Enseignement des mathmatiques : le dfi de la pluridisciplinarit

Michle Artigue,LDAR et IREM Paris 7Enseignement des mathmatiques : le dfi de la pluridisciplinaritDepuis plus de dix ans maintenant, des dispositifs divers ont vu le jour visant rduire l'isolement des disciplines scolaires : TPE, itinraires de dcouverte, module MPS, options sciences, exprience d'enseignement intgr des sciences au collge.... Par leur formation initiale, les enseignants en France sont peu prpars au dialogue entre disciplines que de tels dispositifs ncessitent et les enseignants de mathmatiques, tout particulirement, prouvent des difficults en tirer parti. Certains IREM, et c'est le cas de l'IREM Paris 7, ont pourtant une tradition dans ce domaine. C'est sur cette tradition, et plus particulirement sur les travaux du groupe modlisation qui a t cr au moment de la mise en place des TPE, que je m'appuierai dans cette confrence pour montrer l'intrt, pour l'enseignement des mathmatiques, de relever ce dfi mais aussi pour rflchir aux conditions satisfaire et aux volutions ncessaires pour qu'un tel dialogue puisse s'tablir productivement.1PlanIntroduction : le contexte franais et internationalLexprience de lIREM Paris 7:Une tradition de pluridisciplinaritLe groupe ModlisationMathmatiques et SVTQuelles leons tirer de cette exprience ?

2Le contexte franaisUne volont institutionnelle en France de promouvoir linterdisciplinarit, manifeste dans de multiples initiatives :Le CNP et la rforme des lyces de 2000 : TPE, travail conjoint des groupes dexperts sur lexponentielle, les projets en lyce professionnelDes options sciences au nouveau module MPS en seconde. Lenseignement au collge : IDD, thmes de convergenceLes expriences denseignement intgr des sciences au collge (EIST)Le Conseil national des programmes (CNP) tait un organisme consultatif du ministre franais de l'ducation nationale franaise compos de personnalits choisies par le ministre. Il tait charg de donner son opinion sur l'laboration des programmes scolaires et sur les enseignements en rgle gnrale.Cr par la Loi Jospin en 1989, il a t supprim par la loi no2005-380 d'orientation et de programme pour l'avenir de l'cole dite Loi Fillon (art. 15) et ses attributions sont dsormais en partie exerces par le Haut Conseil de l'ducation cr en 2005.Luc Ferry a prsid le Conseil national des programmes pendant quelques annes avant sa nomination comme ministre de l'ducation nationale.

3Pourquoi la pluridisciplinarit ?PluridisciplinaritRapprocher lEcole de la science actuelleRenforcer lattractivit de lenseignement scientifiqueFaire face aux besoins dune ducation citoyenne4Une diversit denjeuxInterdisciplinaritModlisation /ApplicationsContenus / ComptencesDmarches dinvestigationDcloisonner les connaissances5Extrait des documents daccompagnement des programmes du lyce (2000)La modlisation est une pratique scientifique majeure qui concerne un nombre croissant de domaines. [] Modliser est une des principales modalits de linteraction entre les mathmatiques et les autres sciences. Mais la pratique de la modlisation de situations relles est difficile. [] Au niveau du lyce, on initiera les lves la modlisation grce ltude de certaines situations relles, quon simplifiera lextrme et pour lesquelles le modle grossier ainsi tabli devient clairant ou permet une prvision : la difficult est alors de garder sens et consistance au problme simplifi.(Accompagnement pour les classes terminales S et ES, p. 29)6Les thmes de convergenceLes thmes de convergence [...] font partie des programmes des disciplines dans lesquels leurs contributions sont galement recenses. Les thmes choisis ont t retenus parmi des sujets importants pour la socit et proches des proccupations quotidiennes des lves. Lintrt que leur tude, partir de points de vue complmentaires, peut susciter chez des collgiens a constitu une considration dcisive. Pour chaque enseignement disciplinaire, il sagit de contribuer, de faon coordonne, ldification dobjets de savoir commun, lments essentiels dune culture partage. (extrait du Rapport Bach) 7Lenseignement dexploration des nouveaux programmes de seconde Lenseignement dexploration mthodes et pratiques scientifiques permet aux lves de dcouvrir diffrents domaines des mathmatiques, des sciences physiques et chimiques, des sciences de la vie et de la Terre et des sciences de lingnieur. Cest aussi loccasion de montrer lapport et la synergie de ces disciplines pour trouver des rponses aux questions scientifiques que soulve une socit moderne, den faire percevoir diffrents grands enjeux, et de donner les moyens de les aborder de faon objective.8Le discours de Pierre Lena lAcadmie des Sciences Il y propose trois leviers pour lavenir de lcole : Le changement des pratiques pdagogiques et le dveloppement des dmarches dinvestigation limage de la Main la PteDes professeurs accompagns dans leur dveloppement professionnel, au contact de la science vivante et de ses acteursDcloisonnement et interdisciplinarit: une conception plus globale des savoirs, un dcloisonnement des disciplines. 9Le discours de Pierre Lena Chaque anne, lAcadmie des sciences distingue les laurats de ses Prix : ces travaux rvlent limmensit des savoirs daujourdhui, leur perptuel mouvement, leurs interactions croises et souvent improbables, leur degr dabstraction, leur extrme technicit, leurs surprenantes applications. Notre systme dducation, ne sachant videmment plus embrasser cette immensit de savoirs, traumatis, peine prendre un cap o beaucoup est rinventer. Il se contente damnager des programmes troitement disciplinaires. Que lon ne voie pas ici une critique dinstitutions ou de personnes, car nombre de pays se heurtent ces mmes difficults.10Le Plan Sciences et lEISTAfin de dcloisonner l'approche des sciences et des technologies au collge pour redonner du sens l'enseignement et faciliter la liaison CM2-sixime, une exprimentation d'un enseignement intgr de science et technologie (EIST), mise en uvre par l'Acadmie des sciences, l'Acadmie des technologies et le ministre, est conduite depuis 2006 en classe de sixime et de cinquime. [] L'EIST s'inscrit dans le sillage de La main la pte l'cole lmentaire et offre aux lves la possibilit de mener bien une dmarche exprimentale et d'investigation [] Le plan sciences et technologies l'cole vise l'extension du dispositif 400 collges terme.11Et au niveau international ?Des convergences videntes aisment reprables dans la perception des enjeux :au niveau Europen (Rapport Rocard, Financement de projets )au niveau de lOCDE (PISA et le concept de littracie, le cycle de modlisation)au niveau de lUNESCO (les deux documents rcents sur les dfis de lducation scientifique et mathmatique dans la scolarit de base)Des volutions curriculaires convergentes 12Le contexte franais : des volonts affiches mais aussi des facteurs peu favorablesUne culture ducative qui est fonde sur le cloisonnement disciplinaire voire la comptitions entre disciplines.Des enseignants qui sont, partir du collge, (hors lyce professionnel) monovalents.Des enseignants qui sont trs peu prpars par leur formation initiale des pratiques pluridisciplinaires et aux dmarches de modlisation quelles induisent.Une vision du travail enseignant o les pratiques collaboratives ont encore assez peu de place.Des possibilits de formation continue de plus en plus rduites pour accompagner les dispositifs progressivement introduits.Une avalanche de rformes et une dtrioration des conditions de travail qui ne favorisent pas les volutions souhaites.13Lexprience des IREMUne exprience indniable et qui mrite dtre valorise14Le cas de lIREM Paris 7Un IREM initialement pluri-disciplinaire : maths-physique, math-technologie, math-biologie, math-franais.Une pluri-disciplinarit qui va progressivement sestomper pour renatre la fin des annes 90 avec :le groupe MAG (Maths-Arts plastiques- Gographie)le groupe ZEP qui deviendra le groupe Math-Franaisle groupe TPE qui deviendra le groupe Modlisation Et avec lmergence aujourdhui dune collaboration avec les informaticiens autour de lalgorithmique15Le groupe IREM Modlisation Un groupe pluridisciplinaire : maths physique SVT.Un groupe cr en 1999 pour accompagner la mise en place des TPE et qui sest progressivement orient vers les questions de modlisation et dinteractions entre disciplines.Lanimation de stages PAF puis lopportunit de mener un travail plus approfondi cre par la mise en place du master professionnel didactique en 2004.Limportance prise par les interactions entre mathmatiques et biologie dans le travail du groupe.

16Le processus de modlisation Des modles de rfrenceLe dcoupage dun segment de ralitUn choix de descriptionUne mathmatisation de cette descriptionUn travail dans le modleUne confrontation la contingenceUn problme rsoudre17Un travail interdisciplinaire math-physique inspir par une ressource du projet Europen LEMA

18Lapport dune dmarche pluridisciplinaireLa vision initiale des enseignants de mathmatiques :La modlisation des jets deau par des parabolesle problme devient alors un problme gomtrico-fonctionnellutilisation de logiciels de gomtrie (Geoplan et Geospace) pour simuler les jets deau et visualiser leffet des variations des paramtreslexploitation des proprits de symtrie de la situation19Lapport dune dmarche pluridisciplinaireLapport de lenseignante de physique :La modlisation physique et ses approximationsLa confrontation au rel via un dispositif exprimentalUne autre utilisation de la technologie pour tester le modle et trouver par ajustement lquation de la paraboleLintroduction dun exemple historique

20La modlisation physique

La modlisation de leau par un liquide parfait incompressible et lutilisation du thorme de Bernouilli.

La modlisation du jet en un ensemble de gouttes deau soumises la seule pesanteur et lutilisation des lois de la mcanique classique.

21Influence de lintensit de la vitesse initiale (angle constant)

22Influence de langle vitesse constante

Lexistence dune porte maximale (45)23Le dispositif exprimental

En utilisant le thorme de Bernouilli pour lcoulement permanent dun fluide parfait (sans viscosit) incompressible on obtient pour la vitesse la sortie v=rac(2gz) o z est la hauteur deau. Ensuite, on considre que lon a des gouttes deau soumises la pesanteur et sans interactions entre elles. Ceci conduit en utilisant les lois de la mcanique classique une trajectoire parabolique.24Lexploitation du logiciel Dynamic

25Le test du modle quadratique

26Leonardo da Vinci: une trange affirmation !

27Le calcul effectif

28La simulation avec Geospace

29Des prolongements : parabole de scurit

30Des prolongements

31Interactions maths-SVTDes spcificits certaines32Le cas spcifique de la biologieDes concepts dont les mathmatiques ne sont pas constitutives, contrairement la physique.La diversit des sources de modlisation en biologie et linfluence croissante mais relativement rcente des modlisations mathmatiques.Le rle dterminant jou par les modlisations alatoires et la variabilit du vivant comme source dobstacles :Le dfi rsultant pour faire vivre le rle crateur des modles mathmatiques en biologie.Mais aussi la possibilit progressivement constate de faire vivre des interactions riches et motivantes entre maths et biologie avec des outils mathmatiques assez lmentaires, en particulier grce aux outils technologiques disponibles.

33Deux exemples historiques travaills dans le master et les stages

Lessai sur le principe de population de MalthusLe travail de Daniel Bernoullisur la variole34Bernoulli : les hypothses de modlisationH1 : Tant quon a pas eu la petite vrole, on court continuellement le mme risque de lavoir.H2 : Quant au risque annuel dtre attaqu par la petite vrole, pour ceux qui ne lont pas eue, jai cru ne pouvoir satisfaire aux notions gnrales que nous avons sur cette maladie, quen la supposant dun huitime, ce rapport de 1 sur 8 tant suppos constantH3 : Disons encore un mot sur le risque de la petite vrole pour ceux qui en sont attaqus: la plupart lont fait dun septime; je lai un peu diminu, en le faisant dun huitimeH4 : Le risque de mourir par une autre cause que la petite vrole est le mme que lon ait eu la petite vrole ou non 35Bernouilli : les justificationsH1 : Nous navons encore aucune observation qui nous oblige renoncer cette supposition, et les lois de la Nature les plus simples sont toujours les plus vraisemblables H3 : Disons encore un mot sur le risque de la petite vrole pour ceux qui en sont attaqus: la plupart lont fait dun septime; je lai un peu diminu, en le faisant dun huitime: deux raisons my ont engag, la premire est quon apprend exactement tous ceux qui en meurent, et quon ne saurait apprendre si exactement tous ceux qui ont la maladie, la seconde, est que le rapport de 1 sur 7 ferait la mortalit variolique trop grande par rapport la mortalit entire, pendant que celui de 1 sur 8 est entirement conforme lobservation la mieux constate, qui est que la petite vrole enlve la treizime partie du total des morts

36La mathmatisation On introduit les variables suivantes : t : variable qui reprsente lge des individus en annes.N(t) : le nombre de survivants de cette population linstant t x(t) : le nombre des personnes susceptibles dattraper la variole linstant t, cest--dire, parmi les survivants, ceux qui nont pas encore eu la variole m(t) : le taux annuel de dcs par dautres causes que la variole au sein des deux populations. 37Le jeu entre discret et continu

38La rsolution du systme diffrentiel Bernoulli introduit la proportion de survivants linstant t, encore susceptibles davoir la variole en posant :

On reconnat l une quation diffrentielle logistique39

La rsolution de lquation diffrentielle logistique40

Si lon utilise les valeurs de N(t) donnes dans une table de mortalit, on peut alors en dduire les valeurs de x(t), puis dterminer comment voluerait la population si personne ne mourait de la variole, par un raisonnement de proportionnalit. Cest ce que fait Bernoulli en sappuyant sur les tables de mortalit dune population de 1300 personnes de la naissance lge de 24 ans.

41

42Le raffinement de la modlisation et les conclusions qui en sont tires La modlisation effectue ne tient pas compte de lexistence de dcs suite linoculation: 1 sur 600 Londres en 1755, or cest sur ce nombre de dcs dinoculs que se fondaient les opposs linoculation.Bernoulli raffine donc son modle en calculant ce qui se passerait si on avait une chance sur 200 de mourir de la variole aprs avoir t inocul (linoculation tant suppose avoir lieu la premire anne).Avec des arguments de nature probabiliste, il conclut ensuite que lesprance de vie passerait de 30 34 ans environ si tout le monde tait inocul. Cette tude le conduit prendre parti pour linoculation prventive comme mesure salutaire de prophylaxie collective en dpit du risque individuel que la mesure comporte.

43Des conclusions source de dbats qui ont des rsonances actuellesUn long dbat mathmatique et philosophique, auquel Jean Le Rond DAlembert (1717-1783) prit une part active, sensuivit, montrant bien combien lintroduction dune approche statistique en mdecine est problmatique lpoque :Je suppose avec monsieur Bernoulli que le risque de mourir de linoculation soit de 1 sur 200. Cela pos, il me semble que pour apprcier lavantage de linoculation, il faut comparer, non la vie moyenne de 34 ans la vie moyenne de 30, mais le risque de 1 sur 200 auquel on sexpose de mourir en un mois par linoculation lavantage loign de vivre quatre ans de plus au bout de 60 ans lorsquon sera beaucoup moins en tat de jouir de la vie Voil, il nen faut point douter, ce qui rend tant de personnes, et surtout tant de mres, peu favorables parmi nous linoculation. (Opuscules, tome II)

44La propagation de maladies contagieusesUn des premiers thmes abords ((lpre, rougeole, SIDA) qui permet dentrer en contact avec diverses questions :choix entre modles dterministes et alatoires,raffinement progressif des modles (du modle S.I. de Hamer au modle S.I.R. de Kermack et MacKendrick , la prise en compte deffets de vaccination),recherche et exploitation de donnes relles,critique de documents.Et ce, avec des besoins mathmatiques raisonnables (quations et systmes diffrentiels simples et suites) et des besoins biologiques trs rduits.Un thme qui permet de combiner le travail sur des exemples historiques (variole, peste) et sur des questions actuelles. 46La dynamique des pools de gnes dans une populationLa ncessit de passer par un modle alatoire (urne des gamtes). La mise en vidence dun phnomne intressant de stabilit intergnrationnelle (Loi de Hardy-Weinberg) et lexplicitation des hypothses sous-jacentes : taille de la population, absence de mutation, de migration, de slection, de croisements entre gnrations. La remise en cause de certaines hypothses : tude des effets, rectification des modles :simulations pour le cas de petites populations (drive gnique et modle de Wright),tude du cas dune maladie gntique rcessive : la mucoviscidose,tude dune maladie spcifique locale (ataxie spastique)..La possibilit de raliser des transpositions didactiques au niveau lyce, et mme collge exploitant des modlisations probabilistes simples. 47Lanalyse de squences ADN dont la fonction nest pas connueUn thme plus exigeant sur le plan biologique et mathmatique, avec un premier niveau de modlisation : celle de lADN par un texte sur lalphabet A, C, G, T, puis une seconde modlisation via des chanes de Markov.Mais un thme qui permet denvisager lexploitation du travail de modlisation sous langle de lcart un modle, avec le problme de la dtection de sections codantes du texte :par la recherche de fragments qui scartent dune rpartition alatoire sur la base des frquences des lettres,par la recherche de mots connus.La familiarisation avec ces questions via une transposition sur la succession consonnes-voyelles dans un texte, lexploration de modles markoviens simples et ltude de leffet de permutations du texte.Lexploitation sur des donnes relles avec la dfinition de macro Excel appropries et la transposition au niveau lyce.48ADN et CGRPlus quune modlisation, une reprsentation

GAGCACAGTGGAAGGG 49

Les reprsentations CGR de lADN de quatre espces50ADN et CGRUne appropriation et une exploitation multiforme de cette reprsentation via lutilisation doutils mathmatiques lmentaires mais trs divers : 1- Rcurrence, homothties : combinatoire lmentaire, suite de points du plan dfinis par rcurrence barycentrique, intervention des homothties, exploitation combinatoire de la rcurrence vectorielle, utilisation dun tableur pour reprsenter et conjecturer, interprtation et comparaison de squences vraies et de squences produites par un automate probabiliste;2- Calcul barycentrique:calcul des poids des points de la CGR comme barycentres des sommets du carr, exploitation combinatoire en relation avec laspect des dessins ;3- Un peu darithmtique: criture des poids en base 2;4- Programmation dun tableur pour dessiner des CGR, application aux squences dADN des patients atteints de la chore de Huntington, cas dcole de la biologie. Liens entre proprits statistiques simples dune squence et sa CGR.51En conclusion : quelques leons de ces expriencesLes relles potentialits offertes par des travaux interdisciplinaires ds lenseignement secondaire mais aussi la distance des cultures disciplinaires et le temps ncessaire loprationnalisation.Limportance du choix des questions qui doit faire sens pour les deux disciplines et la vigilance avoir vis--vis de notre tendance nous vader dans des jeux purement mathmatiques.La confrontation salutaire lignorance et la difficult que nous ressentons comme nos lves faire fonctionner des concepts et techniques que nous pensons bien matriser hors des sentiers battus.Limportance du travail collaboratif et lenrichissement que lon retire des changes avec dautres disciplinesLa comprhension des limites des erzats de modlisation scolaires mais aussi une vision raliste des limites de ce qui peut tre fait dans le cadre de sances de classe ordinaires, et limportance donc darriver profiter des dispositifs institutionnels secondaires existants pour faire vivre modlisation et interdisciplinarit.52Linterdisciplinarit : un rel dfi pour les enseignants de mathmatiques mais un dfi qui mrite dtre relev !53Graph2-0.00298-0.00298-0.00595-0.0149-0.0238-0.0298-0.0476-0.0595-0.0744-0.0923-0.107-0.125-0.149-0.164-0.185-0.208-0.235-0.268-0.295-0.351

y mx en my en my=f(x)y = -0,696xR2 = 0,9994

Feuil1Pointages AviMcatxysmm00.00E+000.00E+000.0334.27E-020.00E+000.0677.62E-020.00E+000.11.13E-01-9.15E-030.1331.52E-01-1.52E-020.1671.86E-01-2.13E-020.22.23E-01-3.66E-020.2332.68E-01-4.57E-020.2673.26E-01-7.01E-020.33.87E-01-1.01E-010.3344.45E-01-1.31E-010.3674.88E-01-1.59E-010.45.30E-01-1.80E-010.4345.79E-01-2.13E-010.4676.31E-01-2.56E-010.56.65E-01-2.90E-010.5347.01E-01-3.29E-010.5677.41E-01-3.57E-010.67.71E-01-3.84E-010.6348.02E-01-4.15E-010.6678.32E-01-4.51E-01essai 2Pointages AviMcatxysmm00.00E+000.00E+000.0333.04E-020.00E+000.0675.77E-02-3.04E-030.19.73E-02-6.08E-030.1331.40E-01-1.22E-020.1671.76E-01-2.13E-020.22.13E-01-3.34E-020.2332.46E-01-3.95E-020.2672.80E-01-5.47E-020.33.13E-01-6.69E-020.3333.46E-01-8.21E-020.3673.83E-01-1.03E-010.44.19E-01-1.19E-010.4334.56E-01-1.40E-010.4674.92E-01-1.64E-010.55.29E-01-1.95E-010.5335.65E-01-2.19E-010.5675.99E-01-2.43E-010.66.38E-01-2.67E-010.6336.75E-01-2.98E-010.6677.20E-01-3.37E-010.77.48E-01-3.65E-010.7347.81E-01-3.98E-010.7678.15E-01-4.38E-01Pointages AviMcatxxyythosmm00.00E+000.00E+00-2.98E-030.00E+000.0333.27E-021.07E-03-2.98E-03-1.34E-030.0678.04E-026.46E-03-5.95E-03-8.08E-030.11.28E-011.64E-02-1.49E-02-2.05E-020.1331.73E-012.99E-02-2.38E-02-3.74E-020.1672.08E-014.33E-02-2.98E-02-5.41E-020.22.53E-016.40E-02-4.76E-02-8.00E-020.2332.89E-018.35E-02-5.95E-02-1.04E-010.2673.27E-011.07E-01-7.44E-02-1.34E-010.33.60E-011.30E-01-9.23E-02-1.62E-010.3343.93E-011.54E-01-1.07E-01-1.93E-010.3674.23E-011.79E-01-1.25E-01-2.24E-010.44.55E-012.07E-01-1.49E-01-2.59E-010.4344.88E-012.38E-01-1.64E-01-2.98E-010.4675.18E-012.68E-01-1.85E-01-3.35E-010.55.51E-013.04E-01-2.08E-01-3.80E-010.5345.83E-013.40E-01-2.35E-01-4.25E-010.5676.16E-013.79E-01-2.68E-01-4.74E-010.66.49E-014.21E-01-2.95E-01-5.27E-010.6347.14E-015.10E-01-3.51E-01-6.37E-01

Feuil1000-0.00915-0.0152-0.0213-0.0366-0.0457-0.0701-0.101-0.131-0.159-0.18-0.213-0.256-0.29-0.329-0.357-0.384-0.415-0.451

y m

Feuil2000000000000000000000000

y m

Feuil30000000000000000000

y m

00000000000000000000

y mx en my en my=f(x)y = -0,696xR2 = 0,9994

0000000000000000000000000000000000000000

y mx en my en my=f(x)

Graph1-0.002980-0.00298-0.0013366125-0.00595-0.0080802-0.0149-0.02048-0.0238-0.03741125-0.0298-0.05408-0.0476-0.08001125-0.0595-0.10440125-0.0744-0.13366125-0.0923-0.162-0.107-0.19306125-0.125-0.22366125-0.149-0.25878125-0.164-0.29768-0.185-0.335405-0.208-0.37950125-0.235-0.42486125-0.268-0.47432-0.295-0.52650125-0.351-0.637245

y mx en my en my=f(x)

Feuil1Pointages AviMcatxysmm00.00E+000.00E+000.0334.27E-020.00E+000.0677.62E-020.00E+000.11.13E-01-9.15E-030.1331.52E-01-1.52E-020.1671.86E-01-2.13E-020.22.23E-01-3.66E-020.2332.68E-01-4.57E-020.2673.26E-01-7.01E-020.33.87E-01-1.01E-010.3344.45E-01-1.31E-010.3674.88E-01-1.59E-010.45.30E-01-1.80E-010.4345.79E-01-2.13E-010.4676.31E-01-2.56E-010.56.65E-01-2.90E-010.5347.01E-01-3.29E-010.5677.41E-01-3.57E-010.67.71E-01-3.84E-010.6348.02E-01-4.15E-010.6678.32E-01-4.51E-01essai 2Pointages AviMcatxysmm00.00E+000.00E+000.0333.04E-020.00E+000.0675.77E-02-3.04E-030.19.73E-02-6.08E-030.1331.40E-01-1.22E-020.1671.76E-01-2.13E-020.22.13E-01-3.34E-020.2332.46E-01-3.95E-020.2672.80E-01-5.47E-020.33.13E-01-6.69E-020.3333.46E-01-8.21E-020.3673.83E-01-1.03E-010.44.19E-01-1.19E-010.4334.56E-01-1.40E-010.4674.92E-01-1.64E-010.55.29E-01-1.95E-010.5335.65E-01-2.19E-010.5675.99E-01-2.43E-010.66.38E-01-2.67E-010.6336.75E-01-2.98E-010.6677.20E-01-3.37E-010.77.48E-01-3.65E-010.7347.81E-01-3.98E-010.7678.15E-01-4.38E-01Pointages AviMcatxxyythosmm00.00E+000.00E+00-2.98E-030.00E+000.0333.27E-021.07E-03-2.98E-03-1.34E-030.0678.04E-026.46E-03-5.95E-03-8.08E-030.11.28E-011.64E-02-1.49E-02-2.05E-020.1331.73E-012.99E-02-2.38E-02-3.74E-020.1672.08E-014.33E-02-2.98E-02-5.41E-020.22.53E-016.40E-02-4.76E-02-8.00E-020.2332.89E-018.35E-02-5.95E-02-1.04E-010.2673.27E-011.07E-01-7.44E-02-1.34E-010.33.60E-011.30E-01-9.23E-02-1.62E-010.3343.93E-011.54E-01-1.07E-01-1.93E-010.3674.23E-011.79E-01-1.25E-01-2.24E-010.44.55E-012.07E-01-1.49E-01-2.59E-010.4344.88E-012.38E-01-1.64E-01-2.98E-010.4675.18E-012.68E-01-1.85E-01-3.35E-010.55.51E-013.04E-01-2.08E-01-3.80E-010.5345.83E-013.40E-01-2.35E-01-4.25E-010.5676.16E-013.79E-01-2.68E-01-4.74E-010.66.49E-014.21E-01-2.95E-01-5.27E-010.6347.14E-015.10E-01-3.51E-01-6.37E-01

Feuil1000-0.00915-0.0152-0.0213-0.0366-0.0457-0.0701-0.101-0.131-0.159-0.18-0.213-0.256-0.29-0.329-0.357-0.384-0.415-0.451

y m

Feuil2000000000000000000000000

y m

Feuil30000000000000000000

y m

00000000000000000000

y mx en my en my=f(x)y = -0,696xR2 = 0,9994

0000000000000000000000000000000000000000

y mx en my en my=f(x)