Application des vibrations b5140

27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour


Toute reproduction sans a

B 5

14

0

5

- 19

94

Isolation antivibratoire et antichoc

Dfinitions. Principes physiquespar Bernard GARNIER

Chef du Service Projets la socit MTRAVIB RDS

1. Sources, transferts et rcepteurs vibro-acoustiques .................... B 5 140 - 2

2. Dcouplage et isolation ......................................................................... 4

3. Amortissement ......................................................................................... 43.1 Principes ....................................................................................................... 43.2 Mesures de laboratoire : module dYoung et coefficient

damortissement.......................................................................................... 5utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 140 1

a suspension lastique des machines pour rduire la transmission desvibrations indsirables leur environnement est devenue une pratique

courante, tout comme le montage souple des systmes fragiles ou sensiblesaux vibrations afin de mieux les protger. La mise en uvre de ces dispositifspourrait sembler assez simple, ds lors quon suit bien les indications desconstructeurs ; et pourtant nombreux sont les cas qui requirent une attentionparticulire pour viter des rsultats malencontreux, allant jusqu des usuresou des ruptures prmatures.

Pour rsumer les facteurs qui conduisent ce regain dattention lors du choixdune isolation antivibratoire ou antichoc, on citera en particulier :

la volont dallger et de rduire la taille des machines tout en accroissantleur puissance, ce qui amne les constructeurs choisir des vitesses de rotationplus rapides, des carters et des arbres moins rigides, des btis moinssurdimensionns ;

la volont de dcliner des gammes standardises de moteurs, de botes etde transmissions, daccouplements, de gnratrices, de pompes, etc., ce quimultiplie les possibilits de combinaisons lors dune mise en groupe sans que leconstructeur ait pu toutes les valider sur le plan dynamique et vibratoire, dodes configurations parfois dlicates oprer ;

4. Raideurs statique et dynamique .......................................................... 7

5. Suspension antivibratoire dun objet rigide..................................... 95.1 Modlisation ................................................................................................ 95.2 Importance du modle damortissement .................................................. 115.3 Du modle la ralit ................................................................................. 12

6. Suspension antichoc dun objet rigide .............................................. 146.1 Physique du choc......................................................................................... 146.2 Choc direct sur une masse suspendue lastiquement............................. 146.3 Description dun choc.................................................................................. 156.4 Du modle la ralit ................................................................................. 16

7. Suspension dun objet dformable ..................................................... 16

8. Contrle actif ............................................................................................ 16

9. Vers des structures intelligentes ? .............................................. 17

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. B 5 142

L


ISOLATION ANTIVIBRATOIRE ET ANTICHOC _________________________________________________________________________________________________

TouteB 5 140 2

une volont de modularit et de souplesse damnagement des ateliers deproduction, ce qui va amener les utilisateurs implanter des instruments decontrle ou des bureaux au plus prs de certaines machines, donc contrler etrduire davantage les sollicitations vibro-acoustiques quelles gnrent, ou minimiser linterfrence de diverses units de production autrefois disjointes ;

une proccupation dergonomie et de protection des travailleurs, ce qui,aprs avoir impos le port de protections individuelles ressenti souvent commeinconfortable, impose maintenant de spcifier des niveaux acoustiques ambiantsdans les ateliers directement acceptables sans pour autant que des systmes tropcomplexes de capotages et de mise en cabines ne gnent les flux de productionni les interventions de maintenance.

Une isolation antivibratoire bien conduite peut rpondre tout cela, moyennantlapplication attentive des concepts et mthodes dtaills et illustrs dans leprsent article et dans larticle [B 5 141], qui abordent successivement :

Dfinitions et principes physiques ; Solutions technologiques et industrielles.

Le lecteur se reportera galement larticle Vibrations des structures industrielles [R 3 140]dans le trait Mesures et Contrle.

1. Sources,transfertsvibro-aco

Dune manire gnrale,termes de sources de bruiau sein des structures et mprsentant une sensibilit

Les sources sont, pourtransformation dnergie travail mcanique (mouvepression dun fluide, usinamachines sont le sige de fqui ne peuvent pas tre totprovoquent aussi des dfomoteur thermique, par exemtions en tout point dattachede tuyauteries, etc.) ou mofluctuations de vitesse et defluides qui les traversent (lietc.). Le fait que statiquemesoit assur par ses pieds nmission des vibrations et dutre galement considre

Les voies de transferttoute nature qui environneles entoure, les rseaux fluutile de distinguer les voiesdes voies acoustiques (protout en tant conscients couplage : il nest que rasparment dun bout lapropagation. reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique et rcepteurs ustiques

notre environnement peut tre dcrit ent et de vibrations, de voies de transfert

ilieux les plus varis, et de rcepteurs leur ambiance vibro-acoustique.

la plupart, des machines oprant une(lectrique, thermique, ptrolire) en

ments alternatifs, rotation, lvation dege ou formage dun matriau, etc.). Lesorces internes et de ractions inertielles

alement compenses par construction etrmations de leur enveloppe (carter dun

ple) ; de ce fait, elles gnrent des vibra- fixe (pattes de fixation des carters, bridesbile (brides des arbres tournants), et des pression tant lair environnant quauxquide pomp, fluide de refroidissement,nt lessentiel de la fixation de la machineempche pas que, sur le plan de la trans-

bruit, toutes ces autres liaisons doivents.

sont constitues par les structures dent la ou les sources, y compris lair quiides et les connections lectriques. Il est solidiennes (propagation de vibrations)pagation de fluctuations de pression),de leurs nombreuses possibilits derement possible de pouvoir analyserutre du problme les diverses voies de

Les rcepteurs sont constitus souvent par lhomme, qui exprimeune gne face aux bruits et aux vibrations, mais aussi par tout sys-tme capable dtre influenc par eux (capteur qui va convertir bruitset vibrations en signaux lectriques, mais aussi systme optique quiva subir un flou, systme lectromagntique qui va subir un parasite,etc.).

La figure 1a prsente un exemple typique ; on remarque que lamachine est relie son environnement par un certain nombre deliens mcaniques (les pieds, qui reprennent son poids, mais aussiles tuyauteries, arbres de transmission, etc.) et par lair environnant(et le fluide contenu dans les tuyaux). Lorsque le rcepteur est uneoreille ou un microphone, la conversion en bruit de la sollicitationde la source est soit directe (voie purement acoustique depuis le car-ter de la machine), soit le plus souvent due au rayonnement acous-tique dun ou plusieurs lment(s) de la structure environnanteexcit(s) par voie vibratoire ; dans ce dernier cas, on dira donc quela propagation couple vibration et acoustique.

Les lments de la figure 1a peuvent tre reprsents commeautant de voies de transmission en parallle (figure 1b). Chacunepeut tre dcrite et quantifie par une mathmatisation en termesde fonctions de transfert, dont chacune dcrit les relations entre/sortie de chaque lment de la chane de transmission (figure 2).Tout point pouvant vibrer dans six degrs de libert (3 translationset 3 rotations indpendantes), puisquil sagit de la mcanique desolides dformables, lexpression gnrale de cet exemple met enjeu pour chaque point dattache de la machine le nombre dedescripteurs prcis sur la figure 2.

Lintrt fondamental de cette approche tient la proprit delinarit de la rponse vibro-acoustique des structures dans laquasi-totalit des situations pratiques, qui rend de ce fait la fonctionde transfert indpendante de la sollicitation prcisment appliqueet donc en fait une caractristique intrinsque et invariante de ll-ment de transfert correspondant.

On pourra se reporter la norme franaise NF E 90-001 (en largeconcordance avec la norme internationale ISO 2041) pour ladfinition prcise des grandeurs en jeu. On rappelle au tableau 1les dfinitions usuelles des fonctions de transfert mcaniques.27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour



_________________________________________________________________________________________________ ISOLATION ANTIVIBRATOIRE ET ANTICHOC


Figure 1 Exemple dune machine relie soavec source, transferts et rcepteur

Figure 2 Caractrisation de la chane de trapour chaque point dattache de la figure 1b

Tableau 1 Dnominations normalises des relationsentre/sortie ponctuelles en analyse vibratoire

(daprs ISO 7626/1)

Relation Dnomination

Compliance

Mobilit (ou admittance)

Acclrance

Raideur dynamique

Impdance

Masse dynamique

xF-----

DplacementForce

---------------------------------------=

vF------

VitesseForce

----------------------=

F-----

AcclrationForce

-------------------------------------=

Fx-----

ForceDplacement---------------------------------------=

Fv-----

ForceVitesse-----------------------=

F-----

ForceAcclration-------------------------------------=utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 140 3

(0)

La pratique la plus courante est de reprsenter les fonctions detransfert des structures par leur transforme de Fourier, qui en faitdonne un jeu de deux graphes en fonction de la frquence (moduleet phase, ou partie relle et partie imaginaire).

Nota : les fonctions de transfert des structures en jeu dans les problmes disolationantivibratoire sont le plus souvent acquises exprimentalement par des tests sousexcitation provoque (chocs laide dun marteau instrument, vibrations sinusodales oularge bande produites par un gnrateur lectrodynamique). Lemploi danalyseurs designaux bicanaux permet dobtenir directement, par transforme de Fourier, les fonctionsde transfert recherches. Mais, dans le cadre de projets, on peut aussi les obtenir partirde modlisations par lments finis. Le lecteur pourra se reporter pour plus dinformationssur les mthodes dobtention et dinterprtation des fonctions de transfert larticleVibrations des structures industrielles [R 3 140] dans le trait Mesures et Contrle.

On calcule la rponse globale du rcepteur de la maniresuivante :

on calcule dabord la contribution de chaque voie de transferten faisant le produit de convolution de la squence correspondantede la fonction de transfert (figure 2) ; en pratique, on fera le produitmatriciel frquence frquence de leurs descripteurs successifs ;

chacune de ces contributions est alors somme en module etphase en chaque point du rcepteur, quil sagisse de vibrations selonchaque degr de l ibert, ou dune pression acoustique.Physiquement, cela correspond une situation dinterfrence entreces diverses contributions au droit du rcepteur.

Nota : si plusieurs sources interviennent dans la mme installation mais sans syn-chronisme physique, elles seront considres comme autant de problmes indpendantsdont seule lnergie vibro-acoustique sajoute (sommes quadratiques). Si elles se trouventsynchrones (machines lies par des arbres ou des trains dengrenages, moteurs lectriquessynchrones coupls au mme rseau, etc.), il sera plus simple de les considrer comme uneseule source avec un nombre accru de points de fixation.

n environnement

nsmission

Ds lors quon est en gnral sans moyen dagir sur la sourceelle-mme, lobjectif de linstallateur va tre de minimiser lessollicitations vibro-acoustiques au stade de leur transfert parlenvironnement vers les rcepteurs protger, donc alternative-ment :

rendre les sollicitations de la source inaptes cettepropagation (figures 3a et b) ;

les dissiper plus efficacement avant quelles natteignentle rcepteur (figures 3a et c ).

On parlera alors de dcouplage dans le premier cas etdamortissement dans le second ; on conjuguera ces actionssil faut un rsultat maximal.



TouteB 5 140 4

2. Dcoupla

Reprenant les mathmadira donc que dcouplediscontinuit dimpdance

limpdance de transfert dondes, introduire un mtype dondes vibro-acousti

Ds lors que limpdancdynamique la vitesse vibrde souplesse dynamique trla machine que des supportant plutt raides par colment aussi souple que pdaccouplement lastique,

Leffet de cet lment vaniveau vibratoire en aval, lnergie vibratoire reste covibratoires augmentent dcombinaison dnergie de alors parfois grandement imasse de lensemble souconnue de massifs antivibrantichoc. Solutions technoconstitue un ensemble labloc de bton, qui reoit ddcoupler, et on suspend ledance sen trouve augmenten amont ont pour principaldirectement inversement ptrs faibles sil sagit de diz

En isolant le systme soeffet de le laisser dvelovibratoire : modes propresrsonances de flexion du codes arbres, etc., qui deviehabituel les maintient en exdes arrts ou mises en roufont pas sortir de lenvelopsibles par le systme et se

Nota : alors que la solution dun dcouplage vibratoire est en gnral recherche parlemploi dlments trs souples (supports lastiques, silentblocks, isolateurs anti-vibratoires, mais aussi accouplements flexibles et raccords flexibles de tuyauteries), onnotera pour mmoire quun dcouplage acoustique est plus souvent obtenu parlinterposition dlments trs inertes contrastant fortement avec limpdance acoustiquede lair : cloisons massives, glaces paisses, souvent mises en uvre en crans successifsspars par des lames dair, ce qui multiplie les contrastes dimpdance et augmenteconsidrablement les attnuations : doubles cloisons, doubles parois, doubles vitrages, tou-jours assez dissymtriques pour dcaler leurs rsonances respectives dont la concidenceenlverait ces frquences prcises toute efficacit au dispositif ! On les complte souventpar des absorbants fibreux, dont les effets amortissants rejoignent les principes dcrits auparagraphe 3 suivant, car la viscosit de lair lamne schauffer au travers de celabyrinthe de fibres. On utilise enfin des panneaux prsentant une faible raideur en flexion(pltre, carton, etc.), donc un couplage acoustique assez lev par concidence des lon-gueurs dondes, qui permet de prlever dautant plus dnergie au champ acoustique.

Lefficacit du dcouplage ralis va se mesurer par une rductiondu niveau peru par le rcepteur dans les mmes conditions de fonc-tionnement de la source : ce chiffre global est appel la perte parinsertion du dispositif.

Figure 3 Principes gnradiffrence entre dcouplage

On gardera lattention que la varit et le couplage mutueldes voies de transfert dans les situations relles peuvent rendredifficile linterprtation de ce rsultat global : il ne retraduit pas,par exemple, quelle est la contribution de la transmission par les reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

ge et isolation

tisations voques au paragraphe 1, onr une source revient accrotre la entre limpdance Zs de la source et

vers le rcepteur ou, en termesilieu trs rfringent vis--vis de chaqueques susceptibles de se propager.

e mcanique est le rapport de la forceatoire, il faut donc introduire un lments diffrente tant de celle de la patte de

ts sur lesquels elle est fixe. Ces derniersnstruction, on va donc rechercher unossible do les termes de dcouplage,de flexible, etc.

alors tre conjointement de rduire lemais aussi de laugmenter en amont :nfine autour de la machine, les niveauxonc ! Lnergie vibratoire tant une

dformation et dnergie cintique, on antrt augmenter significativement larce suspendu, do la disposition bienatoires (article Isolation antivibratoire etlogiques et industrielles [B 5 141]) : on fois trs lourd et trs rigide, tel quunirectement la machine ou lensemble tout : dune part, la discontinuit dimp-e et, dautre part, les vibrations retenues effet de mouvoir ce massif, des niveauxroportionnels sa masse (F = M ), doncaines de tonnes...

urce, le dcouplage va aussi avoir pourpper des phnomnes de rsonance de suspension ( 5, 6 et 7), mais aussirps de la machine, rsonances de torsionndront dangereux si le fonctionnementcitation. Sils sont seulement excits lorste, il faudra seulement vrifier quils nepe des mouvements maximaux admis-s liaisons son environnement.

Par ailleurs, si la gnration du bruit par les vibrations desstructures aval se trouve rduite au prorata de la perte par insertionainsi dfinie, dautres transferts tels que le rayonnement direct, lebruit des chappements ou des dispositifs de ventilation, etc.peuvent devenir prdominants et masquer la contribution du dcou-plage... De mme, sil sagit didentifier la performance du dcou-plage acoustique par un capotage ou une cabine isolante,retrouvera-t-on le mme problme de lmergence de voies depropagation antrieurement secondaires, mais devenuesprpondrantes, do lenjeu conomique dune approche vibro-acoustique globale incluant toutes les voies de transfert de manirehomogne !

3. Amortissement

3.1 Principes

Amortir des sollicitations vibro-acoustiques vise cette fois nonseulement rduire leur capacit se propager, mais les dissiperau sens strict, cest--dire les dgrader en chaleur. Sagissant degrandeurs cycliques (dplacements et contraintes vibratoires), celarevient introduire un phnomne dhystrsis dans la loidlasticit dynamique reliant contraintes et dplacements, donc rendre complexe le modle dYoung global du milieu.

ux de rduction des vibrations : et amortissement

Z sr

suspensions mises sous les pattes de la machine, relativementau transfert par les rseaux de tuyauteries et les arbres attels dautres machines et quipements.

La mise en quation montre que : lnergie dissipe par un matriau viscolastique est

proportionnelle lacclration vibratoire ; lnergie dissipe par un matriau visqueux est propor-

tionnelle la vitesse vibratoire ; lnergie dissipe par le frottement, sous rserve dun

effet de seuil, est proportionnelle au dplacement relatif vibra-toire.

Bien entendu, il est possible technologiquement de combinerplusieurs de ces mcanismes dissipatifs (article Isolationantivibratoire et antichoc. Solutions technologiques et indus-trielles [B 5 141]).

Cette capacit de dissipation proportionnelle lacclrationdonne donc lamortissement viscolastique une capacitparticulire amortir les vibrations de frquence leve, ce quiest particulirement ncessaire si la gne finale est acoustique,du fait de la sensibilit croissante de laudition de 20 1 000 Hz !27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





Moyens de crer un effet amortissant Une premire solution est de crer du frottement lchelle

macroscopique en crant un dplacement relatif entre les consti-tuants de la structure sous leffet des vibrations. On verra lors de lamise en quation de cette solution au paragraphe 5.2 quelle estsource de non-linarits importantes, et en particulier prsente ledfaut de ntre efficace quaux basses frquences, lors desollicitations de grande amplitude relative : ds que le seuil deglissement relatif des lments nest plus atteint, ceux-ci trans-mettent sans aucune attnuation les sollicitations vibratoires et nejouent donc plus aucun rle.

Une seconde solution est de chercher mettre en uvre laviscosit dun fluide appropri, par exemple en reliant la partievibrante un piston immerg dans un rserdnomm habituellement dashpot. On verquations de cette solution au paragraphe 5.caractre tout ou rien du frottement, la dientrane un raidissement progressif des frquence, ce que lon pourra compenser silmettant en srie lamortisseur visqueux avefrquence.

Nota : les systmes damortisseurs par viscosit sont extsur lexistence de deux chambres communicantes, domouvement de la partie suspendue. Cette dformation produlautre chambre, travers un orifice assez petit pour que lproduise un fort effet visqueux. Ces systmes font alors lnements, en particulier pour ajuster en fonction des circonsou ajutages. Par exemple, les amortisseurs de suspensionclapets tars des pressions telles quils souvriront au pasferms sur une route en bon tat, pour prsenter dans lamortissement conduisant la tenue de route suffisanteIsolation antivibratoire et antichoc. Solutions technologiqDe mme, en acoustique, les produits fibreux dissipent le dans leur rseau interstitiel.

Une troisime solution consiste utiliserde certains matriaux dissiper lnergie vibest connue sous le nom de viscolasticit molculaire tel que le module dlasticit (toucisaillement) est intrinsquement complexepondant llasticit du matriau et la partie idissipative.

Influence du couple temprature/frquenLemploi des matriaux viscolastiques e

mme des mcanismes dissipatifs dont ilnexistent que dans une plage troite dfrquences. La figure 4 montre lvolution dde lamortissement tan dun lastomre dodeux facteurs.

Nota : physiquement, cet tat dissipatif viscolastique transition dun matriau voluant de ltat caoutchoutiquehautes frquences, le matriau est sur le plan molculairefait, raide et lastique. Chaud, ou aux basses frquences, iplus mou, et aura plus facilement tendance au fluage. Son point dinflexion de son module dYoung entre ces deux taplus important en gnral que la transition sera rapidelquivalence entre les effets respectifs de la temprature edun coefficient adimensionnel t : cette loi, dite de Williamde reprsenter lensemble des comportements dun matrialement (figure 5), donc de constituer assez simplemepermettant la slection du matriau optimal pour une appdiffrentes tempratures et frquences constituent autmatresses (E et tan ).

On prsente la figure 6 un diagramme rdu domaine o lon connat actuellemenlastique tant par lemploi dun lastomre alliage mtallique : bien que ce domaine ste

On citera comme exemple de systmes utilisant lamortissement parfrottement les ressorts lames, autrefois universellement rpandus,encore prsents dans les suspensions des poids-lourds et des wagonsde marchandises, ou encore les frotteurs implants dans les lave-lingepour amortir les fortes vibrations susceptibles de se dvelopper dans lesphases dessorage. On rencontrera dautres exemples larticle suivantIsolation antivibratoire et antichoc. Solutions technologiques etindustrielles [B 5 141].utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 140 5

voir fix la partie fixera lors de la mise en2 que, sans prsenter lessipation par viscositsuspensions avec la

le faut, par exemple enc un dcouplage haute

rmement utiliss. Il sont bassnt lune est dforme par leit un mouvement de fluide vers

e cisaillement de lcoulementobjet de nombreux perfection-tances la section de ces orificess automobiles comportent dessage dun cahot mais resterontces diffrentes circonstances et au meilleur confort (articleues et industrielles [B 5 141]).

son par leffet visqueux de lair

la capacit intrinsqueratoire. Cette propritet correspond un tatt comme le module de

, la partie relle corres-maginaire sa capacit

ce

st limit par la natures sont le sige, et quie tempratures et deu module dYoung E etnn en fonction de ces

est maximal dans la phase de ltat vitreux. Froid, ou aux

dans son tat vitreux et, de cel passe ltat caoutchoutique,amortissement est maximal auts (figure 4), et il sera dautant. Une loi permet dexprimert de la frquence, par lemploi, Landel et Ferry (WLF), permetu donn par trois courbes seu-

nt des banques de donneslication donne. Les essais auxant de sections des courbes

capitulatif de ltenduet une solution visco-

que dun verre ou dunnde sans cesse, on voit

quil ne permet pas de rpondre, par exemple, un besoin dedissipation vibratoire importante (tan 1) avec un module dYoungdynamique compris entre 109 et 1010 N/m2 par voie viscolastique.

3.2 Mesures de laboratoire :module dYounget coefficient damortissement

Compte tenu de lquivalence frquence / temprature, il estcommode de combiner habilement des variations de ces deux para-mtres pour couvrir tout le spectre du matriau, tout en restant dansdes gammes de frquences permettant une mesure trs prcise. Ondonne ci-aprs lexemple des principes et des performances de deuxappareils dapparence trs diffrente mais demploi trs compl-mentaire ; dans les deux cas, on impose lchantillon une sollici-tation sinusodale une srie de frquences bien connues, et onmesure la rponse respectivement en contrainte, si on a excit endplacement, ou vice versa. Le rapport des modules de la contrainte la dformation dfinit le module de la raideur dynamique K ; leurdphasage permet de calculer directement lamortissement vis-colastique (ou hystrtique) = tan (figure 7). Par la forme delchantillon, on calcule ensuite le module dYoung du matriau.

Le premier appareil, diffus par Mtravib sous le nom deViscoanalyseur (figure 8a) et prsent dans plus de 200 laboratoires(industrie du caoutchouc, analyse des bitumes, etc.), est bas surlexcitation force de lchantillon mesurer par un vibrateurlectrodynamique. On mesure directement la force excitatrice et larponse vibratoire de lchantillon, dans une large gamme de fr-quence (5 1 000 Hz) et de temprature ( 150 + 450 oC) ; unevarit de porte-chantillons permet de solliciter lchantillon aussibien en traction-compression quen cisaillement, flexion 3 points,pompage annulaire, etc., dans une large gamme de modulesdYoung ou de Coulomb (103 1012 N/m2), dangle de perte (0,1 90o), de viscosit (0,1 106 Pa s), de prcontrainte statique etdamplitude vibratoire ( 0,1 m 3 mm).

Figure 4 volution du module dYoung E et de lamortissementtan en fonction de la temprature, diffrentes frquences(de 5 200 Hz) (doc. Mtravib)



TouteB 5 140 6

Figure 5 Prsentation syndu matriau de la figure 4 p (a) lecture du coefficient calcul de la frquence rd (b) lecture du module dYrduite (c) lecture du coefficienten fonction de la frquence reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

Le second appareil, diffus par Mtravib sous le nom de Spectro-mtre Mcanique Dynamique (figure 8b), sollicite les chantillonsen vibration de torsion force (hors rsonance), en contrainte ou endformation impose. Particulirement adapt aux matriaux raides(mtaux, cramiques, composites matrice polymrique ou mtal-lique, etc.), il autorise une dynamique de mesure du module K deplus de 80 dB lors dun mme essai et la mesure de valeurs damor-tissement aussi faibles que 5 10 4. Comme lappareil prcdent,il est quip dune enceinte thermostate permettant l aussi decouvrir de 170 + 450 oC. Il permet de plus de caractriser les mat-riaux sous gaz neutre et mme sous vide.

thtique des caractristiquesar application de la loi WLF : en fonction de la tempratureuite (avec F frquence dutilisation)oung E en fonction de la frquence

damortissement tan rduite

tF t

Figure 6 Domaines defficacit des matriaux amortissants

Figure 7 Dfinition de langle de perte 27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





4. Raideurs statiqueet dynamique

Un point essentiel de toute la problmantivibratoire ou antichoc est de distinguer statique et dynamique pour tous les lmtransfert (figure 2), sachant que le commendynamique vaut de mme pour les cinq autpeut dfinir en analyse vibratoire (tableau 1

On doit en effet conjuguer : un problme de statique, qui est de

convenable le poids des machines et qLintroduction des lments de suspension donc une dformation continue qui se tmesurable de la suspension (article Isolatiochoc. Solutions technologiques et industrielmillimtre au centimtre selon la frquence plgrement augmenter avec le temps (fluag

un problme de dynamique, avec unfrquences caractristiques correspondsuspension ( 5), puis diverses frquences arespondant aux modes internes du supporstructure aval ou de la machine elle-mme

Figure 8 Appareils pour mesures de laboratutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 140 7

atique du dcouplageles notions de raideursents de la chane de

taire fait sur la raideurres grandeurs que lon).

supporter de manireuipements suspendus.assez souples entraneraduit par une flchen antivibratoire et anti-les [B 5 141]), allant duropre vise, et qui peute des lastomres) ;e premire rgion de

ant aux modes de la priori plus leves cor-t, ou aux modes de la(figure 9).

En gnral, il suffit de prendre en compte pour le premier cas lacaractristique de dflexion statique sous charge continue dessupports fournie par le constructeur, en veillant respecter lesvaleurs de temprature ambiante correspondantes. Par contre, dansle second cas, il faut dterminer les raideurs dynamiques effectivesde chaque lment dans chaque bande de frquence analyser.

Si tous les lments de suspension sont mtalliques, les raideursdynamiques considrer tiennent compte du niveau de vibrationrencontr ds lors quil y a frottement sec : on pourra du moinsencadrer la valeur de la raideur dynamique entre la valeurasymptotique fort niveau, qui est la valeur statique, et la valeurasymptotique faible niveau, qui est facile dterminer par calcul,puisquon suppose les mouvements de glissement bloqus par lefrottement interne.

Pour les lments lastomriques, la linarit est beaucoup plusnette autour de la position dquilibre et, par contre, la raideur intrin-sque de llastomre varie avec la frquence, temprature donne(figure 5), dans des proportions dautant plus importantes que llas-tomre est amorti. Cest en fait rarement le cas, pour des supportsstandards, car les lastomres peu amortis ont de bien meilleurescaractristiques mcaniques. On pourra alors retenir commetypiques, moins dindications plus prcises du constructeur :

une augmentation de raideur de x1,4 x1,5 une dizaine dehertz, donc pour le calcul des modes propres de suspension ;

oire (doc. Mtravib)



TouteB 5 140 8

une augmentation dequelques centaines de hfrquence intressant les p

une augmentation dedantirsonance interne dparticulire nest prise par par un bloc homogne d

Nota : la frquence dantirsonande sa hauteur : la vitesse de londe dans un caoutchouc courant, la preque la hauteur h du plot correspond

Les frquences suivantes corressuccessivement les 2/2, 3/ 2, 4 / 2, 5f2 2f1 , f3 3f1 , etc. Ces modes pllastomre.

Figure 9 Compliance dun

Il est donc vident qsuspension va dpendresupports eux-mmes, jus

f1

cL2h---------

de 500 Hz pour

5 kHz pour un = reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

raideur de x2 x3 aux frquences deertz qui caractrisent les zones deroblmes de bruit de machines ; raideur de x20 x50 aux frquencese llastomre, si aucune prcautionle constructeur (cas de plots constituslastomre peu amorti).ce dun bloc homogne dlastomre ne dpend quede compression cL tant de lordre de 250 500 m/smire antirsonance intervient la frquence f1 telle 1/ 2 de la longueur donde de compression, soit :

pondent la concidence de la hauteur du plot avec/ 2, etc. de la longueur donde de compression, soit

euvent induire des amplifications de 10 100 selon

titre dexemple, on prsente la figure 10a la raideur dynamiquedun plot lastique donn constitu partir dun bloc dlastomre,mesure dans deux de ses directions principales X et Z. Sa chargenominale est de 20 kN dans la direction Z , mais elle a t mesuregalement avec une charge rduite 2 kN. Les rsultats sont pr-sents moyenns pour chaque tiers doctave, technique qui permetde lisser les irrgularits des courbes brutes sans dnaturer linfor-mation ncessaire un projeteur.

On constate sur les rsultats de la figure 10a : lvolution trs diffrente de la raideur transverse (X )

relativement la raideur verticale dans le sens de la charge (Z ) ; le lger effet de la charge statique la fois sur le raidissement

du support selon Z et sur certaines frquences internes du plot.

On notera en particulier que la raideur transverse augmente dansun rapport de 1 10 (20 dB) entre 50 Hz et 800 Hz ! La raideur verticalenvolue dans le mme temps que dun rapport 3. Des rsonancesinternes sont perceptibles autour de 180 Hz en mode transverse etde 1 kHz en mode vertical. Ces variations de raideur dynamique fontde ce type de ralisation trs simple des plots difficiles utiliser enpratique.

massif suspendu en fonction de la frquence

ue la transmissibilit globale de la directement de la technologie desquau plus petit dtail !

un support de forte charge/ fort dbattement

tout petit plot27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





La figure

10

b

prsente un exemple peut-til sagit de la rponse dun support lastiqudun ressort hlicodal en parallle avec un souple, perfectionn par ladjonction de rondsrie cette fois avec le ressort pour en rdcompare alors sur cette figure la rponse dules configurations incompltes obtenues en soit les rondelles lastomriques. Il est alosonance 400 Hz est celle du ressort (et l, delles ramne de 18 8 dB laccident dynatandis que celle qui apparat autour de 1 kHlastomrique. Cela illustre bien la relle

comde supports antivibratoires bonnes carachaute frquence

(souvent dit

acoustique

, carde problmes de bruit).

Pour les structures amont

(pattes et corps

(supportage mcanosoud, dalle de planchevibratoires se traduisent par une chute de raifacteur de 1/50 1/100 pour les premiers modliques, ou 1/20 1/30 pour des structures evaleur moyenne de la raideur dynamique (c

de limpdance vibratoire) volue selon le tyLa dtermination par calcul, ou par mesupropres et tendances moyennes fait lobjet de

structures industrielles

[R 3 140] dans le traiLa correction de ces manques de rigidit (qui annulent toute lefficacit du dispositidmarche gnrale de conception sont aborvant

Isolation antivibratoire et antichoc. Soet industrielles

[B 5 141].

Figure 10 Raideurs dynamiques de plots lastiques typiquesutorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 140 9

re encore plus explicite:e composite constitusupport lastomriqueelles lastomriques enuire la rsonance. On

montage complet avecenlevant soit le ressort,rs vident que lantir-linterposition des ron-mique correspondant),z est celle du supportplexit de conception

tristiques de filtrage intressant la matrise

de la machine...) et avalr, etc.), les rsonances

deur considrable, dunes de structures mtal-n bton, tandis que laest--dire le squelettepe de structure en jeu.re, de ces frquences larticle Vibrations des

t Mesures et Contrle.telle ou telle frquencef de suspension) et lades dans larticle sui-lutions technologiques

5. Suspension antivibratoiredun objet rigide

5.1 Modlisation

Soit un objet de masse M et de centre de gravit G, pour lequelon dfinit des axes Gx, Gy, Gz, dispos sur une suspension lastique.Les dplacements indpendants de cet objet autour de sa positiondquilibre (vibrations), rendus possibles par la souplesse de sesliaisons son environnement, sont au nombre de six :

translation suivant Gx : mouvement longitudinal ; translation suivant Gy : mouvement transversal ; translation suivant Gz : mouvement vertical (pompage) ; rotation autour de Gx : mouvement de roulis ; rotation autour de Gy : mouvement de galop (ou de tangage) ; rotation autour de Gz : mouvement de lacet.

Les raideurs suivant les axes Gx, Gy, Gz sont respectivement Kx ,Ky , Kz . Les raideurs de torsion ou couples de rappel autour de Gx,Gy, Gz sont respectivement Cx

,

C

y

,

C

z

.

La raideur globale de la suspension est la somme des raideurs :

K

x

=

k

x

K y = k y K

z

=

k

z

On dfinira donc la suspension par six coefficients lastiquesglobaux, ramens au centre de gravit (figure

11

).



TouteB 5 140 10

Par contre, les couples de rappel dpendent non seulement de laraideur des supports, mais aussi de leur position et de leur orien-tation par rapport au centr

De mme, on dfinira poun coefficient damortissemdes oscillations naturelles en question samortir pcoefficient lastique est aien parallle un ressort :

et un amortisseur de type

En supposant une actioncette masse, lquation de

[M ] [ ] + [K ](1

o toutes les grandeurs du [M ] matrice des masses

correspondent aux axes pmatrice diagonale :

[K ] matrice des raideurs, rductible, si les coordonnes corres-pondent en mme temps aux axes principaux de la suspension, la matrice diagonale :

valeur de lamortissement en notation hystrtique ( 5.2) ; [ ] et [x ] vecteurs respectivement dacclration (linaire et

angulaire) et de dplacement vibratoire (linaire et angulaire).

Pour simplifier le dveloppement, on suppose que la force fenexcite quun seul des degrs de libert de la masse, par exemplelaxe z ; on retrouve alors les quations trs classiques de lavibration des systmes un degr de libert ; en posant :

la pulsation propre (respectivement la frquence propre) du

Figure 11 Dfinition des six constantes lastiquesde la suspension dun objet rigide

Ayant principalement nous adopterons demviscolastique (ou hystvoquant plutt un amolusage.

M

0

KxKy 0

KzKx

0 KyKz

0,zKzM------- ou f0,z

12---------

K

z M -------= =

reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.

Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

e

G

.

ur chacun de ces coefficients lastiquesent permettant de traduire la tendance

de la masse

M

selon le degr de libertriode aprs priode (figure

12

) : chaquensi figur par un symbole reprsentant

hydraulique :

cyclique extrieure

f

e

(

t

) sexerant surson mouvement est de la forme :

+ j

)[

x

] =

f

e

(

t

) avec j

2

= 1

membre de gauche sont matricielles :

et inerties, rductible, si les coordonnesrincipaux dinertie de la masse

M

, la

systme (frquence des oscillations libres de la masse

M

cartedans la direction

z

de sa position dquilibre), et

son coefficientdamortissement, on trouve classiquement :

qui a pour solution la superposition dune oscillation la pulsation

0

(oscillation libre ) et dune oscillation la pulsation

(oscillation force ).

Il est intressant dexprimer la

transmissibilit de la suspension

,rapport de la force

f

t

transmise par lembase de la suspension lenvironnement extrieur, la force excitatrice

f

e

. Leffort

f

t

est lasomme des efforts transmis par le ressort

K

et par lamortisseur

c

,soit :

ce qui donne, tous calculs faits :

La transmissibilit est donc de module :

et la rponse est dcale de (

+

) relativement la forceexcitatrice, et de

vis--vis du dplacement forc de la masse.

Lallure de la transmissibilit, qui est paramtre exclusivementpar lamortissement de la suspension

, est donne la figure

13

, enchelles linaire et logarithmique respectivement cette dernireayant en gnral la prfrence en raison de sa meilleure lisibilit.

traiter ici de supports lastomriques,ble la notation damortissementrtique) ( 3), malgr ce symbolismertisseur visqueux, mais consacr par

M 0M

IxIy

Iz

d2zdt 2-----------

0,

z

2

------------ d z

d t

--------

0, z 2 z + +

f

e

( )

M

----------------=

ft Kz c d

z

d t

---------+=

ft f01 2+

1 2

0,z2

------------ 2

42+------------------------------------------------- sin t + +( )=

T1 2+

1 2

0,z2

---------- 2

42+-------------------------------------------------=27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





Dans un monde o lon parle trs souvent en dcibels (soit 20 lg T ),on dira que lattnuation augmente alors de 12 dB par octave de fr-quence (cest--dire chaque fois que la frquence double) ou, demanire quivalente, de 40 dB par dcade de frquence, do le tracqui tend vers une droite de cette pente en chelles logarithmiques(droite de dcouplage). Bien sr, cela ne vaut qu effort donn. Onprendra garde en particulier que, dans le cnantes, leffort excitateur de balourd augmevitesse, soit 2 : dans ce cas, leffort transmencore par un maximum autour de 0 , mais tement (figure 14).

5.2 Importancedu modle damortissem

Revenant lquation fondamentale dunsur un ressort de raideur K, il est importanfondamentale introduite par les divers mo( 3).

partir du comportement du systme no

[M][ ] + [K ][x] = fe(t )

un amortissement de type frottemenforce de friction proportionnelle au dplasuspension, qui se soustrait la force extrau membre de gauche :

[M][ ] + [K ](1 + R)[x] = f

avec R coefficient de friction.

La force de friction est en phase avec le d

un amortissement de type visqueursistance proportionnelle, cette fois, la tive, soit donc :

[M ][ ] + c [v ] + [K ][x] = f

avec c coefficient de viscosit dynamique.

Pour un mouvement vibratoire damplitudela vitesse vibratoire est alors proportionv = A cos t, et la force visqueuse est elle la pulsation ;

un amortissement hystrtique est produ cycle force/dflexion qui se prsente aloindpendante de la frquence (figure 15) voir que lnergie dissipe par viscosit efrquence. De ce fait, le terme hystrtique e

(donc en quadrature avec le dplacement pour des mouvementssinusodaux), mais homogne la drive de la vitesse, do, enutilisant la notation complexe :

[M][ ] + [K ](1 + j)[x] = fe(t )

On retiendra avant tout : que la transmissibilit la rsonance de la suspension

( = 0) correspond une amplification par 1/ de la forceapplique la masse, comprise entre 5 et 25 pour leslastomres courants ( entre 4 et 20 %) ;

quaux pulsations trs basses la transmissibilitvaut 1 + ;

quaux pulsations suprieures la transmissibilitdevient infrieure 1 et vaut au premier ordre, la pulsation :

soit une attnuation proportionnelle au carr de la pulsation oude la frquence.

0 ( )

2 0

T ( ) 11

2

02

----------

---------------------=

Figure 12 Amortissement des vibrations naturellesdun objet suspendu en fonction du temps

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

B 5 140

11

as des machines tour-nte avec le carr de la

is la fondation passe

ne dcrot que trs len-

ent

e masse

M

suspendue

t de noter la diffrencedles damortissement

n amorti :

t sec

cre de plus unecement relatif

x

de laieure

f

e

, donc sajoute

e

(

t

)

placement

x

;

x

cre une force devitesse vibratoire rela-

e

(

t

)

constante,

x

=

A

sin

t

,nelle la pulsation :

aussi proportionnelle

portionnel lintgralers comme une ellipse

alors que lon vient dest proportionnelle last du signe de la vitesse

avec j2 = 1.

Cest fondamentalement lobservation des phnomnesdissipatifs rels qui permet de choisir lune ou lautre de ces misesen quation sachant que, si les rsultats diffrent trs peu autourde la frquence de rsonance du systme, elles induisent par contredes efficacits de dcouplage assez diffrentes haute frquence : amortissement identique la rsonance, cest le systme hyst-rtique qui, de loin, offre le meilleur filtrage (figure 13b).

Or on observe bien, dans la majeure partie des structures ralisesavec soin (absence de jeux, etc.) base de matriaux les plus divers(mtaux, lastomres, btons, etc.), une hystrsis lors dechargements/dchargements cycliques (figure 15) de caractris-tiques quasi constantes quelle que soit la frquence, do le choixdu modle hystrtique pour dcrire la plupart des dispositifs desuspension.

Pour aider le lecteur faire lquivalence entre tous lesmodles et tous les symboles employs dans les ouvrages surce sujet, on rappelle les notations suivantes :

la grandeur est dite amortissement

critique car un systme de masse M suspendu par un systmede raideur K et ayant un amortissement visqueux c aura une

rponse oscillante amortie la pulsation (figure12),si c < c c , et une rponse de retour asymptotique la position

dquilibre sans oscillations si ;

dans un amortissement visqueux, on note souvent = c /cclamortissement rduit du systme ;

on dmontre que lquivalence entre la notation ensystme visqueux et la notation en systme hystrtique larsonance est obtenue en posant :

avec coefficient damortissement employ au paragraphe 5.1et angle dfini la figure 7.

Aux forts amortissements, on observe seulement que larsonance est maximale un peu avant 0 dans le cas delamortissement visqueux (figure 13b).

cc 2 KM= 2M0=( )

0 K M=

c cc

2 tan 2 cc

c ------- c

KM ----------------- c

M

0 --------------= = = = =



TouteB 5 140 12

Figure 13 volution de la

Figure 14 Force Fmax transuspendue et prsentant unen fonction de sa vitesse de



5.3 Du modle la ralit

La modlisation tudie au paragraphe 5.1, pour tre trsclassique, nen est pas moins assez optimiste en raison des pointssuivants :

elle ne prend pas en compte la raideur dynamique de llmentlastique, ni ses modes internes, si bien que

la transmissibilit effec-tive est en gnral sensiblement moins favorable

que lattnuationde 12 dB/octave trouve prcdemment ; en moyenne, on peut

transmissibilit

T

en fonction de la frquence

smise par une machine tournante balourd

m

donn, rotation

Figure 15 Diagramme force transmise/dflexion du plotpour un cycle sinusodal de vibration de la suspension(lnergie dissipe par le plot correspond laire de lellipse)27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





considrer quelle sature une attnuation maximale de 30 15 dBselon que le support est ou non optimis pour un bon filtrage hautefrquence ( 4). On peut, si on connat lvolution du moduledYoung E (plot travaillant en traction /compression) ou de cisail-lement G (plot travaillant en cisaillement) en fonction de la frquence,corriger la formule de la transmissibilit haute frquence de lamanire suivante :

(ou respectivement en remplaant G par E pour la traction-compression) ;

elle nglige le couplage entre les divers degrs de libert, tantau niveau des mouvements de la masse M quau niveau desconstantes lastiques des supports, ce qui amne le filtrage effectif ne devenir significatif (T < 1) quau del de fois la frquencepropre la plus haute des 6 modes de suspension, et largir lazone frquentielle o il y a de fortes amplifications toute labande frquentielle de ces 6 modes.

titre dillustration, nous proposons dans lencart ci-dessous ledveloppement du modle prcdent pour deux degrs de libert.

Figure 16 Couplage des vibrations dans un

T ( ) 1 2+

1 2

02

--------- G

0

( )

G

( ) -------------------

2

4 2 +---------------------------------------------------------------------

2

Couplage des vibrations transverses et de roulis

Soit le moteur dcrit figure

16

, suspendu au-dessous ducentre de gravit par deux supports A et B identiques de raideur

K

y

et

K

z

, sans couplage mutuel et faiblement amortis.

Soit

M

la masse du moteur,

I

x

son moment dinertie autour delaxe Gx .

Posons alors :

C

le couple de rappel lastique autour de

G

, tel que et

le rayon de giration autour de laxe

Gx

:

I

x

=

M

2

On vrifiera que les quations dquilibre du moteur sur sessupports scrivent :

Il y a donc couplage entre la translation

y

et la rotation

.En recherchant les solutions sinusodales de la forme

on obtient lquation aux pulsations propres du

0,z2KzM

------------ , 0,y2KyM

------------ et 0,C

M2--------------= = =

C 2Ky 2 2Kz r

2+=

d2ydt 2

------------ 0, y2 y 0, y

2 + + 0=

d2dt 2

------------ 0, 2 0, y

2 2

-------- y + + 0 =

y y0 sin t =

utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique

B 5 140

13

moteur

systme :

dont les solutions relles sont les deux pulsations propressuivantes :

et

Il est ais dobserver que 1 < 0,y < 0, < 2 (ou vice versa),cest--dire que le couplage abaisse la plus basse des frquencespropres et lve la plus leve.

On peut vrifier que chaque solution propre est un mouvementqui combine des oscillations de translation y et de rotation (figure 16).

0 sin t =

4 0, y2

0, 2

+( ) 2 0, y2 0, 2 0, y4

2

2

--------+ 0 =

1

0, y2

0, 2

0, y2

0, 2

( )2 4 0, y4

2 2

--------++

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

2

0, y2

0, 2

0, y2

0, 2

( )2 4 0, y4

2

2 --------++ +

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=



TouteB 5 140 14

6. Suspension antichocdun objet rigide

La physique de base et la conception gnrale dune suspensionantichoc ne diffrent pas dans leurs principes de celles dunesuspension antivibratoire ; mais il y a au moins deux points tout fait spcifiques :

la description des sollicitations couple cette fois les aspectsfrquentiels et temporels et a souvent un caractre plus ou moinsprobabiliste ;

linformation requise est cette fois conjointement le chocrsiduel transmis lquipement (valeur crte de lacclration maxi-male) et le dbattement maximal de la suspension ; la conceptiondoit toujours trouver un compromis entre ces deux paramtres, alorsque le choix des supports est dict en premier lieu par le dbattementque lon souhaite permettre.

6.1 Physique du choc

Le choc de deux objets effet, anims de leurs vitesforce extrieure, les deuxmouvement, lnergie cinde choc dur, sil ny a aucuchaque masse repart avecsi les deux objets se lient quun seul solide anim d

Si lobjet 1 est seul enimmobile, on tablit facilem

pour un choc dur, ende lobjet impactant, M

2

lales vitesses aprs le choc :

pour un

choc mou

:

Dans la ralit, on est toet :

o

est parfois appel

fac

Par ailleurs, si lobjet d

hauteur

h

, il prendra la vite

La distinction choc moudans le domaine temporel

le

choc dur

est extrmtemps de propagation dechaque solide, soit, pour d

5 300 m /s (cas de lacier et du

Dural

) et des objets de tailledcimtrique, des temps de lordre de 10

5

s. Interprt en 1/2sinus ( 6.3), le choc va donc avoir un spectre centr entre 10

4

et 10

5

Hz ; le

choc mou

va mettre en jeu des matriaux beaucoup plusdformables, et souvent des dformations plastiques : lchelle destemps va cette fois sexprimer en millisecondes, le contenuspectral prdominant entre quelques centaines de Hz et 1 kHz.Cest ce qui produit dailleurs des sons ressentis la fois commeplus graves et plus mats . Ces frquences restent hautes devantles frquences propres des suspensions, ce qui justifie leshypothses faites.

Exemple : titre indicaplomb ...........Dural .............cuivre............acier XC 48 .

v 22M1

M1 M2+-------------------------

v 1 =

v 1 =

v 2 1 +( )=

Dans des cas rels, les chocs durs conduisent le plus souvent des rebonds, du fait de la pesanteur. Si les rebonds ontforcment un niveau plus faible que le choc initial, ils peuventavoir un effet aggravant du fait de la frquence plus basseintroduite par la rcurrence du rebond. Ils constituent aussi,dans le cas dessais de simulation de chocs, une difficultparticulire dont il est malais de se prmunir.



lastiques est assez simple dcrire : enses initiales lexclusion de toute autre objets changent de la quantit detique globale tant conserve. On parle

ne absorption dnergie, et dans ce cas une nouvelle vitesse, ou de

choc mou

,au cours du choc pour ne plus formerune nouvelle vitesse.

mouvement, et impacte un objet 2ent les vitesses aprs le choc :

notant

v

1

et

M

1

la vitesse et la masse

masse de lobjet impact et

ujours dans une situation intermdiaire,

teur de mallabilit.

e masse M1 est en chute libre dune

sse .

/choc dur a une autre porte, cette fois:ement bref, le contact ne durant que le

londe de dformation lastique danses vitesses de propagation de lordre de

6.2 Choc direct sur une massesuspendue lastiquement

Supposons un objet de masse M2 suspendu lastiquement frquence basse subissant un choc direct : il va donc prendre lavitesse soudainement au sens de ses oscillations naturelles, et

on se trouve alors ramen rsoudre lquation prcdemmenttablie pour la masse suspendue :

M2 + K (1 + j) x = 0

avec une condition initiale

La solution est bien connue : il sagit dune sinusode amortie(figure 17).

tif, on propose les valeurs suivantes :........................................................ = 0,05........................................................ = 0,20........................................................ = 0,30........................................................ = 0,50.

v 1 et v 2

et v 1 M

1

M

2

M

1

M

2

+------------------------

v 1 =

v 2M1

M1 M2+-------------------------

v 1 =

M

1

M

1

M

2

+------------------------- v 1 0 1

Documents

Application des vibrations b5140