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Cours Terminale S 2012
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Page d’accueil Terminale S Cours Calculatrices ROC ROC Conditionnement Indépendance
Probabilités Conditionnement et Indépendance
Cours Terminale S 2. Indépendance. Formule des probabilités totale
1. Indépendance de deux événements 1.1. Définition
2. Indépendance de deux variables 2.1. Définition
3. Formule des probabilités totales 3.1. Théorème
R.O.C. 1601 4. Applications
4.1. Utiliser l’indépendance supposée de deux événements 4.2. Utiliser la formule des probabilités totales 4.3. Exercices d’application
5. Exercices d’entrainement et approfondissement 6. R.O.C. Indépendance. Formule de probabilités totales 7. Sujets bac
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1. Indépendance de deux événements
1.1. Définition
Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que
( ) ( ) ( ) Remarques
Si A et B sont indépendants et de probabilités non nulles, alors :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
soit ( ) ( )
et de même ( ) ( ) .
Si A et B sont incompatibles avec ( ) ( ) , alors ils ne sont pas indépendants car :
( ) ( ) ( )
et ( ) ( ) .
2. Indépendance de deux variables aléatoires
2.1. Définition
Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. X et Y sont des variables aléatoires sur E. On note les valeurs prises par X et celles prises par Y . Dire que les variables aléatoires X et Y sont indépendants signifie que pour tout et , les événements ( ) et ( ) sont indépendants.
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3. Formule des probabilités totales
3.1. Définition
Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. Dire que les événements forment une partition de E signifie qu’ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est E. .
3.2. Exemple : Une famille particulière d’événements
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé équilibrée deux fois de suite. Une issue de l’expérience est un couple ( ) où est le numéro obtenu au 1er et au 2°. et sont des entiers compris entre 1 et 6. On note E l’ensemble de toutes les issues possibles. On s’intéresse à la somme des deux numéros obtenus. a) Déterminons les valeurs possibles de cette somme Il s’agit de la somme de deux nombre d’un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. L’ensemble des couples d’issues possibles sont dans le tableau suivant
1er lancer 2° lancer
1 2 3 4 5 6
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ainsi l’ensemble des valeurs possibles des valeurs de chaque couple est est l’ensemble E de toutes les sommes possibles :
b) Montrons que ces sommes sont deux à deux incompatibles Soit une somme égale , ; On considère l’événement . L’ensemble des événements est
Une somme ne pouvant être égale à deux nombres différents ; les événements sont deux à deux incompatibles. Haut du document
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c) Que peut-on dire de l’événement : ? L’ensemble de tous les événements est ainsi l’ensemble E de toutes les issues possibles (toutes les sommes possibles) tous les sont des entiers de 1 à 12.
Donc . d) Comme la somme des probabilités de toutes les issues de E est 1, on en déduit que
( ) ( ) ( )
e) D’où le schéma de l’ensemble E de toutes les issues de l’expérience :
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E ensemble des issues de l’expérience
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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3.3. Théorème
Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. Les événements forment une partition de E . Alors pour tout événement
( ) ( ) ( ) ( ) , C'est-à-dire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
Démonstration : ROC 1601 Les événements sont deux à deux compatibles et leur réunion est
( ) ( ) ( ) la formule en découle ; on en déduit en effet que :
( ) ( ) ( ) ( ) , C'est-à-dire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
Exemple Dans l’exemple donné au chapitre 15 illustrant la probabilité d’un événement B sachant A décrivant l’expérience répartissant les 250 élèves d’un lycée selon leur sexe et la langue choisie, les événements F (l’élève est un garçon) et G (l’élève est une fille) forment une partition de l’ensemble E des élèves du lycée. Avec la formule des probabilités totales, on peut par exemple écrire :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6. R.O.C. Indépendance. Formule de probabilités totales Haut du document
A
Ω
….
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ROC : Probabilités, Conditionnement et indépendance ROC 1601 Théorème : Formule des probabilités totales
ROC 1601
R.O.C. Formule de probabilités totales Télécharger ROC 1601 Formules de probabilités totales
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Prérequis : Définition d'une partition de E Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. Dire que les événements forment une partition de E signifie qu’ils sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est E. Enoncé : Enoncer et démonter le théorème des probabilités totales Démonstration 1) Formule des probabilités totales , théorème :
Une loi est définie sur un ensemble d’issues E. Les événements forment une partition de E . Alors pour tout événement
( ) ( ) ( ) ( ) , C'est-à-dire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
2) Démonstration
Les événements sont deux à deux compatibles et leur réunion est est
( ) ( ) ( )
A
Ω
….
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la formule en découle ; on en déduit en effet que : ( ) ( ) ( ) ( ) ,
C'est-à-dire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
