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Cours n°13 : Ondes

Introduction

Dans la vie quotidienne nous sommes confrontés à toues sortes d’ondes de nature diverse : le son que nous entendons est formé d’ondes acoustiques, la lumière qui nous éclaire est constituée d’ondes électromagnétiques et c’est grâce aux ondes hertziennes émises par les antennes que nous pouvons écouter la radio et voir la télévision. Il existe deux types d’ondes :

- les ondes mécaniques qui nécessitent un milieu matériel pour se propager comme le son qui se propage dans l’air

- les ondes électromagnétiques qui peuvent se propager dans le vide et qui peuvent être interprétées comme le résultat de la propagation simultanée dans l’espace d’un champ électrique et d’un champ magnétique.

1) Ondes mécaniques progressives

1.1) Définition et propriétés générales

1.1.1) Définition

Une perturbation correspond à une modification locale et temporaire des propriétés d’un milieu. Une onde mécanique progressive résulte de la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière. Une onde mécanique progressive transporte de l’énergie, mais ne transporte pas de matière. Par définition, la source représente le système ou l’opérateur qui fournit l’énergie nécessaire à la formation de la perturbation. Elle correspond également au point de départ de la perturbation.

Représentation d’une onde

Une onde correspond au déplacement d’une perturbation. Ainsi, cette propagation adopte à la fois un caractère spatial et temporel. Ce double caractère évolutif est impossible à représenter. Il faudra donc bien distinguer les deux représentations :

- représentation spatiale : le milieu de propagation est représenté à un instant donné. - représentation temporelle : elle représente l’évolution d’un point donné du milieu de

propagation au cours du temps.

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Exemple : propagation d’une onde le long d’une corde Représentation spatiale de l’onde aux deux instants et L’amplitude d’une onde est la valeur maximale de la déformation produite par une onde. Le point est le point source de l’onde. La propagation s’effectue de proche en proche depuis . Représentation temporelle du mouvement des points et .

1.1.2) Propriétés

Depuis la source, une onde mécanique va se propager selon toutes les directions offertes par le milieu en transportant de l’énergie. Exemple :

- 1D corde vibrante : l’onde va se propager le long de la corde (onde unidimensionnelle) - 2D ondes à la surface de l’eau : lorsqu’on lance une pierre dans l’eau, l’onde se déplace

dans les deux dimensions du plan de la surface de l’eau (onde bidimensionnelle) - 3D l’onde sonore : le son se propage dans toutes les directions de l’espace (onde

tridimensionnelle).

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Deux ondes de faible amplitude peuvent se croiser sans se perturber. La perturbation en un point est la somme des perturbations portées par chacune des ondes.

1.2) Propagation

1.2.1) Retard

Soient et deux points du milieu de propagation atteint par l’onde. Le retard de sur correspond au temps mis par l’onde pour aller du point au point . L’état vibratoire en à l’instant est identique à l’état vibratoire en à l’instant .

1.2.2) Célérité

La célérité d’une onde est la vitesse de propagation de la perturbation liée à l’onde. Si l’onde parcourt la distance pendant la durée , on a :

: célérité en

: distance en

: durée en

avant

croisement

après

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La célérité d’une onde dépend du milieu de propagation et de son état physique. La célérité augmente avec la rigidité du milieu et diminue avec son inertie. Elle peut aussi dépendre de la température. La célérité d’une onde se propageant sur une corde est donnée par :

: tension de la corde en

: masse linéique en Plus une corde est tendue, donc rigide, plus la célérité de l’onde est élevée. Plus une corde donnée est lourde, donc inerte, plus la célérité de l’onde est faible.

1.3) Propagation d’une onde progressive à une dimension

Une onde progressive à une dimension est une onde dont la propagation s’effectue suivant une direction unique (choisie comme direction des abscisses). Exemple : corde ou ressort, onde rectiligne en propagation à la surface de l’eau. Le milieu de propagation de l’onde peut être à 1D, 2D ou 3D.

Une onde est dite transversale si la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de la propagation.

Onde transversale

Exemple :

- vagues - corde vibrante

!

direction de la perturbation

direction de la propagation

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Une onde est dite longitudinale si la direction de la perturbation est identique à la direction de la propagation.

Onde longitudinale

Exemple :

- ondes acoustiques : ondes de compression-dilatation des tranches de matière (tuyau d’orgue)

- ondes de compression-dilatation d’un ressort

2) Ondes mécaniques progressives périodiques

2.1) Définition

Une onde progressive est dite périodique si sa source impose une perturbation périodique.

2.2) Double périodicité

La propagation d’une onde possède un caractère à la fois spatial et temporel. Ainsi, la période d’une onde périodique apparaît sous les deux aspects. C’est ce que l’on appelle la double périodicité (spatiale et temporelle).

Périodicité temporelle

Tout point du milieu se retrouve dans le même état vibratoire, c’est-à-dire qu’il reproduit le même mouvement, à intervalles de temps égaux.

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La période temporelle d’une onde progressive est le plus petit intervalle de temps au bout duquel le mouvement vibratoire se reproduit identique à lui-même. La période temporelle est fixée par la source. Par définition, la période temporelle s’appelle la période de l’onde.

Périodicité spatiale

A un instant quelconque, des points du milieu régulièrement espacés suivant la direction de propagation sont dans le même état vibratoire. La période spatiale d’une onde progressive est la plus petite distance, comptée suivant la direction de propagation, séparant deux points du milieu matériel se trouvant à chaque instant dans le même état vibratoire. La période spatiale s’appelle la longueur d’onde et se note .

Lien entre fréquence et période

La fréquence d’un phénomène périodique représente le nombre de phénomènes effectués par seconde.

On a la relation entre et :

s’exprime en Hertz de symbole avec

Lien entre période spatiale et période temporelle

On a la relation entre longueur d’onde et période pour une onde de célérité :

: longueur d’onde en

: célérité de l’onde en

:période de l’onde en

: fréquence de l’onde en

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La longueur d’onde correspond à la distance parcourue par l’onde pendant le temps .

2.3) Points en phase, opposition de phase, quadrature de phase

Deux points sont dits en phase s’ils sont séparés dans le temps de et dans l’espace de où . Ils sont alors dans le même état vibratoire.

Deux points sont dits en opposition de phase s’ils sont séparés dans le temps de et dans

l’espace de avec . Ils ont à chaque instant des états vibratoires contraires.

Deux points sont dits en quadrature de phase s’ils sont séparés dans le temps de et dans

l’espace de avec .

2.4) Onde sinusoïdale

Une onde progressive périodique est dite sinusoïdale si la perturbation à sa source est une oscillation sinusoïdale. L’onde progressive sinusoïdale à 1D peut être décrite par la fonction appelée fonction d’onde donnant la valeur de l’amplitude des oscillations en un point au cours du temps avec :

C’est une fonction de deux variables et . On retrouve bien la double périodicité :

2.5) La dispersion

Un milieu est dit dispersif lorsque la célérité d’une onde sinusoïdale qui se propage dans ce milieu dépend de sa fréquence. Une onde périodique peut se décomposer en une somme d’ondes sinusoïdales de fréquences différentes. Si le milieu est dispersif, ces fréquences se propagent à des vitesses différentes, ce qui entraîne une déformation de l’onde. Par exemple : l’étalement de la houle en haute mer est dû au phénomène de dispersion. La houle naturelle se rapproche des vagues régulières sans jamais y arriver car elle perd des composantes sans jamais devenir un phénomène monochromatique.

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La relation n’est pas valable dans tous les milieux dispersifs. Par exemple, la célérité de la

houle en eau profonde est donnée où désigne l’intensité de la pesanteur

et la longueur d’onde. L’air n’est pas un milieu dispersif pour les ondes sonores. Les aiguës (hautes fréquences) et les graves (basses fréquences) parviennent simultanément à notre oreille.

2.6) Diffraction d’une onde progressive sinusoïdale à 2D ou à 3D

Le phénomène de diffraction se manifeste lorsqu’une onde sinusoïdale rencontre une ouverture (ou un obstacle) dont les dimensions sont de l’ordre de sa longueur d’onde. L’ouverture (ou l’obstacle) se comporte alors comme une source secondaire qui émet dans toutes les directions à la même fréquence que la source primaire. Plus la taille de l’ouverture est petite et plus la diffraction est importante. Exemple : onde à la surface de l’eau diffractée par une ouverture

-

- (même ordre de grandeur)

!

onde incidente

L’onde est très peu affectée par le passage de l’ouverture. Il n’y a pas phénomène de diffraction.

onde incidente

L’onde est diffractée et se trouve dans un secteur angulaire

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-

3) La lumière, phénomène ondulatoire

3.1) Dualité onde-corpuscule

La lumière peut être vue sous deux aspects différents suivant l’expérience que l’on considère. La lumière revêt donc un double caractère : corpusculaire (effet photoélectrique) et ondulatoire (interférences, diffraction). Dans la suite, on s’intéressera à la nature ondulatoire de la lumière.

3.2) Ondes électromagnétiques

3.2.1) Nature et propagation

L’onde lumineuse résulte de la propagation d’une perturbation électromagnétique dans les milieux transparents. Les ondes lumineuses sont appelées des radiations. Contrairement aux ondes mécaniques, la propagation des ondes lumineuses ne nécessite pas de support matériel : la lumière se propage dans le vide avec la célérité . Dans les milieux matériels, la lumière se propage moins vite que dans le vide, à la vitesse . On définit l’indice du milieu par :

avec . On a et

onde incidente

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On a donc

Or . Ainsi, la lumière se propage fois moins vite dans un milieu matériel que dans le vide. Une lumière monochromatique est une radiation de fréquence bien définie, fixée par la source, qui ne dépend pas du milieu de propagation. A une fréquence déterminée correspond une couleur déterminée. La couleur de la radiation ne dépend donc pas du milieu de propagation. Une lumière polychromatique est constituée de radiations de fréquences différentes.

3.2.2) Longueur d’onde d’une lumière monochromatique

La longueur d’onde d’une lumière monochromatique dans le vide est donnée par :

où est la vitesse de la lumière dans le vide. Contrairement à la période et à la fréquence, intrinsèques à l’onde, la longueur d’onde dépend du milieu de propagation. On a :

De plus

donc

soit

3.2.3) Spectre des ondes électromagnétiques

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3.2.4) Diffraction de la lumière

Le phénomène de diffraction constitue une preuve de la nature ondulatoire de la lumière. Lorsqu’une onde lumineuse monochromatique rencontre une ouverture (ou un obstacle) de dimensions n’excédant pas quelques longueurs d’ondes, on observe sur un écran placé après l’ouverture (ou l’obstacle) une figure de diffraction comportant alternativement des zones sombres et des zones brillantes autour d’une tache centrale. Les figures de diffraction ont les mêmes éléments de symétrie que les objets diffractant.

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L’écart angulaire est l’angle sous lequel est vue la moitié de la tache centrale depuis l’objet diffractant. Si celui-ci est une fente (ou un fil), vaut (pour les petits angles) :

avec la largeur de la fente. Pour une lumière donnée, la diffraction diminue si la taille de l’objet diffractant augmente, et elle diminue si la longueur d’onde de la radiation incidente diminue. On a pour une fente à la distance de l’écran, avec la largeur de la tache centrale :

Démonstration :

or pour les petits angles

3.2.5) Dispersion et décomposition spectrale par un prisme d’une lumière polychromatique

Certains milieux sont dits dispersifs. Dans ces milieux, la vitesse de propagation de la lumière et donc l’indice du milieu dépend de la fréquence de l’onde qui s’y propage. Ainsi, dans un tel milieu, les différentes composantes d’une onde polychromatique ne se propagent pas avec la même célérité. L’indice du verre, milieu dispersif, est donné par la formule de Cauchy :

où et sont des coefficients caractéristiques du verre considéré et la longueur d’onde dans le vide de la radiation considérée. Exemple pour une radiation composée de deux radiations monochromatiques. Rouge : dans le vide. Violet : dans le vide.

d’après la relation de Cauchy. Le milieu est plus réfringent pour la radiation violette que pour la radiation rouge.

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La radiation violette est plus déviée que la radiation rouge au passage air verre. La radiation violette est plus déviée que la radiation rouge au passage verre air du fait de la géométrie du prisme. Le prisme permet donc de décomposer le spectre de n’importe quelle lumière polychromatique en ses radiations monochromatiques.