Degres de liberte d'une surface d'onde enmicroonde et en optique

J. C. Simon

The number of degrees of freedom of a surface S for incoherent radiation (taking into account both

polarizations) was established on the basis of Jeans' thermodynamic considerations (pertaining to ablackbody). This number is n1 = 2 7rs/X2 . The number of degrees of freedom of microwave radiation

from a surface S (coherent, polarized optics) was also established using two different methods. Thisnumber is n = 47rs/,72. One should note that these two methods are related since in incoherent radiationthe phase does not enter. The above considerations are applied to beams of limited spatial extent.

Introduction

Que ce soit en optique et plus encore en microonde,un experimentateur a vite le sentiment que les con-cepts physiques changent radicalement suivant quel'echelle des phenomenes consideres est tres au-dessusou tres au-dessous de la longueur d'onde. I nepeut distinguer deux objets spards par une petitefraction de longueur d'onde. Une onde plane tombantsur un pseudo plan, dont les irregularitds de surface sontpetites devant la longuer d'onde, est reflechie suivantune onde plane. En microonde il est, en gdndral, plusfacile qu'en optique d'analyser ces phenomenes qui sontalors a notre echelle. En particulier, on est frdquem-ment amene a construire des surfaces d'onde a partir desources rayonnantes ponctuelles, c'est-a-dire inferieuresa la longueur d'onde.

Pour cela, on les dispose suivant des rseaux demailles a. Si a >> X, on reproduit les phenomenes deBragg, comme c' est le cas des interferometres desradioastronomes. Si a << X, on obtient bien des sur-faces d'ondes planes ou spheriques homogenes, mais ildevient tres difficile de faire rayonner les sources.

Les opticiens trouvent ces phenomenes dans lesreseaux. I semble qu'il existe des dimensions optimapour la distance entre ces sources didmentaires. Unesurface d'onde ne pourrait vehiculer plus qu'une certainequantite d'informations par unite de surface et de fre-quence.

The author is with Compagnie G6n6ral de Telegraphie sans Fil,C. S. F., Paris, France.

Received 2 May 1965.

Rayonnement thermodynamique d'une surfaceferm6e

Un raisonnement du a. Jeans et maintenant classique(cf. ref. 1, Sec. 163) indique le nombre de modes propresdg d'un parallelepipede rectangle dont les c6tes sontgrands devant la longueur d'onde dans un intervalle defrequence dv ou de longueur d'onde dA, v et X etant liespar X = c/v, ou c'est la vitesse de la lumiere etd.'g = (4irv2/c 3)dv. A chaque mode, il est possible de fairecorrespondre deux dtats de polarisation de la lumiere;il faut done doubler le nombre de modes possibles parunite de volume

8rv2 =87dg = 3dv=dX.

Pour trouver l'energie totale due au rayonnementthermodynamique dans un volume dlementaire, Jeansaffectait une dnergie kT a chacun des modes propres.Plus exactement, Planck a affectd a chacun de ces modesl'energie elementaire

hv/(ehv/kT - 1) = W3

On retrouve ainsi la formule de Planck

du 87rhv3 1dv C

3 ehv/kT - 1

oi u est l'dnergie par unitd de volume.II est d'autre part facile de voir que l'energie rayonnde

par unitd de surface W d'un corps noir est reliee a upar la relation

u = 4W/c,

done

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C dW = 4 wodg,

dW = (27r/X2)dTo. (1)

Par unite de temps et de frequence, le nombre dequantum lementaires rayonngs par unite de surface estinversement proportionnel a X2/27r ou, si l'on prefere pourune surface 8, gal d

27rS/X2 = n. (2)

Rayonnement en microonde de sources6l6mentaires

Soit un certain nombre n de sources independantesrdparties dans un volume dont la plus grande distanceest 1. Le champ rayonnd par ces n sources grandedistance R (c'est-h-dire R >> 1) se met sous la forme

nA = - eik, (3)

R1

c'est-A-dire sous la forme d'une somme de n vecteursd'amplitude fixe b et dont l'orientation exprimde parp dpend de la phase de la source et de la positionrelative de la source k dans l'espace pour la directionconsiddrde.

Les sources sont dites inddpendantes si la modificationd'une source de rang k, par exemple, laisse inchangde lacontribution des n - 1 autres sources dans la formule(3).

Supposons Ebk2 constant. L'energie totale rayonndeetant constante, modifionsla phasede chaque sourcepourobtenir le champ le plus levd possible pour la directionconsiddrde, nergie totale rayonnde constante. I estconnu que ce rsultat est obtenu dans le cas o tous lesvecteurs sont en phase.

Le gain G en nergie par rapport au rayonnementisotrope est alors

G = (bk)2/Zbk2.

Cette expression est maximum a bk2 constant sitous les vecteurs b sont gaux. Dans ces conditionsdvidemment

Gmax = n.

D'autre part, par un raisonnement dduit du principed'Huyghens (formules de Kottler) on arrive au rsultatque le gain maximum d'un projecteur d'onde de surfacerayonnante2 par rapport au rayonnement isotrope Sn'est autre que

Gmax = 4wrS/1X2.

Ce raisonnement, approchd bien entendu, conduit donea penser que le nombre n de sources didmentaires in-ddpendantes pouvant rayonner par une surface S est

n = 4S/X 2. (4)

La formule (4) est rapprocher de la formule n =2 7rS/X2, laquelle est la formule (2).

Rayonnement en microonde d'une surfaceplane

Reprenons le raisonnement de Jeans, en l'adaptantau rayonnement d'une surface plane. Pour cela,supposons d'abord que le champ s'annule sur un rseaurectangulaire de maille a,b.

Les ondes planes satisfaisant une telle conditionaux limites auront des expressions de la forme

sinax sin3y eikzz,

l'axe des z dtant normal au plan considdrd k = 2r/Xavec

a,2 + 32 + k-k2 = 0,a= pr,

fob = qir;

les nombres entiers p et q satisfont a la relation

p2q

24 4

_ ± - = -- a2 b2 X2

X,2

mais X peut prendre toutes les valeurs de X -, doneon est ramend trouver le nombre de points (p,q)s'inscrivant dans le premier quadrant de l'ellipse

p2 q2 4

a2 b2 X2'

ce nombre n2 est rab/X2, ou encore

n2 = 7rS/X2. (5)

On retrouve videmment la formule (2) obtenue enoptique en remarquant que le raisonnement thermo-dynamique introduit deux polarisations, done double lenombre de modes possibles.

Rapprochons maintenant la formule (5) de la formule(4) donnant le nombre de sources ldmentaires indd-pendantes qu'on peut disposer dans une ouverture desurface S. I est vident que la decomposition d'unesurface par un rseau de dimension a,b l'a particularisde,c'est-a-dire rduit le nombre des degrds de libertdpossibles. D'autre part une rpartition d'amplitudesur un axe, par exemple celui des x, ne peut se reprdsenterpar une somme de sinus harmoniques, il faut ajouterune somme analogue de cosinus, ce qui revient doublerle nombre de facteurs. Le mme raisonnement con-cernant l'axe des y, c'est par un facteur 4 qu'il fautmultiplier le deuxieme membre de la formule (5) pourretrouver le nombre de modes possibles de rayonnementd'une surface S.

Que le probleme soit abordd par le concept physiquedes sources inddpendantes ou celui des modes d'ondeplane nous trouvons done qu'en microonde le nombre dedegres de liberte de rayonnement d'une surface S est donnepar n = 47rS/X2, formule (4).

Remarque

Reprenant le raisonnement dja fait et utilisant laformule (4), on pourrait penser que le nombre de degrdsde libertd du rayonnement thermodynamique seraitegal

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nj' = 2n = 87rS/X2 ,

c'est-a-dire ni' = 4ni, avec n1 dtant la valeur trouvdeprdcddemment. I n'en est rien en fait.

Le raisonnement pour les microondes a td effectudsur les champs et non sur les energies, c'est-a-dire quepour chaque onde on peut particulariser une amplitudeet une phase. Ceci s'est exprime par le fait que dansle raisonnement microonde il a fallu introduire nonseulement des termes en sinus comme Jeans, mais aussien cosinus. Alors que pour un raisonnement fonde surles seules dnergies un seul type de mode en sinus parexemple suffit exprimer pleinement le phenomenephysique.

On saisit ainsi toute la diffdrence qui existe entrerayonnement coherent microonde et rayonnement in-coh6rent thermodynamique.

translatdes g(x) elles-mdme a transformde de Fourier support borne.

f(x) = f(pa)g(x - pa),

a dtant le pas de l'intervalle, p un entier, a ddpend dela fonction g. Il est minimum pour une transformde deFourier de g(x) constante done une fonction g(x) dela forme sinux/,x ( constante).

En se limitant un angle solide 9, en particulier en neconsiderant pas les ondes evanescentes, le rayonnementd'une surface d'onde est alors spectre bornd. Lerayonnement dans le cas de deux dimensions x, z peuts'ecrire

F(sino) = Jf f(x)e2ri (x/X)sinO dx,

Cas d'un faisceau d'ouverture limitee

Jusqu'a maintenant le rayonnement dtait suppos seproduire dans le demi espace (z > 0) au-dessus de lasurface plane, c'est-a-dire dans un angle solide de 2

7r.

Reprenoris le raisonnement des modes dans uneouverture rectangulaire en microonde. Supposons poursimplifier le raisonnement, que l'ouverture est carree(a = b) et que le rayonnement est limitd a un angle oautour de l'axe.

Dans ces conditions X ne varie plus de X ai l'infini,mais de X a X/cos0o. La surface du quart de cercle derayon 2a/X est diminuer de celle de rayon 2a/X,coso0 . Le nombre de points s'inscrivant dans cettesurface est n2' = (ra 2/X2)sin2Go d'ou en gdndralisant a unangle solide de rayonnement Q et a une surface S

n2' = 9S/2X 2 . (6)

Finalement nous adopterons pour le rayonnement co-herent des microondes la formule

n' = 2QS/X2 . (7)

Pour le rayonnement thermodynamique incoherent del'optique

n= QS/X2 (8)

Remarques

(1) Nous avons en fait utilisd un spectre d'ondeplane, en le limitant a un angle solide P. < 2 r. Con-siddrer dgalement les modes evanescents serait revenu adtendre ce spectre d'onde a des valeurs de sinO > 1,donc augmenter le nombre de degrds de libertdpossibles. On comprend, alors, comment peuvent s'in-troduire des valeurs du gain et de la directivitd supe-rieures i celles habituellement considdrdes. Ce problemea dtd ddja traitd avec beaucoup de ddtails.3

(2) Le mode de raisonnement suivi peut se rap-procher du thdoreme d'dchantillonnage dont l'applicationphysique est due en particulier it Shannon. Nous avonsddmontrd 4 que si f(x) est une bonne fonction de trans-formde de Fourier i support bornd (nulle a l'extdrieurd'un certain intervalle), il est possible de representerexactement cette fonction par une somme de fonctions

avec u = sinO, F(u) et f(x) dtant transformde de Fourierl'un del'autre.

Si F(u) est supposd a support bornd, c'est-a-dire:F(u) = 0 si |111 > 2, le theoreme prdcddent s'appliqueon peut appliquer le theoreme d'dchantillonnage.Mardchal et Francon (ref. 5, p. 149) l'ont appliqud dansle cas d'une image optique, ce qui revient a se placerdans le cas de la rdception, au lieu de l'dmission, maisle rdsultat est dvidemment le mdme.

Leurs rdsultats trbs voisins des formules (7) et (8) endifferent ndanmoins par des valeurs numdriques. Celaprovient probablement d'hypotheses diffdrentes.Toutefois il ne paraft pas normal que le nombre dedegrds de libertd soit plus dleve dans le cas d'un rayonne-ment incoherent que dans le cas d'un rayonnementcohdrent.

Conclusion

Bien que les diffdrents raisonnements effectuds soientapproximatifs, ils permettent de ddgager le conceptphysique de degrds de libertd d'une surface rayonnante.

Ce concept est particulierement a l'ordre du jour tanten microonde ou l'on cherche i faire des rdseaux densesde sources dldmentaires, qu'en optique ouh l'on analyseavec prdcision les diffdrents modes possibles d'un rayon-nement laser.6

Bibliographie

1. G. Bruhat et A. Kastler, Thermodynamique (Masson, Paris,France, 1962).

2. S. Silver, Microwave Antenna Theory and Design MIT Rad.Lab. Serv. (McGraw-Hill, New York, 1949).

3. G. Broussaud et E. Spitz, Ann. Radioelectricit6 XV, 289 (1960).4. J. Arsac et J. C. Simon, Ann. Radiolectricit6, XV, 217 (1960).5. A. Marechal et M. Frangon, Diffraction, structure des

images, Tome 2, (Edition de la Revue d'Optique Theor. etInst. Paris, 1962).

6. G. Goubau and F. Schwering, IRE Trans. on Antennas andPropagation, AP9, (1961).

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