D4, Cordes Vibrantes - Alliance Française Halifax · propagation dʼune perturbation constitue une onde. Soit !=!(x,t) la variable considérée et c la vitesse de propagation dans

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

D4. CORDES VIBRANTES I. BUT DE LA MANIPULATION Étudier les ondes stationnaires transversales sur une corde vibrante, en relation avec les sons musicaux. Déterminer la vitesse de propagation dʼune onde en fonction de la tension de la corde. II. BASES THÉORIQUES II.1 Ondes Dans un grand nombre de phénomènes physiques, on observe que si lʼon perturbe en un point de lʼespace une variable (position, température, champ électrique, pression, etc.), cette perturbation se propage de façon telle quʼune perturbation semblable apparaît en dʼautres points, mais avec un certain retard. Ce retard croît avec la distance à la perturbation originale. Ce phénomène de propagation dʼune perturbation constitue une onde. Soit ! = !(x,t) la variable considérée et c la vitesse de propagation dans la direction Ox de la perturbation supposée sans atténuation. Représentons cette dernière aux instants t = 0 et t = t1 (fig. 1). Si la perturbation ne se déforme pas au cours du temps, on doit avoir

!(x,t) = !(x0 ,0)

Comme x = x0 + ct , il vient

!(x,t) = !(x " ct,0) (1)

Fig. 1: Propagation d'une perturbation sans atténuation. Onde progressive.

La perturbation initiale peut se répéter, par exemple de façon périodique. Si la perturbation à lʼendroit x0 est sinusoïdale de fréquence ! , lʼonde générée par la perturbation est une fonction périodique

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE D4-2

en x , de longueur dʼonde ! , et sinusoïdale dans les cas les plus simples. En tenant compte de la forme de (1), on écrit

!(x,t) = !0 sin 2" (x#$%t)&

'()*+= !0 sin

2" x#

$ 2"%t,-.

/01 (2)

et on vérifie aisément que !" = c . ! est la distance qui sépare deux points x1 et x2 pour lesquels la grandeur ! présente le même état. On dit alors que les vibrations de ! en x1 et x2 sont en phase (fig. 2). Il est facile de vérifier quʼune telle perturbation satisfait l'équation différentielle suivante, dite "équation d'onde"

!2"(x,t)!t 2

= c2!2"(x,t)!x2

(3)

Pour des raisons de commodité, la relation (2) peut encore se mettre sous la forme:

!(x,t) = !0 sin kx "#t( ) (4)

ce qui fait apparaître le vecteur dʼonde k et la pulsation !

k = 2!"

=2!#c

=$c

et ! = 2"# = kc (5)

II.2 Représentation dʼune onde

On peut représenter lʼonde définie plus haut des deux manières suivantes: a) En considérant un état instantané de lʼespace, cʼest-à-dire en regardant ce qui se passe en

fonction de x au temps ti (fig. 2), qui fait apparaître la longueur dʼonde ! , b) En se plaçant en un point donné xi pour regarder ce qui se passe en fonction du temps t (fig.

3), ce qui fait apparaître la période ! = 1 /" Si le déplacement particulaire ! est parallèle à la vitesse de propagation, lʼonde est dite longitudinale, et si le déplacement particulaire ! est perpendiculaire à cette vitesse, lʼonde est dite transversale.

Fig. 2: Représentation instantanée dʼune onde.


Fig. 3: Représentation locale dʼune onde.

II.3. Ondes stationnaires

Considérons la superposition de deux ondes sinusoïdales de même amplitude !0 et de même longueur dʼonde ! et fréquence ! . Lʼune, !1(x,t) = !0 sin kx "#t( ) , est dite progressive et se propage dans le sens des x positifs, lʼautre, !2 (x,t) = !0 sin kx +"t( ) , est dite rétrograde et se propage dans le sens des x négatifs. Lʼonde ! résultante sʼécrit alors

! = !1 + !2 = 2!0 sin kx( )cos "t( ) (6)

Le graphe de ! en fonction de x à des temps différents montre toujours la même vibration sinusoïdale sin kx( ) , mais dont lʼamplitude !0 est modulée par le terme 2cos !t( ) . On réalise facilement des ondes stationnaires par réflexion d'ondes. Si les conditions aux limites sont bien choisies, les ondes incidente et réfléchie se superposent pour former des ondes stationnaires. Inversement, lʼonde stationnaire peut se décomposer en une superposition dʼondes sinusoïdales de même longueur dʼonde, mais avec des directions de propagation opposées (fig. 4).

Fig. 4: Onde stationnaire avec noeuds (N) et ventres (V) de vibrations. II.4 Ondes transversales sur une corde

Considérons une corde de masse spécifique ! et de section S tendue entre deux points, suivant lʼaxe Ox , par une force totale F0 . On peut définir la tension de la corde ! 0 = F0 / S comme la force par unité de section. Dans la position dʼéquilibre, un élément de longueur ds est soumis à deux forces égales en valeur absolue à F0 et opposées en direction (fig. 5). Calculons la force transversale dFt sur le segment dx :


dFt = F0 sin ! + d!( ) " F0 sin !( ) (7)

Fig. 5: Élément de corde tendue. En supposant que le rayon de courbure de la corde est petit par rapport à sa longueur, l'angle ! est petit et nous pouvons remplacer le sinus par la tangente. D'autre part tg! = "# / "x , donc

dFt = F0 tg ! + d!( ) " tg!{ } = F0 #$ x + dx( )#x

"#$ x( )#x

%&'

()*= F0

# 2$#x2

dx (8)

La masse de lʼélément de fil étant !Sdx et son accélération !2" / !t 2 , l'équation de Newton conduit à

!Sdx "2#"t 2

= F0" 2#"x2

dx $"2#"t 2

=F0!S

%&'

()*" 2#"x2

(9)

Par comparaison avec lʼéquation d'onde (3), on trouve donc qu'une vibration communiquée à la corde se propage le long de la corde avec la vitesse, ou célérité dʼonde c

c = F0!S

=F0µ

=" 0!

(10)

où µ = !S est la masse linéïque de la corde, cʼest-à-dire sa masse par unité de longueur.

II.5 Corde vibrante en régime harmonique Soit une corde fixée en x = 0 et x = L . Les conditions aux limites imposent

!(0,t) = !(L,t) = 0 " sin kL( ) = 0

Ainsi pour une longueur de corde fixée, seules les ondes stationnaires ayant un noeud à chaque extrémité peuvent exister (fig. 6). La relation entre la longueur de corde L et la longueur d'onde !n des ondes stationnaires possibles s'obtient donc facilement


sin kL( ) = sin 2!L"n

#$%

&'(= 0 )

2L"n

= n ) "n = 2L / n (11)

où n est un entier (n = 1,2,3,4,.... ). Lʼoscillation avec n = 1 correspond à la vibration dite fondamentale ou principale, alors que les oscillations avec n = 2,3,4,.... correspondent aux vibrations harmoniques. Les fréquences de vibration !n de ces modes propres sont alors données par

!n ="n

2#=c$n

=cn2L

=n2L

F0µ

(12)

En général, lʼonde stationnaire sur une corde frappée ou pincée, correspond à une superposition des principale et harmoniques. Cette vibration sʼamortit au cours du temps, car la corde dissipe de lʼénergie par déformation anélastique (frottement intérieur du matériau de la corde), par frottement dans lʼair et par émission dʼune onde sonore. On constate que les harmoniques sʼamortissent beaucoup plus vite que la principale, de sorte quʼil est facile, après un court instant, de nʼobserver que la principale de longueur dʼonde ! = 2L .

Fig. 6: Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités.

II.6 Corde vibrante en régime inharmonique Dans le modèle développé au §. II.4, on a négligé les effets du module élastique de la corde en supposant une corde de raideur nulle. En réalité, la corde présente une raideur non nulle, et le fait de vibrer va entraîner un allongement de celle-ci qui sera contrôlé par son module élastique (module de Young E ). Il est possible dʼintroduire approximativement cet effet du module dans le modèle précédent en calculant la déformation ! dʼallongement du segment ds (fig.5)

! ="(dx)dx

=ds # dxdx

=ds # dscos$dscos$

=1# cos$cos$

= 1+ tg2$ #1 (13)

Comme tg! est très petit vis-à-vis de lʼunité, on peut simplifier cette expression en écrivant


! " 1+ 12tg2# + ...$1 " 1

2tg2# (14)

Dʼautre part, il est possible dʼappliquer la loi de Hooke de lʼélasticité (! = E" ) à ce segment de corde ds en écrivant

E! ="FS

=4"F#d 2

$ "F =#d 2E4

! %#d 2E8

tg2& (15)

où !F correspond à lʼaccroissement de la force de tension dans la corde, dû à lʼallongement du segment ds , et d est le diamètre de la corde. En utilisant alors la relation tg! = "# / "x , on peut réécrire une version plus correcte de lʼéquation dʼonde de la corde, en introduisant F = F0 + !F en lieu et place de F0 dans lʼéquation (9)

!2"!t 2

=1µ

F0 +#d 2E8

!"!x

$%&

'()2*

+,,

-

.//

! 2"!x2

(16)

Cette équation dʼonde est non-linéaire et par conséquent très difficile à résoudre. Mais, dans le cas dʼune corde fixée en x = 0 et x = L , on peut essayer une solution approximative dʼondes stationnaires du type

!(x,t) " !0 sin #nt( )sin n$ x / L( ) (17)

Cette solution, introduite dans lʼéquation différentielle (16), conduit aux fréquences propres

!n ="n

2#=n2L

1µ

F0 + E# 3d 2

8L2$02n2 sin2 "nt( )cos2 n# x

L%&'

()*

+,-

./0

123

456

(18)

Il est clair que le terme entre crochet, qui dépend encore de t et de x , est toujours positif, de sorte quʼil peut être moyenné sur la longueur de la corde et sur une période de lʼoscillation stationnaire pour faire disparaître t et x . Il vient pour cette moyenne

sin2 !nt( )cos2 n" xL

#$%

&'(

=1) n

1L 0

)n

*0

L

* sin2 !nt( )cos2 n" xL

#$%

&'(

+,-

./0dxdt =

14

(19)

Les fréquences propres de vibration de la corde sont donc données approximativement par

!n "n2L

1µ

F0 + E# 3d 2

32L2$02n2

%

&'

(

)* (20)

On constate que, à cause de la raideur non nulle de la corde (E ! 0 ), ses fréquences propres dépendent de lʼamplitude !0 de la vibration, ce qui est une conséquence directe de la non-linéarité de lʼéquation (16), et que les fréquences dʼindice n = 2,3,4,.... ne sont plus égales à 2x, 3x, 4x,… la fréquence fondamentale !1 pour n = 1 . Pour une corde de raideur non nulle, on pourrait donc dire que « lʼoctave est dilaté », ce qui correspond à un écart à lʼharmonicité décrite au §.II.5.

II.7 Inharmonicité du piano

En musique, on parle souvent dʼinharmonicité des instruments à cordes, notamment du piano, et


on écrit la formule (20) sous la forme suivante

!n "n2L

F0µ

#

$%&

'(1+ Bn2 avec B = E ! 3d 2"0

2

32F0L2 µ (21)

Parfois, on rencontre cette relation écrite pour une amplitude !0 donnée de la vibration, satisfaisant !02 = d 2 / 2 .

Les cordes de piano sont des cordes filées dans le grave et des fils d'acier de diamètre relativement important dans le médium et dans l'aigu. Les cordes d'acier, du fait de leur raideur, ont une inharmonicité qui augmente si leur diamètre d augmente, ou si leur tension F0 diminue, ou si leur longueur L diminue (leur partiel n°2 est à une fréquence un peu plus grande que 2 fois leur fondamental). L'écart à l'harmonicité dépend du facteur numérique B (très petit devant 1), qui, sur un piano, varie d'une corde à l'autre. Il devient important dans l'aigu, où les cordes sont très courtes par rapport à leur diamètre, donc très raides. Lorsque l'accordeur de piano reporte la partition qu'il vient de réaliser sur l'octave initiale en l'étendant à tout le clavier aux moyen d'octaves sans battements, les octaves ont un rapport de fréquence supérieur au rapport 2/1, dans l'aigu d'une part (où les cordes sont de trop gros diamètre par rapport à leur longueur) et dans l'extrême grave d'autre part (où les cordes filées, bien que plus souples que des cordes monofilament, ne sont pas assez longues par rapport à ce qu'il faudrait pour doubler leur longueur à chaque descente d'octave). La formule (21) nʼest évidemment plus valide pour les cordes filées. Le fait de bobiner un fil (fil de trait) autour d'une corde (âme) permet d'obtenir une corde qui a une masse linéique µ élevée par unité de longueur (ce qui permet d'atteindre des basses fréquences) sans pour autant augmenter la raideur comme ce serait le cas pour un monofilament de même masse linéique par unité de longueur. Malgré l'utilisation de ces cordes filées, moins raides donc moins inharmoniques que les cordes monofilament, l'inharmonicité des dernières cordes du grave devient très importante, en raison de leur longueur insuffisante (on ne peut pas doubler la longueur chaque fois que l'on descend d'une octave).

III. MONTAGE EXPÉRIMENTAL Le phénomène des ondes stationnaires sʼétudie sur un instrument appelé sonomètre (Fig. 7). Il consiste en une boîte de résonance en bois au-dessus de laquelle une corde (a) est tendue par un poids (g) qui peut être ajusté de 500 g à 10 kg par pas de 500g. La force de traction sur le fil peut être mesurée précisément par un dynamomètre digital (h). La longueur L de corde vibrante est déterminée par deux chevalets, lʼun fixe (b) et lʼautre mobile (c). La corde est mise en vibration à lʼaide dʼun vibreur (D) excité par le signal dʼun générateur de fonction (A). Ce signal dʼexcitation est aussi envoyé sur lʼentrée X de lʼoscillo (G). La fréquence de lʼexcitation est mesurée à lʼaide dʼun fréquencemètre (B). La recherche précise dʼune fréquence propre de vibration de la corde peut être effectuée grâce à un potentiomètre externe de 10 tours (C). Pour éviter lʼapparition de fréquences de résonnance parasites sur les segments de corde extérieurs aux chevalets, on peut y placer des cales amortisseuses munies de feutre (e et d). Les vibrations de la corde sont mesurées grâce à un capteur de force (E) placé sous le chevalet (c). Le signal de ce capteur est amplifié par lʼamplificateur (E) avant dʼêtre envoyée sur lʼentrée Y de


lʼoscillo (G) et sur lʼentrée dʼun voltmètre (H) permettant la mesure de lʼamplitude RMS du signal. La tension Uy =U0,y sin ! yt( ) obtenue à la sortie de lʼamplificateur (F) peut être comparée à la tension Ux =U0,x sin ! xt( ) fournie par le générateur de fonction (A) en utilisant le mode X-Y sur lʼoscilloscope (G). De la sorte, on obtient des figures de LISSAJOU, dont les équations paramétriques sont données par

x =U0,x sin ! xt( )y =U0,y sin ! yt +"( )

#$%

&% (23)

où ! est la différence de phase entre les deux vibrations au temps t = 0 .

Fig. 7: Schéma de lʼappareillage.

Pour ! x =! y , le système (23) représente les équations paramétriques dʼune ellipse. Ainsi, pour trouver les modes propres de vibration de la corde, il suffit de chercher à lʼaide du potentiomètre (c) les fréquences précises pour lesquelles lʼellipse passe par une hauteur maximale sur lʼécran de lʼoscilloscope. A noter encore que, si le déphasage ! = 0o , les équations (22) sont celles dʼune droite inclinée par rapport à lʼhorizontale, et que, si le déphasage ! = 90o , les équations (22) sont celles dʼune ellipse de surface maximale, symétrique par rapport à lʼaxe Y. La force verticale F! agissant sur le capteur (E) via le chevalet (c) peut se calculer à partir du schéma de la figure 8. Au nœud de la vibration, situé sur le chevalet (c) en x = L , lʼangle !(t) que fait la corde avec lʼhorizontale peut se calculer en utilisant la relation (17)


!(t) " tan!(t) = #$(x,t)#x x=L

= $0n%Lsin &nt( ) (24)

On en déduit que lʼangle maximum obtenu sur une oscillation vaut

!max = "0n#L

(25)

On retrouve alors facilement la force maximum F! agissant sur le capteur de force, en négligeant les effets inharmoniques, par projection de la force de tension F0 sur lʼaxe vertical

F! = F0 sin "( ) # F0$0n%L

(26)

Fig. 8: Force agissant sur le chevalet (c).

Comme la tension U0,y est proportionnelle à F! , on obtient la relation existant entre lʼamplitude !0 de vibration de la corde et lʼamplitude U0,y de la tension électrique sortant de lʼampli (F)

U0,y ! F" = F0#0n$L

% #0 !LnF0

U0,y (27)

IV. TRAVAUX A EFFECTUER Plusieurs cordes de matières différentes et de diamètres différents sont disponibles. La masse linéïque µ de ces cordes et leur diamètre d sont fournis. 1. Vérifier les dépendances de !n prédites par la loi simplifiée (12) en les variables F0 , µ , L et

n , en effectuant des mesures des fréquences propres de résonnance dʼune corde en fonction de ces divers paramètres.

2. Calculer la vitesse de propagation des ondes transversales sur une corde pour quelques valeurs de F0 et de µ .

3. Peut-on observer avec cette installation des effets du module élastique, et donc lʼapparition des inharmonicités prédites par la relation (20), en mesurant les effets de fortes variations de !0 et/ou de n sur la valeur précise de !n ?

G. Gremaud/oct 2009


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