David Rolland, formateur en Mathématiques

Plan du cours- Préambule

- Classification et analyse des différents modes de calcul

- Addition et soustraction

- Multiplication et division

- Calculs sur les radicaux

- Calculs sur les puissances

Préambule :Indiquez comment vous effectueriez ces 5 calculs suivant :

- 38 x 25

- 60 + 16

- 38 x 0,25

- 326,25 x 82,75

- 2332 - 568

I / Classification des différents modes de calcul

Calcul écrit

Calcul mental

Calcul instrumenté (on utilise une

calculatrice ou un tableur)

Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme

Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques.

Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé.

Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100.

Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice.

Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu.

Exemples :64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59

64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5

12×25 = 3×4 ×25 = 3×100 = 300

Exemple : pour calculer la valeur exacte de 128 000 618 × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514.

Exemple :

1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi

Calcul automatisé Calcul réfléchi

Le calcul posé met en œuvre des propriétés des opérations, même si ces propriétés ne sont pas nécessairement toujours visibles pour le calculateur.

Le calcul réfléchi s’appuie sur des relations entre nombres et sur des propriétés des opérations que le calculateur décide de mobiliser.

Le calcul automatisé est impersonnel : il est conduit de la même façon par tous les individus.

Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le même calcul peut être réalisé de plusieurs manières selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations.

Le calcul automatisé nécessite peu d’effort, car il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé rapidement.

Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de travail peut être importante… ainsi que le temps nécessaire pour répondre.

Le calcul automatisé s’apparente à un exercice routinier : il suffit d’exécuter une procédure connue.

Le calcul réfléchi s’apparente davantage à la résolution de problèmes : il faut d’abord imaginer une procédure possible, puis la mener à son terme.

2/ Analyse des différents modes de calcul

a/ Résultats et procédures mémorisés.

Pour exécuter un calcul sans machine, il est indispensable de pouvoir disposer immédiatement de certains résultats ou de certaines procédures.

Citons quelques facteurs favorables à la mémorisation :

-On mémorise mieux ce qui a du sens : mieux vaut donc travailler sur le sens des opérations que sur la mémorisation des tables.

-Les conditions d’apprentissage retentissent sur les conditions de récupération en mémoire (ex : réciter le début de la table de 8 pour retrouver le résultat de 8x7).

-Certains résultats sont plus faciles à mémoriser et constituent des points d’appui pour la suite de la mémorisation (ex : les doubles, la table de 5…).

-La connaissance de relations entre les résultats à mémoriser ou de propriétés réduit le coût de la mémorisation.

-La répétition est un facteur qui n’est pas à négliger, surtout si elle s’inscrit dans un contexte motivant (ex : dans le cadre des jeux)

b/ Algorithmes opératoires et calculatrices.

-Les algorithmes écrits de calcul ont longtemps constitué un objectif primordial de l’école primaire.

-La diffusion de nouveaux instruments de calculs (calculatrice, ordinateur) en réduit l’usage social.

-L’école ne peut pas rester à l’écart de ce phénomène.

-L’apprentissage des techniques opératoires demeure un objectif important de l’école primaire, mais ses finalités sont en partie à reconsidérer.

c/ Calculatrices et tableurs.

- L’apprentissage d’une utilisation intelligente des calculatrices est prévue dès le cycle 2 de l’école primaire et l’initiation au tableur figure au programme du collège.

- Pour les calculatrices, vous devez être capables d’utiliser une calculatrice d’usage courant et de maîtriser certaines fonctionnalités comme la mémoire (touches [M+], [M-], [MR]…).

- Reportez vous au document d’accompagnement des programmes de mathématiques de l’école primaire « Utiliser les calculatrices en classe » disponible sur le site internet : http://www.cndp.fr/ecole/.

- Exemple d’utilisation des calculatrices en classe : dans les problèmes complexes, l’effort de l’élève devrait être en priorité centré sur le raisonnement. Si la charge mentale de travail due aux calculs est trop importante, certains élèves peuvent perdre le fil de leur raisonnement ou même renoncer à utiliser tel calcul, jugé par eux comme trop difficile. La mise à disposition de calculatrices permet de surmonter cette difficulté.

d/ Divers aspects du calcul réfléchi.

Calcul réfléchi exact :

Il fait appel à 3 types de connaissances :

- des résultats et procédures de base stockés en mémoire : tables, relations entre certains nombres, procédures pour certains calculs comme « multiplier par 10 »…

- des connaissances relatives à la numération écrite ou orale

- des connaissances relatives aux propriétés des opérations (ex : associativité de l’addition et de la multiplication …).

Ce type de calcul peut être conduit de façon purement mentale mais peut aussi être accompagné de traces écrites : résultats partiels, traces de la procédure mise en œuvre…

Exemples de traces écrites pour le calcul de 857 – 438 (élève de CE2):

a/ Traces de calculs auxiliaires effectués mentalement : 800 – 400 = 40057 – 30 = 2727 – 8 = 19

857 – 438 = 419

b/ support de la droite numérique :

______|_______________|____|________

438 857 858

+ 420

+ 419 -1

Calcul approché:

Tout calcul approché est un calcul réfléchi qui exige toutes les compétences mises en œuvre dans ce type de calcul, auxquelles il faut en ajouter d’autres :

- Déterminer l’ordre de grandeur, souvent en fonction du contexte de la situation dans lequel le calcul est conduit

- Déterminer, en conséquence, les arrondis choisis pour les nombres en jeu, ces arrondis étant eux-mêmes fonction de l’ordre de grandeur recherché et des possibilités de calcul mental.

1/ Introduction

II/ Addition et soustraction

Trouvez différentes procédures pour effectuer mentalement les calculs suivants :

a/ 14 + 19 + 16 +11

b/ 85 + 39

c/ 85 – 39

d/ 94 – 46

e/ 205 – 198

f/ 17,45 + 49,55

g/ 6 - 2,75

Solutions :

a/ 14 + 19 + 16 +11

On réorganise le calcul proposé :

14 + 19 + 16 + 11 = 14 + 16 + 19 + 11

= 30 + 30

= 60

b/ 85 + 39 1ère méthode :

85+ 39 = (80 + 5) + (30 + 9)

= 80 + 30 + 5 + 9

= 110 + 14

= 124

Utilisation de la commutativité de l’addition puis de l’associativité de l’addition

Utilisation des propriétés de l’addition relatives aux regroupements possibles des termes et des connaissances relatives à la numération

c/ 85 – 39

1ère méthode :

85- 39 = 85 - (30 + 9)

= 85 - 30 - 9

= 55 - 9

= 46

2ème méthode :

85 + 39 = 85 + (40 - 1)

= (85 + 40) - 1

= 125 - 1

= 124

Utilisation de la propriété de « déplacement des parenthèses »

Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

d/ 94 - 46

1ère méthode94 - 46 = 94 - (50 - 4)

= 94 - 50 + 4

= 44 + 4

= 48

2ème méthode :

85 - 39 = (85 + 1) - (39 + 1)

= 86 - 40

= 46

On a ajouté 1 aux deux termes de la différence, ce qui permet d’obtenir une différence égale à la première.

Les parenthèses ont été déplacées, entraînant la modification de certains signes opératoires

e/ 205 - 198

1ère méthode205 - 198 = 205 – 200 + 2

= 5 + 2

= 7

94 - 46 = (94 + 4) - (46 + 4)

= 98 - 50

= 48

On a ajouté 4 aux deux termes de la différence, ce qui permet d’obtenir une différence égale à la première.

On remplace 198 par 200 – 2.

2ème méthode205 - 198 On calcule par sauts le complément de 198 à

205 : de 198 à 200, puis de 200 à 205

2ème méthode :

f/ 17,45 + 49,55

On utilise le fait que 45 + 55 = 100,

donc 0,45 + 0,55 = 1

Puis on calcule 17 + 49, puis, 17 + 49 + 1 d’où 67

2ème méthode

Aller de 2,75 à 3, puis de 3 à 6. On utilise le fait mémorisé que l’écart entre 0,75 et 1 est égal à 0,25.

g/ 6 – 2,75

1ère méthode

On enlève 2 puis 0,75.

On obtient : 4 – 0,75 = 3,25

a/ Quelques définitions

Somme et addition

2/ Apports théoriques

Définition 1 :

La somme de a + b de 2 nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et d’un ensemble B, A et B étant disjoints.

a + b est le nombre d’éléments de l’ensemble constitué par la réunion de A et de B.On parle d’aspect cardinal de l’addition.

Ensemble ANombre d’éléments : a

Ensemble BNombre d’éléments : b

Réunion des ensembles A et BNombre d’éléments : a + b

On généralise cette définition au cas de l’addition de deux nombres décimaux positifs en se situant dans le contexte des grandeurs (par exemple des longueurs) :

4,8 + 2,75 est alors la mesure en mètres de la longueur obtenue en mettant bout à bout deux segments mesurant respectivement 4,8 m et 2,75 m.

Définition 2 :

On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.

La somme a + b est égale au nombre atteint en comptant b nombres après a.

On parle d’aspect ordinal de l’addition.

Ainsi, pour trouver 5 + 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

. 1 2 3

donc 5 + 3 = 8

Cette définition est également généralisable au cas de l’addition des nombres décimaux positifs :

sur une droite graduée en centièmes, 4,8 + 2,75 est le nombre qui correspond à la graduation atteinte en partant de la position de 4,8 et en avançant successivement de 2 unités, de 7 dixièmes et de 5 centièmes.

b/ Différence et soustraction

Définition 1 :

La différence a - b de deux nombres entiers naturels est définie à partir d’un point de vue ensembliste : a et b sont respectivement les nombres d’éléments d’un ensemble A et d’un sous- ensemble B de l’ensemble A.

a - b est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B par rapport à A.On parle d’aspect cardinal de la soustraction.

Ensemble BNombre d’éléments : b

Ensemble complémentaire de B dans ANombre d’éléments : a - b

Ensemble A Nombre d’éléments : a

On généralise cette définition au cas de la soustraction de deux nombres décimaux positifs en considérant, par exemple, que 7,8 – 2,45 correspond à la mesure en cm de la longueur d’un segment qu’il faut placer bout à bout avec un segment mesurant 2,45 cm pour obtenir un segment mesurant 7,8 cm.

Définition 2 :

On suppose connue la suite ordonnée des nombres naturels.

La différence a - b est égale au nombre atteint en comptant b nombres avant a.

On parle d’aspect ordinal de l’addition.

Ainsi, pour trouver 8 - 3 , on part de la suite : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …

3 2 1 .

donc 8 - 3 = 5

Comme pour l’addition, cette définition est également généralisable au cas de la différence de deux nombres décimaux positifs

Définition 3 :

a – b peut être défini à partir de l’addition supposée connue.

a étant supérieur ou égal à b, a – b est la solution de l’équation d’inconnue x :

b + x = a

Il y a donc équivalence entre x = a – b et b + x = a.

a/ Propriétés de l’addition et de la soustraction sur les entiers naturels et les décimaux.

- Associativité de l’addition

Propriété 1 :

Quels que soient les nombres a, b et c : a + (b + c) = (a + b) + c

Exemple :

47 + 23 = 47 + (3 + 20) = (47 + 3) + 20

Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.

- Commutativité de l’addition

Propriété 2 :

Quels que soient les nombres a et b : a + b = b + a

Remarque : cette propriété ne s’applique pas à la soustraction.

Propriété 3 :

Pour tout nombre a : a + 0 = 0 + a = a

- Existence d’un élément neutre {0} pour l’addition

- Autres propriétés

Propriété 4 :

Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b :

a - b = (a + c) – (b + c)

Propriété 5 :

Quels que soient les nombres a, b et c tels que b ≥ c :

a + (b – c) = (a + b) – c

Propriété 6 :

Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b + c :

a – (b + c) = (a - b) – c

Propriété 7 :

Quels que soient les nombres a, b et c tels que a ≥ b et b ≥ c :

a - (b – c) = (a - b) + c

a/ L’addition

3/ techniques opératoires

La technique utilisée aujourd’hui donne lieu aux traces écrites suivantes :

4 5 4 8+ 7 6 4

2135

1 1 1

Autre technique : méthode rapportée par Baha Eddin (1547-1622)dans son livre Les Principes du calcul

4 5 4 8 + 7 6 4 1 2 1 0 1 2 4 . 5 3 1 2

Exercice : Toto additionne 2 nombres entiers avec la méthode habituelle et trouve 499 sans faire d’erreur. Combien de retenues a-t-il effectué ?

b/ La soustractionLa technique traditionnelle :

6 4 5 6- 2 8 7 2

1

1

1

En réalité, au lieu de calculer la différence entre

« 6 milliers 4 centaines 5 dizaines et 6 unités » et « 2 milliers 8 centaines 7 dizaines et 2 unités »,

on a calculé la différence de

« 6 milliers 14 centaines 15 dizaines et 6 unités» et « 3 milliers 9 centaines 7 dizaines et 2 unités»

3

1

5 - 7 est impossible dans N.On ajoute 10 dizaines au nombre du haut, mais pour ne pas modifier le résultat, on ajoute également 10 dizaines, sous la forme d’une centaine au nombre du bas.

5 8 4

La technique dite « par complément » :

6 4 5 6- 2 8 7 2 1

Technique : consiste à traiter la soustraction comme une « addition à trou » :

2872 + …. = 6456

3 5 8 41

On cherche combien il faut additionner à 2 pour avoir 6 : on écrit 4.On cherche combien il faut additionner à 7 pour avoir 15 : on écrit 8 (et on indique 1 en retenue au niveau des centaines).On cherche combien il faut additionner à 9 pour avoir 14 : on écrit 5 (et on indique 1 en retenue au niveau des milliers) etc.

La technique dite « par emprunt » :

6 4 5 6- 2 8 7 2

1

Il s’agit de la méthode anglo-saxonne.

Avantage : pas de retenue

3 5 8 4

1Procédé : calculer séparément les sommes des unités, des dizaines, des centaines et des milliers.

35

Exercice : calculer 1111 – 999 par la méthode par emprunt.

99

217

54

2515

Cascade additive :

39

64

118

10

35

a b

a+b

?

Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette adresse : http://manu.ledaine.free.fr/Pyramides/

Un exercice de calcul mental

1/ Introduction

III/ Multiplication et division

Trouvez 3 procédés différents pour calculer mentalement 24 x 15 :

1er procédé : 24 x 15 = 24 x (10 + 5) = 24x10 + 24 x 5 = 240 + 120 = 360

2ème procédé : 24 x 15 = (12 x 2) x 15 = 12 x (2 x 15) = 12 x 30 = 360

3ème procédé : 24 x 15 = 24 x (30 : 2) = (24 x 30) : 2 = 720 : 2 = 360

Voici un procédé proche de celui utilisé par les Egyptiens pour calculer le produit de 76 par 53 (procédé traduit dans notre système de numération) :

Utiliser le même procédé pour calculer 154 x 22

1 154 2 308 4 616

8 1232 16 2464

22 3388

Cette méthode est basée sur le fait que tout naturel peut être décomposé en fonction des puissances de 2, c’est-à-dire comme somme de nombres choisis parmi 1; 2; 4; 8; 16…

a/ Apports théoriques

Produit de 2 entiers naturels

2/ La multiplication

Définition 1 :

a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est égal à la somme de b naturels égaux à a ou encore : a x b = a + a + a + a + a + … + a b fois le terme a

Définition 2 :

a et b étant deux entiers naturels, le produit de a et de b est le nombre de couples (x ; y) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble ayant a éléments et y dans un ensemble à b éléments.

Multiplication dans l’ensemble IN des naturels

La multiplication dans l’ensemble IN peut être définie comme l’opération qui à 2 entiers naturels quelconques permet d’associer leur produit, ce qui peut être décrit dans le langage des fonctions par le schéma suivant :

IN x IN → IN ( a ; b) → a x b

On définit également la multiplication dans d’autres ensembles comme l’ensemble ID des décimaux, l’ensemble Q des rationnels, l’ensemble IR des réels…

- Propriétés de la multiplicationPropriété 1 : distributivité de la multiplication sur l’addition

Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b + c) = ab + ac

On a aussi : a x (b - c) = ab - ac

Propriété 2 : associativité de la multiplication

Quels que soient les nombres a, b et c : a x (b x c) = (a x b) x c

On dit que la multiplication est associative.

Propriété 3 : commutativité de la multiplication

Quels que soient les nombres a et b : a x b = b x a (on écrit : ab = ba)

On dit que la multiplication est commutative.

Propriété 4 : élément neutre pour la multiplication

On dit que 1 est un élément neutre pour la multiplication car : quel que soit le nombre a : 1 x a = a x 1 = a

Propriété 5 : élément absorbant pour la multiplicationOn dit que 1 est un élément absorbant pour la multiplication car : quel que soit le nombre a : 0 x a = a x 0 = 0

b/ Technique opératoire sur les naturels ou sur les décimaux

Exemple : calcul de 368 x 207

Résultat du calcul de 368 x 7

3 6 8x 2 0 7 2 5 7 6 7 3 6 0 0 7 6 1 7 6

Résultat du calcul de 368 x 200

Résultat du calcul de la somme des 2 résultats précédents

Le calcul posé du produit de deux décimaux se ramène facilement à celui de deux entiers naturels.Par exemple :

Calculons le produit : 36,8 x 2,07.

Ce calcul correspond à celui de : 368/10 x 207/100

Soit encore à (368 x 207) / 1000,

Ce qui explique qu’il suffit de calculer 368 x 207 comme vu précédemment puis de positionner la virgule pour obtenir le quotient du résultat par 1000 (donc en laissant 3 chiffres à droite de la virgule).

a/ Introduction3/ La division euclidienne

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de 430 par 38.

Peut-on en déduire, sans calculer de nouvelle division, le quotient et le reste de la division euclidienne de 860 par 76 ?

4 3 0 3 8

La division euclidienne de 430 par 38 donne pour quotient 11 et pour reste 12.Ce qui peut être traduit par :

430 = 38 x 11 + 12

Les 2 termes de l’égalité peuvent être multipliés par 2 pour obtenir une nouvelle égalité : 430 x 2 = (38 x 11 + 12) x 2 = (38 x 11) x 2 + 12 x 2ou 860 = (76 x 11) + 24 avec 24 < 76.Le quotient euclidien de 860 par 76 est le même que celui de 430 par 38, mais que le reste est doublé.

11051 2

Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement desobjets

- la division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » (division-partition)

- la division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet » (division-quotition)

b/ Apports théoriques1°) Les deux significations de la division euclidienne

2°) Ecritures correctes

Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.

Voici la liste des multiples de 24 :

3°) Première définition possible de la division euclidienne :

5×24 = 1204×24 = 963×24 = 722×24=481×24=240×24=0

108

4 est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par 24

r = 108 – 96 = 12

12 est le reste r dans la division de 108 par 24

Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :

qb a (q 1)b et r a qb

q×b

a

(q+1)×b

4°) Deuxième définition possible de la division euclidienne

Soit à effectuer la division euclidienne de 108 par 24.

On peut écrire de plusieurs manières 108 sous la forme 108 = …×24 + …

108 = 0 × 24 + 108

108 = 1 × 24 + 84

108 = 2 × 24 + 60

108 = 3 × 24 + 36

108 = 4 × 24 + 12

Ce nombre est plus petit que 24

108 = 4 × 24 + 12

4 est le quotient q dans la division euclidienne de 108 par 24

12 est le reste r dans la division de 108 par 24

Effectuer la division euclidienne de a par b c’est trouver l’entier q (appelé quotient) et l’entier r (appelé reste) tel que :

a qb r et 0 r b

a = q × b + r

3/ Technique opératoire de la division euclidienne

La technique usuelle :

9 1 6 3 3 81 5 6 2 4 1 0 4 3 5

La technique employée au cycle 3 pour l’apprentissage de la division :

9 1 6 3 3 8 - 7 6 2 4 1 1 5 6 - 1 5 2 4 3 - 3 8 5

La division pourrait se poursuivre en « convertissant «  les 5 unités qui restent en 50 dixièmes, puis les dixièmes en centièmes…

Exercice :

Compléter cette division :

6 . 6 . 6 6 . 6

Il s’agit de la division de 636 par 96 qui a pour quotient 6 et pour reste 60.

IV /calcul sur radicaux

2°)

Exercice :Est-il vrai que :

V /Calcul sur les puissances

Si n est nombre entier naturel non nul et a un nombre réel,

an = a x a x a x … x a n fois

et a0 = 1 (avec a ≠ 0).

On définit également : a-n = 1/an (avec a ≠ 0).

En particulier :

10n s’écrit 1000…000 (avec 0 écrit n fois) et 10-n s’écrit 0,000…01 (avec 0 écrit n-1 fois après la virgule)

2°) Propriétés

Soient a et b 2 nombres réels et soient n et p deux entiers :

an x ap = an+p

(a x b)n = an x bn

ATTENTION :

Quels que soient les nombres non nuls a et b : (a + b)n ≠ an + bn

et (a - b)n ≠ an - bn

Exercice :

Le quart de 1616 est-il égal à 416 ou 44 ou 431 ou 88 ou 164 ?

Solution :

1616 / 4 = (16 x 1615 ) / 4 = 4 x 1615 = 4 x (42 )15 = 4 x 430 = 431

25 × 12425 × 4 × 31 = 100 × 31 = 3100

25 × 124 = 100×1244 = 3100

5 × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100

VI/ Quelques exercices de calcul mental

0,125 × 3,21×3,2=0,48

125 x 32 = 125 × 8 x 4 = 1000 x 4 = 4000

donc 0,125 × 3,2 = 0,4

Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6. J’ajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je pensé ?

7 42 44 132× 6 + 2 × 3

: 3- 2: 6

Derniers exercices :

1/ Choisir des nombres impairs. Divisez leur carré par 8. Quel est le reste ? Cette propriété est-elle vraie pour tout nombre entier ?

2/ Dans le « Journal d’un bourgeois sous la Révolution », on découvre que le 1er janvier 1789 est un jeudi. Retrouver quel jour de la semaine a eu lieu la prise de la Bastille. Justifier cette réponse.

Bibliographie :- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel

Mante, HATIER CONCOURS 2008- Quelques extraits du diaporama de D. Pernoux,

formatrice à l’I.U.F.M. d’Alsace

FIN

David Rolland, IUFM de la Polynésie française

Cours sur les quatre opérations