Cours s2 math

Cours d’Analyse Mathematiques II

A. Ezziani∗ M. Laaraj⋆

Universite Hassan II–Mohammedia,

Faculte des Sciences Juridiques Economiques et Sociales

Aın Sebaa

∗ [email protected]⋆ [email protected]

Sciences Economiques et Gestion

Printemps 2010, S2

wwwwwww.fsjes-settat.com

UNIVH2MFSJES Aın Sebaa Mathematiques 2 S2/2009-2010

A. Ezziani ii M. Laaraj

Attention

Ce polycopie est en cours de preparation il est mis en ligne juste pour aider les etudiants areviser, il est (tres) loin de sa version definitive.

iii


A. Ezziani iv M. Laaraj

Table des matieres

I Suites et series numeriques 1

1 Suites numeriques 31.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Suites convergentes et divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Suites particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Suites arithmetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Suites geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Suites arithmetico-geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Series numeriques 11

2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Conditions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Series particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Mathematiques financieres 15

3 Les interets simples 17

3.1 Definitions et formule de l’interet simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Formule de l’interet simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 L’escompte commercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Pratique de l’escompte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Equivalence de capitaux a interets simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Equivalence de deux effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Equivalence de plusieurs effets : l’echeance commune . . . . . . . . . . 21

4 Les interets composes 23

4.1 Definition et formules des interets composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Formule des interets composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.3 Formule de capitalisation avec un nombre fractionnaire de periodes . . 254.2 Taux proportionnels et taux equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Taux proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.2 Taux equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Equivalence de capitaux a interets composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

v


4.3.1 Equivalence de deux capitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 Equivalence de plusieurs capitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Les annuites 335.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Les annuites de fin de periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1 Valeur acquise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2 Valeur actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3 Les annuites de debut de periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.1 Valeur acquise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3.2 Valeur actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 L’emprunt indivis 416.1 Definition et notion d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Les emprunts remboursables par amortissements constants . . . . . . . . . . . 41

6.2.1 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Les emprunts remboursables par annuites constantes . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Les emprunts remboursables en une seule fois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A. Ezziani vi M. Laaraj

Premiere partie

Suites et series numeriques

1

Chapitre 1

Suites numeriques

1.1 Definitions

Definition 1.1.1. Une suite numerique est une application u de IN dans R, qui a toutentier n fait correspondre un reel un :

u : IN −→ R

n 7−→ un.

Notation : on la note (un)n∈IN ou (un)n ou encore (un).

Exemple 1.1.2. En 1999 une entreprise a fabrique 10000 articles. On suppose que le nombred’articles fabriques a augmente de 10% par an. On note un le nombre d’articles produits parl’entreprise. On a :u0 = 10000u1 = u0 + (u0 × 0.1) = u0 × 1.1 = 10000 × 1.1 = 11000u2 = u1 × 1.1 = 11000 × 1.1 = 12100u3 = u2 × 1.1 = 12100 × 1.1 = 13310. Donc la suite s’ecrit a l’aide de l’expression de recurrence :

{u0 = 1000un+1 = un × 1.1 ∀n ∈ IN.

Quelques precisions

1. Une suite peut etre definie sur IN ou sur une partie de IN, par exemple :

– un =1

n, ∀n ∈ IN∗.

– vn =√

n2 − 16, ∀n ≥ 4.

2. Une suite numerique peut etre definie– explicitement en fonction de n :

un = n2 + 2n.

– ou a l’aide d’une formule de recurrence :{

u0 = 2,un+1 = 2un + 1 ∀n ∈ IN.

3


3. Raisonnement par recurrence. Pour demontrer une propriete portant sur tous lesentiers naturels, on peut utiliser un raisonnement par recurrence. Notons la propriete enquestion P (n) pour indiquer la dependance en l’entier n. On peut alors l’obtenir pourtout entier n en demontrant ces deux assertions :

i) P (0) (0 verifie la propriete) : c’est l’initialisation de la recurrence.

ii) Pour tout entier n, (P (n) ⇒ P (n + 1)) : c’est l’heredite.

On dit alors que la propriete P s’en deduit par recurrence pour tout entier n.

Exemple 1.1.3. Soit (un)n la suite definie par un = 12 (1+un), u0 = 2. On montre par

recurrence que un ≥ 1, ∀n ∈ IN :

(a) La propriete un ≥ 1 est vraie pour n = 0 car

u0 = 2 ≥ 1 (initialisation)

(b) Supposons qu’elle est vraie pour n et montrons qu’elle est vraie pour n + 1. On a :

un ≥ 1 (par hypothese) ⇒ un+1 =1

2(1 + un) ≥ 1

2(1 + 1) = 1.

Le principe de recurrence nous permet alors d’affirmer que : un ≥ 1, ∀n ∈ IN.

Definition 1.1.4 (Monotonie). Une suite numerique (un)n est dite– croissante si un+1 ≥ un, ∀n ∈ IN.– decroissante si un+1 ≤ un, ∀n ∈ IN.– monotone si elle est croissante ou decroissante.

Remarque 1.1.5. Pour etudier la monotonie d’une suite (un)n, il suffit d’etudier le signede un+1 − un, ∀n ∈ IN. Lorsque un > 0, ∀n ∈ IN on peut aussi comparer 1 au rapport un+1

un.

Exemple 1.1.6. La suite (un)n definie dans l’exemple 1.1.2 est croissante :

un+1

un= 1.1 ≥ 1 =⇒ un+1 ≥ un, ∀n ∈ IN.

Definition 1.1.7. Une suite numerique (un)n est dite– majoree s’il existe M ∈ R tel que

un ≤ M, ∀n ∈ IN

– minoree s’il existe m ∈ R tel que

m ≤ un, ∀n ∈ IN

– bornee si elle est a la fois majoree et minoree.

Exemple 1.1.8. Soit (un)n la suite definie par :

un =2

n + 1, ∀n ∈ IN.

La suite (un)n est decroissante et bornee. En effet,

un+1

un=

n + 1

n + 2≤ 1 ⇒ un+1 ≤ un et 0 ≤ un ≤ 2, ∀n ∈ IN.

A. Ezziani 4 M. Laaraj


1.2 Suites convergentes et divergentes

Definition 1.2.1. On dit qu’une suite numerique (un)n

1. converge vers ℓ ∈ R si n est suffisamment grand un s’approche de ℓ. On note alors

limn→+∞

un = ℓ.

Dans ce cas on dit que la suite est convergente.

2. est divergente si elle n’est pas convergente.

3. diverge vers +∞ (respectivement −∞) si n est suffisamment grand un s’approche de+∞ (respectivement −∞).

Exemple 1.2.2.

– La suite un = 1n+1 est convergente car lim

n→+∞un = 0.

– La suite vn = n2 est divergente car limn→+∞

vn = +∞.

– La suite wn = (−1)n est divergente car elle n’admet pas de limite quand n tend vers+∞.

– La suite zn = (−1)n n2 est divergente car elle diverge vers +∞ quand n est pair et −∞quand n est impair.

Proprietes 1.2.3 (Operations sur les limites). Soient (un)n et (vn)n deux suites numeriquesadmettant comme limite respectivement ℓ1 et ℓ2 (ou ±∞) quand n tend vers +∞, on a alors

1. Addition

limn→+∞

un ℓ1 ℓ1 +∞ −∞ +∞

limn→+∞

vn ℓ2 ∞ −∞ −∞ +∞

limn→+∞

(un + vn) ℓ1 + ℓ2 ∞ forme indeterminee −∞ +∞

2. Multiplication

limn→+∞

un ℓ1 ℓ1 6= 0 0 ∞

limn→+∞

vn ℓ2 ∞ ∞ ∞

limn→+∞

(un × vn) ℓ1 × ℓ2 ∞ forme indeterminee ∞



3. Division

limn→+∞

un ℓ1 ℓ1 ℓ1 6= 0 ∞ 0 ∞

limn→+∞

vn ℓ2 6= 0 ∞ 0 ℓ2 0 ∞

limn→+∞

(un/vn) ℓ1/ℓ2 0 ∞ ∞ forme indeterminee forme indeterminee

Proposition 1.2.4 (Gendarmes). Soient (un)n, (vn)n et (wn)n trois suites numeriques. Onsuppose que

– les deux suites (un)n et (wn)n sont convergentes– lim

n→+∞un = lim

n→+∞wn = ℓ

– un ≤ vn ≤ wn, ∀n ∈ IN.

Alors la suite (vn)n converge et limn→+∞

vn = ℓ.

Exemple 1.2.5. On considere la suite numerique (un)n definie par un = (−1)n

n2 , ∀n ∈ IN∗.On a

− 1

n2≤ un ≤ 1

n2, ∀n ∈ IN∗ et lim

n→+∞− 1

n2= lim

n→+∞

1

n2= 0.

Donc d’apres la derniere proposition la suite (un)n converge et limn→+∞

un = 0.

Proposition 1.2.6.

1. Toute suite convergente est bornee.

2. Toute suite croissante et majoree est convergente.

3. Toute suite decroissante et minoree est convergente.

Definition 1.2.7 (Suites adjacentes). Deux suites (un)n et (vn)n sont dites adjacentes si lesconditions suivantes sont verifiees :

i) la suite (un)n est croissante

ii) la suite (vn)n est decroissante

iii) limn→+∞

(un − vn) = 0.

Theoreme 1.2.8. Soient (un)n et (vn)n deux suites adjacentes. Alors les deux suites sontconvergentes et elles ont la meme limite ℓ. De plus un ≤ ℓ ≤ vn, ∀n ∈ IN.

Exemple 1.2.9. Les deux suites (un)n et (vn)n definies par :

un = 1 +1

1!+

1

2!+ · · · + 1

n!, n ∈ IN∗

vn = 1 +1

1!+

1

2!+ · · · + 1

n!+

1

n!, n ∈ IN∗

sont adjacentes car :



i) la suite (un)n est croissante : un+1 − un =1

(n + 1)!≥ 0, ∀n ∈ IN∗

ii) la suite (vn)n est decroissante : vn+1 − vn =2

(n + 1)!− 1

n!=

1 − n

(n + 1)!)≤ 0, ∀n ∈ IN∗

iii) limn→+∞

(vn − un) = limn→+∞

1

n!= 0.

Donc limn→+∞

un = limn→+∞

vn.

Proposition 1.2.10. Soit (un)n une suite definie par son premier terme et par une formulede recurrence un+1 = f(un). Si

i) la suite (un)n est convergente

ii) la fonction f est continue

alors la limite ℓ de la suite verifie l’equation ℓ = f(ℓ).

Exercice 1.2.11. Soit (un)n la suite definie par un+1 =un

1 + un, u0 = 1.

– Montrer par recurrence que un ≥ 0, ∀n ∈ IN.– Montrer que (un)n est decroissante.– En deduire que (un)n est convergente.– Montrer que lim

n→+∞un = 0.

1.3 Suites particulieres

1.3.1 Suites arithmetiques

Definition 1.3.1. On appelle suite arithmetique de raison r, toute suite (un)n definie parson terme initiale u0 et par la relation de recurrence :

un+1 = un + r, ∀n ∈ IN.

A partir de la relation de recurrence ci-dessus, on peut calculer facilement le terme generalun en fonction de u0, r et n :

un = un−1 + r = un−2 + 2r = un−3 + 3r = · · ·

= u0 + nr, ∀n ∈ IN. (1.3.1)

La suite (un)n est divergente sauf pour r = 0 (suite stationnaire : un = u0, ∀n ∈ IN).

Somme des premiers termes. Soient (un)n une suite arithmetique de raison r et depremier terme u0 et (Sn)n la somme des n + 1 premiers termes de (un)n :

Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un =n∑

k=0

uk.

En utilisant l’equation (1.3.1), on montre facilement que :

Sn = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + · · · + (u0 + nr)

= (n + 1)u0 + (1 + 2 + · · · + n)r



On saura donc calculer Sn si l’on sait calculer :

σn = 1 + 2 + · · · + (n − 1) + n (1.3.2)

On peut aussi ecrire σn sous la forme :

σn = n + (n − 1) + · · · + 2 + 1 (1.3.3)

En faisant la somme de (1.3.2) et (1.3.5) terme a terme, on obtient :

2σn = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1)︸︷︷︸

n fois

= n(n + 1).

D’ou σn =n(n + 1)

2et

Sn = (n + 1)(

u0 +nr

2

)

= (n + 1)

(u0 + (u0 + nr)

2

)

= (n + 1)u0 + un

2.

En general, on a :

up + up+1 + · · · un = (n − p + 1)up + un

2, ∀ p, n ∈ IN et p < n.

Exemple 1.3.2. Soit (Sn)n la suite definie par :

Sn = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1), ∀n ∈ IN∗ (la somme de n premiers entiers impairs)

Les entiers impairs forment une suite arithmetique de premier terme u1 = 1 et de raison 2.Le terme general un de cette suite est donc un = 2n − 1. On calcule alors Sn :

Sn = (n − 1 + 1)1 + 2n − 1

2= n2.

1.3.2 Suites geometriques

Definition 1.3.3. On appelle suite geometrique de raison q, toute suite (un)n definie parson terme initiale u0 et par la relation de recurrence :

un+1 = q un, ∀n ∈ IN.

A partir de la relation de recurrence ci-dessus, on peut calculer facilement le terme generalun en fonction de u0, q et n :

un = q un−1 = q2 un−2 = q3 un−3 = · · ·

= qn u0, ∀n ∈ IN. (1.3.4)

Proposition 1.3.4. Soit (un)n une suite geometrique de raison q. Alors– si |q| < 1 la suite converge vers 0– si |q| > 1 la suite diverge– si q = 1 la suite est stationnaire et donc convergente– si q = −1 la suite n’admet pas de limite et donc divergente.



Somme des premiers termes. Soient (un)n une suite geometrique de raison q et depremier terme u0 et (Sn)n la somme des n + 1 premiers termes de (un)n :

Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un =n∑

k=0

uk.

Sn est donnee en fonction de u0, q et n :

Sn =

(n + 1)u0 si q = 1

1 − qn+1

1 − qu0 si q 6= 1.

En effet, en utilisant l’equation (1.3.4), on montre facilement que :

Sn = u0 + q u0 + q2 + · · · + qn u0

= (1 + q + q2 + · · · + qn)u0

On saura donc calculer Sn si l’on sait calculer :

σn = 1 + q + q2 + · · · + qn. (1.3.5)

– si q = 1 : Sn = n + 1– si q 6= 1 : on remarque que 1 − qn+1 = (1 − q)(1 + q + q2 + · · · qn) = (1 − q)σn. D’ou

σn =1 − qn+1

1 − q�

En general, pour p, n ∈ IN avec p < n, on a :

up + up+1 + · · · un =

(n − p + 1)up si q = 1

1 − qn−p+1

1 − qup si q 6= 1.

1.3.3 Suites arithmetico-geometriques

Definition 1.3.5. On appelle suite arithmetico-geometrique de parametres q et r, toutesuite (un)n definie par son terme initiale u0 et par la relation de recurrence :

un+1 = q un + r, ∀n ∈ IN. (1.3.6)

Remarque 1.3.6. On remarque que :– si q = 1 la suite (un)n devient arithmetique– si r = 0 la suite (un)n devient geometrique.

A partir de la relation de recurrence (1.3.6), on peut calculer facilement le terme general un

en fonction de u0, q, r et n :

un = q un−1 + r = q2u2n + qr + r = q3un−3 + q2r + qr + r = · · ·

= qn u0 + (1 + q + q2 + · · · + qn−1)r.



On obtient alors

un =

u0 + nr si q = 1 (suite arithmetique)

qn(u0 − a) + a si q 6= 1 avec a =r

1 − q.

Proposition 1.3.7. Soit (un)n une suite arithmetico-geometrique de parametres q et r et depremier terme u0. Alors

– si |q| < 1 la suite converge vers a = r1−q

– si |q| > 1 la suite diverge sauf pour u0 = a (suite stationnaire un = u0, ∀n ∈ IN)– si q = 1 (suite arithmetique) la suite diverge sauf pour r = 0 (suite stationnaire un =

u0, ∀n ∈ IN)– si q = −1 la suite diverge sauf pour u0 = a (suite stationnaire un = u0, ∀n ∈ IN).

Exemple 1.3.8. Soit (un)n la suite definie par :

u0 = 1 et un+1 =1

2un + 5, ∀n ∈ IN.

On a q = 12 et |q| < 1. Donc d’apres la derniere proposition un converge vers 10.


Chapitre 2

Series numeriques

2.1 Definitions

Definition 2.1.1. Soit (un)n une suite numerique. On appelle serie numerique de termegeneral un la suite (Sn)n definie par :

Sn =

n∑

k=0

uk = u0 + u1 + · · · + un.

Notation : on la note∑

un ou∑

n≥0

un

Remarque 2.1.2. L’etude de la serie de terme general un correspond a l’etude de la suite(Sn)n.

Definition 2.1.3. On dit que la serie∑

un converge si et seulement si la suite (Sn)nconverge. On note alors

limn→+∞

Sn =

+∞∑

n=0

un.

On dit que la serie∑

un diverge si et seulement si la suite (Sn)n diverge.

Exemple 2.1.4 (Serie arithmetique). La serie de terme general un = u0 + nr avec u0 6= 0donne est divergente pour tout r ∈ R. En effet,

Sn =

n∑

k=0

(u0 + kr) = (n + 1)(u0 +nr

2) et lim

n→+∞(n + 1)(u0 +

nr

2) = ∞, ∀ r ∈ R.

D’ou la serie est divergente.

Exemple 2.1.5 (Serie geometrique). La serie de terme general un = qn u0 avec u0 6= 0 donneconverge si et seulement si |q| < 1. En effet,

Sn =n∑

k=0

qk u0 = (1 + q + q2 + · · · qn)u0 =

(n + 1)u0 si q = 1

1 − qn+1

1 − qu0 si q 6= 1.

11


D’ou la serie est convergente si et seulement si |q| < 1 et de limite

+∞∑

n=0

un =1

1 − qu0.

Proposition 2.1.6. Soient∑

un et∑

vn deux series convergentes, alors

–∑

(λun) est convergente pour tout λ ∈ R et

+∞∑

n=0

(λun) = λ

+∞∑

n=0

un

–∑

(un + vn) est convergente et

+∞∑

n=0

(un + vn) =

+∞∑

n=0

un +

+∞∑

n=0

vn.

2.2 Conditions de convergence

Proposition 2.2.1 (Comparaison de serie). Soient (∑

un)n et (∑

vn)n deux series verifiant :

0 ≤ un ≤ vn, ∀n ∈ IN.

Alors– si (

∑vn)n converge alors (

∑un)n converge

– si (∑

un)n diverge alors (∑

vn)n diverge.

Exemple 2.2.2. La serie de terme general un = ln nn 2n est convergente. En effet,

limn→+∞

ln nn = 0 ⇒ la suite lnn

n est majoree par une constante A > 0. D’ou

0 ≤ un =ln n

n 2n≤ A

2n, ∀n ∈ IN∗.

et comme la serie de terme general 12n est convergente (serie geometriqe de raison q = 1/2 <

1) alors la serie∑

un est convergente.

Proposition 2.2.3 (Serie de Riemann). La serie de terme general1

nαest convergente si et

seulement si α > 1.

Exemple 2.2.4.

1.∑ 1

n est divergente

2.∑ 1

n2 est convergente.

Proposition 2.2.5 (Condition necessaire de convergence). Si la serie (∑

un)n converge,alors la suite (un)n converge vers 0.

Remarque 2.2.6. La reciproque de la proposition ci-dessus est fausse. Si limn→+∞

un = 0 alors

on ne peut rien conclure sur la serie (∑

un)n.

Exemple 2.2.7.

1. La serie de terme general un = n2, ∀n ∈ IN est divergente car limn→+∞

un = +∞

2. limn→+∞

1

n= 0 et la serie

∑ 1

nest divergente.



Proposition 2.2.8 (Convergence absolue). Si la serie∑ |un| converge alors la serie

∑un

converge.La reciproque et fausse.

Definition 2.2.9. Si la serie∑ |un| est convergente on dit que la serie

∑un est absolument

convergente.

Exemple 2.2.10. La serie∑ (−1)n

n√

nest absolument convergente :

∣∣∣∣

(−1)n

n√

n

∣∣∣∣=

1

n√

n=

1

nαavec α =

3

2.

Donc∑ (−1)n

n√

nest convergente.

Proposition 2.2.11 (Critere d’Alembert). Soit (un)n une suite numerique. On suppose quela limite suivante existe

ℓ = limn→+∞

∣∣∣∣

un+1

un

∣∣∣∣

Alors

1. si ℓ < 1, la serie∑ |un| est convergente

2. si ℓ > 1, la serie∑

un est divergente

3. si ℓ = 1, on ne peut pas conclure immediatement pour la serie∑

un.

Exemple 2.2.12. Soit∑

un la serie de terme general un =(−1)n

2n(n + 1). On a

limn→+∞

∣∣∣∣

un+1

un

∣∣∣∣= lim

n→+∞

12n+1(n+2)

12n(n+1)

= limn→+∞

1

2

n + 1

n + 2=

1

2< 1.

Donc la serie∑

un est convergente.

Proposition 2.2.13 (Critere de Cauchy). Soit (un)n une suite numerique. On suppose quela limite suivante existe

ℓ = limn→+∞

|un|1

n = limn→+∞

n

√

|un|.

Alors

1. si ℓ < 1, la serie∑ |un| est convergente

2. si ℓ > 1, la serie∑

un est divergente

3. si ℓ = 1, on ne peut pas conclure immediatement pour la serie∑

un.

Exemple 2.2.14.

– La serie∑

un de terme general un =

(2n + 3

3n + 7

)n

est convergente, car

limn→+∞

n√

un =2

3< 1.



– La serie∑

vn de terme general vn =

(3n + 3

2n + 7

)n

est divergente, car

limn→+∞

n√

un =3

2> 1.

– On considere la serie∑

wn de terme general

wn =

2k

3ksi n = 2k (n pair)

2k

3k+1si n = 2k + 1 (n impair)

Le rapport un+1

unvaut 1

3 si n est pair, 2 si n est impair. Le critere de d’Alembert ne s’ap-

plique pas. Pourtant, n√

un converge vers√

23 < 1, donc le critere de Cauchy s’applique

et la serie∑

wn converge.

2.3 Series particulieres

Proposition 2.3.1. Pour tout nombre reel x ∈ R, la serie∑ xn

n!est convergente et

+∞∑

n=0

xn

n!=

ex.

Definition 2.3.2 (Serie alternee). On appelle serie alternee toute serie de terme generalde la forme un = (−1)nan, avec an ≥ 0, ∀n ∈ IN.

Proposition 2.3.3. Si la suite (an)n est une suite de reels positifs, decroissante et conver-

gente vers 0 alors la serie alternee∑

(−1)nan est convergente.

Exemple 2.3.4. La serie alternee∑

un de terme general un =(−1)n

nest convergente, car

la suite de terme general1

n, n ∈ IN∗ est decroissante et tend vers 0. Par contre la serie

∑ 1

nn’est pas convergente.


Deuxieme partie

Mathematiques financieres

15

Chapitre 3

Les interets simples

3.1 Definitions et formule de l’interet simple

3.1.1 Definitions

Definition 3.1.1 (Interets simples).

1. L’interet represente le loyer ou la remuneration de l’argent prete. Cet argent s’appellecapital ou placement.

2. Dans le cas de l’interet simple, le capital reste invariable, pendant toute la duree dupret. L’emprunteur doit verser, a la fin de chaque periode, l’interet du.

Remarque 3.1.2.

1. Les interets simples s’appliquent generalement aux prets ou placements a court terme(moins d’un an).

2. Au Maroc, l’annee financiere est de 360 jours.

3.1.2 Formule de l’interet simple

Si nous designons par :

– C : le capital place– τ : le taux d’interet pour 100 Dh– n : la periode de placement (en annees)– I : l’interet rapporte par le capital C– Va : la valeur acquise.

On sait que :

I =C × τ × n

100

et la valeur acquise est donnee par :

Va = C + I.

Exemple 3.1.3.

17


1. Un capital place au taux annuel de 3% pendant 3 ans a rapporte 18 Dh d’interet. Lecapital initialement place est 200 Dh. En effet,

I =C × τ × n

100⇒ C =

I × 100

τ × n=

18 × 100

3 × 3= 200Dh.

2. Soit un capital de 3600 Dh place a interet simples pendant 9 mois a 6%. Alors

I = C × τ/100 × n/12(mois) =C × τ × n

1200=

3600 × 6 × 9

1200= 162Dh.

3. Un capital de 5200 Dh a interet simple a produit 52 Dh d’interet pendant 36 jours.Calculons le taux de placement

I =C × τ × n

36000⇒ τ =

I × 36000

C × n=

52 × 36000

5200 × 36= 10.

Remarque 3.1.4. Le taux utilise doit correspondre a la periode de placement choisie (annee,semestre, trimestre et mois)

Taux annuel Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel Taux journalier

τa τs=τa/2 τt = τa/4 τm = τa/12 τj = τa/360

Tab. 3.1 – Taux proportionnels correspondants

Exercice 3.1.5. Au bout de combien de jours, un capital de 30 000 Dh, place au taux annuelde 7.50%, rapporte-t-il 468.75 Dh d’interets ?

3.2 L’escompte commercial

3.2.1 Definitions

Definition 3.2.1.

1. L’escompte est l’operation par laquelle un banquier verse par avance au porteur d’uneffet de commerce (lettre de change, une traite, billet a ordre) non echu (avant sonecheance) le montant de celui-ci, sous deduction d’interet.

2. L’escompte commercial est l’interet retenu par la banque sur la valeur nominale(somme inscrite sur l’effet) de l’effet pendant le temps qui s’ecoule depuis le jour de laremise a l’escompte jusqu’au jour de l’echeance.

Si

– Vn : la valeur nominal de l’effet– τ : le taux de l’escompte– n : la duree de l’escompte (en jours)– E : le montant de l’escompte– Va : la valeur actuelle (ou valeur escomptee N jours avant l’echeance)


N=(i×100×360)/(c×τ)=75jours


Alors

E =Vn × τ × n

36000et Va = Vn − E = Vn

(

1 − τ × n

36000

)

Remarque 3.2.2. La duree de l’escompte est egale au nombre de jours compris entre celuide la remise (exclu) et celui de l’echeance (inclus). La pratique bancaire conduit souvent a yajouter un certain nombre de jours dits jours de banque.

Exemple 3.2.3. Un commercant negocie le 9 mai une traite d’un montant de 15 000 Dhdont l’echeance est le 15 aout de la meme annee. La banque escompte la traite a un taux de12%. Le montant de l’escompte est :

Taux 12%

9 mai 15 août

date de négociation

98 jours

date d’échéance

E =Vn × τ × n

36000=

15000 × 98 × 12

36000= 490Dh

est la valeur actuelleVa = Vn − E = 15000 − 490 = 14510Dh.

3.2.2 Pratique de l’escompte

Dans la pratique, la remise d’un effet a l’escompte entraıne des frais financiers, en plus del’escompte proprement dit. Ces frais comprennent plusieurs commissions :

– l’escompte– diverses commissions– la taxe sur la valeur ajoutee (T.V.A 7%)

L’ensemble de l’escompte et des commissions s’appelle l’agio.

Exemple 3.2.4. Soit un effet de commerce d’un montant de 25 000 Dh, echeant le 24 juinet escompte le 15 avril de la meme annee aux conditions suivantes :

– Taux d’escompte 13%– Commissions de manipulation 2 Dh par effet– T.V.A 7%– Tenir compte d’un jour de banque

On a alors :

Nombre de jours (n) = 70+1=71

Escompte (E) =25000 × 13 × 71

36000= 640, 97Dh

Commissions de manipulation = 2 DhTotal H.T = 642,97 DhT.V.A 7% = 45 DhAgio = 687,97 Dh



et la valeur actuelle Va = 25000 − 687, 97 = 24312, 03Dh.

Exercice 3.2.5. Un effet de 31 200 Dh a ete escompte a 9% et a donne une valeur actuellede 30 888 Dh au 16 avril. Combien de jours l’effet avait-il a courir ? En deduire la dote deson echeance.

3.3 Equivalence de capitaux a interets simples

3.3.1 Equivalence de deux effets

Definition 3.3.1. Deux effets (ou deux capitaux) sont equivalents a une date donnee, lorsqueescomptes au meme taux, ils ont la meme valeur actuelle (valeur escomptee) a une datedeterminee dite date d’equivalence.


– Vn1 et Vn2 : les valeurs nominales– n1 et n2 : les durees d’escompte en jours– τ : le taux de l’escompte– Va1 et Va2 : les valeurs actuelles,

alors

Va1 = Va2 ⇐⇒ Vn1 −Vn1 × τ × n1

36000= Vn2 −

Vn2 × τ × n2

36000.

Exemple 3.3.2. Un commercant souhaite remplacer le 15 juin un effet de 15 000 Dh arrivanta echeance le 24 juillet, par un autre echeant le 14 aout. Le taux d’escompte est 13%. Calculonsla valeur nominale Vn2 de l’effet de remplacement.

Taux 13%

14 août24 juillet15 juin

60 jours

39 jours

date d’équivalence

On a :

Va1 = Va2 =⇒ 15000 − 15000 × 13 × 39

36000= Vn2 −

Vn2 × 13 × 60

36000

=⇒ Vn2 = 15116, 27Dh.

Remarque 3.3.3. La date d’equivalence est anterieure a la date d’echeance des 2 effets.


N=(E×36000)/Vn×τ=40 joursLa date d'échéance est 25 mai


3.3.2 Equivalence de plusieurs effets : l’echeance commune

Definition 3.3.4. L’echeance commune est le cas de remplacement de plusieurs effets (oucapitaux) par un seul effet (capital).L’echeance commune est l’echeance d’un effet unique qui,a la date d’equivalence, a une valeur actuelle egale a la somme des valeurs actuelles des effetsremplaces.

Si nous designons par :– Vni, i = 1 · · · , k : les valeurs nominales– ni : les durees d’escompte en jours– τ : le taux de l’escompte– Vai : les valeurs actuelles,

alors

Va =

k∑

i=1

Vai ⇐⇒ Vn − Vn × τ × n

36000=

k∑

i=1

(

Vni −Vni × τ × ni

36000

)

Exemple 3.3.5. On souhaite remplacer trois traite ci-dessous par un effet unique.– 5400 Dh : echeance dans 14 jours– 5100 Dh : echeance dans 60 jours– 6300 Dh : echeance dans 75 jours

Calculons l’echeance de l’effet de 16 700 Dh qui remplace les trois effets avec un taux de 12%.

16700 − 16700 × 12 × n

36000=

(

5400 − 5400 × 12 × 14

36000

)

+

(

5100 − 5100 × 12 × 60

36000

)

+

(

6300 − 6300 × 12 × 75

36000

)

= 16491, 57

=⇒ n = 34 jours.




Chapitre 4

Les interets composes

4.1 Definition et formules des interets composes

4.1.1 Definition

Un capital est dit place a interets composes, lorsque, a la fin de chaque periode de place-ment, Les interets produits sont ajoutes au capital pour former un nouveau capital quiproduira a son tour des Interet pendant la periode suivante.

Exemple 4.1.1. Soit un capital de 8000 Dh place a interets composes au taux de 5% l’anpendant 3 ans. Calculons sa valeur acquise en fin de placement.

Periode (an) Capital place au debut Interets Produits (Dh) Valeur acquise (Dh)de la periode(Dh)

1 8000 8000 × 5% = 400 8000+400=8400

2 8400 8400 × 5% = 420 8400 + 420 = 8820

3 8820 8820 × 5% = 441 8820 + 441 = 9261

Au bout de 3 ans de placement, la valeur acquise par le capital est de 9261 Dh et les interetsproduits s’elevent a 1261 Dh.

4.1.2 Formule des interets composes


– C : le capital initial (place)– n : duree de placement– τ : taux d’interet pour un dirham de capital– Va : la valeur acquise apres n periode de placement

alors le capital acquis a la fin de la nieme periode est :

Va = C(1 + τ)n . (4.1.1)

Exemple 4.1.2.

23


1. Un capital de 120 000 Dh place a interets composes au taux semestriel de 6%. Sa valeuracquise au bout de 4 ans est :

Va = 120000 × (1.06)8 (4 ans = 8 semestres)= 120000 × 1, 593848 (voir la table financiere no1)= 191261, 76Dh

Le meme exemple avec un taux annuel de 12% donne :

Va = 120000 × (1.12)4 = 120000 × 1.573519 = 188822.3Dh

On remarque que les deux valeurs acquises ne sont pas egales. On conclut que les deuxtaux ne sont pas equivalent pour les interets composes (voir §4.2).

2. Soit un capital de 6000 Dh place pendant 5ans a 4.4%. Calculons la valeur acquise.

Va = 6000(1.044)5 (taux 4.4% n’est pas tabulaire)

Il faut proceder par interpellation :

4.25% < 4.4% < 4.5% =⇒ (1.0425)5 < (1.044)5 = x < (1.045)5 =⇒ 1.231347 < x < 1.246182

=⇒ x − 1.231347

1.246182 − 1.231347=

4.4 − 4.25

4.5 − 4.25

=⇒

∣∣∣∣∣∣

x = (1.246182 − 1.231347) × 4.4 − 4.25

4.5 − 4.25+ 1.231347

= 1.240248.

D’ou Va = 6000 × 1.240248 = 7441.43Dh

3. A quel taux d’interets composes annuel faut-il placer une somme de 10000 Dh pourobtenir au bout de 10 ans une valeur de 26370 Dh?Soient C = 10000, n = 10, Va = 26370 et x l’inconnue telle que τ = x%, on a alors

Va = C(1 + τ)n =⇒ 26370 = 10000 × (1 + τ)10 =⇒ (1 + τ)10 =26370

10000= 2.6370

On remarque que 2.6370 ne se trouve pas sur la table financiere. Il faut proceder parinterpolation :

2.593742 < 2.6370 < 2.653298 =⇒ 10% < x% < 10.25%

=⇒ x − 10

10.25 − 10=

2.6370 − 2.593742

2.653298 − 2.593742

=⇒ x = (10.25 − 10) × 2.6370 − 2.593742

2.653298 − 2.593742+ 10 = 10.18.

Donc τ = 10.18%.

4. Une personne a investit une somme d’argent dans un projet. 4 annees plus tard, elleretire 50000 Dh. Quelle est la somme placee si le taux d’interet est de 11.30% par an ?On a

Va = C(1+τ)n =⇒ 50000 = C(1.1130)4 =⇒ C =50000

(1.1130)4(le taux 11.30% n’est pas tabulaire)



On procede alors par interpolation

11.25 < 11.30 < 11.50 =⇒ (1.1125)4 < (1.113)4 = x < (1.1150)4

=⇒ 1.531733 < x < 1.545608 =⇒

∣∣∣∣∣∣

x = (1.545608 − 1.531733) × 11.30 − 11.25

11.50 − 11.25+ 1.531733

= 1.534556.

Donc C =50000

1.534556= 32582.71Dh.

5. Un capital de 125 000 Dh a acquis une valeur acquise de 166 375 Dh au taux de 10%.Quelle a ete la duree de placement ?On a

Va = C × (1 + τ)n =⇒ 166375 = 125000 × (1.1)n =⇒ (1.1)n =166375

125000= 1.3310.

La T.F no1 donne (1.1)3 = 1.3310. Donc n = 3 soit 3 ans.On peut aussi calculer n directement sans utiliser la table financiere a l’aide de :

(1.1)n = 1.3310 =⇒ en ln(1.1) = 1.3310 =⇒ n ln(1.1) = ln(1.3310)

=⇒ n =ln(1.3310)

ln(1.1)= 3.

Remarque 4.1.3. A partir de la formule des interets composes (4.1.1), on peut calculer nen fonction de Va, C et τ a l’aide de la formule suivante :

n =ln(Va/C)

ln(1 + τ)

4.1.3 Formule de capitalisation avec un nombre fractionnaire de periodes

Definition 4.1.4. On dit que le temps de placement ou de capitalisation est nombre frac-tionnaire si la duree de placement s’exprime en n ans et m mois, avec 1 ≤ m ≤ 11.

Exemple 4.1.5. Calculer la valeur acquise par un capital de 100 000 Dh place pendant 8 anset 5 mois au taux annuel de 6%.

Pour resoudre le probleme precedent, deux solutions sont possibles :

Solution rationnelle

Dans ce cas, on considere les n ans (partie entiere) a interets composes et les m mois (partiefractionnaire) a interets simples (voir FIG. 4.1). La valeur acquise est donnee par :

Van+m/12 = C × (1 + τ)n︸︷︷︸

Valeur acquise au bout de n ans

+ (C × (1 + τ)n) × τ × m/12︸︷︷︸

interet simple des m derniers mois

Si on considere l’exemple 4.1.5, on a :

Va8+5/12 = 100000 × (1.06)8︸︷︷︸

Valeur acquise au bout de 8 ans

+(100000 × (1.06)8

)× 0.06 × 5/12

︸︷︷︸

interet simple des 5 derniers mois= 100000 × (1.06)8 × (1 + 0.06 × 5/12)

= 100000 × 1.593848 × 1.024999 = 163369.42Dh



Taux

Intérêts simples

Intérêts composés

n années m mois

Fig. 4.1 – Solution rationnelle

Solution commerciale

Dans la pratique, on considere que la totalite de la duree du placement s’effectue a interetscomposes (voir FIG. 4.2). La valeur acquise est donnee par :

Van+m/12 = C × (1 + τ)n+m/12 = C × (1 + τ)n × (1 + τ)m/12

Taux

n années m mois

Intérêts composés

Fig. 4.2 – Solution commerciale

Reprenons l’exemple precedent. On a alors :

Va8+5/12 = 100000 × (1.06)8+5/12 = 100000 × (1.06)8︸︷︷︸

T.F no1

× (1.06)5/12

︸︷︷︸

T.F no6= 100000 × 1.593848 × 1.02458

= 163302.5Dh.

Remarque 4.1.6. La solution commerciale est inferieure a la solution rationnelle. On adoptetoujours la solution commerciale sauf indication contraire.

Exemple 4.1.7. Calcule la valeur acquise par un capital de 100 000 Dh place pendant 6 anset 3 mois au taux de 13.10%. On a :

Va = 100000 × (1.1310)6+3/12 = 100000 × (1.1310)6 × (1.1310)3/12 .

Le taux 13.10% n’est pas tabulaire. On procede alors par interpolation :



Interpolation no1. On a :

13 < 13.10 < 13.25 =⇒ (1.13)6 < (1.131)6 = x < (1.1325)6 =⇒ 2.081952 < x < 2.109742

=⇒ x − 2.081952

2.109742 − 2.081952=

13.10 − 13

13.25 − 13

=⇒ (1.1310)6 = x = 2.093068.

Interpolation no2. On a :

(1.13)3/12 < (1.131)3/12 = x < (1.1325)3/12 =⇒ 1.03103 < x < 1.03160

=⇒ x − 1.03103

1.03160 − 1.03103=

13.10 − 13

13.25 − 13

=⇒ (1.1310)3/12 = x = 1.031258.

Donc Va = 100000 × 2.093068 × 1.031258 = 215849, 31Dh.

4.2 Taux proportionnels et taux equivalents

4.2.1 Taux proportionnels

Definition 4.2.1. De taux sont proportionnels lorsque leur rapport est egal au rapport desdurees de leurs periodes respectives

Exemple 4.2.2. Au taux annuel de 10% correspond le taux semestriel proportionnel de 5%et le taux trimestriel proportionnel de 2.5%. En effet,

10/5 = 12/6 = 2 et 10/2.5 = 12/3 = 4.

Remarque 4.2.3. En interets simples deux taux proportionnels produisent sur un memecapital les memes interets au bout de meme temps (ce n’est pas le cas en interets composes,voir 1. de l’exemple 4.1.2).

4.2.2 Taux equivalents

Definition 4.2.4. Deux taux sont dits equivalents s’ils aboutissent pour un meme capital,a la meme valeur acquise pendant la meme duree de placement.

Exemple 4.2.5. Un capital de 10 000 Dh place pendant un an au taux de 10%. Sa valeuracquise est

Va = 100000(1.10)1 = 11000Dh.

Si τs est le taux semestriel equivalent, alors

10000(1 + τs)2 = 10000(1.10)1 =⇒ (1 + τs)

2 = 1.10 =⇒ τs =√

1.10 − 1 = 0.0488088

soit τs = 4.88%.De la meme maniere, on peut calculer le taux trimestriel equivalent. Si τt est le taux trimestrielequivalent au taux annuel de 10%, alors

(1 + τt)4 = 1.10 =⇒ τt = 1.101/4 − 1 = 0.0241137

soit τt = 2.41%.



En general, soient τ1 et τ2 deux taux associes respectivement a deux nombres de periodesdifferentes n1 et n2. On dit que les deux taux sont equivalents si :

(1 + τ1)n1 = (1 + τ2)

n2.

Ce qui nous donne

τ1 = (1 + τ2)n2/n1 − 1 et τ2 = (1 + τ1)

n1/n2 − 1

Exemple 4.2.6.

1. Le taux semestriel equivalent au taux annuel de 10% est

τs = (1.1)1/2 − 1 = 0.0488088

soit τs = 4.88%.

2. Le taux trimestriel equivalent au taux annuel de 10% est

τt = (1.1)1/4 − 1 = 0.024113689

soit τt = 2.41%.

3. Le taux mensuel equivalent au taux semestriel de 7% est

τm = (1.07)1/6 − 1 = 0.011340260134872

soit τm = 1.13%.

4.3 Equivalence de capitaux a interets composes

4.3.1 Equivalence de deux capitaux

Definition 4.3.1. Deux capitaux (ou effets) sont equivalents a interets composes, a une datedonnee (date d’equivalence), si escomptes a interets composes et au meme taux, ils ont a cettedate la meme valeur actuelle.

Si nous designons par C1 et C2 deux effets payables dans n1 et n2 periodes et escomptes a untaux τ par periode. Alors C1 et C2 sont equivalents si et seulement si

C1(1 + τ)−n1 = C2(1 + τ)−n2 .

Taux

n2

n1

C1 C2



Exemple 4.3.2. Soit un capital de 25000 Dh payable dans 3 ans et un capital de 30250 Dhpayable dans 5 ans. Taux d’escompte 10%.

Taux 10%

0 3 5

25000 30250date d’équivalence

1er capital : Valeur actuelle a la date d’equivalence est

25000(1 + τ)−3 = 25000(1.1)−3 = 25000 × 0.751315 = 18782.87Dh

2eme capital : Valeur actuelle a la date d’equivalence est

30250(1 + τ)−5 = 30250(1.1)−5 = 30250 × 0.620921 = 18782.87Dh.

A la date d’equivalence, ces deux capitaux ont la meme valeur actuelle. Ils sont alors equivalents.Si nous changeons la date d’equivalence, les valeurs actuelles restent les memes a conditionsque le taux ne change pas. D’ou la remarque :

Remarque 4.3.3. Si deux capitaux sont equivalents a interets composes, a une date donnee,ils sont equivalents a toute autre date.

4.3.2 Equivalence de plusieurs capitaux

Definition 4.3.4. Un capital est equivalent a interets composes, a une date donnee, a unensemble de plusieurs capitaux si la valeur actuelle de ce capital est egale a la somme desvaleurs actuelle des autres capitaux.

C(1 + τ)−n =

k∑

i=1

Ci(1 + τ)−ni .

Exemple 4.3.5.

1. Un debiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes :– 24000 Dh pyable dans un an– 16000 Dh pyable dans 2 ansObtient de son creancier de se liberer par un paiment unique dans 2ans.Calculons la valeur de ce paiment unique si le taux d’interets composes est de 13%.

0

date d’équivalence

21

Taux 13%16000

Vn??

24000

1 ans

2 ans



On a :

Vn(1.13)−2 = 24000(1.13)−1 + 16000(1.13)−2 ⇒ Vn = 24000 × 1.13 + 16000 = 43120Dh

2. Une personne a emprunte 15000 Dh a interets composes. Au lieu de rembourser lecapital et les interets dans 5 ans apres comme convenu, elle propose de remborser acette datte 8000 Dh et le reste est verse 5 ans plus tard par un montant de 29110.90Dh. Quel es tle taux d’interets composes ?Soit τ le taux d’interet pour un dirham. On a :

15000 = 8000(1+τ)−5 +29110.90(1+τ)−10 ⇔ 15000(1+τ)10 = 8000(1+τ)5 +29110.90

Si on pose x = (1+ τ)5, la derniere equation se reecrit sous la forme d’une equation dusecond degre :

15000x2 − 8000x − 29110.90 = 0

Les solution de cette equation sont x1 = 1.685059 et x2 = −1.1517 < 0 a rejeter. Onobtient alors

(1 + τ)5 = 1.685059 ⇒ τ = 11%.

3. Determiner l’echeance d’une dette de 4983.245 Dh destinee a remplacer les 3 dettessuivantes :– 1000 Dh payable dans 6 mois– 1800 Dh payable dans 18 mois– 2000 Dh payable dans 30 moisOn applique une capitalisation semestrielle avec tau semestriel de 6%.Soit n le nombre de periodes (semestres), on a :

4983.245(1 + τ)−n = 1000(1 + τ)−1 + 1800(1 + τ)−3 + 2000(1 + τ)−5

= 1000(1.06)−1 + 1800(1.06)−3 + 2000(1.06)−5

= 3949.227

Ce qui implique(1.06)−n = 0.792 ⇒ n = 4 (voir la T.F no2)

Soit 4 semestres (2 ans).

4. Un debiteur a contracte 4 dettes aupres du meme creancier :– 8200 Dh payable dans 1 an 3 mois– 9600 Dh payable dans 2 ans 6 mois– 7800 Dh payable dans 3 ans 9 mois– 10600 Dh payable dans 5 ansPreferant se liberer en une seule fois, il obtient de son creancier la facilite de s’acquitterpar un paiment unique dans 3 ans. Calculons le montant de ce paiement, compte tenud’un taux annuel de 8%.

Taux 8%

0 53+9/122+6/121+3/12

ActualisationCapitalisation

3

8200 9600 7800 10600

date d’equivalence

Vn ?



Soit Vn la valeur nominale de l’effet unique, on a :

Vn = 8200(1.08)1+9/12 + 9600(1.08)6/12 + 7800(1.08)−9/12 + 10600(1.08)−2

= 8200 × 1.144172 + 9600 × 1.03923 + 7800 × 0.943913 + 10600 × 0.857338= 35809.12Dh.




Chapitre 5

Les annuites

5.1 Definitions

Definition 5.1.1. On appelle annuites, des versements constants payables a intervalles detemps reguliers. On distingue :

1. Les annuites de capitalisation ou annuites de placement, dont l’objectif est de consti-tuer un capital.

2. Les annuites de remboursement ou d’amortissement, dont l’objectif est de rem-bourser une dette.

Remarque 5.1.2. Les versements peuvent etre effectues a la fin de periode : c’est le casdes annuites de remboursement. Comme elles peuvent etre verses en debut de periode :c’est le cas generalement pour les annuites de placement.

5.2 Les annuites de fin de periode

5.2.1 Valeur acquise

Exemple 5.2.1. Une personne verse annuellement 1000 Dh a la BMCE pendant 5 ans.Quelle est la somme retiree au moment du dernier versement (taux 10%).

3 50 1 2 4

100010%

1000100010001000

Periodes

Annuites

Versement Valeur acquise (Dh)

1 1000 × (1.1)4

2 1000 × (1.1)3

3 1000 × (1.1)2

4 1000 × (1.1)

5 1000

33


Va = 1000 + 1000(1.1) + 1000(1.1)2 + 1000(1.1)3 + 1000(1.1)4︸︷︷︸

la somme d’une suite geometrique du premier terme 1000 et de raison q = 1.1 6= 1

= 10001 − (1.1)5

1 − 1.1= 6105.10Dh (T.F no3).

Formule generale de la valeur acquise

τa a aa a a a

0 1 2 3 4 n−2 n−1 n

Va

Capitalisation

Va = a + a(1 + τ) + a(1 + τ)2 + · · · + a(1 + τ)n−2 + a(1 + τ)n−1

= a(1 + q + q2 + · · · qn−2 + qn−1

), q = 1 + τ 6= 1

= a1 − qn

1 − q= a

1 − (1 + τ)n

1 − (1 + τ).

D’ou

Va = a × (1 + τ)n − 1

τ. (5.2.1)

Exemples

Exemple 5.2.2 (recherche de l’annuite). Quel doit etre le montant de chacune des 20 an-nuites qui permettraient de constituer au moment du dernier versement un capital de 100000Dh au taux de 11%.Va = 100000, n = 20, τ = 11%, a =??. On a :

Va = a × (1 + τ)n − 1

τ

⇒ a = Vaτ

(1 + τ)n − 1= 1557, 56Dh.

Exemple 5.2.3 (recherche de la duree). Combien d’annuites constantes de 10 000 Dh faut–ilverser en fin de periode, pour obtenir par capitalisation au taux de 7% un capital de 150000Dh ?Va = 150000, a = 10000, τ = 7%, n =??. On a :

Va = a × (1 + τ)n − 1

τ⇒ (1 + τ)n =

τ Va

a+ 1

⇒ (1.07)n = 2.05 ⇒ n = ln(2.05)/ ln(1.07) = 10.6, 10 < n < 11.

Comme n doit etre necessairement entier on prendra n = 10 ou n = 11.

1. n = 10

– Solution 1 : on modifie toutes les annuites : a = 1500000.07

1.0710 − 1= 10856, 62Dh



– Solution 2 : on modifie la derniere annuite, celle-ci est majoree d’un montant m :

m = 150000 − 100001.0710 − 1

0.07= 11835, 52Dh.

Soit le montant de la derniere annuite a10 = a+m = 10000+11835, 52 = 22835, 52Dh.

2. n = 11

– Solution 1 : on modifie toutes les annuites : a = 1500000.07

1.0711 − 1= 9503, 54Dh

– Solution 2 : on modifie la derniere annuite, celle-ci diminuee d’un montant d : d =

100001.0711 − 1

0.07− 150000 = 7836Dh.

Soit la derniere annuite a11 = a − d = 10000 − 7836 = 2164Dh.

Exemple 5.2.4 (recherche du taux). Sachant que 10 annuites constantes de 10 000 Dhchacune permettant de constituer un capital de 151929,29 Dh. Calculer le taux d’interet cor-respondant a ce placement.Va = 151929, 29, a = 10000, n = 10, τ =??. On a :

Va = a × (1 + τ)n − 1

τ

⇒ (1+τ)n−1τ = Va

a = 15, 192929

⇒ τ = 9% (T.F no3).

5.2.2 Valeur actuelle

Connaissant la valeur acquise des annuites de fin de periode, determiner leur valeur actuelleun an avant le 1er versement (voir le schema ci-dessous).

τa a aa a a a

0 1 2 3 4 n−2 n−1 n

VaActualisationV0=??

Ici on cherche a evaluer la suite d’annuites a la date 0. En utilisant la formule de la valeuractuelle, on obtient :

V0 = Va(1 + τ)−n

Si on remplace Va par son expression (5.2.1), on aura :

V0 = a(1 + τ)n − 1

τ× (1 + τ)−n

D’ou

V0 = a1 − (1 + τ)−n

τ(5.2.2)



Exemples

Exemple 5.2.5 (recherche de l’annuite). Un fond de commerce est achete a 300000 Dhpayable par 12 annuites constantes de fin d’annee au taux de 10%. Quel est le montant dechaque annuite ?

10%a a aa a a a

0 1 2 3 4 10 12

V 0=300000

11

a=??

V0 = a1 − (1 + τ)−n

τ

⇒ a = V0τ

1 − (1 + τ)−n

⇒ a = 44028.90 Dh.

Exemple 5.2.6 (recherche du taux). Une dette de 450000 Dh doit etre remboursee par cinqversement annuel de 125000 Dh chacun. Le 1er versement ayant lieu dans un an. Calculerle taux d’interets.

V0 = a1 − (1 + τ)−n

τ

⇒ 1 − (1 + τ)−n

τ

V0

a

⇒ 1 − (1 + τ)−n

τ= 3.6

D’apres la T.F no4, 3,6 n’est pas tabulaire, on procede alors par interpolation :

3, 582562 < 3, 6 < 3, 6047762

12 < τ < 12.25

⇒ τ = 12.05%.

5.3 Les annuites de debut de periode

5.3.1 Valeur acquise

Les versements ont lieu au debut de chaque periode :

Remarque 5.3.1. L’etude des annuites de debut de periode ne presente pas de differencesmajeures par rapport a celles des annuites de fin de periode. En effet par un simple changementd’origine on se ramene au schema des annuites de fin de periode. Il importe au niveau desformules, de tenir compte du decalage d’une periode. (voir remarque 5.3.6)

Formule de la valeur acquise, une periode apres le dernier versement :

Va = a(1 + τ) + a(1 + τ)2 + · · · + a(1 + τ)n−1 + a(1 + τ)n

= a(1 + τ) ×(1 + (1 + τ) + · · · + (1 + τ)n−2 + (1 + τ)n−1

)



τa aa a a a

0 1 2 3 4 n−2 n−1 n

a

Capitalisation

Va

Fig. 5.1 – Annuites de debut de periode

τa a aa a a a

0 1 2 3 4 n−2 n−1 n

Va

Capitalisation

Fig. 5.2 – Annuites de fin de periode

D’ou

Va = (1 + τ) × a(1 + τ)n − 1

τ(5.3.1)

Remarque 5.3.2. On remarque que pour obtenir la valeur acquise de debut de periode(5.3.1), il suffit de multiplier la formule de la valeur acquise de fin de periode (5.2.1) par(1 + τ).

Exemples

Exemple 5.3.3 (recherche de la duree). Combien faut-il verser d’annuites annuelles de9531,69 Dh chacune, pour constituer un an apres le dernier versement, un capital de 157737,41Dh taux 12% par an.Va = 157737, 41, a = 9531, 69, τ = 12%, n =??. On a :

Va = a(1 + τ)(1 + τ)n − 1

τ

⇒ (1 + τ)n =Va τ

a(1 + τ)+ 1

⇒ (1.12)n = 2.773079

⇒ n = ln(2.773079)/ ln(1.12) = 9.

Exemple 5.3.4 (recherche de l’annuite). 15 versements annuel sont effectues le 1er janvierde chaque annee, pendant 15 ans, au taux de 11% l’an. Le capital constitue, un an apres ledernier versement est de 248234,67 Dh. Calculer le montant de chaque versement.



Va = 248234, 67, n = 15, τ = 11%, a =??. On a

Va = a(1 + τ)(1 + τ)n − 1

τ

⇒ a =Va τ

(1 + τ) [(1 + τ)n − 1]

⇒ a =248234, 67 × 0, 11

1.11 × [(1.11)15 − 1]= 6500Dh

Exemple 5.3.5 (recherche du taux). Le versement de 10 annuites annuelles constantes de

debut de periode de 10000 Dh chacune, a permis de constituer , a la fin de la 10eme annee,un capital de 170 000 Dh. Quel est le taux de capitalisation utilise ?Va = 170000, a = 10000, n = 10, τ =??. On a

Va = a(1 + τ)(1 + τ)n − 1

τ

⇒ (1 + τ)(1 + τ)n − 1

τ=

Va

a

⇒ (1 + τ)(1 + τ)10 − 1

τ= 17

⇒ (1 + τ)11 − 1

τ− 1 = 17

⇒ (1 + τ)11 − 1

τ= 18.

D’apres la T.F no3, 18 n’est pas tabulaire, on procede alors par interpolation :

17, 797628 < 18 < 18, 038517

9, 25 < τ < 9, 5

⇒ τ = 9, 46%.

5.3.2 Valeur actuelle

Connaissant la valeur acquise des annuites de debut de periode, determiner leur valeuractuelle au moment du 1er versement.

τa aa a a a

0 1 2 3 4 n−2 n−1 n

Va0V Actualisation

a

V0 = Va(1 + τ)−n valeur actuelle

= a(1 + τ)(1 + τ)n − 1

τ× (1 + τ)−n

D’ou

V0 = (1 + τ) × a1 − (1 + τ)−n

τ(5.3.2)



Remarque 5.3.6. On remarque que pour obtenir la valeur actuelle de debut de periode(5.3.2), il suffit de multiplier la formule de la valeur actuelle de fin de periode (5.2.2) par(1 + τ).

Exemples

Exemple 5.3.7 (recherche de la duree). Combien faut-il verser d’annuites annuelles constantesde 5000 Dh chacune, pour avoir une valeur de 20186,74 Dh au moment du 1er versement,au taux de 12% l’an.V0 = 20186, 74, a = 5000, τ = 12%, n =??. On a :

V0 = a(1 + τ)1 − (1 + τ)−n

τ

⇒ 1 − (1 + τ)−n

τ=

V0

a(1 + τ)1 − (1.12)−n

0.12= 3.604775

D’apres la T.F no4, on a n = 5 soit 5 versements.

Exemple 5.3.8 (recherche de la valeur actuelle). Calculer a la date du 01-01-93 la valeuractuelle d’une suite d’annuites constantes de 3000 Dh chacune. La 1ere etant versee le 01-01-93, la derniere le 01-01-97 taux d’actualisation 12% l’an.

V0 = a(1 + τ)1−(1+τ)−n

τ

= 3000 × 1.12 × 1 − (1.12)−5

0.12

= 12112Dh.




Chapitre 6

L’emprunt indivis

6.1 Definition et notion d’amortissement

L’emprunt indivis ou ordinaire se caracterise par le fait que l’emprunteur (un particulierou une entreprise) s’adresse a un seul creancier (le nominal C de la dette n’est pas divise).

L’emprunt indivis s’oppose donc a l’emprunt obligataire par lequel l’emprunteur (une grandeentreprise ou l’Etat) recourt a une multitude de creanciers (le nominal C de la dette est diviseen titres).

Notion d’amortissement. Une personne emprunte une somme C pour une duree egale an periode au taux τ . Pour l’amortissement de la dette on distingue trois type de systeme :

1. Les emprunts remboursables par amortissements constants

2. Les emprunts remboursables par annuites constantes

3. Les emprunts remboursables en une seule fois.

6.2 Les emprunts remboursables par amortissements constants

Selon cette formule, le montant de l’emprunt indivis (C) est divise en parts egales (les amor-tissements) en fonction du nombre de periode (n) de remboursement. A la fin de chaqueperiode, l’emprunteur verse au preteur une partie de la dette (amortissement : M = C/n) etun interet calcule au taux prevu sur le montant encore du (non rembourse au preteur).La somme de ces deux elements (amortissement+interet) forme l’annuite de rembourse-ment.

Exemple 6.2.1. Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 Dh a la BMCE.en vue de faire face aux surcouts apparus sur les marches d’approvisionnements. Cet empruntest remboursable en quatre fractions egales, payables a la fin de chacune de quatre annees :taux de l’emprunt 12% l’an.On a l’amortissement est constant M = C/n = 1000000/4 = 250000Dh. le tableau d’amor-tissement de l’emprunt est presente sur le tableau TAB. 6.1.

41


Periode Capital en debut Interet de Amortissement Annuite Capital en finde periode la periode de periode

(CDP) (I) (M) (a) (CFP)

1 1000 000 120 000 250 000 370 000 750 0002 750 000 90 000 250 000 340 000 500 0003 500 000 60 000 250 000 310 000 250 0004 250 000 30 000 250 000 280 000 0

300 000 1000 000 1300 000

Tab. 6.1 – Tableau d’amortissement de l’emprunt

6.2.1 Generalisation

τ

0 n1 32 n−1

La dette C2 C3 Cn−1 Cn = 0

a1 = I1 + M a2 = I2 + M a3 = I3 + M an = In + Man−1 = In−1 + M

C1C

– A la fin de la premiere periode, l’annuite a1 contient l’interet I1 = C τ de la premiereannee et l’amortissement M destine a commencer le remboursement de la dette :

a1 = I1︸︷︷︸

interet

+ M︸︷︷︸

amortissement

= C τ + M

et la dette a la fin de la premiere annee est C1 = C − M .– A la fin de la deuxieme annee, on a :

a2 = I2 + M = C1 τ + M et C2 = C1 − M.

– Ecrivons deux annuites successives :{

ap = Cp−1 τ + M

ap+1 = Cp τ + Met Cp = Cp−1 − M

impliqueap+1 − ap = Cp τ + M − (Cp−1 τ + M)

= (Cp − Cp−1)τ

= ((Cp−1 − M) − Cp−1) τ = −Mτ

= −C

nτ (M = C/n)

D’ou

ap+1 = ap −C

nτ

C’est une suite arithmetique de raison r = −M τ = −C

nτ et de premier terme a1 =

I1 + M = C τ + M



– De la meme maniere on montre que l’interet est aussi une suite arithmetique de raison

r = −M τ = −C

nτ et de premier terme I1 = C τ :

Ip+1 = Ip −C

nτ

Exemple 6.2.2. Un emprunt de 300 000 Dh est remboursable en 6 annuites, la premierepayable un an apres la date du contrat. Sachant que l’amortissement est constant et que letaux est 11, 50% l’an, construire le tableau d’amortissement de cet emprunt.On a M = C/n = 300000/6 = 50000, r = −C

n τ = −5750

Periode CDP I M a CFP

1 300 000 34500 50 000 84500 250 0002 250 000 28 750 50 000 78 750 200 0003 200 000 23 000 50 000 83 000 150 0004 150 000 17 250 50 000 67 250 100 0005 100 000 11 500 50 000 61 500 50 0006 50 000 5750 50 000 55 750 0


6.3 Les emprunts remboursables par annuites constantes

Selon cette formule de remboursement, ce sont les annuites (interets + amortissements)qui sont constantes.

C’est la formule la plus repondue au Maroc.

τ

0 n1 32 n−1

La dette C2 C3 Cn−1 Cn = 0

a = I1 + M1 a = I2 + M2 a = I3 + M3 an = In + Mna = In−1 + Mn−1

C1C

D’apres la formule de la valeur actuelle des annuites de fin de periode (5.2.2), on a :

C = a1 − (1 + τ)−n

τ⇒ a = C

τ

1 − (1 + τ)−n

Calculons l’amortissement de chaque periode, on a

{

ap = Cp−1 τ + Mp

ap+1 = Cp τ + Mp+1

, Cp = Cp−1 − Mp et ap+1 = ap = a (annuites constantes)



implique

Cp τ + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp

⇒ (Cp−1 − Mp)τ + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp ⇒ Cp−1 τ − Mp tau + Mp+1 = Cp−1 τ + Mp

D’ouMp+1 = (1 + τ)Mp

C’est une suite geometrique de raison q = 1 + τ et de premier terme

M1 = a1 − I1 = Cτ

1 − (1 + τ)n− C τ = C

τ

(1 + τ)n − 1

Exemple 6.3.1. Reprenons l’exemple 6.2.1 avec des annuites constantes.Une entreprise importatrice emprunte la somme de 1000 000 Dh a la BMCE. en vue de faireface aux surcouts apparus sur les marches d’approvisionnements. Cet emprunt est rembour-sable en quatre annuites constantes, payables a la fin de chacune de quatre annees : taux del’emprunt 12% l’an.

a = Cτ

1 − (1 + τ)−n= 1000000

0.12

1 − (1.12)−4= 329234, 44

Periode CDP I M a CFP

1 1000 000 120 000 209 234,44 329 234,44 790 765,562 790 765,56 94 891,87 234 342, 57 329 234,44 556 422,993 556 422,99 66 770,77 8-¿262 463,67 329 234,44 293 959,324 293 959,32 35 275,12 293 959,32 329 234,44 0


Exemple 6.3.2. Un fonctionnaire a emprunte 120 000 DH au CIH, remboursables en 120mensualites au taux annuel de 15%. Cet emprunt a ete souscrit le 28/09/97 avec effet au01/10/97. Le premier remboursement commencera fin octobre 97.

1. Calculer le montant de la mensualite constante.Puisque le taux d’interet est annuel et le remboursement est mensuel, il est necessairede calculer le taux equivalent au taux annuel de 15%.

(1 + τm)12 = 1.15 ⇒ τm = (1.15)1/12 − 1 = 0.011714916

La mensualite constante :

m = Cτm

1 − (1 + τm)−n= 120000

0.011714916

1 − (1.011714916)120= 1867, 38Dh

2. Decomposer la 1ere mensualite en interet et en amortissement.

Decomposition de la 1ere mensualite{

I1 = C × τm = 120000 × 0, 011714916 = 1405, 79Dh

m = M1 + I1 ⇒ M1 = m − I1 = 1867, 38 − 1405, 79 = 461, 59Dh



3. Apres 60 mois de remboursement, le fonctionnaire, qui espere beneficier d’unrappel, souhaiterait rembourser la somme restant due en un seul versement,le contrat lui permettant de le faire. Quelle somme totale devra-t-il verserapres avoir paye la 60 eme mensualite.Calcul du montant de l’emprunt restant du apres le paiement de la 60 eme mensualite(C60 ) Cette somme est egale a la valeur actuelle des mensualites restantes. Soit

C60 = m1 − (1 + τm)−60

τm= 80150, 99Dh

15%

0 2 3 59 60 61 119 120

La dette

1

m m m m m m m m

C C1 C2 C3 C59 C61 0C119C60

Verification a partir du 1er amortissement, on a

C =

120∑

i=1

Mi =

60∑

i=1

Mi +

120∑

i=61

Mi

︸︷︷︸

C60

Ceci implique

C60 = C−60∑

i=1

Mi = C−M1(1 + τm)60 − 1

τm= 80150, 99Dh (Mp suite geometrique de raison 1+τ).

6.4 Les emprunts remboursables en une seule fois

Selon cette formule, l’emprunteur peut verser uniquement les interets a la fin de chaqueperiode (I = C τ) et payer la totalite et la somme empruntee C a la fin de la derniere periodeavec bien entendu l’interet I.

τ

0 n1 32 n−1

La dette

I + C

0CC

I

C

II

CC

I

De meme, il peut ne rien payer pendant toute la duree de l’emprunt et verser la totalite desinterets et le montant de la somme empruntee a la fin de la duree de l’emprunt.

Ce systeme presente l’inconvenient d’obliger l’emprunteur a verser une somme tres importantea la fin des n periodes. En general, l’emprunteur est amene a effectuer le placement a la fin



de chaque periode (pour preparer l’echeance de ce paiement), dans une banque ou une societede capitalisation, d’annuites constantes (ou variables) a un taux i presque toujours differentdu taux d’emprunt τ (systeme americain).

Exemple 6.4.1. Soit un emprunt de 1000 000 Dh, remboursable en une seule fois au boutde 5 ans taux 12%.

1. l’emprunteur paie les interets au taux de 12% a la fin de chaque annee.a la fin de chaque annee on paye l’interet I = Cτ = 120000Dh et a la fin de la derniereannee on paye l’interet et le capital : I + C = 1120000Dh

2. meme modalites de paiement que dans 1. , mais l’emprunteur prend laprecaution de deposer, a la fin de chaque annee, en banque, une sommeS telle que, compte tenu d’une capitalisation au taux de i = 12%, il puisserembourser le capital emprunte. Determiner S.On a :

C = S(1 + i)n − 1

i⇒ S = C

i

(1 + i)n − 1= 1000000

0.12

(1.12)5 − 1= 157409, 73Dh.

Par ailleurs l’interet a verser a la fin de chaque annee s’eleve a 120 000 Dh. Ce quidonne une annuite effective de 277 409,73 Dh (120 000+157409,73).

3. meme question si le taux de remuneration des depots est de 13, 75%, c’est-a-dire superieur au taux d’interet a payer.

S = Ci

(1 + i)n − 1= 1000000

0.1375

(1.1375)5 − 1= 152035, 34Dh.

4. L’emprunteur ne paie la totalite des interets qu’en fin de contrat et n’effectue

qu’un seul versement a la fin de la 5eme annee. Il place neanmoins, a la finde chaque annee, une somme S au taux de 13, 75%. Determiner S permettantde faire face a ce remboursement unique.On a

C(1 + τ)n = S(1 + i)n − 1

i

⇒ S = C(1 + τ)ni

(1 + i)n − 1= 1000000(1.12)5

0.1375

(1.1375)5 − 1= 267938, 22Dh. �


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Cours s2 math