détermination d'une loi de comportementpour le cisaillement des sols pulvérulents

application au calcul d'essais triaxiaux*

par

J. MonnetAssistant à l'lnstitut Universitaire de Technologie no 1 de Lyon

J. GiellyMaître de Conférence à l'lnstitut Universitaire de Technologie no 1 de Lyon

Les ouvrages de Génie Civil en contact avec un sol sont,du fait de leur complexité croissante, de plus en plus diffi-ciles à calculer. Les caractéristiques mécaniques du sol defondation, sa géométrie, les différentes sollicitations aux-quelles il est soumis, sdnt autant de variables difficiles à

prendre en compte dans les calculs classiques. Une simpli-fication de la réalité consiste à diviser le système réel enun ensemble de petits éléments de dimensions finies, dontles caractéristiques sont connues. L'utilisation de l'ordina-teur perme! de juxtaposer I'action de tous les éléments etde calculer les contraintes et les déformations en toutpoint du système.

En mécanique des sols, les calculs sont classiquementmenés en admettant que le massif concerné est soit tota-lement en équilibre élastique, soit totalement en équilibrelimite plastique.

Le calcul pa r éléments finis devrait permettre d'aborderl'étude du comportement réel du massif, êfl prenant encompte, en tout point, la loi effort-déformation du sol,notamment lors du passage de l'état élastique à l'étatpla stiq u e.

C'est à partir de la théorie proposée par Duncan et Chang(197 O) que la méthode des éléments finis s'est étendue aucalcul d'ouvrages : stabilité de pentes, barrages en terre ouécf uses. Les études plus récentes de Da rve (1 97 4l etChambon ( 1 97 5l ont ensuite permis de prendre encompte un cornportement plus réel du sol, notamment auniveau de la dilatance. Le calcul se déroule de façon incré-mentale. Les incréments de contrainte et de déformationqui surviennent au cours d'un chargement, sont calculés à

I'aide d'une matrice de rigidité générale. Cette matrice estfonction de l'incrément et doit être recalculée à chaqueétape, ce qui demande beaucoup de temps de calcul.

Par ailleurs, le comportement plastique du sol a fait l'objetde I'article de Rowe (1 962) qui a abouti à des formulesexprimant le comportement du sol. L'auteur s'intéresse aurapport des contraintes principales majeures et mineures.A l'aide d'une modélisation du contact entre sphères, ilexprime l'énergie de déformation du milieu granulaire,

t Cette recherche a été effectuéede l'lnstitut National de Sciences

au laboratoire de mécanique des solsAppliquées (INSA) de Lyon.

mais en conservant toujours, comme paramètre principal,le rapport des contraintes. C'est donc une approche parti-culière qui donne des résultats corrects dans le cas de I'es-sai triaxial de révolution.

Une autre approche du phénomène de plasticité a étéeffectuée par I'Ecole de Cambridge d'abord sur I'argile,puis sur le sable par Poorooshasb, Holubec et Sherbourne(1966 et 1967). Les auteurs expriment l'énergie de défor-mation du sol de façon globale, mais sans faire intervenirle frottement intergranulaire. Le calcul théol'ique d'unessai triaxial nécessite la réalisation d'une série d'essaistriaxiaux, si bien que I'utilisation pratique de la loi de com-portement est difficile"

L'étude de Frydman, Zeitlen, Alpan (1973l. et Frydman(1 97 4l est plus intéressa nte encore pu isq ue les a ute u rsexpriment l'énergie de déformation du sol en faisant inter-venir le frottement intergranulaire. lls aboutissent alors àune formule valable dans tous les cas de chargement, etqui utilise un seul paramètre.

Cette dernière formulation théorique est particulièrementadaptable aux besoins de calcul de l'ingénieur. Nous avonsdécidé de I'analyser dans I'optique d'une adaptation à unprogramme de calcul par éléments finis. Le but était decréer un modèle capable de représenter le comportementdu sol de facon précise, mais également exigeant un mini-mu!'n de données particulières à la théorie choisie, defaçon à ce que I'ingénieur soit capable d'utiliser le pro-gramme informatique.

La théorie que nous développons est globale. Elle n'estplus incrémentale, et demande par conséquent moins detemps de calcul sur ordinateur, et donc moins de dépensequ'une autre. Nous calculons enfin une série d'essais tri-axiaux de révolution dans un but de vérification.

1 l-a loi de comportement de Frydman et al.

Ces auteurs ont montré, à partir de I'analyse de nombreuxessais triaxiaux réalisés sur des sols pulvérulents, qu'ilapparaît trois phases différentes du comportement du solau cours de la déformation en distorsion, c'est-à-dire avecune contrainte moyenne constante ou variant peu.

a) Dans le domaine des faibles sollicitations, le sol estassimilable à un solide élastique avec une précision suffi-sante. Les variations de volume sont faibles.

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 45

b) A partir d'une valeur constante du frottement dans leplan octaédrique, il apparaît des déformations plastiquesd'écrouissage; des gonflements sont alors observés.

Frydman et al. ont montré que ce seuil de déformationplastique est donné par:

oct

-to oovll

oct

Définition d'une loi de comportement plastiqueavec écrouissage à contrainte moyenne cons-tante' (Monnet, 1 9771

Le traitement informatique de la formule de Frydman et al.n'est pas immédiat ! Aussi faut-il développer une théorieparticulière de l'écrouissage du sol qui permette une utili-sation simple par la méthode des éléments finis. ll n'estpas nécessaire de définir la matrice de rigidité générale parincrément de chargement, comme c'est le cas usuelle-ment. La matrice de rigidité, dans notre théorie, est cal-culée une fois pour toutes au début du chargement. Oncalcule les déformations plastiques par un processus itéra-tif (la méthode des contraintes initiales) qui converge rapi-dement vers la solution théorique. Ceci permet d'économi-ser de facon considérable le temps de calcul par ordina-teur, et donc de rendre I'utilisation du proEramme plusi nté ressa nte.

2.1 Présentation et hypothèses

Les quantités dej, et de'"!, sont des invariants du tenseur

de déformation plastique ; ooct êt ro., sont des invariants dutenseur des contraintes.

Dans la suite, nous considérerons ces quantités commeétant aussi des composantes particulières des vecteursdéformation plastique et contrainte. Ce seront alors descomposantes vectorielles orientées dans I'espace (voir surla figure 1).

On pose :

2

avec1

IL-

oct /rJ

etooct

61, 62,

ou+ 2o,:

oct 3avec :

oa:contrainte axiale

or: contrainte radiale

o varie au cours deoct

man est exacte pourque ceci ne perturbeinform atiq u es.

Toct

(or_ or)

-tE 3

I'essai triaxial et la théorie de Fryd-o constant, mais nous allons voir

octpas de façon significative les calculs

dePoct

-t (or*oz+o'r)3

o, sont les contraintes principales prises négativesen compression.

roct "t oo.. '"i1J;'":?#ffi;i:l"s de ra contrainre dans re

o est aussi appelée :contrainte moyenne.oct

çp est I'angle de frottement grain sur grain du matériau.

Pour I'essai triaxial, nous avons:

etdt'P_ ".t-deP

oct

tgô- 1

K

Frydman et al. suppôsent ensuite que l'énergie de défor-mation plastique est due uniquement à un frottementintergranulaire de valeur e,,, dans le plan octaédrique. Ondémontre que : ts

La relation (2) de Frydman se met alors sous la forme :

f (o, K) : ro., * ooct (tg gp + K) - 0 Wl

f est fonction de charge puisqu'elle s'annule lorsqu'il y a

écoulement plastique. Cette fonction est négative dans ledomaine élastique et positive quand on a déséquilibre dusol. D'autre part, la fonction indique un écrouissagepuisque sa valeur varie suivant l'état de contrainte du sol,K étant le paramètre d'écrouissage.

Pour définir parfaitement la déformation plastique, nousadmettons avec Nadai (1 963), que la distorsion plastiquedt'ol, est colinéaire à la contrainte de cisaillement

F ig. I Les composntes octaédriques des vecteurscontrainte et déformation plastigue

Â

--tsçu- Qlo r

dc'Poct -" oct

avec d s' P- 1

oct 3+ (de! - dr:)'+ (oe! - ouT)'(def - d{ri

1

dul^-^(def+oct 3drf+der)

drfl duf, def sont les incréments de déformation plastiqueprincipale.

Au cours de l'essai triaxial, on a:

dePocï

avec :dep:a

deP+2deParet dr, j", -

(dt:- dsï ,Æ

3

incrément de déformation plastique axiale

et :dep : incrément de déformation plastique radiale.

c) Enfin, à l'état u ltime défini par le critère Mohr-Cou-lomb, un palier d'écoûlement plastique est observé.

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7

og'"?,

46

I. OU:IWNN 3NOINHC3IO39 3cl SSIVÔNVUJ 3NA3U

o

/lrl

/lI

I

I

I

Âi

,{oIIIItl

lf,o,*I

.t

l{o

L a16ue1 rcd anQtpgelco ruauallleslc Jnapa^ np uottu)Jtp et ep uoltlullgO Z '6H

op soguuoprooc sal 'xnedrcutld

{o ' 1tio, ol -1 t'oo1t'o

1

lso {o 3P} anbltseld

'11y red !u!+9p  lelnaleA op suorleloJne (s elnôr1 el lns-sed ap lotulad rnb

soxe sap auptsÂs al sueg

r yp -'*"or ypl : , {r'Â'*}: luar^ l! '(g) lo (g) oO

{O'tTtP "":,sP} : r {z' A'xl

:soguuoplooc sal led a!u!+gpuotleutlo+gp el 'lecol euplsÂs al sueCçA 7'oa - ( tf + Ë) soc anb lal d 'ogl - to

,srorl red'xnedrcuud sexe sap eruplsÂs

lf oA) ,,,t ' ,,,2.' ,,,L lgcol eutplsÂs np laserpdoJ op luouteôueqc un anlcalJo uO

oA(to - 'o)

'Y -'uo

L

4t ,,,(to -

(.s - rg Zl

L

: suorlelor sol e uO '(Z atnô!J roA) 'uo letqo p.roqe,p ]ueu(-- (-

-!uralgp uo ratnclec os lned I co^e 1co1 l!e+ anb  e;ôue,1

{-

alu !eJluocrnolcon np t"ox oluesodtuoc el lua!]uoo anbr,rpgelco ueld e1

* ", enrlrsod uollelor aun sprdetc-tnloc ap llnpgp t.: * olelnctpuadled I olteltun rnot

-con ol suoss!u!+gp snou 'onbtrpgeloo ue;d orugrrt oc sueC

'G arn6r; el rns ron) V oclJloos-s!.rl el lo seledlcul.rd suotlcoltp sap L oxe,l ]ueualuoo ue;dnp lo ue;d oc op uotlcasJolut,l p gnlls l alteltun Jnalco^un suossru!+gp snou'se;edtcur,rd suotlcaltp sap olp?ul npoculcossul el p oltelnotpuodled enbr.rpgelco ue;d ol sueO

aredor op luaureôueqC Z'Z

'e n b r.r pa elcoluotuollresro Jnolcon nq^^ oregulloc lso tf,rp'

"ocul-cosslj] el P oJtegullo3 lse -l"sp lnolsa^ ol anb suo^es snoN

]coo

(g) (dO, Ol * ) t'o,

TP- - lco-.,"ox ' Lr

o3P

:luotrroleu!+ luauuop (g) lo (Vl'(t) suorlelar sal

(9) lcor yp : tT,rO

t]co

ïlô6t+ o

toox

+- - g

lu soc ' tf soo

: 30Ae

t{c'q'e} dp - {A} tJp - {ogp}

:luouuot^ap {osP}

(8)

'co 7's Io Z op euôlsnp srole e)es  soo 1(selelecs oulr.uoc sr.rd !c! luos ttor lotuo) uolllullgp red lrlrsod lse

t'ox onb le ffi - Lsoc anbsrndteo ap auôrs np lsa L soc enb suonbJeuror snou 'uo!l

-eu!ulalgput olloc lo^al rnod'sqrd u p !ulJgp lso o;ôue ]oO

eo zg IoZ

-L 6t(to -'ol E/

lqo-Â6r

,Ho

: luar^ l! Qo,c

VI

:anbrrpgelco

dej}

\70€1",

2'

Fig, 3 Définition du changement de repère par les trois angles te,0 et t

dp_To",

ro"r( "

+tgçu)

dp est un scalaire à oiî.r.iner.

2.3 Résolution

Nous effectuons une résolution classique de l'élastoplasti-cité où :

f (o, K) : ro", * ooct (tg gp + K)

est la fonction de charge, et où :

{deP} - dp {V}

remplace I'hypothèse de la normalité par un potentiel nonassocié (cas du matériau ( non standard ))). Le matériau( standard > obéit au principe du travail plastique maxi-

mum tdepl : dÀ,9,.Cette relation est appelée aussi loi

de normalité puirlarqf,,, impose que le vecteur incrémentde déformation plastique deP soit perpendiculaire à la sur-face géométrique définie par la fonction f. Pour le matériau( non standard n, et pour les sols en général, la loi de nor-

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7

malité n'est pas applicable. On remplace alors la fonctionAf âo

{æ} par {#}. g est appelé : potentiel plastique nonassocié.

Nous calculons la valeur de la fonction f pour tous lespoints du modèle d'éléments finis. O,uand la fonction decharge est positive, nous effectuons le rééquilibrage encalculant les variations de contraintes {ôo1 telles que:

::::',: - dÀ" {v} rrEr

dÀ" -f (oy, K)

(10)

cos o. sin [3 . cos y + sin tt. sin y

srn y

r1'vE

1+-\Æ

b-To.a

-l

ooct

^ cos

tg ep

0.sinB cosy sin0loct

-+ tg qp

oo",

-dÀ (e)

{vt' tEl t#} -lv} '

tEl est la matrice de la loi deNous pouvons remarquer queposée correspond à un critère

f -0J, + J:''

avec : Jo - or * 62:o3 : 3 oo.,

I aK I af

L )(flsolJ a K

Hooke généralisée.la fonction de charge pro-de Drucker :

Jz:|[,", -.6rl'+ (o, - or)t + (or - o,), J

1

ct - -=- (tg 9p + K)vo

et avec l'hypothèse du matériau ( non standard >.

322 ocl

48

3 Etude du comportement du sol à l'état ultimeBent et Hansen (1968) puis Radenkovic (1961) ont pro-posé un comportement ( non standard l du sol à l'étatultime. Pour eux, le vecteur incrément de déformationplastique n'est pas perpendiculaire à la surface de charge,mais il est décalé. Nous avons cherché à définir quantitati-vement cet écart. Des essais triaxiaux drainés réalisés surdes sables (Oarmar et Plessiet - 1964) et sur des b!lles deplomb (Newland et Allely - 1957) ont donc été analysésdans ce sens.

Pendant I'essai triaxial de révolution, les contraintes princi-pales o, et o, sont identiques. Si I'on représente l'état decontrainte dans I'espace des axes principaux, les pointsreprésentatifs de l'état de charge sont situés dans le plancontenant I'axe 1 et Ia bissectrice des axes 2 et 3.

Nous avons représenté sur les figures 4,5, 6 et 7 lespoints caractérisant la rupture de l'échantillon dans ceplan particulier. Nous constatons que tous les points sontalignés. Si nous essayons de faire passer une droite derégression par ces points et par I'origine, nous obtenonsdes coefficients de corrélation très proches de 1 (voir surle tableau 8, les colonnes 3, 4 et 5).

Nous avons porté également sur ces graphes, les vecteursincréments de déformation plastique à la rupture. Si lematériau était ( standard >, ces vecteurs devraient êtreperpendiculaires à la ligne de rupture représentée par ladroite en trait plein sur les figures. Nous voyons que cen'est pas le cas. Les matériaux testés (échantillon de billesde plomb pour Newland et Allely, et sable drainé pour Dar-mar et Plessiet) se comportent de façon ( non standard >.

Partant de l'origine, on abaisse la perpendiculaire aux vec-teurs incrément de déformation plastique. l\ous obtenonsune seconde série de points dont les coordonnées sontportées en colonnes 7 et 8 sur le tableau 8. En calculant la

droite de régression passant par tous ces points et parI'origine, nous trouvons un coefficient de corrélation trèsproche de 1 (voir la colonne 9 sur le tableau 8).Ceci

indique qu'à la rupture, le vecteur incrément de déforma-tion plastique est perpendiculaire à une surface de chargeparticulière, représentée ici par les droites en trait inter-rompu. Cette su rface de cha rge peut être considéréecomme le passage d'une surface de charge de Mohr Cou-lomb dont I'angle g" (voir colonne 1O sur le tableau 8) estinférieur à la valeur e (voir la colonne 6 sur le tableau 8) dufrottement du sol à la rupture, comme le propose Salençonfie7 41.

Dans la programmation, nous considérons qu'à l'étatultiffi€, lorsque le critère de Mohr-Coulomb du matériaupulvéru lent :

f (o) -o -o +sin<o(o +o.)max mtn max mln'

devient positif ou nul, il se produit un écoulement plas-tique ( non standard > défini par:

p

sin ç" +p

{den } -

,de, max

Ide

I o'''\de

: dl" srn Q

o

rIII

I

Les variations de contraintes sont calculées par:

{oo} t--{dut}.IEl

et nous appliquons la méthode des contraintes initiales.

l-es calculs de 13 essais triaxiaux de révolution, que nousdéveloppons dans la suite de cet article, indiquent que I'ona la relation suivante:p ,Q" - qp (1 1) (voir les figures 22 et 231.

La connaissance de ç "1

gF permet donc de définir q". (ç et

eu seront des données du programme de calcul).

Bplu

n

Bpn

Fig. 8 Tableau récapitulatif des résulats définisnnt la rupture et la direction du vecteur déformation plastique

Bpln

1 2 3 4 5 7 B 9 10

M até ria u Essa i

numéro

Pressionaxia le(ba r)

Pressionradiale

(ba r)

Coefficientde

corré lationq

(degré)Coordonnée

axia leCoordonnée

radiale

Coefficientde

co rré latio nç"

(deg ré)

lilles derlombubrifiéest:39%

1314

13,226,34o.o

5,522,7 6o.o

o,9997 24,28,74,27o.o

7 ,953,820,0

0,9999 2,6

illes delomb

- 43 o/o

46525344

22,8410,214,gg1,65o,o

5,522,7 61,38o,52o.o

0,9985 37 ,1

13,956,903,451 ,20o,o

1 1,034,982,330,8 5o.o

0,9989 7,2

illes delomb-39%

1925

440

26,7712,42

5,1 1

2,18o,o

5,522,7 61,38o,520,0

o,9982 40i7

17,107 ,653,7 51 ,570,0

11,145,302,170,90o.o

0,99 93 12,O

able 1

23

12,548,7 64,39o,o

2,941,960,98o,o

o,9997 38,77,855,703,OOo,o

6,014,102,O1o,o

0,9989 8,3

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 49

-%3000

kPa

2500

-%

3000kPa

2500

-d€"

30%

2000

I 500

1000

Y20% lT1.dE,

500 1000 | 500 2 910 -'IT a,kPa

o 5oo 1000 I 500 2000 -VT. a,kPa r

F ig. 4 Les points caractérisant les contraintes et les vec-teurs incrément de déformation plastique à la rupturepour /es essa is 'l 3 et 14

Fig. 5 Les points caractérisant les contraintes et les vec-teurs incrément de déformation plastique à la rupturepour /es essa is 46, 52, 53, 44

F ig. 6 Les points caractérisant les contraintes et les vec-teurs incrément de déformation plastique à la rupturepour /es essa is | 9, 25, 4 et 40

Fig. 7 Les points caractérisant les contraintes et les vec-teurs incrément de déformation plastique à la rupturepour /es essa is 1 , 2 et 3

-('a

3000kPa

2500

-d8"

-aa

1500kPa

-d tu

15%

@

v

20% _,lT.d g., 10% -'lT.68r2000

kPa

zox -{-T.dt,

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7

-lfT ,a,

50

1910 -ttT . a,kPa

4 Calcul de 13 essais triaxiaux de révolutionLa théorie de l'écrouissage à contrainte moyenne cons-tante et de la plasticité ( non standard > étant élaborée,nous nous sorr]mes proposés de comparer les résultats decalcul et ceux de I'expérimentation dans le cas d'essais tri-axiaux. Nous avons calculé plusieurs séries d'essais defaçon à ce que les quatre paramètres de la loi de compor-tement varient. Au cours de I'essai triaxial, la contraintemoyenne n'est pas constante, mais nous allons voir que lathéorie peut être appliquée à cet essai sans donner desécarts significatifs par rapport à I'expérience.

4.1 Choix des paramètres

La loi de comportement peut être schématisée comme surla figure 9.

Dans le domaine des faibles sollicitations, le sol se com-porte élastiquement. La valeur du module de Young E estdéduite de la pente initiale de la courbe déviateur en fonc-tion de l'écrasement ; la valeur du coefficient de Poisson u,est déduite de la pente initiale de la courbe variation devolume en fonction de l'écrasement.

Pour l'écrouissage, le seul paramètre à définir est I'anglede frottement grain sur grain qp.Cet angle est constant

pour un matériau donné.

Enfin, au moment de résistance maximum du sol, nousconsidérons qu'il se produit un écoulement plastique ( nonstandard >. L'angle g de frottement ultime est défini par ladroite de Mohr-Coulomb. L'angle epr étant supposé connu,la relation (1 1) donne la valeur ç" définissant le potentielnon associé.

4.2 Essais de Darmar et Plessiet

Les essais sont réalisés à I'appareil triaxial de révolution,sur un sable de densité 14,6 kN/m3 environ. Les extrémi-tés de l'éprouvette frottent sur l'embase et la tête de com-pression. L'échantillon est saturé et drainé, ce qui permetde mesurer les variations de volume. Les essais sont réali-sés sous trois étreintes latérales : 98 kPa, 196 kPa et294 kPa (Monnet, 19771'"

La figure 1O représente le maillage utilisé (constitué d'élé-ments à trois næuds) pour le calcul de I'essai triaxial. Seul114 de l'échantillon a été représenté. ll est limité à gauchepar I'axe de symétrie de révolution et à la partie inférieure,par un plan de symétrie. La partie supérieure du maillagecorrespond à la tête de compression qui est en duralumin.Nous avons pris comme caractéristiques pour ces élé-ments : E - 90 30O OOO kPa et u - 0,33. ll n'y a pas d'élé-ments de continuité entre le sol et la tête de compressionpuisque I'essai a eu lieu sans lubrification entre cespa rties.

Au premier pas de chargement, nous appliquons l'étreintetriaxiale choisie sur tout le bord droit du modèle et sur toutle bord supérieur.

Ensuite, nous chargeons uniquementla figure 10. Cette zone correspondpiston qui vient appuyer sur la tête

la partie fléchée surà I'emplacement dude compression.

-eFig. 9 Schéma de la loi de comportement utiliséedans le programme d'éléments f inis

286 Noeuds

500 Eléments

F ig. | 0 Maillage de calcul de l'esni triaxial de révolu-tion, pour /es essal's | , 2 et 3

Courbes variation de volume en fonction de l'écrasement

La figure 1 2 représentb la comparaison des variations rela-tives de volume en fonction du raccourcissement del'échantillon. La coïncidence est bonne, compte tenu de lagrande échelle verticale utilisée. Les courbes calculées desessais 2 et 3 sont presque confondues.

Etendue des zones plastig ues au cours de I'essai

If sÉgit encore de l'essai 1 à 294 kPa porté sur la figure13. Au déviateur 5OO kPa tout le sol est en élasticité. A600 kPa, brusquement apparaît au centre de l'échantillonune zone d'écrouissage qui remonte progressivementjusque sous la tête de compression. U ne petite zone enéquilibre de Mohr-Coulomb apparaît au pourtour del'échantillon à 3,5 cm environ au-dessous de la tête decornpression. Cette zone gagne rapidement du volumejusqu'à occuper tout le centre du cylindre de sol à la rup-ture obtenue pour un déviateur de 1 0OO kPa.

Résultats :

Comparaison des différentes grandeurs calculées etm esu rées.

Courbes déviateur en fonction de l'écrasement

Nous avons comparé sur la figure 11 les résultats calculés(en noir) et expérimentaux (en clair) pour les trois valeursde l'étreinte latérale. La coïncidence est bonne en toutpoint des courbes. Nous observons enfin que le dernierpoint calculé pour chaque étreinte correspond à la rupturede l'échantillon puisque la zone en équilibre limite deMohr-Coulomb couvre toute la partie centrale (voir sur lafigure 13 pour I'essai 1). Cette valeur calculée de la rup-ture correspond assez bien à la valeur expérimentale.

REVUE FRANÇA|SE DE GEOTECHNTOUE NUMERO 7 51

plasticité parf aite

no n standard

ecroutssage

q-%100 0kPa

5 10 15 %

F ig. | | Courbe déviateur des contraintes-tassement,pour les essarb 'l , 2 et 3 sur un sable Comparaisondes résultats expérimentaux (en clair) et calcu lés (ennoir) pour trois valeurs de l'étreinte latérale

Fig. 13 Etat de l'échantillon pour chaque valeur du dé-viateur calculé à l'essai | à 294 kPa

E cr odissage

P last icité

parfaite

Fig. 12 Courbes variation de volume-tassement, pour lesessar's 1, 2 et 3 sur un sble - Comparaison des résultatsexpérimentaux (en clair) et calculés (en noir) pour troisvaleurs de l'étreinte latérale

F ig. | 4 L ignes d'égale contraintecontrainte imposée de - 1200 kPaet pour l'esffii 1 à 294 kPa

X

verticale, pour une(déviateur 900 kPa),

- I75 - 1743

- 1000

- I 100;

-12

- 1300

-1400 kPa-1 300 kPa

-1062 kPa

-1100 k Pa

t:]lasticité

MI

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 52

X

Courbes d'égale contrainte verticale pour le déviateur9OO kPa

La figu re 1 4 représente les résu ltats de I'essai 1 à'294 kPa. La contrainte verticale moyenne pour ce dévia-teur est de 12OO kPa.

Nous observons le long de l'axe de symétrie, tout d'abordune contrainte 2A % plus faible que la contraintemoyenne, puis en descendant une valeur 15% plusforte.Si nous regardons ce qui se passe à la périphérie, nousobservons sous la tête de compression une contrainte45 % plus forte que la valeur moyenne, puis en redescen-dant une valeu r 1O % plus faible.

Notts remarquons également qLr'une section horizontalede l'échantillon à quel niveau que ce soit donne au totalune charge verticale rnoyenne constante.

Les résultats sous la tête de cornpression sont analogues àce qui se passe sous une fondation rigide:les contraintessont maximum au bord et minimum au centre.

4.3 Essais de Newland et AllelyLa méthode de calcul a éTé adaptée au programmeROSALIE (Guellec 1 976) du Laboratoire Central desPonts et Chaussées, c€ qui a permis de calculer ces essais.Le rééquilibrage est limité à 20 itérations. Le maillage uti-lisé est présenté sur la figune 15. lls'agit de quadrilatères àhuit næuds. Le modèle présente une symétrie axiale parrapport au bord gauche et un plan de syrnétrie par rapportau bord inférieur. Les éléments de continuité placés entrele piston et le matériau transmettent unlquement lesdéplacements verticaux. Les déplacements horizontauxsont libres. Le rnatériau testé est un échantillon de billesde plornb.

Fig. '15 Maillage de calcul des essais triaxiaux de révolu-tion réalisés sur les billes de plomb

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE NUMERO 7

Essai du matériau à la porosité de 39 %Les calculs effectués pour les quatre étreintes latéralessont portés en noir, et les résultats expérimentaux en clair.On voit sur la figure 16, le déviateur en fonction de l'écra-sement. Les derniers points calculés correspondent tous àla rupture de la totalité de l'échantillon. Le passage del'écrouissage à la rupture s'effectue toujours brusquementpour tout le cylindre de matériau. En effet, les contraintescalculées sont égales en tout point à l'échantillon. Cecimontre bien I'importance que joue la lubrification desextrémités du cylindre de sol. Nous observons que pour lesétreintes latérales testées (52 kPa, 138 kPa, 276 kPa et552 kPa), la coïncidence est bonne entre I'expérience et lecalcul par éléments finis. Seul I'essai 4 diverge un peu,mais ceci est dû à l'expérience puisque l'échantillon a cédéplus tôt que ce que prévoit le critère de Mohr-Coulomb.

Nous voyons sur la figure 17, la variation de volume enfonction de l'écrasement. La coïncidence est très bonneentre les cou rbes.

Essai du matériau lubrifié à la porosité de 39 %L'a ngle tpU est plus faible que pou r les essais précédents.Pour les deux étreintes latérales testées $52 kPa et276 kPa) nous voyons sur les figures 18 et 19 que lesrésu ltats coïncident très bien avec l'expérience.

Essai du matériau à la porosité de 43 %L'angle qp est le même que pour les premiers essais. Nous

voyons que pour les quatre étreintes latérales (552 kPa,27 6 kPa, 1 38 kPa et 52 kPa), la coïncidence est trèsbonne entre les deux séries de courbes (figures 20 et 21]l.

F ig, | 6 Courbes déviateur des contrainfes-fasse ment,pour les essar's 'l 9, 25, 4 et 40 sur des billes de plomb.Comparaison des résultats calculés (en noir) et des ré-sultats expérimentaux {en clair)

t

53

1,905 cm

1000kPa

5 10 1596

F ig. | 8 Courbes déviateur des contraintes-tassement,pour /es essarb | 3 et | 4 sur des billes de plomb. Compa-raison des résultats calculés (en noir) et des résultatsexpérimentaux (en clair)

F[9. 'l 7 Courbes variation de volume-tassement pour lesessar's 'l 9, 25,4 et 40 sur des billes de plomb. Compa-raison des résultats calculés (en noir) et des résultatsexpérimentau x ( en clair)

F ig. 20 Courbes déviateur des contraintes-tassement,pour /es essais 46, 52, 53 et 44 sur des billes de plomb.Comparaison des résu ltats calculés (en noir) et des ré-sultats expérimentaux (en clair)

Fig. 'l 9 Courbes variation de volume-tassement, pour lesessarb 13 et 14 sur des billes de plomb. Comparaisondes résu ltats calcu lés (en noir) et des résu ltats expé-rimentaux (en clair)

F ig. 2l Courbes variation de volume-tassement, pourles essars 46, 52, 53 et 44 sur des billes de plomb.Comparaison des résultats calculés (en noir) et des ré-sultats expérimentaux (en clair)

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIOUE NUMERO 7 54

M atéria u

1

Essa i

2

EtreinteLatéra le

MPa3

PoidsVolumique

kN/m34

Paramètres de la loi de comportement

ru?, I D lo,l'.u loJd,.u

5 6 7 8

9"degré

9

9-qdegré

1

Billes deplombn - 39%

1925

440

o,552o,27 6o,1 38o,o52

62,262,262,262.2

60343420

0,3 1

o,410,48o.49

40,740,740,740,7

29,529,529,529,5

12,O12,O12,O12,O

28,728,728,729,7

Billes deplomblu brifiéesn - 39"/o

1314

o,552o,27 6

62,262,2

3118

o,37o,44

24,124,1

20,520,5

2,62,6

21 ,521 ,5

Billes deplombn - 43%

46525344

o,552o,27 60,1 38o.052

58,258,258,258.2

40251712

o,27o,37o,41o,4g

37 ,137 ,137 ,137 ,1

29,529,529,529.5

7,27,27,27,2

29,929,g29,929,g

Sable 1

23

o,2940,1 960.098

14,714,714.7

363214

o,37o,37o,41

39,039,O39.0

28,O2g,o28.O

8,38,38,3

30,730,730,7

F ig. 22 Tableau des paramètres de la loi de comportement

4.4 Valeur des paramètres utilisésLe tableau 22 regroupe, dans les colonnes 5,6, 7 et 8,I'ensemble des paramètres utilisés pour les calculs parordinateur. Nous remarquons en particulier la coïncidencequi existe entre les valeurs çp introduites dans le pro-gramme et la différence q - ç" de la colonne t 0 (q frotte-ment ultime du matériau, et e" angle du critère d'écoule-ment non associé). Nous avons étudié sur la figure 23 larelation qui existe entre ces angles. Nous voyons que ladroite tiretée, qui suppose l'égalité des valeurs, passe aumilieu des points. Nous considérons donc que l'égalité(1 1) est vérifiée. Ceci permet d'éliminer le paramètre q" dela loi de comportement. Les seuls paramètres restant sontdonc E module de Young, D coefficient de Poisson, <p frot-tement ultime, qp frottement grain sur grain.

E exprime la ( raideur > du sol

u détermine la contraction volumique du sol quand on lecha rge

q.est I'angle de frottement de la rupture

qp définit le seuil d'écrouissage

Newland et al. ont mesuré le frottement intergranulaire deleur échantillon de billes de plomb. lls ont aussi mesuréI'angle de frottement correspondant au palier de con-trainte obtenue une fois que I'on a dépassé le pic du d.evia-teur caractérisant la rupture (ils l'ont appelé qt).Dans le casde l'échantillon normal qf et qp mesuré sont égaux à

30" et pratiquement identique au çp du catcu | (29" s).Dans le cas de l'échantillon lubrifié qt Q2") est proche deqp du calcul (20" 5) mais par contre gu mesuré est trèsfaible (8' 5).

D'une facon générale, on peut dire que les calculs permet-tent de retrouver les expériences triaxiales.

F ig. 23 Comparaison entre la valeur du f rottementgrain sur grain et la valeur du décalage angulaire clu vec-teur déformation plastique à la rupture

,7(-

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE NUMERO 7 55

a-o"

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'(onblrtguolssard resso'selued'suollepuo+'sluout-ou?lnos) l!^!3 olu99 op saup;qord sap P salcexo sanbt.r-ogL.ll st-totlnlos sop luatrrauteqcotd lesodotd ep alllauuedl!ernop olll'sasuap sluo;ntgn;nd slos xne luelsut,l lnodogl!LU!l alla s!eur'r0s Io oldu,ts Inclec op ueÂout un otuuloct3e:edde los np luauleuodruoc np Inclec op opoqlgul el

'egsodord lol el ap gllp-!le^ el p ornlcuoc op latuled uollelelsuoc allo3'xneluoull-gdxe stellnsgr sol lo sglnclec slellnsg.t sol olluo aoueploc-uoc ouuoq sQrl aun or4eredde Ue+ letxepl lesso,l op seo neslu!,r sluoLuglg sop opoL4lgtu e; red to! ollac op uotleot;dde,-1

'oleluatrJ-grou! oporllgur oun,nb lnoleulpro lns Inclec op sdutelap surour luanbgsuoc red olrssaogu lo egeqol6 lsa olla -

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