7/25/2019 EDHEC_2010_E
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EDHEC Eco 2010
Exercice 1
On considre la fonction fdnie, pour tout couple (x; y)de
louvert]0; +1[]0; +1[, par :
f(x; y) = (x + y)1
x+1
y
:
1. Montrer que, pour tout couple (x; y)de ]0; +1[]0; +1[, on a
:
f(x; y) = 2 +y
x+
x
y et f(x; y) =
(x + y)2
xy :
2. Montrer que fest de classe C2 sur]0; +1[]0; +1[.
3. Montrer que fpossde une innit de points critiques et les
dterminer.
4. Dterminer les drives partielles secondes de fet vrier que ces
dernires ne permettent pas
de conclure lexistence dun extremum local de f sur]0; +1[]0;
+1[.5. a) Comparer les rels(x + y)2 et4xy.
b) En dduire que f admet sur ]0; +1[]0; +1[ un minimum global en
tous ses pointscritiques et donner sa valeur.
6. Soit gla fonction dnie pour tout (x; y)de ]0; +1[]0; +1[, par
:
g(x; y) = 2 ln(x + y) ln x ln y:
Montrer que : 8(x; y)2]0; +1[]0; +1[; g(x; y) 2 l n 2.
Exercice 2
Pour tout entier naturel n, on pose un=nY
k=0
1 +
1
2k
= (1 + 1)
1 +
1
2
1 +
1
4
1 +
1
2n
.
1. Donner, sous forme dentiers ou de fractions simplies, les
valeurs de u0; u1et u2.
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un2.
b) Exprimer un+1en fonction de unpuis en dduire les variations
de la suite (un).
c) tablir que, pour tout rel xstrictement suprieur 1, on a :
ln(1 + x) x.
d) En dduire, pour tout entier naturel n, un majorant de
ln(un).3. En utilisant les questions prcdentes, montrer que la
suite(un)converge vers un rel `, lmentde[2; e2].
4. On se propose dans cette question de dterminer la nature de
la srie de terme gnral(` un).
a) Justier que la suite (ln(un))n2Nconverge et que lon a : ln(`)
=+1Xk=0
ln
1 +
1
2k
.
b) Montrer que, pour tout nde N, on a ln
`
un
=
+1Xk=n+1
ln
1 +
1
2k
.
c) Vrier, en utilisant le rsultat de la question 3a), que 8n2 N;
0 ln
`un
1
2n.
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