Cours - Fractions Rationnelles

c Christophe Bertault - MPSI

Fractions rationnelles

Dans tout ce chapitre, K est lun des corps R ou C.

Ce chapitre se propose de vous apprendre calculer des intgrales telles que

Z

1

0

dt

t4 + 1,

Z pi

0

sin(4t)

1 + cos2 tdt, etc.

Souvenez-vous : nous avons construit la main lanneau K[X] des polynmes coefficients dans K ; un polynme nous estapparu comme une suite presque nulle dlments de K. La construction du corps K(X) des fractions rationnelles coefficientsdans K nest quant elle pas au programme ; elle est en effet conceptuellement plus dlicate et requiert deux notions hors-programme : les notions de relation dquivalence et densemble quotient.

1 Corps des fractions rationnelles

Dfinition (Corps des fractions rationnelles)

Dfinition : Il existe un ensemble K(X) satisfaisant les trois assertions suivantes :

1) A tout couple (A,B) K[X]2 tel que B 6= 0, on peut associer un lment de K(X) not AB.

2) Rciproquement, tout lment de K(X) peut tre crit sous la formeA

B, o (A,B) K[X]2 est tel que B 6= 0.

3) Pour tous (A,B), (C,D) K[X]2 tels que B 6= 0 et D 6= 0 : AB

=C

D AD = BC.

Addition et produit : On munit K(X) de deux lois internes en posant, pour tous (A,B), (C,D) K[X]2 tels queB 6= 0 et D 6= 0 :

A

B+C

D=

AD +BC

BDet

A

B CD

=AC

BD;

ces dfinitions sont possibles car elles dpendent seulement deA

Bet

C

D, et non du choix de A,B,C,D eux-mmes.

Structure de corps : Alors K(X),+, est un corps appel le corps des fractions rationnelles coefficients dansK. Pour tout couple (A,B) K[X]2 tel que A 6= 0 et B 6= 0, linverse de la fraction A

Best la fraction

B

A.

Lien avec les polynmes : Tout polynme P K[X] peut tre identifi la fraction rationnelle P1. Cette

identification fait de K[X] un sous-anneau de K(X).

Structure vectorielle : La multiplication par un polynme constant munit K(X) dune structure de K-espacevectoriel. Prcisment, si K et si A,B K[X] sont tels que B 6= 0 :

AB

=A

B.

Explication Lexistence du corps K(X) vous parat peut-tre vidente bien sr que les fractions rationnellesexistent mais souvenez-vous bien que nous avons scrupuleusement distingu les polynmes (suites presque nulles. . . ) desfonctions polynomiales. Ici, cest le concept abstrait de fraction rationnelle qui vient dtre dfini ; la notion de fonction rationnellesera introduite un peu plus loin. Le malheur, cest que ce cours ne vous apprendra pas ce quest une fraction rationnelle.

Dmonstration Conformment au programme, nous admettrons lexistence de K(X).

Montrons que laddition et le produit sur K(X) sont bien dfinies. Soient (A1, B1), (A2, B2), (C1,D1), (C2,D2) K[X]2 tels que B1, B2,D1,D2 soient non nuls. Supposons quon ait

A1

B1=

A2

B2et

C1

D1=

C2

D2, et montrons

qualorsA1D1 +B1C1

B1D1=

A2D2 +B2C2B2D2

etA1C1

B1D1=

A2C2

B2D2.

Gardons ceci en tte :A1

B1=

A2

B2 A1B2 = A2B1 et C1

D1=

C2

D2 C1D2 = C2D1.

Pour dmontrer lgalit A1D1 +B1C1B1D1

=A2D2 +B2C2

B2D2, il nous suffit de montrer lgalit polynomiale

(A1D1 +B1C1)(B2D2) = (A2D2 +B2C2)(B1D1) ; ce qui est facile :

(A1D1+B1C1)(B2D2) = (A1B2)(D1D2)+(C1D2)(B1B2) = (A2B1)(D2D1)+(C2D1)(B2B1) = (A2D2+B2C2)(B1D1).

1


De mme, montrer que A1C1B1D1

=A2C2

B2D2revient montrer que (A1C1)(B2D2) = (A2C2)(B1D1) :

(A1C1)(B2D2) = (A1B2)(C1D2) = (A2B1)(C2D1) = (A2C2)(B1D1).

Dfinition (Fraction rationnelle irrductible) Soit R K(X). On appelle forme irrductible de R toute criture de R dela forme R =

A

Bo A et B sont premiers entre eux ; une telle criture est toujours possible.

Exemple La fraction(X2 + 1)(X + 1)2

X(X + 1)nest pas irrductible, mais la fraction

(X2 + 1)(X + 1)

Xlest.

Dans tout ce qui suit, quand nous dirons Soit R =A

B K(X) , il sera sous-entendu que (A,B) K[X]2 et que B 6= 0.

Dfinition (Drive dune fraction rationnelle)

Soit R = AB K(X). La fraction rationnelle A

B ABB2

dpend seulement de R, et non du choix de A et B eux-mmes ;

on lappelle la drive de R.

Soient R,S K(X) et , K. On a :(R+ S) = R + S, (RS) = RS +RS et si S 6= 0,

R

S

=RS RS

S2.

Dfinition (Degr dune fraction rationnelle)

(i) Soit R =A

B K(X). La quantit A B dpend seulement de R, et non du choix de A et B eux-mmes ; on

lappelle le degr de R, not R. Le degr dune fraction rationnelle est ainsi soit un entier relatif, soit .

(ii) Soient R,S K(X). On a : (R+ S) 6 maxn

R, So

et (RS) = R+ S.

(iii) Soit R K(X) non constante. On a : R = R 1.

$$ $ Attention ! Seule la fraction rationnelle 0 est de degr , mais une fraction rationnelle peut tre de degr positifsans tre un polynme. Par exemple :

1) 1 +1

X=

X + 1

Xest de degr 0 mais nest pas une fraction rationnelle constante ;

2)X4 +X3 + 1

X2 + 3est de degr 4 2 = 2 mais nest pas un polynme.

Dmonstration Justifions seulement lassertion (i). Soient (A1, B1), (A2, B2) K[X]2 tels que B1 6= 0 etB2 6= 0. Supposons quon ait R = A1

B1=

A2

B2et montrons qualors A1 B1 = A2 B2.

Par hypothse A1B2 = A2B1, donc A1 + B2 = A2 + B1. Cest le rsultat voulu.

Exemple Si P =P

1 K[X], le degr de P comme polynme concide avec son degr comme fraction rationnelle. On a en

effet : P = P 0 = P 1.

2 Fonctions rationnelles, zros et ples

Dfinition (Fonction rationnelle) Soient R =A

B K(X) irrductible et eA et eB les fonctions polynomiales associes

respectivement A et B. La fonction eR : x 7eA(x)

eB(x)dfinie sur K priv des racines de B est appele la fonction rationnelle

associe R ; cette dfinition est possible car elle dpend seulement de R, et non de A et B eux-mmes.

2


Explication Dans cette dfinition, on impose lcriture R =A

Bdtre irrductible pour que le dnominateur de R

ait le moins de racines possible, et donc pour que la fonction eR soit dfinie sur le plus grand ensemble possible. Par exemple, la

fonction rationnelle x 7 x3 + x+ 1

x 1 est dfinie naturellement sur Rr

1

, mais la fonction x 7 x(x3 + x+ 1)

x(x 1) lest seulementsur R r

0, 1

.

Dfinition (Zro et racine dune fration rationnelle, ordre de multiplicit) Soit R =A

B K(X) irrductible.

Soit K. On dit que est un zro de R si est une racine de A ; la multiplicit de dans A est alors appele lamultiplicit de dans R.

Soit K. On dit que est un ple de R si est une racine de B ; la multiplicit de dans B est alors appele lamultiplicit de dans R.Un ple de multiplicit 1 est aussi appel une ple simple ; de multiplicit 2, un ple double.

Explication On a bien pris soin ici de travailler avec une forme irrductible de R : quand A et B sont premiers entreeux, il est certain quils nont pas de racine commune. La confusion zro/ple est donc impossible.

Exemple Dans R(X), la fraction(X2 + 1)(X 2)3(X + 1)X

(X 1)2(X2 +X + 1) a pour zros les rels 1, 0 et 2 et pour ple le seul rel 1. Lamultiplicit de 2 est gale 3, celle de 1 est 2, etc.

3 Etude locale dune fraction rationnelle

3.1 Partie entire dune fraction rationnelle

Thorme (Partie entire dune fraction rationnelle) Soit R =A

B K(X). Il existe un unique polynme E K[X] et

une unique fraction rationnelle Q K(X) tels que :

R = E +Q et Q < 0.

Le polynme E est appel la partie entire de R ; il est gal au quotient de la division euclidienne de A par B.

En pratique Vous devez absolument connatre la dmonstration de ce rsultat, car cest grce elle que loncalcule concrtement la partie entire dune fraction rationnelle. Lide est simple : il suffit de faire une division euclidienne.

Dmonstration

Existence : Ecrivons R = AB

et introduisons la division euclidienne (E,F ) de A par B. Alors aussitt

R =A

B=

EB + F

B= E+

F

B. Posant Q =

F

B, nous obtenons bien le rsultat voulu, car Q = F B < 0.

Unicit : Soient R = E + Q et R = eE + eQ deux dcompositions de R conformes lnonc du thorme.Alors E eE = eQ Q. Comme eQQ 6 max

n

eQ, Qo

< 0 et comme E eE est un polynme, alors

E eE = , i.e. E = eE. Du coup Q = eQ.

Exemple La partie entire de la fractionX4 3X3 + 5X2 1

X2 3X + 1 est X2 + 4.

En effet Et une petite division euclidienne : X4 3X3 + 5X2 1 = (X2 3X + 1)(X2 + 4) + (12X 5).

3


3.2 Parties polaires dune fraction rationnelle

Thorme (Partie polaire associe un ple) Soient R K(X) et K un ple de R de multiplicit m. Il existe uneunique famille (a1, a2, . . . , am) Km et une unique fraction rationnelle Q K(X) nadmettant pas pour ple telles que :

R =

mX

k=1

ak

(X )k +Q.

La sommemX

k=1

ak

(X )k est appele la partie polaire de R associe . Les ples de Q sont alors exactement les ples de Rautres que , avec les mmes multiplicits.

Dmonstration

Unicit : Soient R =mX

k=1

ak

(X )k +Q et R =mX

k=1

eak

(X )k +eQ deux dcompositions de R conformes

lnonc du thorme. On a alors :

mX

k=1

(ak eak)(X )mk = ( eQQ)(X )m F.

1) Ecrivons eQQ sous forme irrductible : eQQ = UV. Alors ( eQQ)(X )m = U(X )

m

V

est un polynme via F, donc V

U(X )m. Or puisque eQQ nadmet pas pour ple, nest pas uneracine de V et donc V et (X )m sont premiers entre eux. On peut donc en dduire que V U via lethorme de Gauss. Conclusion : eQQ est un polynme.

2) Du coup, F montre que (X)m

mX

k=1

(akeak)(X)mk. Or la somme en question est de degr

au plus (m1). Par consquent cette somme est nulle :mX

k=1

(akeak)(X)mk = 0. Par composition

par (X + ), cela revient dire quemX

k=1

(ak eak)Xmk = 0, donc que ak = eak pour tout k J1, mK aprs

identification. Il est finalement clair que Q = eQ.

Existence : Fixons K et raisonnons par rcurrence sur m.Initialisation : Considrons dans cette preuve quune fraction rationnelle nadmettant pas K pourple admet pour ple de multiplicit 0. Avec cette convention, lexistence dune partie polaire est videntedans le cas dun ple de multiplicit m = 0.

Hrdit : Soit m N. Faisons lhypothse que toute fraction rationnelle admettant pour ple demultiplicit infrieure ou gale m possde une partie polaire.

Soit R K(X) admettant pour ple de multiplicit (m + 1). Ecrivons R = A(X )m+1B o B() 6= 0

puis posons am+1 =A()

B(). Le polynme A am+1B admet alors pour racine. Il existe donc un polynme

C K[X] tel que A am+1B = (X )C. Alors :

R am+1(X )m+1 =

A am+1B(X )m+1B =

(X )C(X )m+1B =

C

(X )mB .

On en dduit que R am+1(X )m+1 admet pour ple de multiplicit infrieure ou gale m pas forcment

gale, car il se peut que soit racine de C. Par hypothse de rcurrence, il existe comme voulu des scalairesa1, a2, . . . , am K et une fraction rationnelle Q K(X) nadmettant pas pour ple tels que :

R am+1(X )m+1 =

mX

k=1

ak

(X )k +Q, et donc : R =m+1X

k=1

ak

(X )k +Q.

En pratique Comment sy prend-on pour calculer les parties polaires dune fraction rationnelle ? Contentons-nous

dtudier ici le cas des ples simples. Soient donc R =A

B K(X) et K un ple simple de R. Reprenant les notations du

thorme, crivons que R =a

X +Q. Deux cas se prsentent alors. Supposons B donn explicitement sous forme factorise : B = (X )C.

Alors C() 6= 0 car est de multiplicit 1. Multiplions lgalit R = aX +Q par (X) ; cela nous donne une nouvelle

identit :A

C= (X )R = a+ (X )Q. Evaluons-la en : a = A()

C().

4


Supposons que la factorisation de B par (X) nest pas calcule explicitement. Cela revient dire que la divisionB = (X )C ne nous est pas connue. Mais tout de mme elle existe. Et donc, via le premier point : a = A()

C().

Drivons alors lgalit B = (X )C : B = C + (X )C, puis valuons en : C() = B(). Ce calcul montreque a =

A()

B(). Petite formule connatre.

Exemple La partie polaire deX2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) associe au ple 1 est 5

(X 1)2 10

X 1 .

En effet

Nous savons quil existe deux rels a et b et une fraction rationnelle Q nadmettant pas 1 pour ple tels que :X2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) =a

(X 1)2 +b

X 1 +Q.

Multiplions cette galit par (X 1)2 : X2 + 3X + 1

X 2 = a + b(X 1) + (X 1)2Q, puis valuons le

rsultat obtenu en 1, en nous souvenant que 1 nest pas un ple de Q : a = 5.

Du coup : bX 1 +Q =

X2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) +5

(X 1)2 =X2 + 8X 9

(X 1)2(X 2) .

A ce stade, il est obligatoire que le numrateur de la fractionX2 + 8X 9

(X 1)2(X 2) soit divisible par (X 1) car

le membre de gaucheb

X 1 +Q est la partie polaire dune fraction rationnelle dont la multiplicit du ple

1 est gale 1. De fait :X + 9

(X 1)(X 2) =X2 + 8X 9

(X 1)2(X 2) =b

X 1 +Q.

Multiplions cette galit par (X 1) : X + 9(X 2) = b + (X 1)Q, puis valuons le rsultat obtenu en 1,

en nous souvenant que 1 nest pas un ple de Q : b = 10. Cest fini.

3.3 Dcomposition en lments simples dans C(X)

Thorme (Dcomposition en lments simples dans C(X)) Soit R C(X). Alors R est la somme de sa partie entire et de ses parties polaires. En dautres termes, si E est la partie entire de R et si 1, 2, . . . , r sont les ples de R de multiplicits respectives

m1,m1, . . . ,mr, alors R scrit :

R = E +rX

i=1

miX

j=1

aij

(X i)j , o aij C, i J1, rK, j J1,miK.

Cette dcomposition de R est appele la dcomposition en lments simples de R (dans C(X)).

$ $ $ Attention ! Noubliez pas la partie entire !

Dmonstration Notons Q la somme de toutes les parties polaires de R et posons E = R Q. Alors E naaucun ple dans C. Si E =

A

Best une forme irrductible de E, cela signifie que B na pas de racine dans C. Or via

la thorme de dAlembert-Gauss, tout polynme non constant de C[X] est scind. Par consquent B est constant.Conclusion : E est un polynme.

Comme Q est la somme de toutes les parties polaires de R, Q < 0 ncessairement. Nous pouvons donc affirmer

ceci :

8

1 : La fonction x 7 1(1 n)(x )n1 est une primitive de x 7

1

(x )n .

7


2) Cas n = 1 : Si est un rel, x 7 ln |x | est une primitive de x 7 1x . Mais que se passe-t-il si

C r R ? Ecrivons, pour a, b R, b 6= 0 : 1X (a+ ib) =

(X a) + ib(X a)2 + b2 =

1

2 2(X a)

(X a)2 + b2 +ib

(X a)2 + b2 .

Il est alors facile de vrifier que la fonction x 7 ln (x a)2 + b2 est une primitive de x 7 2(x a)(x a)2 + b2 et que

x 7 Arctan x ab

est une primitive de x 7 b(x a)2 + b2 .

Arms de ces techniques, nous savons primitiver thoriquement toutes les fractions rationnelles. Mais pourquoi tho-riquement ? Pour dcomposer en lments simples une fraction rationnelle, il est ncessaire de connatre ses ples, i.e.les racines du dnominateur dans une forme irrductible. Or vous le savez, il nest pas facile dexprimer les racines dunpolynme. Sil est de degr 2, vous savez faire. Pour les degrs 3 ou 4, des formules atroces sont disponibles sur le march.Mais partir de 5 les choses se gtent : le problme nest pas quon na pas encore trouv de formule ; le problme, cestquil nen existe pas.

Reprenons notre fraction rationnelle R et supposons que ses coefficients sont rels, i.e. que R R(X) cest le cas le pluscourant. Il se peut tout de mme que R ait des ples complexes non rels. Soit C r R un tel ple. Alors est aussi unple de R, de mme multiplicit que . En conjuguant la dcomposition en lments simples de R, on montre facilement,de plus, que les parties polaires associes et sont conjugues. Nous lavons dj vu sur un prcdent exemple.

On peut ainsi tre amen primitiver des fonctions de la forme x 7 ax +

a

x . Surtout, ne primitivez jamaissparment les deux fonctions de cette somme, ce serait inutilement long. Ecrivez, pour tout x R, que :

a

x +a

x =a(x ) + a(x )

(x )(x ) =2Re(a)x 2Re(a)x2 2Re()x+ ||2 . Le discriminant au dnominateur vaut Im()

2< 0.

La primitivation dune telle fonction a t effectue dans lexemple sur lequel nous avons ouvert ce paragraphe.

Exemple

Z 1

2

0

t5 dt

t4 1 =1

8+

1

4ln

3

5.

En effet Nous avons dj calcul la dcomposition en lments simples de la fractionX5

X4 1 . Pour tout

t

0,1

2

:t5

t4 1 = t+1

4

1

t 1 +1

t+ 1 1t i

1

t+ i

= t+1

4

1

t 1 +1

t+ 1 2tt2 + 1

.

Une primitive de t 7 t5

t4 1 sur

0,1

2

est donc t 7 t2

2+

1

4

ln(1 t) + ln(t + 1) ln(t2 + 1), cest--dire

t 7 t2

2+

1

4ln

1 t21 + t2

. Le rsultat en dcoule aussitt.

Exemple limx

Z x

0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)3=

pi

33 1

2, ce quon note aussi :

Z

0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)3=

pi

33 1

2.

En effet Nous avons dj calcul la dcomposition en lments simples de la fractionX

(X2 +X + 1)(X + 1)3.

Pour tout t R+ :t

(t2 + t+ 1)(t+ 1)3=

i3

j

t j j

t j

1(t+ 1)3

+1

t+ 1=

i3 (j j)t

(t j)(t j) 1

(t+ 1)3+

1

t+ 1

= t

t+1

2

2

+3

4

1(t+ 1)3

+1

t+ 1=

t+1

2

t+1

2

2

+3

4

+1

2 1

t+1

2

2

+3

4

1(t+ 1)3

+1

t+ 1

= 12

2

t+1

2

t+1

2

2

+3

4

+13

3

2

t+1

2

2

+3

4

1(t+ 1)3

+1

t+ 1.

Ces horribles calculs montrent finalement quune primitive sur R+ de t 7 t(t2 + t+ 1)(t+ 1)3

est donne par la

fonction F dfinie pour tout t R+ par :

F (t) = 12

ln

"

t+1

2

2

+3

4

#

+13Arctan

t+1

23

2

+1

2(t+ 1)2+ln(t+1) = ln

t+ 1t2 + t+ 1

+1

2(t+ 1)2+

13Arctan

2t+ 13

.

Finalement :

limx

Z x

0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)3= lim

x

F (x)F (0) = pi23

1

2+

13Arctan

13

=pi

23

1

2+

pi

63

=pi

3312.

8


3.4.2 Intgrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus

En pratique Soit R une fraction rationnelle de deux variables par exemple R(X,Y ) =X + Y 2

X3 + Y X . Dans le

cas o cette intgrale est bien dfinie, nous cherchons calculer

Z b

a

R(cos t, sin t) dt, o a, b R. Une telle intgrale se calculetraditionnellement au moyen de ladite rgle de Bioche.

Si R(cos t, sin t) dt est invariant par la transformation t 7 t, effectuer dansZ b

a

R(cos t, sin t) dt le changement

de variable x = cos t.

Si R(cos t, sin t) dt est invariant par la transformation t 7 pi t, effectuer dansZ b

a


de variable x = sin t.

Si R(cos t, sin t) dt est invariant par la transformation t 7 pi+ t, effectuer dansZ b

a


de variable x = tan t.

Enfin, si aucune des rgles prcdentes ne sapplique, effectuer le changement de variable u = tan t2. Il est alors

ncessaire dutiliser les formules cos t =1 u21 + u2

, sin t =2u

1 + u2et tan t =

2u

1 u2 . En ralit, cette dernire rgle marchetoujours ; on peut donc lutiliser systmatiquement. Mais elle complique sensiblement les calculs dans la plupart des cas.

Notez bien la prsence de dt dans R(cos t, sin t) dt . Une fois quon a effectu lun des changement de variable dcritci-dessus, on est ramen au calcul dune intgrale de fraction rationnelle classique .

Exemple Pour tout ]1,[ :Z

2pi

0

dt

+ sin t=

2pip

2 1.

En effet Fixons ]1,[. Ici, seul le changement de variable x = tan t2convient. Or ce changement de variable

ne peut tre effectu que si t dcrit par exemple lintervalle ] pi, pi[.Z

2pi

0

dt

+ sin t=

Z pi

pi

dt

+ sin tpar 2pi-priodicit de la fonction sinus

= limrpi

Z r

r

dt

+ sin tcar r 7

Z r

r

dt

+ sin test continue sur R via le thorme fondamental de lanalyse

= limrpi

Z tan r2

tan r2

1

+2x

1 + x2

2 dx1 + x2

via le changement de variable x = tant

2

= lims

Z s

s

2 dx

x2 + 2x+ aprs une composition de limites.

Nous allons calculer sparment cette intgrale. Soit donc s R.Z s

s

2 dx

x2 + 2x+ =

2

Z s

s

dx

x2 +2

x+ 1

=2

Z s

s

dx

x+1

2

+2 12

=2

"

p

2 1 Arctan1 + xp

2 1

#x=s

x=s

.

On obtient le rsultat voulu en faisant tendre s vers .

Exemple

Z pi

0

sin t dt

4 cos2 t =ln 3

2.

En effet Effectuons le changement de variable x = cos t, pour lequel dx = sin t dt . Cela nous donne :Z pi

0

sin t dt

4 cos2 t =Z

1

1

dx4 x2 =

Z

1

1

dx

4 x2 . Il nous faut alors dcomposer en lments simples la fraction

rationnelle1

4X2 . Nous cherchons donc a, b C tels que :1

4X2 =a

X 2 +b

X + 2.

1) Profitant de la parit de1

X2 4 , crivons :1

4X2 =1

4 (X)2 =b

X 2 +a

X + 2. Ceci est

une nouvelle dcomposition en lments simples de1

X2 4 . Par unicit dune telle dcomposition, onobtient ainsi lgalit : b = a.

2) Multipliant par (X 2) puis valuant en 2, on montre aisment que : a = 14.

Il est temps de conclure :

Z pi

0

sin t dt

4 cos2 t =Z 1

1

dx

4 x2 =1

4

Z 1

1

dx

x+ 2Z 1

1

dx

x 2

=1

4

ln2 + x

2 xx=1

x=1

=ln 3

2.

9

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