Physique des sons et vibrations

CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHESCIENTIFIQUE

Master 2e année - Acoustique

Physique des sons et vibrations

Philippe Herzog

Mail : [email protected] - Tel : 04 91 16 40 89

Adnane Boukamel

Mail : [email protected] - Tel : 04 91 05 43 90

Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique - U.P.R. 7051 C.N.R.S.

31 chemin Joseph Aiguier - 13402 Marseille cedex 09

Physique des sons et vibrations 2009 - 1

Domaines d’application

Bruits :

– transports

– bâtiment

– déficiences auditives

Ondes :

– imagerie médicale

– sismique

– contrôle non destructif

– sonars

Sons :

– communications

– musique

– reproduction sonore


Caractéristiques générales

Géométrie

– confinement

– trajectoires

– obstacles

Flux

– source

– récepteur

– dissipation

Milieu

– fluides

– solides

– composites

Echelles

– distance

– taille

– durée

– fréquence


Objectif du cours

Analyse des problèmes de propagation :

– principaux phénomènes physiques

– propagations acoustique et vibratoire

– formulation analytique

– équations locales

⇒ Hypothèses et équations pour chaque cas d’étude


Contenu

Physique des sons et vibrations

C1 : Propagation : principe et applications

C2 : Ondes sonores en fluide non dissipatif

C3 : Ondes élastiques dans les solides

C4 : Dissipation dans les solides

C5 : Sources et dissipation acoustiques

C6 : Interface solide/fluide, couche limite

Examen : "pot-pourri" avec documents


Exemple : compression 1D

X

x1 x2

P1 P2

X

Dynamique dans un milieu élastique

Forces "externes" : P1∆S − P2∆S = M ∂tx

Forces "internes" : P1∆S + P2∆S = K (x2 − x1)


Limite (1D) pour un volume infinitésimal

Propriétés "locales" du volume de matière :

ρ0 = lim(∆S,∆x→0) m/V [kg.m−3]

χs = lim(∆S,∆x→0)−1V(∂PV )s [m2.N−1]

Expression locale : système de deux EDL1 en (p, v)

χs ∂tp + ∂xv = 0 [s−1]

ρ0 ∂tv + ∂xp = 0 [kg.m−2.s−2]


Formulation "équation d’onde" (1D)

Système de 2 équations : EDL2 en p + EDL1 en (p, v)

(c−20 ∂2

tt − ∂2xx)p = 0 [kg.m−3.s−2]

χs ∂tp + ∂xv = 0 [s−1]

Propagation :

EDL2 = Décalage d’un "signal" simultanément en espace et en temps

Célérité : c0 = 1/√ρ0χs [m/s]

Comportement du milieu :

EDL1 = Un des deux phénomènes physiques associés à ce "signal"

Compressibilité : G.P. (χs ≈ 1/γp0) - solide (χs ≈ 3/E si ν ≈ 0)

Autres phénomènes : cohésion, dissipation, hétérogénéités, etc


Acoustique / vibration = écarts

Variations temporelles

Signaux à moyenne nulle

Plus rapides que "quasi-statique"

Grand nombre de "cycles"

Amplitudes

Ecarts par rapport à "quasi-statique"

Faibles variations relatives (D.L., linéarisation)

Pas de changement d’état du milieu

Limite floue : fatigue mécanique, vibrations NL, etc


Grandeurs énergétiques

Deux formes d’énergie :

ec = 12 ρ0 |−→v |2

ep = 12 χs p

2[J.m−3]

Impédance caractéristique :

ec = ep ⇒ p/v = ρ0c0 = Zc [kg.m−2.s−1]

Etat "d’équilibre" entre les deux phénomènes fondamentaux

Solution particulière : "l’onde plane" (cf "impédance itérative")

Intensité acoustique :−→I = p−→v [W/m2]

Densité de puissance transportée par l’onde acoustique


Onde Plane sinusoïdale

Solution particulière - principe général

−1

0

1

Pre

ssio

n

−1

0

1

Vite

sse

−1

0

1

1 2 3 4 1

Inte

nsité

phase

Phases schématiques :

1 : compression ⇒ ∆ ep car I > 0

2 : mouvement / aval ⇒ ep → ec

3 : détente ⇒ ∆ ep car I > 0

4 : mouvement / amont ⇒ ep → ec

Transfert d’énergie sans déplacement moyen du milieu

Importance de la phase relative entre p et v


Puissance acoustique

−1

0

1

Pre

ssio

n

−1

0

1

Vite

sse

−1

0

1

Inte

nsité

phase

Déphasage ⇒ I < 0 par instants

Vitesse sans compression : ec augmente

Compression sans vitesse : ep augmente

Deux échelles de temps : (t, T )

Puissance P =∫

S

−→I · −→dS

Puissance moyenne Pa = 〈P (t)〉T : puissance "active"

Puissance fluctuante 〈Pr(t)〉T = 0 : puissance "réactive"

Onde générale : concentrations locales ec ou ep


Domaine fréquentiel

Transformation de Fourier (projection / base)

Axcos(ωt+ φ) = ℜ[

Xejωt]

avec X = Axejφ

x(t) X(ω) : superposition de composantes

∂tx(t) jωX : simplicité dérivée/intégrale

Propagation

(∆ + k2)p = 0 : équation de Helmholtz

k = ω/c : nombre d’onde

Echelle implicite : λ = c/f ⇔ kD = 2πD/λ

Etalon géométrique : la longueur d’onde λ


Ordres de grandeur : O.P audible

Pression Vitesse Déplacement

à 20 Hz à 1 kHz à 20 kHz

20 Pa 50 mm/s 0,4 mm 8 µm 0,4µm

20 mPa 50 µm/s 0,4 µm 8 nm 0,4nm

20 µPa 50 nm/s 0,4 nm [8 pm] [0,4pm]

Grande dynamique

Gamme de pressions > 106

Echelle logarithmique (dB)

Très faibles perturbations

Pressions << P0 = 105Pa

Vitesses << 6km/h ↔ 1.6m/s

Déplacements ≈ échelle atomique (HF)


Ordres de grandeur (2)

Milieu Air Eau Acier Aluminium

ρ0 [kg/m3] 1.2 1000 7700 2700

cl [m/s] 340 1490 5900 6300

ct [m/s] - - 3230 3080

Source φ80mm, à 1m, à 100Hz :

Déplacement (mm) Milieu Pression (Pa) Puissance (W)

1 eau 160 0.21

1 air 0.19 0.001

14.4 air 39.4 0.21

Très grandes différences de comportement du milieu


OdG (3) : quelques cas usuels

Source Niveau Pression Puissance

Parole 60 dB / 1 m 0.02 Pa 12 µW

Automobile 94 dB / 1 m 1.0 Pa 30 mW

Concert Rock 105 dB / 30 m 3.5 Pa 50 W

Sonar 166 dB / 1 m 300 Pa 0.75 W

Très faible / mécanique

cycliste ≈ 500 W

automobile ≈ 50 kW

Conversion mécanique -> acoustique :

Rayonnement "parasite" ≈ 10−6 à ≈ 10−4

Sonorisation ≈ 10−2


Physique des matériaux

Physique théorique : interactions via 4 forces ("unification")

Gravitation Electromagnétisme I.N. faible I.N. forte

Intensité relative ∼ 10−38 ∼ 10−2 ∼ 10−14 1

Rayon d’action (m) ∞ ∞ ≤ 10−17 ≤ 10−15

Domaine astronomie chimie radioactivité nucléaire

(Peu de phénomènes mais beaucoup d’objets + stats complexes ... )

Inutile d’écrire les "équations du monde entier" !

- Expliquer ce qui est observable (macroscopiquement)

- Lisser les phénomènes à trop petite échelle (statistiques)

- Séparer les phénomènes à trop grande échelle (paramètres)

⇒ Déterminer une échelle "utile"


Echelle "locale"

log(V)

gra

nd

eu

r (e

x :

m/V

)

atome,molécule, maille

domaine local global

??

Dimensions d’un "petit volume" local :

- Peu de variations de l’ensemble des variables d’état

- Finesse de description suffisante (cf problème global)

- Nombre "minimal" de variables d’état (cf hétérogénéités)

⇒ Volume "représentatif" (homogénéisation)


Description des propriétés locales

Interactions particulaires "purement" électromagnétiques :

- Echelle > échelle moléculaire (ni nucléaire, ni chimique)

- Gravitation négligeable en interne, paramètre si externe

- Résultante = Ep "de Lennard-Jones" (Pauli + Van der Waals)

Phénomènes microscopiques :

- Agitation thermique (Brown)

- Collisions des particules (fortes distances)

- Attraction intermoléculaire (faibles distances)

- Répulsion interatomique (très faibles distances)

⇒ propriétés résultant de leurs importances relatives


Gaz "idéal" (G.P. de Laplace)

Théorie cinétique :

Agitation thermique dominante

Collisions sans interaction

statistiques ⇒ PV = nRT

ν d.d.l. par molécule ⇒ γ =Cp

Cv

= 2+νν

énergie interne U = ν2nRT = PV

γ−1

Mélange de G.P. = G.P.

Modèle très simplifié :

- Energie interne U = EcT + EiM et PV proportionnels à T

- Pression = résultante des collisions / interface

- Deux variables d’état indépendantes

Permet d’établir analytiquement des propriétés remarquables


Gaz "plus réaliste"

Termes correctifs (empiriques) :

Agitation thermique dominante

Interactions occasionnelles

Gas de Van der Waals : p = RT(Vm−b) − a

V 2m

Equation du Viriel : p = RTVm

[1 + B(T )Vm

+ C(T )V 2m

+ ...]

Compromis entre complexité et réalisme :

- S’écarte du gaz idéal à pression croissante

- Approximation locale proche du G.P.

- Toujours deux variables d’état indépendantes

Assimilable à un GP pour de faibles variations (coefficients tabulés)


Elasticité isentropique d’un gaz

- Peu dense

- Pas de cohésion

- Faible conduction thermique

- Faible viscosité

Gaz "quasi-idéal" isentropique (γ empirique)

U = ν2nRT , pV = nRT et γ = 2+ν

ν

Soit U = pVγ−1 , or dU = TdS − pdV = −pdV

Donc V dP + γpdV = 0, soit pV γ = Cte

Compression isentropique ⇒ échauffement local : T liée à p


Agitation thermique

T = 0 T > 0 T >> 0

Energie interne associée à l’agitation thermique

- Mouvements aléatoires croissant avec T

- Peu dense ⇒ collisions seules

- Dense ⇒ collisions + interactions


Entropie

Agitation thermique : fluctuations "invisibles"

- Nombre considérable d’états microscopiques

- Détail des mouvements inobservable

- Associé à une énergie interne significative

Entropie = quantification de "l’indétermination"

- Nombre d’états "équivalents" = Ω

- Théorie de Boltzman : S = kBLog(Ω)

- Energie interne : dU = TdS, où T est la température

⇒ Prise en compte des phénomènes "occultés"


Conduction thermique

choc élastique 1 collision résultante

Agitation thermique répercutée → zone froide

- Perturbation aléatoire des collisions

- Homogénéisation de proche en proche : diffusion

- Coefficient dépendant de la structure du milieu


Viscosité

choc élastique 1 collision résultante

Mouvement répercuté → zone inerte

- Perturbation systématique des collisions

- Homogénéisation de proche en proche : diffusion

- Coefficient dépendant de la structure du milieu


Relaxation moléculaire

mono-atomique di-atomique dissipation

Excitation de d.d.l. internes

- Conversion de l’énergie des collisions

- Résultante = absorption d’énergie

- Fréquences propres des molécules

- Restitution retardée et imparfaite


Température et état

peu dense dense très dense

agitation répulsion cohésion

attraction attraction agitation

- agitation -

T >> Tc T ≈ Tc T << Tc

Température ou densité = réglage de l’équilibre agitation/cohésion


Etat liquide

– Cohésion : agitation ≈ attraction

– Glissement possible (pas de forme propre)

– Bonne conduction thermique

– Viscosité importante

Fluide (lourd), transformation quasi-isotherme (γ ≈ 1)


Solide amorphe

– Cohésion : agitation < attraction

– Glissement infinitésimal (forme "figée")

– Bonne conduction thermique

– Viscosité quasi-infinie

– Contraintes de cisaillement

Fluide hyper-visqueux ≈ solide isotrope


Cohésion cristalline

– Cohésion : agitation ≪ attraction

– Déformation très limitée (rupture)

– Très bonne conduction thermique

– Viscosité infinitésimale

– Contraintes de cisaillement

– Axes particuliers (mailles)

Solide cristallin : anisotrope, très peu compressible


Etats d’un milieu

gaz liquide amorphe cristal

fluide fluide solide solide

isotrope isotrope isotrope anisotrope

très compressible peu compressible très peu compressible ≈ incompressible

pas de forme pas de forme forme figée forme imposée


Equations de la mécanique

Quel élément de volume ?

- Choix des coordonnées

- Forme locale : (n, V ) → ρ à n constant

- Conservation de la quantité de matière

Inertie de cet élément

- Bilan des forces (écart externe - interne)

- Forme locale : contrainte, déformation/déplacement

- Conservation de la quantité de mouvement

Comportement de cet élément

- Etat du milieu (nature et dépendance / T )

- Phénomènes de transport éventuels

- Conservation de l’énergie (y.c. chaleur)


Elément de volume

Echelle "locale"

- Intermédiaire entre microscopique et "système"

- Hypothèse de "milieu continu"

- Définition de grandeurs locales

Coordonnées de Lagrange

- Groupe déterminé de molécules

- Trajectoires depuis une référence

- Description "mobile dans l’espace"

Coordonnées d’Euler

- Elément de volume fixe dans l’espace

- Observation des molécules qui y "passent"

- Bilan des échanges : "champs" de vecteurs


Conservation de la masse

d

dt

∫

dV

ρd−→R = 0

Volume infinitésimal dV

- Variations de ρ (effet des contraintes)

- Flux échangés (dérivées spatiales de la vitesse)

- Vrai pour tout dV

∂ρ

∂t+−→∇ · (ρ−→v ) = 0


Conservation de l’impulsion

Bilan des forces

- Inertie de l’élément de volume

- Action/réaction sur les frontières

- Résultante des contraintes internes

- Forces volumiques (transport)

∂

∂t(ρ−→v ) +

−→∇ · (ρv ⊗ v) =−→F +∇ · σ


Comportement du milieu

Ensemble de phénomènes "internes"

- Equation d’état : relie σ (ou p) à ρ et s

- Equations de transport : une pour chaque "autre" phénomène

- Conservation de l’énergie : relie (par exemple) −→v à ρ, s, q, r (thermique)

⇒ Relation entre σ (ou p) et −→v


A suivre ...

Questions ?


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