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1. Enonc du problme et rsolution

Lorsque les pices tudies prsentent de brusques variations de section (gorge, paulement, trou de perage,), les formules de la rsistance des matriaux ne sont plus applicables. Au voisinage du changement de section, la rpartition des contraintes est modifie. La contrainte maximum est suprieure la contrainte uniforme (contrainte thorique calcule

que nous appellerons o en extension et o en torsion).

On dit quil y a concentration de contraintes :

maxi = Kt . o en extension avec o = N/S

maxi = Kt . o en torsion avec o = Mt / (Io/R)

Kt est appel coefficient de concentration de contraintes. Il est fonction des dimensions des variations de sections et de leurs positions.

Kt est, en gnral, lire dans des abaques.

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2. Phnomne de concentration de contraintes dans une poutre tendue (poutre avec accident de forme)

2.1. Plaque perce dun seul trou

Dterminer la contrainte thorique. a). Calculer la contrainte 1 dans la section 1 de la poutre. b). Calculer la contrainte 2 dans la section 2 de la poutre.

Dterminer la contrainte relle dans la section 2.

c). Relever le coefficient de concentration de contraintes Kt laide de labaque ci-dessous.

d). Calculer B.

Concentration de contraintes

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8d/h

Kt maxi = Kt . o

o =

N

S

S = (h-d).e

h = 20mm e = 6mm d = 6mm F = 1200N

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2.2. Arbre avec paulements

Dterminer la contrainte thorique. a). Calculer la contrainte 1 dans la section 1 darbre. b). Calculer la contrainte 2 dans la section 2 darbre.

Dterminer la contrainte relle dans la section 1 au niveau du rayon r de raccordement avec lpaulement. c). Relever le coefficient de concentration de contraintes Kt laide de labaque ci-dessous et calculer maxi.

d). De la mme manire remplir le tableau ci-dessous.

e). Exprimer une ou plusieurs remarques.

r (mm) r/d Kt maxi (MPa) 1 2 3 4 5

10

d = 20mm D = 30mm r = 2mm F = 2000N

Concentration de contraintes

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

00,0

25 0,050,0

75 0,10,1

25 0,150,1

75 0,20,2

25 0,250,2

75 0,3r/d

Kt

D/d = 1,02

D/d = 1,5

D/d = 1,1

D/d = 1,05

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3. Phnomne de concentration de contraintes dans une poutre tordue (poutre avec accident de forme)

3.1. Arbre avec gorge

Dterminer la contrainte thorique.

a). Calculer la contrainte 1 dans la section 1 darbre. b). Calculer la contrainte 2 dans la section 2 darbre (fond de la gorge).

Dterminer la contrainte relle dans la section 2.

c). Relever le coefficient de concentration de contraintes Kt laide de labaque ci-dessous.

d). Calculer maxi.

MT = 200Nm MT = 200Nm

Concentration de contraintes

1,01,2

1,4

1,61,8

2,02,2

2,4

2,6

00,0

25 0,05

0,075 0,1

0,125 0,1

50,1

75 0,20,2

25 0,25

0,275 0,3

r/d

Kt

D/d = 1,02

D/d = 1,3

D/d = 1,05

maxi = Kt . o

o =

Mt

Io

R

0

maxi

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CORRIGES

2.1. Plaque perce dun seul trou

a). S1 = h x e = 20 x 6 = 120mm 1 = F/S1 = 1200/120 = 10 MPa

b). S2 = (h-d) x e = (20-6) x 6 = 8mm 2 = F/S2 = 1200/84 = 14,3 MPa

c). d/h = 6/20 = 0,3 Kt = 2,35

d). B = maxi = Kt x 2 = 2,35 x 14,.3 = 33,6 MPa

2.2. Arbre avec paulements

a). S1 = x r1 = 3,14 x 10 = 314mm 1 = F/S1 = 2000/314 = 6,4 MPa

b). S2 = x r2 = 3,14 x 15 = 706mm 2 = F/S2 = 2000/706 = 2,8 MPa

c). D/d = 30/20 = 1,5 et r/d = 2/20 = 0,1 Kt = 1,9

maxi = Kt x 1 = 1,92 x 6,4 = 12,3 MPa

d).

e). Le rayon de raccordement ne peut pas tre gal 10 car D-d=10mm, donc rmaxi = 5mm

Pour limiter le plus possible les contraintes dans le changement de section il est ncessaire de raliser le rayon r le plus grand possible.

r (mm) r/d Kt maxi (MPa) 1 0,05 2,5 16,0 2 0,10 1,92 12,3 3 0,15 1,68 10,8 4 0,20 1,55 9,9 5 0,25 1,46 9,3

10

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3.1. Arbre avec gorge

a). 1 = Mt / (Io/R) = Mt / ( D3/16) = ( 2 x 200000 ) / ( x 363 / 16 ) 1 = 43,7 MPa

b). 2 = Mt / (Io/R) = Mt / ( d3/16) = ( 2 x 200000 ) / ( x 303 / 16 ) 2 = 75,5 MPa

c). r/d = 3/30 = 0,1

D/d = 36/30 = 1,2

Kt = 1,4

d). maxi = Kt . 2 = 1,4 x 75,5 = 105,7 MPa