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cours 11
4.2 LES PLANS
Au dernier cours nous avons vus
✓ L’équation vectoriel et l’équation
normale d’une droite dans le plan.
✓ L’équation vectoriel d’une droite
dans l’espace.
✓ La distance entre un point et une
droite.
✓ La distance entre deux droites.
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Diverses équations que décrivent
un plan.
✓ L’intersection de deux plans.
✓ L’angle entre deux plans.
✓ La distance entre un point et un
plan.
Dans l’espace, pour décrire un plan, il faut
un point et deux vecteurs
L’équation vectoriel d’un plan est donné par:
d’où on tire les équations paramétriques.
paramètres:
Où les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan.
Si on connaît un vecteur normal au plan
et un point du plan alors, on a que pour tous les autres points du plan,
et donc
d’où
le vecteur
On nomme cette équation, l’équation normale du plan.
On la note habituellement sous la forme suivante:
L’avantage de cette équation est qu’on y lit directement un vecteur normal
On peut aussi décrire le plan par le fait que
et sont coplanaire.
Ça nous redonne l’équation normale du plan
Si deux plans se croisent, alors
l’intersection sera une droite.
Auquel cas la direction de cette droite est
donnée par:
car donc
doncet
Intersection de deux plans
Intersection de deux plans
Si deux plans ne se croisent pas,
alors leurs vecteurs normaux sont parallèles.
Et donc, on a que
On nomme l’angle entre deux plans,
l’angle dièdre.
L’angle entre deux plans correspond à l’angle entre les vecteurs normaux.
est aussi la distance entre deux plans parallèles.
Distance entre un point et un plan.
La distance entre un point et un plan,
Normal vs. directeur
Si on a des vecteurs directeurs d’un plan, il est facile d’en trouver un vecteur normal.
???
Existe-t-il un vecteurperpendiculaire à et qui ne soit pas
dans le plan?
NON!
Ici, on peut prendre n’importe quel vecteur
non nul!
Et l’inverse maintenant?
Exemple:Trouver l’équation vectoriel du plan d’équation
On a que est un vecteur normal au
plan.
Et un point?
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ L’équations vectoriel et
l’équation normale d’un plan.
✓ L’intersection de deux plans.
✓ L’angle entre deux plans.
✓ La distance entre un point et
un plan.
Devoir: p. 149 # 1 à 22
