EDHEC_2011_E

EDHEC eco 2011

Exercice 1

On considre la fonction f dnie sur R+ par : f(x) =2

x2

Z x0

t

et + 1dt si x > 0 et f(0) =

1

2:

1. a) Montrer que : 8x 2]0;+1[; 8t 2 [0; x] ; 1ex + 1

1et + 1

12:

b) Etablir alors que, pour tout rel x strictement positif, on a :1

ex + 1 f(x) 1

2:

c) En dduire que la fonction f est continue ( droite) en 0.

2. a) Montrer que f est de classe C1 sur ]0;+1[; puis vrier que, pour tout rel x strictementpositif, on peut crire : f 0(x) = 4

x3g(x); o g est une fonction que lon dterminera.

b) Etudier les variations, puis le signe de la fonction g: En dduire que f est dcroissante surR+:

3. a) Montrer que, pour tout rel t positif, on a :t

et + 1 1:

b) En dduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +1:

Exercice 2

On dsigne par E lespace vectoriel des fonctions polynmiales de degr infrieur ou gal 2 et onnote B la base (e0; e1; e2) de E; o pour tout rel x; on a : e0 (x) = 1; e1 (x) = x et e2 (x) = x2:On considre lapplication, note f; qui toute fonction polynmiale P appartenant E; associe lafonction polynmiale f(P ) dnie par :

8x 2 R; (f (P )) (x) = 2xP (x) x2 1P 0 (x) :1. a) Montrer que f est une application linaire.

b) En crivant, pour tout rel x; P (x) = a + bx + cx2; dnir explicitement (f(P ))(x) puisen dduire que f est un endomorphisme de E:

c) Ecrire f(e0); f(e1) et f(e2) comme des combinaisons linaires de e0; e1 et e2; puis endduire la matrice A de f dans la base B:

2. a) Vrier que Im f = vect (e1; e0 + e2) et donner la dimension de Im f:

b) Dterminer Ker f:

3. a) A laide de la mthode du pivot de Gauss, dterminer les valeurs propres de A:

b) En dduire que f est diagonalisable et donner les sous-espaces propres de f:

c) Vrier que les sous-espaces propres de f; autres que Ker f; sont inclus dans Im f:

Exercice 3

On dsigne par n un entier naturel suprieur ou gal 2. On dispose de n urnes, numrotes de 1 n; contenant chacune n boules. On rpte n preuves, chacune consistant choisir une urne auhasard et en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indpendantsles uns des autres.Pour tout i de f1; 2; :::; ng ; on note Xi la variable alatoire prenant la valeur 1 si lurne numrote icontient toujours n boules au bout de ces n preuves, et qui prend la valeur 0 sinon.

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1. a) Pour tout i et tout k; lments de f1; 2; :::; ng; on note Ui;k lvnement "lurne numro iest choisie la kme preuve".Ecrire lvnement (Xi = 1) laide de certains des vnements Ui;k; puis montrer que :

8i 2 f1; 2; :::; ng ; P (Xi = 1) =

1 1n

n:

b) Justier galement que, si i et j sont deux entiers distincts, lments de f1; 2; :::; ng; ona :

P ([Xi = 1] \ [Xj = 1]) =

1 2n

n:

c) Comparer

1 2n

et

1 1n

2et en dduire que, si i et j sont deux entiers distincts,

lments de f1; 2; :::; ng ; alors les variables Xi et Xj en sont pas indpendantes.

2. On pose Yn =nXk=1

Xi:

a) Dterminer lesprance de Yn; note E(Yn):

b) En dduire limn!+1

E(Yn)

net donner un quivalent de E(Yn) lorsque n est au voisinage de

+1:3. Pour tout i de f1; 2; :::; ng ; on note Ni la variable alatoire gale au nombre de boules man-quantes dans lurne numrote i la n de ces n preuves.

a) Donner sans calcul la loi de Ni ainsi que la valeur de E(Ni):

b) Que vaut le produit NiXi ?

c) Les variables Ni et Xi sont-elles indpendantes ?

4. Complter le programme informatique suivant pour quil simule lexprience dcrite au dbutde cet exercice et a che les valeurs prises par X1 et N1 pour une valeur de n entre parlutilisateur.Program edhec_2011 ;

Var x1, n1, n, k, tirage, hasard : integer ;

Begin

Randomize ;

Writeln(donnez un entier naturel n suprieur ou gal 2) ;

Readln(n) ;

n1 :=0 ; x1 :=1 ;

For k :=1 to n do

begin

hasard := random(n)+1 ;

if hasard = 1 then begin x1 :=-------- ; n1 := -------- ; end ;

end ;

Writeln(x1,n1) ;

End.


Problme

Notations et objectifsOn considre deux variables alatoires X et Y; dnies sur un espace probabilis (;A; P ) ; et ind-pendantes.On suppose que X est une variable densit et on note FX sa fonction de rpartition.

On suppose par ailleurs que la loi de Y est donne par P (Y = 1) = P (Y = 1) = 12:

Lindpendance de X et Y se traduit par les galits suivantes, valables pour tout rel x :

P ([X x] \ [Y = 1]) = P (X x)P (Y = 1) et P ([X x] \ [Y = 1]) = P (X x)P (Y = 1) :On pose Z = XY et on admet que Z est, elle-aussi, une variable alatoire dnie sur (;A; P ):On se propose dtablir deux rsultats utiles pour la suite dans la partie 1, puis den dduire la loide la variable alatoire Z en fonction de la loi de X dans les parties 2 et 3.

Partie 1 : expression de la fonction de rpartition de Z en fonction decelle de X:

1. Rappeler lexpression des fonctions de rpartition dune variable alatoire suivant une loi uni-forme sur [a; b] (avec a < b) et dune variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre (avec > 0).

2. En utilisant le systme complet dvnements f(Y = 1); (Y = 1)g; montrer que la fonctionde rpartition FZ de la variable alatoire Z est donne par :

8x 2 R; FZ(x) = 12

(FX(x) FX(x) + 1) :

Partie 2 : tude de deux premiers exemples.

1. On suppose que la loi de X est la loi normale centre rduite.Reconnatre la loi de Z:

2. On suppose que la loi de X est la loi uniforme sur [0; 1]:

a) Dterminer lexpression de FX(x) selon les valeurs prises par x:b) Dterminer FZ(x) pour tout rel x; puis reconnatre la loi de Z:

Partie 3 : tude du cas o la loi de X est la loi exponentielle de paramtre1.

1. a) Montrer que la fonction de rpartition FZ de la variable alatoire Z est dnie par :

FZ(x) =

1 1

2ex si x 0

12ex si x < 0

b) En dduire que Z est une variable alatoire densit.

c) Etablir alors quune densit de Z est la fonction fZ dnie pour tout rel x par :

fZ(x) =1

2ejxj:

d) Donner la valeur de lintgraleZ +10

xexdx:


e) Montrer que fZ est une fonction paire et en dduire lexistence et la valeur de E(Z):

2. a) Donner la valeur de lintgraleZ +10

x2exdx:

b) En dduire lexistence et la valeur de E(Z2); puis donner la valeur de la variance de Z:

3. a) Dterminer E(X)E(Y ) et comparer avec E(Z): Quel rsultat retrouve-t-on ainsi ?

b) Exprimer Z2 en fonction de X; puis en dduire de nouveau la variance de Z:

4. Soit U et V des variables alatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramtre1

2et la loi uniforme sur [0; 1[:

a) On pose Q = ln(1 V ) et on admet que Q est une variable alatoire. Dterminer lafonction de rpartition de Q et en dduire la loi suivie par la variable alatoire Q:

b) On pose R = 2U 1 et on admet que R est une variable alatoire. Dterminer R() etdonner la loi suivie par la variable R:

c) Informatique.En tenant compte des rsultats des questions 5a) et 5b), crire en Turbo Pascal unedclaration de fonction dont lentte est function z :real ; pour quelle simule la loi deZ:


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