Cours Transferts thermiques

January 25, 2017

Déroulement de l'UE:

- 6h de Cours/TD (répartis sur 4 séances d'1h30)

- 3 x 8h de TP (répartis sur 3 mercredi consécutifs du 6 au 22 mars ou du 29 mars au 12 avril)

Enseignants: Benjamin Cross (TP), Catherine Quilliet (cours/TD+TP)

Cet enseignement ne vise pas à l'exhaustivité ; le but du cours est que les notions utiles pour lesTP soient acquises au mieux à la n des 4 séances introductives)

L'évaluation se fait en 3 étapes :

- un contrôle continu écrit (généralement un QCM) à la n des 4 séances de cours, qui comptepour 15% de la note d'UE. Date prévue pour l'examen : le 17 février à 7h45.

- une présentation orale à la n des TP, qui compte pour 50% de la note d'UE.

- un examen écrit terminal, qui compte pour 35% de la note d'UE.

Expériences de thermodynamique:

TP0 : Pompe à chaleur / réfrigérateur > L2

TP1 : Mesure d'une chaleur spécique (échanges de chaleur par rayonnement, modélisation RCpour échanges thermiques etstockage de chaleur)

TP2 : Etude de la diusion de la chaleur sur une barre (échanges de chaleur par rayonnement etconvection, modélisation RC)

TP3 : Déperditions thermiques (échanges de chaleur par rayonnement et convection, modélisationRC)

TP4 : Thermoélément à eet Peltier (découverte des eets thermoélectriques)

TP5 : Réchauement d'un corps noir/gris dans un four + bolomètre (convection, échanges dechaleur par rayonnement)

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Introduction

Hors eets thermoélectriques, il existe trois modes de conduction de la chaleur : la conduction, laconvection, le rayonnement.

Conduction La propagation de la chaleur par conduction se fait au sein de la matière mais sansdéplacement de celle-ci, par transmission de proche en proche de l'énergie d'agitation thermique.Ce mode de propagation va donc être d'autant plus ecace que la matière est dense : en gros,solides > liquides > gaz.

C'est typiquement ce mode de conduction de la chaleur qui donne les sensations (trompeuses) defroid ou chaud selon qu'on touche du métal ou du bois : le corps humain n'a pas de capteurde température, il peut juste évaluer les ux de chaleur, étroitement reliés ici à la conductivitéthermique. En général, quand on touche un montant en bois ou un objet en métal dans une pièce,ceux-ci sont thermalisés (= à température ambiante) depuis longtemps !

Convection Mode de transfert thermique qui se fait via déplacement de matière : il ne concernedonc que les uides (liquides, gaz), dans lesquel il peut y avoir un écoulement, et pas les solides.

En convection, un élément de uide en contact avec un corps solide échange de la chaleur viaconduction, puis est transféré (écoulement) au contact d'une autre surface solide avec laquelle iléchange à nouveau tout ou partie de la chaleur gagnée ou perdue au premier contact : la chaleura été déplacée (vect) avec (con) la matière (gaz ou liquide).

Le contact thermique peut également se faire au travers d'une couche mince (couche limite, donton verra l'importance) ; la nature des échanges peut alors consister, au sein de la couche limite,en de la convection ou du rayonnement en plus de la conduction.

Quand on soue sur une boisson trop chaude, ou qu'on fait couler de l'eau sur la lame d'unedisqueuse, on utilise la convection pour refroidir.

Rayonnement Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide, drainant avec elles del'énergie. Suivant les propriétés d'absorption des corps recevant les ondes, cette énergie peut setraduire en chaleur reçue.

Par dénition, un matériau opaque ne pourra transmettre du rayonnement. En revanche, la chaleurpeut se transmettre par rayonnement à travers des matériaux transparents. Selon les modèles /les situations, on tiendra compte ou non de la longueur d'onde (exemple : l'eau laisse passer lerayonnement visible, mais stoppe les infrarouges).

On remarquera que, dans le vide, la chaleur ne peut se transmettre que par rayonnement.

1 Transmission de la chaleur par conduction et stockage

Dans tout ce paragraphe, on se place au sein d'un matériau solide et opaque : il n'y a donc niconvection, ni rayonnement.

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1.1 Dénition : densité de courant et ux

On sait (cf cours de L2) qu'un état d'équilibre est caractérisé par 1'absence de gradients, et qu'alorsil n'y a plus d'échanges d'énergie (travail, chaleur). On sait également que le sens spontanéd'écoulement de la chaleur va du corps le plus chaud vers le corps le plus froid.

On conçoit donc que l'existence de gradients thermiques soit nécessaire pour qu'il y ait des ux dechaleur, et que ux et gradients soient orientés en sens inverse.

La température étant une fonction de l'espace (T (x, y, z) ou T (r, ϑ, z)ou T (r, ϑ, ϕ)selon le systèmede coordonnées que l'on choisit, forme générale : T (M)), l'existence de gradients thermiquescorrespond à une fonction (de l'espace également)

−→∇T (M) qui ne soit pas identiquement nulle.

Entre deux éléments de volume de température diérente, on aura donc un écoulement de chaleur,plus ou moins intense selon les éléments choisis (températures, proximité etc). An de quantiercette grandeur locale, on considérera le vecteur densité de ux de chaleur

−−−→j (M), qui dimension-

nellement est une puissance (calorique) par unité de surface (unité SI : W/m2).

Lien avec le ux : soit une section élémentaire orientée−→dS = dS−→n située en un point M . La

grandeur innitésimale dΦ =−−−→j (M).

−→dS est le ux de chaleur passant à travers

−→dS, c'est une

puissance (= quantité de chaleur par unité de temps), ici dite calorique puisque la forme d'énergieconsidérée est de la chaleur.

Lien avec une grandeur globale : le ux passant à travers une surface orientée S (si la surface n'est

pas plane, alors la normale n'est pas uniforme sur S :−−−→n (M)) s'écrit :

Φ ==∫ ∫

S

−−−→j (M).

−→dS

Comme Φ est une puissance (calorique), on la rencontrera souvent aussi sous la lettre P .

Attention aux conventions : dans certains ouvrages, le terme ux est utilisé en lieu et place de uxpar unité de surface, ou densité de ux. Il est important de toujours repérer si les termes utiliséssont locaux ou globaux.

Attention au vocabulaire :

- le vecteur densité de ux de chaleur−−−→j (M), qui est donc un ux par unité de surface, est souvent

appelé densité volumique de ux de chaleur, parce qu'il correspond à des écoulements dans levolume.

- il faut savoir faire la diérence avec un ux surfacique, qui correspond à des écoulements en surface(exemple : polystyrène isolant recouvert d'une ne couche d'un métal conducteur de chaleur) ets'exprimera à l'aide d'une densité surfacique de ux de chaleur mais sera, dimensionnellement, duux par unité de longueur.

1.2 La loi de Fourier

Il est raisonnable de penser que, pour un matériau donné, la densité de ux de chaleur sera d'autantplus grande que les gradients thermiques sont importants. Au premier terme signicatif, cette

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intuition a été modélisée en 1822 par la loi de Fourier, phénoménologique, qui relie linéairement−→j aux variations de température:

−−−→j (M) = −λ×−→∇T (M)

Le coecient λ > 0 est appelé conductivité thermique, et rend compte (NB : via une valeur unique,dans ce modèle linéaire) de l'aptitude du matériau considéré à conduire la température.

On remarquera l'analogie avec la loi d'Ohm locale (−→jel = −σ × −→∇V = σ

−→E ), et à la loi de Fick

(−→j = −D×−→∇conc). Il n'y a rien là de surprenant : dans les trois cas, on manipule un modèle qui

ne tient compte que du premier ordre d'un phénomène où un écoulement (modélisé par un champde vecteurs) est lié aux variations d'une grandeur scalaire.

Cette analogie formelle, qui va s'enrichir dans le paragraphe suivant, permettra d'utiliser les notionsacquises en électrocinétique (résistances, capacités etc) pour modéliser les échanges de chaleur parconduction, puis dans une certaine mesure par rayonnement et convection.

Remarque : ces modèles linéaires ne permettent pas de tenir compte, par exemple, d'une dépen-dance de la conductivité thermique avec l'amplitude du gradient.

1.3 Résistance thermique

On va s'intéresser aux conséquences globales de la loi de Fourier (locale) dans un cas très simple,qui revient à un poblème unidimensionnel.

Soit un corps cylindrique (pas nécessairement de révolution) d'axe Oz, de section S et de longueurL, dont une extrémité (z = 0) est en contact avec un réservoir de température à la températureT1, et l'autre extrémité (z = L) à la température T2.

On admettra que−→j ‖−→uz .

[Justication grossière : (cf cours d'électrostatique où−→E = −−→∇V ) entre deux plans∞ et ⊥−→uz , l'un

au potentiel V1 et l'autre au potentiel V2, on a bien−→E ‖−→uz . Cylindre à génératrices ‖−→uz aura donc

sa surface partout parallèle aux lignes de champ électrostatique =⇒ compatible avec−→jel = σ

−→E ]

On peut donc écrire :−→j = j (x1, x2, z)−→uz , où x1et x2 sont des coordonnées perpendiculaires à

l'axe (x et y, ou ρ et ϑ selon la géométrie de la section).

D'autre part : régime permanent = pas d'accumulation de chaleur =⇒ div−→j =0 (idem conservation

de la masse !), d'où j (x1, x2, z) = j (x1, x2)

Alors la relation−→j = −λ × −→∇T , projetée sur Oz (ce qui donne j (x1, x2) = −λ × ∂T

∂z(x1, x2, z))

s'intègre entre z = 0 et z en :

T (x1, x2, z) = T1 −j (x1, x2)

λz

(l'intégration ne pose aucune diculté puisque j (x1, x2) est une constante pour z)

La condition aux limites T (L) = T2 impose: j(x1,x2)λ× L = T1 − T2, d'où les conséquences :

(i) j (x1, x2) = λL× (T1 − T2) est une constante =⇒ le champ de vecteurs

−−−→j (M) et la fonction

scalaire j (M) sont uniformes. On posera donc : j (M) = j.

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Remarque : le ux est nécessairement constant pour qu'il n'y ait pas d'accumulation de chaleuren régime permanent.

(ii) T (x1, x2, z) = T1 + T2−T1L

z =⇒ T ne dépend que de z ; on écrira donc T (z).

Il faut un ux de chaleur pour entretenir cette diérence de température (ou inversement : en-tretenir cette diérence de température entre les extrémités engendre un ux).

Au point de vue global, on a:

Φ =∫ ∫

section

−→j .−→dS =

−→j .∫ ∫

section

−→dS = λ

T1 − T2

L× S

Dénition : on appelle résistance thermique du corps dans cette géométrie :

Rth =∆T

Φ

On remarque que pour ce corps cylindrique : Rth = LλS

Entraînement : retrouver Rth = LλS

pour un cylindre de révolution, en calculant le ux dΦ passantdans une feuille de poireau = portion du conducteur comprise entre ρ et ρ+dρ, puis en sommantsur l'ensemble de la section circulaire. On redémontrera au préalable que le ux élémentairedΦ nedépend pas de la cote z de la section.

1.4 Analogie électrocinétique

Analogie formelle entre ces grandeurs thermiques (dont on précisera dimension et unités S.I.) etcertaines grandeurs électrocinétiques :

U = RI avec Rth = Lλs

à comparer avec Rel = ρLs:

I débit d'électrons <> Φ ux total (=débit) de chaleur (unités SI: J/s)−→j vecteur densité de courant (local ; faire chercher sa dimension) <> densité de ux de chaleur(local)

−→j (unités: J/m²/s)

Rel <> Rth(unités: K/W)

ρel <> ρth = 1λrésistivité thermique d'un corps (unités SI: K.m.W−1)

λel = 1ρel

<> λ conductivité thermique d'un corps (unités SI: W.K−1.m−1)

U <> ∆T

V <> T−→E <> −−→∇T

Remarque : en électrocinétique, V ≡ densité d'électrons

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1.5 Capacité calorique

1.5.1 Chauage d'un corps conducteur

Soit un corps de capacité calorique C, constante, dont on fait varier la température, initialementT0 à t = 0, à l'aide d'un ux de chaleur entrant Φ (t).

Alors :

T (t)− T0 =1

C

∫ t

0Φ (t) dt

Pour un corps passant de T à T + dT entre t et t+ dt : δQ = C dT et δQ = Φ (t) dt.

D'où dT = 1C

Φ (t) dt qui s'intègre en CQFD.

Quelle relation a-t-on entre la chaleur Q fournie pour passer de T0 à T (t), et la températureelle-même ?

La relation δQ = Φ (t) dt s'intègre en Q =∫ t

0 Φ (t) dt = C × (T (t)− T0)

Tension aux bornes d'un condensateur en charge: U = 1C

∫ t0 I (t) dt <> T (t)−T0 = 1

C

∫ t0 Φ (t) dt

Q = C U <> Q = C ×∆T

charge électrique q aux bornes d'un condensateur <> Q

capacité C <> capacité calorique C

Circuit électrocinétique correspondant: condensateur avec une armature à la tension T (t), etl'autre à la température initiale avant chaue (dans le cas de fuites thermiques, cette températurede référence peut également être Text, celle du réservoir de chaleur).

Diérences notables, au point de vue thermodynamique, entre ce corps solide et ungaz

Remarque: Q est lié de manière univoque à la température ici, via son unique capacité caloriqueC. C'est dû au fait que le corps étant solide, on le considère comme incompressible > pasd'échanges d'énergie liés à des changements de volume, ou de pression.

Ceci reste valable tant qu'on ne se donne pas d'autres moyens d'échanger de l'énergie avec l'extérieur(exemple: champ magnétique), ou d'en stocker dans le corps sous une forme autre qu'un change-ment de température (ex: changement de phase) = sources de chaleur internes.

1.5.2 Flux local et capacité (1D)

bilan thermique d'une tranche comprise entre x et x+ dx:

dΦentrant = S j (x)−S j (x+ dx) sert à échauer la tranche; chaleur reçue pdt dt: δ2Q = dΦentrant×dt = (c× Sdx) dT

où c est la chaleur spécique volumique (i.e capacité calorique par unité de volume)

En pratique: pas c mais cm = c/ρ ; cm est la chaleur spécique (massique)

d'où −djxdx

= cdTdt,

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1.5.3 Flux local et capacité (3D)

La version locale et tridimensionnelle de la relation Φ (t) = C dTdt, dans un corps soumis à des

variations de température locale, est:

−→∇ .−→j = −c∂T∂t

1.6 Diusion de la chaleur

En tenant compte de la résistivité thermique qui intervient lorsque la température n'est pas uni-forme (cf loi de Fourier, exercice 1), on retrouve:

∂T

∂t= a∇2T

(notation ∇2 mieux que ∆ pour ne pas confondre avec T2 − T1)

En introduisant la loi de Fourier:−→∇ .−→j =

−→∇ .(−λ×−→∇T

)= −λ∇2T ,

d'où ∂T∂t

= λc∇2T , i.e. la forme demandée avec a = λ

c= λ

ρcm.

et exprimer la diusion thermique a du matériau. En déduire le temps typique τ d'équilibrethermique pour un objet de longueur caractéristique L. Que se passe-t-il lorsqu'on sollicite l'objetà des fréquences caractéristiques 1/τ ?

Dimensions: a = λcest en m2/s, comme tout coecient de diusion qui se respecte. Dimension-

nellement: temps caractéristique τ = L2/a pour la diusion de la chaleur sur une longueur L. Rq:si λ→∞ (conducteur de chaleur parfait) alors :

(i)−→∇T =

−→0 : température uniforme dans tout le conducteur, idem conducteur pft en EC

(ii) τ → 0. En termes physiques et non mathématiques: la résistance thermique de l'échantillonest négligeable lorsqu'on travaille à des temps caractéristiques >> τ .

2 Transmission de la chaleur par rayonnement

On a vu jusqu'ici le transfert de chaleur par conduction, qui requiert du contact matière-matièreet permet des échanges rapides aux petites échelles. Ici, on s'intéresse au troisième mode detransmission de la chaleur, qui ne nécessite pas de support matériel et se fait via la propagationd'ondes électromagnétiques. Ces ondes peuvent être dans les longueurs d'onde visibles, ou pas(IR).

Le principe : l'agitation thermique (kBT ) excite les vibrations au sein d'un corps. Les dipôles,instantanés (atome) ou non, se conduisent donc comme des antennes (voir : dipôle oscillant dansle cours d'électromagnétisme) qui génèrent des ondes électromagnétiques. Celles-ci se propagentdans le vide jusqu'à un deuxième corps et y excitent un autre dipôle à distance, ce qui génère del'agitation.

Rappel : les longueurs d'onde pour le visible vont de 380 nm (bleu) à 700 nm (rouge). Infrarouge: λ = 700nm à 1mm. Ultraviolet : λ = 10 à 380nm

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2.1 Interaction rayonnement-matière

2.1.1 Dénitions

Soit un corps soumis à un ux incident monochromatique (i.e. entre λ et λ+ dλ) ϕλdλ

ϕλdλ: ux = puissance / u. de surface ; également appelé ux surfacique, ou densité de ux de... (ici: de rayonnement électromagnétique)

ϕλ: densité de ux radiatif (terme densité renvoie à λ) ; c'est une puissance / u. de surface / u.longueur d'onde

Une partie du rayonnement est rééchie (réexion spéculaire). Le ratio entre ondes rééchie etincidente se note rλ, c'est la réectivité ou albedo.

[lien avec ce qui a été vu en optique : une onde électromagnétique monochromatique plane incidentesur une surface plane entraîne une vibration des dipôles proches de la surface, qui réémettent à leurtour. Si les atomes sont ordonnés (cristal): à l'extérieur du cristal, on observe des interférencesqui détruisent les ondes propagatives, sauf dans la direction spéculaire.

Une partie est transmise (tλ est la transmittivité). Même mécanisme que pour la réexion, maisdans le milieu, les interférences sont non destructives pour, cette fois, la direction de réfraction.

Une partie est absorbée (aλest le coecient d'absorption, ou absorptivité). Ceci peut constribuerà échauer le matériau.

2.1.2 Conservation de l'énergie:

aλ + rλ + tλ = 1

aλ rλ tλ

corps opaque - - 0transparent 0 0 1

brillant (type métal) ou diusant 0 1 0corps noir 1 0 0corps gris a ∀λ

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La notion de corps noir est très importante, car c'est elle qui permet de faire le lien entre latempérature d'un corps et son rayonnement.

Remarque : si la surface incidente est rugueuse, la réexion se produit dans toutes les directions⇒ on parle plutôt de milieu diusant (ex : papier). On parle également de milieu diusantlorsqu'il y a une perte d'information de direction pour l'intensité transmise (milieu désordonné).Il peut être arbitraire de décider s'il s'agit plutôt de r ou de t (typiquement : si une grande partiedu rayonnement incident est dévié π/2), cela dépend aussi de l'épaisseur du matériau considéré.

Plutôt r : papier, albedo, brouillard épais, lait

Plutôt t : brouillard léger, eau lactée, suspensions troubles

Catégorisation qui peut être anée : un corps peut être transparent pour une longueur d'onde etopaque pour une autre ...

2.1.3 Emission et direction.

L'absorption excite des niveaux d'énergie dans les atomes dont la désexcitation génère des photons: c'est la réémission.

Contrairement à ce qui se passe lors de la réexion, il n'y a plus de phase entre les atomesréémitteurs (les niveaux d'énergie excités ont un temps de vie distribué), on perd donc forcémentl'information de direction.

On caractérise l'énergie réémise par la densité de ux radiatif Mλ, appelée émittance spectrale ;c'est aussi une puissance / u. de surface / u. longueur d'onde.

Attention ! L'émittance spectrale est une quantité relativement facile à dénir à la surface ducorps émissif, mais dès qu'on s'en éloigne, la notion de ux lumineux est compliqué par celle dedirection. En un point donné de l'espace, dans le cas général on a superposition de densités deux radiatif multidirectionnels, et c'est compliqué à traiter. On se limitera donc dans ce cours àdeux géométries élémentaires : ponctuelle et plane.

Problèmes solvables:

- Émission ponctuelle : c'est quand l'objet émetteur peut être considéré comme ponctuel à l'échelled'intérêt (ce qui revient à dire que sa taille est plus petite que toutes les autres longueurs carac-téristiques du problème), et qu'il émet de manière ≈ isotrope. Le rayonnement a donc une symétriesphérique, pour laquelle il est généralement nécessaire de faire intervenir l'angle solide élémentairedΩ = dS/r2. Rappel :

∫dΩ = 4π quand on intègre sur l'ensemble des directions possibles ; on

appelle Ω l'angle solide, il est sans dimension mais a une unité : le Stéradian. Entraînez-vous :quel est l'angle solide d'une sphère ? Aide : en sphériques, dΩ = sinϕdϕdϑ.

- Surface plane parfaitement diusante : chaque élément de surface rayonne de manière isotropedans tout le demi-espace.

Intensité lumineuse:

L'oeil est sensible à la puissance reçue (notion grand public d'intensité lumineuse): c'est

Φ =∫ ∫

surf recepteur

(∫λ visible

Mλdλ)dS

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(dimensions de l'objet diusantdistance objet-oeil =⇒Mλ est ≈ un faisceau parallèle)

Pour capteur sans optique : la puissance reçue est la somme des ondes reçues par la surface ducapteur, toutes orientations confondues.

2.2 Objet modèle: le corps noir

2.2.1 Dénition

Un corps noir est tel que aλ = 1, pour toutes les longueurs d'ondes λ. C'est un modèle trèsparticulier car il implique une distribution continue des niveaux d'énergie, ce qui n'est jamaisréalisé en pratique (même si certains corps peuvent s'approcher de ce modèle).

Un corps absorbe donc tout le rayonnement incident, mais contrairement à ce que son nom indique,il n'est pas forcément noir pour autant. En eet, s'il est à l'équilibre thermique, la conservationde l'énergie impose qu'il doit réémettre autant qu'il absorbe, et on va voir que cette réemissionpeut se produire dans le visible. Il est en eet possible de montrer que la distribution suivantles longueurs d'onde de la densité de ux émis dépend de la température, c'est la distribution dePlanck.

2.2.2 Distribution de Planck:

Soit une cavité usinée dans un matériau quelconque à l'équilibre thermique (ce qui n'est pas trivialnon plus, expérimentalement !!!) et recouverte d'un revêtement noir. Le rayonnement qui serééchit sur les parois nira par être absorbé: c'est une bonne approximation de corps noir.

À T non nulle: l'absorption du rayonnement provoque des excitations/désexcitations vers la cavitéintérieure =⇒ on peut décrire ce que contient cette cavité comme un gaz de photons.

Si l'on écrit la statistique de Bose-Einstein des probabilités d'absorption et d'émission, la distri-bution de Boltzmann du nombre de photons en fonction de leur énergie, et la façon dont celle-ciest liée aux modes de la cavité, on obtient la distribution de Planck de l'énergie volumique dansla cavité :

dE

dλ=

8πhc

λ5 (ehc/(λkT ) − 1)

(démonstration détaillée et accessible sur gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr > complémentsthéoriques > quantique > corps noir)

Flux par unité de surface reçu par la cavité : c4× dE

dλ, d'où :

ϕλ =2πhc2

λ5 (ehc/(λkT ) − 1)

À l'équilibre thermique, la cavité réémet ce qu'elle reçoit, d'où l'expression du rayonnement ducorps noir :

M °

λ =2πhc2

λ5 (ehc/(λkT ) − 1)

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2.2.3 Loi de Wien

Cette loi a été initialement déterminée de manière empirique ; elle a ensuite été corroborée par laloi de Planck.

Loi de Wien : le pic de rayonnement λmaxse déplace linéairement avec T :

λmax =2.898 10−3

T(enSI)

Cette dépendance prévoit que les étoiles bleues sont plus chaudes que les rouges, et explique qu'unmétal chaué passe du noir au rouge puis au blanc. Elle sous-tend également le principe des lampesà incandescence. Un corps noir n'est donc pas toujours noir : l'exemple le plus lumineux en est lesoleil, qui est un corps noir.

Remarque: la distribution de Planck (expression deM °

λ) montre qu'il n'y a pas que la fréquence dumaximum, mais également le ux (pour chaque longueur d'onde) qui augmente avec la température.

2.2.4 Loi de Stefan

Quand on intègre sur toutes les longueurs d'onde, on obtient la puissance surfacique rayonnée parun corps (radiance, ou émittance) :

M ° =∫M °

λdλ = σT 4

Avec σ = 5.675 10−8W.m−2.K−4 (constante de Stefan)

2.3 Objet réel

2.3.1 Emissivité

Le corps noir sert de référence:

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On compare l'émittance spectraleMλ d'une corps réel à celle du corps noir (à même T), en utilisantl'émissivité spectrale ελ (aussi notée eλ) tq:

Mλ = ελM°

λ

2.3.2 Loi de Kirschhof

Elle permet de faire le lien entre absorptivité

On creuse une cavité dans le matériau d'intérêt. Gaz de photons etc =⇒ le corps reçoit ϕλ = Mλ°

Une cavité absorbe aλMλ° (gaz de photons : reçoit ϕλ = Mλ°) et réémet la même densité de uxradiatif, sinon la distribution d'énergie dans la cavité serait modiée, donc: Mλ = aλMλ°.

Par dénition de l'émissivité spectrale: eλ = Mλ

Mλ°

= aλMλ°

Mλ°

= aλ.

Si on s'intéresse à l'intégrale de ces grandeurs sur tout le spectre (plus pratique) :

- émittance M =∫Mλdλ

- émissivité ε = M/M °(tabulé)

- absorbance a =∫aλϕλdλ/

∫ϕλdλ ; pour une enceinte à l'équilibre thermique, on a bien a = ε.

Résultat généralisé en pratique.

2.3.3 Loi de Stefan pour un objet réel

Puissance surfacique (émittance) rayonnée:

E = εσT 4

2.4 Puissance échangée par rayonnement entre deux corps:

Soient deux corps noirs 1 (température T1, aire S1) et 2 (température T2, aire S2) en inuencetotale : Φ1→2 = S1 × σT 4

1 − S2 × σT 42

Si corps gris, ou l'un n'entoure pas l'autre: tout ce qui est émis par l'un n'arrive pas à l'autre =⇒facteur de forme F1,2

Φ1→2 = S1 × F1,2 × σ(T 4

1 − T 42

)Exemple:

* si S2 entoure S1: F1,2 =(

1ε1

+ S1

S2

(1ε2− 1

))−1

* si S1 et S2sont deux surfaces innies en parallèle: F1,2 =(

1ε1

+ 1ε2− 1

)−1(non trivial car réémis-

sion absorbée partiellement en face etc)

L'expression du ux est plus facile à manipuler en linéarisant (erreur à estimer après ...): T 41 −T 4

2 =(T1 − T2) (T 3

1 + T 21 T2 + T1T

22 + T 3

2 )

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Soit nalement: T 41 − T 4

2 = (T1 − T2) × 4T 312, avec T12 température typique entre T1 et T2, par

exemple T12 =√T1T2, ou T12 = (T1 + T2) /2 (cf TP5 : on prend la température nale).

Φ1→2 =4SσT 3

121ε1

+ 1ε2− 1× (T1 − T2)

Le préfacteur de la diérence de température est une conductance thermique (inverse d'une résis-tance).

Application : échanges de chaleur radiatifs à travers une couche limite associée à une paroi plane.

Si on veut utiliser la modélisation par des résistances, pour exploiter le côté pratique de l'analogieélectrocinétique :

Rth = (S1 × F1,2 × σ × 4T12)−1

3 Transmission de la chaleur par convection et couches lim-

ites

Des ux entre régions de diérentes températures permettent des échanges de chaleur à des échellesgénéralement plus grandes que pour la conduction. Le traitement de ce problème est complexe carles ux dépendent de la géométrie, des propriétés du uide, et des gradients de température.

3.1 Modèle pour la convection naturelle : cellule de Rayleigh-Bénard

Dispositif : une une couche horizontale (aire S = D2) de uide d'épaisseur L << taille latérale D,contenue entre deux parois auxquelles on impose une diérence de température ∆T = Tbas−Thaut >0 (en pratique, cela revient à chauer par en-dessous).

Alors le uide au contact avec la paroi inférieure se réchaue et se dilate. Moins dense, il remonteà cause de la poussée d'Archimède, en développant des cellules de Rayleigh-Bénard (tourbillontoroïdal). On ne se préoccupera pas ici de l'organisation horizontale des cellules de Rayleigh-Bénard, mais de la modélisation de cette situation pour les échanges de chaleur verticaux.

On considère que le uide se stratie en trois zones : deux couches limites à proximité des parois,et une zone turbulente au milieu. Modèle : l'agitation est susante au centre pour que toute lacouche médiane puisse être considérée comme à température uniforme, ce qui correspond à unconducteur parfait dans l'analogie électrocinétique. Entre les deux parois, il n'y aura donc derésistance thermique qu'au niveau des couches limites :

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La résistance thermique RCL au niveau des couches limites est caractérisée par le coecientd'échange de surface h, en W/K/m2, tel que :

RCL =1

hS

Le schéma de droite traduit bien le fait que les couches limites sont essentielles dans la modélisationdu transport thermique turbulent :

Φconv =∆T

2RCL

(rappel : il s'agit ici du ux calorique entre les deux parois, c'est une puissance qui s'exprime enWatt)

Le problème est de déterminer h dans une situation donnée. C'est compliqué parce que la naturedes couches limites dépend justement de la nature de la convection. Ce couplage est solvableen théorie, mais l'hydrodynamique à l'oeuvre est très compliquée à modéliser. En pratique, denombreuses observations (expérimentales ou numériques) ont permis de se ramener empiriquementà un certain nombre de situations-type dans lesquelles on peut utiliser des relations simples entregrandeurs adimensionnées. L'établissement et la manipulation de ces grandeurs adimensionnéesfait l'ojet de la section suivante.

La couche limite est dite laminaire si en son sein les mouvements du uide sont exclusivementparallèles à la paroi ; les transferts de chaleur perpendiculaires à la paroi sont alors exclusivementconductifs et radiatifs.

Lorsqu'elle est turbulente, les trois types de transferts thermiques sont à l'oeuvre en son sein.

Si la couche limite est laminaire et que les échanges par rayonnement sont négligeables (uideopaque ou gradients de température faibles), on peut estimer h qui ne relève alors que de laconduction :

RCL ≈ eCLλairS

, d'où ux Φconv ≈ ∆T2RCL

= λairS∆T2eCL

, et h ≈ λair/eCL.

Mais, ici encore, le problème est de connaître eCL. Il faut passer par les grandeurs adimensionnéespour connaître l'intensité de la convection, qui régit l'épaisseur (et la nature) des couches limites.

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3.2 Utilisation des grandeurs adimensionnées

3.2.1 Réduction du problème : adimensionalisation

Liste des paramètres imposés par l'expérimentateur :

• cellule: g, L , ∆T typiques (pour situations moins modèles: déterminer la longueur L typiquedu problème ; en général la plus petite).

• uide:

- masse volumique ρ

- β = 1ρ

(∂ρ/∂T )P coecient de dilatation thermique isobare (ρ: masse volumique)

- η viscosité dynamique en Pa.s

- λ conductivité thermique en (W/K)/m

- cm chaleur massique en J/K/kg

On a 8 paramètres, mais on remarquera que β et ∆T interviennent toujours ensemble (dans lapoussée d'Archimède) =⇒ ils se regroupent donc en un seul paramètre

Le problème est donc nalement régi par 7 paramètres indépendants au total, exprimés à l'aidede 4 dimensions fondamentales (ex: kg, s, m, K). D'après le théorème de Vashy-Buckingham, ceproblème est descriptible avec 7− 4 = 3 nombres adimensionnés indépendants, qu'on choisit pourleur signication physique.

3.2.2 Nombres adimensionnés décrivant la situation

Premier nombre : On peut prendre le nombre de Rayleigh, qui décrit la vigueur de la convec-tion. Cf TD : c'est le rapport entre l'eet moteur et les eets dissipatifs qui contrent le mouvement(viscosité + diusion de la chaleur)

Ra =βgL3∆T

νa

En général : la couche limite est laminaire tant que Ra < 109

Exemple d'une pièce : (air avec approx GP : ρV = cst = nM , d'où dρρ

= −dVVet : β = − 1

V

(∂V∂T

)P

=

− 1T≈ 3 10−3K−1) pour ∆T = 10K, on aura Ra = 1, 9 1010 1.

Deuxième nombre : Après le nombre de Rayleigh, le nombre adimensionné le plus importantpour traiter de convection est le nombre de Prandtl (propre au uide) :

Pr =ηc

λ= ν/a

où ν = η/ρ est la viscosité cinématique (= coecient de diusion de la vitesse, en m²/s), eta = λ/ρc est la diusivité thermique, qui est aussi un coecient de diusion (parfois appelé αou D, attention: toujours vérier la dimension des grandeurs qu'on vous donne. Leur seul nomne sut pas toujours à savoir ce qu'on manipule !).

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Si Pr 1: diusion de la chaleur négligeable devant la diusion des vitesse. Alors on peutconsidéréer T comme une propriété advectée : un élément de volume garde sa T au cours dumouvement. Le prol de T est fortement inuencé par le prol des vitesses.

Si Pr 1: la diusion de la chaleur est beaucoup plus rapide que celle des vitesses : le prol de Test faiblement inuencé par le prol des vitesses (ex: métaux liquide, où la conduction thermiqueest très bonne ⇒ T ≈uniforme )

Air: Pr = 1, 7 10−5 × 1000/0.026 = 0.67

(détail: ν = 1, 7 10−5/1 = 1, 7 10−5m2/s ; a = 0, 026/1000 = 2 10−5m2/s)

Pas de chance : pour l'air, on est entre les deux régimes : a priori il faut tenir compte des deuxprols, avec simplications envisageables au cas par cas.

Troisième nombre : Les deux nombres précédents susent à décrire la plupart des situationsrencontrées (Remarque : le nombre de Grashof, vu en TD et souvent présenté dans les manuels,ne forme pas avec Ra et Pr un trio de grandeurs adimensionnées indépendantes puisque Gr =Ra× Pr).On pourrait s'intéresser au rapport entre ∆T et l'échauement lié à l'énergie dissipée par viscosité.Ainsi que vous pouvez le constater dans le TD2, l'eet est négligeable pour la plupart des situations,ce qui justie que ce terme ne soit jamais considéré.

En pratique, on n'utilisera donc que Ra et Pr pour décrire les situations d'intérêt.

3.2.3 Nombre de Nusselt

La situation, décrite par Ra et Pr, permet de déterminer l'eet de la couche limite. Le nombreadimensionné correspondant à cette description de la couche limite est le nombre de Nusselt:

Nu = hL/λ

(NB : Nu n'est pas un des nombres adimensionnés auxquels on peut réduire la situation, puisqu'ilutlise h qui n'est pas un paramètre directement contrôlé par l'expérimentateur, mais un résultatde la situation).

Pour une couche laminaire, Nu ≈ L/eair. Dans tous les cas, il est d'autant plus grand que leséchanges convectifs (ceux qui permettent de modéliser l'atmosphère hors CL comme un conducteurparfait à température uniforme) sont importants.

3.2.4 Modus operandi

En général : on calcule le nombre de Rayleigh Ra, puis on identie le type de géométrie auquelon a aaire, an de déterminer quelle loi phénoménologique on doit utiliser (à trouver dans livres,textes d'exam etc) pour trouver le nombre de Nusselt Nu, qui lui-même permet de calculer lecoecient d'échange h.

Dans certaines conditions susamment connues (bâtiment etc), on peut utiliser directement desvaleurs de h tabulées.

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Ex 1: Pour la convection en-dessous d'une plaque froide, Nu = 0, 15×Ra1/3 (Ra est calculé avecpour longueur caractéristique la racine carrée de l'aire de la plaque)

Ex 2: La couche limite le long d'un mur chaué vertical évolue avec la hauteur z à partir du pieddu mur. À chaque z (longueur caractéristique du problème), le coecient d'échange correspondantse calcul à partir du Nuz. Pour Rax > 109, la relation phénoménologique adéquate est :

Nux = 0, 0248Ra2/5x Pr1/5/

(1 + 0, 494Pr2/3

)2/5

Tant que la couche limite est laminaire (= Ra (z) < 109) :

Nu (z) = 0.4×Ra (z)1/4

Ex 3: Pour L = 30cm (boîte): Ra = 2 107 > pour le TP5, le modèle laminaire est susant.

Remarque : ρ n'intervient dans aucun des 3 nombres adimensionnés Ra, Pr et Nu. En eet, ilintervient proportionnellement dans tous les eets. Ceci explique, a posteriori, qu'on puisse décriretoute la convection naturelle sans le troisième nombre évoqué plus haut.

La connaissance de h permet de réduire le problème à des circuits de résistances, ou résistances +capacités (en régime transitoire).

3.3 Récapitulatif : modélisation d'une cloison

• Si la couche limite est laminaire : il n'y a pas de ux lié à la convection ⇒ Rconv = ∞. Danscertains cas, la conductance thermique liée au rayonnement 1

Rraypeut devenir aussi importante

que 1Rcond

(voir TP3).

• Si la couche limite est turbulente : on peut avoir 1Rconv

1Rray

, 1Rcond

.

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3.4 Convection forcée

Lorsqu'une vitesse V est imposée au uide, l'eet de la convection ainsi induite devient prépondérantsur la convection libre. On caractérise alors la situation par Pr + le nombre de ReynoldsRe = ρV L

η= V L

ν. De la même façon que pour la convection libre, on va chercher dans la doc-

umentation comment Nu s'exprime en fonction de Re et Pr pour la géométrie considérée. Iciaussi la longueur caractéristique la plus petite est généralement à prendre en compte pour le calculde Re.

Ex : Pour un tuyau long dans lequel un débit est imposé, on calcule Re = (debit/section)×diametreviscosite cinematique

. SiRe est entre 104 et 12.104, alors Nu = 0.023×Re0,8 × Pr0,4.

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