Cours de mathmatiques
Terminale S1
Chapitre 9 : Nombres complexes
Anne scolaire 2008-2009
mise jour 15 fvrier 2009
Fig. 1 Gerolamo Cardano
Mdecin et mathmaticien italien qui ne redoutait pas les checs
1
Table des matires
I Chapitre 9 : Nombres complexes 3
I.A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.B Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.B.1 Forme algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.B.2 Reprsentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.C Oprations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.C.1 Addition et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.C.2 Inverse dun nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.C.3 Nombre conjugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.C.4 Module dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.D Argument dun nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.E Forme exponentielle dun nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.F Rsolution dans C dquations du second degr coefficients rels . . . . . . . . . 10I.G Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.H Nombres complexes et transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.H.1 Ecriture complexe dune translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.H.2 Ecriture complexe dune rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.H.3 Ecriture complexe dune homothtie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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2
http://melusine.eu.org/syracuse/wiki/doku.php/mc/bclogo
I Chapitre 9 : Nombres complexes
I.A Introduction
Rappels et dcouverte
Pour tout rel k, il existe un unique nombre rel dont le cube est k.
Ce nombre est appel racine cubique de k . Il est not3
k ou aussi k1
3 .
On a par exemple3
8 = 2 parce que 23 = 8.Au XVIme sicle, Jrme Cardan, confront la rsolution des quations du troisime degr,
de la forme x3 = px + q donne la formule suivante appele formule de CARDAN : lorsqueq2
4 p
3
27 0, lquation a pour solution
x =3
q
2+
q2
4 p
3
27+
3
q
2
q2
4 p
3
27
1. On considre lquation x3 = 1. Quelles sont les valeurs de p et q ?
Vrifier que lon peut utiliser la formule de Cardan.
Quelle solution obtient-on ?
2. On considre lquation x3 = 3x + 2.
Vrifier que lon peut utiliser la formule de Cardan.
Quelle solution obtient-on ?
Vrifier et trouver toutes les solutions de lquation x3 = 3x + 2.
3. On considre lquation x3 = 15x + 4.
Vrifier que lon peut utiliser la formule de Cardan.
4. On considre lquation x3 = 2x + 4.
Justifier que la formule de Cardan ne peut pas sappliquer.
Pris dans un engrenage infernal, on dcide cependant dappliquer la formule.
Comment peut scrire la solution ?
5. Imaginons un nombre dont le carr est -1, et qui sera trs temporairement not1.
En utilisant ce nombre imaginaire et en effectuant des calculs "habituels", montrer que
(2 +1)3 = 2 + 11
1
En dduire que 2 +1 est une racine cubique de 2 +
121 .
"Dmontrer" de mme que 2 1 est une racine cubique de 2
121.
Montrer alors que la formule de Cardan applique lquation x3 = 15x + 4 donne commesolution le rel 4.
Vrifier que 4 est effectivement solution de lquation.
On a donc, en utilisant des nombres imaginaires, obtenu un rsultat bien rel.
6. Si a et b sont deux rels strictement positifs, alors :
a
b =
ab.
Si vous appliquez cette proprit a = b = 1, quobtenez-vous ?Cest la raison pour la quelle on nutilisera plus jamais la notation
1, mais i, nombre
imaginaie dont le carr i2 = 1.Il aura fallu attendre prs de 150 ans pour prendre cette notation de Euler, que vous
avez dj vu .
3
Les diffrents ensembles de nombres N est lensemble des entiers naturels. Cest lensemble des entiers positifs ou nuls. Dans N lquation x + 1 = 0 na pas de solution.
Cette quation a une solution note -1 , cette solution est un lment de lensemble Z .Z est lensemble des entiers relatifs. Cest lensemble des entiers positifs, ngatifs ounuls.Z contient N , cest--dire que N est contenu dans Z , ce que lon note N Z .
Dans Z lquation 2x = 1 na pas de solution.
Cette quation a une solution note 12
, cette solution est un lment de lensemble
Q .Q est lensemble des nombres rationnels.
Cest lensemble de tous les nombres de la formep
qavec p Z et p Z . Q contient
Z . On a donc N Z Q . Dans Q lquation x2 = 2 na pas de solutions.
Cette quation a deux solutions notes
2 et
2 , ces solutions sont des lments delensemble R.R est lensemble des nombres rels. Cest lensemble des abscisses de tous les pointsdune droite.R contient Q . On a donc N Z Q R.
Dans R lquation x2 = 1 na pas de solutions.Cette quation a deux solutions notes i et i , ces solutions sont des lments delensemble C .C est lensemble des nombres complexes.Cest lensemble des nombres de la forme a + bi avec a R et b R.C contient R . On a donc N Z Q R C .
I.B Dfinitions
I.B.1 Forme algbrique
Dfinition 1:
Il existe un ensemble not C, appel ensemble des nombres complexes qui possdeles proprits suivantes : C contient lensemble des nombres rels. Laddition et la multiplication des nombres rels se prolongent aux nombres complexes
et les rgles de calcul restent les mmes. Il existe un nombre complexe not i tel que i2 = 1. Tout nombre complexe z scrit de manire unique z = x + iy avec x et y rels.
Lcriture z = x+ iy avec x et y rels est appele forme algbrique du nombre complexez.x est la partie relle de z, note Re(z), y est la partie imaginaire de z note Im(z).
Remarque : z = x + iy avec x et y rels :Si y = 0, le nombre complexe est rel.Si x = 0, le nombre complexe est dit imaginaire pur.
4
Thorme 1
Soit x, y, x et y des nombres rels,x + iy = x + iy quivaut x = x et y = y.x + iy = 0 quivaut x = 0 et y = 0.
Cela signifie quun nombre complexe scrit de manire unique sous forme algbrique.
I.B.2 Reprsentation graphique
(O;u ,v ) est un repre orthonormal direct du plan.
1. A tout nombre complexe z = x + iy avecx et y rel, on associe le point M
de coordonnes (x; y). On dit que M estle point image de z
et queOM est le vecteur image de z.
2. Tout point M(x; y) est le point imagedun seul complexe z = x + iy.
On dit que z est laffixe du point M et du
vecteurOM .
3. Le plan est alors appel plan complexe.
4. Laxe des abscisses (O;u ) est appel axedes rels, laxe des ordonnes
(O;v ) est appel axe des imaginairespurs.
v
u
M(z)
x
y
O
I.C Oprations sur les nombres complexes
I.C.1 Addition et multiplication
Dfinition 2:
Soit z = x + iy et z = x + iy (x, y, x et y rels).La somme de z et de z est le complexe z + z = (x + x) + i(y + y).Le produit de z et de z est z.z = (xx yy) + i(xy + xy).En effet z.z = (x + iy)(x + iy) = xx + ixy + ixy + i2yy = xx yy + i(xy + xy).
Remarque : Les identits remarquables sont valables dans C. On a alors pour tous z et z
complexes,z2 + z2 = z2 i2z2 = (z iz)(z + iz).Remarque : Soient M daffixe z et M daffixe z des points du plan complexe.z + z est laffixe du point P tel que OMPM est un paralllogramme.
5
v
u
M(z)
M (z)
P (z + z)
O
Affixe dun vecteur, dun barycentre
Proposition 1:
Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives zA et zB .
Laffixe du vecteurAB est zB zA.
Remarque : Si est un rel, laffixe de vecteur u est z o z est laffixe de u .
Proposition 2: Interprtation barycentrique
Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives zA et zB .
Laffixe du barycentre G des points pondrs (A,) et (B,) (+ 6= 0) est : zA + zB +
.
dem : On aOG =
1
+ (
OA +
OB) et le rsultat en dcoule en passant aux affixes.
On peut gnraliser cette proprit :
(A1, 1), (A2, 2), . . . , (An, n) sont n points du plan, daffixes respectives z1, z2, . . . , zn
tels que
n
i=1
i 6= 0. Alors leur barycentre G a pour affixe la moyenne pondre de leurs
affixes : zG =1z1 + 2z2 + + nzn
1 + 2 + + n.
Il en rsulte que laffixe zI du milieu I du segment [AB] est zI =zA + zB
2et celle du
centre de gravit G dun triangle MNP est zG =zM + zN + zP
3.
I.C.2 Inverse dun nombre complexe non nul
Thorme 2
Tout nombre complexe non nul z, crit sous forme algbrique z = x+iy, admet un inverse,
not1
z, et :
1
z=
x iyx2 + y2
.
En effet, on remarque que pour tout nombre complexe non nul z = x + iy, (x + iy)(x iy) =
6
x2 i2y2 = x2 + y2.On a alors
1
z=
1
x + iy=
x iy(x + iy)(x iy) =
x iyx2 + y2
.
I.C.3 Nombre conjugu
Dfinition 3:
Soit z un nombre complexe, z = x + iy.Le
