8/20/2019 Eléments D_analyse - Calcul D_intégrales
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Calcul d’intégrales
Exercice 1 [ 00283 ] [correction]Calculer
1
0
ln(1 + t2)dt
Exercice 2 [ 00282 ] [correction]Calculer les
intégrales suivantes via un changement de variable ad hoc :
a)
π0
sin t
3 + cos2 t dt
b)
21
dt√ t + 2t
c)
21
ln(1 + t)− ln tt2
dt
Exercice 3 [ 00285 ] [correction]Calculer
I =
π/40
ln(1 + tan x)dx
Exercice 4 Centrale MP [ 02436 ]
[correction]Calculer √ 3
0
arcsin
2t
1 + t2
dt
Exercice 5 [ 00288 ] [correction]Pour p,
q
∈N, calculer
I p,q = 10
t p(1 − t)q dt
Exercice 6 [ 00289 ] [correction]Pour
n ∈N, posons
I n =
π/20
(sin t)ndt
a) Former une relation de récurrence liant I n
et I n−2.b) En déduire l’expression de
I n selon la parité de n.
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Corrections 2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé] 10
ln(1 + t2)dt =t ln(1 + t2)
10 − 1
0
2t2
1+t2 dt = ln2 + π2 − 2.
Exercice 2 : [énoncé]a) Via x = cos t
π0
sin t
3 + cos2 t dt =
1
−1
dx
3 + x2 =
1√ 3
arctan
x√ 3
=
π
3√
3
b) Via x =√ t
21
dt√ t + 2t
=
√ 21
2dx
1 + 2x = [ln(1 + 2x)]
√ 2
1 = ln(1 + 2
√ 2)− ln 3
c) Via x = 1/t
21
ln(1 + t)−
ln t
t2 dt = − 1/21
ln(x + 1)dx = 23/2
ln xdx = 7
2 ln 2 − 3
2 ln 3 − 1
2
Exercice 3 : [énoncé]La fonction x → ln(1 +
tan x) est définie et continue sur [0,
π/4] donc I existe.ln(1 + tan x) =
ln(cosx + sin x)− ln(cosx) et cos x + sin
x =
√ 2cos
π4 − x.
Ainsi
I = π ln 2
8 +
π/40
lncosπ
4 − x
dx−
π/40
ln(cosx)dx
or π/40
lncosx− π
4
dx =
t=π4−x
π/40
lncos(t)dt
donc
I = π ln 2
8
Exercice 4 : [énoncé]On réalise le changement de variable
t = tan x
2 pour lequel 2t
1+t2 = sin x.On obtient
√ 3
0
arcsin
2t
1 + t2
dt =
2π/3
0
1
2 arcsin(sinx)
1 + tan2
x
2
dx
On simplifie arcsin(sin x) = x
pour x ∈ [0, π/2] et arcsin(sin x)
= π − x pourx ∈ [π/2, 2π/3].Enfin on calcule
π/2
0
x
1 + tan2 x
2
dx
par intégration par parties.
Au final, on obtient √ 30
arcsin
2t
1 + t2
dt =
π√ 3
Exercice 5 : [énoncé]Par intégration par parties, on
obtient pour q = 0
I p,q = q
p + 1I p+1,q−1
Puisque I n,0 = 1
n+1 , on obtient
I p,q =
q ! p!( p + q + 1)!
Exercice 6 : [énoncé]a) Pour n 2, par intégration par
parties (avec u = sin t et v = sinn−1
t) :
I n = (n− 1)I n−2 − (n− 1)I ndonc
I n = n − 1
n I n−2
b) I 0 = π/2 et I 1
= 1 puis
I 2 p = (2 p)!
22 p( p!)2π
2 et I 2 p+1 =
22 p( p!)2
(2 p + 1)!
