Cours de Mathématiques MP - michel.quercia.free.frmichel.quercia.free.fr/cours-MP.pdf · Conséquences f est injectif si et seulement si Ker f = f e g . Si a ^ b = d 6= 0 alors l'équation

Cours de Mathématiques MP�

d'après le programme 2014

Michel Quercia � lundi 14 décembre 2015

I — Groupes

1) DéfinitionsLoi de composition interne. Associativité. Élément neutre ; il est unique. Inverse, unicité.Commutativité, groupe abélien, groupe additif. Soustraction dans un groupe additif.

Exemples : (R;+), (R+�;�), groupe symétrique, produit de deux groupes.Régularité d'un élément.

2) Puissances et multiplesNotation an dans un groupe multiplicatif.an+p = an � ap, anp = (an)p = (ap)n, (ab)�1 = b�1 � a�1, (ab)n = an � bn si ab = ba.Notation na dans un groupe additif.(n� p)a = na� pa, n(a� b) = na� nb, (np)a = n(pa) = p(na).

3) Sous-groupesPartie stable par la loi de composition, l'inversion, et contenant l'élément neutre du groupe.

Sous-groupe engendréL'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe. L'intersection de tous les sous-groupescontenant une partie X est le plus petit sous-groupe contenant X, noté hXi. C'est l'ensemble des mots�nis construits sur X [X�1.

Exemples : hai = aZ ou Za. Le sous-groupe de SE engendré par les transpositions est l'ensemble despermutations ayant un nombre �ni de points non �xes ; c'est SE si et seulement si E est �ni.Si H;K sont des sous-groupes d'un groupe additif alors hH [Ki = H +K.En particulier dans un groupe additif, ha; bi = fua+ vb; u; v 2 Zg.Théorème : les sous-groupes de (Z;+) sont les ensembles nZ, n 2 N.Conséquence : pgcd et ppcm dans Z, relation hmdi = habi.Théorème de Lagrange : soient G un groupe �ni et H un sous-groupe. Alors cardH divise cardG.

4) MorphismesApplication transportant l'opération du groupe de départ sur celle du groupe d'arrivée.

Exemples : n 7! an ou n 7! na, signe et valeur absolue dans R�, signature d'une permutation à support�ni, conjugaison dans un groupe multiplicatif.

Démonstration pour la signature : résulte du lemme : si �1; : : : ; �n sont des transpositions tellesque �1�: : :��n = id alors n est pair. En e�et, on choisit un élément a a�ecté par l'une des transpositionset on réécrit le produit �1 � : : : � �n = � 01 � : : : � � 0p où p a même parité que n en déplaçant tous les avers la gauche. S'il reste un a, c'est uniquement dans � 01 mais dans ce cas la composée ne peut être égaleà id. Donc a a disparu, et on termine par récurrence forte sur le nombre d'éléments a�ectés par unetransposition. Remarque : la signature ne peut pas être prolongée en un morphisme de SE sur f�1; 1glorsque E est in�ni, voir contre-exemple avec E = Z.

Propriétés : f(e) = e0, f(an) = f(a)n. Image directe et image réciproque d'un sous-groupe. Noyau etimage d'un morphisme. Composée de morphismes, réciproque d'un isomorphisme.

Théorème : l'équation f(x) = a admet au moins une solution si et seulement si a 2 Im f . Dans ce cas,l'ensemble des solutions est fx0u; u 2 Ker fg = fvx0; v 2 Ker fg où x0 est une solution particulière.Son cardinal est celui de Ker f .

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Conséquencesf est injectif si et seulement si Ker f = feg.Si a ^ b = d 6= 0 alors l'équation ax+ by = c a des solutions dans Z si et seulement si d j c. Dans ce cas,les solutions di�èrent entre elles d'un multiple de (b=d;�a=d).

5) Le groupe Z=nZ

Soit n 2 N�. La relation de congruence modulo n est compatible avec l'addition, la soustraction et lamultiplication. Tout x 2 Z est congru modulo n à un unique élément de [[0; n[[ noté x mod n.

Conséquence : on note Z=nZ = f0 mod n; : : : ; (n� 1) mod ng l'ensemble des classes de de congruencemodulo n et on dé�nit dans Z=nZ les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication par :

(x mod n) + (y mod n) = (x+ y) mod n;(x mod n)� (y mod n) = (x� y) mod n;(x mod n)� (y mod n) = (x� y) mod n:

Les résultats ne dépendent pas des représentants x; y choisis.

Proposition : (Z=nZ;+) est un groupe additif et l'application x! x mod n est un morphisme surjectifde Z sur Z=nZ. Son noyau est le sous-groupe nZ.

Propriété universelle : soit f : (Z;+) ! (G; :) un morphisme de groupes dont le noyau contient nZ.Alors il existe une unique application f : Z=nZ! G véri�ant : 8x 2 Z; f(x mod n) = f(x). De plus, fest un morphisme de groupes et Im f = Im f . En�n, f est injectif si et seulement si Ker f = nZ.

Théorème chinois, version groupes : soient n; p 2 N� tels que n ^ p = 1.L'application (x mod np) 7! (x mod n; x mod p) est bien dé�nie et est un isomorphisme entre les groupesadditifs Z=npZ et (Z=nZ)� (Z=pZ). En particulier, pour tous a; b 2 Z, il existe x 2 Z unique modulo npvéri�ant x � a (modn) et x � b (mod p). Si nu+pv = 1 est une relation de Bézout, alors x = nub+pvaest une solution du système précédent.

Générateurs : soit x 2 Z. La classe de congruence x mod n engendre le groupe Z=nZ si et seulementsi x ^ n = 1. On note '(n) = cardfx 2 [[0; n[[ tq x ^ n = 1g le nombre de générateurs de Z=nZ.

Sous-groupes : soient x 2 Z et d = x^n. Alors hx mod ni = hd mod ni = f(kd) mod n; 0 6 k < n=dg:Le cardinal de ce sous-groupe est égal à n=d. Réciproquement, si H est un sous-groupe quelconquede Z=nZ alors H = hd mod ni avec d = n= card(H).

Démonstration : les relations x = dy et d = ux + vn donnent hx mod ni = hd mod ni par doubleinclusion. La description de hd mod ni et son dénombrement sont immédiats. Si H est un sous-groupede Z=nZ et f = x 7! x mod n alors f�1(H) est un sous-groupe de Z contenant nZ, donc de la forme dZavec n j d. Et f est surjectif, d'où H = f(f�1(H)) = f(dZ) = hd mod ni.

6) Groupes monogènesOrdre d'un élément. Exemples dans C�, dans Z=nZ et dans SE .O(a) = 1() a = e. O(a) = 1 ou 2() a2 = e() a = a�1.

Caractérisationsa est d'ordre �ni n () (ap = e()n j p) () (ap = aq() p � q (modn)) () cardhai = n:a est d'ordre in�ni () (ap = e() p = 0) () (ap = aq() p = q) () cardhai =1:

Théorème de Lagrange : soient G un groupe �ni de cardinal n et a 2 G. Alors an = e.

Groupe monogène, groupe cyclique. Exemples Z, Z=nZ, Un. Contre-exemple Q.

Théorème : soit G un groupe monogène. Si G est �ni de cardinal n alors G est isomorphe à (Z=nZ;+).Sinon, G est isomorphe à (Z;+).

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Conséquences : soit G est un groupe cyclique de cardinal n engendré par un élément a.Les générateurs de G sont les éléments de la forme ak avec k ^ n = 1. Leur nombre est égal à '(n).Les sous-groupes de G sont monogènes et pour tout d j n, G admet exactement un sous-groupe decardinal n=d, à savoir hadi.Tout groupe �ni dont le cardinal n est un nombre premier est cyclique, isomorphe à Z=nZ et à Un.

Proposition : pour tout n 2 N�, le groupe multiplicatif C� admet exactement un sous-groupe decardinal n, à savoir Un.

Formule de récurrence :Pdjn '(d) = n.

Démonstration : '(d) = cardfgénérateurs de Udg = cardféléments de Un d'ordre dg.

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II — Anneaux

1) DéfinitionsAddition et multiplication, distributivité, zéro et unité. Ils sont di�érents si et seulement si A 6= f0g.Relations 0� x = x� 0 = 0, (nx)� y = n(x� y) = x� (ny), (n1)� (p1) = (np)1.Développement de (a+ b)n et factorisation de an � bn quand ab = ba.Régularité, inversibilité pour la multiplication. Groupe A� des unités de A.Anneau commutatif, intègre, corps.

Exemples : Z, Z=nZ, Q, R, C, AX , A[X] et A[X;Y ] pour A anneau quelconque, K(X), produit de deuxanneaux.Algèbre = anneau + K-ev avec l'associativité mixte : (�x)� y = �(x� y) = x� (�y).Sous-anneau, sous-corps, sous-algèbre, exemples précédents.

MorphismesMorphisme d'anneaux = application transportant l'addition, la multiplication et les deux éléments neu-tres. Le transport du zéro n'est pas à véri�er, il résulte du transport de l'addition.Morphisme d'algèbre = transporte en plus la multiplication externe.Image directe et image réciproque d'un sous-anneau ou d'une sous-algèbre. Composée de morphismes,réciproque d'un isomorphisme.

Exemples : conjugaison dans C, conjugaison dans A, restriction dans AX , évaluation ou substitutiondans A[X] et A[X;Y ] lorsque A est commutatif, k 7! k1 de Z dans A, x 7! x mod n de Z sur Z=nZ.

Morphismes de Q;R;C : Q et R admettent id comme seul automorphisme de corps. C admet unein�nité d'automorphismes (admis) ; id et z 7! z sont les seuls automorphismes du corps C conservant R.

2) Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatifIdéal = sous-groupe additif absorbant pour la multiplication. Soit : 0 2 I, I + I � I, AI � I.L'image réciproque d'un idéal par un morphisme d'anneaux est un idéal. En particulier le noyau d'unmorphisme d'anneaux est un idéal de l'anneau de départ (l'image est un sous-anneau de l'anneau d'ar-rivée).

Idéal engendréL'intersection d'une famille d'idéaux est un idéal. L'intersection de tous les idéaux contenant une par-tie X est le plus petit idéal contenant X, noté (X). C'est l'ensemble des combinaisons linéaires �nies àcoe�cients dans A des éléments de X.

Exemples : (a) = aA (idéal monogène engendré par a), (I [ J) = I + J , éléments de AX s'annulant surune partie Y � X �xée.Un idéal contenant l'unité ou une unité est égal à A.

Divisibilité : a j b()9 c 2 A tq b = ac() b 2 (a)()(b) � (a). Lorsque A est intègre et a 6= 0, il ya unicité de c qui est alors noté b=a.a et b sont dits associés lorsqu'ils engendrent le même idéal, soit a j b et b j a. Si A est intègre, a et bsont associés si et seulement s'il existe u 2 A� tel que b = ua. Pour A = Z, a et b sont associés si etseulement si b = �a. Pour A = K[X], a et b sont associés si et seulement s'ils sont proportionnels. Toutpolynôme non nul est associé à un unique polynôme unitaire.

Théorèmes : les idéaux de Z sont ses sous-groupes additifs, soit les ensembles (n) = hni = nZ, n 2 N.Les idéaux de K[X] sont les idéaux monogènes, soit les ensembles (P ) avec P = 0 ou P unitaire,entièrement déterminé par l'idéal considéré.Dans l'anneau K[X;Y ], l'ensemble des polynômes nuls en (0; 0) est un idéal non monogène.Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dans lequel tous les idéaux sont monogènes.

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Pgcd, ppcm dans un anneau principald = a ^ b est l'un des générateurs de l'idéal (a) + (b) = fua+ vb; u; v 2 Ag.m = a _ b est l'un des générateurs de l'idéal (a) \ (b) = fmultiples communs à a et bg.d et m sont uniques à association près ; on les rend uniques dans Z en imposant d;m 2 N. On les renduniques dans K[X] en imposant qu'ils soient nuls ou unitaires.

Propriétésx j d ()(x j a et x j b). d = 0 () a = b = 0.m j x ()(a j x et b j x). m = 0 () a = 0 ou b = 0.

(md) = (ab).Il existe u; v en général non uniques tels que d = ua+ vb. Dans Z et dans K[X] l'algorithme d'Euclideétendu fournit un tel couple.Associativité des opérations ^ et _.

Éléments premiers entre euxa et b sont premiers entre eux ()(a ^ b) = (1)()9u; v 2 A tq ua+ vb = 1.Pour d 6= 0, a=d et b=d sont premiers entre eux.(a ^ bc) = (1)()(a ^ b) = (1) et (a ^ c) = (1).Si (a ^ b) = (1) et a j bc alors a j c (Gauss).Si (a ^ b) = (1) alors (ab j c)() (a j c et b j c).

3) Décomposition en facteurs irréductiblesa est premier () a 6= 0, a =2 A�, (a j bc) a j b ou a j c).a est irréductible () a 6= 0, a =2 A�, (a = bc) b 2 A� ou c 2 A�).Pour A commutatif intègre : premier ) irréductible. Pour A principal : premier () irréductible.Dans l�anneau Z[i

p3], 1 + i

p3 est irréductible mais non premier.

Théorème : soit A principal et a 2 A n f0g. Alors il existe u 2 A�, n 2 N et b1; : : : ; bn premiers telsque a = ub1 : : : bn. Une telle décomposition est unique à ordre et association près.

DémonstrationExistence par l'absurde : si a n'a pas de décomposition alors a n'est pas irréductible, a = bc avec b =2 A�et c =2 A� et l'un des facteurs, par exemple b n'a pas lui non plus de décomposition. On construitalors de proche en proche une suite (an)n2N telle que an+1 j an et an =j an+1. Soit I l'idéal engendrépar fan; n 2 Ng et d un générateur de I : d = u0a0+ : : :+unan donc an j d j an+1 : il y a contradiction.

Pour l'unicité, si ub1 : : : bn = vc1 : : : cp avec n > 0, alors b1 divise vc1 : : : cp et est premier donc divisel'un des facteurs. Ce ne peut être v car b1 =2 A� d'où p > 0 et b1 divise ci. ci étant irréductible, b1 et cisont associés. On supprime ces deux facteurs, en modi�ant au besoin v, et on termine par éliminationde proche en proche des facteurs premiers restants de l'un ou l'autre côté.

Lorsque A = Z, on impose, quitte à modi�er le facteur u, que les facteurs premiers soient dans N� eten regroupant les facteurs premiers égaux on obtient a = �p�11 : : : p�kk avec � = �1, p1; : : : ; pk premierspositifs deux à deux distincts et �1; : : : ; �k 2 N.

Lorsque A = K[X], on impose, quitte à modi�er le facteur u, que les facteurs premiers soient unitaires.On regroupe de même les facteurs premiers égaux et on obtient a = �p�11 : : : p�kk avec � 2 K� (c'est lecoe�cient dominant de a), p1; : : : ; pk irréductibles deux à deux distincts et �1; : : : ; �k 2 N.

Dans ces deux anneaux, en écrivant a = �p�11 : : : p�kk , b = �p�11 : : : p

�kk avec les mêmes pi, on obtient :

a ^ b = pmin(�1;�1)1 : : : p

min(�k;�k)k et a _ b = p

max(�1;�1)1 : : : p

max(�k;�k)k .

page 6 II � Anneaux

ConséquencesL'ensemble des entiers naturels premiers est in�ni.L'ensemble des polynômes unitaires irréductibles sur un corps K est in�ni.Pour a; b 2 Z n f0g, il existe a0 diviseur de a et b0 diviseur de b tels que a0 ^ b0 = 1 et a0b0 = a _ b.

4) L’anneau Z=nZ

Classification des éléments : pour x 2 Z, on ax mod n est inversible () x mod n est régulier () x mod n engendre (Z=nZ;+) () x ^ n = 1.

Conséquences(Z=nZ)� = fx mod n tq x ^ n = 1g est un groupe multiplicatif de cardinal '(n).Pour n > 2, Z=nZ est un corps si et seulement si n est premier. Dans le cas contraire, c'est un anneaunon intègre.Pour x 2 Z et x ^ n = 1, on a x'(n) � 1 (modn) (Euler).Pour x 2 Z et n premier, on a xn � x mod n (Fermat).

Test de primalité de Rabin-Miller : soit n 2 N� et a 2 [[2; n � 2]] premier avec n. On écritn � 1 = 2�q avec q impair puis on calcule successivement (par exponentiation rapide) les nombresaq mod n, a2q mod n,: : : ,a2

�q mod n. Si n est premier alors cette suite se termine par 1 mod n et ledernier terme non égal à 1 mod n, si l'en existe, est égal à �1 mod n. Dans le cas contraire, n est nonpremier.

Exemple : n = 341, a = 2.On démontre que si n est non premier alors la probabilité qu'un a tiré au hasard dans [[2; n � 2]] révèlela non primalité de n est supérieure à 3

4 . Lorsque six essais indépendants n'ont pas révélé la nonprimalité d'un entier n, on prétend que n est probablement premier avec une probabilité supérieureà 1� 4�6 � 0:99975.

Théorème chinois, version anneaux : soient n; p 2 N� tels que n ^ p = 1.L'application (x mod np) 7! (x mod n; x mod p) est bien dé�nie et est un isomorphisme entre les anneauxZ=npZ et (Z=nZ) � (Z=pZ). Elle induit un isomorphisme entre les groupes multiplicatifs (Z=npZ)� et(Z=nZ)� � (Z=pZ)�. En particulier '(np) = '(n)'(p).

Conséquence : soit n = p�11 : : : p�kk avec p1; : : : ; pk premiers positifs distincts et �1; : : : ; �k 2 N�.Alors '(n) = p�1�11 : : : p�k�1k (p1 � 1) : : : (pk � 1), soit

'(n)n

=Qpjn�1� 1

p

�.

Cryptage RSA : soient n 2 N� sans facteur carré et d; e 2 N� tels que de � 1 mod '(n). Alors lesapplications x 7! xd et x 7! xe sont deux permutations de Z=nZ réciproques.

5) Compléments sur les polynômesRacinesSoit A un anneau commutatif, P 2 A[X] et a 2 A. On a P (a) = 0()X � a j P .Soit A un anneau commutatif intègre, P 2 A[X] et a1; : : : ; an 2 A distincts.On a P (a1) = : : : = P (an) = 0()(X � a1) : : : (X � an) j P .Dans un anneau commutatif intègre, un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.

Multiplicité : soit K un sous-corps de C, P 2 K[X], a 2 K et � 2 N.On a P (a) = : : : = P (��1)(a) = 0()(X � a)� j P .Polynômes irréductiblesles polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes du premier degré.Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes du premier degré et les polynômes du seconddegré à discriminant négatif.Dans Q[X], le polynôme Xn � 2 est irréductible pour tout n 2 N�.Dans un corps K quelconque, un polynôme irréductible de degré d > 2 n'a pas de racine dans K et unpolynôme de degré d = 2 ou d = 3 n'ayant pas de racine dans K est irréductible.

II � Anneaux page 7

FactorisationSoit P 2 C[X] n f0g, � son coe�cient dominant, a1; : : : ; an ses racines de multiplicités �1; : : : ; �n. AlorsP = �(X � a1)�1 : : : (X � an)�n .Soit P 2 R[X] n f0g. Les racines non réelles de P sont deux à deux conjuguées et deux racines conju-guées ont même multiplicité. On obtient la décomposition en facteurs irréductibles de P dans R[X] endécomposant P dans C[X] puis en regroupant les facteurs conjugués.

Exemple : Xn � 1X � 1

= 1 +X + : : :+Xn�1

=Qn�1k=1 (X � e2ik�=n)

= (X + 1)(n�1) mod 2Qb(n�1)=2ck=1 (X2 � 2X cos(2k�=n) + 1).

En particulier pour X 1 :Qn�1k=1 sin(

k�n ) = n

2n�1 .

Et pour n = 2p+ 1, X i :Qpk=1 cos(

2k�2p+1 ) =

(�1)b(p�1)=2c2p .

Formule de Taylor : soient K un sous-corps de C, P 2 Kn[X], A une K-algèbre et a; b 2 A tels queab = ba. On a P (a+ b) = P (a) + bP 0(a) + : : :+ bnP (n)(a)=n!.

Indépendance par rapport au corps : soient K un sous-corps de C et P;Q 2 K[X]. Alors P et Qont mêmes pgcd et mêmes ppcm dans les anneaux K[X] et C[X]. En conséquence P et Q sont premiersentre eux dans l'anneau K[X] si et seulement s'ils n'ont pas de racine complexe en commun.Exemple : pour n; p 2 N, on a (Xn� 1)^ (Xp� 1) = Xn^p� 1 dans tout anneau K[X] avec K � C (vraien fait pour un corps K quelconque).

Groupe multiplicatif d’un corps fini : soit K un corps �ni. Le groupe multiplicatif K� est cyclique.

Démonstration : on note n = card(K�) = card(K) � 1. Si x 2 K� alors xn = 1 donc x est d'ordre�ni divisant n. Pour d j n, soit Nd le nombre d'éléments de K� d'ordre divisant d et Pd le nombred'élements d'ordre exactement d. Les éléments d'ordre divisant d sont les racines du polynôme Xd � 1donc Nd 6 d. Les éléments dont l'ordre ne divise pas d sont les racines du polynôme (Xn� 1)=(Xd� 1),d'où n � Nd 6 n � d, ce qui entraîne �nalement Nd = d. On montre alors par récurrence forte sur dque Pd = '(d) grâce à la relation

Pejd '(e) = d = Nd =

Pejd Pe. En particulier Pn = '(n) 6= 0, ce qui

prouve que K� possède au moins un élément d'ordre n.

On démontre que le cardinal d'un corps �ni est nécessairement une puissance d'un nombre premier etque pour tout p premier et tout k 2 N�, il existe un corps �ni de cardinal pk, unique à isomorphismeprès. Ce corps est noté Fpk . En particulier Fp = Z=pZ.

page 8 II � Anneaux

III — Matrices

1) Opérationsa) Définitions

Matrice rectangulaire à coe�cients dans un anneau A commutatif. Matrice carrée, triangulaire, diago-nale, scalaire. Matrice triangulaire ou diagonale par blocs.Addition, multiplication, transposition.

b) Structure algébrique(Mn(A);+;�) est un anneau. Pour n > 2 et A 6= f0g il n'est ni commutatif ni intègre. Si A est uncorps, (Mn(A);+;�; :) est une algèbre de dimension n2.Base canonique (Eij).ttM =M , t(MN) = tN � tM , t(M�1) = (tM)�1.

La colonne j de MN est la combinaison linéaire de toutes les colonnes de M avec les coe�cients�gurant dans la colonne j de N . La ligne i de MN est la combinaison linéaire de toutes les lignesde N avec les coe�cients �gurant dans la ligne i de M .

c) Matrices triangulairesProduit de deux matrices triangulaires, triangulaires par blocs.Les matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures, diagonales, scalaires) forment des sous-anneaux de Mn(A). Lorsque A est un corps, ce sont des sous-algèbres de dimensions 1

2n(n + 1),12n(n+ 1), n, 1.

d) CommutationCentre : soit M 2Mn(A). On a (8X 2Mn(A);MX = XM)()(9 a 2 A tq M = aIn).Deux matrices diagonales commutent.Si A est intègre, le commutant d'une matrice M diagonale à coe�cients diagonaux distincts estl'ensemble des matrices diagonales. Si A est un corps, c'est aussi l'ensemble des polynômes en M .

e) Tracetr( tM) = tr(M), tr(MN) = tr(NM), tr(M1 : : :Mk) = tr(M2 : : :MkM1).L'application (M;N) 7! tr(tM �N) est un produit scalaire (canonique) surMn;p(R).

2) Déterminantdet(M) =

P�2Sn "(�)a1�(1) : : : an�(n) =

Pj1;:::;jn

"(j1; : : : ; jn)a1j1 : : : anjn

avec "(j1; : : : ; jn) =nsignature de k 7! jk si j1; : : : ; jn sont distincts,0 sinon.

Propriétésdet(In) = 1, det( tM) = det(M), det(triangulaire), det(triangulaire par blocs).Linéarité par rapport à chaque ligne et chaque colonne. Antisymétrie.Si M a deux lignes ou deux colonnes égales alors det(M) = 0. Alternance.

Produit : det(MN) = det(M) det(N).

Démonstration : on note M1; : : : ;Mn les colonnes de M et N = (bij). Il vient :det(MN) = det[b11M1 + : : :+ bn1Mn; : : : ; b1nM1 + : : :+ bnnMn]

=Pj1;:::;jn

bj1;1 : : : bjn;n det[Mj1 ; : : : ;Mjn ]=Pj1;:::;jn

bj1;1 : : : bjn;n"(j1; : : : ; jn) det(M)= det( tN) det(M) = det(M) det(N).

Développement par rapport à une ligne ou une colonne (on convient que le déterminant d'une matrice0� 0 vaut 1).Calcul d'un déterminant par opérations élémentaires.Comatrice, M tcom(M) = tcom(M)M = det(M)In.M est inversible ()det(M) 2 A�()9P tq MP = In()9Q tq QM = In.

III � Matrices page 9

En particulier, une matrice carrée à coe�cients entiers admet une inverse à coe�cients entiers si etseulement si son déterminant vaut �1.Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si les coe�cients diagonaux le sont. Dans ce cas,son inverse est aussi triangulaire (la comatrice l'est). Une matrice triangulaire par blocs est inversiblesi et seulement si les blocs diagonaux le sont. Dans ce cas, son inverse est aussi triangulaire par blocs(présenter l'inverse pour deux blocs diagonaux).

Si A est un corps : M est inversible ()(8X; MX = 0) X = 0)()(8Y; Y M = 0) Y = 0).

Démonstration de (non inversible) ) (non régulière) par récurrence sur n et par pivot.Contre-exemple avec A = Z.

Si K est un sous-corps de L et M 2 Mn(K) alors M est inversible dans Mn(K) si et seulement si ellel'est dansMn(L).

Formules de Cramer : soient M 2 Mn(A) inversible et B 2 Mn1(A). Le système MX = B admetune unique solution, donnée par xi = det(Mi)=det(M) où Mi est la matrice obtenue en remplaçantdans M la i-ème colonne par B.

3) Polynôme caractéristique�M = det(XIn �M) =

Pp(�1)n�p�n�p(M)Xp où �k(M) est la somme des mineurs de taille k centrés

sur la diagonale de M .�0(M) = 1, �1(M) = tr(M), �n(M) = det(M).

XaIn = (X � a)n. Si M est triangulaire, �M =Qi(X � aii).

Le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des polynômes caractéris-tiques des blocs diagonaux.�M = �tM .

Substitution : pour a 2 A, �M (a) = det(aIn �M).Théorème de Cayley-Hamilton : �M (M) =

Pp(�1)n�p�n�p(M)Mp = 0.

DémonstrationSoient �M =

Pp apX

p et tcom(XIn �M) =PpMpX

p.On a �M � In = tcom(XIn �M)(XIn �M) =

Pp(Mp�1 �MpM)Xp, donc apIn =Mp�1 �MpM .

Puis �M (M) =Pp apM

p =Pp(Mp�1Mp �MpM

p+1) = 0.

4) Polynôme minimalSoit K un corps et M 2 Mn(K). L'application P 7! P (M) est un morphisme d'algèbre de K[X]dans Mn(K) (morphisme de substitution). Son image, notée K[M ], est une sous-algèbre commutativedeMn(K). Son noyau, IM = fP 2 K[X] tq P (M) = 0g, est un idéal de K[X] appelé idéal annulateurde M .

Conséquence du théorème de Cayley-Hamilton : IM 6= f0g. Donc IM admet un unique générateurunitaire noté �M et appelé polynôme minimal de M . De plus, 1 6 deg(�M ) 6 n et �M j �M .

Exemples : �aIn = X � a. Si M = Diag(a1; : : : ; an) alors �M =Qa2fa1;:::;ang(X � a) (racines simples).

M =�0 �1

1 0

�) �M = X2 + 1, M =

�0 �1

1 1

�) �M = X2 �X + 1.

SiM est triangulaire à coe�cients diagonaux distincts alors �M = �M =Qi(X�aii). SiM est diagonale

par blocs alors �M est le ppcm des polynômes minimaux des blocs diagonaux.Matrice compagne d'un polynôme unitaire : �M = �M = le polynôme compagnon.Matrice associée à une permutation de [[1; n]] : M = (�i;�(j))) �M = Xd � 1 où d est l'ordre de � pourla loi de composition (ppcm des longueurs des cycles de �, diagonaliser par blocs).

Propriétés�M = �tM .Pour P;Q 2 K[X], on a P (M) = Q(M)()�M j (P �Q).

page 10 III � Matrices

Racines : pour � 2 K, on a�M (�) = 0()�M (�) = 0()�In �M est non inversible ()9X 2Mn1(K) n f0g tq MX = �X.

Démonstration circulaire, utiliser la division euclidienne de �M par ��X pour le retour.Un tel � est appelé valeur propre de M et les matrices colonnesX correspondantes sont appelées vecteurspropres de M associés à la valeur propre �.

Conséquence : si �M est scindé à racines simples alors �M = �M (réciproque fausse).

Théorème : soit d = deg(�M ). Alors (In; : : : ;Md�1) est une base de K[M ].En particulier, dimK[M ] = deg(�M ).

5) Applications des matrices aux ev de dimension finie

a) Théorie de la dimensionExposée en MPSI dans le cas où K = R ou C. On admet que les résultats suivants sont valables pourtout corps K.

Dans un ev engendré par une famille �nie :(i) il existe au moins une base ;(ii) toutes les bases sont �nies et ont même cardinal n ;(iii) toute famille libre a au plus n éléments et peut être complétée en une base ;(iv) toute famille génératrice a au moins n éléments et contient une base ;

Dans un ev E de dimension n :(v) un sev F est de dimension au plus n ;(vi) on a F = E()dim(F ) = dim(E) ;(vii) F admet au moins un supplémentaire dans E ;(viii) pour tous sev F;G, on a dim(F +G) + dim(F \G) = dim(F ) + dim(G) ;(ix) pour F1; : : : ; Fp sev de E, on a dim(F1 + : : :+ Fp) 6 dim(F1) + : : :+dim(Fp) avec égalité si et

seulement si la somme est directe ;(x) pour toute application linéaire f 2 L(E;E0) on a dim(E) = dimKer(f) + dim Im(f) ;(xi) lorsque dim(E) = dim(E0), f est bijective () f est injective () f est surjective.

b) Matrice d’une famille de vecteurs, d’une application linéaireApplication linéaire canoniquement associée à une matrice.Mat(f(x1); : : : ; f(xp)), Mat(f � g), Mat(f�1).Isomorphisme entre un K-ev de dimension n etMn;1(K).Isomorphisme entre L(E;F ) etMdim F;dimE(K). Cas F = E.Matrices équivalentes, semblables (dé�nition géométrique).

Sous-espaces stablesSi E = F �G et B est une base de E adaptée à cette décomposition alors F est stable par f 2 L(E)si et seulement si MatB(f) est triangulaire supérieure par blocs avec un découpage correspondant àcelui de B. F et G sont stables par f si et seulement si MatB(f) est diagonale par blocs.

Drapeau associé à une base B = (e1; : : : ; en) : Fi = he1; : : : ; eii. Un endomorphisme stabilise ledrapeau si et seulement si sa matrice dans B est triangulaire supérieure. Il stabilise chaque droite heiisi et seulement si sa matrice dans B est diagonale.

c) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une baseCaractérisation des bases :F est une base()F est libre()F est génératrice()MatB(F) est inversible()detB(F) 6= 0.

Dans ce cas, MatB(F)�MatF (B) = In.Formules de changement de base : X = PX 0, M 0 = Q�1MP , detB(F) = detB(B0) detB0(F).Caractérisation algébrique de la similitude et de l'équivalence.

III � Matrices page 11

d) Rangrg(M) = dimhcolonnes de Mi.rg(Mat(x1; : : : ; xp)) = dimhx1; : : : ; xpi, rg(Mat(f)) = dim Im(f).rg(MN) 6 min(rg(M); rg(N)).Rang d'une sous-matrice.Conservation du rang par équivalence ou similitude.

M 2Mnp(K) de rang r si et seulement si elle est équivalente à Jnpr =�

Ir 0

0 0

�.

rg( tM) = rg(M).Deux matrices de même taille sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

Calcul algébrique du rangOn convient qu'une sous-matrice de taille 0� 0 est inversible.(i) rg(M) > r()M contient une sous-matrice carrée de taille r inversible.(ii) rg(M) est la plus grande taille d'une sous-matrice carrée inversible extraite de M .

ConséquencesSoient K un sous-corps de L et M 2 Mn(K). Alors M a même rang, considérée comme matrice àcoe�cients dans K ou comme matrice à coe�cients dans L.

Soient K un sous-corps de L et M 2 Mn(K). Alors les polynômes minimaux de M dans Mn(K)etMn(L) sont égaux.

Démonstration : soient �M;K et �M;L ces polynômes minimaux. �M;K 2 L[X] et �M;K(M) = 0donc �M;L divise �M;K dans l'anneau L[X]. Par ailleurs, d = deg(�M;K) = rg(In; : : : ;Mn�1) = rg(P )où P est la matrice de (In; : : : ;Mn�1) dans la base canonique (Eij) deMn(K). P est aussi la matricede cette famille dans la base canonique deMn(L), d'où rg(P ) = deg(�M;L). Ainsi �M;K et �M;L ontmême degré, ce qui su�t à conclure.

Proposition : si M 2Mn(R) alors rg(M) = rg( tMM).

Car MX = 0() tMMX = 0. Contre-exemple dansMn(C) : M =�1 i

i �1

�.

e) Invariants d’un endomorphisme

Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant, même polynôme caractéristique etmême polynôme minimal (donc aussi mêmes valeurs propres). On dé�nit la trace, le déterminant, lespolynômes caractéristique et minimal d'un endomorphisme comme étant ceux de sa matrice dans unebase quelconque de l'espace considéré.

Propriétéstr(f � g) = tr(g � f), det(f � g) = det(f) det(g).detB(f(x1); : : : ; f(xn)) = det(f) detB(x1; : : : ; xn).detB(f(x1); x2; : : : ; xn) + : : :+ detB(x1; : : : ; xn�1; f(xn)) = tr(f) detB(x1; : : : ; xn).f est bijective si et seulement si det(f) 6= 0.Théorème de Cayley-Hamilton : �f (f) = 0 et �f j �f .

page 12 III � Matrices

IV — Réduction des endomorphismes

1) Éléments propres d’un endomorphismeValeurs et vecteurs propres, sous-espace propre, spectre.En dimension �nie, lien avec les mêmes notions pour une matrice carrée.

Exemples : homothétie, projection, symétrie, dérivation dans C1(R;R), dérivation et primitivation

dans C[X], permutation circulaire des coordonnées dans Kn,�1 2

3 4

�.

Somme directe : si �1; : : : ; �p sont des valeurs propres de f distinctes alors les sous-espaces propresassociés sont en somme directe.

Démonstration : soit (x1; : : : ; xp) 2 E�1�: : :�E�p tel que x1+: : :+xp = 0. On a, en appliquant k fois f :�k1x1+ : : :+�kpxp = 0 et donc par combinaison linéaire, P (�1)x1+ : : :+P (�p)xp = 0 pour tout P 2 K[X].Comme les �i sont distincts, on peut trouver P tel que P (�1) = 1, P (�2) = : : : = P (�p) = 0, d'où x1 = 0et de même pour les autres vecteurs.

ConséquencesToute famille de vecteurs propres associée à des valeurs propres distinctes est libre. En particulier lesfamilles (x 7! e�x)�2R, (x 7! cos(�x))�>0 et (x 7! sin(�x))�>0 sont libres dans C1(R;R). Leur réunion,en supprimant la répétition de la constante 1 = cos(0x) = e0x l'est aussi, car on peut séparer cos(�x) etsin(�x) par parité.

Si dim(E) = n alors f 2 L(E) a au plus n valeurs propres distinctes et quand elle en a n alors chaquesous-espace propre est de dimension 1.

Polynôme caractéristique en dimension finieLes valeurs propres de f sont les racines dans K de �f . Si F est un sev stable par f alors �f jF j �f .En particulier, si � est racine de �f de multiplicité m� alors dim(E�) 6 m�.

ConséquencesUn endomorphisme d'un C-ev de dimension �nie non nulle admet au moins une valeur propre.Si rg(f) = r < n = dim(E) alors Xn�r j �f . En particulier si rg(f) 6 1 alors �f = Xn � tr(f)Xn�1.Lorsque K � C, soient �1; : : : ; �n les racines complexes de �f répétées avec leurs ordres de multiplicité.On a :

�1 + : : :+ �n = tr(f); �1 : : : �n = det(f):

Ces relations sont aussi vraies pour un corps quelconque lorsque �f est scindé sur K ou sur un sur-corpsde K.

2) Diagonalisation, trigonalisation en dimension finie

Définitionsf 2 L(E) est diagonalisable (resp. trigonalisable) s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de fest diagonale (resp. triangulaire supérieure).M 2 Mn(K) est diagonalisable (resp. trigonalisable) si l'endomorphisme de Kn canoniquement associéà M l'est, soit si M est semblable à une matrice diagonale (reps. triangulaire supérieure).

RemarquesMat(e1;:::;en)(f) est triangulaire supérieure si et seulement si Mat(en;:::;e1)(f) est triangulaire inférieure.Le caractère supérieur dans la dé�nition de la trigonalisabilité est donc non restrictif.Pour toute base B de E, on a : f est diagonalisable (resp. trigonalisable) si et seulement si MatB(f) acette propriété.

IV � Réduction des endomorphismes page 13

Travail demandéDiagonaliser f consiste à trouver une base B pour laquelle D = MatB(f) est diagonale. Les vecteursde B sont donc des vecteurs propres de f et les coe�cients diagonaux de D sont les valeurs propresassociées aux vecteurs de B, dans le même ordre. Ce sont les valeurs propres de f . B est appelée basede diagonalisation de f ou base propre pour f . Il n'y a en général pas unicité de B ni de D, mais�f = �D donc �f doit être scindé et D est unique à permutation de la diagonale près.

Diagonaliser M consiste à trouver P 2 GLn(K) et D diagonale telles que P�1MP = D, soit MP = PDou encore M = PDP�1. Les colonnes de P forment une base deMn1(K) propre pour l'endomorphismecanoniquement associé à M et les coe�cients diagonaux de D sont les valeurs propres correspondantes,placées dans le même ordre que le sont les vecteurs propres dans P .

Trigonaliser f consiste à trouver une base B pour laquelle T = MatB(f) est triangulaire supérieure. Lepremier vecteur de B est donc vecteur propre de f , et le drapeau associé à B est stable par f . Comme�f = �T , il est nécessaire que �f soit scindé pour que f soit trigonalisable. La diagonale de T est imposéeà permutation près par la connaissance de �f ; les coe�cients au dessus de la diagonale ne peuvent êtredéterminés que connaissant explicitement P .

Trigonaliser M consiste à trouver P 2 GLn(K) et T triangulaire supérieure telles que P�1MP = T , soitMP = PT ou encore M = PTP�1.

Méthode pour diagonaliser ou trigonaliser f donnée(i) Calculer �f et le factoriser. Si �f n'est pas scindé, la réduction demandée est impossible. Dans

ce cas, abandonner ou prendre K = C.(ii) Pour chaque racine � de �f , déterminer une base du sous-espace propre E�. Lorsque m� = 1, il

su�t de trouver un vecteur propre non nul.(iii) Concaténer les bases trouvées en (ii). On obtient une base de la somme de tous les sous-espaces

propres, c'est-à-dire une famille F libre propre maximale.(iv) Si la famille F est de cardinal n alors c'est une base propre pour f et la diagonalisation est terminée.

Sinon, f n'est pas diagonalisable.(v) Si card(F) = n� 1, compléter F en une base B de E par ajout en dernière position d'un vecteur

non combinaison linéaire de F . Alors MatB(f) est triangulaire supérieure.

(vi) Si card(F) 6 n�2, compléter arbitrairement F en une base B et calculerM 0 = MatB(f) =�D X

0 N

�où D est diagonale et N carrée quelconque de taille strictement inférieure à n (car on a au moinsune valeur propre du fait que �f est scindé). Trigonaliser récursivement N . On obtient Q inversible

et T triangulaire supérieure telles que NQ = QT . Soit alors P =�I 0

0 Q

�: c'est une matrice n�n

inversible et M 0P = P�D XQ

0 T

�. La trigonalisation de f est terminée.

RemarquesLa récursion en (vi) est bien fondée car �f est scindé donc �N qui en est un diviseur est aussi scindé.En (iv) on a card(F) = n()E =

L�E�()n =

P� dim(E�)()8�;dim(E�) = m� car le caractère

scindé de �f donne n =P�m� et on sait que m� > dim(E�).

Conséquences(i) Un endomorphisme f est trigonalisable si et seulement si �f est scindé. Ceci est toujours vrai si

K = C.(ii) Un endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si la somme des sous-espaces propres est

égale à E, soit si et seulement si �f est scindé et si pour toute racine � de �f , on a dim(E�) = m�.(iii) Si �f est scindé à racines simples alors f est diagonalisable.(iv) Si f n'a qu'une seule valeur propre � alors f est diagonalisable si et seulement si f = � id.

page 14 IV � Réduction des endomorphismes

Exemples

M =

1 �2 �3

1 4 3

�1 �2 �1

!, P =

1 �2 �3

�1 1 0

1 0 1

!, D = Diag(0; 2; 2).

M =

3 1 �1

1 3 1

2 �2 6

!, P =

1 �1 0

1 0 0

0 1 1

!, T =

4 0 1

0 4 2

0 0 4

!ou P =

1 �1 0

1 1 0

0 2 1

!, T =

4 0 0

0 4 1

0 0 4

!.

M =

5 �8 6

�1 3 �2

�6 11 �8

!, P =

�3 + 5i �3� 5i �2

4� i 4 + i 4

7� 6i 7 + 6i 7

!, D = Diag(i;�i; 0) (par comatrice).

Diagonalisation d'une projection, d'une symétrie.

3) Polynômes d’un endomorphismePour E de dimension quelconque et f 2 L(E), on dé�nit K[f ] = fP (f) tq P 2 K[X]g et l'idéal annulateurIf = fP 2 K[X] tq P (f) = 0g. Ces dé�nitions prolongent celles vues pour les matrices carrées et lesendomorphismes d'un ev de dimension �nie non nulle. On dit que f admet un polynôme minimal siIf 6= f0g et dans ce cas, �f est le générateur unitaire de If .

Exemples : homothétie, projection, symétrie, dérivation dans C1(R;R).

PropriétésK[f ] est une sous-algèbre commutative de L(E).Si �f existe et d = deg(�f ) alors (id; : : : ; fd�1) est une base de K[f ] et dim(K[f ]) = d. De plus, pourP;Q 2 K[X], on a P (f) = Q(f)()�f j (P �Q). Sinon K[f ] est de dimension in�nie et deux polynômesen f sont égaux si et seulement s'ils ont mêmes coe�cients.Si F est un sev stable par f et si f admet un polynôme minimal, alors fjF aussi et �f jF j �f .�f = 1()E = f0g.Si P j Q alors KerP (f) � KerQ(f) et ImP (f) � ImQ(f).Pour P 2 K[X], KerP (f) et ImP (f) sont stables par f et par tout endomorphisme g commutant avec f .De plus, fjKer P (f) admet un polynôme minimal divisant P .En particulier, si f � g = g � f , tout sous-espace propre pour f est stable par g.

Lorsque f est diagonalisable, un endomorphisme g commute avec f si et seulement s'il stabilise tous lessous-espaces propres pour f . Lorsque f est diagonalisable à valeurs propres distinctes, un endomorphismeg commute avec f si et seulement s'il est diagonalisable dans une base propre pour f �xée. Dans ce cas,g 2 K[f ].Si � 2 Sp(f) et P 2 K[X] alors P (�) 2 Sp(P (f)) et Ker(f �� id) � Ker(P (f)�P (�) id). En particulier,si P (f) = 0 alors Sp(f) est inclus dans l'ensemble des racines de P .Si f admet un polynôme minimal alors Sp(f) est �ni (réciproque fausse).

Lemme des noyaux : soient P1; : : : ; Pk des polynômes deux à deux premiers entre eux et P = P1 : : : Pk.Alors KerP (f) =

LiKerPi(f).

Démonstration : Pi j P donc KerPi(f) � KerP (f), d'oùPiKerPi(f) � KerP (f).

La somme est directe : soit Qi =Qj 6=i Pj = P=Pi. Par hypothèse, Pi ^Qi = 1 ; soient Ui; Vi 2 K[X] tels

que UiPi + ViQi = 1. Par substitution, il vient Ui(f) � Pi(f) = idE �Vi(f) � Qi(f). Considérons alors(x1; : : : ; xk) 2

QiKerPi(f) et x = x1 + : : :+ xk. En appliquant l'égalité précédente à x� xi =

Pj 6=i xj ,

on obtient Ui(f) � Pi(f)(x) = x� xi. Ceci prouve l'unicité de xi.

Inclusion réciproque : soit x 2 KerP (f), et xi = x � Ui(f) � Pi(f)(x) = Vi(f) � Qi(f)(x). On aPi(f)(xi) = Vi(f) �P (f)(x) = 0 donc xi 2 KerPi(f). En�n, x�

Pi xi = (1�Pi ViQi)(f)(x) = R(f)(x)

et R = 1 � ViQi �Pj 6=i VjQj = UiPi �

Pj 6=i VjQj est divisible par Pi pour tout i. Donc P j R et

x =Pi xi 2

PiKerPi(f).

Remarque : les projeteurs associés à la décomposition KerP (f) =L

iKerPi(f) sont des polynômes en f .


Application : équation différentielle linéaire homogène à coefficients constantsSoient a0; : : : ; an 2 C avec an 6= 0. On considère l'équation di�érentielle : (�)() a0y+ : : :+ any

(n) = 0d'inconnue y : R ! C supposée de classe Cn. Soit P = a0 + : : : + anX

n (polynôme caractéristique del'équation).Si P admet n racines simples �1; : : : ; an alors les solutions de l'équation (�) sont les fonctions de la formey = x 7! A1e

�1x + : : :+ Ane�nx avec A1; : : : ; An 2 C quelconques.

Dans le cas général, soient �1; : : : ; �k les racines de P sans répétition et m1; : : : ;mk leurs multiplicités.Les solutions sont les fonctions de la forme y = x 7! A1(x)e�1x + : : : + Ak(x)e�kx avec Ai 2 Cmi�1[X]quelconque. Pour y donnée, il y a unicité d'une telle décomposition et l'ensemble des solutions est unC-ev de dimension n.

Opérations sur les noyaux et les images (HP) : Soient P;Q 2 K[X], D = P ^Q et M = P _Q.On a : KerP (f) + KerQ(f) = KerM(f), ImP (f) + ImQ(f) = ImD(f),

KerP (f) \KerQ(f) = KerD(f), ImP (f) \ ImQ(f) = ImM(f).

Conséquence : si f admet un polynôme minimal, alors les ensembles K = fKerP (f); P 2 K[X]g etI = fImP (f); P 2 K[X]g sont �nis et en bijection avec l'ensemble des diviseurs unitaires de �f .

Caractérisations de la diagonalisabilité et de la trigonalisabilitéSoit E un K-ev de dimension �nie non nulle et f 2 L(E). Il y a équivalence entre :(i) f est diagonalisable(ii) (f � �1 id) � : : : � (f � �p id) = 0 où �1; : : : ; �p sont les valeurs propres de f sans répétition(iii) il existe P 2 K[X] n f0g scindé à racines simples tel que P (f) = 0(iv) �f est scindé à racines simpleset entre :(v) f est trigonalisable(vi) il existe P 2 K[X] n f0g scindé tel que P (f) = 0(vii) �f est scindé.

Démonstration de (vii) ) (v) : on a �f 6= 1 car E 6= f0g donc �f admet au moins une racine �.Alors g = f � � id est non injectif, donc non surjectif et il existe un hyperplan H contenant Im g (thm.de la base incomplète). Par construction, H est stable par g donc aussi par f et �F jH divise �f donc estaussi scindé. On construit alors de proche en proche un drapeau stable par f . Dans toute base adaptéeà ce drapeau, la matrice de f est triangulaire supérieure.

Conséquences : soit f diagonalisable (resp. trigonalisable) et F un sev non nul stable par f . Alors fjFest diagonalisable (resp. trigonalisable). Dans le cas diagonalisable, un sous-espace de E est stable par fsi et seulement s'il est engendré par une famille �nie de vecteurs propres.

4) Endomorphismes nilpotentsEndomorphisme nilpotent, matrice nilpotente, indice de nilpotence.

PropriétésLa somme de deux éléments nilpotents commutant est nilpotente.Si f est nilpotent d'indice p alors la suite (Ker fk)06k6p est strictement croissante.Si E est de dimension �nie n et f 2 L(E) est nilpotent, alors l'indice de nilpotence de f est majoré par net on a fn = 0.

Caractérisation des matrices nilpotentes : pour M 2Mn(K) il y a équivalence entre(i) M est nilpotente(ii) M est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est nulle(iii) �M = Xn

(iv) (si K � C) 8 k 2 [[1; n]], tr(Mk) = 0.


Démonstration (iv) ) (i) : on peut supposer K = C sans restreindre la généralité. Par linéarité,tr(P (M)) = 0 pour tout polynôme de C[X] de degré inférieur ou égal à n sans terme constant, donc enparticulier pour un polynôme P tel que P (0) = 0 et P (�) = 1 pour toute valeur propre de M non nulle(ceci est possible, on impose les valeurs de P en au plus n+1 points distincts). Avec ce choix, tr(P (M))est le nombre de valeurs propres non nulles en comptant les répétitions et ce nombre vaut 0. Ainsi, 0 estl'unique valeur propre de M donc l'unique racine de �M .

Trigonalisation forte : soit E un ev de dimension �nie non nulle, f 2 L(E) trigonalisable, �1; : : : ; �ples valeurs propres de f de multiplicités m1; : : : ;mp. Alors il existe une base B dans laquelle la matricede f est diagonale par blocs : MatB(f) = Diag(T1; : : : ; Tp) où Ti est une matrice triangulaire supérieurede taille mi ayant �i pour unique valeur propre : Ti = �iImi

+Ni avec Nmi

i = 0.

Démonstration : on a par hypothèse �f =Qi(X � �i)mi et �f (f) = 0 donc avec le lemme des

noyaux, E = Ker�f (f) =L

iKer(f � �i id)mi =L

i Fi. Le sous-espace Fi est stable par f , donc fjFiest trigonalisable et par construction, �f jFi j (X � �i)mi . En particulier, �i est l'unique valeur proprede fjFi . En concaténant une base de trigonalisation pour chaque fjFi , on obtient une base B dans laquelleMat(f) est diagonale par blocs et chaque bloc est triangulaire comme indiqué. En�n, la conservation dupolynôme caractéristique implique taille(Ti) = dim(Fi) = mi.

5) Calcul des puissances d’une matrice carréeSoit M 2Mn(K). On veut calculer Mp en fonction de p 2 N arbitraire.

Si M = Diag(�1; : : : ; �n) : Mp = Diag(�p1; : : : ; �pn).

Si M est diagonalisable : M = PDP�1, puis Mp = PDpP�1.Si M = �In +N avec N nilpotente d'indice q : Mp = �pIn + p�p�1N + : : :+

�pq�1��p�q+1Nq�1.

q étant �xé, le calcul est considéré comme terminé. Remarque : pour tout k �xé, le coe�cient�pk

�est un

polynôme en p.Si M est trigonalisable : trigonaliser fortement M puis utiliser la formule du binôme pour chaque bloc.Si M n'est pas trigonalisable : prendre K = C si c'est possible, sinon abandonner.

Lorsque K � C, le calcul explicite de Mp est donc toujours possible et Mp est une combinaison linéaireà coe�cients matriciels des suites (�ppk) où � 2 Sp(M) n f0g et 0 6 k < m� et d'une suite presque nullesi 0 2 Sp(M).

Exemples

M =

1 �2 �3

1 4 3

�1 �2 �1

!, Sp(M) = f0; 2g et M est diagonalisable. Donc Mp = 2p�1M pour tout p > 1.

M =

3 1 �1

1 3 1

2 �2 6

!, Sp(M) = f4g, Mp = 4pI3 + p4p�1(M � I3) +

p(p� 1)2

4p�2(M � I3)2.

M =

5 �8 6

�1 3 �2

�6 11 �8

!, Sp(M) = fi;�i; 0g, la suite (Mp)p>1 est 4-périodique.

Convergence(i) Soit M 2 Mn(C). La suite de terme général Mp converge vers la matrice nulle si et seulement si

Sp(M) � �D = fz 2 C tq jzj < 1g.(ii) La suite (Mp) est convergente si et seulement si Sp(M) � �D[f1g et rg(M � In) = rg((M � In)2).

Dans ce cas, sa limite L est la matrice de la projection sur Ker(M�In) parallèlement à Im(M�In)(en confondant une matrice avec son application linéaire canoniquement associée).

Démonstration(i) Si Mp �!

p!10, soit � 2 Sp(M) et X une colonne propre associée. On a �pX = MpX �!

p!10 donc

�p �!p!1

0, ce qui implique � 2 �D. Réciproquement, si Sp(M) � �D, la forme générale de Mp vue

précédemment montre que Mp �!p!1

0.


(ii) Si Mp �!p!1

L, on montre comme en (1) que pour tout � 2 Sp(M), la suite (�p) est convergente,

d'où � 2 �D [ f1g. De plus, si rg(M � In) 6= rg((M � In)2), alors Ker(M � In) $ Ker((M � In)2)donc il existe une matrice colonne X 6= 0 telle que (M � In)2X = 0 et (M � In)X 6= 0. On a alorsMpX = ((M � In) + In)pX = X + p(M � In)X donc la suite (MpX) est divergente, en contradictionavec l'hypothèse de convergence de (Mp). Ainsi la condition rg(M � In) = rg((M � In)2) est nécessaire.Réciproquement, supposons Sp(M) � �D [ f1g et rg(M � In) = rg((M � In)2). Lorsque 1 =2 Sp(M),la suite (Mp) converge vers la matrice nulle et M � In étant inversible, la limite est bien la matrice deprojection annoncée. Lorsque 1 2 Sp(M), on trigonalise fortement : M = P Diag(T1; : : : ; Tk)P�1 où T1est le bloc associé à la valeur propre 1. En écrivant T1 = Im1

+ N1, on a rg(M � In) = n � rg(N1) etrg((M � In)2) = n� rg(N2

1 ). Donc N1 et N21 ont même rang, ce qui implique que l'indice de nilpotence

de N1 est au plus égal à 1 et donc que N1 = 0 et T1 = Im1. La convergence de la suite (Mp) est alors

immédiate, de même que l'identi�cation de sa limite.

Suites récurrentes linéairesSoient a0; : : : ; ; an 2 C avec a0an 6= 0. On considère l'équation de récurrence linéaire :

(�)() a0up + : : :+ anun+p = 0

d'inconnue u 2 CN. Soit P = a0 + : : :+ anXn (polynôme caractéristique de l'équation).

Si P admet n racines simples �1; : : : ; �n alors les solutions de l'équation (�) sont les suites de la formeu = (A1�

p1 + : : :+ An�

pn)p2N avec A1; : : : ; An 2 C quelconques.

Dans le cas général, soient �1; : : : ; �k les racines de P sans répétition etm1; : : : ;mk leurs multiplicités. Lessolutions sont les suites de la forme u = (A1(p)�

p1 + : : :+ Ak(p)�

pk)p2N avec Ai 2 Cmi�1[X] quelconque.

Pour u donnée, il y a unicité d'une telle décomposition et l'ensemble des solutions est un C-ev dedimension n.

Démonstration : notons E l'ensemble des solutions de l'équation (�) et F l'ensemble des suites dela forme u = (A1(p)�

p1 + : : : + Ak(p)�

pk)p2N. Soit Up = t(up; : : : ; un+p�1). On a Up+1 = MUp où M

est la matrice compagne du polynôme P=an, puis Up = MpU0. L'expression générale de Mp donne laforme annoncée pour up, soit E � F . Par ailleurs, l'application u 7! (u0; : : : ; un�1) est un isomorphismeentre E et Cn, d'où dim(E) = n > dim(F ) vu la dé�nition de F . Ainsi E = F .

6) Système différentiel d’ordre 1Soit M 2 Mn(C). On considère l'équation : (�)()X 0 = MX d'inconnue X : R ! C supposéedérivable. L'objectif est de calculer explicitement X(t) en fonction de t 2 R. Remarquer qu'une solutionest nécessairement de classe C1 et que l'ensemble des solutions est stable par dérivation.

Si M = Diag(�1; : : : ; �n) : X(t) = t(e�1tx1(0); : : : ; e�ntxn(0)).Si M est diagonalisable : M = PDP�1. Poser Y = P�1X, d'où Y 0 = DY puis X = PY .Si M est nilpotente d'indice q : X(t) = (In + : : :+ (tM)q�1=(q � 1)!)X(0).Si M = �In +N avec � 6= 0 et N nilpotente d'indice q : X(t) = e�t(In + : : :+ (tN=�)q�1=(q � 1)!)X(0).Dans le cas général : trigonaliser fortement M .

Ainsi, l'équation (�) admet toujours une solution, et cette solution est unique si l'on impose sa valeuren t = 0 (ou en t = t0 �xé). En particulier l'ensemble des solutions est un C-ev de dimension n et pourtout t0 2 R, l'application X 7! X(t0) est un isomorphisme de cet ensemble surMn1(C). De plus, X estcombinaison linéaire à coe�cients matriciels des fonctions t! tke�t avec � 2 Sp(M) et 0 6 k < m�.

Exemple : M =

5 �8 6

�1 3 �2

�6 11 �8

!, X(t) = X0 + (cos t)X1 + (sin t)X2 avec MX0 = 0, X2 = �MX1 et

M2X1 = �X1. On obtient X0 = t(�2a; 4a; 7a), X1 = t(b� c; b; c), X2 = t(c� 3b; 2b� c; 5b� 2c).

Système différentiel d’ordre 2 : X 00 =MX +NX 0()�X

X0

�0=�

0 In

M N

��X

X0

�.


V — Espaces vectoriels normés

1) Norme

a) DéfinitionApplication dé�nie-positive, positivement homogène, véri�ant l'inégalité triangulaire.

Exemples : valeur absolue, module, norme euclidienne, normes usuelles sur Kn, sur un K-ev dedimension �nie, sur C([a; b];K), k k1 sur B(X;K), norme produit : k(a; b)k = max(kak; kbk).Sur K toute norme est proportionnelle au module ; on choisira systématiquement le module dans cecas.

b) DistanceDistance entre deux points, inégalité triangulaire.Distance d'un point à une partie, exemples.jkxk � kykj 6 kx� yk, jd(x;A)� d(y;A)j 6 d(x; y).

c) BoulesDé�nition, B(a; r) = a+ rB(0; 1). Sphères, sphère unité.Description des boules dans R et R2 pour les normes usuelles ; dans E � F pour la norme produit.Si E 6= f0g : (�B(a; r) ��B(b; s)() d(a; b) + r 6 s), (�B(a; r) \�B(b; s) = ?() d(a; b) > r + s),

(B(a; r) � B(b; s)() d(a; b) + r 6 s), (B(a; r) \B(b; s) = ?() d(a; b) > r + s).En conséquence, pour E 6= f0g, le centre et le rayon d'une boule sont uniques.

DémonstrationSi a = b :

(1)()(8u 2 S(0; 1); 8 t 2 [0; r[, on a t < s)()(r 6 s).(3)()(8u 2 S(0; 1); 8 t 2 [0; r], on a t < s)()(r 6 s).(2) et (4) sont véri�ées par impossibilité.

Si a 6= b :on note � = d(a; b), v = (a� b)=� le vecteur unitaire dirigé de b vers a, et xt = a+ tv.Donc d(a; xt) = jtj et d(b; xt) = j� + tj.(2)) (8 t 2 ]�r; 0], on a j� + tj > s) ) (� � r > s)) (2) par inég. triangulaire. Idem pour (4).(1)) (8 t 2 [0; r[, on a � + t < s) ) (� + r 6 s)) (1) par inég. triangulaire. Idem pour (3).

d) Parties bornéesA est bornée () A est incluse dans une boule. Le centre est indi�érent.Suite bornée, fonction bornée.Diamètre d'une partie bornée non vide.

Partie bornée d’un K-ev de dimension finie pour l’une des normes usuelles : les coordonnéesdans une base �xée sont majorées en module par une constante. Dans ce cas, la partie est bornéepour toute norme.Contre-exemple dans K[X].Partie bornée pour une norme produit.

e) VoisinagesVoisinage d'un point, voisinage de l'in�ni, voisinages de +1 et de �1 dans R.Intersection d'une famille �nie de voisinages.

V � Espaces vectoriels normés page 19

2) Suites convergentes

a) Définitionsun �!

n!1` () 8 " > 0, 9N 2 N tq 8n > N; on a d(un; `) 6 ".

() tout voisinage de ` contient presque tous les termes de la suite.On peut remplacer d(un; `) 6 " par d(un; `) 6 K" avec K > 0 �xé.

kunk �!n!1

1 () 8A 2 R, 9N 2 N tq 8n > N; on a kunk > A.

() tout voisinage de 1 contient presque tous les termes de la suite.

b) PropriétésUnicité d'une limite éventuelle. Notation limn!1 un.Une suite convergente est bornée.Limite d'une somme, du produit d'une suite scalaire par une suite vectorielle.Si un �!

n!1` alors kunk �!

n!1k`k et d(un; A) �!

n!1d(`; A). En particulier, si ` 6= 0, alors un 6= 0 pour n

assez grand.Limite d'une suite à valeurs dans E � F .

Convergence dans un K-ev de dimension finie : une suite converge pour l'une des normesusuelles si et seulement les coordonnées dans une base �xée convergent dans K. Dans ce cas, lescoordonnées de la limite sont les limites des coordonnées et la suite converge vers cette limite pourtoute norme.

c) Comparaison asymptotiqueun = o(vn) () 8 " > 0; 9N 2 N tq 8n > N , on a kunk 6 "vn ((vn) positive).un = O(vn) () 9M 2 R; 9N 2 N tq 8n > N , on a kunk 6Mvn ((vn) positive).un � vn () un � vn = o(kvnk) (c'est une relation d'équivalence).un �!

n!1` () un � ` = o(1).

(un) est bornée () un = O(1).

Si (vn) est à valeurs strictement positives :un = o(vn) () un=vn �!

n!10.

un = O(vn) () (un=vn) est bornée.un � vn () un=vn �!

n!11. Dans ce cas, un > 0 pour n assez grand.

L'équivalence entre suites réelles est compatible avec la multiplication, la division et l'élévation à unepuissance constante. Pour toute autre opération entre suites équivalentes, écrire un = vn + o(vn),substituer et simpli�er.

d) Suites extraitesDé�nition, extractions successives.Sous-suite indexée par une partie in�nie de N.Conservation de la limite, �nie ou in�nie, par extraction.un =�!

n!1`()9 " > 0, et ' fonction d'extraction tq 8n 2 N; on a d(u'(n); `) > ".

(un) est non bornée () il existe une sous-suite divergeant vers l'in�ni.Valeur d'adhérence : ` est valeur d'adhérence () il existe une sous-suite de limite ` () toutvoisinage de ` contient des termes un pour une in�nité de valeurs de n.Une suite ayant deux valeurs d'adhérence distinctes est divergente.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Toute suite réelle bornée admet une valeur d'adhérence.Dans un K-ev de dimension �nie, toute suite bornée pour une norme usuelle admet une valeur d'ad-hérence valide pour toute norme.

page 20 V � Espaces vectoriels normés

Démonstration pour le cas réel : soit X = fn 2 N tq 8 k > n; un > ukg. Si X est in�ni,la sous-suite (xn)n2X est strictement décroissante. Sinon, soit N 2 N tel que X � [[0; N [[. Pourchaque n > N on choisit un entier k > n tel que un 6 uk et on note f(n) = k. Alors la sous-suite(uN ; uf(N); uf�f(N); : : :) est croissante. Dans les deux cas, il existe une sous-suite monotone qui estbornée, donc convergente.

3) Comparaison de normesDéfinitionsN est plus �ne que N 0 si toute suite convergeant pour N converge aussi pour N 0 vers la même limite.N et N 0 sont équivalentes si chacune est plus �ne que l'autre.

ExemplesDans un K-ev de dimension �nie, toutes les normes usuelles sont équivalentes entre elles et sont plus�nes que toute norme.Dans C([a; b];K), k k1 est plus �ne que k k2, elle-même plus �ne que k k1. Ces normes sont deux à deuxnon équivalentes, mais quand une suite de fonctions converge pour deux de ces normes, alors les limitessont égales.Dans K[X], les normes dé�nies par : N(P ) = jP (0)j + R 1=2

t=0jP 0(t)jdt et N 0(P ) = jP (1)j + R 1=2

t=0jP 0(t)jdt

sont incomparables. La suite (Xn) converge vers 0 pour N et vers 1 pour N 0. Par ailleurs, le passage àla limite n'est pas compatible avec la substitution.

Proposition : N est plus �ne que N 0 ()9� > 0 tq N 0 6 �N .N et N 0 sont équivalentes ()9�; � > 0 tq �N 6 N 0 6 �N .

En conséquence, deux normes équivalentes dé�nissent les mêmes suites convergentes, les mêmes limites,les mêmes parties bornées, les mêmes voisinages.

Théorème : dans un K-ev de dimension �nie, toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration : on �xe une base B de E et on suppose qu'il existe une norme N non équivalenteà k k1;B. Donc N n'est pas plus �ne que k k1;B et il existe (xn) 2 EN et ` 2 E tels que N(xn� `) �!

n!10

et kxn � `k1;B =�!n!1

0. Alors il existe " > 0 et une fonction d'extraction ' tels que kx'(n) � `k1;B > "

pour tout n. Considérons un = (x'(n) � `)=kx'(n) � `k1;B : la suite (un) est bornée pour k k1;� doncadmet une valeur d'adhérence � 2 E, valide pour toute norme, et on a k�k1;B = 1 donc � 6= 0. Il y acontradiction car N(un) 6 N(x'(n) � `)=" �!

n!10.

4) Topologie d’un espace vectoriel norméUn ouvert est un ensemble voisinage de chacun de ses points. Un fermé est un ensemble stable par passageà la limite �nie. Ces notions sont inchangées si on remplace la norme de E par une norme équivalente ;en dimension �nie elles sont intrinsèques.

ExemplesE, ?, boules, sphères, intervalles de R, ensemble �ni ou de complémentaire �ni.Un sev de dimension �nie est fermé. Contre-exemple en dimension in�nie.Si un �!

n!1` alors fun; n 2 Ng [ f`g est fermé.

PropriétésA est ouvert ()E n A est fermé.L'ensemble des ouverts est stable par union quelconque et par intersection �nie.L'ensemble des fermés est stable par intersection quelconque et par union �nie.A est ouvert ()A est une réunion de boules ouvertes.Seuls E et ? sont à la fois ouvert et fermé.

Démonstration : soient A;B deux parties complémentaires non vides, a 2 A et b 2 B. On considèreT = ft 2 [0; 1] tq a+ t(b� a) 2 Ag, � = sup(T ) et c = a+ � (b� a). Si c 2 A alors � < 1 et c est limited'éléments de B. Dans ce cas, B n'est pas fermé. Si c 2 B alors c est limite d'éléments de A et A n'estpas fermé.


Intérieur, adhérence, frontière : �A est le plus grand ouvert inclus dans A, A est le plus petit fermécontenant A, Fr(A) = A n�A. Ces notions sont inchangées si on remplace la norme de E par une normeéquivalente ; en dimension �nie elles sont intrinsèques.

Propriétés�A � A � A.A � B )�A ��B et A � B.A est ouvert ()A =�A.A est fermé ()A = A.a 2�A()A est un voisinage de a.a 2 A() d(a;A) = 0() a est limite d'une suite d'éléments de A.a 2 Fr(A)() a est limite d'une suite d'éléments de A et d'une suite d'éléments de E n A.Exemples : E, ?, boules, sphères, sev, intervalles de R, Q, R nQ.Densité : A est dense dans B si B � A. A est dense dans E() tout ouvert non vide rencontre A.

Topologie relative : soient A � B � E.A est un ouvert relatif de B si pour tout a 2 A, il existe r > 0 tel que : 8x 2 B, d(a; x) 6 r ) x 2 A.A est un fermé relatif de B si pour toute suite (an) 2 AN convergeant vers ` 2 B, on a ` 2 A.Si b 2 B, A est un voisinage relatif de b dans B s'il existe r > 0 tel que : 8x 2 B, d(b; x) 6 r ) x 2 A.Si B n'est pas borné, A est un voisinage relatif de l'in�ni dans B s'il existe M 2 R tel que : 8x 2 B,kxk >M ) x 2 A.Propriété : A est un ouvert (resp. fermé, voisinage) relatif si et seulement s'il existe A0 � E ouvert(resp. fermé, voisinage) tel que A = A0 \ B. En conséquence, le complémentaire d'un ouvert relatif estun fermé relatif et inversement.

Exemples dans un intervalle de R, dans la réunion de deux intervalles.

5) CompacitéPropriété de Bolzano-Weierstrass (vraie par convention pour ?).

PropriétésUn compact est fermé borné. En dimension �nie, la réciproque est vraie.Contre-exemple en dimension in�nie : suite équidistante dans B(R;R).Pour A;B 6= ? : A�B est compact dans E � F si et seulement A et B sont compacts.Si A � B et B est compact alors A est compact ()A est fermé.Si un �!

n!1` alors fun; n 2 Ng [ f`g est compact.

Démonstration : en dimension �nie, les caractères fermé et borné su�sent pour conclure. Dans lecas général, on considère une suite (ap) à valeurs dans A = fun; n 2 Ng [ f`g et pour n 2 N onnote Pn = fp tq ap = ung. S'il existe n tel que Pn est in�ni, on extrait de (ap) une sous-suite constanteégale à un. Sinon montrons que (ap) converge vers ` : soit " > 0 et N tel que n > N ) d(un; `) 6 ".P0 [ : : : [ PN�1 est �ni, donc un p assez grand n'y appartient pas et par construction, d(ap; `) 6 ".

Proposition : soient A compact et (an) 2 AN. Si cette suite n'a qu'une seule valeur d'adhérence alorselle converge vers cette valeur d'adhérence. En conséquence, dans un ev de dimension �nie, une suitebornée n'ayant qu'une seule valeur d'adhérence est convergente.Contre-exemple en dimension in�nie.

Bornes atteintesSoient A compact non vide et x 2 E. Alors il existe a 2 A tel que d(x; a) = d(x;A). Cette conclusiondemeure pour A fermé non vide lorsque E est de dimension �nie.Soit A compact non vide. Alors il existe a; b 2 A tels que d(a; b) = �(A).Contre-exemples en dimension in�nie :E = C([0; 1];R) avec k k1, A = fa tq 0 6 a 6 1 et aj[0; 12 ] = 1g, x = 0.

page 22 V � Espaces vectoriels normés

Théorème de Riesz (HP) : dans un ev de dimension in�nie, il existe une suite de vecteurs unitairessans valeur d'adhérence. En conséquence, ni la sphère unité, ni la boule unité ne sont compactes.

Démonstration : soit (xn) une famille libre. On construit par récurrence une suite (yn) véri�ant pourtout n :

kynk = 1, hy0; : : : ; yni = hx0; : : : ; xni = Fn, kyn � yik > 1 pour i 2 [[1; n[[.

Pour n = 0, on pose y0 = x0=kx0k. Pour n > 1, on choisit x 2 Fn�1 tel que kxn � xk = d(xn; Fn�1)et on pose yn = (xn � x)=kxn � xk. Les deux premières conditions sont manifestement remplies, et latroisième résulte de : d(yn; Fn�1) = 1.


VI — Fonctions continues

1) LimitesDéfinitionsSoit f : D � E ! F , a 2 D et ` 2 F . On suppose D non borné dans les dé�nitions avec kxk ! 1.

f(x)�!x!a

` () 8 " > 0, 9 � > 0 tq 8x 2 D, (d(x; a) 6 � ) d(f(x); `) 6 ").

kf(x)k �!x!a1 () 8M 2 R, 9 � > 0 tq 8x 2 D; (d(x; a) 6 � ) kf(x)k >M ).

f(x) �!kxk!1

` () 8 " > 0, 9M 2 R tq 8x 2 D, (kxk >M ) d(f(x); `) 6 ").

kf(x)k �!kxk!1

1 () 8M 2 R, 9N 2 R tq 8x 2 D, (kxk > N ) kf(x)k >M ).

Dé�nition générique : pour tout voisinage V de la limite, f�1(V ) est un voisinage relatif du point oùl'on cherche la limite.Limite à droite, limite à gauche quand D � R.Caractérisation séquentielle

f(x)�!x!a

` () pour toute suite (xn) 2 DN telle que xn �!n!1

a, on a f(xn) �!n!1

`.

f(x) =�!x!a

` () 9 " > 0 et (xn) 2 DN telle que xn �!n!1

a et d(f(xn); `) > ".

kf(x)k =�!x!a1 () 9 (xn) 2 DN telle que xn �!

n!1a et (f(xn)) est bornée.

PropriétésLa notion de limite est inchangée si on remplace les normes de E et F par des normes équivalentes.Lorsque E et F sont de dimensions �nies, cette notion est intrinsèque.Unicité d'une limite éventuelle. Si a 2 D et f(x)�!

x!a` alors ` = f(a).

Si f a une limite �nie en a alors il existe un voisinage relatif de a sur lequel f est bornée.Limite d'une somme, d'un produit, d'une composée. k lim k = lim k k.Calcul coordonnée par coordonnée si F est de dimension �nie. Limite d'une fonction à valeurs dans unespace produit.

Comparaison asymptotiquef(x) = o(g(x)) () 8 " > 0 , 9 � > 0 tq 8x 2 D, d(x; a) 6 � ) kf(x)k 6 g(x) (g positive).f(x) = O(g(x)) () 9M 2 R, 9 � > 0 tq 8x 2 D, d(x; a) 6 � ) kf(x)k 6Mg(x) (g positive).f(x) � g(x) () f(x)� g(x) = o(kg(x)k) (c'est une relation d'équivalence).f(x)�!

x!a` () f(x)� ` = o(1).

f est bornée au voisinage de a () f(x) = O(1).

Si g est à valeurs strictement positives :

f(x) = o(g(x)) () f(x)=g(x)�!x!a

0.

f(x) = O(g(x)) () (f(x)=g(x)) est bornée.f(x) � g(x) () f(x)=g(x) �!

n!11. Dans ce cas, f(x) > 0 pour tout x proche de a.

L'équivalence entre fonctions à valeurs réelles est compatible avec la multiplication, la division et l'élé-vation à une puissance constante. Pour toute autre opération entre fonctions équivalentes, écrire f(x) =g(x) + o(g(x)), substituer et simpli�er.

2) ContinuitéDéfinitions et propriétésf est continue en a() f(x)�!

x!af(a)() f a une limite en a.

f est continue sur D()8 a 2 D, f(x)�!x!a

f(a).

Conservation de la continuité par combinaison linéaire, produit, composée et quotient si le dénominateurne s'annule pas.Continuité d'une fonction à valeurs dans un K-ev de dimension �nie, dans un ev produit.

page 24 VI � Fonctions continues

ExemplesPour E quelconque : norme, distance à une partie, fonctions lipschitziennes.Pour E de dimension �nie : fonctions coordonnées dans une base, fonctions polynomiales par rapportaux coordonnées (invariance de cette notion par changement de base), fonctions rationnelles.Multiplication, transposition, trace, déterminant et inverse dansMnp(K). Prendre la norme de Frobe-nius comme norme canonique.

Prolongement des inégalitésSi f : D ! R est continue sur D et positive ou nulle sur une partie dense dans D alors f est positive ounulle sur D. Contre-exemple avec � strictement positive �.Si f : D ! F est continue sur D et nulle sur une partie dense dans D alors f est nulle sur D.

Images réciproquesSi f : D ! F est continue sur D alors l'image réciproque par f d'un ouvert de F (resp. fermé de F ,voisinage de f(a)) est un ouvert relatif de D (resp. fermé relatif de D, voisinage relatif de a dans D).Application : pour f : E ! R continue, l'ensemble fx tq f(x) > 0g est ouvert et fx tq f(x) > 0g estfermé.En particulier, GLn(K) = fM tq jdet(M)j > 0g est ouvert et On(R) = fM tq ktMM � Ink 6 0g estfermé. Étant borné en dimension �nie, il est donc compact.Contre-exemples pour les images directes.

3) Continuité des applications linéaires et bilinéaires

Pour f 2 L(E;F ), il y a équivalence entre :(i) f est continue(ii) la restriction de f à B(0; 1) est bornée(iii) il existe k 2 R tel que : 8x 2 E, kf(x)k 6 kkxk.Pour f : E1 � E2 ! F , il y a équivalence entre :(iv) f est continue(v) la restriction de f à B1(0; 1)�B2(0; 1) est bornée(vi) il existe k 2 R tel que : 8 (x; y) 2 E1 � E2, kf(x; y)k 6 kkxkkyk.Toute application linéaire dont l'espace de départ est de dimension �nie est continue. Toute applicationbilinéaire dont les espaces de départ sont de dimensions �nies est continue.

On note Lc(E;F ) l'espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F .

Exemples et contre-exemples en dimension infinieÉvaluation et produit dans C([0; 1];R) pour k k1 et k k1.Dérivation dans C1([0; 1];R) pour toute norme (un endomorphisme continu a un spectre borné).Continuité de la dérivation dans K[X] avec kPk = jP (0)j+ jP 0(0)j+ jP 00(0)j+ : : :

Continuité des fonctions coordonnées dans la base canonique de K[X] et discontinuité des fonctionscoordonnées dans la base (Xk=kk)k2N pour la norme précédente.

4) Fonctions continues sur un compactContinuité uniforme, exemples.

Théorèmes : soit D compact et f : D�!F continue. On a :(i) l'ensemble image f(D) est compact.(ii) si F = R, f est bornée et atteint ses bornes (Weierstrass).(iii) f est uniformément continue (Heine).En particulier, si f est continue sur le compact D et strictement positive, alors il existe une constante mtelle que 0 < m 6 f .

VI � Fonctions continues page 25

Approximations uniformes sur un segmentSoit f : [a; b]! F continue. Il existe une suite (fn) de fonctions telle que kfn � fk1 �!

n!10 avec : : :

(i) fn est en escalier (vrai aussi pour f continue par morceaux) ;(ii) fn est continue a�ne par morceaux (HP) ;(iii) fn est polynomiale (Stone-Weierstrass).

Démonstration du théorème de Stone-WeierstrassPar changement de variable a�ne, il su�t de traiter le cas [a; b] = [0; 1]. Soit n 2 N�. Pour x 2 [0; 1] onconsidère une suite (Xk) de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant la loi de Bernoullide paramètre x. Soit Yn = 1

n (X1 + : : : +Xn) : c'est une variable aléatoire d'espérance x et de variance1nx(1 � x) 6 1

4n . En particulier, pour tout � > 0, on a P(jYn � xj > �) 6 14n�2 d'après l'inégalité de

Bienaymé-Tchebychev. Soit en�n fn(x) = E(f(Yn)) =Pnk=0

�nk

�xk(1 � x)n�kf(k=n) (fonction de x

polynomiale de degré 6 n) : prouvons que kfn � fk1 �!n!1

0. Soit " > 0, et � associé dans la dé�nition

de la continuité uniforme de f . On a :

kfn(x)� f(x)k = kE(f(Yn)� f(x))k6 E(kf(Yn)� f(x)k)= E(kf(Yn)� f(x)k1jYn�xj6�) + E(kf(Yn)� f(x)k1jYn�xj>�)6 "P(jYn � xj 6 �) + 2kfk1P(jYn � xj > �)

6 "+ kfk12n�2 .

En passant à la borne supérieure, kfn � fk1 6 "+ kfk12n�2 6 2" pour n assez grand.

Fonction réciproque : soient D compact et f : D ! F continue injective. Alors la fonction réciproqueest continue sur f(D).Contre-exemple avec D non compact.

5) Convexité, connexitéa) Barycentres

Dé�nition, associativité.Un ensemble convexe est un ensemble contenant ses barycentres à coe�cients positifs. Il su�t qu'ilcontienne les barycentres à coe�cients positifs de deux points.

Exemples : boule, sous-espace a�ne, demi-espace a�ne dans un R-ev, triangle dans un plan.

ThéorèmesLes parties convexes de R sont les intervalles.L'intersection d'une famille de convexes est convexe. L'intersection de toutes les parties convexescontenant une partie X est le plus petit convexe contenant X, noté Conv(X). C'est l'ensemble desbarycentres à coe�cients positifs des éléments de X.

PropriétésL'image directe et l'image réciproque d'un convexe par une application a�ne sont convexes.Si A est convexe alors A et �A le sont.

b) Composantes connexesa; b 2 A � E sont joignables par un arc (ou chemin) dans A s'il existe ' : [�; �]! A continue telle que'(�) = a et '(�) = b. Il s'agit d'une relation ré�exive, symétrique et transitive. La dé�nition o�cielleimpose [�; �] = [0; 1], mais cette contrainte est non restrictive et complique les démonstrations.La composante connexe par arcs de a dans A est l'ensemble des points b joignables à a par un arcdans A.La famille des composantes connexes par arcs de A forme une partition de A.A est connexe par arcs si cette famille est réduite à une seule composante.

page 26 VI � Fonctions continues

c) ExemplesUn ensemble convexe est connexe par arcs.Un ensemble étoilé (= réunion de segments issus d'un même point) est connexe par arcs.

Pour A � R : A est connexe par arcs ()A est convexe ()A est un intervalle.

Si K = C ou si dim(E) 6= 1 et A est une partie convexe bornée de E alors E nA est connexe par arcs.Soient E un K-ev de dimension n et F un sous-espace a�ne de dimension p : si K = R et p = n� 1alors E n F a deux composantes connexes par arcs. Si K = C ou p 6= n � 1 alors E n F est connexepar arcs.Q est totalement discontinu (= chaque composante connexe par arcs est réduite à un point).

d) PropriétésSi A est ouvert, ses composantes connexes par arcs le sont.Si A est ouvert connexe par arcs, alors il est connexe par arcs polygonaux et aussi par arcs polyno-miaux.

L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs.L'image d'un connexe par arcs par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.

Il n'existe pas de fonction continue injective de U dans R.Soit A connexe par arcs et X � A ouvert relatif et fermé relatif de A. Alors X = ? ou X = A.

Proposition : le graphe de f : I(intervalle)! E est connexe par arcs si et seulement si f est continue.

Démonstration du caractère nécessaire : soit a 2 I n sup(I) et b 2 I tel que a < b. Il existe unarc [�; �] 3 t 7! '(t) = (x(t); f � x(t)) dans Gr(f) joignant (a; f(a)) à (b; f(b)). L'ensemble des réelst tels que x(t) = a est un fermé relatif de [�; �], non vide, donc compact ; il admet un plus grandélément . Pour " > 0, il existe � > 0 tel que 8 t 2 ] ; + �], kf � x(t)� f(a)k 6 " (f � x est continueà droite en ). Par choix de , l'intervalle x(] ; + �]) est inclus dans I \ ]a;+1[ et son adhérencecontient a. Il existe donc a0 2 I \ ]a;+1[ tel que ]a; a0[ � x(] ; + �]) et l'on a obtenu : 8u 2 ]a; a0[,kf(u) � f(a)k 6 ", soit la continuité à droite de f en a. La continuité à gauche sur I n inf(I) sedémontre de même.

VI � Fonctions continues page 27

VII — Fonctions d’une variable réelle

On considère ici des fonctions dé�nies sur un intervalle non trivial I � R et à valeurs dans un K-evn dedimension �nie, E.

1) Dérivation

a) Dérivée premièreTaux d'accroissement en un point, dérivées à droite et à gauche, dérivée.

Proposition : f est dérivable en a si et seulement s'il existe un développement limité de la forme :f(a + h) = � + h� + o(h). Dans ce cas, � = f(a) et � = f 0(a). En conséquence, si f est dérivableen a alors elle est continue en a.

PropriétésDérivée d'une combinaison linéaire, de L � f avec L linéaire.Calcul de la dérivée coordonnée par coordonnée dans une base de E. Dérivée d'une fonction à valeursdans un espace produit.Dérivée d'un produit, de B(f; g) avec B bilinéaire.Dérivée d'une fonction composée, de la réciproque.Dérivée de kfk si E est euclidien et f ne s'annule pas.Dérivée de detB(f1(t); : : : ; fn(t)).

b) Inégalité des accroissements finis

Soit f continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[ telle que kf 0(x)k 6 k pour tout x 2 ]a; b[.Alors kf(b)� f(a)k 6 k(b� a).

Démonstration : soit [�; �] � ]a; b[. On construit par dichotomie deux suites adjacentes (�n), (�n)telles �0 = �, �0 = �, et la suite de terme général kf(�n)� f(�n)k=(�n � �n) soit croissante. Soit la limite commune de (�n) et (�n). Par développement limité de f à l'ordre 1 en , on a

f(�n)� f(�n) = (�n � �n)f 0( ) + (�n � )o(1) + ( � �n)o(1) = (�n � �n)(f 0( ) + o(1)),

donc kf(�) � f(�)k=(� � a) 6 kf(�n) � f(�n)k=(�n � �n) �!n!1

kf 0( )k 6 k. L'inégalité s'ensuit en

faisant tendre � vers a+ et � vers b�.

Conséquences(i) Soit f continue sur I, dérivable sur�I : f est k-lipschitzienne sur I()8x 2�I, kf 0(x)k 6 k.(ii) Soit f continue sur I, dérivable sur�I : f est constante sur I()8x 2�I, f 0(x) = 0.(iii) Deux primitives sur I d'une même fonction di�èrent par une fonction constante.(iv) Soit f continue sur [a; b], dérivable sur ]a; b[ et telle que f 0(x) �!

x!a+` 2 E. Alors f est dérivable

à droite en a et f 0d(a) = `.Contre-exemple pour la réciproque : f(x) = x2 sin(1=x).

c) Dérivées successivesPour f : I ! E, on dé�nit sous réserve d'existence : f (0) = f , f (n) = (f 0)(n�1).On note Cn(I; E) l'ensemble des fonctions f telles que f; : : : ; f (n) existent et sont continues sur I.On note C1(I; E) l'ensemble des fonctions f dérivables à tout ordre sur I.

PropriétésStabilité de la classe Cn par combinaison linéaire, produit, composition, réciproque.Formule de Leibniz.

Si f est de classe Cn sur ]a; b], alors f se prolonge en une fonction de classe Cn sur [a; b] si et seulementsi les dérivées f (0),: : : ,f (n) ont des limites �nies en a+. Si f est de classe Cn sur [c; a[ et sur ]a; b],alors f se prolonge en une fonction de classe Cn sur [c; b] si et seulement si pour tout k 2 [[0; n]],limx!a+ f

(k)(x) et limx!a� f(k)(x) existent, sont �nies et égales.

page 28 VII � Fonctions d'une variable réelle

En particulier, la fonction f dé�nie par f(x) = exp(1=(x2 � 1)) si �1 < x < 1 et f(x) = 0 sinon estde classe C1 sur R. Soit a =

R[�1;1] f > 0 et g(x) = 1

a

R xt=�1(f(t+ 2)� f(t� 2)) dt : g est aussi C1

sur R, à valeurs dans [0; 1], nulle sur R n [�3; 3] et constante égale à 1 sur [�1; 1].

2) Fonctions convexesf : I ! R est convexe (resp. concave) si l'image de tout barycentre est inférieure ou égale (resp.supérieure ou égale) au barycentre correspondant des images. Il su�t que ce soit véri�é pour les barycen-tres de deux points.f est a�ne () f est convexe et concave.f est convexe () l'épigraphe de f : f(x; y) 2 I � R tq y > f(x)g est convexe.Exemples : x 7! x2, x 7! jxj.Inégalité des pentes : f est convexe si et seulement si pour tous a; b; c 2 I avec a < b < c, on af(b)� f(a)

b� a6f(c)� f(a)

c� a6f(c)� f(b)

c� b.

Position par rapport à une corde : soit f convexe, a < b et g la fonction a�ne coïncidant avec fen a et en b. Alors pour x 2 [a; b], on a f(x) 6 g(x) et pour x 2 In]a; b[ on a f(x) > g(x).

Conséquences : soit f convexe sur I.(i) f est décroissante ou croissante ou décroissante puis croissante. De plus f admet des limites �nies

ou in�nies aux bornes de I.(ii) f continue sur�I.(iii) fest dérivable à droite et à gauche sur�I et pour tous a; b; c 2 I avec a < b < c, on a :

f(b)� f(a)b� a

6 f 0g(b) 6 f 0d(b) 6f(c)� f(b)

c� b. De plus les fonctions f 0g et f 0d sont croissantes sur�I.

Position par rapport à une tangente : soit f dérivable sur �I. Alors f est convexe sur I si etseulement si pour tout a 2�I, le graphe de f est au dessus de sa tangente en a.En particulier pour f convexe, si f 0(a) = 0 alors f(a) = min f .

Dérivées(i) Si f est continue sur I et dérivable sur�I alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante.(ii) Si f est continue sur I et deux fois dérivable sur�I alors f est convexe si et seulement si f 00 est

positive.

Inégalités de convexité8x 2 ]�1;+1[, 8� 2 ]�1; 0] [ [1;+1[, (1 + x)� > 1 + �x.8x 2 R, ex > 1 + x.8x 2 ]�1;+1[, x

1 + x6 ln(1 + x) 6 x.

8x 2 [0; �2 ],2�x 6 sinx 6 x.

3) Intégrale sur un segment

a) Fonctions en escalierf : [a; b]! E est en escalier s'il existe une subdivision � = (a0; : : : ; an) de [a; b] telle que pour tout i,fi = fj]ai;ai+1[ est constante. On pose alors

R[a;b]

f =Pi(ai+1 � ai)fi 2 E. Cette dé�nition est

indépendante de la subdivision � choisie parmi les subdivisions adaptées à f .

PropriétésR[a;b]

f est inchangée lorsque f est modi�ée en un nombre �ni de points.Linéarité, calcul coordonnée par coordonnée, composition avec une application linéaire.Positivité, croissance.Inégalité triangulaire : k R

[a;b]fk 6 R

[a;b]kfk 6 (b� a)kfk1.

Relation de Chasles.

VII � Fonctions d'une variable réelle page 29

b) Fonctions continues par morceaux

Théorème : soit f : [a; b]! E continue par morceaux. Alors :(i) Il existe une suite (fn) de fonctions en escalier telle que kfn � fk1 �!

n!10.

(ii) Pour toute telle suite, la suite (R[a;b]

fn) est convergente et sa limite ne dépend pas de lasuite (fn) considérée.

On pose par dé�nitionR[a;b]

f = limn!1(R[a;b]

fn).

Démonstration de (ii) : kfnk1 6 kfk1+ kfn� fk1 donc la suite (R[a;b]

fn) est bornée et possède

au moins une valeur d'adhérence. SiR[a;b]

f'(n) �!n!1

L etR[a;b]

f (n) �!n!1

L0 alors

k R[a;b]

f'(n) �R[a;b]

f (n)k 6R[a;b]kf'(n) � f (n)k 6 (b� a)(kf'(n) � fk1 + kf � f (n)k1) �!

n!10

donc L = L0. Étant bornée et ayant au plus une valeur d'adhérence, la suite (R[a;b]

fn) converge.

PropriétésR[a;b]

f est inchangée lorsque f est modi�ée en un nombre �ni de points.Linéarité, calcul coordonnée par coordonnée, composition avec une application linéaire.Positivité, croissance. Si f est continue positive et

R[a;b]

f = 0 alors f = 0.

Inégalité triangulaire : k R[a;b]

fk 6 R[a;b]kfk 6 (b� a)kfk1.

Relation de Chasles.

c) Intégrale fonction de sa borne supérieuref : I ! E est continue par morceaux si pour tout segment [a; b] � I, la restriction fj[a;b] l'est.On pose alors pour x; y 2 I :

R yt=x

f(t) dt =R[x;y]

f si x < y, � R[y;x]

f si x > y et 0 si x = y.

Théorème : soit f continue par morceaux sur I, a 2 I et F (x) =R xt=a

f(t) dt pour x 2 I variable.

(i) 8x; y 2 I, [F (t)]yt=xdef= F (y)� F (x) =

R yt=x

f(t) dt.(ii) F est continue sur I.(iii) si f est bornée sur I alors F est kfk1-lipschitzienne sur I.(iv) Si f(x) �!

x!x+0

` alors F est dérivable à droite en x0 et F 0d(x0) = `. Énoncé analogue en x�0 .

(v) Si f est continue sur I alors F est de classe C1 sur I et F 0 = f .

ConséquencesSi f est de classe C1 sur I alors pour tous x; y 2 I, R y

t=xf 0(t) dt = [f(t)]yt=x = f(y)� f(x).

Si de plus x 6= y :f(y)� f(x)

y � x=R 1t=0

f 0((1� t)x+ ty) dt.

Si f est continue sur I et u : J ! I est de classe C1 alors pour tous x; y 2 J :R yt=x

f(u(t))u0(t) dt =R u(y)�=u(x)

f(� ) d� .

Ce résultat est aussi vrai lorsque f est continue par morceaux et u est monotone de classe C1.Si f; g sont de classe C1 sur I et B est une application bilinéaire alors pour tous x; y 2 I :R y

t=xB(f(t); g0(t)) dt = [B(f(t); g(t))]yt=x �

R yt=x

B(f 0(t); g(t)) dt.

d) Formules de Taylor

Soit f : I ! E de classe Cn et a; b 2 I.f(b) = f(a) + (b� a)f 0(a) + : : :+ (b�a)n�1

(n�1)! f(n�1)(a) +

R bt=a

(b�t)n�1(n�1)! f

(n)(t) dt. (reste intégral)

kf(b)� f(a)� : : :� (b�a)n�1(n�1)! f

(n�1)(a)k 6 jb�ajnn! supfkf (n)(t)k; t 2 Conv(a; b)g. (Lagrange)

f(a+ h) = f(a) + hf 0(a) + : : :+ hn

n! f(n)(a) + o(hn). (Young)

La formule de Taylor-Young est en réalité valide sous la seule hypothèse : f (n)(a) existe (HP).


Application : développements en série entière de ex et ln(1 + x).

e) Sommes de Riemann

Soit f : [a; b]! E, � = (a0; : : : ; an) une subdivision de [a; b] et � = (c0; : : : ; cn�1) une liste de pointsintermédiaires (8 i; ai 6 ci 6 ai+1). On note p(�) = maxfai+1�aig et S�;�(f) =

Pi(ai+1�ai)f(ci).

Théorème : si f est continue par morceaux alors S�;�(f) �!p(�)!0

R[a;b]

f .

DémonstrationPour f = 1[c;d] on a S�;�(f) = a`+1� ak où k est le premier indice tel que c 6 ck et ` le dernier indicetel que d 6 c` s'il existe au moins un indice i tel que ci 2 [c; d], et S�;�(f) = 0 sinon. Si S�;�(f) > 0et k > 1 : ak � p(�) 6 ak�1 6 ck�1 < c 6 ck 6 ak+1 6 ak + p(�) d'où jc � akj 6 p(�), inégalitéencore vraie si k = 0. De même, jd�a`+1j 6 p(�), puis jS�;�(f)�

R[a;b]

f j 6 2p(�) lorsque S�;�(f) > 0puis aussi lorsque S�;�(f) = 0. Ainsi, la convergence annoncée est prouvée pour f = 1[c;d]. Elle sedémontre de manière analogue lorsque f est la fonction indicatrice d'un sous-intervalle quelconquede [a; b]. Puis, par combinaison linéaire à coe�cients vectoriels des fonctions précédentes, on obtientla convergence de S�;�(f) vers

R[a;b]

f pour toute fonction f en escalier à valeurs dans E.

Soit à présent f continue par morceaux quelconque et g en escalier :

kS�;�(f)�R[a;b]

fk 6 kS�;�(f)� S�;�(g)k+ kS�;�(g)�R[a;b]

gk+ k R[a;b]

g � R[a;b]

fk6 S�;�(kf � gk) + kS�;�(g)�

R[a;b]

gk+ R[a;b]kg � fk

6 2(b� a)kg � fk1 + kS�;�(g)�R[a;b]

gk.Soit " > 0 et g choisie de sorte que kg � fk1 6 ". D'après la première partie, il existe un réel � > 0tel que p(�) 6 � ) kS�;�(g)�

R[a;b]

gk 6 " et donc p(�) 6 � ) kS�;�(f)�R[a;b]

fk 6 "(1+ 2(b� a)).Exemples1n + 1

n+1 + : : :+ 12n�1 �!n!1

ln 2.

Si f est continue sur [a; b] et ' est convexe continue sur f([a; b]) alors '( 1b�a

R[a;b]

f) 6 1b�a

R[a;b]

' � f(inégalité de Jensen).

4) Courbes paramétrées

a) DéfinitionsArc paramétré, support, reparamétrage.Exemples : graphe d'une fonction, cercle, ellipse, hyperbole,cycloïde (x = R(t� sin t), y = R(1� cos t)), hélice circulaire (x = R cos t, y = R sin t, z = ht=2�).

b) TangenteC = t 7!Mt admet une tangente au point de paramètre a s'il existe une fonction ' dé�nie au voisinagede a telle que les vecteurs Mt �Ma et '(t) soient colinéaires et telle que '(t) admet pour t! a unelimite v 6= 0. Dans ce cas, le sous-espace hvi est indépendant de la fonction ' choisie et la droiteMa+ hvi est appelée : tangente à la courbe au point de paramètre a. Lorsque E est un plan euclidien,la normale à la courbe au point de paramètre a est la droite Ma + hvi?.La tangente et la normale sont conservées lors d'un reparamétrage bicontinu.

Point régulier : si M est dérivable en a et si M 0(a) 6= 0 alors il existe une tangente et elle est dirigéepar M 0(a).

ExemplesCourbe d'équation y = f(x) : y = f(a) + (x� a)f 0(a). Cas de

pen 0.

Parabole : la tangente en M est la médiatrice de [FH].Ellipse : la tangente en M est la bissectrice extérieure des demi-droites [FM) et [F 0M).Hyperbole : la tangente en M est la bissectrice intérieure des demi-droites [FM) et [F 0M).Cycloïde : la normale en M passe par le point de contact entre la roue et la route.

VII � Fonctions d'une variable réelle page 31

c) Longueur (HP)Soit [a; b] 3 t 7!Mt une courbe paramétrée et � = (a0; : : : ; an) une subdivision de [a; b].La longueur de la ligne polygonale associée est L(�) =

Pi kMai+1�Mai

k.La longueur de l'arc

_MaMb est la borne supérieure des nombres L(�) où � est une subdivision quel-

conque de [a; b], noté L(_

MaMb). L'arc_

MaMb dit recti�able lorsque sa longueur est �nie.

PropriétésLa longueur est invariante par reparamétrage.

L(_

MaMb) > kMaMbk.Pour a < b < c : L(

_MaMc) = L(

_MaMb) + L(

_MbMc).

Proposition : un arc de classe C1 est recti�able et L(_

MaMb) =R bt=akM 0(t)kdt.

Exemplesarc de parabole : x = 2pt, y = 2pt2, L(

_M0Mt) = pt

p4t2 + 1 + 1

2p ln(p4t2 + 1 + 2t).

arche de cycloïde : x = R(t� sin t), y = R(1� cos t), L = 8R.

arc d'hélice circulaire : x = R cos t, y = R sin t, z = ht=2�, L(_

M0Mt) = tpR2 + h2=4�2 (identique à

la longueur du segment déroulé).


VIII — Séries

E désigne un espace vectoriel normé de dimension �nie.

1) Convergence d’une sérieSommes partielles associées à une suite (un) 2 EN, convergence.

ExemplesSérie géométrique dans C, dansMn(C), dans L(E).Série harmonique, série harmonique alternée.Série télescopique.

PropriétésLe terme général d'une série convergente tend vers 0. Divergence grossière.Linéarité, calcul coordonnée par coordonnée dans une base de E, composition par une application linéaire.Découpage, reste d'une série convergente.Regroupement des termes deux à deux,

Pn

(�1)nn+1 =

Pn

1(2n+1)(2n+2) .

2) Critères de convergence

Convergence absolue : siP kunk est convergente alors Pun l'est et on a kPn unk 6

Pn kunk.

Démonstration : soient Sn =Pnk=0 uk, Tn =

Pnk=0 kukk et T = lim(Tn) = sup(Tn). On a kSnk 6 Tn

donc la suite (Sn) est bornée et admet une valeur d'adhérence. Il reste à prouver son unicité. SiS'(n) �!

n!1` et S (n) �!

n!1L alors

kS'(n) � S (n)k = kPmax('(n); (n))k=min('(n); (n))+1 ukk 6

Pidem kukk = jT'(n) � T (n)j �!

n!10.

Critère de convergence des séries alternéesSoit (un) une suite réelle positive décroissante de limite nulle.(i) La série de terme général (�1)nun est convergente.(ii) Deux sommes partielles successives encadrent la somme complète.(iii) Soit Rn =

P1k=n+1(�1)kuk. Alors Rn a même signe que (�1)n+1 et (�1)n+1Rn = jRnj 6 un+1.

ApplicationsPour tout � > 0, la série de terme général (�1)n+1

n� (n > 1) est convergente. On note �(�) =P1n=1

(�1)n+1n�

(fonction êta de Dirichlet).

ln 2 =P1n=1

(�1)n+1n = 1

2 +P1n=1

(�1)n+12n(n+1) =

58 +

P1n=1

(�1)n+12n(n+1)(n+2) =

23 +

P1n=1

3(�1)n+14n(n+1)(n+2)(n+3) .

En tronquant les séries à 10 et 11 termes, on obtient : 0:64 < ln(2) < 0:74, 0:691 < ln(2) < 0:695,0:6929 < ln(2) < 0:6933, 0:69312 < ln(2) < 0:69317.

Comparaison à une autre série(i) Une série à termes réels positifs converge si et seulement la suite des sommes partielles est majorée.

Dans ce cas, la somme de la série est la borne supérieure des sommes partielles. C'est aussi la bornesupérieure de toutes les sommes �nies. Lorsqu'une série à termes réels positifs est divergente, onconvient que sa somme est égale à +1.

(ii) Si 0 6 un 6 vn pour tout n, alors 0 6Pn un 6

Pn vn (inégalité dans [0;+1]).

(iii) Si (un) est une suite vectorielle et (vn) une suite à termes réels positifs telle queP

vn converge etun = O(vn) alors

P kunk converge.(iv) Si (un) et (vn) sont réelles positives et un � vn alors

Pun et

Pvn ont même nature (usage

systématiquement refusé s'il n'y a pas la véri�cation du signe).

Contre-exemple en cas de signe variable : (�1)npn

et (�1)npn

+ 1n .

VIII � Séries page 33

Comparaison à une intégrale : soit f : [0;+1[! R continue par morceaux, positive décroissante.On pose F (x) =

R[0;x]

f etR[0;+1[

f = limx!+1(F (x)) 2 [0;+1].

(i) La série de terme général f(n)� R[n;n+1]

f est convergente et sa somme est majorée par f(0).

(ii)P

f(n) converge ()F est majorée () R[0;+1[

f est une valeur �nie.

(iii) On a les inégalités suivantes dans [0;+1] :R[0;+1[

f 6Pn f(n) 6 f(0) +

R[0;+1[

f ;

8n 2 N; R[n+1;+1[

f 6P1k=n+1 f(k) 6

R[n;+1[

f .

ApplicationsConvergence des séries de Riemann, �(�) =

P1n=1

1n� .

Pour � > 1, �(�) = (1� 21��)�(�) etP1k=0

1(2k+1)� = (1� 2��)�(�).

Constante d'Euler, Hn = 11 + : : :+ 1

n = ln(n) + + o(1).

Amélioration : Hn�1 = ln(n) +Pn�1k=1

R k+1

t=k( 1k � 1

t ) dt

= ln(n) + �P1k=n

R k+1

t=k( 1k � 1

t ) dt

= ln(n) + �P1k=n([(

1k � 1

t )(t� k � 12 )]

k+1t=k �

R k+1

t=kt�k�1=2

t2 dt)

= ln(n) + �P1k=n(

12k � 1

2(k+1) � [ (t�k)(t�k�1)2t2 ]k+1t=k �

R k+1

t=k(t�k)(t�k�1)

t3 dt)

= ln(n) + � 12n � un

avec 0 6 un 6P1k=n

R k+1

t=kdt4t3 =

R +1t=n

dt4t3 = 1

2n2 . Ainsi, ln(n) + + 12n � 1

2n2 6 Hn 6 ln(n) + + 12n .

Règle de d'Alembert : soit (un) une suite à termes réels strictement positifs telle que le rapportun+1=un admet une limite ` 2 [0;+1].Si ` < 1 : pour tout � 2 ]`; 1[, un = o(�n) et

Pun converge.

Si ` > 1 : pour tout � 2 ]1; `[, �n = o(un) etP

un diverge grossièrement.Si ` = 1, on ne peut rien dire de général.

Application : pour z 2 C et p 2 N, la série de terme général npzn est absolument convergente si jzj < 1et grossièrement divergente si jzj > 1. Par trigonalisation forte, on en déduit : si M 2 Mq(C) et p 2 N,la série de terme général npMn est absolument convergente si Sp(M) � �D et grossièrement divergentesinon. Calcul explicite de la somme en cas de convergence : on pose Sp =

P1n=0 n

pMn.(Iq �M)Sp =

P1n=0 n

pMn �P1n=0 n

pMn+1

= 0pIq +P1n=0((n+ 1)p � np)Mn+1

= 0pIq +P1n=0(

Pp�1k=0

�pk

�nk)Mn+1

= 0pIq +MPp�1k=0

�pk

�Sk

ce qui permet de calculer Sp de proche en proche. Par exemple, S0 = (Iq �M)�1, S1 = M(Iq �M)�2,S2 =M(Iq +M)(Iq �M)�3.

3) Sommation des relations de comparaison

Soient (un) une suite vectorielle, (vn) une suite réelle positive. On suppose un = O(vn) (resp. un = o(vn),un � vn).(i) Si

Pvn converge alors

Pun converge aussi et

P1k=n+1 uk = O(

P1k=n+1 vk) (resp. o, �).

(ii) SiP

vn diverge alorsPnk=0 uk = O(

Pnk=0 vk) (resp. o, �).

ApplicationsLemme de Cesàro : soit (un) une suite vectorielle convergeant vers ` 2 E. Alors la suite de termegénéral vn = 1

n+1 (u0 + : : :+ un) converge aussi vers `.Lemme de Cesàro : soit (un) une suite réelle divergeant vers+1. Alors la suite de terme généralvn = 1

n+1 (u0 + : : :+ un) diverge aussi vers +1.

Équivalent du reste : soit (un) une suite réelle positive telle que un � �n� avec � > 0 et � > 1. AlorsP1

k=n+1 uk �R +1t=n

�dtt� = �

(��1)n��1 .

page 34 VIII � Séries

4) Séries doublesLa série double

Pp

Pq apq est dite convergente si :

(i) pour tout p 2 N, la série de terme général apq converge ; on note Sp =P1q=0 apq ;

(ii) la série de terme général Sp converge ; on note S =P1p=0 Sp =

P1p=0

P1q=0 apq.

En cas de divergence, si les apq sont des réels positifs, on convient d'écrireP1p=0

P1q=0 apq = +1.

ExemplesP1p=1

P1q=1

1(p+q)2 = +1,

P1p=1

P1q=1

1(p+q)� converge ()� > 2.P1

p=1

P1q=1

1p�+q� converge ()� > 2 par encadrement de jxj�+jyj�

(jxj+jyj)� sur le cercle unité de R2.P1p=0

P1q=0 apbq = (

P1p=0 ap)(

P1q=0 bq) lorsque les deux séries simples convergent. Si les ap et les bq sont

strictement positifs, c'est une CNS.P1p=0

P1q=0(�p;q+1 � �q;p+1) = �1 et

P1q=0

P1p=0(�p;q+1 � �q;p+1) = 1.

Théorème de Fubini

(i) Soit (apq) une suite double à termes réels positifs. AlorsP1p=0

P1q=0 apq =

P1q=0

P1p=0 apq (égalité

dans [0;+1]).(ii) Soit (apq) 2 EN2 telle que l'une des deux séries doubles

P1p=0

P1q=0 kapqk et

P1q=0

P1p=0 kapqk est

convergente. Alors l'autre aussi et les séries doublesP1p=0

P1q=0 apq et

P1q=0

P1p=0 apq convergent

et ont même somme. De plus, kP1p=0

P1q=0 apqk 6

P1p=0

P1q=0 kapqk.

Démonstration(i) soient Sp =

P1q=0 apq, S =

P1p=0

P1q=0 apq et S0q =

P1p=0 apq, S

0 =P1q=0

P1p=0 apq. Supposons

S �ni : à q �xé on a apq 6 Sp donc S0q est �ni. De plus, par addition d'un nombre �ni de séries

convergentes,PQq=0 S

0q =

PQq=0

P1p=0 apq =

P1p=0

PQq=0 apq 6

P1p=0 Sp = S dons la série

PS0q

est à termes positifs et sommes partielles majorées ; elle converge et S0 6 S. Par symétrie, lorsqueS0 est �ni alors S 6 S0, d'où S = S0 lorsque l'un des deux termes est �ni, et aussi lorsqu'ils sonttous deux in�nis.

(ii) siP1p=0

P1q=0 kapqk converge : à p �xé,

P1q=0 kapqk converge donc Sp =

P1q=0 apq converge aussi

et kSpk 6P1q=0 kapqk, terme général d'une série convergente. Ainsi

P kSpk puisPSp convergent,d'où la convergence de S =

P1p=0

P1q=0 apq et l'inégalité triangulaire correspondante. Avec (i), on

a de même la convergence de S0 =P1q=0

P1p=0 apq. Ensuite, par addition d'un nombre �ni de séries

convergentes, S =P1p=0(ap0 + : : : + apQ +

P1q=Q+1 apq) =

PQq=0

P1p=0 apq +

P1p=0

P1q=Q+1 apq

et kP1p=0

P1q=Q+1 apqk 6

P1p=0

P1q=Q+1 kapqk =

P1q=Q+1

P1p=0 kapqk �!Q!1

0 en tant que reste

d'une série convergente. Ainsi S = S0.

ExemplesP1p=2(�(p)� 1) =

P1p=2

P1q=2

1qp =

P1q=2

P1p=2

1qp =

P1q=2

1q(q�1) = 1.P1

p=2(�(p)� 1) =P1p=2

P1q=2

(�1)q+1qp =

P1q=2

P1p=2

(�1)q+1qp =

P1q=2

(�1)q+1q(q�1) = 1� 2 ln(2).

Indices liés : soit (apq) 2 EN2 . La relationP1p=0

P1q=p apq =

P1q=0

Pqp=0 apq a lieu si les apq sont réels

positifs ou si l'une des séries doublesP1p=0

P1q=p kapqk =

P1q=0

Pqp=0 kapqk est convergente.

Sommation par diagonales : soit (apq) 2 EN2 et Sn =Pp+q=n apq.

La relationP1p=0

P1q=0 apq =

P1n=0 Sn a lieu si les apq sont réels positifs ou si la série double de terme

général kapqk est convergente. Dans ce dernier cas, la sérieP kSnk est aussi convergente.

Démonstration : appliquer le théorème de Fubini à bpn = ap;n�p si 0 6 p 6 n et bpn = 0 sinon.

Exemple : pour � > 2,P1p=1

P1q=1

1(p+q)� =

P1n=2

n�1n� = �(�� 1)� �(�).

Contre-exemple :P1p=0

Pp+q=n(�p;q+1 � �q;p+1) = 0.


Produit de Cauchy : soient (an) 2 EN1 , (bn) 2 EN

2 et B : E1 � E2 ! E une application bilinéaireentre ev de dimensions �nies. On pose cn =

Pp+q=nB(ap; bq). Si les séries

P kank etP kbnk sont

convergentes alorsP kcnk l'est aussi et Pn cn = B(

Pn an;

Pn bn).

ExemplesPour x 2 ]� 1; 1[, � ln(1 � x) =

P1n=1 x

n=n et 1=(1 � x) =P1n=0 x

n, séries absolument convergentes.Donc � ln(1� x)=(1� x) =

P1n=1Hnx

n et ln2(1� x) =P1n=2(

Pp+q=n 1=pq)x

n =P1n=2 2Hn�1xn=n.

Pour z 2 C avec jzj < 1 et p 2 N, on aP1n=0

�n+pp

�zn = (1� z)�p�1.

Pour M 2Mq(C) avec Sp(M) � �D et p 2 N, on aP1n=0

�n+pp

�Mn = (Iq �M)�p�1.

Permutation des termes d’une série : soit (an) 2 EN telle queP kank est convergente et � 2 SN.

Alors la sérieP

a�(n) et convergente et a même somme queP

an.

Démonstration : appliquer le théorème de Fubini avec apq = �p;�(q)ap.

Contre-exemple siP kank diverge : (1� 1

2 � 14 ) + ( 13 � 1

6 � 18 ) + : : : = 1

2 ln 2.

5) La série exponentielle

Norme d’algèbre : soit A une K-algèbre. Une norme d'algèbre est une norme sur A en tant qu'espacevectoriel, véri�ant de plus : 8 a; b 2 A, kabk 6 kakkbk et k1Ak = 1.

ExemplesB(X;K) avec k k1, K[X] avec kPi aiX

ik =Pi jaij,Mn(K) avec k(aij)k = maxfPnj=1 jaij j; i 2 [[1; n]]g.

Proposition : toute K-algèbre de dimension �nie peut être munie d'une norme d'algèbre.

Démonstration : soit B une base de A en tant qu'espace vectoriel. Pour a 2 A, on note Ma la matricedans B de l'endomorphisme x 7! ax. L'application a 7! Ma est un morphisme injectif d'algèbre de AdansMn(K) avec n = dim(A). On peut donc prendre kak = kMak où la deuxième norme est une normed'algèbre surMn(K).

Désormais, on suppose que A est une algèbre de dimension �nie, munie d'une norme d'algèbre. Commetoutes les normes sur un ev de dimension �nie sont équivalentes, les notions de convergence et de limitesont indépendantes de la norme qui a été choisie sur A.

Théorème : pour a 2 A la série de terme général an=n! est absolument convergente.On note exp(a) =

P1n=0 a

n=n!.

Exemples dans Mn(K) :exp(

�0 1

0 1

�) =

�1 e� 1

0 e

�, exp(

�1 1

0 0

�) =

�e e� 1

0 1

�, exp(

�1 2

0 1

�) =

�e 2e

0 e

�.

PropriétésSi A = R, on retrouve la fonction exponentielle usuelle. Voir la formule d'Euler ci-après pour A = C.exp(0A) = 1A.Si ab = ba, exp(a+ b) = exp(a) exp(b) = exp(b) exp(a).exp(a) est inversible et exp(a)�1 = exp(�a).k exp(a)k 6 ekak (faux si k k n'est pas une norme d'algèbre).

Exponentielle d’une matrice carréeSi M 2Mp(K) et P 2 GLp(K) alors exp(P�1MP ) = P�1 exp(M)P .Si M = P Diag(�1; : : : ; �p)P�1 alors exp(M) = P Diag(e�1 ; : : : ; e�p)P�1.Si M = �Ip +N avec N nilpotente d'indice q alors exp(M) = e�(Iq +N + : : :+Nq�1=(q � 1)!).On peut donc calculer exp(M) pour M quelconque en trigonalisant fortement M . Dans les cas pratiques,l'usage d'un polynôme annulateur pour M conduit à un calcul plus rapide.

Exemple : M =�1 2

2 1

�: Sp(M) = f�1; 3g donc Sp(M + I2) = f0; 4g et (M + I2)2 = 4(M + I2), ce qui

donne exp(M + I2) = I2 + e4�14 (M + I2), puis exp(M) = e�1(I2 + e4�1

4 (M + I2)).

page 36 VIII � Séries

Autres propriétésexp(tM) = texp(M).det(exp(M)) = etr(M).exp(M) 2 K[M ].Si E est un K-ev de dimension �nie, f 2 L(E) et B est une base de E alors MatB(exp(f)) = exp(MatB(f)).

Continuité et dérivation(i) L'application exp est continue sur A.(ii) Pour a 2 A �xé, l'application R 3 t! exp(ta) est dérivable et d

dt (exp(ta)) = a exp(ta) = exp(ta)a.Elle est donc C1.

Réciproques(i) Soit f : R! A dérivable telle que f 0 = af où a 2 A est un élément �xé.

Alors 8 t 2 R, f(t) = exp(ta)f(0).(ii) Soit f : R! A dérivable telle que f 0 = fa où a 2 A est un élément �xé.

Alors 8 t 2 R, f(t) = f(0) exp(ta).(iii) Soit f : R! A� continue telle que 8 t; s 2 R, f(t+ s) = f(t)f(s).

Alors il existe a 2 A tel que 8 t 2 R, f(t) = exp(ta).

Démonstration de (iii) : lorsque f est dérivable, on a f 0(t + s) = f 0(t)f(s) donc f 0 = f 0(0) � f .Lorsque f est seulement supposée continue, on pose F (t) =

R tu=0

f(u) du et on exprime f à l'aide de F ,ce qui permet de se ramener au premier cas. Avec la relation fonctionnelle véri�ée par f , on obtient :F (t + s) � F (t) =

R t+su=t

f(u) du = f(t)F (s) et il su�t de prouver qu'il existe s 2 R tel que F (s) estinversible. Or F (s)=s�!

s!0f(0) = 1A donc det(MF (s)=s)�!

s!01 où Ma est la matrice dans une base �xée

de A de l'endomorphisme de multiplication par a. Ainsi, pour tout s proche de 0R et di�érent de 0R, ona det(MF (s)=s) > 0 donc F (s)=s 2 A� et en�n F (s) 2 A�.Formule d’Euler : pour x 2 R, exp(ix) = cos(x) + i sin(x).

Système différentiel : soit M 2Mp(K) �xée et X : R!Mp1(K) dérivable.On a X 0 =MX()8 t 2 R, X(t) = exp(tM)X(0).

Formule : (1A + a=n)n �!n!1

exp(a).

Démonstration : soient b = 1A + a=n et c = exp(a=n).kb� ck = kP1

k=2 ak=nkn!k 6 kak2 exp(kak=n)=n2,

k(1A + a=n)n � exp(a)k = kbn � cnk 6 nkb� ckmax(kbk; kck)n�1 6 kak2 exp(kak)=n.


IX — Intégrales généralisées

E désigne un espace vectoriel normé de dimension �nie.

1) Convergence d’une intégrale

Définitions(i) Soient a 2 R, b 2 ]a;+1] et f : [a; b[! E continue par morceaux. L'intégrale

R[a;b[

f est dite

généralisée en b�. Elle converge si x 7! R[a;x]

f admet une limite �nie lorsque x ! b�. Dans ce

cas, on poseR[a;b[

f = limx!b�(R[a;x]

f).

(ii) Soient b 2 R, a 2 [�1; b[ et f : ]a; b] ! E continue par morceaux. L'intégraleR]a;b]

f est dite

généralisée en a+. Elle converge si x 7! R[x;b]

f admet une limite �nie lorsque x ! a+. Dans ce

cas, on poseR]a;b]

f = limx!a+(R[x;b]

f).

(iii) Soient a 2 R [ f�1g, b 2 ]a;+1] et f : ]a; b[! E continue par morceaux. L'intégraleR]a;b[

f est

dite généralisée en a+ et en b�. Elle converge s'il existe c 2 ]a; b[ tel que les intégrales généraliséesR]a;c]

f etR[c;b[

f sont convergentes. Dans ce cas, on poseR]a;b[

f =R]a;c]

f +R[c;b[

f . Cette dé�nitionest indépendante du point c choisi.

(iv) Les intégrales généralisées en un point intérieur sont hors programme.(v) Lorsque f est à valeurs réelles positives et qu'une intégrale généralisée de f est divergente, on

convient que sa valeur est +1.

Exemples :R +1t=1

dtt� ,R 1t=0

dtt� ,R +1t=0

e��t dt,R 1t=0

ln(t) dt,R +1t=�1

dt1+t2 ,

R +1t=�1

tdt1+t2 ,

R +1t=�1

dt1�t2 .

PropriétésSi f est continue par morceaux sur le segment [a; b] alors

R]a;b]

f ,R[a;b[

f etR]a;b[

f sont convergentes et

ont pour valeurR[a;b]

f .

Si a est �ni, f est continue sur ]a; b] et admet une limite �nie en a+ alorsR]a;b]

f est convergente (réciproquefausse).Si f(x) �!

x!+1` et

R[a;+1[

f converge, alors ` = 0. Il se peut queR[a;+1[

f converge sans que f ait une

limite en +1.

CalculLinéarité, calcul coordonnée par coordonnée dans une base de E, composition par une application linéaire.Relation de Chasles, reste d'une intégrale convergente. d

dx (R[x;b[

f) = �f(x) si f est continue en x.Usage d'une primitive, crochet généralisé.Intégration par parties,

R +1t=0

tne�t dt = n!.Changement de variable C1 bijectif.

2) Critères de convergence

Convergence absolue : siRIkfk est convergente alors

RIf l'est et on a k R

Ifk 6 R

Ikfk. On dit que

f est intégrable sur I lorsqueRIkfk converge.

Démonstration : on raisonne sur le cas I = [a; b[. Soit (xn) une suite telle que xn �!n!1

b�. La suite

(R[a;xn]

f) est bornée parR[a;b[kfk donc admet une sous-suite convergente :

R[a;x'(n)]

f �!n!1

`. Soit alors

(yn) une suite quelconque telle que yn �!n!1

b�. On a k R[a;yn]

f � R[a;x'(n)]

fk 6 RConv(x'(n);yn)

kfk �!n!1

0,

d'oùR[a;yn]

f �!n!1

`.

Comparaison à une autre intégrale(i) L'intégrale d'une fonction réelle positive converge si et seulement les intégrales partielles sont

majorées. Dans ce cas, la valeur de l'intégrale est la borne supérieure des intégrales partielles.(ii) Si 0 6 f 6 g alors 0 6

RIf 6

RIg (inégalité dans [0;+1]).

(iii) Si f est une fonction vectorielle et g une fonction réelle positive telle queRIg est convergente et

f(x) = O(g(x)) au voisinage de la borne de généralisation alorsRIkfk converge.

page 38 IX � Intégrales généralisées

(iv) Si f et g sont réelles positives et f(x) � g(x) au voisinage de la borne de généralisation alorsRIf

etRIg ont même nature (usage systématiquement refusé s'il n'y a pas la véri�cation du signe).

ApplicationsSi a est �ni et f(t) � �

(t�a)� avec � 6= 0 alorsR]a;b]

f converge ()� < 1.

Si b est �ni et f(t) � �(b�t)� avec � 6= 0 alors

R[a;b[

f converge ()� < 1.

Si f(t) � �t� avec � 6= 0 alors

R[a;+1[

f converge ()� > 1.R +1t=0

t��1e�t dt converge ()� > 0 (fonction � d'Euler, � (�+ 1) = �� (�)).R +1t=0

sin tt

dt converge (IPP + domination).

Intégration des relations de comparaisonSoient f : [a; b[! E et g : [a; b[! R+ continues par morceaux. On suppose f(x) = O(g(x)) (resp.f(x) = o(g(x)), f(x) � g(x)) pour x! b�.(i) Si

R[a;b[

g converge alorsR[a;b[

f converge aussi etR[x;b[

f = O(R[x;b[

g) (resp. o, �).(ii) Si

R[a;b[

g diverge alorsR[a;x]

f = O(R[a;x]

g) (resp. o, �).

Exemple :R +1t=1

e(1�t)x

t dt = exR +1t=x

e�t

t dt = (2 IPP) = 1x � 1

x2 +O( 1x3 ).

Transformation d’une intégrale en série par découpageSoit f : [a; b[! E et (an) une suite strictement croissante telle que a0 = a et an �!

n!1b�.

(i) SiR[a;b[

f converge alors la sériePR

[an;an+1]f converge aussi et

R[a;b[

f =P1n=0

R[an;an+1]

f .

(ii) Si f est à valeurs réelles positives alorsR[a;b[

f =P1n=0

R[an;an+1]

f (égalité dans [0;+1]).

Exemple :R +1t=0

j sin tjt

dt diverge.

Espaces de fonctions : soit I un intervalle non trivial et f : I ! E continue par morceaux.On pose : kfk1 =

RIkfk,

kfk2 =qR

Ikfk2,

kfk1 = sup kfk (ces quantités existent dans [0;+1]).

On note : L1(I; E) = ff tq kfk1 < +1g,L2(I; E) = ff tq kfk2 < +1g,L1(I; E) = ff tq kfk1 < +1g.

Ce sont des sev de l'ensemble des fonctions continues par morceaux de I dans E. k k1 et k k2 sont dessemi-normes sur les espaces correspondants et des normes sur leurs intersections avec C(I; E). k k1 estune norme sur L1(I; E).Lorsque I est borné et E 6= f0g, L1(I; E) $ L2(I; E) $ L1(I; E).Lorsque I est non borné et E 6= f0g aucune inclusion n'a lieu.

3) Intégration terme à terme

Lemme de Beppo Levi, cas de fonctions continues sur un segment : soit (fn) une suite defonctions de [a; b] dans R continues positives et f : [a; b] ! R continue telle que pour tout x 2 [a; b],0 6 f(x) 6

P1n=0 fn(x) (inégalité dans [0;+1]). Alors

R[a;b]

f 6P1n=0

R[a;b]

fn (inégalité dans [0;+1]).

Démonstration par l’absurde : sinon il existe " > 0 tel queR[a;b]

(f � ") >P1n=0

R[a;b]

fn et en

particulier, pour tout N 2 N,R[a;b]

(f � " � PNn=0 fn) > 0 donc l'intégrande est strictement positif

en au moins un point xN . Soit (x'(N)) une sous-suite convergente et x sa limite. Pour N �xé et

k > N , on a : f(x'(k)) � " �PNn=0 fn(x'(k)) > f(x'(k)) � " �P'(k)

n=0 fn(x'(k)) > 0 d'où à la limite :

f(x)� "�PNn=0 fn(x) > 0. En faisant tendre N vers l'in�ni, on contredit l'hypothèse f 6

P1n=0 fn.

IX � Intégrales généralisées page 39

Lemme de Beppo Levi, cas de fonctions continues sur un intervalle : soit (fn) une suite defonctions de I dans R continues positives et f : I ! R continue positive telle que pour tout x 2 I,f(x) 6

P1n=0 fn(x) (inégalité dans [0;+1]). Alors

RIf 6

P1n=0

RIfn (inégalité dans [0;+1]).

Lorsque 8x 2 I, f(x) =P1n=0 fn(x), on a

RIf =

P1n=0

RIfn (égalité dans [0;+1]).

Démonstration : on raisonne sur le cas I = [a; b[. Pour c 2 [a; b[, on a d'après le cas précédentR[a;c]

f 6P1n=0

R[a;c]

fn 6P1n=0

R[a;b[

fn. En faisant tendre c vers b�, on obtient l'inégalité annoncée.

Si l'on a f =P1n=0 fn, alors pour tout entier N 2 N, f >

PNn=0 fn donc

R[a;b[

f >PNn=0

R[a;b[

fn puisR[a;b[

f >P1n=0

R[a;b[

fn en faisant tendre N vers l'in�ni.

Exemple :R +1t=0� ln(1� e�t) dt =

P1n=1

R +1t=0

e�nt

n dt =P1n=1

1n2 = �(2).

Le lemme de Beppo Levi est valide pour des fonctions fn et f discontinues, pourvu qu'elles soientmesurables au sens de Lebesgue (notion hors programme). On admettra ici qu'il est valide pour desfonctions continues par morceaux, les autres hypothèses étant inchangées.

Intégration terme à terme : soit (fn) une suite de fonctions de I dans E continues par morceaux etf : I ! E continue par morceaux telle que pour tout x 2 I : f(x) =P1

n=0 fn(x). Si l'une des conditionssuivantes est réalisée :

P1n=0

RIkfnk < +1 ou

RI

P1n=0 kfnk < +1 alors f est intégrable sur I et on a :R

Ikfk 6P1

n=0

RIkfnk et

RIf =

P1n=0

RIfn.

DémonstrationSiP1n=0

RIkfnk < +1 :

on applique le lemme de Beppo Levi à l'inégalité kfk 6P1n=0 kfnk, d'où

RIkfk 6P1

n=0

RIkfnk.

SiRI

P1n=0 kfnk < +1 :

on a la première hypothèse d'après le cas d'égalité dans le lemme de Beppo Levi.En�n, k R

If �PN

n=0

RIfnk = k

RI

P1n=N+1 fnk 6

P1n=N+1

RIkfnk �!

N!10 en tant que reste d'une série

convergente.

Exemple :R +1t=0

ln(1 + e�t) dt =P1n=1

R +1t=0

(�1)n+1 e�nt

n dt =P1n=1

(�1)n+1n2 = �(2) = 1

2�(2).

Contre-exemple avecP1n=0

RIkfnk = +1 : fn(x) = (�1)n sin(x)1[n�;(n+2)�](x).

4) Convergence dominée

Cas réel positif : soit (fn) une suite de fonctions de I dans R continues par morceaux et ' : I ! Rcontinue par morceaux telles que :(i) 8x 2 I, fn(x) �!

n!10 ;

(ii) 8x 2 I, 8n 2 N, 0 6 fn(x) 6 '(x) ;(iii)

RI' < +1.

AlorsRIfn �!

n!10 .

Démonstration : pour x 2 I et n; p 2 N avec n 6 p, on pose fnp(x) = maxffk(x); n 6 k 6 pg etInp =

RIfnp. fnp est positive continue par morceaux sur I et majorée par ' donc Inp existe et Inp 6

RI'.

De plus, à n �xé, la suite (Inp) est croissante ; elle converge vers un réel In. On peut donc trouver unesuite (pn) véri�ant 8n 2 N, 8 p > pn, In � 1

2n 6 Inp 6 In et pn+1 > pn. Ensuite, la suite (In) estdécroissante positive ; elle converge. En�n, pour tout x 2 I, fn;pn(x) �!n!1

0. Il vient :

8x 2 I, 0 6 fn(x) 6 fn;pn(x) =P1k=n(fk;pk(x)� fk+1;pk+1(x)) 6

P1k=n(fk;pk+1(x)� fk+1;pk+1(x))

Comme fk;pk+1 � fk+1;pk+1 est positive, on a avec le lemme de Beppo Levi :

0 6RIfn 6

P1k=n(Ik;pk+1 � Ik+1;pk+1) 6

P1k=n(Ik � Ik+1 + 1

2k+1) �!n!1

0

comme reste d'une série convergente.

page 40 IX � Intégrales généralisées

Cas vectoriel : soit (fn) une suite de fonctions de I dans E continues par morceaux, f : I ! E continuepar morceaux et ' : I ! R continue par morceaux telles que :(i) 8x 2 I, fn(x) �!

n!1f(x) ;

(ii) 8x 2 I, 8n 2 N, kfn(x)k 6 '(x) ;(iii)

RI' < +1.

Alors les fn et f sont intégrables et on aRIfn �!

n!1RIf .

Exemple : calcul deR +1t=0

e�t ln(t) dtSoient f(t) = e�t ln(t) et fn(t) = (1� t

n )n ln(t)1[0;n](t). On a jfnj 6 jf j, jf j est intégrable sur ]0;+1[ et

f = lim fn. DoncR]0;+1[

f = limn!1R nt=0

(1� tn )n ln(t) dt = limn!1 In.

In = nR 1u=0

(1� u)n ln(nu) du

= nn+1 ([(1� (1� u)n+1) ln(nu)]1u=0 �

R 1u=0

(1 + (1� u) + : : :+ (1� u)n) du)= n

n+1 (ln(n)� 1� 12 � : : :� 1

n+1 )�!n!1

� .Contre-exemple sans domination : fn = 1[n;n+1].

Cas d’un paramètre réel : soient J � R, �0 2 R [ f�1g adhérent à J , (f�)�2J une famille defonctions de I dans E continues par morceaux, f : I ! E continue par morceaux et ' : I ! R continuepar morceaux telles que :(i) 8x 2 I, f�(x) �!

�!�0f(x) ;

(ii) 8x 2 I, 8� 2 J , kf�(x)k 6 '(x) ;(iii)

RI' < +1.

Alors les f� et f sont intégrables et on aRIf� �!

�!�0

RIf .

Théorème de convergence dominé discret : soient (an;p) 2 EN2 , (`p) 2 EN et ('p) 2 RN telles que(i) 8 p 2 N, anp �!

n!1`p ;

(ii) 8 p 2 N, 8n 2 N, kanpk 6 'p ;(iii)

Pp 'p < +1.

Alors les sériesPp anp et

Pp `p sont absolument convergentes et on a

P1p=0 anp �!n!1

P1p=0 `p.

Exemple : dans une algèbre de dimension �nie, (1 + an )n �!n!1

exp(a) par développement du binôme.

IX � Intégrales généralisées page 41

X — Suites, séries et intégrales à paramètre

E, F désignent des espaces vectoriels normés de dimensions �nies.

1) Interversion des limites

Théorème d’interversion des limites, cas discret : soient (anp) 2 EN2 et ("n) 2 RN telles que(i) 8n 2 N, anp �!

p!1`n ;

(ii) 8 p 2 N, anp �!n!1

�p ;

(iii) 8n; p 2 N, kanp � �pk 6 "n ;(iv) "n �!

n!10.

Alors (`n) et (�p) convergent et ont même limite : limn!1(limp!1 anp) = limp!1(limn!1 anp).

Les conditions (iii) et (iv) s'énoncent : la convergence de anp vers �p est uniforme par rapport auparamètre �xé, p. On remarque par ailleurs que (ii) est une conséquence de (iii) et (iv).

Démonstration : Pour n; p 2 N, k�p � `nk 6 k�p � anpk+ kanp � `nk 6 "n + kanp � `nk �!p!1

"n. En

�xant n, on voit que la suite (�p) est bornée, donc admet une valeur d'adhérence � 2 E. Soit alors " > 0et N 2 N tel que n > N ) "n 6 ". Pour un tel n, on choisit p tel que kanp � `nk 6 " et k�p � �k 6 ".Il vient k�� `nk 6 3". Ainsi, `n �!

n!1�. Par unicité d'une limite, il en résulte que � est l'unique valeur

d'adhérence de (�p), d'où �p �!p!1

�.

Application, lemme de Lebesgue : soit f : [a; b]! E continue. On aR bt=a

f(t) sin(nt) dt �!n!1

0.

Démonstration : lorsque f est C1, une intégration par parties permet de conclure. Pour f continue, soit(fp) une suite de fonctions polynomiales telle que kfp�fk1 �!

p!10. On applique le théorème d'interversion

des limites en intervertissant les rôles de n et p avec anp =R bt=a

fp(t) sin(nt) dt et "p = �2 kfp � fk1.

Prenons en particulier f(t) = tsin t et n = 2p+1. En écrivant sin(nt)

sin t = 2 cos((n�1)t+2 cos((n�3)t)+ : : :

puis en intégrant deux fois par parties, il vientPk impair 6p

1k2 �!p!1

�2

8 , d'où �(2) = �2

6 .

Avec la même fonction f et n = 2p on obtient alors : 11 � 1

3 +15 � : : :+ (�1)p�1

2p�1 �!p!1

�4 .

Contre-exemple en cas de convergence non uniforme : anp = nn+p+1 .

Théorème d’interversion des limites, cas continu : soient D � E non vide, (fn) une suite defonctions D ! F , f une fonction de D dans F et a 2 D [ f1g tels que(i) 8n 2 N, fn(x)�!

x!a`n ;

(ii) Il existe V , voisinage relatif de a dans D et ("n) suite réelle de limite nulle tels que8x 2 V , 8n 2 N, kfn(x)� f(x)k 6 "n.

Alors il existe ` 2 E tel que `n �!n!1

` et f(x)�!x!a

` : limn!1(limx!a fn(x)) = limx!a(limn!1 fn(x)).

Cas symétrique (HP) : avec les notations précédentes, si l'on a(iii) 8x 2 D, fn(x) �!

n!1f(x) ;

(iv) il existe une fonction " dé�nie sur D telle que 8x 2 V , 8n 2 N, kfn(x)�f(x)k 6 "(x) et "(x)�!x!a

0.

Alors il existe ` 2 E tel que `n �!n!1

` et f(x)�!x!a

` : limn!1(limx!a fn(x)) = limx!a(limn!1 fn(x)).

Exemple : lemme de Lebesgue pour une fonction continue intégrable.

Remarque : les trois théorèmes d'interversion des limites sont inapplicables si la limite double visée estin�nie. Dans un tel cas, utiliser un argument de monotonie ou une minoration par une quantité tendantvers l'in�ni pour conclure.

page 42 X � Suites, séries et intégrales à paramètre

Exemple : �(x) =P1n=1

1nx >

PNn=1

1nx �!x!1+

HN donc pour x su�samment proche de 1+, on a

�(x) > 12HN . Ceci prouve que �(x) �!

x!1++1.

2) Fonction définie par une limite

a) Convergence d’une suite de fonctions

Définitions : soient D � E non vide, (fn) une suite de fonctions de D dans F et f : D ! F . Ondit que la suite (fn) converge vers la fonction f : : :(i) simplement si 8x 2 D, fn(x) �!

n!1f(x) ;

(ii) uniformément s'il existe une suite ("n) de limite nulle telle que 8x 2 D, kfn(x)�f(x)k 6 "n ;(iii) localement uniformément si pour tout x0 2 D, il existe un voisinage relatif de x0, V � D tel

que la restriction de fn à V converge uniformément vers la restriction de f à V ;(iv) uniformément sur tout compact si pour tout compact non vide K � D, la restriction de fn

à K converge uniformément vers la restriction de f à K. Lorsque D est un intervalle de R, onpeut se limiter aux cas où K est un segment.

Lien entre ces notions : (ii) ) (iv) ) (i) et (ii) ) (iii) ) (i). Les implications réciproques sontfausses en général.

Exemplesx 7! xn sur [0; 1], sur [0; a] avec a < 1, sur [0; 1[.

x 7!qx2 + 1

n2 sur R+.

x 7! (1 + xn )n sur R+.

Proposition : la suite (fn) converge uniformément vers la fonction f si et seulement si chaquefonction fn � f est bornée et kfn � fk1 �!

n!10.

b) Propriétés conservées par passage à la limite

Limite simple : toute inégalité large et toute égalité faisant intervenir un nombre �xé de points estconservée par limite simple. En particulier :(i) une limite simple de fonctions positives ou nulles est positive ou nulle.(ii) une limite simple de fonctions croissantes est croissante.(iii) une limite simple de fonctions convexes est convexe.(iv) une limite simple de fonctions k-lipschitziennes est k-lipschitzienne (k constant).(v) une limite simple de fonctions linéaires est linéaire.

Limite localement uniformeUne limite localement uniforme de fonctions continues est continue.Si les fonctions fn convergent simplement vers la fonction f et si leurs dérivées f 0n convergent locale-ment uniformément vers une fonction g alors f est dérivable et f 0 = g.

Limite uniforme sur tout compactUne limite uniforme sur tout compact de fonctions continues est continue.Si les fonctions fn : I (intervalle) ! E sont continues sur I et convergent uniformément sur tout

compact vers la fonction f alors pour tous a; b 2 I on aR bafn �!

n!1R baf . De plus, pour a �xé, les

fonctions x 7! R xafn convergent uniformément sur tout compact vers la fonction x 7! R x

af .

Ce théorème ne permet pas de passer à la limite sous une intégrale généralisée ; dans un tel cas utiliserle théorème de convergence dominée.

Limite uniforme : une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.

X � Suites, séries et intégrales à paramètre page 43

c) Exemple : moyenne arithmético-géométrique

Énoncé : pour x 2 [0;+1[, on considère les suites (an(x)) et (bn(x)) dé�nies par : a0(x) = 1,b0(x) = x, an+1(x) =

pan(x)bn(x) et bn+1(x) = 1

2 (an(x) + bn(x)). Il est notoire que ces suitesconvergent vers une même limite, que l'on note �(x). On demande de prouver que � estcontinue, croissante concave sans passer par �0 ni �00, et de tracer sa courbe.

ContinuitéPour n > 1 on a an(x) 6 bn(x). Donc

bn+1(x)� an+1(x) = 12 (bn(x) + an(x)� 2

pan(x)bn(x)) 6 1

2 (bn(x)� an(x))

puis par récurrence, 0 6 bn(x)�an(x) 6 jx�1j=2n. Donc les fonctions an et bn, clairement continues,convergent uniformément sur tout compact vers �.

Croissance et concavité : par récurrence, les fonctions an et bn sont croissantes concaves.

Courbe : �(x)� �(0) = �(x) >px donc il y a tangente verticale en 0. bn(x) = x

2n + o(x), donc à n

�xé, �(x)x 6 22n pour x assez grand. Ainsi, �(x)x �!

x!+10 et il y a branche parabolique horizontale.

Dérivation : on pose u(x) = b1=a1. Véri�er que an+1 = a1:(an �u) et bn+1 = a1:(bn �u). Montreralors que � est C1 sur [1;+1[ puis sur ]0;+1[.

Réponse : b0n+1� a0n+1 =14 (1� 1

x )(b0n� a0n) �u+ 1

2px(bn� an) �u avec 1 6 u(x) 6

px si x > 1. On

en déduit que a0n 6 b0n pour tout n sur [1;+1[ et que b0n � a0n converge vers 0 uniformément sur toutsegment de [1;+1[. Ensuite, avec 2an+1a

0n+1 = a0nbn + anb

0n et 2b0n+1 = a0n + b0n on obtient que les

suites (a0n) et (b0n) sont adjacentes sur [1;+1[ donc convergent uniformément sur tout segment vers

une même fonction continue. Ainsi � est C1 sur [1;+1[ puis sur ]0;+1[ car �(x) =px:� � u(x).

3) Fonction définie par une série

a) Convergence d’une série de fonctions

Définitions : soient D � E non vide, (fn) une suite de fonctions de D dans F et f : D ! F . Ondit que la série

Pfn converge vers la fonction f : : :

(i) simplement si 8x 2 D,Pn fn(x) = f(x) ;

(ii) uniformément si la suite (Pnk=0 fk) converge uniformément vers f ;

(iii) localement uniformément, uniformément sur tout compact si la suite (Pnk=0 fk) converge

de cette manière vers f ;(iv) normalement s'il y a convergence simple et s'il existe une suite (an) réelle positive telle que

8x 2 D, 8n 2 N, kfn(x)k 6 an etPn an < +1 ;

(v) localement normalement, normalement sur tout compact si la propriété précédente est vraieau voisinage relatif de tout point de D ou sur tout compact inclus dans D (la suite (an) peutdépendre du voisinage ou du compact considéré).

Lien entre ces notions : (iv) ) (ii) ) (iii) ) (i) et (iv) ) (v) ) (iii).Les convergences normales impliquent la convergence absolue.Les convergences uniformes impliquent la convergence uniforme de même type pour les suites defonctions (fn) et (

P1k=n+1 fk) vers la fonction nulle.

Exemplesx 7!P

n xn sur [0; 1], sur [0; a] avec a < 1, sur [0; 1[.

Série exponentielle.

Proposition : la sérieP

fn converge normalement si et seulement si chaque fonction fn est bornéeetPn kfnk1 < +1.


b) Propriétés héritées par la somme d’une série

Convergence simple : les mêmes que pour la limite d'une suite de fonctions à l'exception ducaractère lispchitzien.

Convergence localement uniformeLa somme d'une série localement uniformément convergente de fonctions continues est continue.Si la série

Pfn converge simplement vers la fonction f et si la série des dérivées

Pf 0n converge

localement uniformément vers une fonction g alors f est dérivable et f 0 = g =Pn f

0n (règle de

dérivation terme à terme).

Convergence uniforme sur tout compactLa somme d'une série de fonctions continues convergeant uniformément uniformément sur tout com-pact est continue.Si les fonctions fn : I (intervalle) ! E sont continues sur I et

Pfn converge uniformément sur tout

compact vers la fonction f alors pour tous a; b 2 I on aPn

R bafn =

R baf (deuxième règle d'intégration

terme à terme). De plus, pour a �xé, la série de fonctions x 7!Pn

R xafn converge uniformément sur

tout compact vers la fonction x 7! R xaf .

Ce théorème ne permet pas d'intégrer terme à terme sous une intégrale généralisée ; dans un tel casutiliser le théorème d'intégration terme à terme de Beppo Levi.

Convergence normale (localement normale, normale sur tout compact) : les mêmes quepour la convergence uniforme de même type.

c) Exemple

Énoncé : pour x 2 ]0;+1[, on pose f(x) =P1k=0

(�1)kx+k . Montrer que f est de classe C1

sur ]0;+1[ et tracer sa courbe. Justi�er : f(x) =R 1t=0

tx�1

1+t dt.

Réponse : en retirant le premier terme, il y a convergence uniforme pour la série et convergencenormale pour toutes les séries dérivées. f 0 6 0 6 f 00 avec le critère des séries alternées.f(x) + f(x+1) = 1

x ) f(x) � 12x en +1. On obtient l'expression intégrale pour f en regroupant les

termes deux à deux avant d'intégrer terme à terme.

4) Fonction définie par une intégrale

a) Position du problèmeSoient I; J deux intervalles de R non triviaux et f : I�J 3 (x; t)! f(x; t) 2 E. On pose pour x 2 I,sous réserve d'existence : F (x) =

Rt2J f(x; t) dt.

Continuité partielle : on dit que f est continue (resp. continue par morceaux) par rapport à t sipour tout x 2 J , la fonction t 7! f(x; t) est continue sur J (resp. continue par morceaux, le découpageen morceaux pouvant dépendre de x). On dé�nit de même la continuité et la continuité par morceauxpar rapport à x.

Domination locale : on dit que f est localement dominée en x si pour tout x0 2 I, il existe unvoisinage relatif V = [x0��; x0+�]\ I et une fonction ' : J ! R continue par morceaux, intégrablesur J telle que : 8 (x; t) 2 V � J , kf(x; t)k 6 '(t).

Remarque : on ne traite pas ici les intégrales de la formeR b(x)t=a(x)

f(x; t) dt. En présence d'une telleintégrale, e�ectuer un changement de variable ou une transformation simple permettant soit de revenirà des bornes constantes, soit d'éliminer x de l'intégrande. Par exemple :R xt=0

f(x; t) dt =R 1u=0

xf(x; ux) du.R x2t=x

etf(x� t) dt = � R x�x2u=0

ex�uf(u) du = �ex R x�x2u=0

e�uf(u) du.

X � Suites, séries et intégrales à paramètre page 45

b) Continuité, dérivation, intégration

On reprend les notations qui précèdent, et on suppose que pour tout x 2 I, F (x) existe, c'est-à-dire quef est continue par morceaux par rapport à t et que à x �xé, l'intégrale

Rt2J f(x; t) dt est convergente.

(i) Si f est continue par rapport à x et localement dominée en x alors F est continue.(ii) f admet une dérivée partielle @f

@x continue par morceaux par rapport à t et localement dominéeen x alors F est dérivable et F 0(x) =

Rt2J

@f@x (x; t) dt (règle de Leibniz).

(iii) Si J est un segment [c; d], si f est continue par rapport à chaque variable et si f est bornée

alors pour tous a; b 2 I, on aR bx=a

R dt=c

f(x; t) dtdx =R dt=c

R bx=a

f(x; t) dxdt (théorème de Fubiniintégral, cas non généralisé, HP).

c) Exemple : intégrale elliptique

Énoncé : pour x 2 ]0;+1[, on pose f(x) =R �=2t=0

dt=pcos2 t+ x sin2 t. Montrer que f est de

classe C1 sur ]0;+1[ et tracer sa courbe.

Réponse : cos2 t + x sin2 t > min(1; x) donc on peut localement borner l'intégrande et ses dérivéespar rapport à x. f est décroissante, tend vers 0 en +1 par convergence dominée. Si f était bornéeau voisinage de 0, alors pour � 2 [0; �2 [ �xé, on aurait

R �t=0

dt= cos t 6 kfk1, doncR �=2t=0

dt= cos t seraitconvergente. Ce n'est pas le cas, d'où par monotonie, f(x) �!

x!0++1.

Moyenne arithmético-géométriqueE�ectuer le changement de variable x tan t � cotan t = (1 + x) tanu dans l'intégrale dé�nis-sant f(x2) et en déduire la relation :

pxf(x2) = f(u(x)2) où u(x) = 1+x

2px. Montrer alors que

f(x2)�(x) = �2 où � est la moyenne arithmético-géométrique étudiée en 2. Ceci prouve que �

est de classe C1 sur ]0;+1[.

Réponse : le changement de variable proposé est strictement croissant et envoie ]0; �2 [ sur ]� �2 ;

�2 [.

On a successivement :

x tan t� cotan t = (1 + x) tanux tan t+ cotan t =

p(1 + x)2 tan2 u+ 4x

x2 tan2 t+ cotan2 t = (1 + x)2 tan2 u+ 2xpcos2 t+ x2 sin2 t = (1 + x) cos t sin t= cosu

(x tan t+ cotan t) dt = (1 + x) cos t sin tdu= cos2 u

dt=pcos2 t+ x2 sin2 t = du=2

pxqcos2 u+ u(x)2 sin2 u.

ce qui donne la relation annoncée pour f . On en déduit que la fonction x 7! f(x2)�(x) est invariantepar composition à droite par u, puis constante égale à sa valeur pour x = 1 (limite des itérées de u).


XI — Espaces préhilbertiens

1) RappelsUn espace préhilbertien est un R-ev muni d'un produit scalaire : (x; y) 7! (x j y) bilinéaire, symétrique,dé�ni positif. Un espace euclidien est un espace préhilbertien de dimension �nie.

Exemples classiques : Rn, C = R2 avec (z j z0) = 12 (zz

0 + z0z),Mnp(R), C([a; b];R).Formuleskxk2 = (x j x).kx+ yk2 = kxk2 + 2(x j y) + kyk2.kx+ yk2 + kx� yk2 = 2kxk2 + 2kyk2.kxk2 � kyk2 = (x+ y j x� y).(x j y)2 6 kxk2kyk2 avec égalité si et seulement si (x; y) est liée.kx+ yk 6 kxk+ kyk avec égalité si et seulement si (x; y) est positivement liée.Pour x 6= 0 et y 6= 0, cos(x; y) = (x j y)=kxkkyk 2 [�1; 1].kxk = maxf(x j y) tq kyk 6 1g.Matrice de Gram d’une famille de vecteurs : Gram(u1; : : : ; un) =

�(ui j uj)

� 2Mn(R).Pour x =

Pi xiui et y =

Pi yiui, on a (x j y) = tr(tXGY ).

GX = 0()x = 0.rg(G) = rg(u1; : : : ; un). En particulier (u1; : : : ; un) est libre () G est inversible.

2) Orthogonalitéa? = fx tq (a j x) = 0g, A? = fx tq 8 a 2 A; (a j x) = 0g.A ? B()(8 (a; b) 2 A�B; (a j b) = 0)()A � B?()B � A?.

PropriétésA? est un sev fermé. Pour a 6= 0, a? est un hyperplan supplémentaire de hai.E? = f0g, 0? = E.A � B ) A? � B?. A? = hAi?.A?? � A.Pour F;G sev de E, on a F \ F? = f0g, (F +G)? = F? \G? et (F \G)? � F? +G?.Si F1; : : : ; Fn sont deux à deux orthogonaux, alors la somme F1 + : : :+ Fn est directe.

ExemplesE = Rn, a = (a1; : : : ; an) 6= 0 ) a? = fx tq a1x1 + : : : + anxn = 0g : hyperplan arbitraire de Rn.a?? = hai.E = C([0; 1];R), F = ff tq fj[0; 12 ] = 0g, G = ff tq fj[ 12 ;1] = 0g.On a F? = G, G? = F et (F \G)? = E 6= F? +G? = F � F? = ff tq f( 12 ) = 0g.Supplémentaire orthogonal : soit F un sev de E. Les énoncés suivants sont équivalents.(i) F � F? = E.(ii) 9G tq F ? G et F �G = E.(iii) 8 a 2 E, 9 b 2 F tq 8x 2 F; (a j x) = (b j x).(iv) 8 a 2 E, 9 c 2 F tq 8x 2 F; d(a; c) 6 d(a; x).Lorsqu'ils sont véri�és, on a G = F?, b = c = le projeté orthogonal de a sur F et F?? = F .

Démonstration de (iv) =) (i) : soit a 2 E et c dé�ni par (iv). On montre que a � c 2 F? :pour x 2 F et t 2 R, on a 0 6 d(a; c+ tx)2 � d(a; c)2 = (2(c� a) + tx j tx) = 2t(c� a j x) + t2kxk2. Pourt proche de 0+ on obtient (c� a j x) > 0 et l'inégalité inverse pour t proche de 0�.

Conséquences(i) Si F est un sev de dimension �nie, alors F � F? = E et F?? = F .(ii) Si F et G sont de dimensions �nies alors (F \G)? = F? +G?.

XI � Espaces préhilbertiens page 47

Démonstration(i) Pour a 2 E, soit G = F + hai. Dans l'ev de dimension �nie G, F est un fermé non vide donc la

distance d(a; F ) est atteinte.(ii) Soit H = F \ (F? + G?). On a F? + H = F? + G? par double inclusion. Soit alors K le

supplémentaire orthogonal de H dans F : (F? + G?) + K = F? + (H + K) = F? + F = E et(F? +H) ? K. Donc F? +G? a un supplémentaire orthogonal et c'est (F? +G?)? = F \G.

Projection orthogonale : soit F , sev de E tel que F � F? = E. On note �F la projection sur Fparallèlement à F?.(i) Pour a 2 E, a = �F (a) + �F?(a).(ii) Pour a 2 E, �F (a) est l'élément de F le plus proche de a.(iii) Pour a 2 E et b 2 F , on a (a j b) = (�F (a) j b).(iv) Pour a; b 2 E, on a (�F (a) j b) = (�F (a) j �F (b)) = (a j �F (b)).(v) Pour a 2 E, on a k�F (a)k 6 kak avec égalité si et seulement si a 2 F .(vi) Si (e1; : : : ; en) est une base orthonormale de F alors �F (a) =

Pi(ei j a)ei.

(vii) Si (e1; : : : ; en) est une base quelconque de F alors la matrice des coordonnées de �F (a) dans cettebase est l'unique solution de l'équation GX = A où G est la matrice de Gram de (e1; : : : ; en) etA est la matrice colonne de coe�cient général (ei j a).

(viii) La symétrie orthogonale de base F est id�2�F .Exemple : E = R4, F = f(x; y; z; t) tq x+ y + z + t = 0g, Matcan(�F ) = I4 � ( 14 ).

Caractérisation des projections orthogonales : soit p 2 L(E) une projection (cad. p2 = p). On a :(p est une projection orthogonale) () (8x; y 2 E, (p(x) j y) = (x j p(y)) () (8x 2 E, kp(x)k 6 kxk).

3) Familles orthonormalesDé�nition.Une famille orthonormale est libre.

Calcul dans une base orthonormale : soit (e1; : : : ; en) une suite orthonormale et F = he1; : : : ; eni.Donc (e1; : : : ; en) est une base orthonormale de F .(i) Pour x 2 F , on a x =

Pi(eijx)ei.

(ii) Pour x; y 2 F , on a (x j y) =Pi(ei j x)(ei j y).(iii) Pour x1; : : : ; xn 2 F , Gram(x1; : : : ; xn) = tMM avec M = Mat(e1;:::;en)(x1; : : : ; xn).

En particulier, det(Gram(x1; : : : ; xn)) = det(e1;:::;en)(x1; : : : ; xn)2. Cette quantité ne dépend pas

de la base orthonormale (e1; : : : ; en) de F choisie.(iv) Si (x1; : : : ; xn) est une base orthonormale de F alors det(e1;:::;en)(x1; : : : ; xn) = �1 (réciproque

fausse).

Théorème de Schmidt : soit (u1; u2; : : : ; un; : : :) une suite �nie ou in�nie de vecteurs de E linéairementindépendants. Alors il existe une suite orthonormale (e1; e2; : : : ; en; : : :) de même cardinal véri�ant :8 i; he1; : : : ; eii = hu1; : : : ; uii. De plus, chaque vecteur ei est unique au signe près et unique si l'onimpose la condition (ei j ui) > 0.

Conséquences(i) Un ev euclidien admet au moins une base orthonormale et toute famille orthonormale peut être

complétée en base orthonormale.(ii) Si E et F sont deux ev euclidiens de même dimension �nie, alors il existe f 2 L(E;F ) bijective

telle que (f(x) j f(y)) = (x j y) pour tous x; y 2 E.(iii) Soit (e1; : : : ; en) une suite orthonormale, F = he1; : : : ; eni et x1; : : : ; xn 2 F .

On a jdet(e1;:::;en)(x1; : : : ; xn)j 6 kx1k : : : kxnk avec égalité si et seulement si un des xi est nul oula famille (x1; : : : ; xn) est orthogonale (inégalité de Hadamard).

(iv) Pour tout produit scalaire sur R[X], il existe une base orthonormale constituée de polynômes dedegrés étagés et chaque terme de cette base est unique au signe près.

page 48 XI � Espaces préhilbertiens

Exemple : polynômes de LegendreOn munit R[X] du produit scalaire dé�ni par (P j Q) = R

[�1;1] PQ. Soit Ln le n-ème polynôme orthogonal

associé, et Qn la n-ème primitive de Ln telle que Q(k)n (�1) = 0 pour k 2 [[0; n[[. Pour P 2 R[X], on a

après intégrations par parties :

(Ln j P ) = (�1)n(Qn j P (n)) +Pn�1k=0 (�1)kP (k)(1)Q(n�k�1)

n (1).

Le résultat doit être nul pour tout polynôme P de degré < n donc Q(n�k�1)n (1) = 0 pour k 2 [[0; n[[.

Ainsi, �1 et 1 sont racines d'ordre au moins n de Qn et comme deg(Qn) = deg(Ln) + n = 2n, il existe�n 2 R� tel que Qn = �n((X2 � 1)n)(n), et l'on peut imposer �n > 0.

De plus, kLnk2 = 1, soit (2n)!�2n

R 1x=�1(1 � x2)n dx = 1. Après une dernière intégration par parties, on

obtient �2n =

(2n+ 1)(2n)2(2n� 1)

�2n�1, soit �

2n =

(2n+ 1)22n+1n!2

et Ln(x) =

pn+ 1=22nn!

� ((X2 � 1)n)(n).

Suite totaleLa suite (ek)k2N est dite totale dans E si elle est orthonormale et si le sous-espace F = hek; k 2 Ni estdense dans E.

Exemple : la suite des polynômes de Legendre est une suite totale dans E = C([�1; 1];R) pour leproduit scalaire usuel car F = R[X] est dense dans E pour k k1 donc aussi pour k k2.Théorème : soit (ek)k2N une suite totale dans E et x; y 2 E. On a :(i) la série

Pk(ek j x)2 est convergente et

Pk(ek j x)2 6 kxk2 (inégalité de Bessel) ;

(ii) (ek j x) �!k!1

0 ;

(iii)Pk(ek j x)2 = kxk2 (égalité de Parseval) ;

(iv) la sériePk(ek j x)(ek j y) converge vers (x j y) ;

(v) la sériePk(ek j x)ek converge vers x.

Application : pour f 2 C([�1; 1];R), on pose cn(f) =R[�1;1] fPn où Pn est le n-ème polynôme

de Legendre. Alors cn(f) �!n!1

0,P1n=0 c

2n(f) =

R[�1;1] f

2 et kf �Pnk=0 ck(f)Pkk2 �!n!1

0.

Exemple avec f(t) = et.

Théorème de Riesz : soit E un ev euclidien et f 2 L(E;R). Alors il existe a 2 E unique tel que :8x 2 E, f(x) = (a j x).

4) Endomorphismes orthogonauxf : E ! E est orthogonal si 8x; y 2 E, (f(x) j f(y)) = (x j y).L'ensemble des applications orthogonales est noté O(E).Exemples : � id, symétrie orthogonale, ré�exion, P 7! X

p3P (X3) sur R[X] pour le produit scalaire

dé�ni par (P j Q) = R[�1;1] PQ.

Propriétés(i) Toute application orthogonale est linéaire et injective. Lorsque E est de dimension �nie, c'est un

isomorphisme.(ii) La composée d'endomorphismes orthogonaux et la réciproque d'un endomorphisme orthogonal

bijectif sont des endomorphismes orthogonaux. Lorsque E est de dimension �nie, O(E) est unsous-groupe de GL(E) (groupe orthogonal de E).

(iii) Un endomorphisme orthogonal conserve la norme, les distances et les angles non orientés devecteurs non nuls. Une application linéaire conservant la norme et une application conservantles distances et le vecteur nul sont des applications orthogonales.

(iv) Si B est une base orthonormale de E alors f est orthogonal ()M = MatB(f) 2 O(n), c'est-à-dire tMM = In. Dans ce cas, MatB(f�1) = tM (réciproque vraie) et det(f) = �1 (réciproquefausse).

(v) Si dim(E) = n alors les groupes O(E) et O(n) sont isomorphes, de même que les sous-groupesO+(E) et O+(n).


(vi) En dimension �nie, le déterminant d'une ré�exion est égal à �1 et le déterminant d'une composéede p ré�exions est égal à (�1)p.

(vii) Les seules valeurs propres possibles pour un endomorphisme orthogonal sont �1. Lorsque �1 et 1sont e�ectivement valeurs propres, les sous-espaces propres associés sont orthogonaux.

(viii) Si f est orthogonal et F est un sev stable par f alors fjF est orthogonal. De plus, si F est dedimension �nie alors F? est aussi stable par f .

Génération par les réflexions : soit E euclidien de dimension n, f 2 O(E), F = Ker(f � id)et p = n � dim(F ). Alors il existe des ré�exions s1; : : : ; sp telles que f = s1 � : : : � sp. De plus, sif = �1 � : : : � �q est une décomposition quelconque de f en ré�exions, alors q > p et q � p mod 2.

DémonstrationExistence d'une décomposition par récurrence sur p. Pour p > 1, soit a 2 EnF , s la ré�exion de directionhf(a)� ai qui échange a et f(a), et g = s � f . On a g 2 O(E) et G = Ker(g � id) = F � hai (par doubleinclusion), d'où n� dim(G) = p� 1, g = s2 � : : : � sp et f = s � g = s � s2 � : : : � sp.Minimalité de p : si H1; : : : ; Hq sont les hyperplans des ré�exions �1; : : : ; �q alors H1\ : : :\Hq � F , doncH?

1 + : : :+H?q � F?. Alors p = dim(F?) 6 dim(H?

1 + : : :+H?q ) 6 dim(H?

1 ) + : : :+ dim(H?q ) = q.

Application : description de O(E) lorsque dim(E) 6 3.(i) dim(E) = 0 : O(E) = fidg.(ii) dim(E) = 1 : O(E) = f� idg.(iii) dim(E) = 2 : O�(E) = fré�exionsg et O+(E) = fcomposées de deux ré�exionsg = frotationsg.

La matrice d'une ré�exion dans une base orthonormale de E est de la forme S� =�

cos � sin �

sin � � cos �

�avec � 2 R. L'axe de ré�exion est engendré par le vecteur cos( 12�)e1 + sin( 12�)e2.

La matrice d'une rotation dans une base orthonormale de E est de la forme R� =�

cos � � sin �

sin � cos �

�avec � 2 R. Cette matrice est identique dans toutes les bases orthonormales de E ayant mêmeorientation et f est appelée : rotation d'angle �� (le signe est �xé par le choix d'une orientationde E).

Soit J =�0 �1

1 0

�(matrice d'un quart de tour) et � 2 R. Alors exp(�J) = R�.

(iv) dim(E) = 3 : O+(E) = fcomposées de deux ré�exionsg = frotationsg et O�(E) = �O+(E).

Si f est une rotation, il existe une base orthonormale (e1; e2; e3) dans laquelle Mat(f) =�R� 0

0 1

�avec � 2 R. Lorsque f 6= id, on a Ker(f � id) = he3i, et f est appelée : rotation autour de he3id'angle �� (le signe est �xé par le choix d'une orientation de he1; e2i = he3i?).f = id est une rotation d'angle nul autour de n'importe quel axe.

tr(f) = 1+2 cos � et f(x) = (cos �)x+(1�cos �)(e3 j x)e3+(sin �)(e3^x) si (e1; e2; e3) est directe.Soit g(x) = e3 ^ x. Alors f = exp(�g).

Toute rotation peut être décomposée en deux demi-tours (= rotation d'angle �). L'axe de l'un deces demi-tours peut être choisi arbitrairement parmi les droites vectorielles du plan de rotation.

Si�f est une rotation, il existe une base orthonormale (e1; e2; e3) dans laquelle Mat(f) =�R� 0

0 �1

�avec � 2 R. Lorsque f 6= � id, on a Ker(f + id) = he3i, et f est appelée : anti-rotation autourde he3i d'angle �� (le signe est �xé par le choix d'une orientation de he1; e2i = he3i?).f = � id est une anti-rotation d'angle � autour de n'importe quel axe.

On a : tr(f) = �1 + 2 cos � et f(x) = (cos �)x� (1 + cos �)(e3 j x)e3 + (sin �)(e3 ^ x) si (e1; e2; e3)est directe.


Diagonalisation par blocsSoient E un ev euclidien non nul et f 2 L(E) un endomorphisme orthogonal. Alors il existe des plansvectoriels P1; : : : ; Pk stables par f tels que E = P1�: : :�Pk�Ker(f�id)�Ker(f+id) (somme orthogonale)et fjPi est une rotation d'angle ��i avec �i 2 R n �Z. En conséquence, il existe une base B orthonormaledans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs : MatB(f) = Diag(R�1 ; : : : ; R�k ; 1; : : : ; 1;�1; : : : ;�1).Réciproquement, tout endomorphisme de E ayant une telle matrice dans une base orthonormale est unendomorphisme orthogonal.

Démonstration : le sous-espace F = (Ker(f � id)�Ker(f + id))? est stable par f et par construction,fjF n'a pas de valeur propre. Si F = f0g, on obtient la décomposition annoncée avec k = 0. Sinon,soitQ 2 R[X] un facteur unitaire irréductible de �f jF : Q est sans racine donc de la formeQ = X2��X��avec �2 + 4� < 0, et Q(fjF ) est non injectif, sinon �f jF ne serait pas minimal. Soit a 2 F n f0g tel quef2(a) = �f(a) + �a et P = ha; f(a)i : P est stable par f , P est un plan car (a; f(a)) est libre et fjP estun endomorphisme orthogonal de P sans valeur propre ; c'est une rotation d'angle non multiple de �. SiP = F , la décomposition est terminée. Sinon, on poursuit avec la restriction de f à l'orthogonal de Pdans F .

Conséquences : soit E un ev euclidien et f 2 O(E). On a :(i) det(f) = (�1)dim Ker(f+id).(ii) Si f 2 O�(E) alors �1 est valeur propre de f .(iii) Si f 2 O+(E) et n est impair alors 1 est valeur propre de f .(iv) f peut être décomposée en deux symétries orthogonales.(v) Toute matrice orthogonale de déterminant 1 est l'exponentielle d'une matrice antisymétrique (non

unique si n > 2). Réciproquement, l'exponentielle d'une matrice antisymétrique est orthogonalede déterminant 1.

(vi) O+(n) et O�(n) sont connexes par arcs.

5) Endomorphismes symétriquesf : E ! E est symétrique si 8x; y 2 E, (f(x) j y) = (x j f(y)).Exemples : homothétie, projection et symétrie orthogonales, f + f�1 pour f 2 O(E), P 7! XP etP 7! ((X2 � 1)P 0)0 sur R[X] pour le produit scalaire dé�ni par (P j Q) = R

[�1;1] PQ.

PropriétésToute application symétrique est linéaire.Si B est une base orthonormale de E alors f est symétrique ()MatB(f) est une matrice symétrique.Les endomorphismes symétriques forment un sev de L(E). Si dim(E) = n, sa dimension est 1

2n(n+ 1).Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.Si f est symétrique et F est un sev stable par f alors fjF est symétrique. De plus, F? est aussi stablepar f .Les endomorphismes à la fois symétriques et orthogonaux sont les symétries orthogonales.

Théorème spectral : soient E un ev euclidien et f 2 L(E) symétrique. Alors E est la somme orthogo-nale des sous-espaces propres de f et il existe une base orthonormale B propre pour f . Réciproquement,tout endomorphisme admettant une base orthonormale propre est symétrique.

Démonstration de E =L

�Ker(f�� id) : soit F cette somme (orthogonale donc directe) ; on supposeque F 6= E. Donc F? est un sev non nul, stable par f et dans lequel f n'a pas de valeur propre. Onnote S la sphère unité de F?, q(x) = (f(x) j x) et a 2 S tel que q(a) = maxfq(x); x 2 Sg. Si b 2 S estorthogonal à a alors pour t 2 R,

0 6 q(a)� q(a cos t+ b sin t) = (q(a)� q(b)) sin2 t� 2(f(a) j b) cos t sin t.Comme f(a) n'est pas colinéaire à a, on peut trouver b ? a tel que (f(a) j b) > 0, et on obtient unecontradiction en considérant t proche de 0+.


Exemple : on considère l'endomorphisme f = P 7! ((X2 � 1)P 0)0 sur Rn[X], qui est symétrique pourle produit scalaire dé�ni par (P j Q) = R

[�1;1] PQ. La matrice de f dans la base canonique de Rn[X] esttriangulaire supérieure avec pour valeurs propres les nombres k(k+ 1), k 2 [[0; n]]. Donc les sous-espacespropres sont de dimension 1 et un polynôme propre Pk associé à la valeur propre k(k+1) est de degré k.Alors la suite (Pk) est orthogonale de degrés étagés, donc Pk est à un coe�cient multiplicatif près égalau k-ème polynôme de Legendre.

Ainsi, Ln est solution de l'équation di�érentielle : ((x2 � 1)y0)0 = n(n+ 1)y.

Conséquences(i) d

dx (n(n+ 1)L2n(x) + (1� x2)L02n (x)) = 2xL02n (x) est du signe de x. On en déduit, pour x 2 [0; 1] :

L2n(x) 6 L2

n(1) = n+ 1=2, et de même pour x 2 [�1; 0] par parité.(ii) Soit f : [�1; 1]! R de classe C2 et cn(f) le n-ème coe�cient de Legendre de f .

On a n(n+1)cn(f) = cn(g) avec g(t) = ddt ((t

2 � 1)f 0(t)). En particulier, la suite de terme généraln(n + 1)cn(f) est de carré sommable et comme maxfjLn(x)j; x 2 [�1; 1]g =

pn+ 1=2, la sérieP1

k=0 ck(f)Lk converge normalement vers f sur l'intervalle [�1; 1].Majoration explicite : kPn

k=0 ck(f)Lk � fk1 6P1k=n+1 jck(f)j

pk + 1=2

6

qP1k=n+1 k

2(k + 1)2c2k(f)qP1

k=n+1k+1=2k2(k+1)2

6 kgk2qP1

k=n+1(1

2k2 � 12(k+1)2 )

6kgk2

(n+ 1)p2.

Version matricielle du théorème spectral : soitM 2Mn(R) symétrique. Alors il existe une matriceP 2 O(n) telle que P�1MP = tPMP est diagonale.

Remarque : il existe des matrices symétriques complexes non diagonalisables, par exemple�1 i

i �1

�.

6) Endomorphismes antisymétriques (HP)f : E ! E est antisymétrique si 8x; y 2 E, (f(x) j y) = �(x j f(y)).Exemples : quart de tour dans un plan, f � f�1 pour f 2 O(E), P 7! (X2� 1)P 0+XP sur R[X] pourle produit scalaire dé�ni par (P j Q) = R

[�1;1] PQ.

PropriétésL'application nulle est la seule qui soit à la fois symétrique et antisymétrique.Toute application antisymétrique est linéaire.Le carré d'une application antisymétrique est symétrique (réciproque fausse).si f 2 L(E), alors f est antisymétrique si et seulement si 8x 2 E, f(x) ? x (faux sans la linéarité de f).Si B est une base orthonormale de E alors f est antisymétrique ()MatB(f) est une matrice anti-symétrique.Les endomorphismes antisymétriques forment un sev de L(E). Si dim(E) = n, sa dimension est 1

2n(n�1).La seule valeur propre possible pour un endomorphisme antisymétrique est 0. Lorsque E est de dimension�nie impaire, alors 0 est e�ectivement valeur propre et f est non bijectif.Si f est antisymétrique et F est un sev stable par f alors fjF est antisymétrique. De plus, F? est aussistable par f .

Diagonalisation par blocsSoient E un ev euclidien non nul et f 2 L(E) un endomorphisme antisymétrique. Alors il existe desplans vectoriels P1; : : : ; Pk stables par f tels que E = P1 � : : : � Pk � Ker(f) (somme orthogonale)et fjPi est la composée d'une homothétie et d'un quart de tour. En conséquence, il existe une base Borthonormale dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs : MatB(f) = Diag(A1; : : : ; Ak; 0; : : : ; 0)

avec Ai =�

0 �ai

ai 0

�et ai 2 R�. Réciproquement, tout endomorphisme de E ayant une telle matrice

dans une base orthonormale est un endomorphisme antisymétrique.


ConséquencesEn dimension �nie, un endomorphisme antisymétrique est de rang pair.En dimension 3, les endomorphismes antisymétriques sont les applications de la forme x 7! a ^ x aveca 2 E, entièrement déterminé par l'endomorphisme considéré.


XII — Séries entières

1) Rayon de convergenceUne série entière est une série de fonctions d'une variable complexe z de la forme A(z) =

Pn anz

n avec(an) 2 CN. Le domaine de convergence est D = fz 2 C tq

Pn anz

n convergeg et le rayon de convergenceest R = supfjzj tq z 2 Dg 2 [0;+1] (bien dé�ni car 0 2 D).

Lemme d’Abel : soit z0 2 C tel que la suite (anzn0 ) est bornée. Alors pour tout z 2 C tel que jzj < jz0j,la série

Panz

n est absolument convergente.

Conséquence : pour jzj < R,P

anzn converge absolument et pour jzj > R,

Panz

n diverge grossière-ment. Ainsi, �D(0; R) � D � D(0; R). �D(0; R) est appelé disque ouvert de convergence et ]�R;R[ estappelé intervalle ouvert de convergence.

Exemples :P

zn,P

zn=n (multiplier par 1� z sur le cercle unité),P

zn=n!,P

n! zn.

Calcul du rayon de convergenceR = supfr > 0 tq (anrn) est bornée g.(an) est bornée ) R > 1 ;

P janj diverge ) R 6 1.Si an = O(bn) alors Ra > Rb ; si an � bn alors Ra = Rb.Les séries

Panz

n etP

nanzn ont même rayon de convergence.

Si an 6= 0 pour tout n et jan+1=anj �!n!1

` 2 [0;+1] alors R = 1=` (règle de D'Alembert, réciproque

fausse).

Exemples :P

zn=n(n+ 1),P

Hnzn,P�

2nn

�zn,

P(n-ème décimale de �)zn.

2) Opérations sur les séries entières

Soient A(z) =Pn anz

n et B(z) =Pn bnz

n deux séries entières de rayons Ra, Rb.(i) La série entière

P(an + bn)zn a un rayon Rc > min(Ra; Rb) et pour jzj < min(Ra; Rb) :P

n(an + bn)zn = A(z) +B(z). Lorsque Ra 6= Rb, on a Rc = min(Ra; Rb).(ii) Soit cn =

Pi+j=n aibj . La série

Pcnz

n a un rayon Rc > min(Ra; Rb) et pour jzj < min(Ra; Rb),on a

Pn cnz

n = A(z)B(z). On peut avoir Rc > min(Ra; Rb) même si Ra 6= Rb.(iii) Si b0 6= 0 il existe une unique suite (cn) telle que

Pi+j=n bicj = an. Si de plus Ra > 0 et Rb > 0

alors Rc > 0 et pour jzj < min(Ra; Rb; Rc) on aPn cnz

n = A(z)=B(z) (division, HP).

Démonstration pour la division : la relationPi+j=n bicj = an dé�nit de proche en proche la

suite (cn) par : b0cn = an �Pn�1j=0 bn�jcj . Supposons à présent Ra > 0 et Rb > 0. On choisit des

nombres � > 0; � > 0 tel que les suites (an�n) et (bn�n) soient bornées en module par un même réel M .Soit 2 ]0;min(�; �)[ tel que M

P1k=1( =�)

k = M =(� � ) < jb0j (donc si jzj 6 , B(z) existe etB(z) 6= 0). On prouve par récurrence que la suite (cn n) est bornée en module par un certain réel N àdé�nir.

n = 0 : prendre N > ja0j=jb0j ;0; : : : ; n� 1) n : jb0jjcn nj 6M( =�)n +MN

Pn�1j=0 ( =�)

n�j 6M +MN =(� � ) 6 N jb0jsi N(jb0j �M =(� � )) >M (ce qui implique alors N jb0j >M > ja0j).

Cas où le rayon du produit est plus grand que les rayons des facteurs : (1 + 11�z )(1� 1=2

1�z=2 ) = 1.

page 54 XII � Séries entières

3) Propriétés analytiques

Soit A(z) =Pn anz

n une série entière de rayon R > 0.(i) La série converge normalement sur tout compact de �D(0; R), en particulier sur tout disque fermé

D(0; r) avec 0 < r < R.(ii) La fonction A est continue sur �D(0; R).

(iii) Pour z0 2 �D(0; R), on aA(z)� A(z0)

z � z0�!z!z0

P1n=1 nanz

n�10 =

P1n=0(n+ 1)an+1z

n0 = A0(z0).

(iv) La fonction A est indé�niment dérivable sur �D(0; R) et

A(p)(z) =P1n=p n(n� 1) : : : (n� p+ 1)anzn�p =

P1n=0(n+ 1) : : : (n+ p)an+pzn

(série entière de rayon R).

(v) Pour x 2 ]�R;R[, R xt=0

A(t) dt =P1n=0

anxn+1

n+ 1(série entière en x de rayon R).

Conséquences(i) A(p)(0) = p! ap.(ii) A(z) =

Ppn=0 anz

n +O(zp+1).(iii) Si B(z) =

Pn bnz

n est une série entière telle que 9 r > 0 tq 8x 2 ]0; r[, A(x) = B(x) alors lessuites (an) et (bn) sont égales et A(z) = B(z) pour tout complexe z tel que l'une des deux sériesconverge (principe d'unicité des coe�cients d'une série entière).

Analycité (HP) : Soit A(z) =Pn anz

n une série entière de rayon R > 0 et z0 2 �D(0; R). Lasérie entière

P1n=0A

(p)(z0)zp=p! a un rayon au moins égal à R � jz0j et pour jzj < R � jz0j, on aP1n=0A

(p)(z0)zp=p! = A(z0 + z).

Lemme du zéro isolé (HP) : Soit A(z) =Pn anz

n une série entière de rayon R > 0 et z0 2 �D(0; R).Si la suite (an)n>1 n'est pas la suite nulle, il existe r > 0 tel que pour tout z 2 �D(z0; r) n fz0g, on aA(z) 6= A(z0). En particulier, lorsque deux séries entières coïncident au voisinage d'un point quel qu'ilsoit, alors elles sont formellement égales et donc égales en tout point du domaine de convergence.

4) Développements en série entière

Définition : soient I un intervalle ouvert non trivial, f : I ! C et x0 2 I. On dit que f est analytiqueau voisinage de x0 s'il existe une série entière A(z) =

Pn anz

n de rayon non nul et un réel r > 0 tels que8h 2 ]�r;+r[, f(x0 + h) = A(h). On dit que f est analytique sur I si elle est analytique au voisinagede tout point de I.

Une fonction analytique est de classe C1 et son développement en série entière au voisinage de x0 estunique : c'est son développement de Taylor. Donc pour f : I ! C de classe C1 et x0 2 I donnés, il ya trois cas possibles.(i) La série de Taylor de f en x0 a un rayon nul : f n'est pas analytique au voisinage de x0.(ii) La série de Taylor de f en x0 a un rayon non nul mais sa somme n'est pas égale à f au voisinage

de x0 : f n'est pas analytique au voisinage de x0.(iii) La série de Taylor de f en x0 a un rayon R > 0 et sa somme coïncide avec f sur ]x0� r; x0+ r[ :

f est analytique au voisinage de x0. Il se peut que r < R.

Exemples pour (i) et (ii) :P1n=0 cos(n

2x)=2n, e�1=x+

.

Développements en série entière usuelsexp, ch, sh, cos, sin les étendre à C.ln, arctan, argth par développement de la dérivée.binôme par équation di�érentielle, étendre (1� x)�1=2 à �D(0; 1) avec

Pi+j=n

�2ii

� �2jj

�= 4n.

arcsin, argsh par développement de la dérivée.fraction rationnelle

Pn

�n+pp

�zn = (1� z)�p�1.

XII � Séries entières page 55

tan et th (HP) : soit (ak) la suite dé�nie par a0 = 0, a1 = 1, et (n+ 1)an+1 =Pnk=0 akan�k. On a :

(i) pour tout n pair, an = 0 ;(ii) pour tout n, tan(n)(0) = n! an et th(n)(0) = (�1)b(n�1)=2cn! an ;(iii) la série entière T (z) =

P1n=0 anz

n a un rayon R > �2 et pour x 2 [0; �2 [, T (x) 6 tanx ;

(iv) pour x 2 ]� �2 ;

�2 [, T

0(x) = 1 + T 2(x) ;(v) pour x 2 ]� �

2 ;�2 [, T (x) = tanx ;

(vi) pour x 2 ]� �2 ;

�2 [, T (ix) = i thx ;

(vii) R = �2 .

5) Application des séries entières

a) Calcul numériquejez �PN

n=0 zn=n!j 6 jzjN+1ejzj=(N + 1)!.

Pour N = 10, on obtient une approximation uniforme de expj[�1;1] à 7:10�8 près.

j ln(1 + x)�PNn=1(�1)n+1xn=nj 6 jxjN+1=(N + 1).

Pour N = 10, on obtient une approximation uniforme de lnj[ 12 ; 32 ] à 5:10�5 près.

j(1 + x) ln(1 + x)� x+PNn=2(�1)n+1xn=n(n� 1)j 6 jxjN+1=N(N + 1).

Pour N = 10, on obtient une approximation uniforme de lnj[ 12 ; 32 ] à 9:10�6 près.

j ln( 1+x1�x )� 2PNn=0 x

2n+1=(2n+ 1)j 6 2jxj2N+3=(2N + 3)(1� x2).Pour N = 10, on obtient une approximation uniforme de lnj[ 12 ;2] à 11:10�13 près.

b) Résolution d’équations différentiellesy DSE et x(x� 1)y00 + 3xy0 + y = 0() y = �x=(1� x)2.

c) Résolution d’équations de récurrence

Énoncé : une particule se déplace au hasard dans un tube ouvert d'un côté et in�ni de l'autre.A chaque instant elle avance ou recule d'un pas, mais si elle sort du tube alors elle s'échappedé�nitivement. Sachant qu'au départ elle est à l'entrée du tube et que les choix de déplacementsont mutuellement indépendants, calculer la probabilité pour qu'au bout de n instants: : :(i) elle soit à nouveau à l'entrée du tube ;

(ii) elle soit encore dans le tube.

Réponse : soient an et bn les nombres de cas favorables pour (i) et pour (ii), et A(z) =P1n=0 anz

n,B(z) =

P1n=0 bnz

n. Ces séries ont des rayons au moins égaux à 12 car 0 6 an 6 2n et 0 6 bn 6 2n.

Considérons une suite de n déplacements conformes à (i) et soit k le premier instant après le départoù la particule est à nouveau à l'entrée du tube. Entre-temps, elle a avancé dans le tube d'un pas,n'est jamais revenue en deçà, et est revenue là à l'instant k�1. Après l'instant k, la particule e�ectueune suite de n � k déplacements conformes à (i). Donc, pour n > 2, on a an =

Pnk=2 ak�2an�k en

convenant que a0 = 1.

Considérons une suite de n déplacements conformes à (ii) et soit k le dernier instant où la particuleest à l'entrée du tube. La suite des k premiers déplacements est conforme à (i), puis la particuleavance d'un pas et la suite des n�k� 1 derniers déplacements est conforme à (ii). Donc, pour n > 1,on a bn =

Pn�1k=0 akbn�k�1 + an en convenant que b0 = 1.

On multiplie ces relations par xn avec � 12 < x < 1

2 puis on somme. Il vient : A(x) = 1 + x2A(x)2 etB(x) = xA(x)B(x) + A(x), d'où

A(x) = 1�p1� 4x22x2

=P1n=0

1n+1

�2nn

�x2n ;

B(x) = 12x

�1 + 2xp1� 4x2

� 1�=P1n=0

��2nn

�x2n + 1

2

�2n+2n+1

�x2n+1

�.

page 56 XII � Séries entières

Par unicité des coe�cients d'une série entière, on a a2n = 1n+1

�2nn

�, a2n+1 = 0, b2n =

�2nn

�et

b2n+1 = 12

�2n+2n+1

�. Les probabilités demandées s'en déduisent.

XII � Séries entières page 57

XIII — Sommabilité

1) Ensembles dénombrables

Définition : un ensemble I est dit dénombrable lorsqu'il existe ' : N! I bijective. Une telle fonctionest appelée énumération de I.

Exemples : N, Z, N2. Tout ensemble in�ni contient un sous-ensemble dénombrable.

Ensembles infinis non dénombrables : R, P(N) et AN avec card(A) > 2 ne sont pas dénombrables.

Démonstrations :R : soit ' : N ! R quelconque. On construit de proche en proche deux suites (an), (bn) adjacentes

telles que [an; bn] \ '([[0; n]]) = ?. La limite commune n'a pas d'antécédent par '.

P(N) : soit ' : N! P(N) et A = fn tq n =2 '(n)g alors A n'a pas d'antécédent par '.

AN : soit ' : N ! AN, et a; b 2 A distincts. La suite (un) dé�nie par un = b si '(n)n = a et un = asinon n'a pas d'antécédent par '.

Caractérisation des ensembles finis ou dénombrables : l'ensemble I est �ni ou dénombrable si etseulement s'il existe une suite (In)n2N de parties �nies de I telle que I = [nIn. On peut imposer à lasuite (In) d'être croissante.

ConséquencesToute partie de N est �nie ou dénombrable ; toute partie d'un ensemble �ni ou dénombrable est �nie oudénombrable.Un ensemble non vide est �ni ou dénombrable si et seulement s'il existe une injection de I dans N.Si I1; : : : ; In sont �nis ou dénombrables alors I1 � : : :� In l'est.Q est dénombrable : In = fp=q tq jpj 6 n et 1 6 q 6 ng.La réunion d'une suite d'ensembles �nis ou dénombrables est �nie ou dénombrable.Q[X] et l'ensemble des nombres algébriques sont dénombrables. Il existe donc une in�nité non dénom-brable de réels transcendants.

2) Famille sommable de réels positifs

Définition : soit (ai) une famille de réels positifs. On pose :Pi2I ai = supfai1 + : : :+ ain tq i1; : : : ; in 2 I sont distinctsg.

Cette borne supérieure existe toujours dans [0;+1] en convenant que la somme d'une famille vide estégale à 0. On dit que la famille (ai) est sommable lorsque

Pi2I ai < +1.

ExemplesToute famille à support �ni est sommable.Si (an)n2N est une suite de réels positifs alors

Pn2N an =

P1n=0 an. En particulier la suite est sommable

si et seulement si la sérieP

an est convergente.Soit I un ensemble dénombrable et ' : N ! I une énumération de I. Pour toute famille (ai)i2I deréels positifs, on a

Pi2I ai =

P1n=0 a'(n). En particulier la quantité

P1n=0 a'(n) ne dépend pas de

l'énumération de I choisie.

Comparaison : soient (ai)i2I et (bi)i2I deux familles de réels positifs telles que 8 i 2 I, ai 6 bi. AlorsPi2I ai 6

Pi2I bi. En particulier, si la famille (bi) est sommable alors la famille (ai) l'est aussi.

Sommation par paquets, cas réel positif : soient I = [k2KIk une partition de I et (ai)i2I une famillede réels positifs. On a :

Pi2I ai =

Pk2K(

Pi2Ik ai). En particulier, la famille (ai)i2I est sommable si

et seulement chaque sous-famille (ai)i2Ik l'est et si la famille des sommes (Pi2Ik ai)k2K est elle aussi

sommable.

page 58 XIII � Sommabilité

Démonstration on note S =Pi2I ai, Sk =

Pi2Ik ai et S

0 =Pk2K Sk.

Si S < +1 : toute somme �nie dont les indices appartiennent à un même Ik est majorée par S donc pardé�nition, Sk 6 S. Pour " > 0, on note Ik(") un sous-ensemble �ni de Ik tel que Sk�" 6

Pi2Ik(") ai 6 Sk.

Considérons alors k1; : : : ; kn 2 K distincts. On aPk2fk1;:::;kng(Sk � ") 6

Pk2fk1;:::;kng

Pi2Ik(") ai 6 S.

En faisant tendre " vers 0+, on obtientPk2fk1;:::;kng Sk 6 S puis par dé�nition : S0 6 S.

Si S0 < +1 : soient i1; : : : ; in 2 I distincts et k1; : : : ; kn 2 K tels que i1 2 Ik1 ,: : : ,in 2 Ikn . On aai1 + : : : + ain 6

Pk2fk1;:::;kng Sk 6 S0 d'où S 6 S0. Ainsi S = S0 quand l'un des deux est �ni, et aussi

quand ils sont tous deux in�nis.

Conséquences(i) Soit (ai)i2I une famille de réels positifs et f : I ! X. On a

Pi2I ai =

Px2X(

Pf(i)=x ai).

(ii) Si la famille (ai) est sommable alors son support : fi 2 I tq ai 6= 0g est �ni ou dénombrable.(iii) On a

P(p;q)2N2 apq =

P1p=0

P1q=0 apq =

P1q=0

P1p=0 apq =

P1n=0

Pp+q=n apq pour toute suite

double de réels positifs. En particulier la suite double est est sommable si et seulement si la sériedouble

Pp

Pq apq est convergente.

3) Famille sommable de vecteurs

Définition : soient E un espace vectoriel normé de dimension �nie, (ai)i2I une famille d'éléments de Eet S 2 E. On dit que la famille (ai) est sommable et a pour somme S si pour tout réel " > 0, ilexiste des indices j1; : : : ; jk 2 I distincts tels que pour toute partie J 2 I �nie contenant j1; : : : ; jk, on akPj2J aj � Sk 6 ". Dans ce cas, S est unique et on note

Pi2I ai = S.

PropriétésToute famille à support �ni est sommable.Pour une famille de réels positifs, les deux dé�nitions de la sommabilité et de la somme coïncident.La sommabilité et la valeur de la somme ne dépendent pas de la norme choisie sur E.Linéarité, calcul coordonnée par coordonnée dans une base de E, composition par une application linéaire.

Théorème : soit (ai)i2I 2 EI . Les énoncés suivants sont équivalents.(i) La famille (ai)i2I est sommable.(ii) L'ensemble des sommes �nies fai1 + : : :+ ain ; i1; : : : ; in 2 I distincts g est borné.(iii) La famille (kaik)i2I est sommable.Lorsqu'ils sont véri�és, on a kPi2I aik 6

Pi2I kaik.

Démonstration(i) ) (ii) : soit " = 1 et j1; : : : ; jk les indices correspondants dans la dé�nition de la sommabilité. Sii1; : : : ; in 2 I sont des indices distincts, on a kPi2fi1;:::;ing ai +

Pi2fj1;:::;jkgnfi1;:::;ing ai � Sk 6 " donc

kPi2fi1;:::;ing aik 6 kSk+ "+max(kPi2P aik; P � fj1; : : : ; jkg).(ii) ) (iii) : soit B = (e1; : : : ; ep) une base de E. On note aij la j-ème coordonnée de ai dans la base Bet Aj = fi 2 I tq aij > 0g. L'ensemble des sommes �nies ai1;j + : : :+ ain;j avec i1; : : : ; in 2 Aj distinctsest borné, donc la famille (aij)i2Aj est sommable, au sens de la sommabilité pour des réels positifs. Demême, si Bj = fi 2 I tq aij < 0g, la famille (�aij)i2Bj est sommable. Avec le théorème de sommationpar paquets cas réel positif, la famille (jaij j)i2I est sommable. Finalement, la famille (kaijk1;B)i2I estsommable.

(iii)) (i) : on reprend la base B et les familles (aij). Comme 0 6 aij+jaij j 6 2jaij j, la famille (aij+jaij j)est sommable, donc la famille (aij) aussi.

Inégalité triangulaire : soit " > 0 et j1; : : : ; jk 2 I distincts tels que kPi2fj1;:::;jkg ai � Sk 6 ". DonckSk 6 kPi2fj1;:::;jkg aik+ " 6

Pi2fj1;:::;jkg kaik+ " 6

Pi2I kaik+ " et on fait tendre " vers 0+.

ConséquencesLe support d'une famille sommable est �ni ou dénombrable.

XIII � Sommabilité page 59

Soit I un ensemble in�ni dénombrable, ' une énumération de I et (ai) 2 EI . La famille (ai) est sommablesi et seulement si la série

Pa'(n) est absolument convergente. Dans ce cas,

Pi2I ai =

P1n=0 a'(n). En

particulier le vecteurP1n=0 a'(n) ne dépend pas de l'énumération de I choisie.

Sommation par paquets, cas vectoriel : soient I = [k2KIk une partition de I et (ai)i2I une famillesommable de vecteurs. Alors pour tout k 2 K la sous-famille (ai)i2Ik est sommable et la famille dessommes est elle aussi sommable. De plus,

Pi2I ai =

Pk2K(

Pi2Ik ai).

Démonstration : décomposer dans une base et ajouter les valeurs absolues.

ConséquencesSi (ai)i2I est sommable alors pour toute fonction f : I ! X on a

Pi2I ai =

Px2X(

Pf(i)=x ai).

Une suite double (apq)(p;q)2N2 est sommable si et seulement si la série doublePp

Pq kapqk est convergente.

Dans ce cas,P

(p;q)2N2 apq =P1p=0

P1q=0 apq =

P1q=0

P1p=0 apq =

P1n=0

Pp+q=n apq.

Produit de deux familles sommables : soient (ai) 2 EI1 , (bj) 2 EJ2 et B : E1 � E2 ! E uneapplication bilinéaire entre ev de dimensions �nies. Si les familles (ai) et (bj) sont sommables alors lafamille (B(ai; bj))(i;j)2I�J l'est et on a :

P(i;j)2I�J B(ai; bj) = B(

Pi2I ai;

Pj2J bj).

4) Applications des familles sommables (HP)

a) Continuité, dérivabilité

Lemme : si (Ik)k2K est une famille d'intervalles de R non triviaux et deux à deux disjoints alors Kest �ni ou dénombrable.

Démonstration : si J est un intervalle borné, on note `(J) sa longueur avec par convention `(?) = 0.Pour tout segment [a; b], la famille (`(Ik \ [a; b]))k2K est sommable de somme 6 b�a donc l'ensembleK[a;b] = fk 2 K tq Ik \ [a; b] 6= ?g est �ni ou dénombrable. Et K =

Sn>1K[�n;n].

Théorèmes : soit I un intervalle non trivial et f : I ! R.(i) Si f est monotone, l'ensemble de ses points de discontinuité est �ni ou dénombrable.(ii) Si f est convexe, l'ensemble de ses points de non dérivabilité est �ni ou dénombrable.(iii) Si f admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, l'ensemble de ses points

de non dérivabilité est �ni ou dénombrable.

Démonstrations(i) Pour f croissante les intervalles ]f(x�); f(x+)[ où x décrit l'ensemble des points de discontinuité

de f dans�I sont non triviaux et deux à deux disjoints.(ii) Les intervalles ]f 0g(x); f

0d(x)[ où x décrit l'ensemble des points de non dérivabilité de f dans�I

sont non triviaux et deux à deux disjoints.(iii) soient D+ = ft 2 I tq f 0d(t) > f 0g(t)g et D� = ft 2 I tq f 0d(t) < f 0g(t)g. On prouve que D+

est �ni ou dénombrable, la démonstration est analogue pour D�. Pour m 2 R et n 2 N�,considérons les ensembles :

Am = ft 2 I tq f 0d(t) > mg ;Bm = ft 2 I tq f 0g(t) < mg ;Bm;n = ft 2 I tq 8 s 2 I\]t� 1

n ; t[;f(t)�f(s)

t�s 6 mg.

On a Bm �S1n=1Bm;n et D+ =

Sm2Q(Am \ Bm) �

S(m;n)2Q�N�(Am \ Bm;n), donc il su�t

de prouver que Am \ Bm;n est �ni ou dénombrable. Pour cela, on remarque que si t 2 Am,alors il existe �t > 0 tel que pour tout u 2 ]t; t+ �t[, on a f(u)�f(t)

u�t > m. Donc l'intervalle]t; t + min(�t; 1n )[ est disjoint de Bm;n et en particulier les intervalles ]t; t + min(�t; 1n )[ avect 2 Am \Bm;n sont non triviaux et deux à deux disjoints.

Réciproquement, soient I un intervalle non trivial et D = fd0; d1; : : :g une partie dénombrable de�I.(i) f =

Pn2N

12n1[dn;+1[ est croissante et l'ensemble de ses points de discontinuité est exacte-

ment D.

page 60 XIII � Sommabilité

(ii) f = x 7! Pn2N

12n

(x�dn)+1+jdnj est convexe et l'ensemble de ses points de non dérivabilité est

exactement D.

b) Fonction zêta de Riemann

Formule d’Euler : soit P l'ensemble des nombres premiers naturels et soit � 2 ]1;+1[. On aPp2P� ln(1� 1

p� ) = ln(�(�)) où �(�) =Pn>1

1n� . Cette égalité vaut aussi pour � = 1 en convenant

que � ln(�(1)) = �1.

Démonstration : on écrit P = fp1; p2; : : :g (éléments distincts) et on note Ak l'ensemble des entiersnaturels dont tous les diviseurs premiers appartiennent à fp1; : : : ; pkg (par convention, 1 2 Ak). Onmontre alors par récurrence sur k que pour � > 0 quelconque,

Qp2fp1;:::;pkg 1=(1� 1

p� ) =Pn2Ak

1n� .

Ainsi,Pp2fp1;:::;pkg� ln(1� 1

p� ) = ln(Pn2Ak

1n� ). Le premier membre a pour limite

Pp2P� ln(1� 1

p� )par équivalence entre famille sommable et série, s'agissant de réels positifs. Le second membre convergevers ln(

Pn>1

1n� ) par encadrement.

Conséquence :Pp2P

1p = +1 car � ln(1� 1

p ) 62p .

XIII � Sommabilité page 61

XIV — Probabilités

1) Espaces probabilisés

a) VocabulaireUne épreuve aléatoire est une expérience pouvant avoir plusieurs issues et pour laquelle on ne peutpas dire à l'avance quelle issue sera e�ectivement réalisée. L'ensemble des issues est appelé univers.Une tribu est un ensemble T de parties de contenant et stable par complémentaire, par uniondénombrable et intersection dénombrable. Les éléments de T sont appelés évènements.Si E est un ensemble de parties de , l'intersection de toutes les tribus contenant E est la plus petitetribu contenant E . On l'appelle tribu engendrée par E.Deux évènements A;B sont dits incompatibles lorsque A\B = ?. On écrit alors AtB pour A[B.Une probabilité est une application P : T ! [0; 1] telle que P() = 1 et P(

FnAn) =

Pn P(An) pour

toute suite (An) d'évènements deux à deux incompatibles.Un évènement négligeable est un évènement de probabilité nulle.Un évènement presque sûr est un évènement de probabilité 1.Un espace probabilisé est un triplet (; T ;P) véri�ant les axiomes précédents.

b) ExemplesJeu de pile ou face �ni : = fP; Fgn, T = P(), P(A) = 1

2n card(A).Attente du premier succès : = fP; FP; FFP; : : :g [ fFFF : : :g, T = P(), P(F kP ) = 1

2k+1,

P(F1) = 0, P(A) =P!2A P(!).

Jeu de pile ou face in�ni : = fP; FgN, T = la tribu engendrée par les ensembles de la formeAn � avec An � fP; Fgn, P = l'unique probabilité sur T pour laquelle P(An �) = 1

2n card(An).L'existence et l'unicité de P sont admises.

Probabilité sur un univers fini ou dénombrable : soit �ni ou dénombrable et (p!)!2 unefamille de réels positifs telle que

Pw2 p! = 1. Alors la fonction P : P() ! [0; 1] dé�nie par

P (A) =P!2A p! est une probabilité sur P(). Toutes les probabilités sur P() sont de cette forme.

c) Propriétés des probabilités(i) P(?) = 0.(ii) P( n A) = 1� P(A).(iii) Si A � B alors P(A) 6 P(B) et P(B)� P(A) = P(B n A).(iv) P(A [B) + P(A \B) = P(A) + P(B).Si (An) est une suite d'évènements : : :(v) croissante alors P(

SnAn) = limn!1 P(An).

(vi) quelconque alors P(SnAn) 6

Pn P(An).

(vii) négligeables alors P(SnAn) = 0.

(viii) décroissante alors P(TnAn) = limn!1 P(An).

(ix) presque sûrs alors P(TnAn) = 1.

Exemples : au jeu de pile ou face in�ni,(i) P(il sort une in�nité de P) = 1.(ii) P(il sort des séquences arbitrairement longues de P consécutifs) = 1.(iii) P(8n, P est majoritaire pour les n premiers lancers) = 0 (cf. particule dans un tube semi-in�ni).

d) IndépendanceSoit (Ai)i2I une famille d'évènements. On dit qu'ils sont mutuellement indépendants lorsque pourtous indices i1; : : : ; ik 2 I distincts, on a P(Ai1 \ : : : \ Aik) = P(Ai1) : : :P(Aik).

Exemples : au jeu de pile ou face in�ni, soient les évènements An = fle n-ème lancer donne Pg etBn;k = fle n-ème et le k-ème lancers donnent le même résultatg.Alors les évènements (An)n2N sont mutuellement indépendants et pour k 6= n, An; Ak; Bn;k sont deuxà deux indépendants, mais non mutuellement indépendants.Pour l'attente du premier succès, les évènements An et Ak ne sont pas indépendants.

page 62 XIV � Probabilités

Propriétés : si les évènements (Ai)i2I sont mutuellement indépendants alors : : :(i) toute sous-famille est constituée d'évènements mutuellement indépendants.(ii) toute famille obtenue en remplaçant certains Ai par leurs complémentaires est constituée

d'évènements mutuellement indépendants.(iii) lorsque I est �ni ou dénombrable, P(

TiAi) =

Qi P(Ai) (borne inférieure des produits �nis).

(iv) toute famille obtenue en intersectant (resp. réunissant) les Ai par paquets �nis ou dénombrablesest constituée d'évènements mutuellement indépendants.

e) Probabilité conditionnelleProposition : Soient (; T ;P) un espace probabilisé et A 2 T tel que P(A) > 0. Alors la fonctionB 7! P(A \B)=P(A) = P(B j A) est une probabilité sur T .Propriétés(i) Si P(A) > 0 : P(A \B) = P(B j A)P(A) et (A et B sont indépendants) ()P(B j A) = P(B).(ii) Si P(A1 \ : : : \ An) > 0 :

P(A1 \ : : : \ An \ B) = P(A1)P(A2 j A1)P(A3 j A1 \ A2) : : :P(B j A1 \ : : : \ An) (formule desprobabilités composées).

(iii) Si =FnAn et 8n, P(An) > 0 : P(B) =

Pn P(B j An)P(An) (formule des probabilités

totales).(iv) Si de plus P(B) > 0 : P(Ai j B) = P(B j Ai)P(Ai)=

Pn P(B j An)P(An) (formule de Bayes).

2) Variables aléatoires discrètesa) Définitions

Une variable aléatoire discrète est une applicationX : ! E telle queX() est �ni ou dénombrableet pour tout x 2 X(), l'ensemble fX = xg = f! 2 tq X(!) = xg est un évènement.La loi de X est la probabilité sur P(E) dé�nie par PX(A) = P(X 2 A) =Px2X()\A P(X = x).X;Y : ! E sont dites équidistribuées lorsqu'elles ont même loi (notation : X � Y ).

ExemplesSi A � alors la fonction 1A est une variable aléatoire à valeurs dans f0; 1g. Sa loi est dé�niepar PA(1) = P(A) et PA(0) = 1� P(A) (loi de Bernoulli de paramètre P(A)).

Pour l'attente du premier succès, l'application X : F kP 7! k et F1 7! 1 est une variable aléatoirediscrète à valeurs dans N [ f1g. Sa loi est la probabilité sur P(N [ f1g) dé�nie par PX(k) = 1

2k+1

et PX(1) = 0 (loi géométrique de paramètre 12 décalée).

Pour le jeu de pile ou face in�ni, l'application Xn : ! 7! (les n premiers résultats) est une variablealéatoire discrète à valeurs dans fP; Fgn. Sa loi est la probabilité uniforme sur cet ensemble.

Pour le jeu de pile ou face in�ni, l'application

T : ! 7!nn si il est sorti autant de P que de F pour la première fois au rang 2n1 si les nombres de P et F sont constamment di�érents

est une variable aléatoire discrète à valeurs dans N [ f1g (temps du premier retour à 0). Sa loi estla probabilité sur P(N [ f1g) dé�nie par PT (0) = 0, PT (n) =

�2n�2n�1

�=n22n�1 si n > 1, PT (1) = 0.

Composition : soitX : ! E une variable aléatoire discrète et f : E ! F . Alors f�X est aussi unevariable aléatoire discrète. Sa loi est donnée par : P(f �X = y) = P(f(X) = y) =

Pf(x)=y P(X = x).

b) n-uplets aléatoiresSoientX1; : : : ; Xn des variables aléatoires discrètes dé�nies sur un même espace probabilisé à valeursdans E1; : : : ; En. Alors la fonction X : ! E1 � : : : � En dé�nie par X(!) = (X1(!); : : : ; Xn(!))est une variable aléatoire discrète. Sa loi de probabilité est appelée loi conjointe de (X1; : : : ; Xn) etles lois de X1,: : : ,Xn sont appelées lois marginales de (X1; : : : ; Xn). La loi conjointe est entièrementdéterminée par la donné des nombres P(X1 = x1; : : : ; Xn = xn) = P(X = (x1; : : : ; xn)) lorsque(x1; : : : ; xn) parcourt E1 � : : :� En.Un vecteur aléatoire discret est un n-uplet de variables aléatoires discrètes à valeurs réelles.

XIV � Probabilités page 63

Formules pour un coupleP(X = x) =

Py2Y () P(X = x; Y = y) ;

P(Y = y) =Px2X() P(X = x; Y = y) ;

P(X + Y = z) =Px2X() P(X = x; Y = z � x) =

Py2Y () P(X = z � y; Y = y).

Indépendance : les variables aléatoires discrètes X1; : : : ; Xn sont dites mutuellement indépen-dantes si la loi conjointe de (X1; : : : ; Xn) est le produit des lois marginales, c'est-à-dire

8A1 � E1; : : : ; 8An � En : P(X1 2 A1; : : : ; Xn 2 An) = P(X1 2 A1) : : :P(Xn 2 An).Il su�t pour cela que l'on ait

8x1 2 E1; : : : ; 8xn 2 En : P(X1 = x1; : : : ; Xn = xn) = P(X1 = x1) : : :P(Xn = xn).

Dans ce cas, toute sous-famille de (X1; : : : ; Xn) est constituée de variable aléatoires discrètes mutuelle-ment indépendantes. Soit (Xi)i2I une famille de variables aléatoires discrètes dé�nies sur un mêmeespace probabilisé. On dit qu'elles sont mutuellement indépendantes lorsque toute sous-famille �nieest constituée de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes.

PropriétésPour toute variable aléatoire discrète X : 1 et X sont indépendantes.Pour (Ai) 2 T I les variables aléatoires 1Ai sont mutuellement indépendantes si et seulement si lesévènements Ai sont mutuellement indépendants.Lorsque X1; : : : ; Xn; Y1; : : : ; Yp sont mutuellement indépendantes, pour toutes fonctions f; g les varia-bles aléatoires discrètes f(X1; : : : ; Xn) et g(Y1; : : : ; Yp) sont indépendantes.

Exemple : au jeu de pile ou face in�ni, soient Xn : ! 7!le n-ème résultat et Tn le temps entrele (n � 1)-ème et le n-ème retour à 0. Alors les (Xn)n2N� et les (Tn)n2N� forment deux familles devariables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes. Par contre les variables X1; X2; T1 sontdeux à deux indépendantes, mais non mutuellement.

Théorème : soit (Xn : n ! En)n2N une suite de variables aléatoires discrètes. Il existe un espaceprobabilisé et des variables aléatoires discrètes Yn : ! En mutuellement indépendantes tellesque pour tout n, Yn � Xn.

Conditionnement : soit (X;Y ) un couple aléatoire à valeurs dans E1 � E2 et A � E1 tel quePX(A) = P(X 2 A) > 0. La loi conditionnelle de Y sachant X 2 A est la probabilité sur P(E2)dé�nie par : PY jX2A(B) = P(Y 2 B j X 2 A) = P(X 2 A; Y 2 B)=P(X 2 A).Lorsque X;Y sont indépendantes, on a PY jX2A = PY .

3) Moments

Définitions : soit X : ! R une variable aléatoires discrète à valeurs réelles (vadr).(i) Si X est à valeurs positives, on pose E(X) =

Px2X() xP(X = x) 2 [0;+1] (espérance de X).

(ii) Si X est de signe quelconque, on dit que X a une espérance �nie si la famille (xP(X = x))x2X()

est sommable. Dans ce cas, on pose E(X) =Px2X() xP(X = x) 2 R.

(iii) On dit que X est centrée lorsque E(X) = 0.(iv) Pour k 2 N, on dit que X a un moment d'ordre k si E(Xk) existe et est �nie.(v) Si X a une espérance �nie, on pose V(X) = E((X � E(X))2) 2 [0;+1] (variance de X) et

�(X) =pV(X) (écart-type de X).

(vi) On dit que X est réduite lorsque V(X) = 1.

Propriétés(i) Si X � Y alors E(X) = E(Y ) et V(X) = V(Y ) quand ces quantités existent (réciproque fausse).(ii) Pour toute fonction f : E(f �X) =

Px2X() f(x)P(X = x) (formule de transfert).

(iii) Si X;Y sont des vadr positives telles que X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).La même conclusion a lieu si X;Y sont de signes quelconques et ont des espérances �nies.

(iv) E(1) = 1 ; si A 2 T alors E(1A) = P(A).


(v) Si jXj 6 Y et E(Y ) < +1 alors X 2 L1(;R) et jE(X)j 6 E(jXj) 6 E(Y ).En particulier toute vadr bornée admet une espérance �nie.

(vi) E est une forme linéaire sur l'espace vectoriel L1(;R) des vadr ayant une espérance �nie.L'application X 7! E(jXj) est une semi-norme sur cet espace.

(vii) Si X 2 L1(;R) alors pour tous réels a; b on a E(aX + b) = aE(X) + b.En particulier la vadr Y = X � E(X) est centrée.

(viii) Si X est à valeurs dans N alors E(X) =Pn P(X > n).

(ix) Si X admet un moment d'ordre p alors X admet un moment d'ordre k pour tout k 2 [[0; p]].(x) L'ensemble des vadr ayant un moment d'ordre p est un espace vectoriel noté Lp(;R).(xi) Si X admet un moment d'ordre 2 alors V(X) = E(X2)� E(X)2.(xii) Si X admet un moment d'ordre 2 alors pour tous réels a; b on a V(aX + b) = a2V(X).

En particulier si V(X) 2 ]0;+1[, la vadr (X � E(X))=�(X) est centrée réduite.(xiii) V(X) = 0()X est presque sûrement constante.

Remarque : on peut étendre la notion d'espérance (resp. de variance) à des variables aléatoires discrètesà valeurs dans un ev normé de dimension �nie (resp. un espace euclidien avec V(X) = E(kX�E(X)k2)).Les propriétés précédentes restent valides en remplaçant j j par k k, à l'exception de (iii).On étend également la notion d'espérance à des variables aléatoires à valeurs dans N[f1g en convenantque E(X) = +1 si P(X =1) > 0.

ExemplesPour l'attente du premier succès, soit X : F kP 7! k et F1 7! 1. Alors E(X) = 1.Pour le jeu de pile ou face in�ni, soit T = temps du premier retour à 0. Alors E(T ) = +1.

Inégalités : soient X;Y deux vadr et a 2 ]0;+1[. Les inégalités suivantes s'entendent dans [0;+1].Markov : P(jXj > a) 6 E(jXj)=a.Bienaymé-Tchebychev : si E(X) existe, P(jX � E(X)j > a) 6 V(X)=a2.Cauchy-Schwarz : E(jXY j)2 6 E(X2)E(Y 2) avec 0�1 = 0.En particulier, si X et Y ont des moments d'ordre 2 alors XY est d'espérance �nie.

Théorème : soient X;Y deux vadr indépendantes ayant des espérances �nies. Alors XY a une espérance�nie et E(XY ) = E(X)E(Y ).

Contre-exemples avec X;Y non indépendantesX = Y = attente du premier succès, E(XY ) = 3 6= E(X)E(Y ) = 1.X = Y = 4

ppremier retour à 0 , E(XY ) = +1 > E(X)E(Y ).

CovarianceSoient X;Y deux vadr ayant des moments d'ordre 2. On pose Cov(X;Y ) = E((X � E(X))(Y � E(Y ))).On dit que X et Y sont non corrélées lorsque Cov(X;Y ) = 0.

Propriétés(i) Cov(X;Y ) = E(XY )� E(X)E(Y ).(ii) V(X + Y ) = V(X) + V(Y ) + 2Cov(X;Y ) ; V(X1 + : : :+Xn) =

PiV(Xi) + 2

Pi<j Cov(Xi; Xj).

(iii) Cov(X;Y )2 6 V(X)V(Y ).(iv) Cov(X;Y )2 = V(X)V(Y )()9 (a; b);2 R2 n f(0; 0)g tq aX + bY est presque sûrement constante.(v) Lorsque X et Y sont indépendantes, Cov(X;Y ) = 0 (réciproque fausse).(vi) Lorsque X1; : : : ; Xn sont deux à deux indépendantes, V(X1 + : : :+Xn) = V(X1) + : : :+ V(Xn).


4) Fonction génératrice

Définition : soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.La fonction génératrice de X est GX = R 3 t 7! E(tX) =

Pn P(X = n)tn.

Propriétés(i) Le rayon de convergence est au moins égal à 1 et GX(1) = 1.(ii) GX est dé�nie au moins sur [�1; 1] ; elle est continue sur [�1; 1].(iii) GX est dérivable en 1 si et seulement si X a une espérance �nie. Dans ce cas, E(X) = G0

X(1).(iv) GX est k-fois dérivable en 1 si et seulement si X a un moment d'ordre k.

Pour k = 2, V(X) = G00X(1) +G0

X(1)�G02X(1).

(v) P(X = n) = G(n)X (0)=n!. Deux variables aléatoires à valeurs dans N sont équidistribuées si et

seulement si elles ont même fonction génératrice.(vi) Si X;Y sont indépendantes alors GX+Y = GXGY (réciproque fausse).

Si X1; : : : ; Xn sont mutuellement indépendantes alors GX1+:::+Xn= GX1

: : : GXn.

ExemplesSi X = 1A alors GX(t) = 1� P(A) + tP(A).Pour l'attente du premier succès, soit X : F kP 7! k et F1 7! 1. Alors GX(t) = 1

2�t .Pour le jeu de pile ou face in�ni, soit T = temps du premier retour à 0. Alors GT (t) = 1�p1� t.

5) Lois usuelles

a) Loi de Bernoulli

B(p) � X : ! f0; 1g avec P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1� p = q.E(X) = p, V(X) = pq, GX(t) = q + pt.

b) Loi binomialeB(n; p) � X1 + : : :+Xn avec X1; : : : ; Xn mutuellement indépendantes de même loi B(p).E(X) = np, V(X) = npq, GX(t) = (q + pt)n.

Addition : soient X;Y indépendantes de lois B(m;p) et B(n; p). Alors X + Y � B(m+ n; p).

c) Loi géométriqueG(p) � T = inffk 2 N� tq Xk = 1g (=1 si 8 k, Xk(!) = 0) où (X1; X2; : : :) est une suite de variablesaléatoires mutuellement indépendantes de même loi B(p), p 2 ]0; 1[.P(T = k) = qk�1p si k > 1, P(t = 0) = P(T =1) = 0, P(T > k) = qk.E(X) = 1=p, V(X) = q=p2, GX(t) = pt=(1� qt).

Absence de mémoire : soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N�. Les énoncéssuivants sont équivalents :(i) 8n; k 2 N, P(X > n) > 0 et P(X > n+ k j X > n) = P(X > k).(ii) 9 p 2 ]0; 1[ tq X � G(p).Minimum : soient X;Y indépendantes de lois G(p) et G(p0). Alors min(X;Y ) � G(p+ p0 � pp0).

d) Loi de Poisson

Loi des évènements rares : soit (Xn) une suite de variables aléatoires telle que Xn � B(n; pn) etE(Xn) = npn �!

n!1� 2 [0;+1[. Alors pour tout k 2 N �xé, P(Xn = k) �!

n!1e��k=k!.

La loi de Poisson de paramètre � est la loi de probabilité sur N dé�nie par la formule précédente.Elle est notée P(�).E(X) = �, V(X) = �, GX(t) = e�(t�1).


Addition : soient X;Y indépendantes de lois P(�) et P(�). Alors X + Y � P(�+ �).

6) Loi des grands nombres

Théorème : soit (Xn) une suite de vadr deux à deux indépendantes de même loi, ayant une espérance �et une variance v �nies. Alors, pour tout a > 0, P(jX1+:::+Xn

n � �j > a) 6 vna2 �!n!1

0.

Remarque : il su�t en fait que X1; : : : ; Xn aient la même espérance, la même variance et soient deux àdeux non corrélées.


XV — Équations différentielles

E désigne un espace vectoriel normé sur K = R ou C de dimension �nie et I un intervalle non trivial de R.

1) IntroductionUne équation di�érentielle du premier ordre est une équation de la forme (�)() y0 = f(t; y) où f estune fonction donnée : D � I �E ! E et y désigne une fonction inconnue de J (intervalle) � I dans E.Une solution est un couple (J; y) tel que y est de classe C1 sur J et 8 t 2 J , y0(t) = f(t; y(t)). Le problèmede Cauchy associé à (�) consiste à ajouter une condition initiale : y(t0) = y0 où (t0; y0) est un élémentdonné de D.

Interprétation géométrique : chercher une ligne de champ passant par un point donné.

On démontre que si D est ouvert et f est continue sur D alors il existe au moins une solution au problèmede Cauchy dé�nie au voisinage de t0, et que si D est ouvert et f est de classe C1 sur D alors il existe uneet une seule solution à ce problème dé�nie sur un intervalle maximal de I. Ces théorèmes sont devenushors programme en 2014.

Exemples : y0 = y, y0 = 1� y2, y0 =pjyj.

Une équation di�érentielle du deuxième ordre est une équation de la forme (�)() y00 = f(t; y; y0) où f estune fonction donnée : D � I�E�E ! E et y est une fonction inconnue de J � I dans E. Cette équationest équivalente à l'équation du premier ordre z0 = g(t; z) avec z = (y; y0) et g(t; (u; v)) = (v; f(t; u; v)).Le problème de Cauchy associé consiste à imposer une valeur initiale z(t0) = z0, soit y(t0) = y0 ety0(t0) = y00 avec (t0; y0; y00) 2 D donné. Lorsque D est ouvert et f de classe C1 sur D alors ce problèmeadmet une et une seule solution dé�nie sur un intervalle maximal de I.

E�ectuer un changement de variable t = '(u) où ' est une fonction donnée dans une équation di�éren-tielle (�) consiste à introduire une nouvelle fonction y1 liée à y par la relation : y1(u) = y(t) = y('(u))et à remplacer dans (�) t par '(u), y par y1, y0 par y01='

0(u),: : : pour obtenir une nouvelle équation (��)où seuls u, y1 et ses dérivées apparaissent.

Exemple : Poser t = sin(u) dans (�)()(1� t2)y00 � ty0 � y = 0 donne (��)() y001 � y1 = 0 (équationplus facile à résoudre formellement).

2) Équation linéaireOn considère une équation de la forme (�)() y0 = a(t)(y) + b(t) où a : I ! L(E) et b : I ! Esont des fonctions continues données. On écrira a(t):y pour a(t)(y) ; la linéarité de a(t) implique labilinéarité du produit ainsi dé�ni. Comme E et L(E) sont de dimensions �nies, il existe un réel M telque kf:xk 6Mkfkkxk pour tous f 2 L(E) et x 2 E.Si B est une base de E, alors (�)()Y 0 = A(t)Y + B(t) avec Y = MatB(y), fonction inconnue de Idans Mn;1(K), A = MatB(a), fonction continue donnée de I dans Mn(K) et B = MatB(b), fonctioncontinue donnée de I dansMn;1(K).

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire : pour (t0; y0) 2 I � E donné, l'équation (�) admet uneunique solution dé�nie sur I et prenant la valeur y0 pour t = t0.

DémonstrationExistence : on considère la suite (yn) de fonctions de I dans E dé�nie par : y0(t) = y0 (la valeur initiale)et pour n > 1 : yn(t) = y0 +

R ts=t0

(a(s):yn�1(s) + b(s)) ds. En notant zn = yn+1 � yn, on a donc :yn = y0+ z0+ : : :+ zn�1, zn(t0) = 0 et z0n = a(t):zn�1 pour n > 1. On va prouver que les séries

Pzn etP

z0n sont normalement convergentes sur tout segment de I. Il en résulte que l'on peut dériver terme àterme : (y0 +

P1n=0 zn)

0 = z00 + a(t):(P1n=1 zn�1) = a(t):(y0 +

P1n=0 zn) + b(t). Ainsi y0 +

P1n=0 zn est

solution de (�) et prend la valeur y0 pour t = t0.

Convergence des sériesP

zn etP

z0n : soit [�; �] � I avec t0 2 [�; �] (ceci est non restrictif). Onpose A = maxfka(t)k; t 2 [�; �]g et Zn(t) = maxfkzn(s)k; s 2 Conv(t0; t)g. Alors pour n > 1 ett 2 [�; �] : kzn(t)k 6 MA sgn(t � t0)

R ts=t0

Zn�1(s) ds puis Zn(t) 6 (la même quantité). Par récurrence

page 68 XV � Équations di�érentielles

on obtient : Zn(t) 6(MAjt�t0j)n

n! Z0(t) 6(MA(��))n

n! maxfZ0(�); Z0(�)g, ce qui prouve la convergencenormale de

Pzn sur [�; �]. En�n kz0n(t)k 6MAkzn�1(t)k, donc la série

Pz0n est elle aussi normalement

convergente sur [�; �].

Unicité : soient u; v deux solutions de (�) prenant la même valeur en t0. Donc pour tout t 2 I,(u� v)(t) =

R ts=t0

(u� v)(s) ds. Soit [�; �] � I un segment contenant t0 et A = maxfka(t)k; t 2 [�; �]g,Z(t) = maxfk(u � v)(s)k; s 2 Conv(t0; t)g. Comme précédemment, on obtient Z(t) 6 (MAjt�t0j)n

n! Z(t)pour tout t 2 [�; �] et tout n 2 N. Ainsi Z est identiquement nulle sur [�; �] donc u et v coïncident surcet intervalle. En faisant varier le segment [�; �] dans I, on a �nalement u(t) = v(t) pour tout t 2 I.Conséquences : soient a : I ! L(E) et b : I ! E des fonctions continues. On note S l'ensemble dessolutions sur I de (�)() y0 = a(t):y + b(t) et S0 l'ensemble des solutions sur I de l'équation homogèneassociée (�0)() y0 = a(t):y.(i) S0 est un K-ev de même dimension que E et pour tout t0 2 I, l'application y 7! y(t0) est un

isomorphisme de S0 sur E.(ii) S est un espace a�ne non vide de direction S0, c'est-à-dire qu'il existe une solution particulière

pour (�) et que toutes les solutions s'en déduisent par addition d'un élément arbitraire de S0.(iii) Si dim(E) = n et y1; : : : ; yn 2 S0 alors :

(y1; : : : ; yn) est une base de S0()9 t0 2 I tq (y1(t0); : : : ; yn(t0)) est une base de E.

Dans ce cas, pour tout t 2 I, (y1(t); : : : ; yn(t)) est aussi une base de E. Une telle famille (y1; : : : ; yn)est appelée : système fondamental de solutions de (�0).

(iv) Une solution de (�0) nulle en un point est nulle partout.

Matrice wronskienne : soient a : I ! L(E) continue, B une base de E et y1; : : : ; yn 2 S0 oùn = dim(E). On note A(t) = MatB(a(t)) et W (t) = MatB(y1(t); : : : ; yn(t)) (matrice wronskienne de(y1; : : : ; yn).(i) W est une fonction de classe C1 sur I.(ii) 8 t 2 I, W 0(t) = A(t)W (t) et (detW )0(t) = tr(A(t))(detW )(t).(iii) (y1; : : : ; yn) est un système fondamental de solutions de (�0) si et seulement s'il existe t0 2 I tel

que (detW )(t0) 6= 0. Dans ce cas, pour tout t 2 I, (detW )(t) 6= 0.(iv) si B : I ! Mn1(K) est une application continue et (y1; : : : ; yn) est un système fondamental de

solutions de (�0) alors la fonction Y : t 7! W (t)W�1(t0)Y0 +R ts=t0

W (t)W�1(s)B(s) ds est lasolution du problème de Cauchy : Y 0 = A(t)Y +B(t), Y (t0) = Y0 (formule de Duhamel).

Exemple : x0 = tx+(1� t)y+1, y0 = (1� t)x+ ty+2t. On résout l'équation homogène par bidouillage :

x0+y0 = x+y et x0�y0 = (2t�1)(x�y), d'où W (t) =�et

et2�t

et�e

t2�t

�. Il n'y a pas de solution particulière

évidente ; on peut faire varier les constantes sur les équations bidouillées ou appliquer la formule deDuhamel. Il vient : x = �t� 1 + aet + bet

2�t, y = �t� 2 + aet � bet2�t.

Superposition des seconds membres : soient a : I ! L(E) et b1; b2 : I ! E des fonctions continues.On note S(b) l'ensemble des solutions sur I de (�)() y0 = a(t):y+b(t). Alors S(b1+b2) = S(b1)+S(b2).

Cas d’une équation d’ordre 2 : soient a0; a1 : I ! L(E) et b : I ! E des fonctions continues.On note S l'ensemble des solutions sur I de (�)() y00 = a0(t):y + a1(t):y0 + b(t) et S0 l'ensemble dessolutions sur I de l'équation homogène associée (�0)() y00 = a0(t):y + a1(t):y0.(i) S0 est un K-ev de même dimension que E2 et pour tout t0 2 I, l'application y 7! (y(t0); y0(t0))

est un isomorphisme de S0 sur E2.(ii) S est un espace a�ne non vide de direction S0, c'est-à-dire qu'il existe une solution particulière

pour (�) et que toutes les solutions s'en déduisent par addition d'un élément arbitraire de S0.(iii) Si dim(E) = n et y1; : : : ; y2n 2 S0 alors en notant zi(t) = (yi(t); y0i(t)) :

(y1; : : : ; y2n) est une base de S0()9 t0 2 I tq (z1(t0); : : : ; z2n(t0)) est une base de E2.

Dans ce cas, pour tout t 2 I, (z1(t); : : : ; z2n(t)) est aussi une base de E2.(iv) Une solution de (�0) dont la valeur et la dérivée sont nulles en un point est nulle partout.

XV � Équations di�érentielles page 69

Cas d’une équation scalaire d’ordre n : soient a0; : : : ; an�1 : I ! K et b : I ! K des fonctionscontinues. On note S l'ensemble des solutions sur I de (�)() y(n) = a0(t)y+ : : :+ an�1(t)y(n�1) + b(t)et S0 l'ensemble des solutions sur I de l'équation homogène (�0)() y(n) = a0(t)y+ : : :+ an�1(t)y(n�1).(i) S0 est un K-ev de dimension n et pour tout t0 2 I, l'application y 7! (y(t0); : : : ; y(n�1)(t0)) est un

isomorphisme de S0 sur Kn.(ii) S est un espace a�ne non vide de direction S0, c'est-à-dire qu'il existe une solution particulière

pour (�) et que toutes les solutions s'en déduisent par addition d'un élément arbitraire de S0.

(iii) Si y1; : : : ; yn 2 S0 alors en notant W (t) = (y(i�1)j (t)) =

0B@

y1 y2 � � � yn

y0

1 y0

2 : : : y0

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y(n�1)1 y

(n�1)2 � � � y

(n�1)n

1CA(t) 2Mn(K) :

(y1; : : : ; yn) est une base de S0()9 t0 2 I tq (detW )(t0) 6= 0.

Dans ce cas, pour tout t 2 I, (detW )(t) 6= 0.(iv) 8 t 2 I, (detW )0(t) = an�1(t)(detW )(t). En particulier detW est constant si an�1 = 0.(v) Si (y1; : : : ; yn) est une base de S0 et W la matrice wronskienne associée alors la solution générale

de (�) est donnée par :y(t) = �1y1(t) + : : :+ �nyn(t) +

R ts=t0

[W (t)W�1(s)]1nb(s) ds, �1; : : : ; �n 2 Koù [M ]1n désigne le coe�cient ligne 1, colonne n de la matrice M .

Exemple : y00 � y = sin2 t. W (t) =�et

e�t

et�e�t

�. Par Duhamel, il vient y = 1

5 (cos2 t� 3) + aet + be�t.

3) Équation linéaire à coefficients constantsOn considère une équation de la forme (�)() y0 = a:y + b(t) où a 2 L(E) ne dépend pas de t et b :I ! E est une fonction continue.

Rappel : la solution générale de l'équation homogène est donnée par y = exp(ta):y0 avec y0 2 Equelconque.

Conséquences(i) Si B = (e1; : : : ; en) est une base de E, alors les fonctions t 7! exp(ta):ei forment un système

fondamental de solutions de (�0).(ii) Si B = (e1; : : : ; en) est une base de E et A = MatB(a) alors la matrice exp(tA) est la matrice

wronskienne d'un système fondamental de solutions.(iii) La formule de Duhamel s'écrit : y = exp((t� t0)a):y0 +

R ts=t0

exp((t� s)a):b(s) ds.

Forme générale des solutions de (�0) : soit a 2 L(E) admettant un polynôme annulateur scindé :P =

Q(X � �)m� et soit F� = Ker(a� � id)m� . Alors la solution générale de y0 = a:y est donnée par :

y =P�(id+t(a� � id) + : : :+ tm��1(a�� id)m��1

(m��1)! ):e�ty�

où y� est un élément arbitraire de F�. Pour y donnée, il y a unicité d'une telle décomposition.

Démonstration : soit S0 l'ensemble des fonctions de la forme ci-dessus. On a facilement S0 � S0.Réciproquement, si z 2 S0, on peut décomposer z(0) =

P� y� avec y� 2 F� car E =

L� F� d'après

le lemme des noyaux. La fonction y correspondante est un élément de S0 donc de S0 prenant la mêmevaleur que z en t = 0. Par unicité c'est z, ce qui prouve S0 � S0.

Conséquences : avec les notations qui précèdent,

(i) exp(ta) =P� e

�t(Pk<m�

tk(a�� id)k

k! )�� où �� est la projection sur F� parallèlement àL

�6=� F�.

(ii) (exp(ta) �!t!+1

0)()(8� 2 Sp(a); <� < 0)()(R +1t=0k exp(ta)kdt converge). Dans ce cas, pour

toute fonction b : [0;+1[! E continue telle que b(t) �!t!+1

0, toute solution de y0 = a:y + b(t)

tend vers 0 en +1.


Exemple : soit f : R ! R de classe C2 telle que (f + f 0 + f 00)(t) �!t!=1

0. Alors f , f 0 et f 00 ont des

limites nulles en +1.

Second membre polynomial : soient a 2 L(E) et b : R ! E une fonction polynomiale. Alorsl'équation y0 = a:y + b(t) admet une solution particulière polynomiale véri�ant : deg(y) 6 deg(b) +m0

où m0 est la multiplicité de 0 comme racine de �a (m0 = 0 si �a(0) 6= 0).

Démonstration : on écrit �a = Xm0P avec P (0) 6= 0. Donc E = Ker(am0) � KerP (a) = F � G.Soit b(t) = b0(t) + b1(t) avec b0(t) 2 F et b1(t) 2 G (b0 et b1 sont des fonctions polynomiales de degré6 d = deg(b)). Soit y0 : R ! F une solution quelconque de y0 = ajF :y + b0(t) : comme am0

jF = 0, on

a y(m0)0 = am0�1

jF b0 + am0�2jF b00 + : : : donc y0 est polynomiale de degré 6 m0 + d. En ce qui concerne

b1, on remarque que ajG est un isomorphisme de G car 0 n'est pas valeur propre. Alors la fonctiony1 = �a�1jG :b1 � a�2jG :b

01 � : : : est bien dé�nie, est polynomiale de même degré que b1, et est solution

de y01 = ajG:y1 + b1(t). La fonction y0 + y1 répond au problème.

Second membre polynomial-exponentiel : soient a 2 L(E) et b : R! E une fonction polynomialeet � 2 K. Alors l'équation y0 = a:y + e�tb(t) admet une solution particulière de la forme y = e�tz oùz est une fonction polynomiale véri�ant : deg(z) 6 deg(b) +m� et m� est la multiplicité de � commeracine de �a (m� = 0 si �a(�) 6= 0).

Exemple : y00 + y0 + y = t sin t. On cherche une solution particulière de z00 + z0 + z = teit et on enprend la partie imaginaire. Avec le théorème précédent, il existe une solution particulière de la formez = (�t+ �)eit et par identi�cation on trouve � = �i, � = 2i+ 1 d'où y = (2� t) cos t+ sin t.

4) Équation linéaire scalaire d’ordre 2On considère une équation de la forme (�)() a2(t)y00+a1(t)y0+a0(t)y = b(t) où a0; a1; a2 et b sont desfonctions continues de I dans K. Sur tout intervalle où a2 ne s'annule pas, on peut appliquer le théorèmede Cauchy-Lipschitz linéaire. En particulier, l'espace des solutions sur un tel intervalle de l'équationhomogène est de dimension 2 et deux solutions de l'équation complète qui coïncident avec leur dérivéepremière en un point sont égales sur tout l'intervalle considéré.

Lorsque a2 s'annule en un point isolé t0, on résout (�) sur les deux sous-intervalles I \ ]�1; t0[ et]t0;+1[ \ I puis on cherche à quelle condition on peut raccorder une solution à gauche de t0 avec unesolution à droite de t0 en assurant la continuité de y; y0; y00 en t0. Ceci fournit l'ensemble des solutionsde classe C2 sur I.

Résolution de l’équation homogène (�0)() a2(t)y00 + a1(t)y0 + a0(t)y = 0(i) Il n'existe pas de méthode générale pour trouver un système fondamental de solutions.(ii) Lorsque a0; a1; a2 sont constants, soient �; � 2 C les racines de a2X2 + a1X + a0 = 0 (équation

caractéristique). Alors les fonctions t 7! e�t et t 7! e�t ou t 7! te�t si � = � forment un systèmefondamental de solutions.

(iii) Pour une équation d'Euler : a2t2y00+ a1ty0+ a0y = 0 avec a0; a1; a2 constants, le changement de

variable t = �eu mène à une équation à coe�cients constants (la même pour + et �).(iv) Lorsque a0; a1; a2 sont des polynômes de bas degrés, on peut chercher les solutions de l'équation

homogène développables en série entière.(v) Si l'on a trouvé une solution y1 de l'équation homogène qui ne s'annule pas sur un intervalle, alors

le changement d'inconnue y = zy1 mène à une une équation du premier ordre en z0, aussi bienpour l'équation homogène que pour l'équation complète.

Recherche d’une solution particulière de l’équation complète(i) Chercher une solution évidente (constante ou inspirée du second membre).(ii) Lorsque a0; a1; a2 sont constants et b est un polynôme-exponentiel alors il existe une solution

particulière de la même forme avec la même exponentielle. Lorsque b est une combinaison depolynômes-exponentiels, appliquer le principe de superposition des solutions.

(iii) Lorsqu'on a trouvé (y1; y2), système fondamental de solutions de l'équation homogène, la méthodede variation des deux constantes et la formule de Duhamel permettent de terminer la résolution.

XV � Équations di�érentielles page 71

Méthode de variation des deux constantes : soit (y1; y2) un système fondamental de solutions dea2(t)y00 + a1(t)y0 + a0(t)y = 0 où a0; a1; a2 sont continues de I dans K et a2 ne s'annule pas.(i) Pour toute fonction y : I ! K de classe C2, il existe un unique couple (�1; �2) de fonctions de I

dans K de classe C1 véri�ant : �1y1 + �2y2 = y et �01y1 + �02y2 = 0 ou de manière équivalente :�1y1 + �2y2 = y et �1y01 + �2y

02 = y0.

(ii) Si b : I ! K est continue, la solution générale de a2(t)y00 + a1(t)y0 + a0(t)y = b(t) s'obtient enrésolvant le système : �01y1 + �02y2 = 0 et �01y

01 + �02y

02 = b=a2.

Formule de DuhamelAvec les notations précédentes, la solution générale de a2(t)y00 + a1(t)y0 + a0(t)y = b(t) est donnée par :y =

R ts=t0

y1(s)y2(t)�y1(t)y2(s)w(s)a2(s)

b(s) ds+�1y1(t)+�2y2(t) où w(s) = y1(s)y02(s)�y01(s)y2(s) est le déterminantwronskien de (y1; y2) en s et �1; �2 sont des constantes arbitraires.

Exemplest2y00 � 4ty0 + 6y = 0 : équation d'Euler, y = at2 + bt3 avec bifurcation en 0.t2y00 � t(t+ 2)y0 + (t+ 2)y = t3 : séries entières, y = at+ btet � t2.y00 + 2ty0 + 2y = te�t

2

: séries entières puis MVC pour y1 = e�t2

, y = (a+ bR ts=0

es2

ds� t2 )e

�t2 .y00 + y = tan t : MVC2, y = cos(t) ln( cos t

1+sin t ) + a cos t+ b sin t.


XVI — Calcul différentiel

E;F désignent des R-ev de dimensions �nies.

1) Différentiabilité

Définition : soient � E un ouvert non vide, f : ! F et a 2 . On dit que f admet undéveloppement limité à l'ordre 1 en a s'il existe � 2 F , ' 2 L(E;F ), V voisinage de 0E et " : V ! Ftels que : 8h 2 V , f(a+ h) = �+ '(h) + khk"(h) avec "(h) �!

h!0E0F . On écrira khk"(h) = o(khk).

Proposition : si un tel développement existe alors � = f(a) et ' est unique. La fonction " dépend dela norme choisie sur F , mais l'existence d'un développement limité est indépendant d'un tel choix. Enparticulier f est continue en a (réciproque fausse).

Définition : une fonction f est di�érentiable en a si elle admet un développement limité à l'ordre 1en a. Dans ce cas, la di�érentielle de f au point a est l'application linéaire ', notée dfa. On a donc :f(a+ h) = f(a) + dfa(h) + o(khk).Exemples : fonction d'une variable réelle, fonction linéaire ou a�ne, carré inverse déterminant etexponentielle dansMn(R).

Dérivée selon un vecteur : f admet en a une dérivée selon le vecteur e si la fonction d'une variableréelle : t 7! f(a+ te) est dérivable en t = 0R. On note alors Def(a) = d

dt (f(a+ te))jt=0.f admet des dérivées partielles premières dans la base B = (e1; : : : ; ep) si pour tout j, Dejf(a) existe.On note alors @f

@xj(a) = Dejf(a) où x1; : : : ; xp sont les noms attribués aux coordonnées dans la base B.

Donc @f@xj

(a) = ddxj

f(a1e1 + : : :+ xjej + : : :+ apep)jxj=aj avec a = a1e1 + : : :+ apep.

Proposition : si f est di�érentiable en a alors f admet une dérivée partielle selon tout vecteur etdes dérivées partielles premières dans toute base de E et on a : Def(a) = dfa(e),

@f@xj

(a) = dfa(ej) et

dfa(h) =Pj@f@xj

(a)hj avec h =Pj hjej .

En notant dxj l'application h 7! hj , on a donc dfa =Pj@f@xj

(a)dxj (égalité entre fonctions de h).

Réciproque fausse : f(x; y) = xyx2+y2 si (x; y) 6= (0; 0) et f(0; 0) = 0. f admet des dérivées partielles

premières dans la base canonique de R2 mais pas dans la base ((1; 1); (1;�1)).f(x; y) = x2y

x2+y2 si (x; y) 6= (0; 0) et f(0; 0) = 0. Def(0; 0) = f(e), quantité non linéaire par rapport à e.

Dérivées partielles continues : si f admet des dérivées partielles premières dans une base B continuesau voisinage de a alors f est di�érentiable en a. En conséquence, f admet alors des dérivées partiellespremières dans toute base de E et elles sont elles aussi continues au voisinage de a.

Définition : on dit que f est de classe C1 sur si f admet des dérivées partielles premières dans unebase B en tout point de et si les fonctions @f

@xjsont continues sur . Cette notion est indépendante

de la base de E et des normes sur E et F choisies. Par ailleurs, une fonction de classe C1 est continue(réciproque fausse).

Matrice jacobienne : Jf (a) = MatB0;B(dfa) =�@fi@xj

�.

Gradient pour E euclidien et F = R. Lorsque rf(a) 6= 0 et kek = 1, Def(a) = (e j rf(a)) est maximalpour e = rf(a)=krf(a)k.

2) Propriétés des fonctions de classe C1

Opérations algébriquesLinéarité, calcul coordonnée par coordonnée dans une base de E, composition par une application linéaire.Produit : dB(f; g)a(h) = B(dfa(h); g(a)) +B(f(a);dga(h)).

XVI � Calcul di�érentiel page 73

Composéed(f � g)a = dfg(a) � dga, Jf�g(a) = Jf (g(a))� Jg(a).Formule de dérivation en chaîne.Passage en coordonnées polaires.

Application : soient I; J deux intervalles de R, f : I � J ! E et a; b : I ! J de classe C1. On a :

ddx

(R b(x)t=a(x)

f(x; t) dt) =R b(x)t=a(x)

@f@x (x; t) dt+ b0(x)f(x; b(x))� a0(x)f(x; a(x)).

Démonstration : la seule di�culté consiste à prouver que (x; y; z) 7! R zt=y

@f@x (x; t) dt est continue.

Limiter x; y; z à des intervalles compacts et borner globalement l'intégrande.ddt (f(u(t))) = dfu(t)(u0(t)). En particulier, d

dt (exp(u(t))) = u0(t) exp(u(t)) si u et u0 commutent.

Les fonctions coordonnées dans une base, les fonctions polynomiales par rapport aux coordonnées et lesfonctions rationnelles sont de classe C1 sur leur domaine de dé�nition.

Accroissements finis : soient f : ! F de classe C1, a; b 2 et ' : [0; 1] ! un arc de classe C1joignant a à b. Alors f(b)� f(a) =

R 1t=0

df'(t)('0(t)) dt.

Conséquences(i) f est constante sur chaque composante connexe par arcs de si et seulement si 8x 2 , dfx = 0.(ii) Pour = E, f est a�ne si et seulement si df est constante.(iii) Lorsque est convexe, f est lipschitzienne sur si et seulement si les dérivées partielles premières

de f dans une base de E sont bornées sur .(iv) Lorsque est un ouvert quelconque, f est lipschitzienne au voisinage de tout point de .

Extremums locaux pour une fonction à valeurs réellesf admet un maximum (resp. minimum) local en a s'il existe un voisinage V de a tel que 8x 2 V ,f(x) 6 f(a) (resp. f(x) > f(a)).Un point a est dit critique pour f lorsque rf(a) = 0.

Proposition(i) Si f admet un extremum local en a alors rf(a) = 0. La réciproque est fausse.(ii) Si f est convexe (resp. concave) et rf(a) = 0 alors f(a) = min f (resp. f(a) = max f).

Exemple : MA21 + : : :+MA2

n est minimal pour M = 1n (A1 + : : :+ An).

3) TangenceDéfinition : soit V � F , a 2 V et v 2 F . On dit que le vecteur v est tangent en a à l'ensemble V s'ilexiste un arc paramétré ' : [��;�]! V de classe C1 tel que '(0) = a et '0(0) = v. Lorsque les vecteurstangents en a à V forment un sous-espace vectoriel G, le sous-espace a�ne de direction G passant par aest appelé : sous-espace a�ne tangent à V en a.

ExemplesDans un espace euclidien, les vecteurs tangents à une sphère S(!;R) en a sont les vecteurs orthogonaux auvecteur a�!. Le sous-espace a�ne tangent est l'hyperplan a�ne passant par a de direction orthogonaleau rayon a� !.

Soit I 3 t 7! Mt une courbe paramétrée et a 2 I tel qu'il existe une tangente T à la courbe au pointMa, au sens géométrique, et tel que Mt 6= Ma pour tout t 6= a. Alors les vecteurs tangents en Ma à lacourbe sont les vecteurs appartenant à la direction de T . En conséquence, le sous-espace a�ne tangentà la courbe est la droite T . Cette propriété est fausse si Ma est un point double.

Proposition : soit f : ! R de classe C1, V = f(x; y) 2 � R tq y = f(x)g et a 2 . Alors lesvecteurs tangents à V en (a; f(a)) sont les vecteurs de la forme (h;dfa(h)) avec h 2 E ; ils forment unsous-espace vectoriel de E � R isomorphe à E. Le sous-espace a�ne tangent à V en (a; f(a)) est doncun hyperplan a�ne ; c'est le graphe de la fonction x 7! f(a)+dfa(x� a) (fonction a�ne tangente à fen a).

page 74 XVI � Calcul di�érentiel

Équation du plan tangent : lorsque � R2, le sous-espace a�ne précédent est le plan d'équationz � f(a) = (x� xa)

@f@x (a) + (y � ya)

@f@y (a). En particulier, le plan tangent est horizontal si et seulement

si a est un point critique de f .

Tangente à l’image d’un arc : soit f : ! F de classe C1 et t 7!Mt un arc paramétré dans ayantune tangente T au sens géométrique au point Ma. Si dfMt0

est injective alors l'arc image t 7! f(Mt)admet une tangente en f(Ma) qui est l'image de T par l'application a�ne tangente à f en Ma.

Tangente à une ligne de niveau : soit f : ! R de classe C1 et a 2 tel que rf(a) 6= 0. Alorsl'ensemble L = fx 2 tq f(x) = f(a)g admet un sous-espace a�ne tangent en a : l'hyperplan a�nepassant par a de direction rf(a)? (théorème des fonctions implicites, HP).

DémonstrationSi v est un vecteur tangent en a à L, soit ' un arc paramétré associé. On a 8 t, f('(t)) = f(a) donc pardérivation composée, (rf('(t)) j '0(t)) = 0 puis (rf(a) j v) = 0 pour t = 0.

si (rf(a) j v) = 0, on va construire dans L un arc paramétré ' tel que '(0) = a et '0(0) = v. Le casv = 0 étant immédiat, on suppose v 6= 0 et on considère la fonction g = (x; y) 7! f(a + xv + yrf(a))dé�nie pour (x; y) voisin de 0R2 . On a :

@g@x

= (rf(a+ xv + yrf(a)) j v) �!(x;y)!0

0

@g@y

= (rf(a+ xv + yrf(a)) j rf(a)) �!(x;y)!0

krf(a)k2,

donc il existe � > 0 tel que pour tous x; y 2 [��;�], j @g@x j < 12krf(a)k2 6 @g

@y .Alors t 7! g(t; t) est strictement croissante sur [��;�] et t 7! g(t;�t) est strictement décroissantesur [��;�]. Comme g(0; 0) = f(a), il vient : 8 t 2 [0; �], g(t;�t) 6 f(a) 6 g(t; t) et l'encadrement inversesur [��; 0]. Avec le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout t 2 [��;�], il existe s 2 [�jtj; jtj] telque g(t; s) = f(a) et s est unique à t donné puisque @g

@y > 0. On pose '(t) = a + tv + srf(a). Ainsi 'est à valeurs dans L et '(0) = a. Il reste à prouver que ' est de classe C1 et '0(0) = v.

Soient t0; t1 2 [��;�] avec t0 6= t1 et soient s0; s1 les valeurs de s associées. Pour u 2 [0; 1], on posex = (1� u)t0 + ut1 et y = (1� u)s0 + us1. Il vient :

0 = g(t1; s1)�g(t0; s0) = (t1�t0)R 1u=0

@g@x

(x; y) du+(s1�s0)R 1u=0

@g@y

(x; y) du = (t1�t0)A+(s1�s0)B

avec jAj < 12krf(a)k2 6 B. Donc js1� s0j < jt1� t0j et l'application t 7! s est 1-lipschitzienne. Ensuite,

(s1 � s0)=(t1 � t0) = �A=B �!t1!t0

� @g@x=

@g@y (t0; s0) donc t 7! s est dérivable avec ds=dt = � @g

@x=@g@y (t; s),

quantité continue par rapport à t. Ceci prouve le caractère C1 de '. Pour t = 0, on a s = 0 et @g@x (0; 0) = 0,d'où �nalement '0(0) = v.

4) Dérivées d’ordre supérieur

Définition : soit f : ! F et B une base de E dont les coordonnées sont notées x1; : : : ; xp et k > 1.

On pose, sous réserve d'existence : @kf@xi1 :::@xik

= @@xi1

: : : @@xik

f . On dit que f est de classe Ck lorsque les

pk dérivées de f d'ordre k existent et sont continues sur (toutes les dérivées d'ordre inférieur sont alorselles aussi continues). Cette propriété est indépendante de la base B choisie.

Stabilité de la classe Ck par combinaison linéaire, produit et composition. Les fonctions coordonnéesdans une base, les fonctions polynomiales par rapport aux coordonnées et les fonctions rationnelles sontde classe Ck sur leur domaine de dé�nition.

Théorème se Schwarz : soit f de classe C2 et x; y deux coordonnées. On a @2f@x@y = @2f

@y@x .

Contre-exemple avec f non C2 : x3yx2+y2 .

XVI � Calcul di�érentiel page 75

Conséquence : soient g; h : � R2 ! F de classe C1. Une condition nécessaire pour qu'il existe f : ! F véri�ant @f

@x = g et @f@y = h est @g

@y = @h@x . Lorsque est étoilé, cette condition est aussi su�sante

(théorème de Poincaré, HP).Contre-exemple avec non étoilé : xdy�ydx

x2+y2 .

5) Équations aux dérivées partielles@f@x

= 0 sur un ouvert convexe.

@f@x

= g, sur un rectangle.

x@f@x

+ y@f@y

= �f sur R2 n f(0; 0)g.

x2@2f@x2�y2 @

2f@y2

= 0 sur (R+)2 avec le changement de variable u = xy, v = x=y. f =pxy g(x=y)+h(xy).

page 76 XVI � Calcul di�érentiel

Table des matières

I � Groupes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21. Dé�nitions2. Puissances et multiples3. Sous-groupes4. Morphismes5. Le groupe Z=nZ6. Groupes monogènes

II � Anneaux : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51. Dé�nitions2. Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatif3. Décomposition en facteurs irréductibles4. L'anneau Z=nZ5. Compléments sur les polynômes

III � Matrices : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91. Opérations2. Déterminant3. Polynôme caractéristique4. Polynôme minimal5. Applications des matrices aux ev de dimension �nie

IV � Réduction des endomorphismes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131. Éléments propres d'un endomorphisme2. Diagonalisation, trigonalisation en dimension �nie3. Polynômes d'un endomorphisme4. Endomorphismes nilpotents5. Calcul des puissances d'une matrice carrée6. Système di�érentiel d'ordre 1

V � Espaces vectoriels normés : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 191. Norme2. Suites convergentes3. Comparaison de normes4. Topologie d'un espace vectoriel normé5. Compacité

VI � Fonctions continues : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 241. Limites2. Continuité3. Continuité des applications linéaires et bilinéaires4. Fonctions continues sur un compact5. Convexité, connexité

VII � Fonctions d'une variable réelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 281. Dérivation2. Fonctions convexes3. Intégrale sur un segment4. Courbes paramétrées

page 77

VIII � Séries : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 331. Convergence d'une série2. Critères de convergence3. Sommation des relations de comparaison4. Séries doubles5. La série exponentielle

IX � Intégrales généralisées : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 381. Convergence d'une intégrale2. Critères de convergence3. Intégration terme à terme4. Convergence dominée

X � Suites, séries et intégrales à paramètre : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 421. Interversion des limites2. Fonction dé�nie par une limite3. Fonction dé�nie par une série4. Fonction dé�nie par une intégrale

XI � Espaces préhilbertiens : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 471. Rappels2. Orthogonalité3. Familles orthonormales4. Endomorphismes orthogonaux5. Endomorphismes symétriques6. Endomorphismes antisymétriques (HP)

XII � Séries entières : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 541. Rayon de convergence2. Opérations sur les séries entières3. Propriétés analytiques4. Développements en série entière5. Application des séries entières

XIII � Sommabilité : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 581. Ensembles dénombrables2. Famille sommable de réels positifs3. Famille sommable de vecteurs4. Applications des familles sommables (HP)

XIV � Probabilités : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 621. Espaces probabilisés2. Variables aléatoires discrètes3. Moments4. Fonction génératrice5. Lois usuelles6. Loi des grands nombres

XV � Équations di�érentielles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 681. Introduction2. Équation linéaire3. Équation linéaire à coe�cients constants4. Équation linéaire scalaire d'ordre 2

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XVI � Calcul di�érentiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 731. Di�érentiabilité2. Propriétés des fonctions de classe C13. Tangence4. Dérivées d'ordre supérieur5. Équations aux dérivées partielles

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Cours de Mathématiques MP - michel.quercia.free.frmichel.quercia.free.fr/cours-MP.pdf · Conséquences f est injectif si et seulement si Ker f = f e g . Si a ^ b = d 6= 0 alors l'équation