1 -

MATRICES

I Dfinition II. Quelques matrices particulires III. Egalit de deux matrices IV Oprations sur les matrices

IV. 1 Somme IV. 2 Multiplication d'une matrice par un nombre IV. 3 Produit d'une matrice par une matrice-colonne. IV. 4 Produit d'une matrice-ligne par une matrice IV. 5 Multiplication de deux matrices

IV. 5. 1 Dfinition: IV. 5. 2 Multiplication de matrices carres. IV. 5. 3 Inverse dun matrice

2 -

I Dfinition

Une matrice est un ensemble de nombres disposs en un tableau ayant m lignes et n colonnes. On dit alors que la matrice est de format (m, n). On dit aussi qu'elle est de dimension m x n (sans effectuer la multiplication).

Exemple I.1 : Soit la matrice

=

12114872065931

A

Le format (ou la dimension) de la matrice est (3, 4) [ou 3 x 4] De manire gnrale, une matrice de format (3, 4) scrit

=

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

A

a23 est l'lment de A situ sur la deuxime ligne et la

troisime colonne. a23 se lit "a indice deux trois" ou plus

simplement "a deux trois".

3 -

a31 ("a trois un") est un lment de la matrice, qui est situ sur la troisime ligne et la premire colonne.

De manire gnrale l'lment (ou coefficient) aij est situ sur la ime ligne et la jme colonne.

Exemple I.2. : Soient les matrices A, B et C suivantes :

=

=

=

97504632

314152

319125713

CBA

La matrice A est une matrice carre de format (3, 3) [ou de dimension 3 x 3]. On dira encore une matrice carre d'ordre 3.

La matrice B est de format (2,3) [ou de dimension 2 x 3].

La matrice C est de format (4,2) [ou de dimension 4 x 2].

4 -

Exemple conomique I. 3 : Soit une entreprise qui a 3 usines A, B et C, produisant chacune 4 articles diffrents R, S, T et U. Lusine A produit chaque jour 100 R, 200 S, 50 T et 30 U. Lusine B produit chaque jour 150 R, 100 S, 100 T et 50 U. Lusine C produit chaque jour 50 R, 250 S, 150 T et 80 U. On peut reprsenter les quantits produites par la matrice Q.

UTSRCBA

Q

=

8015025050501001001503050200100

Cest une matrice de format (3, 4). Le prix de revient de larticle R est 50, celui de larticle S est 100, celui de larticle T est 25 et celui de larticle U est 125. On peut crire la matrice des prix de revient :

=

12525

10050

P

Cest une matrice de format (4, 1).

5 -

II. Quelques matrices particulires: 1) Si m = n, on dit que la matrice est une matrice carre de

format (n, n) ou d'ordre n.

Exemple II. 1 :

=

1010100101100101

A

Cest une matrice de format (4,4) ou encore dordre 4.

Parmi ces matrices, nous verrons que deux d'entre elles vont jouer un rle particulier:

- la matrice unit ou identit I qui a des zros partout, sauf sur la diagonale principale o ne figurent que des 1

- la matrice nulle O qui a des zros partout Exemple II. 2 : dans le cas des matrices dordre 4

=

=

0000000000000000

1000010000100001

OI

6 -

2) Si m = 1, il s'agit d'une matrice une seule ligne dite matrice ligne.

Exemple II. 3 M = (10 20 5 7 9) es une matrice ligne 5 lments.

3) Si n = 1, il s'agit d'une matrice une seule colonne dite matrice colonne.

Exemple I. 4 N est une matrice colonne 4 lments

N =

432

a

a

a

a

, o a dsigne un nombre rel appel paramtre

7 -

*********************************************************************

Les paramtres

Selon le Petit Robert, un paramtre est une quantit fixer librement, () , dont dpend une fonction de variables indpendantes, une quation ou une expression mathmatique. Ainsi, un paramtre apparat dans une expression algbrique ou une quation comme une lettre autre que la variable dont on peut fixer la valeur numrique selon les conditions imposes par le problme rsoudre ou volont. Il sagit de contrler les paramtres pour obtenir leffet voulu. Les paramtres sont en gnral nots avec :

- les premires lettres de lalphabet a, b, c, etc,

- des lettres grecques , , , , , (alpha, bta et gamma) - ou encore m, n ou p.

8 -

Exemple Dans une socit fabriquant des objets, le prix des objets vendus s'exprime en fonction du prix de vente initial P0 par

l'expression P = (1 m) P0 , si m reprsente le taux de diminution.

P0 est la variable, m est un paramtre. Ce sont les conditions conomiques qui vont permettre

dcrire des quations et de dterminer les valeurs de ce

paramtre m.

Ainsi :

Si le prix de vente initial tait 125 et si on veut vendre

lobjet 100 , quel doit tre le taux de diminution annonc ? On a :

100 = (1 m) 125 soit 1- m = 100/125

m = 1 100/125 = 25/125 = 1/5 = 0,20

Le taux de baisse annoncer est donc 20 %.

Si les conditions changent, m sera diffrent.

*********************************************************************

9 -

III. Egalit de deux matrices

Deux matrices A et B de mme format (m, n) sont gales si et seulement si a i j = b i j pour tout i dans {1, 2, .,m} et pour tout j dans {1, 2, , n}.

Autrement dit, deux matrices sont gales si et seulement si leurs lments correspondants sont 2 2 gaux

Exemple III 1 :

Les matrices A, B et C de lexemple I.2 ne peuvent tre gales car elles ne sont pas de mme format.

Exemple III 2 : Soient D et E les matrices suivantes:

=

=

50050015815558

500500155

5855 bEaD

Ces matrices sont de format (3, 2). Elles ne seront gales que pour a = 158 et b = 55.

10 -

IV Oprations sur les matrices IV. 1 Somme La somme de deux matrices A (de coefficients aij ) et B (de coefficients bij ) de format (m, n) est la matrice C = A + B de format (m, n) telle que cij = aij + bij.(1 i m ; 1 j n ). Autrement dit, on ajoute les termes correspondants.

Exemple IV.1:

=

=

785021

8396113

YX

Les matrices X et Y sont de format (2, 3). On peut donc dfinir et calculer la matrice somme Z de format (2, 3).

=+=

+++

+++=+=

1511146134

78)8(3590621113

YXZ

YXZ

11 -

IV. 2 Multiplication d'une matrice par un nombre

En mathmatiques, on emploie aussi le mot scalaire pour dsigner un nombre.

Pour multiplier une matrice M par un nombre (ou un scalaire) a, on multiplie chacun des termes par ce nombre. La matrice obtenue a donc mme dimension.

Exemple IV. 2 :

Soit la matrice M suivante :

M =

1511121035,111

210100120100

Cette matrice est de format (3, 4). Alors M = 2 M est obtenue en multipliant chacun des termes de la matrice par 2, soit :

M = 2 M =

302224206322

420200240200

12 -

IV. 3 Produit d'une matrice par une matrice-colonne. 1) Il faut que le nombre de colonnes de la matrice soit gal au nombre de lignes de la matrice-colonne. 2) On multiplie terme terme les lments de la premire

ligne de la matrice par les lments de la matrice colonne, et on additionne les produits. Ensuite, on passe la ligne suivante, etc.

Exemple IV.3

=

++

++

++

=

373220

1*12*35*61*62*85*21*12*25*3

125

136682123

(3, 3) (3,1) (3, 1) Plus gnralement, le produit d'une matrice A (aij) de format (m, n) par une matrice colonne U (uj) de format (n, 1) est une matrice colonne D (di) de format (m, 1). Ses lments sont obtenus en additionnant les produits, terme terme, des lments de chaque ligne de A par les lments de U, soit

di = ai1u1 + ai2 u2 + + ainun

13 -

Exemple IV. 3 bis Retour sur lexemple conomique On peut multiplier Q par P, puisque P a 4 lments et Q a 4 colonnes

=

=

12525

10050

8015025050501001001503050200100

PQ

(3, 4) (4, 1)

+++

+++

+++

=

125*8025*150100*25050*50125*5025*100100*10050*150125*3025*50100*20050*100

PQ

.

=

250412502600030

PQ

(3, 1) QP reprsente le cot de revient, pour la production donne dans chaque usine.

14 -

IV. 4 Produit d'une matrice-ligne par une matrice 1) Le nombre de colonnes de la matrice-ligne L doit tre gal au nombre de lignes de la deuxime matrice M. 2) On effectue les produits terme terme des lments de la matrice ligne L par ceux de la premire colonne de la matrice M et on additionne les produits. On passe ensuite la colonne suivante et on effectue les mmes oprations Exemple IV.5

( ) =

025210543101

1351

(1, 4) (4, 1) ( )( )322521

0*12*35*51*12*11*34*50*15*10*33*51*1=

+++++++++=

(1, 3) Plus gnralement, le produit d'une matrice ligne L (li) de format (1, m) par une matrice A (aij) de format (m, n) est une matrice ligne E (ei) de format (1, n). Ses lments sont obtenus en sommant les produits terme terme des lments de chaque colonne de A avec les lments de L, soit pour le jme terme :

ej = a1j l1 + a2j l2 + + amj lm

15 -

IV. 5 Multiplication de deux matrices IV. 5. 1 Dfinition: Soient les deux matrices A de format (m, p) et B de format (p, n) . La matrice produit C est une matrice de format (m, n) dont les lments cij s'obtiennent en effectuant la somme des

produits des termes correspondants de la i-me ligne de A et de la j-ime colonne de B.

Cij = ai1 b1j + ai2b2j + + aipbpj

=

mnmjminiji1

...

1n1j11

pnpjp1

2j1n1j11

mpm1

ipi..i4i3i2i1

1p1..14131211

cc

ccc

...c

ccc

bbb

...b...bbb

a.........a

aaaaaa

..................

aaaaaa

1c

Il est utile d'utiliser une "quation aux formats" pour savoir si la multiplication des matrices est possible.

(m, p) (p, n) = (m, n) __

=

16 -

Remarque: Le produit de matrices n'est pas commutatif ! On ne peut dfinir une matrice D = B A que si m = n. La matrice D est alors de format (p, p)

Exemple IV.5.1 :

++

++

++

=

757)3(*)1(1*)3(6*)1(0*314277)3(*41*56*40*5

46622)3(*)8(1*26*)8(0*2

1823621310

134582

L'quation aux formats s'crit : (3, 2) (2, 5) = (3, 5)

____

=

Par contre, on ne peut effectuer le produit dans lautre sens, car le nombre de colonnes de la premire matrice est diffrent du nombre de lignes de la deuxime, ce qui peut se reprsenter par l'quation aux formats :

(2, 5) (3,2) =

17 -

IV. 5. 2 Multiplication de matrices carres. 1) Non Commutativit Soient A et B deux matrices carres dordre n. On peut effectuer les produits A B et B A. Cependant le produit reste non commutatif, car A B nest pas gnralement gal B A. Exemple IV. 5. 2

=

=

011110101

413231352

BA

(3, 3) (3, 3) = (3, 3) =

=

++

++

++

=

457453785

451*40*11*3451*20*31*1781*30*51*2

AB

=

++

++

++

=

583644765

4*02*13*1834*12*13*0444*12*03*165

AB

18 -

2) Puissance Si M est une matrice carre dordre n, le produit MM = M2

est toujours possible. On peut alors calculer la puissance p de la matrice M : Mp = Mp-1 M = M Mp-1 .

Exemple IV. 5. 4 .

=

=

211121112

011110101

011110101

2B

=

==

233332323

011110101

211121112

23 BBB

IV. 5. 3 Cas particulier des matrices dites de transition ou de Markov . Exemple IV. 5. 5. Examinons le cas simple dune situation caractrise par 2 tats possibles : une personne habitant en ville frquente le supermarch A ou les commerants du centre ville. Si elle frquente le supermarch A, on suppose quelle continuera de le frquenter lanne suivante avec la probabilit 0,70 et quelle se tournera vers les commerants du centre ville avec la probabilit 0,30. Si la personne frquente le centre

19 -

ville, on suppose que, toujours lanne suivante, elle continuera avec la probabilit 0,80 et quelle ira vers le supermarch avec la probabilit 0,20. Ces renseignements peuvent tre mis sous forme dune matrice de transition :

=

8,02,03,07,0

T

Connaissant le nombre de personnes frquentant chacun des deux types de commerces, on peut estimer ce que devrait tre la situation de lanne suivante. Supposons que 57 000 personnes frquentent le supermarch et 71 000 le centre ville. Cette situation peut se reprsenter par le vecteur : P = (57 000 71 000)

Lanne prochaine, il devrait y en avoir P1 = P T

( )( )

( )90073100548,0*000713,0*000572,0*710007,0*57000

8,02,03,07,0

0007100057

=

++

=

A bout de deux ans, cest P2 = P1 T = (P T) T = P T2 .

20 -

( )

( )

( )

( )( )3507565052

70,0*0007145,0*0005730,0*0007155,0*00057

70,030,045,055,0

0007100057

8,0*8,03,0*2,02,0*8,07,0*2,08,0*3,03,0*7,02,0*3,07,0*07

0007157000

8,02,03,07,0

8,02,03,07,0

0007100057

=

++

=

=

++

++

=

Ensuite, il faut comparer avec les chiffres de la ralit, comme avec tout modle. Et en tirer des conclusions . Dfinition : On appellera matrice de transition P une matrice carre dordre n dont tous les coefficients sont strictement positifs et tels que la somme des coefficients dune ligne soit gale 1.

IV. 5. 3. Inverse dun matrice Dfinition : Linverse dune matrice carre A de format (n,n), si elle existe, est la matrice B qui vrifie

A B = B A = I.

o I dsigne la matrice identit de format (n,n).

On note linverse B = A -1

21 -

Exemple IV. 5. 6. Soit B la matrice de lexemple IV.5.2 et C la matrice suivante :

=

111111111

21C

Alors C scrit :

=

21

21

21

21

21

21

21

21

21

C

++

=

10001000)2/1(*1)2/1(*0)2/1(*1

21

21

21

21

21

21

21

21

21

011110101

On peut donc en dduire que BC = I et vrifier que C B = I Donc C est linverse de B .