclaire est P .

(b) A s’approche B. Le point eclaire est P ′.


— Lorsqu’elles sont au repos une source fixee sur A emet un

faisceau de lumiere qui atteint un point P sur B, Fig. 2(a).

— Lorsque la tige A se deplace vers B a la vitesse v le point

eclaire P ′, Fig. 2(b), est-il plus haut ou plus bas que P ?

— S’il est plus haut l’observateur au repos par rapport a B en

deduira que le mouvement a pour effet de dilater les longeurs

perpendicularies au mouvement. L’observateur au repos par

rapport a A en deduira que la tige B qui s’approche de lui a

la vitesse v se contracte et que le mouvement a pour effet de

contracter les longueurs perpendiculaires.

— Les deux observateurs se deplacant avec une vitesse relative

constante en deduisant donc des lois de transformation

differentes ce qui est contraire au principe de relativite. Le

probleme serait le meme si le point P ′ etait plus bas que le

point P .

— La seule facon de respecter le principe de relativite est


d’admettre l’invariance des dimensions perpendiculaires au

mouvement relatif.


La transformation de Lorentz


L’invariance de l’intervalle de RR

— Imaginons nous avons deux referentiels inertiels R et R′ en

mouvement relatif.

— Nous supposons que l’espace est isotrope et donc nous

pouvons toujours orienter les axes comme nous voulons.

Alors, sans perte de generalite, nous pouvons orienter les

axes des x et x′ dans la direction du mouvement relatif.

— Nous venons d’admettre l’invariance des dimensions

perpendiculaires au mouvement relatif, ce qui implique dans

ce cas que

y′ = y, z′ = z. (2)

Alors nous nous concentrons sur les coordonnees x et t.

— La transformation des abscisses et des temps entre deux


reperes inertiels doit donc verifier la condition :

c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2 (3)

Il faut donc une transformation plus generale que celle de

Galilee.



— Si l’espace-temps est uniforme la transformatin est lineaire.

Elle peut s’ecrire sous forme matricielle :ct′x′

=

L11 L12

L21 L22

ctx

ou les Lij sont des coefficients sans dimension.

— On peut donc ecrire :

ct′ = L11ct+ L12x

x′ = L21ct+ L22x. (4)

— Il y a quatre valeurs a trouver. Il faut trouver quatre

equations independantes. Nous tentons d’exprimer les

coefficients L11, L12, L21 en fonction de L22 et v/c.


— (i) Considerons le mouvement rectiligne uniforme de

l’origine O′ dans R. Nous savons que O′ a une vitesse v le

long de l’axe des x. L’origine a toujours x′ = 0. Donc, si on

fixe x′ = 0 on doit avoir x/t = v. Alors

x′ = L21ct+ L22x = 0

L21 = −L22x

ct= −L22

v

cL21 = −βL22, ou β ≡ v/c. (5)

(ii) L’invariance de la vitesse de propagation d’un signal

lumineux le long de l’axe Ox > 0 (ou de l’axe O′x′) s’ecrit :

1 =x

ct=x′

ct′,

soit

1 =x′

ct′=L21ct+ L22x

L11ct+ L12x=L21ct+ L22ct

L11ct+ L12ct=L21 + L22

L11 + L12,


soit

L11 + L12 = L21 + L22. (6)

(iii) La meme chose que (ii) sauf le signal lumineux se

propage dans l’autre sens :

−1 =x

ct=x′

ct′,

soit

−1 =x′

ct′=L21ct+ L22x

L11ct+ L12x=L21ct− L22ct

L11ct− L12ct=L21 − L22

L11 − L12,

soit

L12 − L11 = L21 − L22. (7)

Soustrayons Eq. (7) de Eq. (6) nous avons

2L11 = 2L22 =⇒ L11 = L22. (8)


— Sommons Eq. (7) de Eq. (6) nous avons

2L12 = 2L21

L12 = L21 = −L22β. utilise Eq. (5) (9)



— Nous avons elimine trois parametres et donc nous pouvons

ecrire Eq. (10) avec un seul parametre inconnu :

ct′ = L22ct− βL22x

x′ = −βL22ct+ L22x. (10)

— Finalement nous utilisons Eq. (3)

c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2

= (L22ct− βL22x)2 − (−βL22ct+ L22x)2

= L222

((ct− βx)2 − (−βct+ x)2

)= L2

22(1− β2)(c2t2 − x2). (11)


— On en deduit

L222 =

1

1− β2

L22 = ± 1√1− β2

. (12)

— Nous prenons la raccine positive car sinon x et x′ sont

diriges dans les sens opposes. Alors nous definons

γ =1√

1− β2(13)

et nous avons la transformation de Lorentz (dans la


configuration standarde) s’ecrit donc :ct′

x′

y′

z′

=

γ −β γ 0 0

−β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

. (14)

— La transformation inverse s’obtient simplement en

remplacant β par −β.ct

x

y

z

=

γ β γ 0 0

β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct′

x′

y′

z′

. (15)

— Cette transformation a ete etablie par Lorentz puis Henri

Poincare entre 1895 et 1904 et par une autre methode par


Einstein en 1905. Joseph Larmor l’avait obtenu avant 1900

mais le premier a la trouver est sans doute Woldemar Voigt

en 1882 !


Trouver la transformation de Lorentz :

bilan

— On a suppose une relation lineaire entre coordonnees (t, x)

et (t′, x′). (En fait, il n’est pas necessaire, mais ca rend la

preuve plus vite.) Ca implique que la relation entre (t, x) et

(t′, x′) s’exprime en equation matricielle.

— On a utilise le fait que l’origine O′ se deplace a vitesse

v = βc dans R : =⇒ L21 = −βL22.

— On a utilise le fait que la vitesse de la lumiere est ±c dans

n’importe quel referentiel inertiel. On a trouve L11 = L22 et

L12 = L21.

— On a utilise l’invariance de c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2, ce qui a

donne que L222 = ± 1

1−β2 .

— Finalement, on a choisi le raccine positive afin que la


transformation de change pas la direction de l’axe des x.


Intervalle d’espace-temps

— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a

quatre dimensions. Il a lieu a un endroit et a un instant

donnes.

— La transformation de Lorentz est construite pour que la

quantite (ct)2 − x2 − y2 − z2 soit invariante dans un

changement de repere. Il en est de meme pour la quantite :

∆s2 ≡ s221 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.

(16)

[Sinon, ca impliquerait une origine du systeme des

coordonnees privilegiee.]

— On appelle s21 (le carre de) l’intervalle d’espace temps entre

deux evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les


referentiels galileens (i.e. inertiels) ; il a une signification

absolue.


La transformation de Lorentz dans la

limite de faible vitesse

— La transformation de Lorentz que nous venons de trouver

relie deux systeme de coordonnees cartesiens (inertiel) en

configuration standarde. Les parametres β et γ sont des

fonctions de la vitesse d’ecartement v

β =v

c, γ =

1√1− v2

c2

. (17)

— Qu’est-ce qu’on attend pour la limite β � 1 ? La

transformation de Lorentz doit s’approcher a une

transformation plus familiere.

— En passant a la limite de faible vitesse, la transformation de

Lorentz s’approche a la transformation de Galilee.


Curieusement, pour arriver a t′ = t il faut avoir

ct′ = γct− βx,

t′ ' t, =⇒ γct� βx,

x� γct

β' c2

vt. (18)


Le groupe de Lorentz et les

quadrivecteurs

— La transformation de Lorentz que nous venons de trouver

n’est qu’un cas particulier. Il s’agit de la transformation

entre deux systeme de coordonnees cartesiens en

configuration standarde. Il s’appelle « un boost » le long de

l’axe des x. C’est le cas le plus interessant.

— On peut immediatement trouver la transformation de

Lorentz reliant deux systemes de coordonnees cartesiens

alignes qui se separent le long des axes des y et y′. On

interchange les roles de x et y.

— On interchange les roles de x et z pour le cas de deux

systemes de coordonnees cartesiens alignes qui se separent le

long des axes des z et z′.


— On peut faire des rotations aussi. Une rotation autour de

l’axe des z par exemple s’ecrit commect′

x′

y′

z′

=

1 0 0 0

0 cos θ sin θ 0

0 − sin θ cos θ 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

. (19)

— Normalement on resteint les systemes de coordonnees aux

systemes propre tel que k = i× j. Donc un nombre impair

des inversions est interdit.

— Les transformations permit ont une representation avec une

matrice M (parce qu’elles sont les transformations lineaires).

— On peut faire deux transformations, l’une apres l’autre, ce


qui s’ecrit comme le produit des matrices.ct′

x′

y′

z′

=

1 0 0 0

0 cos θ sin θ 0

0 − sin θ cos θ 0

0 0 0 1

γ β γ 0 0

β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

.

(20)

— L’identite M = I corresponde au cas d’un boost avec β = 0

(ou une rotation par angle θ = 0.)

— Pour chaque transformation de Lorentz M , on a la

transformation inverse M−1, tel que

MM−1 = M−1M = I. (21)

— Le produit matriciel est associatif

M1(M2M3) = (M1M2)M3. (22)


— On en deduit que les transformations de Lorentz forment

une structure algebrique qui s’appelle « un groupe ». Il est le

groupe de Lorentz SO(4). Le “S” indique special parce que

l’on a interdit les systeme de la main gauche (left-handed

systems were not permitted) ; le “O” indique orthogonal, il

s’agit d’une generalisation des matrices orthogonales ; le 4

parce qu’ils sont les matrices carree 4× 4.

— On appelle quadri-vecteur un ensemble de quatre

composantes qui se transforment de la meme maniere. Le cas

particulier etudie ici est le quadrivecteur position.


Exercices pour la maison

1. Demontrer que le carre de l’intervalle d’espace-temps entre

deux evenements A et B

∆s2 ≡ (∆ct)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 (23)

est invariant par la transformation de Lorentz.

2. Verifier par calcul explicite que la transformation (32) est la

transformation inverse a (31). Ca veut dire verifier queγ β γ 0 0

β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

γ −β γ 0 0

−β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(24)


3. Comparer les trois transformations : (i) transformation de

Lorentz, (ii) transformation de Galilee, (iii) une rotation des

axes Cartesiens dans le plan euclidien. Que pensez-vous du

fait que le temps intervient dans la transformation de

Lorentz ?

4. Ecouter la video :

https://www.youtube.com/watch?v=KX9QSjv0Ib0 et la

suite https://www.youtube.com/watch?v=_4Af9UrWEtc


Exercices immediats

1. Exercice 6 de l’examen de 2014 : Considerer un

referentiel, R, avec un systeme des coordonnees cartesiens et

un autre referentiel, R′, l’origine de quel qui se deplace les

long de l’axe des y avec un vitesse constante, v. A l’instant

t = 0 = t′, tous les trois axes spatiaux sont alignes. Ecrire la

transformation de Lorentz pour cette situation, qui

transforme les coordonnees des quadrivecteurs en R′ jusqu’a

les coordonnees en R.


Exercices immediats : solution

1. Nous avons change les roles des axes des x et y de la

configuration standard. Du coupsVt

Vy

Vx

Vz

=

γ vγ 0 0

vγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Vt′

Vy′

Vx′

Vz′

(25)


Alors, Vt

Vx

Vy

Vz

=

γ 0 vγ 0

0 1 0 0

vγ 0 γ 0

0 0 0 1

Vt′

Vx′

Vy′

Vz′

(26)


TD1

— Solutions sont disponible a partir de mon site web

stockage.univ-brest.fr/~scott


Les phenomenes relativistes


Addition des vitesses

— Un repere d’origine O′ se deplace a la vitesse v1 par rapport

a un repere d’origine O. Un autre repere d’origne O′′ se

deplace par rapport a celui d’origine O′. On cherchera a

determiner la vitesse de O′′ par rapport a O.


O x

y

O’ x’

y’ y’’

x’’O’’

v1 v2

R R’ R’’

Figure 3 – Il y trois repere inertiels, R, R′, et R′′. Le repere R′ a la

vitesse v1 par rapport a R. Le repere R′′ a la vitesse v2 PAR RAP-

PORT a R′. Nous cherchons la vitesse v de repere R′′ par rapport a

R.

— En appliquant la transformation de Galilee on trouverait

v = v1 + v2 mais cela pourrait conduire a une vitesse


superieure a celle de la lumiere. La transformation de

Lorentz permet d’ecrire :ctx

=

γ1 β1γ1

β1γ1 γ1

ct′x′

ou β1 = v1/c, et γ1 = 1/

√1− β2

1 .

— La transformation peut etre appliquee entre les reperes R′ et

R′′ : ct′x′

=

γ2 β2γ2

β2γ2 γ2

ct′′x′′

ou β2 = v2/c, et γ2 = 1/

√1− β2

2 .

En combinant ces deux transformations de Lorentz on


obtient :ctx

=

γ1 β1γ1

β1γ1 γ1

γ2 β2γ2

β2γ2 γ2

ct′′x′′

ouct

x

=

γ1γ2 + β1β2γ1γ2 β2γ1γ2 + β1γ1γ2

β1γ1γ2 + β2γ1γ2 β1β2γ1γ2 + γ1γ2

ct′′x′′

On note v la vitesse de O′′ par rapport a O. La

transformation de Lorentz entre R et R′′ sans passer par R′

s’ecrit : ctx

=

γ βγ

βγ γ

ct′′x′′

ou β = v/c et γ = 1/

√1− β2. En comparant les deux


relations on obtient :

γ = γ1γ2(1 + β1β2)

βγ = (β1 + β2)γ1γ2 (27)

En divisant membre a membre il vient :

β =β1 + β21 + β1β2

soit :

v/c =v1/c+ v2/c

1 + v1v2/c2

c’est a dire :

v =v1 + v21 + v1v2

c2

C’est la loi d’addition des vitesses qui remplace celle de

Galilee. La difference n’est pas tres grande pour des vitesses

tres inferieures a celle de la lumiere.


Prenons par exemple v1 = v2 = 34c. On obtient :

v =(3/4 + 3/4)c

1 +(34

)2 =3/2× 16

16 + 9c =

24

25c

La vitesse resultante ne depasse jamais c.

On peut obtenir la loi d’addition des vitesses d’une autre

facon. Considerons une particule qui se trouve a l’origine

commune de R et R′ a t = t′ = 0 et qui se deplace a la

vitesse v′ dans R′. On a donc :

x′ = v′t′

On peut ecrire :

ct = γct′ + γβx′

x = γβct′ + γx′ (28)

ou β = V/c, et V est la vitesse relative des reperes. En


eliminant x′ il vient :

ct = (γc+ γβv′)t′

x = (γβc+ γv′)t′ (29)

On en deduit :x

ct=βc+ v′

c+ βv′

soit :x

t=

V + v′

1 + V v′

c2

La vitesse de la particule dans le repere R est donc :

v =V + v′

1 + V v′

c2

On retrouve donc la loi d’addition des vitesses.


Cours 2. Phenomenes de la relativite

restreinte

— Resume du dernier cours sur la relativite restreinte.

— Les phenomenes relativistes.


— Dilatation du temps.



Resume du cours 1


— Les 3 postulats de la relativite restreinte.

— Invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement

relatif.

— Argument pour la transformation de Lorentz.

— Les evenements dans l’espace-temps et l’ntervalle

d’espace-temps entre eux.


Resume du cours 6 54

Les postulats de la relativite restreinte

1. Les lois fondamentales de la physique gardent la meme

forme dans tous les reperes inertiels – elles sont covariantes

Si une lois est verifiee dans un repere inertiel elle est vraie

dans tous les reperes se deplacant a vitesse constante par

rapport a celui-ci. Par exemple, l’equation d’onde pour un

champ electrique ~E dans le vide :

∂2 ~E

∂t2− c2∇2 ~E = 0, (30)

On verra (un autre jour) qu’elle est valable dans tous

referentiels inertiels.

2. Le second postulat admet que la vitesse de la lumiere [dans le

vide] est independante du mouvement de la source ou de

l’observateur. La vitesse de la lumiere dans le vide est une


constante fondamentale qui joue un role meme dans des

phenomenes qui n’impliquent pas d’interaction

electromagnetique.

3. L’espace est isotrope.


— En considerant la propagation de la lumiere d’une source

ponctuelle, nous avons vu que les postulats sont

incompatible avec la transformation de Galilee.

— Nous avons construit un argument physique pour

l’invariance des longueurs perpendiculaires au mouvement

relatif (sinon, on obtient une violation de postulat 2).

— Nous avons utilise les 3 postulates pour deriver la

transformation de Lorentz. Apres beaucoup de maths on

obtient la transformation de Lorentz qui s’ecrit :ct′

x′

y′

z′

=

γ −β γ 0 0

−β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

, (31)


ou (ct, x, y, z) sont les coordonnees des evenements dans

repere inertiel R et (ct′, x′, y′, z′) sont les coordonnees des

evenements dans repere inertiel R′ dont l’orgine se deplace le

long de l’axe des x avec vitesse uniforme v = βc.

— La transformation inverse s’obtient simplement en

remplacant β par −β.ct

x

y

z

=

γ β γ 0 0

β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct′

x′

y′

z′

. (32)

— On appelle quadri-vecteur un ensemble de quatre

composantes qui se transforment de la meme maniere. Le cas

particulier etudie ici est le quadrivecteur position.

Resume du cours 6 : Exercices pour la maison 58


1. Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a


donnes. Demontrer que le carre de l’intervalle

d’espace-temps entre deux evenements A et B

∆s2 ≡ (∆ct)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 (33)

est invariant par la transformation de Lorentz.


Solution La transformation est lineaire :

∆~x′ = ~x′1 − ~x′2 = M~x1 −M~x2,

= M(~x1 − ~x2) = M∆~x. multiplication matricielle

est lineaire

(34)

Donc on a∆ct′

∆x′

∆y′

∆z′

=

γ −β γ 0 0

−β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

∆ct

∆x

∆y

∆z

=

γ∆ct− βγ∆x

γ∆x− βγ∆ct

∆y

∆z

,

(35)


On veut verifier que ∆s2 = ∆s′2 ou

∆s′2 = (∆ct′)2 − (∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2 =

(γ∆ct− βγ∆x)2 − (γ∆x− βγ∆ct)2 −∆y2 −∆z2,

= γ2(1− β2)(∆ct)2 − γ2(1− β2)(∆x)2 −∆y2 −∆z2,

(36)

Mais

γ2 =

(1√

1− β2

)2

=1

1− β2, =⇒ γ2(1− β2) = 1.

(37)

Donc,

(∆ct′)2−(∆x′)2 − (∆y′)2 − (∆z′)2 =

= (∆ct)2 − (∆x)2 −∆y2 −∆z2

= ∆s2. (38)


Alors, ∆s2 est invariant par la transformation de Lorentz.

2. Verifier par calcul explicite que la transformation (32) est la

transformation inverse a (31).

Solution

γ β γ 0 0

β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

γ −β γ 0 0

−β γ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

a b 0 0

e d 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(39)


Le produit matricielle nous donne que

a = d = γ2 − β2γ2 = γ2(1− β2) = 1. (40)

b = e = −γ2β + γ2β = 0. (41)

Donc le membre droite est la matrice identite :1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(42)

Alors les deux matrices sur le membre gauche sont l’inverse

l’une a l’autre.

3. Comparer les trois transformations : (i) transformation de

Lorentz, (ii) transformation de Galilee, (iii) une rotation des

axes Cartesiens dans le plan euclidien. Que pensez-vous du


fait que le temps intervient dans la transformation de

Lorentz ?

Solution La transformation de Lorentz (en une dimension

spatial) :ct′x′

=

γ −βγ−βγ γ

ctx

,

t′x′

=

1 0

−v 1

tx

(43)

4. Ecouter le video :

https://www.youtube.com/watch?v=KX9QSjv0Ib0 et le

suite https://www.youtube.com/watch?v=_4Af9UrWEtc






∆s2 ≡ s221 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.

(44)



— On appelle s21 (le carre de) l’intervalle d’espace temps entre

deux evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les

referentiels galileens (i.e. inertiels) il a une signification

absolue.


TD1

— Solutions sont disponible a partir de mon site web

stockage.univ-brest.fr/~scott


Cours 2 : Phenomene de la relativite

restreinte


Les phenomenes relativistes



Voir (Smith, 1997, §5.1)

— Un repere d’origine O′ se deplace a la vitesse v1 par rapport

a un repere d’origine O. Un autre repere d’origne O′′ se

deplace a la vitesse v2 par rapport a celui d’origine O′ . On

cherchera a determiner la vitesse de O′′ par rapport a O.


O x

y

O’ x’

y’ y’’

x’’O’’

v1 v2

R R’ R’’

Figure 4 – Il y trois repere inertiels, R, R′, et R′′. Le repere R′ a la

vitesse v1 par rapport a R. Le repere R′′ a la vitesse v2 PAR RAP-

PORT a R′. Nous cherchons la vitesse v de repere R′′ par rapport a

R.

— En appliquant la transformation de Galilee on trouverait

v = v1 + v2 mais cela pourrait conduire a une vitesse


superieure a celle de la lumiere. La transformation de

Lorentz permet d’ecrire :ctx

=

γ1 β1γ1

β1γ1 γ1

ct′x′

ou β1 = v1/c, et γ1 = 1/

√1− β2

1 .

— La transformation peut etre appliquee entre les reperes R′ et

R′′ : ct′x′

=

γ2 β2γ2

β2γ2 γ2

ct′′x′′

ou β2 = v2/c, et γ2 = 1/

√1− β2

2 .

En combinant ces deux transformations de Lorentz on


obtient :ctx

=

γ1 β1γ1

β1γ1 γ1

γ2 β2γ2

β2γ2 γ2

ct′′x′′

ouct

x

=

γ1γ2 + β1β2γ1γ2 β2γ1γ2 + β1γ1γ2

β1γ1γ2 + β2γ1γ2 β1β2γ1γ2 + γ1γ2

ct′′x′′

On note v la vitesse de O′′ par rapport a O. La

transformation de Lorentz entre R et R′′ sans passer par R′

s’ecrit : ctx

=

γ βγ

βγ γ

ct′′x′′

ou β = v/c et γ = 1/

√1− β2. En comparant les deux


relations on obtient :

γ = γ1γ2(1 + β1β2)

βγ = (β1 + β2)γ1γ2 (45)

En divisant membre a membre il vient :

β =β1 + β21 + β1β2

soit :

v/c =v1/c+ v2/c

1 + v1v2/c2

c’est a dire :

v =v1 + v21 + v1v2

c2(46)

C’est la loi d’addition des vitesses qui remplace celle de

Galilee.

— La difference n’est pas tres grande pour des vitesses tres


inferieures a celle de la lumiere. Prenons par exemple

v1 = v2 = 34c. On obtient :

v =(3/4 + 3/4)c

1 +(34

)2 =3/2× 16

16 + 9c =

24

25c

— La vitesse resultante ne depasse jamais c.

— On peut obtenir la loi d’addition des vitesses d’une autre

facon. Considerons une particule qui se trouve a l’origine

commune de R et R′ a t = t′ = 0 et qui se deplace a la

vitesse v′ dans R′. On a donc :

x′ = v′t′

On peut ecrire :

ct = γct′ + γβx′

x = γβct′ + γx′ (47)


ou β = V/c, et V est la vitesse relative des reperes. En

eliminant x′ il vient :

ct = (γc+ γβv′)t′

x = (γβc+ γv′)t′ (48)

On en deduit :

x

ct=βc+ v′

c+ βv′, les γ s’annulent (49)

soit :x

t=

V + v′

1 + V v′

c2

La vitesse de la particule dans le repere R est donc :

v =V + v′

1 + V v′

c2

(50)

On retrouve donc la loi d’addition des vitesses.


Dilatation des durees

— Voir (Smith, 1997, §3.2)

— Un evenement correspond a un point de l’espace-temps

(dans le cas general trois coordonnees d’espace et une de

temps). Un evenement E1 a pour coordonnees (ct1, x1) dans

R et (ct′1, x′1) dans R′. Pour un evenement E2 ces

coordonnees sont respectivement (ct2, x2) dans R et (ct′2, x′2)

dans R′. La transformation de Lorentz permet d’ecrire :

ct1 = γct′1 + βγx′1

ct2 = γct′2 + βγx′2

d’ou on deduit :

c(t2 − t1) = γc(t′2 − t′1) + βγ(x′2 − x′1)


On voit que deux evenements simultanes dans un repere ne

le sont pas dans l’autre repere, s’ils ne se produisent pas au

meme endroit (x′2 6= x′1). La relativite de la simultaneite joue

un role tres important dans l’analyse des phenomenes.

Considerons une horloge au repos dans R′. Ce repere est

alors appele repere propre de l’horloge. L’intervalle de temps

entre les memes evenements mesure dans R est plus long

car :

t2 − t1 = γ(t′2 − t′1)

( et γ > 1). L’intervalle de temps propre est toujours plus

court. Cette propriete du temps ne depend pas du type

d’horloge utilise pour le mesurer.

Considerons une experience de pensee illustrant le

fonctionnement d’une horloge a photons. Un photon se

reflechi sur deux miroirs paralleles, Fig. 5. L’unite de temps

correspond a l’intervalle entre l’aller et le retour du photon


sur un miroir, Fig. 5(a). On a :

∆t′ =2L

c

C’est l’intervalle de temps propre.


L

(a)

(b)

L

Figure 5 – (a) L’horloge a photon est au repos par rapport a l’ob-

servateur ; (b) L’horloge a photon est en mouvement par rapport a

l’observateur


Dans le repere R le photon ne fait pas l’aller-retour entre les

memes points. Le trajet du photon est une ligne brisee

comme sur la Fig. 5(b).

La vitesse de la lumiere est c. Si l’impact du photon se fait

toujours au meme endroit sur le miroir la projection de sa

vitesse sur Ox doit etre egale a celle du repere R′. Sa

composante perpendiculaire aux miroirs est donc√c2 − v2.

Le temps necessaire pour un aller-retour est donc :

∆t =2L√c2 − v2

=2L

c

1√1− v2/c2

,

soit :

∆t = ∆t′1√

1− v2/c2= γ∆t′.

L’horloge a photon tourne plus lentement dans un repere

impropre. Mais ca doit etre le cas pour tous les horloges qui

mesurent le temps correctement. Si l’horloge a photon est


synchronisee avec une autre dans R′ ce dernier tourne

exactement comme l’horloge a photon dans R aussi. C’est

une exigence du principe de relativite. En effet, si deux

horloges synchronisees dans R′ ne l’etaient pas dans un autre

repere on pourrait faire jouer un role privilegie au repere R′.

Nous allons voir quelques applications qui montrent la

realite de la dilatation des durees lorsqu’une horloge est en

mouvement dans le repere de l’observateur.



1. Lire §5.1 (Smith, 1997, §5.1)

2. Lire tous le chapitre 3 (au minimum §3.2 et §3.5) de (Smith,

1997).

3. Essayer TD 6 exercice 1 (voir mon site web, 2015/16).

4. Essayer exercice 4 de (Smith, 1997) :

Alpha du Centaure est une etoile distance d’environ

quatre annees-lumiere. [En fait c’est 3 etoiles qui

apparaıt, a l’oeil nu, comme l’etoile la plus brillante

de la constellation du Centaure et la troisieme plus

brillante de tout le ciel.] Pour qu’une fusee fasse le

voyage en un jour, pour ses occupants, a quelle

vitesse faudrait-il qu’elle aille ? Les occupants de la


fusee verraient Alpha du Centaure approcher a cette

meme vitesse. En deduire a quelle distance elle leur

semberait etre au debut du voyage ?


Cours 2. Phenomenes de la relativite

restreinte : continu

— Resume du dernier cours sur la relativite restreinte.

— Les phenomenes relativistes continu :

— Contraction des longueurs.

— Intervalle d’espace-temp.


Resume du cours 1 & 2 84

Resume du cours 1 & 2



— Dilatation du temps.

— Notions clees : intervalle du temps propre, intervalle du

temps impropre, intervalle du genre temps, intervalle du

genre espace.




— Disons nous savons la vitesse v12 d’une particule 2 par

rapport a une particule 1 et de plus nous savons la vitesse

v23 d’une troisieme particule par rapport a la deuxieme

particule, tous dans la meme direction (pas forcement le

meme sens), disons le long de l’axe des x.

— Nous voulons savoir la vitesse v13 de la particule 3 par

rapport a la particule 1.

— Si les vitesses v12 et v23 sont proche de celle de la lumiere,

on ne peut pas utiliser la loi de Galillee

v13 ≈ v12 + v23. (51)

En fait la loi de Galillee est seulement une approximation


qui est valable quand ∣∣∣v12v23c2

∣∣∣� 1. (52)

Autrement il faut utiliser la loi exacte d’Einstein :

v13 =v12 + v231 + v12v23

c2. (53)

— Attention : Les vitesses v12 et ou v23 peut etre negatives.


Dilatation du temps

— Soient deux evenements A et B tel que l’intervalle entre eux

dans un referentiel inertiel R est du genre temps :

∆s2 = c2(tB − tA)2 − (xB − xA)2 − (yB − yA)2 − (zB − zA)2,

= c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 > 0. (54)

— Alors dans tout referentiel on a ∆s2 > 0. Pourquoi ?

— Alors il y a un referentiel R′ tel que A et B ont les memes

coordonnees spatiales en R′ : x′A = x′B , y′A = y′B , z

′A = z′B .

(Voir l’exercice 3 de TD 2.)

∆s2 = c2(∆t′)2 (55)


— Dans ce cas on dit que

∆t′ ≡ ∆τ =∆s

c, intervalle du temps propre (56)

est un intervalle du temps propre.

— Par contre, ∆t ici est une intervalle du temps impropre.

— Remarque : On peut trouver les intervalles du temps propres

dans n’importe quelle referentiel inertiel. Donc, il peut etre

∆t ou ∆t′. Il faut introduire un nouveau symbole pour avoir

notation standard pour l’intervalle du temps propre, c’est

∆τ .

— La relation entre des intervalles du temps ∆t′ et impropre

∆t est :

∆τ =∆t

γ, dilatation du temps (57)

avec γ = 1/√

1− v2/c2.


— Noter bien que l’intervalle du temps propre est toujours

inferieur a l’intervalle du temps impropre. On dit souvent

que

Les horloges en mouvement retardent.

C’est outile pour aider la memoire, mais il n’est pas tout a

fait correcte de penser a ce phenomene de cette facon. Les

horloges ils fonctionnent correctement sans retardant.


Exercice immediat

1. Trouvez l’equation (57) pour la dilatation du temps a partir

de la definition de l’intervalle du temps propre (56). Indice :

v2 =

(∆x

∆t

)2

+

(∆y

∆t

)2

+

(∆z

∆t

)2

(58)


Exercice immediat : solution

1. Trouvez l’equation (57) pour la dilatation du temps a partir

de la definition de l’intervalle du temps propre (56). Indice :

v2 =

(∆x

∆t

)2

+

(∆y

∆t

)2

+

(∆z

∆t

)2

(59)

Solution


la definition de l’intervalle du temps propre

∆τ =∆s

c=

√c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2

c

= ∆t

√c2

c2− (∆x)2

c2(∆t)2− (∆y)2

c2(∆t)2− (∆z)2

c2(∆t)2

= ∆t

√1− (∆x)2

c2(∆t)2− (∆y)2

c2(∆t)2− (∆z)2

c2(∆t)2

= ∆t

√1− v2

c2

=∆t

γ. (60)



1. Lire §5.1 (Smith, 1997, §5.1)

2. Lire tous le chapitre 3 (au minimum §3.2 et §3.5) de (Smith,

1997).

3. Essayer exercice 4 de (Smith, 1997) :

Alpha du Centaure est une etoile distance d’environ

quatre annees-lumiere. [En fait c’est 3 etoiles qui

apparaıt, a l’oeil nu, comme l’etoile la plus brillante

de la constellation du Centaure et la troisieme plus

brillante de tout le ciel.] Pour qu’une fusee fasse le

voyage en un jour, pour ses occupants, a quelle

vitesse faudrait-il qu’elle aille ? Les occupants de la

fusee verraient Alpha du Centaure approcher a cette


meme vitesse. En deduire a quelle distance elle leur

semberait etre au debut du voyage ?

Solution

Supposons que nous avons un referentiel inertiel R dans

lequelle le Soleil et l’Alpha du Centaure sont immobile, avec

le Soleil a l’origine O. Et nous orientons l’axe des x vers

l’Alpha du Centaure. Dans R la distance (propre) entre nous

et l’Alpha du Centaure est 4 annee lumiere et l’intervalle du

temps impropre, ∆t, est l’intervalle du temps pour la fusee

de passer de x = 0 a x = 4 annee lumiere (du Soleil a

l’Alpha du Centaure). On a

∆t =d

v, avec v la vitesse inconue (61)

Les occupants mesurent un intervalle du temps ∆t′ = ∆τ


pour le voyage ; c’est un intervalle du temps propre et donc :

∆τ =∆t

γ= ∆t

√1− v2/c2 =

d

v

√1− v2/c2. (62)

Nous voulons un intervalle du temps propre, ∆τ = 1 jour.

Nous savons d. Donc, il faut resoudre l’equation (62) pour v :

v√1− v2/c2

=d

∆τ≡ A, (63)

avec

A =distance

duree propre=

4 annee lumiere× 365, 2425 jour/annee

1 jour(64)

On a c = 1 dans les unites avec temps en jours et distance en


jours-lumieres. Donc on ecrit v = β :

β√1− β2

= A,

β =A√

1 +A2= 0.9999997659,

v = βc = 0.9999997659c. (65)

Dans la fusee on voit l’Alpha du Centaure s’aproche a

presque la vitesse de lumiere. Donc, la distance (impropre)

est environ 1 jour-lumiere.

Cours 8 97

Contraction des longueurs

Voir (Smith, 1997, Chapitre 4).

— On mesure la longueur d’une tige en determinant les

abscisses de ses extremites. Si la tige est immobile ces

abscisses peuvent etre mesurees a des instants arbitraires.

On obtient ainsi la longueur propre de la tige. Dans un

repere ou la tige est en mouvement il est important que les

mesures des abscisses soient faites au meme instant. Or deux

evenements simultanes dans un repere ne sont pas en general

simultanes dans d’autres reperes. La longueur d’une tige va

donc dependre de sa vitesse dans un repere donne.

Cours 8 98

— La transformation de Lorentz nous donne :ct′x′

=


ctx

.

Les abscisses de deux points, mesurees dans le repere R′ sont

donnees par :

x′2 = −βγct2 + γx2,

x′1 = −βγct1 + γx1.

Si la tige est au repos dans R′ sa longueur propre est :

L′ = x′2 − x′1 ≡ L0.

— Remarque : On peut trouver les tiges stationnaires dans

n’importe quelle referentiel inertiel. Donc, la longueur propre

peut etre ∆x ou ∆x′. Il faut introduire un nouveau symbole

pour avoir notation standard pour la longueur propre, c’est

Cours 8 99

L0.

— La difference d’abscisses verifie la condition :

x′2 − x′1 = γ(x2 − x1)− βγ(ct2 − ct1).

L’observateur attache au repere R determinera la longueur

de la tige en mesurant les abscisses de ses extremites au

meme instant (t2 = t1). La longueur obtenue sera :

L = x2 − x1,

d’ou la relation avec la longueur propre L0 :

L′ = γL = L0

soit

L =L0

γ.

— La longueur propre est donc toujours plus grande que la

longueur mesuree dans un repere ou la tige est en

Cours 8 100

mouvement. C’est ce que l’on appelle la contraction des

longueurs.

— La contraction des longueurs est un phenomene cinematique

et non dynamique comme l’ont cru Fitzgerald, Lorentz, et

Poincare. Aucune force n’est a l’origine de cette contraction.

C’est un effet de perpective. Il ne s’agit pas d’une illusion ;

c’est une vraie longueur.

— Revenons sur l’exemple du muon qui traverse l’atmosphere.

Dans son repere propre sa duree de vie moyenne est 2, 2µs. Il

a donc tres peu de chances de franchir des dizaines de km.

Cependant, dans son repere l’epaisseur de l’atmosphere est

divisee par γ. Elle est donc tres inferieure a celle que nous

mesurons.

Cours 8 101

Exercice immediat

1. (Examen de l’annee 2015) Chaque voiture d’un TGV a une

longueur propre l0 = 10 m. Si le TGV passe sous un tunnel

de longueur propre 50 m a une vitesse v = 0.9949874371 c,

ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide, combien de

voitures rentrent dans le tunnel ?

Cours 8 102

Exercice immediat

Solution Dans le referentiel du tunnel, les voitures sont contractes

par un facteur de γ = 1/√

1− v2/c2, donc chacune est de longuer

l′ :

l′ =l0γ

=10 m

10= 1 m (66)

Alors 50 voitures rentrent dans le tunnel.

Cours 8 103

L’espace-temps

Chapitre 4 des notes du cours de Jacques Langlois.

Notions clees (pas exhaustive) :

— L’intervalle ∆s.

— Intervalle du genre temps, du genre espace, du genre lumiere.

— Diagramme de Minkowski.

— Quadri-vecteur.

Cours 8 104


— Un evenement correspond a un point dans l’espace-temps a


donnes.




∆s2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.



— On appelle ∆s l’intervalle d’espace-temps entre deux

evenements. Cet intervalle etant le meme pour tous les

referentiels galileens (i.e. inertiels) il a une signification

Cours 8 105

absolue.

— Pour des evenements tres proches l’intervalle devient

infinitesimal et on peut ecrire :

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.

(Pour etre tres precise, on devrait ecrire :

(ds)2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2,

mais personne ne le fait).

— Si l’intervalle entre deux evenements est reel (ds2 > 0) on dit

qu’ils sont du genre temps. Le temps ecoule est assez long

pour que la separation spatiale puisse etre franchie par un

objet materiel. Il peut exister une relation de cause a effet

entre les deux evenements.

— La trajectoire d’un objet ponctuel dans l’espace-temps est

appelee ligne d’univers. Deux points appartenant a une ligne

Cours 8 106

d’univers d’un objet materiel definissent necessairement un

intervalle de genre temps.

— Lorsque l’intervalle est nul les evenements sont dits du genre

lumiere. Leur separation spatiale est telle qu’il faut se

deplacer a la vitesse de la lumiere pour aller d’un point a

l’autre dans l’intervalle de temps correspondant.

— Lorsque l’intervalle est imaginaire (ds2 < 0) la separation

spatiale est trop grande pour qu’un signal puisse la franchir

durant l’intervalle de temps correspondant. Il ne peut pas

exister de relation causale entre les deux evenements. Nous

verrons que l’ordre des evenements n’est pas necessairement

le meme dans deux referentiels differents. Cet intervalle est

dit du genre espace. (Nous l’avons vu dans l’Exercice 3 du

TD 5.)

— L’espace-temps utilise en relativite restreinte est appele

espace-temps de Minkowski du nom du mathematicien qui

Cours 8 107

l’a defini.

— On peut etudier les aspects essentiels de la relativite

restreinte en utilisant une seule coordonnee spatiale. On

trace des axes perpendiculaires correspondant a x et a ct. La

ligne d’univers d’une particule au repos est une droite

parallele a l’axe ct. Pour un photon la ligne d’univers est une

droite faisant un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x.

Pour une particule se deplacant a vitesse constante la ligne

d’univers est une droite plus proche de l’axe ct que de l’axe

des x.

Cours 8 108

O x

ct

particule au repos photon

photon

particule matérielle

Figure 6 – Lignes d’univers des particules. Les photons ont force-

ment un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x. Les particules

materielles ont une ligne d’univers forcement plus proche de l’axe ct

que de l’axe des x.

Cours 8 109

— Si on fait coincider l’origine avec l’instant present et la

position « ici », les valeurs positives de ct representent le

futur et les valeurs negatives representent le passe. Les

regions pour les quelles |x| < |ct| representent le lieu des

intervalles du genre temps. Les droites faisant un angle de

45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x sont les lieux des intervalles

du genre lumiere. Les intervalles du genre espace

correspondent aux regions ailleurs pour lesquelles |x| > |ct|.[Draw light-cone with one spatial dimension.]

— Avec deux dimensions d’espace, ce figure devient le cone de

lumiere. Ce cone de lumiere divise l’espace-temps en

differentes regions.

— Pour tous les evenements situes a l’interieur du cone de

lumiere, on a ∆s2 > 0 par rapport a l’origine. La

composante temporelle domine la composante spatiale.

L’intervalle de l’origine a l’evenement est du genre temps, de

Cours 8 110

sorte qu’une particule peut aller de l’origine a l’evenement ;

la loi de causalite dit que un evenement a l’origine peut etre

la cause des evenement qui reside uniquement dans son cone

de lumiere futur.

— De meme, un evenement peut etre le resultat d’une cause

(un evenement) anterieur qui reside uniquement dans son

cone de lumiere passe.

— Les evenement avec la grandeur ∆s2 < 0, l’intervalle est du

genre espace et cela signifie que tous les evenements sont

situes a l’exterieur du cone de lumiere. Etant donne que les

evenements ne peuvent plus etre relies entre eux par la

particule, cette region est exclue de sa ligne d’univers. Cette

region est denommee l’ailleurs.

Cours 8 111

Figure 7 – Le cone de lumiere en deux dimensions.

Cours 8 112

— Il a meme plus difficile de visualiser le cone de lumiere en 3

dimensions spatiaux.

Cours 8 113

Diagramme de Minkowski pour deux

referentiel en configuration standard

— Soitent R et R′ deux referentiels en configuration standard.

— L’axe des ct′ est l’ensemble des points x′ = 0. Il s’agit de la

ligne d’univers de l’origine O′. Par definition de la

configuration standard on a :

ct =x

β(67)

Donc l’axe ct′ est une droite avec coefficient directeur 1/β.

Ca veut dire que l’angle θ de l’axe ct a l’axe ct′ est tel que

tan(θ) = β, positive dans le sens anti-trigonometrique

(68)

Cours 8 114

ct

x

x’

ct’

q

q

Figure 8 – Configuration standard avec v/c = β = tan(θ).

Cours 8 115

— L’axe des x′ est l’ensemble des points t′ = 0.

— La transformation de Lorentzct′x′

=


ctx

nous donne :

0 = ct′ = γct− βγx,

ct = βx. (69)

Il s’agit d’une droite avec coefficient directeur β. Ca veut

dire que l’angle θ de l’axe des x a l’axe des x′ est tel que

tan(θ) = β, positive dans le sens trigonometrique (70)

— Comment tracers les axes pour ct et x sur le diagramme de

Minkowski pour R′ ? On change le signe de β. Dans la

Cours 8 116

configuration standard β > 0 donc on obtient

tan(θ) = −β (71)

Cours 8 117

ct’

x

x’

ct

q

q

Figure 9 – Configuration standard avec v/c = β = − tan(θ).

Cours 8 118

Exercice immediat

1. Tracer les lignes d’univers des compteurs A et B dans

l’experience de muons dans le referentiel R′ fixe par terre, et

le referentiel R qui ce deplace avec un muon. Indiquer les

intervalles du temps et longueurs propre est impropre que

nous avons discute dans le TD.

Cours 8 119


1. Lire tous le chapitre 4 (au minimum §4.1 ) de (Smith, 1997).

2. Quand est la loi de Galilee de l’addition des vitesse valable ?

3. (Examen de l’annee 2015) J’ai deux fils, Red et Kas, et

chacun a un vaisseau spatial. Un jour Red quitte a la vitesse

v = 3c/4, par rapport a moi, vers la nebuleuse du Crabe. Au

meme instant Kas le suivre a la vitesse v = c/2 par rapport

a moi. Calculer la vitesse de Red par rapport a Kas comme

fraction de c.

4. Tracer la ligne d’univers de la fusee dans l’exercice du voyage

a l’Alpha du Centaure dans le referentiel R fixe par le soleil,

et le referentiel R′ qui ce deplace avec la fusee. Indiquer les

intervalles du temps et longueurs propre est impropre.

Cours 8 120

References

Smith, J. H. (1997), Introduction a la relativite, InterEditions,

Paris, France.

Documents

Cours 2. La relativit e restreinte : introduction